Ploto samprata
Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.
1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.
2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.
Pažiūrėkime į pavyzdį.
1 pavyzdys
Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra
Tada trikampio plotas lygus
Atsakymas: 15 USD.
Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir plotą. lygiakraštis trikampis.
Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą
1 teorema
Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.
Matematiškai tai atrodo taip
$S=\frac(1)(2)αh$
kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.
Įrodymas.
Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.
Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorema įrodyta.
2 pavyzdys
Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui
Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Atsakymas: 40,5 USD.
Garnio formulė
2 teorema
Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.
Įrodymas.
Apsvarstykite šį paveikslą:
Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname
Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iš šių dviejų santykių gauname lygybę
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Pagal 1 teoremą gauname
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Norėdami nustatyti trikampio plotą, galite naudoti skirtingos formulės. Iš visų metodų lengviausias ir dažniausiai naudojamas aukštį padauginti iš pagrindo ilgio ir padalyti rezultatą iš dviejų. Tačiau šis metodas toli gražu ne vienintelė. Žemiau galite perskaityti, kaip rasti trikampio plotą naudojant skirtingas formules.
Atskirai apžvelgsime būdus, kaip apskaičiuoti plotą specifiniai tipai trikampis – stačiakampis, lygiašonis ir lygiakraštis. Prie kiekvienos formulės pateikiame trumpą paaiškinimą, kuris padės suprasti jos esmę.
Universalūs trikampio ploto nustatymo metodai
Toliau pateiktose formulėse naudojamas specialus žymėjimas. Mes iššifruosime kiekvieną iš jų:
- a, b, c – mūsų nagrinėjamos figūros trijų kraštinių ilgiai;
- r yra apskritimo, kurį galima įrašyti į mūsų trikampį, spindulys;
- R yra apskritimo, kurį galima apibūdinti aplink jį, spindulys;
- α – kampo, sudaryto iš kraštinių b ir c, dydis;
- β – kampo tarp a ir c dydis;
- γ – kampo, sudaryto iš kraštinių a ir b, dydis;
- h yra mūsų trikampio aukštis, nuleistas nuo kampo α į kraštinę a;
- p – pusė kraštinių a, b ir c sumos.
Logiškai aišku, kodėl tokiu būdu galite rasti trikampio plotą. Trikampis gali būti lengvai sudarytas į lygiagretainį, kuriame viena trikampio kraštinė veiks kaip įstrižainė. Lygiagretainio plotas randamas vienos iš jo kraštinių ilgį padauginus iš į ją nubrėžto aukščio vertės. Įstrižainė padalija šį sąlyginį lygiagretainį į 2 vienodus trikampius. Todėl visiškai akivaizdu, kad mūsų pradinio trikampio plotas turi būti lygus pusei šio pagalbinio lygiagretainio ploto.
S=½ a b sin γ
Pagal šią formulę trikampio plotas randamas padauginus jo dviejų kraštinių, tai yra a ir b, ilgius iš jų suformuoto kampo sinuso. Ši formulė logiškai išvesta iš ankstesnės. Jei aukštį nuo kampo β sumažiname į kraštinę b, tai pagal stačiojo trikampio savybes, kraštinės a ilgį padauginus iš kampo γ sinuso, gauname trikampio aukštį, tai yra h. .
Nagrinėjamos figūros plotas randamas padauginus pusę apskritimo, kurį galima įrašyti į ją, spindulio iš jo perimetro. Kitaip tariant, randame minėto apskritimo pusperimetro ir spindulio sandaugą.
S= a b c/4R
Pagal šią formulę mums reikiamą reikšmę galime rasti figūros kraštinių sandaugą padalijus iš 4 aplink ją aprašyto apskritimo spindulių.
Šios formulės yra universalios, nes leidžia nustatyti bet kurio trikampio plotą (skalė, lygiašonis, lygiakraštis, stačiakampis). Tai taip pat galima padaryti naudojant daugiau sudėtingi skaičiavimai, prie kurių detaliau nesigilinsime.
Tam tikrų savybių turinčių trikampių plotai
Kaip rasti stačiojo trikampio plotą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad dvi jos pusės yra vienu metu jos aukščiai. Jei a ir b yra kojos, o c tampa hipotenuze, tada randame tokią sritį:
Kaip rasti plotą lygiašonis trikampis? Jis turi dvi puses, kurių ilgis a, ir vieną kraštą, kurio ilgis b. Vadinasi, jo plotą galima nustatyti kraštinės a kvadrato sandaugą padalijus iš 2 iš kampo γ sinuso.
Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą? Joje visų kraštinių ilgis lygus a, o visų kampų dydis lygus α. Jo aukštis lygus pusei kraštinės a ilgio ir kvadratinės šaknies sandaugos iš 3. Norėdami rasti plotą taisyklingas trikampis, reikia padauginti kraštinės a kvadratą iš kvadratinės šaknies iš 3 ir padalyti iš 4.
Ploto samprata
Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.
1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.
2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.
Pažiūrėkime į pavyzdį.
1 pavyzdys
Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra
Tada trikampio plotas lygus
Atsakymas: 15 USD.
Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.
Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą
1 teorema
Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.
Matematiškai tai atrodo taip
$S=\frac(1)(2)αh$
kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.
Įrodymas.
Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.
Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorema įrodyta.
2 pavyzdys
Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui
Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Atsakymas: 40,5 USD.
Garnio formulė
2 teorema
Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.
Įrodymas.
Apsvarstykite šį paveikslą:
Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname
Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iš šių dviejų santykių gauname lygybę
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Pagal 1 teoremą gauname
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Trikampis yra toks geometrinė figūra, kurią sudaro trys linijos, jungiančios taškus, kurie nėra toje pačioje linijoje. Linijų sujungimo taškai yra trikampio viršūnės, kurios yra nurodytos lotyniškomis raidėmis(pvz., A, B, C). Trikampio jungiamosios tiesės vadinamos atkarpomis, kurios taip pat dažniausiai žymimos lotyniškomis raidėmis. Išskirti šių tipų trikampiai:
- Stačiakampis.
- Bukas.
- Ūmus kampinis.
- Universalus.
- Lygiakraščiai.
- Lygiašonis.
Bendrosios trikampio ploto skaičiavimo formulės
Trikampio ploto formulė pagal ilgį ir aukštį
S = a*h/2,
čia a yra trikampio, kurio plotą reikia rasti, kraštinės ilgis, h yra aukščio, nubrėžto iki pagrindo, ilgis.
Garnio formulė
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kur yra √ kvadratinė šaknis, p – trikampio pusperimetras, a,b,c – kiekvienos trikampio kraštinės ilgis. Trikampio pusperimetras gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę p=(a+b+c)/2.
Trikampio ploto formulė pagal atkarpos kampą ir ilgį
S = (a*b*sin(α))/2,
Kur b, c yra trikampio kraštinių ilgis, sin(α) yra kampo tarp dviejų kraštinių sinusas.
Trikampio ploto formulė, atsižvelgiant į įbrėžto apskritimo spindulį ir tris kraštines
S=p*r,
čia p yra trikampio, kurio plotą reikia rasti, pusperimetras, r yra į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys.
Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir aplink jį apibrėžto apskritimo spinduliu
S = (a*b*c)/4*R,
čia a,b,c yra kiekvienos trikampio kraštinės ilgis, R yra apskritimo, apibrėžiamo aplink trikampį, spindulys.
Trikampio ploto formulė naudojant Dekarto taškų koordinates
Dekarto taškų koordinatės yra xOy sistemos koordinatės, kur x yra abscisė, y yra ordinatė. Dekarto sistema koordinatės xOy plokštumoje vadinamos viena kitai statmenomis skaitinės ašys Oho ir Oy su bendra pradžia atskaita taške O. Jei taškų koordinatės šioje plokštumoje pateiktos A(x1, y1), B(x2, y2) ir C(x3, y3) pavidalu, tuomet galite apskaičiuoti trikampio plotą naudojant tokią formulę, kuris gaunamas iš vektorinis produktas du vektoriai.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kur || reiškia modulį.
Kaip rasti stačiojo trikampio plotą
Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra 90 laipsnių. Trikampis gali turėti tik vieną tokį kampą.
Stačiojo trikampio iš dviejų pusių ploto formulė
S = a*b/2,
kur a, b yra kojų ilgis. Kojos yra šonai, besiribojantys su stačiu kampu.
Stačiojo trikampio ploto formulė, pagrįsta hipotenuze ir smailiu kampu
S = a*b*sin(α)/2,
čia a, b yra trikampio kojos, o sin(α) yra kampo, kuriuo susikerta tiesės a, b sinusas.
Stačiojo trikampio ploto formulė, pagrįsta kraštiniu ir priešingu kampu
S = a*b/2*tg(β),
čia a, b yra trikampio kojos, tan(β) yra kampo, kuriuo sujungtos kojos a, b, liestinė.
Kaip apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą
Lygiašonis trikampis yra trikampis, turintis du lygios pusės. Šios pusės vadinamos šonais, o kita pusė yra pagrindas. Norėdami apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, galite naudoti vieną iš šių formulių.
Pagrindinė lygiašonio trikampio ploto skaičiavimo formulė
S=h*c/2,
čia c – trikampio pagrindas, h – trikampio, nuleisto iki pagrindo, aukštis.
Lygiašonio trikampio formulė, pagrįsta kraštine ir pagrindu
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kur c yra trikampio pagrindas, a yra vienos iš lygiašonio trikampio kraštinių dydis.
Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą
Lygiakraštis trikampis yra trikampis, kurio visos kraštinės yra lygios. Norėdami apskaičiuoti lygiakraščio trikampio plotą, galite naudoti šią formulę:
S = (√3*a*a)/4,
čia a yra lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis.
Aukščiau pateiktos formulės leis jums apskaičiuoti reikiamą trikampio plotą. Svarbu atsiminti, kad norint apskaičiuoti trikampių plotą, reikia atsižvelgti į trikampio tipą ir turimus duomenis, kuriuos galima naudoti skaičiuojant.
Kartais gyvenime pasitaiko situacijų, kai tenka gilintis į savo atmintį ieškant seniai pamiršto mokyklos žinios. Pavyzdžiui, reikia nustatyti trikampio sklypo plotą arba atėjo laikas kitai renovacijai bute ar privačiame name ir reikia apskaičiuoti, kiek medžiagos reikės paviršiui su trikampio formos. Buvo laikas, kai tokią problemą galėjote išspręsti per porą minučių, bet dabar desperatiškai bandote prisiminti, kaip nustatyti trikampio plotą?
Nesijaudink dėl to! Juk visai normalu, kai žmogaus smegenys nusprendžia ilgai nenaudotas žinias perkelti kur nors į atokų kampelį, iš kurio kartais ne taip paprasta jas ištraukti. Kad jums nereikėtų ieškoti pamirštų mokyklinių žinių, kad išspręstumėte tokią problemą, šiame straipsnyje pateikiama informacija įvairių metodų, kurios leidžia lengvai rasti reikiamą trikampio plotą.
Gerai žinoma, kad trikampis yra minimaliai apribotas daugiakampio tipas galimas skaičius pusės Iš esmės bet kurį daugiakampį galima padalyti į kelis trikampius, jo viršūnes sujungiant atkarpomis, kurios nesikerta jo kraštinių. Todėl, žinodami trikampį, galite apskaičiuoti beveik bet kurios figūros plotą.
Tarp visų galimų gyvenime pasitaikančių trikampių galima išskirti šiuos konkrečius tipus: ir stačiakampius.
Lengviausias būdas apskaičiuoti trikampio plotą yra tada, kai vienas iš jo kampų yra stačiakampis, tai yra, stačiakampio trikampio atveju. Nesunku pastebėti, kad tai pusė stačiakampio. Todėl jo plotas yra lygus pusei kraštinių, kurie sudaro stačiu kampu vienas su kitu, sandaugos.
Jei žinome trikampio aukštį, nukritusį iš vienos jo viršūnės į priešinga pusė, o šios kraštinės, kuri vadinama pagrindu, ilgis, tada plotas apskaičiuojamas kaip pusė aukščio ir pagrindo sandaugos. Tai parašyta naudojant šią formulę:
S = 1/2*b*h, kuriame
S yra reikalingas trikampio plotas;
b, h - atitinkamai trikampio aukštis ir pagrindas.
Taip lengva apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, nes aukštis bus padalintas į priešingą pusę ir gali būti lengvai išmatuotas. Jei plotas yra nustatytas, tada kaip aukštį patogu paimti vienos iš kraštinių, sudarančių stačią kampą, ilgį.
Visa tai, žinoma, gerai, bet kaip nustatyti, ar vienas iš trikampio kampų yra teisingas, ar ne? Jei mūsų figūros dydis mažas, tuomet galime naudoti konstrukcinį kampą, piešimo trikampį, atviruką ar kitą stačiakampio formos daiktą.
Bet ką daryti, jei turime trikampį žemės sklypas? Tokiu atveju elkitės taip: skaičiuokite nuo tikėtino viršaus stačiu kampu vienoje pusėje atstumas yra 3 kartotinis (30 cm, 90 cm, 3 m), o kitoje pusėje atstumas yra 4 kartotinis (40 cm, 160 cm, 4 m), matuojamas ta pačia proporcija. Dabar reikia išmatuoti atstumą tarp galutiniai taškaišiuos du segmentus. Jei rezultatas yra 5 kartotinis (50 cm, 250 cm, 5 m), tada galime sakyti, kad kampas yra teisingas.
Jei žinomas kiekvienos iš trijų mūsų figūros kraštinių ilgis, tada trikampio plotą galima nustatyti naudojant Herono formulę. Kad ji būtų paprastesnė, naudojama nauja reikšmė, kuri vadinama pusiau perimetru. Tai yra visų mūsų trikampio kraštinių suma, padalinta per pusę. Apskaičiavę pusperimetrą, galite pradėti nustatyti plotą naudodami formulę:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur
sqrt - kvadratinė šaknis;
p - pusiau perimetro reikšmė (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - trikampio briaunos (kraštinės).
Bet kas, jei trikampis turi netaisyklingos formos? Čia yra du galimi būdai. Pirmiausia pabandykite padalyti tokią figūrą į dvi dalis stačiakampis trikampis, kurio plotų suma apskaičiuojama atskirai ir tada pridedama. Arba, jei kampas tarp dviejų kraštinių ir šių kraštinių dydis yra žinomi, taikykite formulę:
S = 0,5 * ab * sinC, kur
a,b - trikampio kraštinės;
c yra kampo tarp šių kraštinių dydis.
Paskutinis atvejis praktikoje tai reta, bet nepaisant to, gyvenime viskas įmanoma, todėl aukščiau pateikta formulė nebus nereikalinga. Sėkmės atliekant skaičiavimus!
