Šiame leidinyje yra dar viena planimetrijos užduotis jums. Tai susiję su užduotimis padidėjęs sudėtingumas(profilio lygis). Tačiau, kaip matysite, sprendimo procesas iš tikrųjų nesukelia jokių ypatingų sunkumų. Tokia užduotis gali būti laikoma dovana egzamine. Taigi pradėkime!

Į taisyklingą trikampį, kurio kraštinė yra „a“, įrašytas apskritimas. Šiame apskritime įbrėžtas taisyklingas trikampis, į kurį įbrėžtas apskritimas ir pan.
a) Įrodykite, kad apskritimų plotai sudaro geometrinę progresiją.
b) Raskite visų apskritimų plotų sumą.

* Nuoroda! Kas yra geometrinė progresija? Tai seka, kurioje kiekvienas kitas narys yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Paprastas pavyzdys: 3, 6, 12, 24, 48…. Ankstesnis sekos narys padauginamas iš 2, kad būtų gautas kitas. Skaičius „2“ vadinamas vardikliu geometrinė progresija.

a) Sukonstruokime taisyklingą trikampį, įbrėžkime apskritimą, įbrėžkime į jį trikampį ir kitą apskritimą (čia ir sustosime):

Pavadinkime apskritimus (nuo didžiausio iki mažiausio) tiesiog „pirmuoju“ ir „antruoju“. Atkreipkite dėmesį, kad pirmojo (didesnio) apskritimo spindulys bus du kartus didesnis už spindulį antra (stačiakampiame trikampyje koja yra priešais 30 laipsnių kampą lygus pusei hipotenuzė).

Kas atsitiks su apskritimų sritimis? Turime:

Tai yra, antrojo apskritimo plotas yra keturis kartus mažiau ploto pirma. Jei toliau nagrinėsime užrašytus apskritimus vienas kito atžvilgiu, gausime tą patį jų plotų santykį (priklausomybę) vienas kito atžvilgiu, tai yra, kiekvieno sekančio apskritimo plotas bus 4 kartus mažesnis už ankstesnis. Parašykime tai išsamiau:

*Bendra geometrinės progresijos formulė yra tokia:

Taigi gavome geometrinę progresiją. Jo vardiklis yra ¼. Įrodyta!

b) Begalinės geometrinės progresijos formulė yra tokia:

Tai reiškia, kad visų apskritimų plotų suma bus lygi:

Dabar išreikškime pirmojo apskritimo spindulį per trikampio kraštinę, lygią "a". Turime (jei kraštinė lygi „a“, tai pusė kraštinės yra 0,5a):

Taigi gauname:

Antras požiūris į sprendimą.

a) Kadangi gretimų apskritimų spinduliai skiriasi du kartus, paaiškėja, kad panašumo koeficientas yra 0,5 (apskritimai visada panašūs). Galime parašyti:

Tai geometrinė progresija.

b) Dabar apskaičiuokime apskritimų plotų sumą. Leiskite

Yra žinoma, kad lygiakraštyje trikampyje įbrėžto apskritimo spindulys yra lygus trečdaliui jo aukščio, tai yra:

Taigi apskritimo plotas bus lygus:

Pradinis lygis

Lygiakraštis trikampis. Iliustruotas vadovas (2019 m.)

Kokios ypatingos savybės būdingos lygiakraštiui trikampiui?

Lygiakraštis trikampis. Savybės.

Natūralu, ar ne? Iš viso trys identiški kampai, tai reiškia kiekvieną.

Kodėl taip yra? Pažiūrėkime lygiakraštis trikampis:

Tai reiškia, kad bet koks lygiakraštio trikampio aukštis taip pat yra pusiausvyra, mediana ir statmenas bisektorius! Lygiakraščiame trikampyje nebuvo specialių linijų, kaip ir bet kuriame įprastame trikampyje, o tik trys!

Taigi dar kartą:

Jau turėtų būti aišku, kodėl taip yra.

Pažiūrėkite į paveikslėlį: taškas yra trikampio centras. Tai reiškia, kad tai yra apibrėžtojo apskritimo spindulys (jį žymime) ir įbrėžto apskritimo spindulys (jį žymime).

Tačiau taškas yra ir medianų susikirtimo taškas! Primename, kad medianos yra padalintos iš susikirtimo taško santykiu, skaičiuojant nuo viršūnės.

Todėl tai yra.

Įsitikinkime tuo.

Lygiakraštis trikampis. Aukštis

Pažiūrėkime – jis stačiakampis.

Lygiakraštis trikampis. Circumradius

Kodėl taip yra?

Jau išsiaiškinome, kad taškas yra ne tik apibrėžtojo apskritimo centras, bet ir medianų susikirtimo taškas. Reiškia,.

Vertę jau radome. Dabar pakeičiame:

Lygiakraštis trikampis. Įrašytas apskritimo spindulys

Tai jau turėtų būti visiškai aišku

Na, visa pagrindinė informacija buvo aptarta. Žinoma, jūs galite užduoti šimtus klausimų apie visokio ilgio visų rūšių lygiakraštį trikampį.

Tačiau pagrindinis dalykas, kurį reikia turėti omenyje sprendžiant lygiakraštio trikampio problemas, yra: yra tai, kad visi jo kampai yra žinomi– yra lygūs ir visi aukščiai yra pusiausvyros, medianos ir statmenos pusiausvyros.

LYGIŠALIS TRIKAMPIS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Lygiakraštis trikampis - trikampis, kurio visos kraštinės lygios: .

Lygiakraščio trikampio visų elementų ilgiai „šulinėliai“ išreiškiami kraštinės ilgiu:

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio galiojimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje - 299 rubliai.
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - 999 rubliai.

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Antruoju atveju mes tau duosime simuliatorius „6000 problemų su sprendimais ir atsakymais kiekvienai temai, visuose sudėtingumo lygiuose“. Tikrai pakaks į rankas paimti bet kokios temos problemas.

Tiesą sakant, tai yra daug daugiau nei tik treniruoklis – visa mokymo programa. Jei reikia, galite naudotis ir NEMOKAMAI.

Prieiga prie visų tekstų ir programų suteikiama VISĄ svetainės gyvavimo laikotarpį.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Vaizdo įrašų kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visi būtina teorija. Greiti būdai sprendimus, spąstus ir vieningo valstybinio egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodinės problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sudėtingos užduotys Vieningo valstybinio egzamino 2 dalys.

Instrukcijos

Jei turite galimybę statydami naudoti transporterį, pradėkite nuo pasirinkimo savavališkas taškas ant apskritimo, kuris turėtų tapti viena iš teisingo viršūnių. Pažymėkite jį, pavyzdžiui, raide A.

Nubrėžkite pagalbinę atkarpą, jungiančią A su apskritimo centru. Prie šios atkarpos pritvirtinkite transporterį, kad nulinis padalinys sutaptų su apskritimo centru, ir padėkite pagalbinį tašką ties 120° žyma. Per šį tašką nubrėžkite kitą pagalbinį segmentą, kurio pradžia yra apskritimo centre sankryžoje su perimetras. Susikirtimo tašką pažymėkite raide B – tai antroji įrašytojo viršūnė trikampis.

Pakartokite ankstesnį veiksmą, bet taikykite transporterį antrajam pagalbiniam segmentui ir susikirtimo tašką su perimetras pažymėkite jį raide C. Jums nebereikės transporterio.

Jei nėra transporterio, bet yra kompasas ir , tada pradėkite apskaičiuodami kraštinės ilgį trikampis. Tikriausiai žinote, kad jį galima išreikšti apibrėžto apskritimo spinduliu, padauginus jį iš trigubų iki kvadratinė šaknis iš trijų, tai yra, maždaug 1,732050807568877. Suapvalinkite tai iki pageidaujamo tikslumo ir padauginkite iš apskritimo spindulio.

Atidėkite šono ilgį, rastą penktame kompaso žingsnyje. trikampis ir pagalbinis apskritimas, kurio centras yra taške A. Dviejų apskritimų susikirtimo taškus pažymėkite raidėmis B ir C – tai kitos dvi į apskritimą įrašyto taisyklingo apskritimo viršūnės trikampis.

Sujunkite taškus A ir B, B ir C, C ir A ir statybos bus baigtos.

Jei apskritimas liečia visas tris puses duotas trikampis, o jo centras yra trikampio viduje, tada jis vadinamas įrašytu į trikampį.

Jums reikės

• liniuotė, kompasas

Instrukcijos

Lankų susikirtimo taškas išilgai liniuotės sujungtas su dalijamojo kampo viršūne;

Tas pats daroma su bet kokiu kitu kampu;

Šaltiniai:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Teisingai trikampis- toks, kurio visos pusės yra vienodo ilgio. Remiantis šiuo apibrėžimu, tokios veislės statyba trikampis bet tai nėra sudėtinga užduotis.

Jums reikės

• Liniuotė, linijinio popieriaus lapas, pieštukas

Instrukcijos

Atkreipkite dėmesį

Taisyklingo (lygiakraščio) trikampio visi kampai lygūs 60 laipsnių.

Naudingi patarimai

Lygiakraštis trikampis taip pat yra lygiakraštis trikampis. Jei trikampis yra lygiašonis, tai reiškia, kad 2 iš 3 jo kraštinių yra lygios, o trečioji kraštinė laikoma pagrindu. Bet kuris taisyklingas trikampis yra lygiašonis, o atvirkščiai – netiesa.

4 patarimas: kaip rasti apskritime įbrėžto trikampio plotą

Trikampio plotas gali būti apskaičiuojamas keliais būdais, priklausomai nuo to, kokia vertė yra žinoma iš probleminių sąlygų. Atsižvelgiant į trikampio pagrindą ir aukštį, plotą galima rasti apskaičiuojant pusės pagrindo ir aukščio sandaugą. Antruoju metodu plotas apskaičiuojamas per trikampio apskritimą.

Instrukcijos

Planimetrijos uždaviniuose turite rasti daugiakampio plotą, įbrėžtą apskritime arba apibrėžtą aplink jį. Daugiakampis laikomas apibrėžtu aplink apskritimą, jei jis yra išorėje ir jo kraštinės liečiasi su apskritimu. Daugiakampis, esantis apskritimo viduje, laikomas įrašytu į jį, jei jo apskritimai yra ant jo. Jei užduotis pateikta , kuri yra įrašyta, visos trys jos viršūnės liečia apskritimą. Atsižvelgiant į tai, koks trikampis svarstomas, pasirenkamas užduoties metodas.

Paprasčiausias atvejis, kai įbrėžiamas taisyklingas trikampis. Kadangi toks trikampis turi viską, apskritimo spindulys lygus pusei jo aukščio. Todėl galite rasti trikampio plotą. Apskaičiuokite šį plotą šiuo atveju galima atlikti bet kuriuo iš šių būdų, pavyzdžiui:
R = abc/4S, kur S yra trikampio plotas, a, b, c yra trikampio kraštinės

Kita situacija susidaro, kai trikampis yra lygiašonis. Jei trikampio pagrindas sutampa su apskritimo skersmens linija arba skersmuo taip pat yra trikampio aukštis, plotą galima apskaičiuoti taip:
S=1/2h*AC, kur AC yra trikampio pagrindas
Jei žinomas apskritimo spindulys, jo kampus, taip pat pagrindą, sutampančią su apskritimo skersmeniu, galima rasti naudojant Pitagoro teoremą nežinomo aukščio. Trikampio, kurio pagrindas sutampa su apskritimo skersmeniu, plotas yra:
S=R*h
Kitu atveju, kai aukštis lygus aplink apibrėžiamo apskritimo skersmeniui lygiašonis trikampis, jo plotas lygus:
S=R*AC

Daugelyje uždavinių yra įrašytas apskritimas stačiakampis trikampis. Šiuo atveju apskritimo centras yra hipotenuzės viduryje. Žinodami trikampio kampus ir pagrindą, galite apskaičiuoti plotą naudodami bet kurį iš aukščiau aprašytų metodų.
Kitais atvejais, ypač kai trikampis yra smailus arba bukas, taikoma tik pirmoji iš aukščiau pateiktų formulių.

Užduotis – įsilieti į ratas daugiakampis dažnai gali suklaidinti suaugusįjį. Moksleivė turi paaiškinti savo sprendimą, todėl tėvai eina naršyti pasaulinis žiniatinklis ieškant sprendimo.

Instrukcijos

Lygiosios ratas. Uždėkite kompaso adatą apskritimo šone, bet nekeiskite spindulio. Nubrėžkite du susikertančius lankus ratas, sukant kompasą į dešinę ir į kairę.

Perkelkite kompaso adatą išilgai apskritimo iki taško, kur lankas ją kerta. Dar kartą pasukite kompasą ir nubrėžkite dar du lankus, kirsdami apskritimo kontūrą. Kartokite šią procedūrą, kol ji susikirs su pirmuoju tašku.

Lygiosios ratas. Nubrėžkite skersmenį per jo centrą, linija turi būti horizontali. Sukurkite statmeną per apskritimo centrą, gausite vertikali linija(pvz., SV).

Padalinkite spindulį per pusę. Pažymėkite šį tašką skersmens linijoje (žymėkite A). Sukurti ratas kurių centras yra taške A ir spindulys AC. Kai kertama su horizontali linija gausite dar vieną tašką (pavyzdžiui, D). Dėl to segmento CD bus ta penkiakampio pusė, kurią reikia įrašyti.

Išilgai apskritimo kontūro nutieskite puslankius, kurių spindulys lygus CD. Taigi, originalas ratas bus padalintas į penkias lygias dalis. Sujunkite taškus su liniuote. Penkiakampio įrašymo problema ratas taip pat baigtas.

Toliau aprašoma priderinant į ratas kvadratas. Nubrėžkite skersmens liniją. Paimkite transporterį. Padėkite jį toje vietoje, kur skersmuo kerta apskritimo kraštą. Atidarykite kompasą iki spindulio ilgio.

Nubrėžkite du lankus, kol jie susikerta su ratas yu, pasukant kompasą viena ar kita kryptimi. Perkelkite kompaso koją į priešingą tašką ir tuo pačiu sprendimu nubrėžkite dar du lankus. Sujunkite gautus taškus.

Skersmens kvadratas, padalinkite iš dviejų ir paimkite šaknį. Dėl to gausite kvadrato kraštinę, kuri lengvai tilps ratas. Atidarykite kompasą iki tokio ilgio. Uždėkite jo adatą ratas ir nubrėžkite lanką, kertantį vieną apskritimo kraštą. Perkelkite kompaso koją į gautą tašką. Dar kartą nubrėžkite lanką.

Pakartokite procedūrą ir nubrėžkite dar du taškus. Sujunkite visus keturis taškus. Tai paprastesnis būdas sutalpinti kvadratą ratas.

Apsvarstykite užduotį įsitvirtinti ratas. Lygiosios ratas. Savavališkai paimkite tašką apskritime - tai bus trikampio viršūnė. Nuo šio taško, išlaikydami kompasą, nubrėžkite lanką, kol jis susikerta su ratas Yu. Tai bus antrasis pikas. Panašiai sukonstruokite iš jos trečiąją viršūnę. Sujunkite taškus su liniuote. Sprendimas rastas.

Video tema

Būdamas viena iš neatskiriamų dalių mokyklos mokymo programa, geometrinės problemos statyti taisyklingieji daugiakampiai yra gana trivialūs. Paprastai statyba atliekama įbrėžiant daugiakampį ratas, kuris nupieštas pirmas. Bet kas jeigu ratas pateikta, bet figūra labai sudėtinga?

Jums reikės

• - liniuotė;
• - kompasas;
• - pieštukas;
• - popieriaus lapas.

Instrukcijos

Sukurkite tiesės atkarpą, statmeną AB ir padalydami ją į dvi lygias dalis susikirtimo taške. Įdėkite kompaso adatą į tašką A. Padėkite koją su laidu į tašką B arba į bet kurį atkarpos tašką, kuris yra arčiau B nei A. Nubrėžkite ratas. Nekeisdami kompaso kojelių kampo, nustatykite jo adatą į tašką B. Nubrėžkite kitą ratas.Nubraižyti apskritimai susikirs į dvi dalis. Per juos nubrėžkite tiesią liniją. Pažymėkite susikirtimo tašką šio segmento su atkarpa AB kaip C. Pažymėkite šios atkarpos susikirtimo taškus su originalu ratas tau patinka D ir E.

Sukurkite tiesės atkarpą DE, padalindami ją per pusę. Su segmentu DE atlikite veiksmus, panašius į aprašytus ankstesniame žingsnyje. Tegul nubrėžta atkarpa susikerta DE taške O. Šis taškas bus apskritimo centras. Taip pat pažymėkite pastatyto statmens susikirtimo taškus su pradiniu ratas tau patinka F ir G.

Nustatykite kompaso kojelių angą taip, kad atstumas tarp jų galų būtų pradinio apskritimo spindulys. Norėdami tai padaryti, įdėkite kompaso adatą į vieną iš taškų A, B, D, E, F arba G. Padėkite kojos galą su laidu į tašką O.

Sukurkite taisyklingą šešiakampį. Uždėkite kompaso adatą bet kuriame apskritimo linijos taške. Pažymėkite šį tašką H. Pagal laikrodžio rodyklę kompasu padarykite lankinę įpjovą, kad ji kirstų apskritimo liniją. Pažymėkite šį tašką I. Perkelkite kompaso adatą į tašką I. Dar kartą padarykite įpjovą apskritime ir pažymėkite gautą tašką J. Panašiai sukonstruokite taškus K, L, M. Nuosekliai sujunkite taškus H, I, J, K, L, M, H poromis .Gauta