Paveiksle pateiktas išvestinės 4 8. Vieningas valstybinis matematikos egzaminas (profilis) grafikas

B9 uždavinys pateikia funkcijos arba išvestinės grafiką, iš kurio reikia nustatyti vieną iš šių dydžių:

Išvestinės vertė tam tikru tašku x 0,
Maksimalus arba minimalus balas (ekstremalūs taškai),
Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalai (monotoniškumo intervalai).

Šioje užduotyje pateikiamos funkcijos ir išvestiniai visada yra tęstiniai, todėl sprendimas yra daug lengvesnis. Nepaisant to, kad užduotis priklauso skyriui matematinė analizė, tai visiškai nepajėgia net patys silpniausi mokiniai, nes nėra gilių teorinių žiniųčia nereikalingas.

Norint rasti išvestinės vertės, ekstremumo taškų ir monotoniškumo intervalų reikšmę, yra paprasti ir universalūs algoritmai – visi jie bus aptarti toliau.

Atidžiai perskaitykite problemos B9 sąlygas, kad nepadarytumėte kvailų klaidų: kartais tenka susidurti su gana ilgais tekstais, bet svarbias sąlygas, kurios turi įtakos sprendimo eigai, yra nedaug.

Išvestinės vertės apskaičiavimas. Dviejų taškų metodas

Jei uždaviniui pateikiamas funkcijos f(x), liestinės šiam grafui tam tikrame taške x 0 grafikas ir reikia rasti išvestinės reikšmę šiame taške, taikomas toks algoritmas:

Lietinės grafike raskite du „adekvačius“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikosios. Pažymėkime šiuos taškus A (x 1 ; y 1) ir B (x 2 ; y 2). Teisingai užsirašykite koordinates – tai yra pagrindinis taškas sprendimus, o bet kokia klaida čia lemia neteisingą atsakymą.
Žinant koordinates, nesunku apskaičiuoti argumento Δx = x 2 − x 1 ir funkcijos Δy = y 2 − y 1 prieaugį.
Galiausiai randame išvestinės D = Δy/Δx reikšmę. Kitaip tariant, reikia padalyti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio – ir tai bus atsakymas.

Dar kartą pastebėkime: taškų A ir B reikia ieškoti būtent liestinėje, o ne funkcijos f(x) grafike, kaip dažnai nutinka. Tangentinėje linijoje būtinai bus bent du tokie taškai – kitaip problema nebus suformuluota teisingai.

Apsvarstykite taškus A (-3; 2) ir B (-1; 6) ir raskite prieaugius:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Raskime išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Dabar randame išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x 0 .

Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite žingsnius:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Belieka rasti išvestinės reikšmę: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iš paskutinis pavyzdys galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė lygiagreti OX ašiai, tai funkcijos išvestinė liesties taške lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į grafiką.

Maksimalių ir minimalių taškų skaičiavimas

Kartais vietoj funkcijos grafiko uždavinys B9 pateikia išvestinės grafiką ir reikalauja surasti funkcijos maksimalų arba mažiausią tašką. Šioje situacijoje dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra kitas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminologiją:

Taškas x 0 vadinamas maksimaliu funkcijos f(x) tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≥ f(x).
Taškas x 0 vadinamas funkcijos f(x) minimaliu tašku, jei kurioje nors šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f(x 0) ≤ f(x).

Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią taškus išvestinėje grafike, tiesiog atlikite šiuos veiksmus:

Perbraižykite išvestinį grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Kaip rodo praktika, nereikalingi duomenys tik trukdo priimti sprendimą. Todėl atkreipiame dėmesį koordinačių ašis išvestinės nuliai – viskas.
Sužinokite išvestinės ženklus intervaluose tarp nulių. Jei kokiam nors taškui x 0 žinoma, kad f'(x 0) ≠ 0, tai galimi tik du variantai: f'(x 0) ≥ 0 arba f'(x 0) ≤ 0. Išvestinės ženklas yra nesunku nustatyti iš pirminio brėžinio: jei išvestinis grafikas yra virš OX ašies, tai f'(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei išvestinis grafikas yra žemiau OX ašies, tada f'(x) ≤ 0.
Vėlgi patikriname išvestinės nulius ir ženklus. Kai ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tai yra maksimalus taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.

Ši schema veikia tik nuolatinėms funkcijoms – problemų B9 nėra.

Užduotis. Paveiksle parodytas intervale [−5; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 5]. Raskite funkcijos f(x) mažiausią tašką šioje atkarpoje.

Atsikratykime nereikalingos informacijos ir palikime tik ribas [−5; 5] ir išvestinės x = −3 ir x = 2,5 nuliai. Taip pat atkreipiame dėmesį į ženklus:

Akivaizdu, kad taške x = −3 išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f(x) tašką šioje atkarpoje.

Perbraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir išvestinės x = −1,7 nuliai ir x = 5. Gautame grafike pažymėkime išvestinės požymius. Turime:

Akivaizdu, kad taške x = 5 išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą – tai didžiausias taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas intervale [−6; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 4]. Raskite atkarpai [−4 priklausančios funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių; 3].

Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad užtenka nagrinėti tik atkarpa ribojamą grafo dalį [−4; 3]. Štai kodėl mes statome naujas tvarkaraštis, ant kurių žymime tik ribas [−4; 3] ir jo viduje esančios išvestinės nuliai. Būtent taškai x = −3,5 ir x = 2. Gauname:

Šiame grafike yra tik vienas maksimalus taškas x = 2. Būtent šioje vietoje išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą.

Maža pastaba apie taškus, kurių koordinatės nėra sveikos. Pavyzdžiui, in paskutinė užduotis buvo svarstomas taškas x = −3,5, bet su tokia pat sėkme galime imti x = −3,4. Jei problema surašyta teisingai, tokie pakeitimai neturėtų turėti įtakos atsakymui, nes taškai „be fiksuotos gyvenamosios vietos“ nepriimami tiesioginis dalyvavimas sprendžiant problemą. Žinoma, šis triukas neveiks su sveikaisiais taškais.

Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų radimas

Esant tokiai problemai, kaip ir maksimalus bei minimalus taškai, išvestiniu grafiku siūloma rasti sritis, kuriose pati funkcija didėja arba mažėja. Pirmiausia apibrėžkime, kas yra didėjantis ir mažėjantis:

Laikoma, kad funkcija f(x) atkarpoje didėja, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Kitaip tariant, kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė funkcijos reikšmė.
Funkcija f(x) vadinama mažėjančia atkarpoje, jei bet kuriems dviem taškams x 1 ir x 2 iš šios atkarpos yra teisingas toks teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. didesnę vertę argumentų atitikmenys mažesnė vertė funkcijas.

Suformuluokime pakankamas sąlygas didėti ir mažėti:

Tam, kad nuolatinė funkcija f(x) padidėjo atkarpoje , pakanka, kad jo išvestinė segmento viduje būtų teigiama, t.y. f’(x) ≥ 0.
Kad atkarpoje tolydi funkcija f(x) sumažėtų, pakanka, kad jos išvestinė atkarpos viduje būtų neigiama, t.y. f’(x) ≤ 0.

Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi gauname didėjimo ir mažėjimo intervalų nustatymo schemą, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:

Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pradiniame išvestinės grafike mus pirmiausia domina funkcijos nuliai, todėl paliksime tik juos.
Pažymėkite išvestinės ženklus intervalais tarp nulių. Kur f’(x) ≥ 0, funkcija didėja, o kur f’(x) ≤ 0, ji mažėja. Jei problema nustato apribojimus kintamajam x, juos papildomai pažymime naujame grafike.
Dabar, kai žinome funkcijos elgseną ir apribojimus, belieka apskaičiuoti užduotyje reikalingą kiekį.

Užduotis. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale [−3; 7.5]. Raskite funkcijos f(x) mažėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Kaip įprasta, perbraižykime grafiką ir pažymėkime ribas [−3; 7.5], taip pat išvestinės x = −1,5 ir x = 5,3 nuliai. Tada pažymime išvestinės požymius. Turime:

Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (− 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka susumuoti visus sveikuosius skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas intervale [−10; apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas; 4]. Raskite funkcijos f(x) didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikime tik ribas [−10; 4] ir išvestinės nuliai, kurių šį kartą buvo keturi: x = −8, x = −6, x = −3 ir x = 2. Pažymėkime išvestinės ženklus ir gausime tokį paveikslėlį:

Mus domina didėjančios funkcijos intervalai, t.y. toks kur f’(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgį:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, kaip atsakymą užrašome reikšmę l 2 = 5.

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b, atsižvelgiant į tai, kad liestinės taško abscisė.

mažiau nei nulis

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, tai yra, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas vienu metu priklauso abiem funkcija ir liestinė, tai yra -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 Gauname lygčių sistemą \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1.

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Būklė

mažiau nei nulis

Rodyti sprendimą

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių. Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus kreivinės trapecijos plotui, apribotas pagal tvarkaraštį funkcijos y=f(x), tiesės y=0, x=9 ir x=5. Pagal grafiką nustatome, kad nurodyta

lenkta trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3.

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Jo plotas lygus \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m.

Atsakymas

Profilio lygis

mažiau nei nulis

Rodyti sprendimą

“ Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Paveikslėlyje parodytas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-4; 10). Raskite mažėjančios funkcijos f(x) intervalus. Jūsų atsakyme, nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Kaip žinoma, funkcija f(x) mažėja tuose intervaluose, kurių kiekviename taške išvestinė f"(x) yra mažesnė už nulį. Atsižvelgiant į tai, kad reikia rasti didžiausio iš jų ilgį, yra trys tokie intervalai. natūraliai skiriasi nuo figūros: (-4; -2) (0; 3; 9);

Atsakymas

Didžiausio iš jų ilgis (5; 9) yra 4. Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova. [-6; -2].

mažiau nei nulis

Rodyti sprendimą

Paveiksle pavaizduotas y=f"(x) grafikas - funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 7). Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių,

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

priklausantis intervalui

mažiau nei nulis

Rodyti sprendimą

Išvestinės lygybė taške su nuliu reiškia, kad šiame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Todėl randame taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

mažiau nei nulis

Rodyti sprendimą

Šioje diagramoje tokie taškai yra ekstremalūs taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 5 ekstremalūs taškai. Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei. Raskite liestinės taško abscisę.

Tiesės nuolydis į funkcijos y=-x^2+5x-7 in grafiką

Pagal abscisių sąlygą liestinės taškai yra mažesni už nulį, taigi x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

savavališkas taškas

x_0 yra lygus y"(x_0). Bet y"=-2x+5, o tai reiškia y"(x_0)=-2x_0+5. Sąlygoje nurodytas tiesės y=-3x+4 nuolydis lygus -3 Lygiagrečios tiesės turi tuos pačius kampinius koeficientus.Gauname: x_0 = 4. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas, o abscisėje pažymėti taškai -6, -1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą. Sveiki! Išlaikykime artėjantį Vieningą valstybinį egzaminą kokybišku sistemingu pasiruošimu ir užsispyrimu šlifuodami mokslo granitą!!! IN

Įrašo pabaigoje yra konkurso užduotis, būk pirmas! Viename iš šios dalies straipsnių jūs ir aš, kuriame buvo pateiktas funkcijos grafikas, ir mes įtraukėme įvairių klausimų:

susiję su kraštutinumais, padidėjimo (sumažėjimo) intervalais ir kt.
Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, įtrauktas į vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kuriame pateikiamas funkcijos išvestinės grafikas ir
šiuos klausimus
1. Kuriame duotosios atkarpos taške funkcija įgyja didžiausią (arba mažiausią) reikšmę.
2. Raskite didžiausių (arba mažiausių) funkcijos taškų, priklausančių duotam atkarpai, skaičių.
3. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo taškų skaičių.
4. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo tašką.
5. Raskite didėjančios (arba mažėjančios) funkcijos intervalus ir atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų sveikųjų skaičių sumą.

6. Raskite funkcijos didėjimo (arba mažėjimo) intervalus. Savo atsakyme nurodykite didžiausio iš šių intervalų ilgį.

7. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su y = kx + b formos tiese, skaičių.

1. Išvestinė didėjančiais intervalais turi teigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiama vertė, tada funkcijos grafikas didėja šiame intervale.

2. Mažėjančiais intervalais išvestinė turi neigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiama vertė, tada funkcijos grafikas šiame intervale mažėja.

3. Išvestinė taške x lygi funkcijos grafiko tame pačiame taške nubrėžtos liestinės nuolydžiui.

4. Funkcijos ekstremumo (maksimalaus-minimalumo) taškuose išvestinė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti x ašiai.

Tai reikia aiškiai suprasti ir atsiminti!!!

Išvestinis grafikas „supainioja“ daugybę žmonių. Kai kurie žmonės netyčia jį supainioja su pačios funkcijos grafiku. Todėl tokiuose pastatuose, kur matote, kad pateiktas grafikas, iš karto sutelkite dėmesį į tai, kas duota: funkcijos grafiką ar funkcijos išvestinės grafiką?

Jei tai funkcijos išvestinės grafikas, traktuokite jį kaip pačios funkcijos „atspindį“, kuris tiesiog suteikia informacijos apie tą funkciją.

Apsvarstykite užduotį:

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–2;21).

Atsakysime į šiuos klausimus:

1. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X) priima didžiausia vertė.

Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale mažėja (ji mažėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, ty 7 taške.

Atsakymas: 7

2. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X)

Autorius šį tvarkaraštį išvestinę galime pasakyti taip. Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra teigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale didėja (ji didėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi, mažiausia vertė funkcija pasiekiama kairiojoje atkarpos riboje, ty taške x = 3.

Atsakymas: 3

3. Raskite funkcijos didžiausių taškų skaičių f(X)

Didžiausi taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Pasvarstykime, kur taip pasikeičia ženklas.

Segmente (3;6) išvestinė yra teigiama, segmente (6;16) – neigiama.

Segmente (16;18) išvestinė yra teigiama, segmente (18;20) – neigiama.

Taigi tam tikroje atkarpoje funkcija turi du didžiausius taškus x = 6 ir x = 18.

Atsakymas: 2

4. Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš neigiamo į teigiamą. Mūsų išvestinė yra neigiama intervale (0;3), o teigiama intervale (3;4).

Taigi atkarpoje funkcija turi tik vieną minimalų tašką x = 3.

*Būkite atsargūs rašydami atsakymą – įrašomas taškų skaičius, o ne x reikšmė tokia klaida gali būti padaryta dėl neatidumo;

Atsakymas: 1

5. Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Atkreipkite dėmesį, ką reikia rasti kiekis ekstremalūs taškai (tai yra ir didžiausi, ir mažiausi taškai).

Ekstremalūs taškai atitinka taškus, kuriuose keičiasi išvestinės vertės ženklas (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Sąlygoje pateiktoje diagramoje tai yra funkcijos nuliai. Išvestinė dingsta 3, 6, 16, 18 taškuose.

Taigi funkcija atkarpoje turi 4 kraštutinius taškus.

Atsakymas: 4

6. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Šios funkcijos didinimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose jo išvestinė yra teigiama, tai yra intervalus (3;6) ir (16;18). Atkreipkite dėmesį, kad intervalo ribos į jį neįtrauktos ( skliausteliuose– kraštinės neįtraukiamos į intervalą, įtraukiamos kvadratinės). Šiuose intervaluose yra sveikųjų skaičių taškai 4, 5, 17. Jų suma yra: 4 + 5 + 17 = 26

Atsakymas: 26

7. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X) tam tikru intervalu. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Šioje užduotyje tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18:21).

Šiuos intervalus sudaro šie sveikieji taškai: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jų suma yra tokia:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Atsakymas: 140

*Atkreipkite dėmesį į sąlygą: ar ribos įtraukiamos į intervalą, ar ne. Jei ribos įtraukiamos, tai intervaluose, kurie atsižvelgiama į sprendimo procesą, taip pat reikia atsižvelgti į šias ribas.

8. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Funkcijų didėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama. Juos jau nurodėme: (3;6) ir (16:18). Didžiausias iš jų – intervalas (3;6), jo ilgis – 3.

Atsakymas: 3

9. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Mes juos jau nurodėme, tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18;21), jų ilgiai yra atitinkamai 5, 10, 3.

Didžiausio ilgis 10.

Atsakymas: 10

10. Raskite taškų, kuriuose yra funkcijos grafiko liestinė, skaičių f(X) lygiagreti arba sutampa su tiese y = 2x + 3.

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė lygiagreti tiesei y = 2x + 3 arba su ja sutampa, jų kampiniai koeficientai lygūs 2. Tai reiškia, kad reikia rasti taškų, kuriuose y′(x 0) = 2, skaičių. Geometriškai tai atitinka išvestinės grafiko susikirtimo taškų skaičių su tiese y = 2. Šiame intervale yra 4 tokie taškai.

Atsakymas: 4

11. Raskite funkcijos ekstremumo tašką f(X), priklausantis segmentui.

Funkcijos ekstremumo taškas yra taškas, kuriame jos išvestinė yra lygi nuliui, o šalia šio taško išvestinė keičia ženklą (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Atkarpoje išvestinis grafikas kerta x ašį, išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą. Todėl taškas x = 3 yra ekstremumo taškas.

Atsakymas: 3

12. Raskite taškų, kuriuose grafiko y = f (x) liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai arba su ja sutampa, abscises. Atsakyme nurodykite didžiausią iš jų.

Grafo liestinė y = f (x) gali būti lygiagreti x ašiai arba su ja sutapti tik taškuose, kur išvestinė lygi nuliui (tai gali būti ekstremalūs taškai arba stacionarūs taškai, kurio greta vedinys savo ženklo nekeičia). Šis grafikas rodo, kad taškuose 3, 6, 16, 18 išvestinė yra lygi nuliui. Didžiausias yra 18.

Savo samprotavimus galite struktūrizuoti taip:

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė yra lygiagreti arba sutampa su x ašimi, jos nuolydis yra lygus 0 (iš tikrųjų kampo liestinė yra nulis laipsnių lygus nuliui). Todėl ieškome taško, kuriame nuolydis lygus nuliui, todėl išvestinė lygi nuliui. Taške, kuriame jos grafikas kerta x ašį, išvestinė lygi nuliui, o tai yra taškai 3, 6, 16, 18.

Atsakymas: 18

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–8;4). Kuriame atkarpos [–7;–3] taške yra funkcija f(X) užima mažiausią vertę.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;14). Raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–6;9].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–18;6). Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–13;1].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11; –11). Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–10; –10].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;4). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–5;7). Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11;3). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

F Paveikslėlyje parodytas grafikas

Problemos sąlygos yra tos pačios (ką mes svarstėme). Raskite trijų skaičių sumą:

1. Funkcijos f (x) ekstremalių kvadratų suma.

2. Funkcijos f (x) didžiausių taškų sumos ir mažiausių taškų sumos kvadratų skirtumas.

3. F (x) lygiagrečių tiesei y = –3x + 5 liestinių skaičius.

Pirmasis teisingai atsakęs gaus 150 rublių skatinamąjį prizą. Savo atsakymus rašykite komentaruose. Jei tai pirmas jūsų komentaras tinklaraštyje, jis pasirodys ne iš karto, o šiek tiek vėliau (nesijaudinkite, komentaro parašymo laikas įrašomas).

Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitsikas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

B8. Vieningas valstybinis egzaminas

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške, kurio abscisė x0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: 2

Atsakymas: -5

Ant intervalo (–9;4).

Atsakymas: 2

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0 Atsakymas: 0,5

5. Raskite tiesės y = 3x + 8 liestinės tašką ir funkcijos y = x3+x2-5x-4 grafiką. Atsakyme nurodykite šio taško abscisę. Atsakymas: -2

Nustatykite argumento, kurio funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama, sveikųjų skaičių skaičių. Atsakymas: 4

Atsakymas: 2

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=5–x arba su ja sutampa, skaičių. Atsakymas: 3

Intervalas (-8; 3).

Tiesi linija y = -20. Atsakymas: 2

10.

Atsakymas: -0,5

Atsakymas: 1

12. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: 0,5

13. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: -0,25

14.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = x+7, skaičių. Atsakymas: 4

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: -2

16.

intervalas (-14;9).

Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-12;7]. Atsakymas: 3

intervale (-10;8).

Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje [-9;7]. Atsakymas: 4

18. Tiesė y = 5x-7 paliečia funkcijos y = 6x2 + bx-1 grafiką taške, kurio abscisė mažesnė už 0. Raskite b. Atsakymas: 17

Atsakymas:-0,25

Atsakymas: 6

21. Raskite funkcijos y=x2+6x-7 grafiko liestinę, lygiagrečią tiesei y=5x+11. Atsakyme nurodykite lietimo taško abscises. Atsakymas: -0,5

22.

Atsakymas: 4

23. f "(x) intervale (-16; 4).

Atkarpoje [-11;0] raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių. Atsakymas: 1

B8 Funkcijų grafikai, funkcijų išvestinės. Funkcijų tyrimas . Vieningas valstybinis egzaminas

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške, kurio abscisė x0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

2. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-6; 5) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Kuriame atkarpos taške [-5; -1] f(x) turi mažiausią reikšmę?

3. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x), apibrėžtos išvestinės grafikas

Ant intervalo (–9;4).

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei, skaičių

y = 2x-17 arba sutampa su juo.

4. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0

5. Raskite tiesės y = 3x + 8 liestinės tašką ir funkcijos y = x3+x2-5x-4 grafiką. Atsakyme nurodykite šio taško abscisę.

6. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x), apibrėžtos intervale (-7; 5), grafikas.

Nustatykite argumento, kurio funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama, sveikųjų skaičių skaičių.

7. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f "(x), apibrėžtos intervale (-8; 8), grafikas.

Raskite funkcijos f(x), priklausančių atkarpai [-4, ekstremumo taškų skaičių; 6].

8. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f "(x), apibrėžtos intervale (-8; 4), grafikas.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=5–x arba su ja sutampa, skaičių.

9. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas

Intervalas (-8; 3).

Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti, skaičių

Tiesi linija y = -20.

10. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

11 . Paveiksle pavaizduotas intervale (-9;9) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Raskite funkcijos $f(x)$ minimalių taškų skaičių atkarpoje [-6;8]. 1

12. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

13. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

14. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-6;8) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = x+7, skaičių.

15 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

16. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas on

intervalas (-14;9).

Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-12;7].

17 . Paveikslėlyje pavaizduotas apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas

intervale (-10;8).

Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje [-9;7].

18. Tiesė y = 5x-7 paliečia funkcijos y = 6x2 + bx-1 grafiką taške, kurio abscisė mažesnė už 0. Raskite b.

19 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos f(x) išvestinės ir jos liestinės taške su abscise x0 grafikas.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

20 . Raskite intervalo (-1;12) taškų skaičių, kuriame grafike parodytos funkcijos y = f(x) išvestinė yra lygi 0.

21. Raskite funkcijos y=x2+6x-7 grafiko liestinę, lygiagrečią tiesei y=5x+11. Atsakyme nurodykite lietimo taško abscises.

22. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas. Raskite sveikųjų skaičių intervale (-2;11), kuriame funkcijos f(x) išvestinė yra teigiama.

23. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y= grafikas f "(x) intervale (-16; 4).

Atkarpoje [-11;0] raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių.