Trumpai: suberdvių suma vadinama tiesiogine suma, jei bet kurio sumos vektoriaus išskaidymas poerdvėse yra unikalus.

Tiesioginė poerdvių suma nėra kokia nors nauja poerdvių operacija. Tai tiesiog tam tikra anksčiau įvestos suberdvių sumos savybė.

Jei poerdvių suma yra tiesioginė, tai šių poerdvių sankirta susideda iš vieno – nulio – vektoriaus.

Tiesioginės poerdžių sumos kriterijus

Baigtinių matmenų poerdvėms linijinė erdvė šiuos teiginius yra lygiaverčiai:

1) Poerdvių suma yra tiesioginė

2) Poerdvės bazių aibė yra tiesiškai nepriklausoma

3) Poerdvių bazių rinkinys sudaro suberdvių sumos pagrindą https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Yra vektorius iš sumos, kuriai plėtimasis poerdvėse yra unikalus.

6) Savavališka sistema nuliniai vektoriai, paimti po vieną iš kiekvienos tiesinės poerdvės, tiesiškai nepriklausomi

7) Linijinių poerdvių sankirta yra tik nulinis vektorius: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> vadinamas papildomu potarpis į L, jei akivaizdu, kad L yra papildomas poerdis.

Vaizdžiai tariant, papildoma poerdvė tarsi „papildo“ poerdvę, kad užbaigtų erdvę.

Teorema apie papildomos poerdvės egzistavimą

Bet kuriai tiesinės erdvės poerdve https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> yra tam tikras erdvės V vektorius. Aibė H. , sudarytas iš visų formos vektorių, kur https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Vadovas poerdve

Poerdvė L tiesinio kolektoriaus apibrėžime vadinama tiesinio kolektoriaus H nukreipiančia poerdve.

Faktorinė erdvė

Tegul V yra tiesinė erdvė virš lauko P, L jos poerdvė. Tiesinės erdvės V koeficiento erdvė po erdvės L (žymima V/L) yra aibė, susidedanti iš lygiavertiškumo klasių H. Šios klasės atitinka visus tiesinius kolektorius, gautus iš poerdvės L: .

Taisyklė apibrėžia išorinė teisė sudėtis pagal V/L (elemento H dauginimas iš V/L iš skaičiaus (arba pagrindinio lauko elemento P) α, taisyklė - vidaus teisė kompozicija (dviejų elementų - H1 ir H2 - pridėjimas iš V/L).

2.4. Vienalytės SLAE sprendinių poerdvė

Poerdvės, apibrėžtos vienalyte tiesinių algebrinių lygčių sistema

Tai yra sprendimų rinkinys vienalytė sistema tiesines lygtis, kur A yra sistemos tiesinių lygčių koeficientų matrica.

Paskaita Nr. 5. 3 skyrius. Euklido (vienetinės) tiesinės erdvės suberdvės

3.1. Stačiakampis suberdvės papildymas

Vektorius, statmenas poerdvei

Tegul L - linijinė poerdvė Euklido (vienetinė) erdvė. Sakoma, kad vektorius x yra statmenas poerdvei L, jei jis yra statmenas kiekvienam vektoriui iš šios poerdvės. Pavadinimas:.

Stačiakampis suberdvės papildymas

Tegu L yra tiesinė Euklido erdvės poerdvė. Visumą visi vektoriai https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

Ortogonaliojo papildinio kaip poerdvės teorema

Stačiakampis poerdvės papildinys yra tos pačios erdvės tiesinė poerdvė.

3.2. Ortografinė projekcija, ortografinis komponentas

Stačiakampė vektoriaus projekcija į poerdvę

Tegu L yra tiesinė euklido (vienetinės) erdvės poerdvė https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> forma suma: , kur https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Vektorius g paskambino stačiakampė projekcija vektorius fį poerdvę L, vektorius h vadinamas stačiakampiu komponentu.

Stačiakampio vektoriaus komponentas

Stačiakampis vektoriaus f komponentas Euklido (vienetinės) erdvės poerdvės L atžvilgiu https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src= ">, kur .gif" width="43" height="27 src="> vadinamas vektoriumi h plėtinyje, kur https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Įstrižai į poerdvę

Vektorius f išskaidytas https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Poerdvės ir jos stačiakampio papildinio sumos teorema

Jei yra tiesinė erdvės poerdvė, tai tiesioginė šios tiesinės poerdvės ir jos stačiakampio papildinio suma sudaro visą erdvę: https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18" > yra tiesinė erdvės poerdvė, tada bet kuriam vektoriui egzistuoja, be to, unikalus vaizdavimas f kaip suma: https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Atstumas nuo vektoriaus iki suberdvės

Atstumas nuo vektoriaus iki suberdvės

Atstumas nuo vektoriaus iki poerdvės yra statmens, nukritusio iš šio vektoriaus į poerdvę, ilgis (ty vektoriaus stačiakampio komponento ilgis šios poerdvės atžvilgiu).

Paskaita Nr. 6. 4 skyrius. Dvitiesės ir kvadratinės formos.

4.1. Linijinė forma

4.2. Bilinear forma

4.1. Linijinė forma

Tiesinė funkcija (tiesinė forma)

Leisti būti tiesine erdve virš lauko. Funkcija f, vektoriaus atvaizdavimas iš erdvės į skaičių (lauko elementas https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21">, vadinamas linijinis , Jei:

1) visiems vektoriams https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> bet kokiam skaičiui a(lauko elementas) ir bet koks vektorius

Įrašykite bet kokį linijinė forma kokiu nors (savavališku) pagrindu e atrodo taip:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - skaičiai (elementai laukai P) priklausomai nuo pagrindo e ir, žinoma, iš formos f.

Atkreipkite dėmesį, kad renkantis kitą pagrindą e a 1", a 2", …, a n".

Linijinė matrica

Tiesinės formos matrica A f pagrinde vadinama eilučių matrica, susidedančia iš skaičių - tiesinės formos veikimo šio pagrindo vektoriais rezultatai:

A = ( a 1, a 2, …, a n) = .

Tegu X = yra vektoriaus koordinatės x pagrinde e, A – tiesinės formos matrica f tuo pačiu pagrindu. Tada vertė f(x) yra lygus matricos A ir X stulpelio sandaugai:

f(x) = A·X.

Teorema apie tiesinės formos matricos kaitą pereinant iš vieno pagrindo į kitą

Pereinant nuo pagrindo prie pagrindo https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">), linijinės formos matrica keičiasi taip:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> – tiesinė erdvė virš lauko. (skaitinė) Funkcija a du vektoriniai argumentai https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src="> vadinami dvilinijine forma, jei kiekviename argumente ji yra tiesinė:

2)

4)

- bet kurie erdvės L vektoriai, - savavališkas skaičius(lauko elementas P).

Bet kokios dvilinės formos įrašymas https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

kur ( x 1, x 2, …, x n) ir ( y 1, y 2, …, y n) – koordinatės bazėje e vektoriai x ir y atitinkamai, a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn – n2 skaičių aibė (lauko P elementai).

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn priklauso nuo pagrindo e ir, žinoma, nuo pačios formos a. Renkantis kitokį pagrindą e "Atitinkamas skaičių rinkinys paprastai skirsis: a 11", a 12", …, a nn".

Dvilinijinė matrica

Tegul tai duota bilinijinė forma ir tam tikru (savavališku) pagrindu e .

Parašykime dvitiesinės formos veiksmą šiuo pagrindu:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">pagrinde e Tokia matrica vadinama:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">į (sutvarkytą) bazinių vektorių porą ( e i, e j). Taigi:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> yra unikalios dvilinės formos matrica duotoje (fiksuotoje) erdvėje.

Teorema apie dvitiesinės formos matricos pasikeitimą pereinant iš vieno pagrindo į kitą

Judant nuo pagrindo į bazę (perėjimo matrica https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Dvilinijinės formos rangas

Dvilinijinės formos rangas yra jos matricos rangas savavališkai.

(ne) Degeneruota dvilinė forma

Sakoma, kad dvilinijinė forma yra išsigimusi, jei , ir neišsigimęs, jei https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> vadinamas simetrišku, jei . Dvilinijinė forma vadinama pasvirusi simetriška (arba iškrypusia simetriška), jei https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src=">.

komentaras:

Iškreiptos dvitiesės formos (bet kokiu pagrindu) matrica yra pasvirusi simetriška: , visoms i, j. Visų pirma, visiems i lygybė DIV_ADBLOCK81">

4.3. Kvadratinė forma

Dvitiesinės ir kvadratinės formos savavališkoje tiesinėje erdvėje

4.3. Kvadratinė forma

Kvadratinė forma

Tegu pateikiama simetriška dvilinė forma https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Šios dvilinės formos veiksmą apsvarstykime tik sutampančių vektorių poros, t.y. a(x, x). Gauname funkciją, kuri priskiria kiekvieną vektorių x tiesinės erdvės numeris (pagrindinio lauko P elementas) f(x) = a(x, x). Funkcija f(x) = vadinama kvadratine forma, atitinkančia duotą simetrinę dvitiesę formą https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src=">, vadinama atitinkama simetriška dvilinė forma.

Poliarinės dvitiesės formos teorema

Poliarinė dvilinė forma bet kuriai kvadratine forma vienareikšmiškai apibrėžta.

Kvadratinė matrica

Kvadratinės formos matrica yra jos polinės dvitiesės formos matrica.

Kvadratinės formos rangas

Kvadratinės formos rangas yra jos matricos rangas savavališkai.

(ne) išsigimusi kvadratinė forma

Kvadratinė forma vadinama išsigimusia, jei https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src=">.

Kvadratinės formos matricos savybės

1) Kvadratinės formos matrica yra simetriška

2) Bet kuri kvadratinė simetrinė matrica yra vienintelės kvadratinės formos matrica duotame pagrinde

3) Judant nuo pagrindo į bazę (perėjimo matrica https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Leisti būti savavališkai nustatytas pagrindas. Tegul kvadratinė forma f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src="> ir savavališkas vektorius x turi koordinates tame pačiame pagrinde ( x 1, x 2, …, x n). Tada kvadratinės formos veikimo vektoriui rezultatas x galima parašyti kaip

f(x) = ,

arba kompaktiškesne forma:

f(x) =

kur X = - vektorių koordinačių stulpelis x pagrinde e

4.4. Kvadratinės formos kanoninė forma

Kvadratinės formos kanoninė forma

Kanoninė kvadratinės formos forma yra jos žymėjimas, kuriame yra tik kintamųjų kvadratai:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (kai kurie iš jų gali būti lygūs nuliui) vadinami kvadratinės formos kanoniniais koeficientais.

Akivaizdu, kad nulinių koeficientų skaičius kanoninė forma kvadratinės formos sutampa su jos rangu.

Kvadratinės formos kanoninis pagrindas

f(x) = a(x, x),

jei šios formos įrašymas šiuo pagrindu yra kanoninis, tai yra, jame yra tik kintamųjų kvadratai:

matricos kalba“ skamba taip:

Pagrindas vadinamas kanoniniu kvadratinės formos pagrindu f(x) = a(x, x),

jei šios formos matrica Ae šiame pagrinde turi įstrižinę formą:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Išimkite koeficientą (≠ 0), kai šis kintamasis yra kvadratas:

DIV_ADBLOCK83">

komentuoti.

Jei parašysite sumą kvadratu ir padauginsite iš koeficiento, esančio skliausteliuose, rezultatas bus visi terminai, kuriuose yra kintamasis x 1, įtrauktas į kvadratinės formos žymėjimą. Tuo pačiu metu atsiras terminų (ir gana daug), kurie nebuvo įtraukti į originalų kvadratinės formos įrašą. Tačiau visuose „naujuose“ terminuose nėra kintamojo x 1.

Taigi kvadratinės formos rašymas įgauna tokią formą:

skliausteliuose". Pakeitę kintamuosius, kuriuose „pirmąjį skliaustą" žymime x 1“, antrasis – per x 2" ir tt, gauname tokį kvadratinės formos žymėjimą, kurio terminuose yra tik kintamųjų kvadratai:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

Dėl šio pakeitimo terminas aijxixj, kuriame yra kintamųjų sandauga xi Ir xj, paverčiamas dviem terminais, jau turinčiais kintamųjų kvadratus xi"Ir xj":

DIV_ADBLOCK84">

Teorema apie ortonormalaus kanoninio pagrindo egzistavimą (redukcija į pagrindines ašis).

Bet kuriai kvadratinei formai Euklido erdvėje yra ortonormalus pagrindas, kuriame ji turi kanoninę formą.

Jacobi formulės

Jei kvadratinės formos matricoje f(x) užima pirmąją vietą https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , tada yra pagrindas e, kurioje kvadratinės formos matrica turi įstrižinę formą

Be to, kanoniniai koeficientai λ i kvadratinė forma yra siejama su kampiniais nepilnamečiais Δ i tokius santykius: ,

kurie vadinami Jacobi formulės.

Dvilinijinės ir kvadratinės formos

tikrojoje (realioje) tiesinėje erdvėje.

4.5. Kvadratinės inercijos indeksai

Kvadratinės inercijos indeksai

Tegul kvadratinė forma f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Teigiamų koeficientų skaičius lygus skaičiuišios sekos ženklų pasikeitimai.

4.6. Apibrėžtosios ir kintamos kvadratinės formos

Apibrėžta kvadratinė forma

Sakoma, kad kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta, jei ji turi tik teigiamas (neigiamas) reikšmes visuose nuliniuose vektoriuose: ( f(x) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Tokios formos vadinamos apibrėžiančiomis ženklu.

Kintamoji kvadratinė forma

Kvadratinė forma, kuriai yra vektoriai https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> tokie, kad f(x) = > 0 ir f(y) = < 0 называется знакопеременной.

Kvadratinės formos ženklo kriterijus

Kvadratinė forma yra teigiamai (neigiamai) apibrėžta tada ir tik tada, kai jos teigiamas (atitinkamai neigiamas) inercijos indeksas sutampa su erdvės matmeniu.

Tai yra, bet kuria kanonine teigiamos (neigiamos) apibrėžtos kvadratinės formos n-matėje erdvėje

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi jos kampiniai minorai yra teigiami.

Kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai jos ženklai kampiniai nepilnamečiai alternatyvus ir trumpieji kodai">

Pr a b = |b|cos(a,b) arba

Kur a b yra vektorių skaliarinė sandauga, |a| - vektoriaus a modulis.

Instrukcijos. Norėdami rasti vektoriaus Пp a b projekciją in internetinis režimas reikia nurodyti vektorių a ir b koordinates. Šiuo atveju vektorius gali būti nurodytas plokštumoje (dvi koordinatės) ir erdvėje (trys koordinatės). Gautas sprendimas išsaugomas Word faile. Jei vektoriai nurodomi per taškų koordinates, tuomet reikia naudoti šį skaičiuotuvą.

Vektorių projekcijų klasifikacija

Projekcijų tipai pagal apibrėžimo vektorinę projekciją

Projekcijų tipai pagal koordinačių sistemą

Vektorinės projekcijos ypatybės

1. Vektoriaus geometrinė projekcija yra vektorius (turi kryptį).
2. Algebrinė vektoriaus projekcija yra skaičius.

Vektorinės projekcijos teoremos

Pr a b = |b|cos(a,b)

Vektorių projekcijų tipai

1. projekcija į OX ašį.
2. projekcija į OY ašį.
3. projekcija į vektorių.

Projekcija OX ašyje	Projekcija ant OY ašies	Projekcija į vektorių
Jei vektoriaus A’B’ kryptis sutampa su OX ašies kryptimi, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi teigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A’B’ kryptis sutampa su OY ašies kryptimi, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi teigiamą ženklą.	Jeigu vektoriaus A’B’ kryptis sutampa su vektoriaus NM kryptimi, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi teigiamą ženklą.
Jei vektoriaus kryptis yra priešinga OX ašies krypčiai, tai vektoriaus A'B' projekcija turi neigiamas ženklas.	Jei vektoriaus A’B’ kryptis yra priešinga OY ašies krypčiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A’B’ kryptis yra priešinga vektoriaus NM krypčiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija turi neigiamą ženklą.
Jeigu vektorius AB lygiagretus ašiai OX, tai vektoriaus A’B’ projekcija lygi vektoriaus AB absoliučiai reikšmei.	Jeigu vektorius AB lygiagretus OY ašiai, tai vektoriaus A’B’ projekcija lygi vektoriaus AB absoliučiai reikšmei.	Jeigu vektorius AB lygiagretus vektoriui NM, tai vektoriaus A’B’ projekcija lygi vektoriaus AB absoliučiai reikšmei.
Jeigu vektorius AB yra statmenas ašiai OX, tai projekcija A’B’ lygi nuliui (nulinis vektorius).	Jeigu vektorius AB yra statmenas OY ašiai, tai projekcija A’B’ lygi nuliui (nulinis vektorius).	Jeigu vektorius AB yra statmenas vektoriui NM, tai projekcija A’B’ lygi nuliui (nulinis vektorius).

1. Klausimas: Ar vektoriaus projekcija gali turėti neigiamą ženklą? Atsakymas: Taip, gali būti vektorinės projekcijos neigiama reikšmė. Šiuo atveju vektorius turi priešinga kryptimi(žr., kaip nukreipta OX ašis ir AB vektorius)
2. Klausimas: Ar vektoriaus projekcija gali sutapti su absoliučia vektoriaus verte? Atsakymas: Taip, gali. Šiuo atveju vektoriai yra lygiagretūs (arba yra toje pačioje tiesėje).
3. Klausimas: ar vektoriaus projekcija gali būti lygi nuliui (nulinis vektorius). Atsakymas: Taip, gali. Šiuo atveju vektorius yra statmenas atitinkamai ašiai (vektoriui).

1 pavyzdys. Vektorius (1 pav.) sudaro 60° kampą su OX ašimi (jis nurodomas vektoriumi a). Jei OE yra mastelio vienetas, tai |b|=4, taigi .

Iš tiesų, vektoriaus ilgis ( geometrinė projekcija b) lygus 2, o kryptis sutampa su OX ašies kryptimi.

2 pavyzdys. Vektorius (2 pav.) sudaro kampą (a,b) = 120 o su OX ašimi (su vektoriumi a). Ilgis |b| vektorius b lygus 4, taigi pr a b=4·cos120 o = -2.

Iš tiesų, vektoriaus ilgis yra 2, o kryptis yra priešinga ašies krypčiai.