Apibrėžimas 1. Cilindrinis paviršius yra paviršius, sudarytas iš lygiagrečių viena kitai tiesių, vadinamas jo formuojantis .
Jei kuri nors plokštuma, kertanti visus besiformuojančius cilindrinius paviršius, kerta ją išilgai linijos R, tada ši eilutė vadinama vadovas šis cilindrinis paviršius.
Teorema . Jei erdvėje įvesta Dekarto koordinačių sistema ir lygtis plokštumoje xOy yra kokios nors tiesės lygtis R, tada ši lygtis erdvėje yra cilindrinio paviršiaus lygtis L su pagalbine linija R, o generatoriai yra lygiagrečiai ašiai Ozas(3.19 pav., a).
Įrodymas. Taškas 
guli ant cilindrinio paviršiaus L jei ir tik tada, kai projekcija 
taškų Mį lėktuvą xOy lygiagrečiai ašiai Ozas guli ant linijos R, t.y. jei ir tik jei galioja lygtis 
.
Panašios išvados galioja ir formos lygtims 
(3.19 pav., b) ir 
(3.19 pav., c).
Apibrėžimas 2 . Vadinami cilindriniai paviršiai, kurių kreiptuvai yra antros eilės linijos antros eilės cilindriniai paviršiai .
Yra trijų tipų antros eilės cilindrai: elipsės formos (3.20 pav.)
, (5.42)
hiperbolinis (3.21 pav.)
, (5.43)
parabolinis (3.22 pav.)
. (5.44)
Ryžiai. 3.20 pav. 3.21 pav. 3.22
Dėl cilindrų, pateiktos lygtimis(5.42), (5.43) ir (5.44), pagalbinės linijos yra atitinkamai elipsė
,
hiperbolė
,
parabolė
,
o generatoriai lygiagreti ašiai Ozas.
komentuoti. Kaip matėme, antros eilės kūginiai ir cilindriniai paviršiai turi tiesinius generatorius ir kiekvienas iš šių paviršių gali būti suformuotas tiesia linija judant erdvėje.
Pasirodo, kad tarp visų antros eilės paviršių, be cilindro ir kūgio, vieno lakšto hiperboloidas ir hiperbolinis paraboloidas taip pat turi tiesinius generatorius, ir, kaip ir cilindro ir kūgio atveju, abu šie. paviršiai gali būti suformuoti judant tiesia linija erdvėje (žr. specialiąją literatūrą).
§4. Bendrosios antros eilės paviršiaus lygties redukavimas į kanoninę formą
IN bendroji lygtis antros eilės paviršiai
a) kvadratinė forma
Kur 
;
b) tiesinė forma
Kur 
;
c) laisvas narys 
.
Norint paversti (5.45) lygtį į kanoninę formą, pirmiausia reikia atlikti tokią koordinačių transformaciją 
, taigi ir susijęs ortonormalus pagrindas 
, kuri kvadratinę formą (5.46) paverčia į kanoninė forma(žr. 2 knygos 8 skyrių, §3, 3.1 punktą).
Šios kvadratinės formos matrica yra
,
kur, t.y. matrica A– simetriškas. Pažymėkime pagal 
savąsias reikšmes, ir per 
ortonormalus pagrindas, sudarytas iš matricos savųjų vektorių A. Leiskite
–
perėjimo matrica iš pagrindo 
į bazę 
, A 
– su šiuo pagrindu susieta nauja koordinačių sistema.
Tada, transformuojant koordinates
(5.48)
kvadratinė forma (5.46) įgauna kanoninę formą
Kur 
.
Dabar, taikydami koordinačių transformaciją (5.48) tiesinei formai (5.47), gauname
Kur 
,
– nauji formos koeficientai (5,47).
Taigi (5.45) lygtis įgauna formą
+.
Šią lygtį galima sumažinti iki kanoninė forma naudojant lygiagretų koordinačių sistemos perkėlimą pagal formules
arba 
(5.49)
Atlikus koordinačių sistemos transformaciją pagal lygiagretus perdavimas(5.49), bendroji antros eilės paviršiaus lygtis (5.45) Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu 
išreikš vieną iš šių septyniolikos paviršių:
1) elipsoidas 
2) įsivaizduojamas elipsoidas 
3) vieno lapo hiperboloidas 
4) dviejų lakštų hiperboloidas 
5) kūgis 
6) įsivaizduojamas kūgis 
7) elipsinis paraboloidas
8) hiperbolinis paraboloidas
9) elipsinis cilindras
10) įsivaizduojamas elipsinis cilindras
11) dvi įsivaizduojamos susikertančios plokštumos
12) hiperbolinis cilindras
13) dvi susikertančios plokštumos
14) parabolinis cilindras
15) dvi lygiagrečios plokštumos
16) dvi menamos lygiagrečios plokštumos
17) dvi sutampančios plokštumos
Pavyzdys. Nustatykite paviršiaus tipą ir vietą, apibrėžtą Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu 
ir susijęs ortonormalus pagrindas 
lygtis
Pateiksime kvadratinę formą
(5.51)
į kanoninę formą. Šios formos matrica turi formą
.
Iš charakteristikų lygties nustatykime šios matricos savąsias reikšmes
Iš čia 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Dabar randame savieji vektoriai matricos A: 1) leiskite 
, tada iš lygties 
arba koordinačių forma
rasti kur 
– bet koks skaičius, taigi 
, A 
. Iš visos kolinearinių vektorių rinkinio 
pasirinkti vektorių 
, kurio modulis 
, t.y. normalizuoti vektorių 
.
2) už 
mes turime
.
Iš čia 
, Kur 
- bet koks skaičius. Tada 
, A 
. Vektoriaus normalizavimas 
, raskite vieneto vektorių 
:
,
Kur 
.
3)
, tada komponentams 
vektorius 
mes turime sistemą
Iš kur, kur 
– bet koks skaičius, taigi 
, A 
. Vektoriaus normalizavimas 
, raskite vieneto vektorių 
vektoriaus nurodytai krypčiai 
:
Kur 
.
Dabar pereikime nuo ortonormalaus pagrindo 
ortonormaliu pagrindu 
, sudarytas iš matricos savųjų vektorių A ir sujungti su paskutiniu pagrindu naują Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą 
. Tokios transformacijos perėjimo matrica turi formą
,
o koordinatės paverčiamos pagal formules
(5.52)
Taikydami šią koordinačių transformaciją kvadratinei formai (5.51), sumažiname ją iki kanoninės formos
, Kur 
.
Dabar išsiaiškinkime, kokią formą turi tiesinė formulė
, Kur 
,
jeigu koordinatės transformuojamos pagal (5.52) formules. Turime
Taigi, jei koordinačių sistema 
transformuoti naudojant formules (5.52), tada santykinis su nauja koordinačių sistema 
nagrinėjamas antros eilės paviršius pateikiamas lygtimi
Lygtis (5.53) redukuojama į kanoninę formą, naudojant lygiagretų koordinačių sistemos perkėlimą pagal formules
po to paviršiaus lygtis koordinačių sistemos atžvilgiu 
įgauna formą
arba 
Ši lygtis išreiškia elipsinį cilindrą, kurio kreipiamoji elipsė yra ties koordinačių plokštuma
, o generuojančios linijos yra lygiagrečios ašiai 
komentuoti. Šiame skyriuje aprašyta antrosios eilės paviršiaus bendrosios lygties sumažinimo į kanoninę formą schema taip pat gali būti taikoma antrojo laipsnio kreivės bendrosios lygties sumažinimui į kanoninę formą.
Elipsinė lygtis:
Ypatingas atvejis elipsinis cilindras yra apskritas cilindras , jo lygtis yra x 2 + y 2 = R 2 . Lygtis x 2 =2pz apibrėžia erdvėje parabolinis cilindras.
Lygtis: apibrėžia erdvėje hiperbolinis cilindras .
Visi šie paviršiai vadinami antros eilės cilindrai, nes jų lygtys yra antrojo laipsnio lygtys dabartinių koordinačių x, y, z atžvilgiu.
18. Realieji skaičiai, kompleksiniai skaičiai Kompleksinių skaičių veiksmai. Sudėtingi skaičiai. Moivre'o formulės.
Sudėtingas skaičius pavadinimas z=x+iy formos išraiška, kur x ir y yra realūs skaičiai, o aš yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, . Jei x=0, vadinasi skaičius 0+iy=iy. įsivaizduojamas skaičius; jei y=0, tai skaičius x+i0=x tapatinamas su realiuoju skaičiumi x, vadinasi, aibė Rall yra reali. reiškinių skaičiai visų kompleksinių skaičių aibės C poaibis, t.y. .Skaičiaus x pavadinimas tikroji dalis z, .Du kompleksiniai skaiciai ir vadinami lygiais (z1=z2) tada ir tik tada, kai ju realiosios dalys lygios, o menamos dalys lygios: x1=x2, y1=y2. Konkrečiai, kompleksinis skaičius Z=x+iy yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai x=y=0. Sąvokos „daugiau“ ir „mažiau“ kompleksiniams skaičiams neįvedamos. Du kompleksiniai skaičiai z = x + iy и , besiskiriantys tik menamos dalies ženklu, vadinami konjugatiniais.
Geometrinis vaizdas kompleksiniai skaičiai.
Bet koks kompleksinis skaičius z=x+iy gali būti pavaizduotas Oxy plokštumos tašku M(x,y), kad x=Rez, y=Imz. Ir, atvirkščiai, kiekvienas koordinačių plokštumos taškas M(x;y) gali būti laikomas vaizdu kompleksinis skaičius z=x+iy. Plokštuma, kurioje pavaizduoti kompleksiniai skaičiai, vadinama sudėtinga plokštuma, nes jame yra realieji skaičiai z=x+0i=x. Ordinačių ašis vadinama įsivaizduojama ašimi, nes joje yra grynai įsivaizduojami kompleksiniai skaičiai z=0+iy. Kompleksinį skaičių Z=x+iy galima nurodyti naudojant spindulio vektorių r=OM=(x,y). Kompleksinį skaičių z vaizduojančio vektoriaus r ilgis vadinamas šio skaičiaus moduliu ir žymimas |z| arba r. Kampo tarp Kryptis tikroji ašis o kompleksinį skaičių vaizduojantis vektorius r vadinamas šio kompleksinio skaičiaus argumentu, žymimu Argz arba . Kompleksinio skaičiaus argumentas Z=0 neapibrėžtas. Kompleksinio skaičiaus argumentas yra daugiareikšmis dydis ir nustatomas iki termino, kur argz yra pagrindinė argumento reikšmė, esančio intervale (), t.y. - 
(kartais pagrindinė argumento reikšmė laikoma verte priklausantis intervalui (0; )).
Iškviečiamas skaičiaus z užrašymas forma z=x+iy algebrinė forma kompleksinis skaičius.
Su antros eilės paviršiais studentai dažniausiai susiduria pirmaisiais metais. Iš pradžių problemos šia tema gali atrodyti paprastos, tačiau studijuojant aukštąją matematiką ir gilinantis į mokslinę pusę, galiausiai gali nebeatspėti, kas vyksta. Kad taip nenutiktų, reikia ne tik įsiminti, bet ir suprasti, kaip gaunamas tas ar kitas paviršius, kaip jį veikia besikeičiantys koeficientai ir jo vieta, palyginti su pradine koordinačių sistema, ir kaip rasti nauja sistema(kuriame jo centras sutampa su koordinačių pradžia ir yra lygiagretus vienai iš koordinačių ašys). Pradėkime nuo pat pradžių.
Apibrėžimas
Antros eilės paviršius vadinamas GMT, kurio koordinatės atitinka bendrąją šios formos lygtį:
Akivaizdu, kad kiekvienas paviršiui priklausantis taškas tam tikru pagrindu turi turėti tris koordinates. Nors kai kuriais atvejais lokusas taškai gali išsigimti, pavyzdžiui, į plokštumą. Tai tik reiškia, kad viena iš koordinačių yra pastovi ir lygi nuliui visame leistinų verčių diapazone.
Visa rašytinė aukščiau pateiktos lygybės forma atrodo taip:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm – kai kurios konstantos, x, y, z – atitinkantys kintamieji afinines koordinates bet kokį tašką. Šiuo atveju bent vienas iš pastovių veiksnių neturi būti lygus nuliui, tai yra, joks taškas neatitiks lygties.
Daugumoje pavyzdžių daugelis skaitinių veiksnių vis dar yra identiški nuliui, o lygtis yra žymiai supaprastinta. Praktiškai nustatyti, ar taškas priklauso paviršiui, nėra sunku (pakanka pakeisti jo koordinates į lygtį ir patikrinti, ar tapatybė galioja). Esminis dalykas tokiame darbe yra pastarąjį pervesti į kanoninę formą.
Aukščiau parašyta lygtis apibrėžia bet kokius (visus išvardytus žemiau) antros eilės paviršius. Pažvelkime į toliau pateiktus pavyzdžius.
2 eilės paviršių tipai
2 eilės paviršių lygtys skiriasi tik koeficientų A nm reikšmėmis. Iš bendras vaizdas esant tam tikroms konstantų vertėms, galima gauti įvairius paviršius, klasifikuojamus taip:
- Cilindrai.
- Elipsinis tipas.
- Hiperbolinis tipas.
- Kūginis tipas.
- Parabolinis tipas.
- Lėktuvai.
Kiekvienas iš išvardytų tipų turi natūralią ir įsivaizduojamą formą: įsivaizduojamoje formoje realių taškų lokusas arba išsigimsta į daugiau paprasta figūra, arba jo visai nėra.
Cilindrai
Tai yra paprasčiausias tipas, nes gana sudėtinga kreivė yra tik prie pagrindo ir veikia kaip orientyras. Generatoriai yra tiesios linijos, statmenos plokštumos, kuriame yra pagrindas.
Grafike pavaizduotas apskritas cilindras - ypatingas atvejis elipsinis cilindras. XY plokštumoje jos projekcija bus elipsė (mūsų atveju apskritimas) - kreiptuvas, o XZ - stačiakampis - kadangi generatoriai yra lygiagrečiai Z ašiai Norėdami tai gauti iš bendrosios lygties būtina pateikti šias koeficientų vertes:
Vietoj įprastų simbolių x, y, z, x yra su serijos numeris- nesvarbu.
Tiesą sakant, 1/a 2 ir kitos čia nurodytos konstantos yra tie patys koeficientai, nurodyti bendrojoje lygtyje, tačiau įprasta juos rašyti būtent tokia forma - tai yra kanoninis atstovavimas. Toliau šis įrašas bus naudojamas išskirtinai.
Tai apibrėžia hiperbolinį cilindrą. Schema ta pati – nuoroda bus hiperbolė.
Parabolinis cilindras apibrėžiamas šiek tiek kitaip: jo kanoninė forma apima koeficientą p, vadinamą parametru. Faktiškai koeficientas yra q=2p, bet įprasta jį padalyti į du pateiktus veiksnius.
Yra dar vienas cilindrų tipas: įsivaizduojamas. Tokiam cilindrui nepriklauso joks tikras taškas. Jis apibūdinamas elipsinio cilindro lygtimi, tačiau vietoj vieno yra -1.
Elipsinis tipas
Elipsoidas gali būti ištemptas išilgai vienos iš ašių (išilgai jos priklauso nuo aukščiau nurodytų konstantų a, b, c verčių; akivaizdu, kad didesnė ašis atitiks didesnį koeficientą).
Taip pat yra įsivaizduojamas elipsoidas - su sąlyga, kad koordinačių suma, padauginta iš koeficientų, yra lygi -1:
Hiperboloidai
Kai vienoje iš konstantų atsiranda minusas, elipsoido lygtis virsta vieno lapo hiperboloido lygtimi. Turite suprasti, kad šis minusas neturi būti prieš x3 koordinatę! Tai tik nustato, kuri iš ašių bus hiperboloido sukimosi ašis (arba lygiagreti jai, nes kai kvadrate atsiranda papildomų terminų (pvz., (x-2) 2), figūros centras pasislenka, kaip dėl to paviršius juda lygiagrečiai koordinačių ašims). Tai taikoma visiems 2 eilės paviršiams.
Be to, reikia suprasti, kad lygtys pateikiamos kanonine forma ir jas galima keisti keičiant konstantas (išlaikant ženklą!); tuo pačiu metu jų išvaizda (hiperboloidas, kūgis ir pan.) išliks tokia pati.
Tokią lygtį pateikia dviejų lakštų hiperboloidas.
Kūginis paviršius
Kūgio lygtyje nėra vienybės – ji lygi nuliui.
Kūgis yra tik ribotas kūginis paviršius. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad iš tikrųjų diagramoje bus du vadinamieji kūgiai.
Svarbi pastaba: visose nagrinėjamose kanoninėse lygtyse konstantos pagal numatytuosius nustatymus laikomos teigiamomis. Priešingu atveju ženklas gali turėti įtakos galutiniam grafikui.
Koordinačių plokštumos tampa kūgio simetrijos plokštumos, simetrijos centras yra pradžioje.
Įsivaizduojamo kūgio lygtyje yra tik pliusai; jai priklauso vienas tikras taškas.
Paraboloidai
2-os eilės paviršiai erdvėje gali užimti įvairių formų net ir su panašiomis lygtimis. Pavyzdžiui, paraboloidai būna dviejų tipų.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Elipsinis paraboloidas, kai Z ašis yra statmena brėžiniui, bus suprojektuotas į elipsę.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 = 2z
Hiperbolinis paraboloidas: ruožuose, kurių plokštumos lygiagrečios su ZY, bus gautos parabolės, o atkarpose, kurių plokštumos lygiagrečios su XY – hiperbolės.
Susikertančios plokštumos
Pasitaiko atvejų, kai 2 eilės paviršiai išsigimsta plokštumoje. Šios plokštumos gali būti išdėstytos įvairiais būdais.
Pirmiausia pažvelkime į susikertančias plokštumas:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Su šiuo kanoninės lygties modifikavimu tiesiog gauname dvi susikertančias plokštumas (įsivaizduojamas!); visi realūs taškai yra koordinatės ašyje, kurios nėra lygtyje (kanoninėje - Z ašyje).
Lygiagrečios plokštumos
Jei yra tik viena koordinatė, 2 eilės paviršiai išsigimsta į porą lygiagrečios plokštumos. Nepamirškite, bet kuris kitas kintamasis gali užimti grotuvo vietą; tada bus gautos kitoms ašims lygiagrečios plokštumos.
Šiuo atveju jie tampa įsivaizduojami.
Sutapimo plokštumos
Su šiuo paprasta lygtis plokštumų pora išsigimsta į vieną – jos sutampa.
Nepamirškite, kad trimačio pagrindo atveju aukščiau pateikta lygtis nenurodo tiesės y=0! Trūksta kitų dviejų kintamųjų, bet tai tik reiškia, kad jų reikšmė yra pastovi ir lygi nuliui.
Statyba
Viena iš sunkiausių užduočių studentui yra būtent 2 eilės paviršių konstrukcija. Dar sunkiau pereiti iš vienos koordinačių sistemos į kitą, atsižvelgiant į kreivės pasvirimo kampus ašių atžvilgiu ir centro poslinkį. Pažiūrėkime, kaip nuosekliai nustatyti ateities vaizdas piešimas analitiniu būdu.
Norėdami sukurti 2 eilės paviršių, turite:
- perkelkite lygtį į kanoninę formą;
- nustatyti tiriamo paviršiaus tipą;
- sudaryti remiantis koeficientų reikšmėmis.
Žemiau pateikiami visi nagrinėjami tipai:
Norėdami tai sustiprinti, išsamiai apibūdinsime vieną tokio tipo užduočių pavyzdį.
Pavyzdžiai
Tarkime, kad turime lygtį:
3 (x 2 -2x + 1) + 6y 2 + 2z 2 +60y + 144 = 0
Perkelkime jį į kanoninę formą. Parinkime pilnus kvadratus, tai yra, turimus terminus išdėstysime taip, kad jie būtų sumos arba skirtumo kvadrato išskaidymas. Pavyzdžiui: jei (a+1) 2 =a 2 +2a+1, tai a 2 +2a+1=(a+1) 2. Atliksime antrą operaciją. Skliausteliuose šiuo atveju Nereikia atskleisti, nes tai tik apsunkins skaičiavimus, o išryškinti bendras daugiklis 6 (skliausteliuose su tobulas kvadratasžaidimas), jums reikia:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Kintamasis zet šiuo atveju pasirodo tik vieną kartą – kol kas galite jį palikti ramybėje.
Išanalizuokime lygtį šiame etape: prieš visus nežinomuosius yra pliuso ženklas; Padalijus iš šešių palieka vieną. Vadinasi, prieš mus yra lygtis, apibrėžianti elipsoidą.
Atkreipkite dėmesį, kad 144 buvo įtrauktas į 150-6, o tada -6 buvo perkeltas į dešinę. Kodėl reikėjo taip elgtis? Akivaizdu, kad labiausiai didelis daliklis V šiame pavyzdyje-6, todėl norint, kad padalijus iš jo liktų dešinėje, reikia „atidėti“ lygiai 6 iš 144 (tai, kad reikia būti dešinėje, rodo buvimas nemokamas narys- konstanta, nepadauginta iš nežinomybės).
Viską padalinkime iš šešių ir gaukime kanoninę elipsoido lygtį:
(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z 2/3=1
Anksčiau naudotoje 2 eilės paviršių klasifikacijoje laikomas ypatingas atvejis, kai figūros centras yra koordinačių pradžioje. Šiame pavyzdyje jis kompensuojamas.
Darome prielaidą, kad kiekvienas skliaustas su nežinomaisiais yra naujas kintamasis. Tai yra: a=x-1, b=y+5, c=z. Naujose koordinatėse elipsoido centras sutampa su tašku (0,0,0), todėl a=b=c=0, iš kur: x=1, y=-5, z=0. Pradinėse koordinatėse figūros centras yra taške (1,-5,0).
Elipsoidas bus gautas iš dviejų elipsių: pirmosios XY plokštumoje ir antrosios XZ plokštumoje (arba YZ - nesvarbu). Koeficientai, pagal kuriuos skirstomi kintamieji, yra kanoninė lygtis kvadratu. Todėl aukščiau pateiktame pavyzdyje teisingiau būtų dalyti iš dviejų, vieno ir trijų šaknies.
Pirmosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, lygi dviem. Pagrindinė ašis lygiagreti X ašiai – dvi šaknys iš dviejų. Antrosios elipsės mažoji ašis, lygiagreti Y ašiai, išlieka ta pati – ji lygi dviem. A pagrindinė ašis, lygiagretus Z ašiai, yra lygus dviem šaknims iš trijų.
Naudodami duomenis, gautus iš pradinės lygties, konvertuodami ją į kanoninę formą, galime nubrėžti elipsoidą.
Apibendrinant
Šiame straipsnyje nagrinėjama tema yra gana plati, tačiau iš tikrųjų, kaip dabar matote, ji nėra labai sudėtinga. Tiesą sakant, jo kūrimas baigiasi tuo metu, kai įsimenate paviršių pavadinimus ir lygtis (ir, žinoma, kaip jie atrodo). Aukščiau pateiktame pavyzdyje mes išsamiai išnagrinėjome kiekvieną veiksmą, tačiau norint gauti lygtį į kanoninę formą reikia minimalių žinių apie aukštoji matematika ir neturėtų sukelti mokiniui jokių sunkumų.
Ateities tvarkaraščio analizė remiantis esama lygybe jau yra daugiau nei sunki užduotis. Tačiau norint sėkmingai ją išspręsti, pakanka suprasti, kaip konstruojamos atitinkamos antros eilės kreivės – elipsės, parabolės ir kt.
Degeneracijos atvejai yra dar paprastesnis skyrius. Dėl kai kurių kintamųjų nebuvimo supaprastinami ne tik skaičiavimai, kaip minėta anksčiau, bet ir pati konstrukcija.
Kai tik galėsite drąsiai įvardyti visų tipų paviršius, varijuoti konstantas, paverčiant grafiką viena ar kita forma, tema bus įvaldyta.
Sėkmės studijose!
