Tai yra, yra didelė tikimybė. Tikimybės apibrėžimas

At įvertinant bet kokio įvykio tikimybę atsitiktinis įvykis Labai svarbu iš anksto gerai įsivaizduoti, ar mus dominančio įvykio tikimybė () priklauso nuo kitų įvykių raidos.

Tuo atveju klasikinė schema, kai visi rezultatai vienodai tikėtini, jau galime savarankiškai įvertinti atskiro mus dominančio įvykio tikimybių reikšmes. Tai galime padaryti net jei renginys yra sudėtingas kelių rinkinys elementarius rezultatus. Ką daryti, jei keli atsitiktiniai įvykiai įvyksta vienu metu arba paeiliui? Kaip tai įtakoja mus dominančio įvykio tikimybę?

Jei išmesčiau kelis kartus kauliukai, ir noriu, kad atsirastų „šešetas“, bet man visada nesiseka, ar tai reiškia, kad reikia padidinti statymą, nes pagal tikimybių teoriją man tuoj pasiseks? Deja, tikimybių teorija nieko panašaus nenurodo. Jokių kauliukų, jokių kortelių, jokių monetų negali prisiminti ką jie mums parodė paskutinį kartą. Jiems visiškai nesvarbu, ar šiandien išbandau laimę pirmą, ar dešimtą kartą. Kiekvieną kartą, kai kartoju ritinį, žinau tik vieną dalyką: ir šį kartą tikimybė gauti šešetuką vėl yra viena šeštoji. Žinoma, tai nereiškia, kad man reikalingas skaičius niekada neatsiras. Tai tik reiškia, kad mano pralaimėjimas po pirmo metimo ir po bet kurio kito metimo yra nepriklausomi įvykiai.

Įvykiai A ir B vadinami nepriklausomas, jeigu vieno iš jų įgyvendinimas niekaip neįtakoja kito įvykio tikimybės. Pavyzdžiui, tikimybė pataikyti į taikinį pirmuoju iš dviejų ginklų nepriklauso nuo to, ar į taikinį pataikė kitas ginklas, todėl įvykiai „pirmas ginklas pataikė į taikinį“ ir „antras ginklas pataikė į taikinį“ yra nepriklausomas.

Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, o kiekvieno iš jų tikimybė yra žinoma, tai tikimybę, kad įvykis A ir B (žymimas AB) įvyks vienu metu, galima apskaičiuoti naudojant šią teoremą.

Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema

Pavyzdys.Tikimybės pataikyti į taikinį šaudant iš pirmojo ir antrojo ginklo yra atitinkamai lygios: p 1 =0,7;

p 2 =0,8. Raskite tikimybę, kad abu ginklai vienu metu pataikys vienu salve. Sprendimas:

kaip jau matėme, įvykiai A (pataikyti iš pirmojo ginklo) ir B (pataikyti iš antrojo ginklo) yra nepriklausomi, t.y. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Pavyzdys.Kas atsitiks su mūsų vertinimais, jei pradiniai įvykiai nėra nepriklausomi? Šiek tiek pakeiskime ankstesnį pavyzdį. Varžybose į taikinius šaudo du šauliai, o jei vienas šaudo taikliai, varžovas pradeda nervintis ir jo rezultatai prastėja. Kaip šią kasdienę situaciją paversti matematikos uždavinys ir apibūdinkite būdus, kaip tai išspręsti? Intuityviai aišku, kad turime kažkaip atskirti šias dvi galimybes pokyčius , iš esmės sukurti du scenarijus, du skirtingos užduotys

. Pirmuoju atveju, jei varžovas nepataikė, scenarijus bus palankus nervingam sportininkui ir jo taiklumas bus didesnis. Antruoju atveju, jei varžovas savo šansu pasinaudojo padoriai, tikimybė pataikyti į taikinį antrajam sportininkui sumažėja. Dėl išsiskyrimo galimus scenarijus (jos dažnai vadinamos hipotezėmis) įvykių raidai dažnai naudosime „tikimybių medžio“ diagramą.Ši diagrama savo prasme yra panaši į sprendimų medį, kurį tikriausiai jau nagrinėjote. Kiekviena šaka reprezentuoja atskirą įvykių raidos scenarijų, tik dabar taip savoji vertė vadinamasis

sąlyginis

tikimybės (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Ši schema labai patogi analizuojant nuoseklius atsitiktinius įvykius. Belieka išsiaiškinti dar vieną svarbų klausimą: iš kur atsiranda pradinės tikimybių reikšmės?

Pavyzdys.realias situacijas ? Juk tikimybių teorija neveikia tik su monetomis ir kauliukais? Paprastai šie įverčiai yra paimti iš statistikos, o kai statistinės informacijos nėra, atliekame savo tyrimus. Ir dažnai turime pradėti ne nuo duomenų rinkimo, o nuo klausimo, kokios informacijos mums iš tikrųjų reikia.

Tarkime, šimtą tūkstančių gyventojų turinčiame mieste reikia įvertinti naujo produkto, kuris nėra esminis dalykas, pavyzdžiui, balzamo, skirto dažytų plaukų priežiūrai, rinkos apimtį. Panagrinėkime „tikimybių medžio“ diagramą. Šiuo atveju turime apytiksliai įvertinti kiekvienos „šakos“ tikimybės reikšmę.

Taigi, mūsų rinkos pajėgumo įvertinimai:

3) iš jų tik 10% naudoja balzamus dažytiems plaukams,

4) iš jų tik 10% gali sukaupti drąsos išbandyti naują produktą,

5) 70% iš jų dažniausiai viską perka ne iš mūsų, o iš konkurentų.

p 2 =0,8. Raskite tikimybę, kad abu ginklai vienu metu pataikys vienu salve. Pagal tikimybių daugybos dėsnį nustatome mus dominančio įvykio tikimybę A = (miesto gyventojas perka iš mūsų šį naują balzamą) = 0,00045.

Padauginkime šią tikimybės reikšmę iš miesto gyventojų skaičiaus. Dėl to turime tik 45 potencialius klientus, o turint omenyje, kad vieno buteliuko šios prekės užtenka keliems mėnesiams, prekyba nėra itin gyva.

Ir vis dėlto mūsų vertinimai turi tam tikros naudos.

Pirma, galime palyginti skirtingų verslo idėjų prognozes, diagramose jos turės skirtingas „šakės“ ir, žinoma, skirsis ir tikimybių reikšmės.

Antra, kaip jau minėjome, atsitiktinis dydis nėra vadinamas atsitiktiniu, nes jis visiškai nuo nieko nepriklauso. Tik ji tiksli prasmė iš anksto nežinoma. Žinome, kad vidutinį pirkėjų skaičių galima padidinti (pavyzdžiui, reklamuojant naują prekę). Taigi prasminga sutelkti savo pastangas į tas „šakės“, kuriose tikimybių skirstinys mums netinka, į tuos veiksnius, kuriuos galime paveikti.

Pažiūrėkime dar vieną kiekybinis pavyzdys pirkimo elgsenos tyrimai.

Pavyzdys. Maisto turguje per dieną vidutiniškai apsilanko 10 000 žmonių. Tikimybė, kad turgaus lankytojas pateks į paviljoną pieno produktai, yra lygus 1/2.

Žinoma, kad šiame paviljone per dieną parduodama vidutiniškai 500 kg įvairios produkcijos.

Ar galima sakyti, kad vidutinis pirkinys paviljone sveria vos 100 g? Diskusija.

Žinoma, kad ne. Akivaizdu, kad ne visi, patekę į paviljoną, galiausiai ten ką nors nusipirko. Kaip parodyta diagramoje, norėdami atsakyti į klausimą apie vidutinį pirkinio svorį, turime rasti atsakymą į klausimą, kas yra tikimybė, kad

kad į paviljoną įėjęs žmogus ten ką nors nusipirks. Jei tokių duomenų neturime, bet mums jų reikia, turėsime juos gauti patys, kurį laiką stebėdami paviljono lankytojus. Tarkime, mūsų stebėjimai parodė, kad tik penktadalis paviljono lankytojų ką nors perka. Kai gauname šiuos įvertinimus, užduotis tampa paprasta. Iš 10 000 žmonių, kurie ateis į turgų, 5 000 pateks į pieno produktų paviljoną, tik 1 000 pirks. Vidutinis svoris pirkinys lygus 500 gramų. Įdomu pastebėti, kad statytiįvykus, sąlyginio „išsišakojimo“ logika turi būti apibrėžta kiekviename mūsų samprotavimo etape taip aiškiai, tarsi dirbtume su „konkrečia“ situacija, o ne su tikimybėmis.

Savikontrolės užduotys

1. Tegul būna elektros grandinė, susidedantis iš n nuosekliai sujungtų elementų, kurių kiekvienas veikia nepriklausomai nuo kitų.

Yra žinoma kiekvieno elemento gedimo tikimybė p. Nustatykite visos grandinės dalies tinkamo veikimo tikimybę (įvykis A).

2. Mokinys žino 20 iš 25 egzamino klausimai. Raskite tikimybę, kad studentas žinos tris egzaminuotojo jam pateiktus klausimus.

3. Gamyba susideda iš keturių nuoseklių etapų, kurių kiekviename veikia įranga, kuriai gedimo tikimybė per kitą mėnesį yra lygi atitinkamai p 1, p 2, p 3 ir p 4. Raskite tikimybę, kad per mėnesį nebus gamybos sustabdymų dėl įrangos gedimo.

kaip ontologinė kategorija atspindi bet kokio subjekto atsiradimo bet kokiomis sąlygomis galimybės mastą. Priešingai nei matematinė ir loginė šios sąvokos interpretacija, ontologinė matematika nesieja savęs su kiekybinės išraiškos prievole. V. prasmė atsiskleidžia determinizmo ir apskritai raidos prigimties supratimo kontekste.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

TIKIMYBĖ

dydžius apibūdinanti sąvoka. tam tikro įvykio atsiradimo tam tikru metu matas sąlygomis. Mokslinėje pažinime yra trys V interpretacijos. Klasikinė koncepcija V., kuris atsirado iš matematikos. analizė azartinių lošimų o labiausiai išplėtotas B. Pascalis, J. Bernoulli ir P. Laplasas, V. laiko palankių atvejų skaičiaus santykiu bendras skaičius visi vienodai įmanomi. Pavyzdžiui, metant kauliuką, kuris turi 6 puses, galima tikėtis, kad kiekvienas iš jų nusileis 1/6 vertės, nes nė viena pusė neturi pranašumų prieš kitą. Į tokią eksperimentinių rezultatų simetriją ypatingai atsižvelgiama organizuojant žaidimus, tačiau ji gana reta tiriant objektyvius įvykius moksle ir praktikoje. Klasika V. interpretacija užleido vietą statistikai. V. sąvokas, kurios remiasi faktiniu stebint tam tikro įvykio atsiradimą ilgą laiką. patirtis tiksliai nustatytomis sąlygomis. Praktika patvirtina, kad kuo dažniau įvykis įvyksta, tuo daugiau laipsnio objektyvi galimybė jo išvaizda, arba B. Todėl statistinis. V. aiškinimas grindžiamas sąvoka susiję. dažnis, kurį galima nustatyti eksperimentiškai. V. kaip teorinis sąvoka niekada nesutampa su empiriškai nustatytu dažniu, tačiau daugiskaita. Tais atvejais jis praktiškai mažai skiriasi nuo santykinio. dažnis nustatytas dėl trukmės. pastebėjimai. Daugelis statistikų V. laiko „dvigubu“ nuoroda. dažniai, briaunos nustatomi statistiškai. stebėjimo rezultatų tyrimas

arba eksperimentai. Mažiau tikroviškas buvo V. apibrėžimas, susijęs su riba. dažnius masiniai renginiai, arba kolektyvai, pasiūlė R. Misesas. Kaip tolesnė plėtra Dažninis požiūris į V. pateikia dispozicinį arba linksnį V. interpretaciją (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Pagal šį aiškinimą V. charakterizuoja savybę sukurti sąlygas, pvz. eksperimentas. instaliacijos, kad gautų masinių atsitiktinių įvykių seką. Būtent toks požiūris sukelia fizinį nuostatas, arba polinkius, V. kuriuos galima patikrinti naudojant gimines. dažnis

Statistiniai V. interpretacija dominuoja moksliniuose tyrimuose. pažinimas, nes atspindi specifinį. atsitiktinio pobūdžio masiniams reiškiniams būdingų modelių prigimtis. Daugelyje fizinių, biologinių, ekonominių, demografinių. ir tt socialiniai procesai būtina atsižvelgti į daugelio atsitiktinių veiksnių, kuriems būdingas stabilus dažnis, poveikį. Šių stabilių dažnių ir kiekių nustatymas. jos įvertinimas padedant V. leidžia atskleisti būtinybę, kuri prasiskverbia per daugelio nelaimingų atsitikimų kumuliacinį veiksmą. Čia pasireiškia atsitiktinumo pavertimo būtinybe dialektika (žr. F. Engelsas knygoje: K. Marx and F. Engels, Works, vol. 20, p. 535-36).

Loginis, arba indukcinis, samprotavimas apibūdina nedemonstratyvaus ir ypač indukcinio samprotavimo prielaidų ir išvados santykį. Skirtingai nuo dedukcijos, indukcijos prielaidos negarantuoja išvados teisingumo, o tik daro ją daugiau ar mažiau tikėtiną. Šis patikimumas, esant tiksliai suformuluotoms prielaidoms, kartais gali būti įvertintas naudojant V. Šio V. reikšmė dažniausiai nustatoma lyginant. sąvokas (didesnis nei, mažesnis arba lygus), o kartais ir skaitiniu būdu. Logiška interpretacija dažnai naudojama analizuojant indukcinį samprotavimą ir konstravimą įvairios sistemos tikimybinė logika (R. Carnap, R. Jeffrey). Semantikoje loginės sąvokos V. dažnai apibrėžiamas kaip vieno teiginio patvirtinimo laipsnis kitų (pavyzdžiui, hipotezė jos empiriniais duomenimis).

Ryšium su sprendimų priėmimo ir žaidimų teorijų raida, vadinamieji personalistinė V. interpretacija. Nors V. kartu išreiškia subjekto tikėjimo laipsnį ir tam tikro įvykio įvykį, patys V. turi būti parinkti taip, kad būtų patenkintos V. skaičiavimo aksiomos. Todėl V. tokiu aiškinimu išreiškia ne tiek subjektyvaus, kiek pagrįsto tikėjimo laipsnį . Vadinasi, tokio V. pagrindu priimti sprendimai bus racionalūs, nes neatsižvelgia į psichologinius veiksnius. subjekto charakteristikos ir polinkiai.

Su epistemologine t.zr. skirtumas tarp statistinio, loginio. o personalistinės V. interpretacijos yra tai, kad jei pirmasis charakterizuoja atsitiktinio pobūdžio masinių reiškinių objektyviąsias savybes ir ryšius, tai paskutiniai du analizuoja subjektyvaus, pažinimo bruožus. žmogaus veikla neapibrėžtumo sąlygomis.

TIKIMYBĖ

vienas iš svarbiausios sąvokos mokslas, apibūdinantis ypatingą sisteminę pasaulio viziją, jo sandarą, raidą ir žinias. Tikimybinio požiūrio į pasaulį specifika atsiskleidžia įtraukiant į skaičių pagrindinės sąvokos atsitiktinumo, nepriklausomybės ir hierarchijos sąvokų egzistavimas (sistemų struktūros ir determinacijos lygių idėjos).

Idėjos apie tikimybę kilo senovėje ir buvo susijusios su mūsų žinių ypatybėmis, tuo tarpu buvo pripažintas tikimybinių žinių egzistavimas, kuris skyrėsi nuo patikimų žinių ir nuo klaidingų žinių. Tikimybės idėjos įtaka mokslinis mąstymas, apie pažinimo raidą yra tiesiogiai susijęs su tikimybių teorijos, kaip matematinės disciplinos, raida. Matematinės tikimybių doktrinos kilmė siekia XVII a., kai buvo sukurta sąvokų šerdis, leidžianti. kiekybines (skaitines) charakteristikas ir išreiškiančią tikimybinę idėją.

Intensyvūs tikimybės pritaikymai pažinimo raidai atsiranda II pusėje. 19 - 1 kėlinys. 20 amžiaus Tikimybė įėjo į tokių struktūras baziniai mokslai apie gamtą, pavyzdžiui, klasikinę statistinę fiziką, genetiką, kvantinė teorija, kibernetika (informacijos teorija). Atitinkamai, tikimybė personifikuoja tą mokslo raidos etapą, kuris dabar apibrėžiamas kaip neklasikinis mokslas. Norint atskleisti tikimybinio mąstymo būdo naujumą ir ypatybes, būtina remtis tikimybių teorijos dalyko ir daugelio jos taikymo pagrindų analize. Tikimybių teorija paprastai apibrėžiama kaip matematinė disciplina, tirianti masės modelius atsitiktiniai reiškiniai tam tikromis sąlygomis. Atsitiktinumas reiškia, kad masinio charakterio rėmuose kiekvieno elementaraus reiškinio egzistavimas nepriklauso ir nėra nulemtas kitų reiškinių egzistavimo. Tuo pačiu metu pati masinė reiškinių prigimtis turi stabilią struktūrą ir savyje turi tam tikrų dėsningumų. Masinis reiškinys gana griežtai skirstomas į posistemes, o santykinis elementariųjų reiškinių skaičius kiekviename posistemyje ( santykinis dažnis) yra labai stabilus. Šis stabilumas lyginamas su tikimybe. Masės reiškinys kaip visuma apibūdinamas tikimybių skirstiniu, tai yra nurodant posistemes ir jas atitinkančias tikimybes. Tikimybių teorijos kalba yra kalba tikimybių skirstiniai. Atitinkamai, tikimybių teorija apibrėžiama kaip abstraktus mokslas apie operaciją su skirstiniais.

Tikimybė moksle paskatino idėjas apie statistinius modelius ir statistines sistemas. Paskutinė esmė sistemos, suformuotos iš nepriklausomų arba beveik nepriklausomų subjektų, jų struktūrai būdingi tikimybių skirstiniai. Tačiau kaip įmanoma suformuoti sistemas iš nepriklausomų subjektų? Paprastai daroma prielaida, kad formuojant sistemas su vientisomis charakteristikomis, būtina, kad tarp jų elementų būtų pakankamai stabilūs ryšiai, kurie sistemas sutvirtina. Statistinių sistemų stabilumą suteikia išorinių sąlygų buvimas, išorinę aplinką, išorinis, ne vidines jėgas. Pats tikimybės apibrėžimas visada grindžiamas pradinio masės reiškinio susidarymo sąlygų nustatymu. Kita svarbi idėja, apibūdinanti tikimybinę paradigmą, yra hierarchijos (pavaldumo) idėja. Ši idėja išreiškia savybių santykį atskiri elementai Ir holistines savybes sistemos: atrodo, kad pastarosios yra pastatytos ant pirmosios.

Tikimybinių metodų svarba pažinimui slypi tame, kad jie leidžia tirti ir teoriškai išreikšti hierarchinę, „dviejų lygių“ struktūrą turinčių objektų ir sistemų struktūros ir elgesio modelius.

Tikimybių prigimties analizė grindžiama jos dažnumu, statistine interpretacija. Tuo pačiu labai ilgą laiką Moksle vyravo toks tikimybės supratimas, kuris buvo vadinamas logine, arba indukcine, tikimybe. Loginę tikimybę domina atskiro, individualaus sprendimo pagrįstumo tam tikromis sąlygomis klausimai. Ar galima įvertinti indukcinės išvados (hipotetinės išvados) patvirtinimo (patikimumo, teisingumo) laipsnį kiekybinė forma? Kuriant tikimybių teoriją tokie klausimai buvo ne kartą aptarinėjami, imta kalbėti apie hipotetinių išvadų patvirtinimo laipsnius. Šis tikimybės matas nustatomas pagal turimą šis asmuo informacija, jo patirtis, požiūris į pasaulį ir psichologinis mąstymas. Visuose panašių atvejų tikimybės dydis nėra pritaikytas griežtiems matavimams ir praktiškai nepatenka į tikimybių teorijos, kaip nuoseklios matematinės disciplinos, kompetenciją.

Objektyvus, dažnas tikimybės aiškinimas moksle įsitvirtino su dideliais sunkumais. Iš pradžių tikimybės prigimties supratimą stipriai veikė tie filosofiniai ir metodologiniai požiūriai, kurie buvo būdingi klasikiniam mokslui. Istoriškai tikimybinių metodų kūrimas fizikoje įvyko lemiamąja mechanikos idėjų įtaka: statistinės sistemos buvo interpretuojami tiesiog kaip mechaniniai. Kadangi atitinkamos problemos nebuvo išspręstos griežti metodai mechanika, tada iškilo teiginiai, kad atsigręžimas į tikimybinius metodus ir statistinius dėsnius yra mūsų žinių neišsamumo rezultatas. Klasikos raidos istorijoje statistinė fizika Daug kartų buvo bandoma tai pagrįsti remiantis klasikinė mechanika tačiau jiems visiems nepavyko. Tikimybės pagrindas yra tai, kad ji išreiškia tam tikros klasės sistemų, išskyrus mechanines, struktūrinius ypatumus: šių sistemų elementų būklei būdingas nestabilumas ir ypatingas (ne redukuojamas į mechaniką) sąveikų pobūdis.

Tikimybės įėjimas į žinias veda prie kietojo determinizmo sampratos paneigimo, prie pagrindinio būties modelio ir žinojimo, sukurto klasikinio mokslo formavimosi procese, paneigimo. Pagrindiniai modeliai, atstovaujamos statistinių teorijų, turi kitokią, daugiau bendras charakteris: Tai apima atsitiktinumo ir nepriklausomybės idėjas. Tikimybės idėja yra susijusi su objektų ir sistemų vidinės dinamikos atskleidimu, kurio negalima visiškai nustatyti išorinės sąlygos ir aplinkybės.

Tikimybinės pasaulio vizijos samprata, pagrįsta nepriklausomybės idėjų suabsoliutinimu (kaip ir anksčiau griežto apsisprendimo paradigmos), dabar atskleidė savo ribotumą, kuris labiausiai veikia perėjimą. šiuolaikinis mokslasĮ analizės metodai sudėtingų sistemų ir saviorganizacijos reiškinių fizinių bei matematinių pagrindų tyrimai.

Puikus apibrėžimas

Neišsamus apibrėžimas ↓

tikimybė- skaičius nuo 0 iki 1, atspindintis tikimybę, kad įvyks atsitiktinis įvykis, kur 0 yra visiškas nebuvimasįvykio tikimybę, o 1 reiškia, kad tas įvykis tikrai įvyks.

Įvykio E tikimybė yra skaičius nuo iki 1.
Viena kitą paneigiančių įvykių tikimybių suma lygi 1.

empirinė tikimybė- tikimybė, kuri apskaičiuojama kaip santykinis praeities įvykio dažnis, gautas iš istorinių duomenų analizės.

Labai retų įvykių tikimybė negali būti empiriškai apskaičiuota.

subjektyvi tikimybė- tikimybė, pagrįsta asmenine subjektyvus vertinimasįvykius, neatsižvelgiant į istorinius duomenis. Investuotojai, kurie priima sprendimus dėl akcijų pirkimo ir pardavimo, dažnai veikia remdamiesi subjektyvia tikimybe.

išankstinė tikimybė -

Tikimybė, kad įvykis įvyks pagal tikimybės sąvoką, yra 1 in... (šansai). Tikimybė, kad įvyks įvykis, išreiškiama tikimybe taip: P/(1-P).

Pavyzdžiui, jei įvykio tikimybė yra 0,5, tada įvykio tikimybė yra 1 iš 2, nes 0,5/(1-0,5).

Tikimybė, kad įvykis neįvyks, apskaičiuojama naudojant formulę (1-P)/P

Nenuosekli tikimybė- pavyzdžiui, į įmonės A akcijų kainą atsižvelgiama į 85 proc. galimas įvykis E, o įmonės B akcijų kainoje tik 50 proc. Tai vadinama nenuoseklia tikimybe. Pagal olandų lažybų teoremą, nenuosekli tikimybė sukuria pelno galimybes.

Besąlyginė tikimybė yra atsakymas į klausimą „Kokia tikimybė, kad įvykis įvyks?

Sąlyginė tikimybė - tai atsakymas į klausimą: „Kokia yra įvykio A tikimybė, jei įvyks įvykis B“. Sąlyginė tikimybė žymima P(A|B).

Bendra tikimybė- tikimybė, kad įvykiai A ir B įvyks vienu metu. Žymima P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Tikimybių sumavimo taisyklė:

Tikimybė, kad įvyks įvykis A arba įvykis B, yra

P (A arba B) = P(A) + P(B) – P(AB) (2)

Jei įvykiai A ir B yra vienas kitą paneigiantys, tada

P (A arba B) = P(A) + P(B)

Nepriklausomi renginiai - įvykiai A ir B yra nepriklausomi, jei

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Tai yra, tai yra rezultatų seka, kurios tikimybės reikšmė yra pastovi nuo vieno įvykio iki kito.
Monetos metimas yra tokio įvykio pavyzdys – kiekvieno sekančio metimo rezultatas nepriklauso nuo ankstesnio rezultato.

Priklausomi įvykiai – tai įvykiai, kai vieno įvykio tikimybė priklauso nuo kito įvykio tikimybės.

Nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklė:
Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Bendrosios tikimybės taisyklė:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S ir S“ yra vienas kitą paneigiantys įvykiai

numatoma vertė atsitiktinis dydis yra galimų rezultatų vidurkis atsitiktinis kintamasis. Įvykio X atveju lūkestis žymimas E(X).

Tarkime, turime 5 vienas kitą paneigiančių įvykių vertes su tam tikra tikimybe (pavyzdžiui, įmonės pajamos buvo tokios ir tokios sumos su tokia tikimybe). Tikėtina vertė yra visų rezultatų suma, padauginta iš jų tikimybės:

Atsitiktinio dydžio dispersija yra atsitiktinio dydžio kvadratinių nuokrypių nuo jo lūkesčių tikėjimas:

s 2 = E( 2 ) (6)

Sąlyginė laukiama reikšmė – tai atsitiktinio dydžio X laukiama reikšmė, su sąlyga, kad įvykis S jau įvyko.

Tikimybėįvykis vadinamas palankių elementarių baigčių skaičiaus santykiu šį įvykį, į visų vienodai galimų patirties, kurioje gali atsirasti šis įvykis, baigčių skaičių. Įvykio A tikimybė žymima P(A) (čia P yra pirmoji raidė prancūziškas žodis tikimybė – tikimybė). Pagal apibrėžimą
(1.2.1)
kur yra elementarių rezultatų, palankių įvykiui A, skaičius; - visų vienodai galimų elementarių eksperimento baigčių skaičius, formavimas pilna grupėįvykius.
Šis tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu. Tai kilo ant pradinis etapas tikimybių teorijos kūrimas.

Įvykio tikimybė turi šias savybes:
1. Tikimybė patikimas įvykis lygus vienam. Patikimą įvykį pažymėkime raide . Todėl tam tikram įvykiui
(1.2.2)
2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui. Neįmanomą įvykį pažymėkime raide . Todėl neįmanomam įvykiui
(1.2.3)
3. Išreiškiama atsitiktinio įvykio tikimybė teigiamas skaičius, mažiau nei vienas. Kadangi atsitiktinio įvykio nelygybės , arba , yra patenkinti, tada
(1.2.4)
4. Bet kokio įvykio tikimybė tenkina nelygybes
(1.2.5)
Tai išplaukia iš santykių (1.2.2) – (1.2.4).

1 pavyzdys. Urnoje yra 10 vienodo dydžio ir svorio kamuoliukų, iš kurių 4 raudoni ir 6 mėlyni. Iš urnos ištraukiamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys bus mėlynas?

Sprendimas. Įvykį „ištrauktas rutulys pasirodė mėlynas“ žymime raide A. Šis testas turi 10 vienodai galimų elementarių rezultatų, iš kurių 6 palankūs įvykiui A. Pagal (1.2.1) formulę gauname

2 pavyzdys. Visi natūralūs skaičiai nuo 1 iki 30 užrašomi ant identiškų kortelių ir dedami į urną. Kruopščiai sumaišius kortas, viena kortelė išimama iš urnos. Kokia tikimybė, kad paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis?

Sprendimas. Pažymėkime A įvykį „paimtoje kortelėje esantis skaičius yra 5 kartotinis“. Šiame teste yra 30 vienodai galimų elementarių baigčių, iš kurių įvykiui A palankios 6 baigtys (skaičiai 5, 10, 15, 20, 25, 30). Vadinasi,

3 pavyzdys. Mesti du kauliukai ir apskaičiuojamas bendras taškų skaičius. viršutiniai veidai. Raskite įvykio B tikimybę, kad kauliukų viršutinės pusės turėtų iš viso 9 taškus.

Sprendimas.Šiame teste yra tik 6 2 = 36 vienodai galimi pagrindiniai rezultatai. B įvykiui palankios 4 baigtys: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), todėl

4 pavyzdys. Pasirinkta atsitiktinai natūralusis skaičius, neviršijant 10. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?

Sprendimas. Raide C pažymėkime įvykį „pasirinktas skaičius pirminis“. IN šiuo atveju n = 10, m = 4 ( pirminiai skaičiai 2, 3, 5, 7). Todėl reikiama tikimybė

5 pavyzdys. Metamos dvi simetriškos monetos. Kokia tikimybė, kad abiejų monetų viršutinėse pusėse yra skaičiai?

Sprendimas. D raide pažymėkime įvykį „kiekvienos monetos viršuje yra skaičius“. Šiame teste yra 4 vienodai galimos elementarios baigtys: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Žymėjimas (G, C) reiškia, kad pirmoji moneta turi herbą, antroji – skaičių). D įvykiui palankus vienas elementarus rezultatas (C, C). Kadangi m = 1, n = 4, tada

6 pavyzdys. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas dviženklis skaičius turi tuos pačius skaitmenis?

Sprendimas. Dviženkliai skaičiai yra skaičiai nuo 10 iki 99; Iš viso yra 90 tokių skaičių, 9 skaičiai turi vienodus skaitmenis (tai skaičiai 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kadangi šiuo atveju m = 9, n = 90, tada
,
kur A yra „skaičius su vienodais skaitmenimis“ įvykis.

7 pavyzdys. Iš žodžio raidžių diferencialas Viena raidė parenkama atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad ši raidė bus: a) balsė, b) priebalsė, c) raidė h?

Sprendimas. Žodis diferencialas turi 12 raidžių, iš kurių 5 balsės ir 7 priebalsiai. Laiškai hšiame žodyje nėra. Pažymime įvykius: A - „balsio raidė“, B - „priebalsio raidė“, C - „raidė h". Palankių elementarių baigčių skaičius: - įvykiui A, - įvykiui B, - įvykiui C. Kadangi n = 12, tada
, Ir.

8 pavyzdys. Mesti du kauliukai ir pažymimas taškų skaičius kiekvieno kauliuko viršuje. Raskite tikimybę, kad abu kauliukai ridens tas pats numeris taškų.

Sprendimas.Šį įvykį pažymėkime raide A. Įvykį A palankiai vertina 6 elementarios baigtys: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Bendras vienodai galimų elementarių baigčių, kurios sudaro visą įvykių grupę, skaičius, šiuo atveju n=6 2 =36. Tai reiškia, kad reikiama tikimybė

9 pavyzdys. Knygoje 300 puslapių. Kokia tikimybė, kad atsidarys atsitiktinai atidarytas puslapis serijos numeris, kartotinis iš 5?

Sprendimas. Iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad visi vienodai galimi elementarūs rezultatai, sudarantys visą įvykių grupę, bus n = 300. Iš jų m = 60 palankūs nurodyto įvykio įvykimui. Iš tiesų, skaičius, kuris yra 5 kartotinis, turi formą 5k, kur k yra natūralusis skaičius ir iš kur . Vadinasi,
, kur A – „puslapio“ įvykio eilės numeris yra 5 kartotinis.

10 pavyzdys. Mesti du kauliukus ir apskaičiuojama taškų suma viršutinėse pusėse. Kas labiau tikėtina – gauti 7 ar 8?

Sprendimas. Pažymėkime įvykius: A – „Išmeta 7 taškai“, B – „Išmeta 8 taškai“. Įvykiui A palankios 6 pagrindinės baigtys: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), o įvykis B yra palankesnis. pagal 5 baigtis: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Visi vienodai galimi elementari rezultatai yra n = 6 2 = 36. Taigi, Ir .

Taigi, P(A)>P(B), ty gauti iš viso 7 taškus yra labiau tikėtinas įvykis nei gauti iš viso 8 taškus.

Užduotys

1. Atsitiktinai parenkamas natūralusis skaičius, neviršijantis 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 3 kartotinis?
2. Urnoje a raudona ir b mėlyni rutuliai, vienodo dydžio ir svorio. Kokia tikimybė, kad iš šios urnos atsitiktinai ištrauktas rutulys bus mėlynas?
3. Atsitiktinai parenkamas skaičius, ne didesnis kaip 30. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra 30 daliklis?
4. Urnoje A mėlyna ir b raudoni rutuliai, vienodo dydžio ir svorio. Iš šios urnos paimamas vienas rutulys ir atidėtas. Šis kamuolys pasirodė raudonas. Po to iš urnos ištraukiamas kitas rutulys. Raskite tikimybę, kad antrasis rutulys taip pat yra raudonas.
5. Atsitiktinai parenkamas nacionalinis skaičius, ne didesnis kaip 50. Kokia tikimybė, kad šis skaičius yra pirminis?
6. Mesti trys kauliukai ir apskaičiuojama taškų suma ant viršutinių veidelių. Kas didesnė tikimybė – surinkti 9 ar 10 balų?
7. Metami trys kauliukai ir apskaičiuojama išmesta taškų suma. Kas didesnė tikimybė – iš viso surinkti 11 (įvykis A) ar 12 taškų (įvykis B)?

Atsakymai

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 – tikimybė iš viso gauti 9 balus; p 2 = 27/216 – tikimybė iš viso gauti 10 balų; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Klausimai

1. Kaip vadinama įvykio tikimybė?
2. Kokia patikimo įvykio tikimybė?
3. Kokia yra neįmanomo įvykio tikimybė?
4. Kokios yra atsitiktinio įvykio tikimybės ribos?
5. Kokios yra bet kokio įvykio tikimybės ribos?
6. Koks tikimybės apibrėžimas vadinamas klasikiniu?

Kai moneta yra išmesta, galime sakyti, kad ji nusileis galva į viršų arba tikimybė tai yra 1/2. Žinoma, tai nereiškia, kad jei moneta bus išmesta 10 kartų, ji būtinai nukris ant galvų 5 kartus. Jei moneta yra „sąžininga“ ir jei ji daug kartų mėtoma, pusę laiko galvos nusileis labai arti. Taigi, yra dviejų tipų tikimybės: eksperimentinis Ir teorinis .

Eksperimentinė ir teorinė tikimybė

Jei mesti monetą didelis skaičius kartų – tarkime 1000 – ir suskaičiavę, kiek kartų jis nusileidžia galvomis, galime nustatyti tikimybę, kad jis nusileis. Jei galvos metamos 503 kartus, galime apskaičiuoti tikimybę, kad ji nusileis:
503/1000 arba 0,503.

Tai eksperimentinis tikimybės nustatymas. Šis tikimybės apibrėžimas gaunamas stebint ir tiriant duomenis ir yra gana įprastas ir labai naudingas. Pavyzdžiui, yra keletas tikimybių, kurios buvo nustatytos eksperimentiniu būdu:

1. Tikimybė, kad moteris susirgs krūties vėžiu, yra 1/11.

2. Jei bučiuojatės peršalusį žmogų, tada tikimybė, kad ir jūs peršalsite, yra 0,07.

3. Asmuo, ką tik paleistas iš kalėjimo, turi 80% galimybę grįžti į kalėjimą.

Jei apsvarstysime galimybę mesti monetą ir atsižvelgdami į tai, kad ji taip pat gali kilti ant galvos ar uodegos, galime apskaičiuoti tikimybę gauti galvų: 1/2 teorinis apibrėžimas tikimybės. Štai keletas kitų tikimybių, kurios buvo nustatytos teoriškai naudojant matematiką:

1. Jei kambaryje yra 30 žmonių, tikimybė, kad du iš jų turi tą patį gimtadienį (neįskaitant metų), yra 0,706.

2. Kelionės metu sutinki ką nors, o pokalbio metu atrandi, kad turi bendrą draugą. Tipiška reakcija: „Taip negali būti! Tiesą sakant, ši frazė netinka, nes tokio įvykio tikimybė yra gana didelė – kiek daugiau nei 22%.

Taigi eksperimentinės tikimybės nustatomos stebint ir renkant duomenis. Teorinės tikimybės nustatomos matematiniais samprotavimais. Eksperimentinių ir teorinių tikimybių pavyzdžiai, pavyzdžiui, aptarti aukščiau, o ypač tie, kurių nesitikime, atkreipia mus į tikimybių tyrimo svarbą. Galite paklausti: „Kas yra tikroji tikimybė? Tiesą sakant, tokio dalyko nėra. Galima eksperimentiškai nustatyti tikimybes tam tikrose ribose. Jie gali sutapti arba nesutapti su tikimybėmis, kurias gauname teoriškai. Yra situacijų, kai daug lengviau nustatyti vienos rūšies tikimybę nei kitą. Pavyzdžiui, tikimybę peršalti pakaktų rasti naudojant teorinę tikimybę.

Eksperimentinių tikimybių skaičiavimas

Pirmiausia pasvarstykime eksperimentinis nustatymas tikimybės. Pagrindinis principas, kurį naudojame apskaičiuodami tokias tikimybes, yra toks.

Principas P (eksperimentinis)

Jei eksperimente, kurio metu atliekama n stebėjimų, situacija arba įvykis E įvyksta m kartų per n stebėjimų, tada eksperimentinė įvykio tikimybė yra P (E) = m/n.

1 pavyzdys Sociologinė apklausa. Buvo surengtas eksperimentinis tyrimas nustatyti kairiarankių, dešiniarankių ir žmonių, kurių abi rankos vienodai išsivysčiusios, skaičių. Rezultatai pateikti grafike.

a) Nustatykite tikimybę, kad asmuo yra dešiniarankis.

b) Nustatykite tikimybę, kad asmuo yra kairiarankis.

c) Nustatykite tikimybę, kad asmuo vienodai laisvai mokės abiem rankomis.

d) Daugelyje profesionalių boulingo asociacijų turnyrų gali dalyvauti 120 žaidėjų. Kiek žaidėjų gali būti kairiarankių, remiantis šio eksperimento duomenimis?

Sprendimas

a) Dešiniarankių yra 82, kairiarankių – 17, o abiem rankomis vienodai laisvai kalbančių – 1. Bendras kiekis pastebėjimai - 100. Taigi tikimybė, kad žmogus yra dešiniarankis, yra P
P = 82/100 arba 0,82 arba 82 %.

b) Tikimybė, kad žmogus yra kairiarankis, yra P, kur
P = 17/100, arba 0,17, arba 17%.

c) Tikimybė, kad žmogus vienodai laisvai kalba abiem rankomis, yra P, kur
P = 1/100 arba 0,01 arba 1 %.

d) 120 boulingų, o iš (b) galime tikėtis, kad 17% yra kairiarankiai. Iš čia
17 % iš 120 = 0,17,120 = 20,4,
tai yra, galime tikėtis, kad apie 20 žaidėjų bus kairiarankiai.

2 pavyzdys Kokybės kontrolė . Gamintojui labai svarbu išlaikyti savo gaminių kokybę aukšto lygio. Tiesą sakant, įmonės samdo kokybės kontrolės inspektorius, kad užtikrintų šį procesą. Tikslas – pagaminti minimumą galimas kiekis nekokybiški gaminiai. Tačiau kadangi įmonė kasdien pagamina tūkstančius gaminių, ji negali sau leisti išbandyti kiekvieno gaminio, kad nustatytų, ar jis yra brokuotas, ar ne. Siekdama išsiaiškinti, kiek procentų gaminių yra brokuoti, įmonė išbando kur kas mažiau gaminių.
ministerija žemės ūkis JAV reikalauja, kad 80% augintojų parduodamų sėklų turi sudygti. Norint nustatyti žemės ūkio bendrovės gaminamų sėklų kokybę, iš tų, kurios buvo pagamintos, pasėjama 500 sėklų. Po to buvo paskaičiuota, kad išdygo 417 sėklų.

a) Kokia tikimybė, kad sėkla sudygs?

b) Ar sėklos atitinka vyriausybės standartus?

Sprendimas a) Žinome, kad iš 500 pasodintų sėklų išdygo 417. Sėklų sudygimo tikimybė P, ir
P = 417/500 = 0,834 arba 83,4%.

b) Kadangi sudygusių sėklų procentas viršijo 80%, kaip reikalaujama, sėklos atitinka vyriausybės standartus.

3 pavyzdys Televizijos reitingai. Remiantis statistika, JAV yra 105 500 000 namų ūkių su televizoriais. Kiekvieną savaitę renkama ir apdorojama informacija apie programų peržiūrą. Per vieną savaitę 7 815 000 namų ūkių prisijungė prie sėkmingo komedijos serialo „Everybody Loves Raymond“ per CBS ir 8 302 000 namų ūkių prisijungė prie sėkmingo serialo „Įstatymas ir tvarka“ per NBC (šaltinis: Nielsen Media Research). Kokia tikimybė, kad vieno namų ūkio televizorius per tam tikrą savaitę bus suderintas su „Everybody Loves Raymond“?

Sprendimas Tikimybė, kad televizorius viename namų ūkyje yra sureguliuotas pagal „Everybody Loves Raymond“ yra P, ir
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Tikimybė, kad namų ūkio televizorius buvo sureguliuotas pagal Įstatymą ir tvarką, yra P ir
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Šie procentai vadinami reitingais.

Teorinė tikimybė

Tarkime, kad atliekame eksperimentą, pavyzdžiui, metame monetą ar smiginį, traukiame kortą iš kaladės arba tikriname gaminių kokybę surinkimo linijoje. Kiekvienas galimas tokio eksperimento rezultatas vadinamas Išėjimas . Visų galimų rezultatų rinkinys vadinamas rezultato erdvė . Renginys tai rezultatų rinkinys, tai yra rezultatų erdvės poaibis.

4 pavyzdys Smiginio mėtymas. Tarkime, kad smiginio metimo eksperimente smiginys pataiko į taikinį. Raskite kiekvieną iš šių:

b) Rezultatų erdvė

Sprendimas
a) Rezultatai: pataikyti į juodą (B), pataikyti į raudoną (R) ir pataikyti į baltą (B).

b) Rezultatų erdvė yra (pataikyti juodai, pataikyti raudonai, pataikyti baltai), kurią galima parašyti tiesiog kaip (H, K, B).

5 pavyzdys Kauliukų mėtymas. Kauliukas yra kubas su šešiomis kraštinėmis, ant kurių kiekvienoje yra nuo vieno iki šešių taškų.


Tarkime, mes metame kauliuką. Rasti
a) Rezultatai
b) Rezultatų erdvė

Sprendimas
a) Rezultatai: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Rezultatų erdvė (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Tikimybę, kad įvykis E įvyks, žymime P(E). Pavyzdžiui, „moneta nusileis ant galvų“ gali būti pažymėta H. Tada P(H) reiškia tikimybę, kad moneta nusileis ant galvų. Kai visi eksperimento rezultatai turi vienodą tikimybę, jie yra vienodai tikėtini. Norėdami pamatyti skirtumus tarp įvykių, kurie yra vienodai tikėtini, ir įvykių, kurie ne, apsvarstykite toliau pateiktą tikslą.

A taikinio atveju juodos, raudonos ir baltos spalvos smūgio įvykiai yra vienodai tikėtini, nes juodi, raudoni ir balti sektoriai yra vienodi. Tačiau taikinio B zonos su šiomis spalvomis nėra vienodos, tai yra, pataikyti į jas nėra vienodai tikėtina.

Principas P (teorinis)

Jei įvykis E gali įvykti m būdu iš n galimų vienodai tikėtinų rezultatų iš rezultatų erdvės S, tada teorinė tikimybė įvykių, P(E) yra
P(E) = m/n.

6 pavyzdys Kokia tikimybė metant kauliuką gauti 3?

Sprendimas Su kauliuku yra 6 vienodai tikėtini rezultatai ir yra tik viena galimybė išmesti skaičių 3. Tada tikimybė P bus P(3) = 1/6.

7 pavyzdys Kokia tikimybė išmesti lyginį skaičių ant kauliuko?

SprendimasĮvykis – lyginio skaičiaus metimas. Tai gali atsitikti 3 būdais (jei metate 2, 4 arba 6). Vienodai tikėtinų baigčių skaičius yra 6. Tada tikimybė P(lyginis) = 3/6, arba 1/2.

Naudosime keletą pavyzdžių, susijusių su standartine 52 kortų kalade. Ši kaladė susideda iš kortų, parodytų paveikslėlyje žemiau.

8 pavyzdys Kokia tikimybė ištraukti Tūzą iš gerai išmaišytos kortų kaladės?

Sprendimas Yra 52 baigtys (kortų skaičius kaladėje), jie yra vienodai tikėtini (jei kaladė gerai sumaišoma), ir yra 4 būdai ištraukti Tūzą, todėl pagal P principą tikimybė
P (ištraukite tūzą) = 4/52 arba 1/13.

9 pavyzdys Tarkime, nežiūrėdami išsirenkame vieną kamuoliuką iš maišelio su 3 raudonais ir 4 žaliais kamuoliukais. Kokia tikimybė pasirinkti raudoną rutulį?

Sprendimas Yra 7 vienodai tikėtini bet kurio rutulio ištraukimo rezultatai, o kadangi raudono rutulio ištraukimo būdų skaičius yra 3, gauname
P (raudonojo kamuoliuko pasirinkimas) = ​​3/7.

Šie teiginiai yra P principo rezultatai.

Tikimybių savybės

a) Jei įvykis E negali įvykti, tai P(E) = 0.
b) Jei įvykis E tikrai įvyks, tada P(E) = 1.
c) Tikimybė, kad įvyks įvykis E, yra skaičius nuo 0 iki 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Pavyzdžiui, metant monetą, tikimybė, kad moneta atsidurs ant jos krašto, yra nulinė. Tikimybė, kad moneta yra galva arba uodega, yra 1.

10 pavyzdys Tarkime, kad iš 52 kortų kaladės ištraukiamos 2 kortos. Kokia tikimybė, kad jie abu yra viršūnės?

Sprendimas Skaičius n būdų ištraukti 2 kortas iš gerai išmaišytos 52 kortų kaladės yra 52 C 2 . Kadangi 13 iš 52 kortų yra kastuvai, tai būdų m, kaip ištraukti 2 kastuvus, skaičius yra 13 C 2 . Tada
P (traukiant 2 smailes) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11 pavyzdys Tarkime, iš 6 vyrų ir 4 moterų grupės atsitiktinai atrenkami 3 žmonės. Kokia tikimybė, kad bus atrinktas 1 vyras ir 2 moterys?

Sprendimas Būdų, kaip pasirinkti tris žmones iš 10 žmonių grupės, skaičius yra 10 C 3. Vienas vyras gali būti pasirinktas 6 C 1 būdais, o 2 moterys – 4 C 2 būdais. Pagal pagrindinį skaičiavimo principą, būdų, kaip pasirinkti 1 vyrą ir 2 moteris, yra 6 C 1. 4 C 2 . Tada tikimybė, kad bus atrinktas 1 vyras ir 2 moterys
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12 pavyzdys Kauliukų mėtymas. Kokia tikimybė išmesti 8 ant dviejų kauliukų?

Sprendimas Kiekvienas kauliukas turi 6 galimus rezultatus. Rezultatai padvigubėja, o tai reiškia, kad yra 6,6 arba 36 galimi būdai, kuriais skaičiai ant dviejų kauliukų gali pasirodyti. (Geriau, jei kubeliai skiriasi, tarkime, kad vienas raudonas, o kitas mėlynas – tai padės vizualizuoti rezultatą.)

Skaičių poros, kurios sudaro 8, parodytos toliau pateiktame paveikslėlyje. Yra 5 galimi būdai gaunant sumą, lygią 8, vadinasi, tikimybė yra 5/36.