Figūrų panašumo požymiai. Panašių figūrų savybės

Pavyzdžiai

Kiekvienas homotetiškumas yra panašumas.
Kiekvienas judesys (įskaitant identiškus) taip pat gali būti laikomas panašumo transformacija su koeficientu k = 1 .

Panašios figūros paveikslėlyje yra tos pačios spalvos.

Susiję apibrėžimai

Savybės

IN metrinės erdvės kaip ir viduje n-dimensinės Riemanno, pseudo-Riemano ir Finslerio erdvės, panašumas apibrėžiamas kaip transformacija, perimanti erdvės metriką į save iki pastovaus faktoriaus.

Visų n-matės euklido, pseudoeuklido, Riemanno, pseudo-Riemano ar Finslerio erdvės panašumų rinkinys yra r-narių Lie transformacijų grupė, vadinama atitinkamos erdvės panašių (homotetinių) transformacijų grupe. Kiekviename iš nurodytų tipų tarpų r-panašių Lie transformacijų narių grupėje yra ( r− 1) -narys normalus judesių pogrupis.

Taip pat žr

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Panašūs skaičiai“ kituose žodynuose: PANAŠIOS FIGŪROS - atitinkamus skaičius linijiniai elementai yra proporcingi, o kampai tarp jų yra lygūs, t.y., kada ta pati forma turėti … skirtingų dydžių

Didžioji politechnikos enciklopedija Dvi homologinės figūros vadinamos grupe, jei atitinkamų taškų atstumai iki centro yra proporcingi. Iš to aišku, kad G. figūros yra panašios figūros ir panašiai išsidėsčiusios, arba panašios ir atvirkščiai. Homologijos centras šioje...... Enciklopedinis žodynas

F. Brockhausas ir I.A. Efronas

Pitagoro teorema yra viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatančių ryšį tarp stačiojo trikampio kraštinių. Turinys 1 Formulės 2 Įrodymai ... Vikipedija

Shield of Tinkture Skydo laikiklis Skydo laikiklis (šūkis) ... Vikipedija

Garsioji Sheela na Gig iš bažnyčios Kilpeck mieste, Anglijoje Sheela na Gig (angl. Sheela na Gig) skulptūriniai nuogų moterų atvaizdai, dažniausiai padidinami ... Wikipedia

- ... Vikipedija

Antrą kartą planavau vykti į juodaodžių šalį, nekreipdamas dėmesio į tai, kad jos pragariškas klimatas vos neužmušė jau pirmoje kelionėje. Į šią kelionę ėjau su labai prieštaringais jausmais ir negalėjau atsikratyti įvairių... ... Gyvūnų gyvybės Bendras pavadinimas su santykinai aiškus turinys cheminis elementas“, „teisė“, „gravitacija“, „astronomija“, „poezija“ ir kt. Yra aiški riba tarp tų pavadinimų, kuriuos galima pavadinti P... Filosofinė enciklopedija

Čia surinkti planimetrijos terminų apibrėžimai. Nuorodos į terminus šiame žodyne (šiame puslapyje) yra kursyvu. # A B C D E E E F G H I K L M N O P R S ... Vikipedija

Čia surinkti planimetrijos terminų apibrėžimai. Nuorodos į terminus šiame žodyne (šiame puslapyje) yra kursyvu. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Vikipedija

Knygos

Pranašai ir stebukladariai. Eskizai apie mistiką, V. E. Rožnovas. Maskva, 1977 m. Politizdat. Savininko įrišimas. Būklė gera. Spiritizmas ir astrologija, teosofija ir okultizmas – šiuos žodžius nuolat galima rasti žurnalų ir laikraščių puslapiuose...
Skaičius, forma, dydis. Užsiėmimams su vaikais nuo 4 iki 5 metų. Knyga su žaidimu ir lipdukais, Dorofejeva A.. Albumas „Paskyra. Forma. Magnitude“ iš serijos „Septynių nykštukų mokykla“, penktieji studijų metai, yra ugdymo vadovas, kuriame kiekviena pamoka vedama žaismingai ir toliau suteikia vaikams…

Tema: „Figūnų panašumas“

Užbaigta:

Patikrinta:

1. Panašumo transformacija

2. Panašumo transformacijos savybės

3. Figūrų panašumas

4. Trikampių, esančių dviem kampais, panašumo ženklas

5. Trikampių iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų panašumo ženklas

6. Trikampių trijų kraštinių panašumo ženklas

7. Panašumas stačiųjų trikampių

8. Į apskritimą įbrėžti kampai

9. Apskritimo akordų ir sekantų atkarpų proporcingumas

10. Uždaviniai tema „Figūrų panašumas“

1. PANAŠUMO TRANSFORMACIJA

Figūros pavertimas figūra F" vadinamas panašumo transformacija, jei šios transformacijos metu atstumai tarp taškų pasikeičia tiek pat kartų (1 pav.). Tai reiškia, kad jei savavališki taškai X, Y figūros F, atliekant panašumo transformaciją, patenka į figūros F taškus X", Y", tada X "Y" = k-XY, o skaičius k yra vienodas visuose taškuose X, Y. Skaičius k yra vadinamas panašumo koeficientu Jei k = l, panašumo transformacija akivaizdžiai yra judėjimas.

Tegul F - ši figūra ir O – fiksuotas taškas (2 pav.). Nubrėžkime spindulį OX per savavališką figūros F tašką X ir nubraižykime jame atkarpą OX, lygią k OX, kur k yra teigiamas skaičius. Figūros F transformacija, kurioje kiekvienas jos taškas X eina į tašką X", sukonstruotas nurodytu būdu, vadinamas homotetiškumu centro O atžvilgiu. Skaičius k vadinamas homotetiškumo koeficientu, figūros F ir F“ vadinami homotetiniais.

1 teorema. Homotetiškumas yra panašumo transformacija

Įrodymas. Tegu O homotetiškumo centras, k homotetiškumo koeficientas, X ir Y du savavališki figūros taškai (3 pav.)

3 pav.4 pav

Esant homotetiškumui, taškai X ir Y patenka į taškus X" ir Y" atitinkamai spinduliuose OX ir OY, o OX" = k · OX, OY" = k · OY. Tai reiškia vektorines lygybes OX" = kOX, OY" = kOY.

Atėmus šias lygybes pagal terminą, gauname: OY"-OX" = k (OY-OX).

Kadangi OY" - OX" = X"Y", OY -OX = XY, tada X"Y" = kХY. Tai reiškia /X"Y"/=k /XY/, t.y. X"Y" = kXY. Vadinasi, homotetiškumas yra panašumo transformacija. Teorema įrodyta.

Panašumo transformacija plačiai naudojama praktikoje darant mašinų dalių, konstrukcijų brėžinius, aikštelių planus ir kt. Šie vaizdai yra panašios viso dydžio įsivaizduojamų vaizdų transformacijos. Panašumo koeficientas vadinamas masteliu. Pavyzdžiui, jei reljefo atkarpa pavaizduota masteliu 1:100, tai reiškia, kad vienas centimetras plane atitinka 1 m ant žemės.

Užduotis. 4 paveiksle parodytas valdos planas 1:1000 masteliu. Nustatykite valdos matmenis (ilgį ir plotį).

Sprendimas. Dvaro ilgis ir plotis plane yra 4 cm ir 2,7 cm Kadangi planas sudarytas masteliu 1:1000, valdos matmenys yra atitinkamai 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. PANAŠUMO TRANSFORMACIJOS SAVYBĖS

Kaip ir judėjimo atveju, įrodyta, kad panašumo transformacijos metu trys taškai A, B, C, esantys toje pačioje tiesėje, patenka į tris taškus A 1, B 1, C 1, taip pat esančius toje pačioje tiesėje. Be to, jei taškas B yra tarp taškų A ir C, tai taškas B 1 yra tarp taškų A 1 ir C 1. Iš to išplaukia, kad panašumo transformacija paverčia linijas tiesiomis linijomis, pusiau linijas į puslinijas, o atkarpas – į atkarpas.

Įrodykime, kad panašumo transformacija išsaugo kampus tarp pustiesių.

Iš tiesų, kampas ABC paverčiamas panašumo transformacija su koeficientu k į kampą A 1 B 1 C 1 (5 pav.). Padarykime kampą ABC homotetiškumo transformacijai jo viršūnės B atžvilgiu su homotetiškumo koeficientu k. Tokiu atveju taškai A ir C bus perkelti į taškus A 2 ir C 2. Trikampiai A 2 BC 2 ir A 1 B 1 C 1 yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų. Iš trikampių lygybės išplaukia, kad kampai A 2 BC 2 ir A 1 B 1 C 1 yra lygūs. Tai reiškia, kad kampai ABC ir A 1 B 1 C 1 yra lygūs, ką ir reikėjo įrodyti.

Trikampių medianos; 4. , kur BH ir B1H1 yra trikampių aukščiai. §5. Darbo patirtis Tikslas patyręs darbas: identifikavimas metodinės savybės studijuodamas temą „Panašūs trikampiai“. vidurinę mokyklą. Idėja: norint nustatyti metodinius ypatumus, reikia pravesti kelias pamokas naudojant sukurtą metodiką, o pasibaigus mokymui, pravesti bandomasis darbas, išanalizavus galima spręsti...

Pozityvizmas. Pozityvistams tik tai, kas gaunama padedant kiekybiniai metodai. Mokslu pripažįstama tik matematika ir gamtos mokslai, o socialiniai mokslai nustumti į mitologijos sritį. Neopozityvizmas, neopozityvistai pedagogikos silpnumą mato tame, kad joje vyrauja nenaudingos idėjos ir abstrakcijos, o ne tikrus faktus. Ryškus...

SANTRAUKA

Tema: „Figūnų panašumas“

Užbaigta:

studentas

Patikrinta:

1. Panašumo transformacija

2. Panašumo transformacijos savybės

3. Figūrų panašumas

4. Trikampių, esančių dviem kampais, panašumo ženklas

5. Trikampių iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų panašumo ženklas

6. Trikampių trijų kraštinių panašumo ženklas

7. Stačiųjų trikampių panašumas

8. Į apskritimą įbrėžti kampai

9. Apskritimo akordų ir sekantų atkarpų proporcingumas

10. Uždaviniai tema „Figūrų panašumas“

1. PANAŠUMO TRANSFORMACIJA

Figūros F pavertimas figūra F "vadinamas panašumo transformacija, jei šios transformacijos metu atstumai tarp taškų pasikeičia tiek pat kartų (1 pav.). Tai reiškia, kad jei atsitiktiniai taškai X, Y F figūra, atliekant panašumo transformaciją, virsta taškais X“, Y „figūra F“, tada X“Y“ = k-XY, o skaičius k yra vienodas visuose taškuose X, Y. Skaičius k vadinamas panašumo koeficientas. Jei k = l, panašumo transformacija akivaizdžiai yra judėjimas.

Tegu F yra duotoji figūra, o O – fiksuotasis taškas (2 pav.). Per savavališką figūros F tašką X nubrėžkime spindulį OX ir nubrėžkime jame atkarpą OX", lygią k·OX, kur k yra teigiamas skaičius. Figūros transformacija, kurioje kiekvienas jos taškas X eina į tašką X", sukonstruotas nurodytu būdu, vadinamas homotetiškumu centro O atžvilgiu. Skaičius k vadinamas homotetiškumo koeficientu, skaičiai F ir F" – homotetiniais.

1 teorema. Homotetiškumas yra panašumo transformacija

Įrodymas. Tegul O yra homotetiškumo centras, k yra homotetiškumo koeficientas, X ir Y yra du savavališki figūros taškai (3 pav.)

3 pav.4 pav

Esant homotetiškumui, taškai X ir Y patenka į taškus X" ir Y" atitinkamai spinduliuose OX ir OY, o OX" = k · OX, OY" = k · OY. Tai reiškia vektorines lygybes OX" = kOX, OY" = kOY.

Atėmus šias lygybes pagal terminą, gauname: OY"-OX" = k (OY-OX).

Kadangi OY" - OX" = X"Y", OY -OX = XY, tada X"Y" = kХY. Tai reiškia /X"Y"/=k /XY/, t.y. X"Y" = kXY. Vadinasi, homotetiškumas yra panašumo transformacija. Teorema įrodyta.

Užduotis. 4 paveiksle parodytas valdos planas 1:1000 masteliu. Nustatykite valdos matmenis (ilgį ir plotį).

Sprendimas. Dvaro ilgis ir plotis plane yra 4 cm ir 2,7 cm Kadangi planas sudarytas masteliu 1:1000, valdos matmenys yra atitinkamai 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. PANAŠUMO TRANSFORMACIJOS SAVYBĖS

Įrodykime, kad panašumo transformacija išsaugo kampus tarp pustiesių.

3. FIGŪRŲ PANAŠUMAS

Dvi figūros vadinamos panašiomis, jei jos viena į kitą paverčiamos panašumo transformacija. Figūrų panašumui nurodyti naudojama speciali piktograma: ∞. Žymėjimas F∞F“ skamba taip: „Figūra F yra panaši į figūrą F“.

Įrodysime, kad jei figūra F 1 yra panaši į figūrą F 2, o figūra F 2 panaši į figūrą F 3, tai figūros F 1 ir F 3 yra panašios.

Tegul X 1 ir Y 1 yra du savavališki figūros F 1 taškai. Panašumo transformacija, paverčianti figūrą F 1 į F 2, paverčia šiuos taškus taškais X 2, Y 2, kuriems X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

Panašumo transformacija, paverčianti figūrą F 2 į F 3, paverčia taškus X 2, Y 2 į taškus X 3, Y 3, kuriems X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Iš lygybių

X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

iš to seka, kad X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . Tai reiškia, kad figūros F 1 transformacija į F 3, gauta nuosekliai atliekant dvi panašumo transformacijas, yra panašumas. Vadinasi, skaičiai F 1 ir F 3 yra panašūs, tai ir reikėjo įrodyti.

Trikampių panašumo žymėjime: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - daroma prielaida, kad viršūnės, sujungtos panašumo transformacija, yra atitinkamose vietose, t.y. A patenka į A 1, B į B 1, o C į C 1.

Iš panašumo transformacijos savybių išplaukia, kad panašių skaičių atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamos atkarpos yra proporcingos. Visų pirma tokie trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1

A = A 1, B = B 1, C = C 1

4. TRIKAMPIŲ PANAŠUMO REIKŠMĖ PAGAL DU KAMPUS

2 teorema. Jei vieno trikampio du kampai lygūs dviem kito trikampio kampams, tai tokie trikampiai yra panašūs.

Įrodymas. Tegu trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 A=A 1, B=B 1. Įrodykime, kad ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Tegul . Padarykime trikampį A 1 B 1 C 1 panašumo transformacijai su panašumo koeficientu k, pavyzdžiui, homotetiškumą (6 pav.). Šiuo atveju gauname kokį nors trikampį A 2 B 2 C 2, lygus trikampiui ABC. Iš tiesų, kadangi panašumo transformacija išsaugo kampus, tada A 2 = A 1, B 2 = B 1. Tai reiškia, kad trikampiai ABC ir A turi 2 B 2 C 2 A = A 2, B = B 2 . Toliau A 2 B 2 = kA 1 B 1 =AB. Vadinasi, trikampiai ABC ir A 2 B 2 C 2 yra lygūs pagal antrąjį kriterijų (šalia ir gretimi kampai).

Kadangi trikampiai A 1 B 1 C 1 ir A 2 B 2 C 2 yra homotetiški ir todėl panašūs, o trikampiai A 2 B 2 C 2 ir ABC yra lygūs ir todėl taip pat panašūs, tai trikampiai A 1 B 1 C 1 ir ABC yra panašūs . Teorema įrodyta.

Užduotis. Tiesiai, lygiagrečiai šonui Trikampio ABC kraštinę AC kerta taške A 1, o kraštinę BC – taške B 1. Įrodykite, kad Δ ABC ~ ΔA 1 B 1 C.

Sprendimas (7 pav.). Trikampiai ABC ir A 1 B 1 C turi bendrą kampą viršūnėje C, o kampai CA 1 B 1 ir CAB yra lygūs lygiagrečių AB ir A 1 B 1 atitinkamiems kampams su sekante AC. Todėl ΔАВС~ΔА 1 В 1 С dviem kampais.

5. TRIKAMPIŲ Dviejų Kraštinių IR KAMPO TARP TARP PANAŠUMO REIKŠMĖ

3 teorema. Jei vieno trikampio dvi kraštinės yra proporcingos kito trikampio dviem kraštinėms ir šių kraštinių suformuoti kampai yra lygūs, tai trikampiai yra panašūs.

Įrodymas (panašus į 2 teoremos įrodymą). Tegu trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 C=C 1 ir AC=kA 1 C 1, BC=kB 1 C 1. Įrodykime, kad ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Trikampį A 1 B 1 C 1 pateiksime panašumo transformacijai su panašumo koeficientu k, pavyzdžiui, homotetiškumą (8 pav.).

Šiuo atveju gauname tam tikrą trikampį A 2 B 2 C 2, lygų trikampiui ABC. Iš tiesų, kadangi panašumo transformacija išsaugo kampus, tai C 2 = = C 1 . Tai reiškia, kad trikampiai ABC ir A turi 2 B 2 C 2 C=C 2. Toliau A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 = BC. Vadinasi, trikampiai ABC ir A 2 B 2 C 2 yra lygūs pagal pirmąjį kriterijų (dvi kraštinės ir kampas tarp jų).

Užduotis. Trikampyje ABC, kurio smailusis kampas C, brėžiamos aukščių AE ir BD (9 pav.). Įrodykite, kad ΔABC~ΔEDC.

Sprendimas. Trikampiai ABC ir EDC turi bendrą viršūnės kampą C. Įrodykime prie šio kampo esančių trikampių kraštinių proporcingumą. Turime EC = AC cos γ, DC = BC cos γ. Tai yra, kraštinės, esančios šalia kampo C, yra proporcingos trikampiams. Tai reiškia ΔABC~ΔEDC dviejose pusėse ir kampą tarp jų.

6. TRIKAMPIŲ PANAŠUMO REIKŠMĖ IŠ TRIJŲ Kraštinių

4 teorema. Jei vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra panašūs.

Įrodymas (panašus į 2 teoremos įrodymą). Tegu trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 AB = kA 1 B 1, AC = kA 1 C 1, BC = kB 1 C 1. Įrodykime, kad ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1.

Padarykime trikampį A 1 B 1 C 1 panašumo transformacijai su panašumo koeficientu k, pavyzdžiui, homotetiškumą (10 pav.). Šiuo atveju gauname tam tikrą trikampį A 2 B 2 C 2, lygų trikampiui ABC. Iš tiesų, trikampių atitinkamos kraštinės yra lygios:

A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB, A 2 C 2 = kA 1 C 1 = AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 = BC.

Vadinasi, trikampiai yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų (iš trijų kraštinių).

Užduotis. Įrodykite, kad panašių trikampių perimetrai yra susiję kaip atitinkamos kraštinės.

Sprendimas. Tegu ABC ir A 1 B 1 C 1 yra panašūs trikampiai. Tada trikampio A 1 B 1 C 1 kraštinės yra proporcingos trikampio ABC kraštinėms, t.y. A 1 B 1 =kAB, B 1 C 1 = kBC, A 1 C 1 =kAC. Sudėjus šias lygybes po termino, gauname:

A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

tai yra, trikampių perimetrai yra susiję kaip atitinkamos kraštinės.

7. STAČIAKAMPIŲ TRIKAMPIŲ PANAŠUMAS

Statusis trikampis turi vieną stačią kampą. Todėl pagal 2 teoremą, kad du stačiakampiai trikampiai būtų panašūs, pakanka, kad kiekvienas iš jų turi vienodą smailųjį kampą.

Naudodami šį stačiųjų trikampių panašumo testą, įrodysime kai kuriuos trikampių ryšius.

Tegu ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C. Nubrėžkite aukštį CD iš viršūnės stačiu kampu(11 pav.).

Trikampiai ABC ir CBD turi bendrą kampą viršūnėje B. Todėl jie yra panašūs: ΔABC~ΔCBD. Iš trikampių panašumo matyti, kad atitinkamos kraštinės yra proporcingos:

Šis ryšys paprastai formuluojamas taip: stačiojo trikampio kojelė yra proporcingas vidurkis tarp hipotenuzės ir šios kojos projekcijos į hipotenuzą.

Statieji trikampiai ACD ir CBD taip pat yra panašūs. Jie yra lygūs aštrių kampų viršūnėse A ir C. Iš šių trikampių panašumo matyti, kad jų kraštinės yra proporcingos:

Šis ryšys paprastai formuluojamas taip: stačiojo trikampio, nubrėžto iš stačiojo kampo viršūnės, aukštis yra vidurkis proporcingas tarp I kojelių projekcijų į hipotenuzę.

Įrodykime kitas turtas Trikampio pusiausvyros: trikampio pusiausvyra padalija priešingą kraštinę į atkarpas, proporcingas kitoms dviem kraštinėms.

Tegu CD yra trikampio ABC pusiausvyra (12 pav.). Jei trikampis ABC yra lygiašonis su pagrindu AB, tada nurodyta pusiausvyros savybė yra akivaizdi, nes šiuo atveju pusė CD yra ir mediana.

Pasvarstykime bendras atvejis, kai AC≠BC. Iš viršūnių A ir B įmeskime statmenus AF ir BE į tiesę CD.

Statieji trikampiai ACF ir VSE yra panašūs, nes jų smailieji kampai viršūnėje C yra vienodi. Iš trikampių panašumo išplaukia kraštinių proporcingumas:

Statieji trikampiai ADF ir BDE taip pat panašūs. Jų kampai viršūnėje D yra lygūs vertikaliems. Iš trikampių panašumo išplaukia kraštinių proporcingumas:

Palyginę šią lygybę su ankstesne, gauname:

tai yra, atkarpos AD ir BD yra proporcingos kraštinėms AC ir BC, ką ir reikėjo įrodyti.

8. KAMPAI, ĮTRAUKTI Į RATU

Kampas padalija plokštumą į dvi dalis. Kiekviena dalis vadinama plokštumos kampu. 13 paveiksle vienas iš plokštumos kampų su kraštinėmis a ir b yra užtamsintas. Plokšti kampai su bendrosios pusės vadinami papildomais.

Jei plokštumos kampas yra pusės plokštumos dalis, tada vadinamas jo laipsnio matas laipsnio matas taisyklingas kampas su tomis pačiomis pusėmis. Jei plokštumos kampe yra pusplokštuma, tai jo laipsnio matas laikomas 360° – α, kur α – papildomo plokštumos kampo laipsnio matas (14 pav.).

Ryžiai. 13 14 pav

Centrinis apskritimo kampas yra plokštumos kampas, kurio centre yra viršūnė. Plokštumos kampo viduje esanti apskritimo dalis vadinama apskritimo lanku, atitinkančiu šį centrinį kampą (15 pav.). Apskritimo lanko laipsnio matas yra atitinkamo centrinio kampo laipsnio matas.

Ryžiai. 15 pav. 16

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta šį apskritimą, vadinamas įbrėžtu apskritime. Kampas BAC 16 paveiksle yra įbrėžtas apskritime. Jo viršūnė A yra ant apskritimo, o jo kraštinės kerta apskritimą taškuose B ir C. Taip pat sakoma, kad kampas A remiasi į stygą BC. Tiesi linija BC padalija apskritimą į du lankus. Vadinamas centrinis kampas, atitinkantis šių lankų kampą, kuriame nėra taško A centrinis kampas, atitinkantis nurodytą įbrėžtą kampą.

5 teorema. Į apskritimą įbrėžtas kampas yra lygus pusei atitinkamas centrinis kampas.

Įrodymas. Pirmiausia pasvarstykime ypatingas atvejis, kai viena iš kampo kraštinių eina per apskritimo centrą (17 pav., a). Trikampis AOB yra lygiašonis, nes jo kraštinės OA ir OB yra vienodos spinduliais. Todėl trikampio kampai A ir B yra lygūs. Ir kadangi jų suma yra lygi išorinis kampas trikampis viršūnėje O, tada trikampio kampas B yra lygus pusei kampo AOC, ką ir reikėjo įrodyti.

Bendrasis atvejis sumažinamas iki nagrinėjamo specialaus atvejo, nubraižant pagalbinį skersmenį BD (17 pav., b, c). 17 paveiksle pateiktu atveju b, ABC= CBD+ ABD= ½ COD + ½ AOD= ½ AOC.

17 paveiksle pateiktu atveju c,

ABC = CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Teorema visiškai įrodyta.

9. AORDŲ IR RATO SEKANTŲ SEGMENTŲ PROPORCINGUMAS

Jei apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške S

ToAS·BS=CS·DS.

Pirmiausia įrodykime, kad trikampiai ASD ir CSB yra panašūs (19 pav.). Įbrėžtieji kampai DCB ir DAB yra lygūs pagal 5 teoremos išvadą. Kampai ASD ir BSC yra lygūs vertikalūs kampai. Iš nurodytų kampų lygybės matyti, kad trikampiai ASZ ir CSB yra panašūs.

Iš trikampių panašumo išplaukia proporcija

AS BS = CS DS, ką mums reikėjo įrodyti

19 pav.20 pav

Jei iš taško P į apskritimą nubrėžiamos dvi sekantai, kertančios apskritimą atitinkamai taškuose A, B ir C, D, tada

Tegul taškai A ir C yra sekantų susikirtimo taškai su apskritimu, esančiu arčiausiai taško P (20 pav.). Trikampiai PAD ir PCB yra panašūs. Jie turi bendrą kampą viršūnėje P, o kampai viršūnėse B ir D yra lygūs pagal kampų, įbrėžtų į apskritimą, savybę. Iš trikampių panašumo išplaukia proporcija

Taigi PA·PB=PC·PD, ką reikėjo įrodyti.

10. Uždaviniai tema „Figūrų panašumas“

Panašumo transformacijos apibrėžimas yra tas pats tiek plokštumoje, tiek erdvėje. Figūros pavertimas figūra vadinamas panašumo transformacija, jeigu šios transformacijos metu atstumai tarp taškų pasikeičia (padidėja arba mažėja) tiek pat kartų. Tai reiškia, kad jei savavališki figūros F taškai A ir B šios transformacijos metu pateks į figūros taškus, tada kur .

Skaičius k vadinamas panašumo koeficientu, kai panašumo transformacija yra judėjimas.

Homotetiškumas yra panašumo transformacija.

Apsvarstykite panašumo transformacijos savybes.

1. Panašumo transformacijos metu trys taškai A, B ir C, esantys toje pačioje tiesėje, paverčiami trimis Lie taškais, taip pat esančiais toje pačioje tiesėje. Be to, jei taškas B yra tarp taškų A ir C, tai taškas yra tarp taškų

2. Panašumo transformacija tieses paverčia tiesėmis, pustieses pustiesėmis, atkarpas atkarpomis, plokštumas plokštumomis.

3. Panašumo transformacija išsaugo kampus tarp pustiesių.

4. Ne kiekviena panašumo transformacija yra vienalytė.

226 paveiksle figūra gaunama iš figūros F pagal homotetiškumą, o figūra gaunama iš figūros pagal simetriją tiesės atžvilgiu. F konvertuoti į F? yra panašumo transformacija, nes ji išsaugo atstumų santykius tarp atitinkamų taškų, tačiau ši transformacija nėra homotetika.

Dėl homotetikos erdvėje yra teisinga ši teorema:

Homotetiškumo transformacija erdvėje paverčia bet kurią plokštumą, nepraeinančią per homotetiškumo centrą lygiagreti plokštuma arba į save.

227 paveiksle pavaizduoti du homotetiniai kubai, kurių homotetiškumo koeficientas lygus 2. Plokštuma ABCD eina į lygiagrečią plokštumą ABCD. Tą patį galima pasakyti ir apie kitų kubo veidų plokštumas.

78. Panašūs skaičiai.

Dvi figūros F vadinamos panašiomis, jei jos viena į kitą paverčiamos panašumo transformacija. Figūrų panašumui nurodyti naudojamas simbolis. Įrašas yra toks: „Paveikslėlis panašus į F paveikslą“.

Iš panašumo transformacijos savybių išplaukia, kad panašūs daugiakampiai atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamos kraštinės yra proporcingos.

Žymėjimas daro prielaidą, kad viršūnės, sujungtos su panašumo transformacija, yra atitinkamose vietose, ty A eina į - į

Panašiems trikampiams galioja šios lygybės:

Du trikampiai yra panašūs, jei atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamos kraštinės yra proporcingos. Suformuluokime trikampių panašumo kriterijus.

SANTRAUKA

Tema: „Figūnų panašumas“

Užbaigta:

studentas

Patikrinta:

1. Panašumo transformacija

2. Panašumo transformacijos savybės

3. Figūrų panašumas

4. Trikampių, esančių dviem kampais, panašumo ženklas

5. Trikampių iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų panašumo ženklas

6. Trikampių trijų kraštinių panašumo ženklas

7. Stačiųjų trikampių panašumas

8. Į apskritimą įbrėžti kampai

9. Apskritimo akordų ir sekantų atkarpų proporcingumas

10. Uždaviniai tema „Figūrų panašumas“

1. PANAŠUMO TRANSFORMACIJA

1 teorema. Homotetiškumas yra panašumo transformacija

Įrodymas. Tegul O yra homotetiškumo centras, k yra homotetiškumo koeficientas, X ir Y yra du savavališki figūros taškai (3 pav.)

3 pav.4 pav

Esant homotetiškumui, taškai X ir Y patenka į taškus X" ir Y" atitinkamai spinduliuose OX ir OY, o OX" = k · OX, OY" = k · OY. Tai reiškia vektorines lygybes OX" = kOX, OY" = kOY. Atėmus šias lygybes pagal terminą, gauname: OY"-OX" = k (OY-OX). Kadangi OY" - OX" = X"Y", OY -OX = XY, tada X"Y" = kХY. Tai reiškia /X"Y"/=k /XY/, t.y. X"Y" = kXY. Vadinasi, homotetiškumas yra panašumo transformacija. Teorema įrodyta.

Užduotis. 4 paveiksle parodytas valdos planas 1:1000 masteliu. Nustatykite valdos matmenis (ilgį ir plotį).

Sprendimas. Dvaro ilgis ir plotis plane yra 4 cm ir 2,7 cm Kadangi planas sudarytas masteliu 1:1000, valdos matmenys yra atitinkamai 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm =. 40 m.

2. PANAŠUMO TRANSFORMACIJOS SAVYBĖS

Įrodykime, kad panašumo transformacija išsaugo kampus tarp pustiesių.

3. FIGŪRŲ PANAŠUMAS

Įrodysime, kad jei figūra F 1 yra panaši į figūrą F 2, o figūra F 2 panaši į figūrą F 3, tai figūros F 1 ir F 3 yra panašios.

Tegul X 1 ir Y 1 yra du savavališki figūros F 1 taškai. Panašumo transformacija, paverčianti figūrą F 1 į F 2, paverčia šiuos taškus taškais X 2, Y 2, kuriems X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1.

Panašumo transformacija, paverčianti figūrą F 2 į F 3, paverčia taškus X 2, Y 2 į taškus X 3, Y 3, kuriems X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2.

Iš lygybių

X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

Trikampių panašumo žymėjime: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - daroma prielaida, kad viršūnės, sujungtos panašumo transformacija, yra atitinkamose vietose, t.y. A patenka į A 1, B į B 1, o C į C 1.

Iš panašumo transformacijos savybių matyti, kad panašioms figūroms atitinkami kampai yra lygūs, o atitinkamos atkarpos yra proporcingos. Visų pirma panašiems trikampiams ABC ir A 1 B 1 C 1

A = A 1, B = B 1, C = C 1

4. TRIKAMPIŲ PANAŠUMO REIKŠMĖ PAGAL DU KAMPUS

2 teorema. Jei vieno trikampio du kampai lygūs dviem kito trikampio kampams, tai tokie trikampiai yra panašūs.

Įrodymas. Tegu trikampiai ABC ir A turi 1 B 1 C 1