Stačiakampės funkcijų sistemos. Stačiakampės vektorinės sistemos

Apibrėžimas. Vektoriaia Irb vadinami vienas kitam stačiakampiais (statmenais), jei jų skaliarinė sandauga lygi nuliui, t.y.a × b = 0.

Ne nuliniams vektoriams a Ir b skaliarinės sandaugos lygybė nuliui reiškia, kad cos j= 0, t.y. . Nulinis vektorius yra statmenas bet kuriam vektoriui, nes a × 0 = 0.

Pratimai. Tegul ir yra stačiakampiai vektoriai. Tada natūralu atsižvelgti į stačiakampio su kraštinėmis ir įstrižainę. Įrodyk tai

,

tie. stačiakampio įstrižainės ilgio kvadratas lygi sumai jo dviejų nelygiagrečių kraštinių ilgių kvadratai(Pitagoro teorema).

Apibrėžimas. Vektorinė sistemaa 1 ,…, a m vadinamas stačiakampiu, jei bet kurie du šios sistemos vektoriai yra stačiakampiai.

Taigi stačiakampei vektorių sistemai a 1 ,…,a m lygybė yra tiesa: a i × a j= 0 at i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

1.5 teorema. Stačiakampė sistema, susidedanti iš nulinių vektorių, yra tiesiškai nepriklausoma. .

□ Įrodinėjimą atliekame prieštaravimu. Tarkime, kad stačiakampė nulinių vektorių sistema a 1 , …, a m tiesiškai priklausomas. Tada

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , tuo pačiu metu. (1,15)

Tegu, pavyzdžiui, l 1 ¹ 0. Padauginkite iš a 1 abi lygybės pusės (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Visi terminai, išskyrus pirmąjį, yra lygūs nuliui dėl sistemos ortogonalumo a 1 , …, a m. Tada l 1 a 1× a 1 = 0, toliau a 1 = 0 , o tai prieštarauja sąlygai. Mūsų prielaida pasirodė klaidinga. Tai reiškia, kad stačiakampė nulinių vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. ■

Galioja sekanti teorema.

1.6 teorema. Erdvėje Rn visada yra pagrindas, susidedantis iš stačiakampių vektorių (stačiakampis pagrindas)
(nėra įrodymų).

Stačiakampės bazės yra patogios pirmiausia dėl to, kad savavališko vektoriaus plėtimosi koeficientai per tokias bazes yra tiesiog nustatomi.

Tarkime, kad turime rasti savavališko vektoriaus skaidymą b ortogonaliniu pagrindu e 1 ,…,e n. Sudarykime šio vektoriaus plėtinį su nežinomais plėtimosi koeficientais šis pagrindas:

Padauginkime abi šios lygybės puses skaliariai iš vektoriaus e 1. Pagal vektorių skaliarinės sandaugos aksiomas 2° ir 3° gauname

Kadangi baziniai vektoriai e 1 ,…,e n yra tarpusavyje stačiakampiai, tada visos bazinių vektorių skaliarinės sandaugos, išskyrus pirmąjį, yra lygios nuliui, t.y. koeficientas nustatomas pagal formulę

.

Padauginę lygybę (1.16) savo ruožtu iš kitų bazinių vektorių, gauname paprastos formulės vektoriaus plėtimosi koeficientams apskaičiuoti b :

. (1.17)

Formulės (1.17) turi prasmę, nes .

Apibrėžimas. Vektoriusa vadinamas normalizuotu (arba vienetu), jei jo ilgis lygus 1, t.y. (a , a )= 1.

Bet kuris nulinis vektorius gali būti normalizuotas. Leiskite a ¹ 0 . Tada , o vektorius yra normalizuotas vektorius.

Apibrėžimas. Vektorinė sistema e 1 ,…,e n vadinamas ortonormaliu, jei jis yra stačiakampis ir kiekvieno sistemos vektoriaus ilgis yra lygus 1, t.y.

(1.18)

Kadangi erdvėje Rn visada yra stačiakampis pagrindas ir šio pagrindo vektorius galima normalizuoti, tai Rn visada yra ortonormalusis pagrindas.

Erdvės R n ortonormalaus pagrindo pavyzdys yra vektorių sistema e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) su skaliarine sandauga, apibrėžta lygybe (1.9). Ortonormaliu pagrindu e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formulė (1.17) vektoriaus skaidymo koordinatėms nustatyti b turi paprasčiausią formą:

Leiskite a Ir b – du savavališki erdvės R n vektoriai su ortonormaliu pagrindu e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Pažymime vektorių koordinates a Ir b pagrinde e 1 ,…,e n atitinkamai per a 1 ,…,a n Ir b 1 ,…, b n ir raskite šių vektorių skaliarinės sandaugos išraišką per jų koordinates šiame pagrinde, t.y. tarkim, kad

, .

Iš paskutinės lygybės pagal skaliarinės sandaugos aksiomas ir ryšius (1.18) gauname

Pagaliau turime

. (1.19)

Taigi, ortonormaliu pagrindu bet kurių dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi šių vektorių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai.

Dabar panagrinėkime visiškai savavališką (paprastai kalbant, ne ortonormalų) pagrindą n-matėje Euklido erdvėje R n ir raskime dviejų savavališkų vektorių skaliarinės sandaugos išraišką. a Ir b per šių vektorių koordinates nurodytu pagrindu.

Stačiakampių funkcijų sistema

funkcijų sistema ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., stačiakampis su svoriu ρ ( X) segmente [ A, b], t.y. toks, kad

Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, nuodėmė nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 intervale [-π, π]. Beselio funkcijos n = 1, 2,..., J ν ( x), forma kiekvienam ν > - 1/2 O. s. f. su svoriu X segmente.

Jei kiekviena funkcija φ ( X) iš O. s. f. ar tai x) pagal skaičių

Sisteminis tyrimas O. s. f. buvo pradėtas naudojant Furjė sprendimo metodą ribinės vertės problemos lygtys matematinė fizika. Šis metodas leidžia, pavyzdžiui, rasti Sturm-Liouville problemos sprendimus (žr. Sturm-Liouville problemą) lygčiai [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ adresu, patenkinti ribines sąlygas adresu(A) + labas(a) = 0, y(b) + labas(b) = 0, kur h Ir N- nuolatinis. Šie sprendimai yra vadinamieji. gimtosios funkcijos užduotys – forma O. s. f. su svoriu ρ ( X) segmente [ a, b].

Nepaprastai svarbi klasė O. s. f. - Stačiakampiai daugianariai - atrado P. L. Čebyševas, tyrinėdamas interpoliaciją naudojant metodą mažiausių kvadratų ir akimirkų problema. XX amžiuje tyrimai dėl O. s. f. atliekami daugiausia remiantis integraliąja teorija ir Lebesgue matu. Tai prisidėjo prie šių studijų atskyrimo į savarankišką matematikos šaką. Vienas iš pagrindinių O. s teorijos uždavinių. f. - funkcijos išskaidymo problema f(x) formos p ( X)) - O. s. f. Jei tai pasakysime formaliai p( X)) - normalizuotas O. s. f., ir leisti integruoti po termino, tada padauginus šią eilutę iš φ n(X) ρ( X) ir integruojant iš Aį b, gauname:

Šansai S p, vadinami Furjė funkcijos koeficientais sistemos atžvilgiu (φ n(x)), turi tokią ekstremalią savybę: linijinė forma X):

turi mažiausia vertė palyginti su klaidomis, pateiktomis su tuo pačiu n kitos linijinės formos išraiškos

Serija ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) su šansais S p, apskaičiuotas pagal formulę (*), vadinamas Furjė funkcijos eilute f(x) pagal normalizuotą O. s. f. (φ n(x)). Programoms svarbiausias klausimas yra tai, ar funkcija yra vienareikšmiškai apibrėžta f(x) pagal jų Furjė koeficientus. O. s. f., kuriems tai vyksta, vadinami užbaigtais arba uždarais. Sąlygos uždaryti O. s. f. gali būti pateikiamos keliomis lygiavertėmis formomis. 1) bet koks nuolatinė funkcija f(x) gali būti apytiksliai apytiksliai bet kokiu tikslumo laipsniu tiesiniais funkcijų deriniais φ k(x), tai yra, C n φ n (x) vidutiniškai konverguoja į funkciją f(x)]. 2) bet kokiai funkcijai f(x), kurio kvadratą integruojame svorio ρ( X), įvykdyta Lyapunov-Steklov uždarumo sąlyga:

3) Nėra nulinės funkcijos su integruojama intervale [ a, b] kvadratas, statmenas visoms funkcijoms φ n(x), n = 1, 2,....

Jei funkcijas su integruojamu kvadratu laikysime Hilberto erdvės elementais (žr. Hilberto erdvę), tada normalizuota O.S. f. bus šios erdvės koordinačių vienetų vektorių sistemos, o serijos išplėtimas normalizuotose O.s. f. - vektoriaus išplėtimas į vienetinius vektorius. Taikant šį metodą, daugelis normalizuotų operacinių sistemų teorijos koncepcijų. f. įgyti vizualinį geometrine prasme. Pavyzdžiui, formulė (*) reiškia, kad vektoriaus projekcija į vieneto vektorių yra lygi vektoriaus ir vieneto skaliarinei sandaugai; Lyapunov-Steklov lygybę galima interpretuoti kaip Pitagoro teoremą begalinei erdvei: vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo projekcijų į koordinačių ašis kvadratų sumai; izoliacija O. s. f. reiškia, kad mažiausia uždara poerdvė, kurioje yra visi šios sistemos vektoriai, sutampa su visa erdve ir kt.

Lit.: Tolstovas G.P., Furjė serija, 2 leidimas, M., 1960; Natansonas I. P., Konstruktyvi teorija funkcijos, M. - L., 1949; jo, Realiojo kintamojo funkcijų teorija, 2 leidimas, M., 1957; Jackson D., Furjė eilutė ir stačiakampiai daugianariai, vert. iš anglų kalbos, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Stačiakampių eilučių teorija, vert. iš vokiečių kalbos, M., 1958 m.

Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „stačiakampė funkcijų sistema“ kituose žodynuose:

- (gr. ortogonios stačiakampis) baigtinė arba skaičiuojama funkcijų sistema, priklausanti (atskiriamai) Hilberto erdvei L2(a,b) (kvadratiškai integruojamos funkcijos) ir tenkinanti F ction g(x) sąlygas. sveriantis O. s. f.,* reiškia ...... Fizinė enciklopedija

Funkcijų sistema n(x)?, n=1, 2,..., nurodyta atkarpoje ORTOGONALINĖ TRANSFORMACIJA tiesinė euklidinės vektorinės erdvės transformacija, išsaugant nepakitusius vektorių ilgius arba (tai atitinka) skaliarines sandaugas. .. Didysis enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema (φn(x)), n = 1, 2, ..., nurodyta intervale [a, b] ir tenkinanti kita sąlyga ortogonalumas: k≠l, kur ρ(x) yra kokia nors funkcija, vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema yra 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Enciklopedinis žodynas

Funkcijų sistema ((фn(х)), n=1, 2, ..., apibrėžta intervale [a, b] ir tenkinanti pėdsako, ortogonalumo sąlygą k nėra lygi l, kur p(x) ) yra tam tikra funkcija, vadinama svoriu. Pavyzdžiui, trigonometrinė sistema 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Gamtos mokslas. Enciklopedinis žodynas

Žr. str. Stačiakampė funkcijų sistema. Fizinė enciklopedija. 5 tomuose. M.: Tarybinė enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1988... Fizinė enciklopedija

1) O. s. vektoriai – tai Euklido (Hilberto) erdvės nulinių vektorių rinkinys su skaliarine sandauga (. , .), kad for (stačiakampis) ir (normalizavimas). M. I. Voitsekhovskis. 2) O. s. erdvės funkcijos ir funkcijų sistema.... Matematinė enciklopedija

Statyba skirta duota sistema funkcijos (fn(x)), kurios yra kvadratu integruotos į stačiakampės sistemos intervalo [a, b] funkcijas (jn(x)), taikant tam tikrą ortogonalizacijos procesą arba išplečiant funkcijas fn(x). ... ... Matematinė enciklopedija

funkcijų sistema ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., stačiakampis su svoriu ρ ( X) segmente [ A, b], t.y. toks, kad

Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, nuodėmė nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 intervale [-π, π]. Beselio funkcijos n = 1, 2,..., J ν ( x), forma kiekvienam ν > - 1/2 O. s. f. su svoriu X segmente.

Jei kiekviena funkcija φ ( X) iš O. s. f. ar tai x) pagal skaičių

Sisteminis tyrimas O. s. f. buvo pradėtas taikyti Furjė metodui sprendžiant matematinės fizikos lygčių ribinių reikšmių uždavinius. Šis metodas leidžia, pavyzdžiui, rasti Sturm-Liouville problemos sprendimus (žr. Sturm-Liouville problemą) lygčiai [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ adresu, atitinkantis ribines sąlygas adresu(A) + labas(a) = 0, y(b) + labas(b) = 0, kur h Ir N- nuolatinis. Šie sprendimai yra vadinamieji. uždavinio savosios funkcijos sudaro O.s. f. su svoriu ρ ( X) segmente [ a, b].

Itin svarbi O. s. klasė. f. - Stačiakampiai daugianariai- atrado P. L. Čebyševas, tyrinėdamas interpoliaciją mažiausių kvadratų metodu ir momentų problemą. XX amžiuje tyrimai dėl O. s. f. atliekami daugiausia remiantis integraliąja teorija ir Lebesgue matu. Tai prisidėjo prie šių studijų atskyrimo į savarankišką matematikos šaką. Vienas iš pagrindinių O. s teorijos uždavinių. f. - funkcijos išskaidymo problema f(x) formos p ( X)) - O. s. f. Jei tai pasakysime formaliai p( X)) - normalizuotas O. s. f., ir leisti integruoti po termino, tada padauginus šią eilutę iš φ n(X) ρ( X) ir integruojant iš Aį b, gauname:

Šansai S p, vadinami Furjė funkcijos koeficientais sistemos atžvilgiu (φ n(x)), turi tokią ekstremalią savybę: tiesinė forma x):

turi mažiausią reikšmę, palyginti su to paties pateiktomis klaidomis n kitos linijinės formos išraiškos

Serija ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) su šansais S p, apskaičiuotas pagal formulę (*), vadinamas Furjė funkcijos eilute f(x) pagal normalizuotą O. s. f. (φ n(x)). Programoms svarbiausias klausimas yra tai, ar funkcija yra vienareikšmiškai apibrėžta f(x) pagal jų Furjė koeficientus. O. s. f., kuriems tai vyksta, vadinami užbaigtais arba uždarais. Sąlygos uždaryti O. s. f. gali būti pateikiamos keliomis lygiavertėmis formomis. 1) Bet kokia nuolatinė funkcija f(x) gali būti apytiksliai apytiksliai bet kokiu tikslumo laipsniu tiesiniais funkcijų deriniais φ k(x), tai yra, C n φ n (x) vidutiniškai konverguoja į funkciją f(x)]. 2) bet kokiai funkcijai f(x), kurio kvadratą integruojame svorio ρ( X), įvykdyta Lyapunov-Steklov uždarumo sąlyga:

3) Nėra nulinės funkcijos su integruojama intervale [ a, b] kvadratas, statmenas visoms funkcijoms φ n(x), n = 1, 2,....

Jei funkcijas su integruojamu kvadratu laikysime Hilberto erdvės elementais (žr. Hilberto erdvę), tada normalizuota O.S. f. bus šios erdvės koordinačių vienetų vektorių sistemos, o serijos išplėtimas normalizuotose O.s. f. - vektoriaus išplėtimas vienetiniais vektoriais. Taikant šį metodą, daugelis normalizuotų operacinių sistemų teorijos koncepcijų. f. įgyja aiškią geometrinę reikšmę. Pavyzdžiui, formulė (*) reiškia, kad vektoriaus projekcija į vieneto vektorių yra lygi vektoriaus ir vieneto skaliarinei sandaugai; Lyapunov-Steklov lygybę galima interpretuoti kaip Pitagoro teoremą begalinei erdvei: vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo projekcijų į koordinačių ašis kvadratų sumai; izoliacija O. s. f. reiškia, kad mažiausia uždara poerdvė, kurioje yra visi šios sistemos vektoriai, sutampa su visa erdve ir kt.

Lit.: Tolstovas G.P., Furjė serija, 2 leidimas, M., 1960; Natanson I.P., Konstruktyvi funkcijų teorija, M. - L., 1949; jo, Realiojo kintamojo funkcijų teorija, 2 leidimas, M., 1957; Jackson D., Furjė eilutė ir stačiakampiai daugianariai, vert. iš anglų k., M., 1948 m. Kaczmarz S., Shteingauz G., Stačiakampių eilučių teorija, vert. iš vokiečių kalbos, M., 1958 m.

• - grupė visų tiesinės transformacijos n matmenų vektoriaus erdvė V virš lauko k, išsaugant fiksuotą neišsigimimą kvadratine forma Q ant V) = Q bet kuriam)...

  Matematinė enciklopedija

• - matrica virš komutacinio žiedo R su vienetu 1, kurio transponuota matrica sutampa su atvirkštine. O. m determinantas yra lygus +1...

  Matematinė enciklopedija

• - tinklas, kuriame skirtingų šeimų linijų liestinės tam tikrame taške yra statmenos. Veikiančių sistemų pavyzdžiai: asimptotinis tinklas minimaliame paviršiuje, linijos kreivumo tinklas. A. V. Ivanovas...

  Matematinė enciklopedija

• - 1) O...

  Matematinė enciklopedija

• - stačiakampis masyvas, OA - kx N dydžio matrica, kurios elementai yra skaičiai 1, 2, .....

  Matematinė enciklopedija

• - žr. izogoninę trajektoriją...

  Matematinė enciklopedija

• - ortonormali tam tikros Hilberto erdvės H funkcijų sistema (j), kad H neegzistuotų funkcija, statmena visoms konkrečios šeimos funkcijoms...

  Matematinė enciklopedija

• - žiūrėkite projekciją...

  Didysis enciklopedinis politechnikos žodynas

• - įvairių objektų funkcijų pavaldumo nustatymas...

  Verslo terminų žodynas

• - funkcijų stiprinimas, vienas iš Ch. laipsniško organų transformavimo būdai gyvūnų evoliucijos metu. I.f. dažniausiai siejama su organų sandaros ir viso kūno komplikacija...

  Biologinis enciklopedinis žodynas

• - funkcijų stiprinimas, vienas pagrindinių laipsniško organų transformacijos būdų gyvūnų evoliucijos metu. I.f. yra susijęs su organų struktūros komplikacija ir lemia bendrą gyvybinės veiklos lygio padidėjimą...
• - Užsisakykite Matricą...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - ypatingas atvejis lygiagreti projekcija, kai projekcijų ašis arba plokštuma yra statmena projekcijos krypčiai...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - funkcijų sistema (), n = 1, 2,..., stačiakampė su atkarpos svoriu ρ, t.y. tokia, kad Pavyzdžiai. Trigonometrinė sistema 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. su svoriu 1 ant segmento...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - tokia funkcijų sistema Ф = (φ), apibrėžta intervale, kad nėra funkcijos f, kuriai...

  Didžioji sovietinė enciklopedija

• - STASTIJI FUNKCIJŲ sistema - funkcijų sistema n?, n=1, 2,.....

  Didelis enciklopedinis žodynas

„Ortogonali funkcijų sistema“ knygose

XXIV dalis Senoji apkasų karo sistema ir moderni žygių sistema