Hiperbolinės funkcijos aptinkamos mechanikoje, elektrotechnikoje ir kitose techninėse disciplinose. Daug formulių, skirtų hiperbolinės funkcijos yra panašios į trigonometrinių funkcijų formules, išskyrus savybę būti ribotam.
| № | Funkcija | Vardas | Darinys  |
| 1. |  | hiperbolinis sinusas |  |
| 2. |  | hiperbolinis kosinusas |  |
| 3. |  | hiperbolinis tangentas |  |
| 4. |  | hiperbolinis kotangentas |  |
Hiperbolinių funkcijų formulės
1. 
.
Įrodymas. Apsvarstykime reikiamą skirtumą
. .
Įrodymas. Pažiūrėkime į darbą
.
Pažiūrėkime į darbą 
.
Pridėkime du produktus ir pateiksime panašius:
Sujungę pradžią ir pabaigą, gauname įrodinėjamą lygybę: .
Yra daug kitų hiperbolinių funkcijų savybių, panašių į trigonometrinių funkcijų savybes, kurios įrodomos panašiu būdu.
Įrodykime hiperbolinių funkcijų išvestinių formules.
1. Apsvarstykite hiperbolinį sinusą 
.
Surasdami išvestinę, iš vedinio ženklo išimame konstantą. Toliau taikome skirtumo tarp dviejų funkcijų ir išvestinės savybę. Raskite funkcijos išvestinę naudodami išvestinių lentelę: 
. Funkcijos išvestinės ieškome kaip išvestinės sudėtinga funkcija 
.
Todėl išvestinė 
.
Sujungę pradžią ir pabaigą, gauname įrodinėjamą lygybę: 
.
2. Apsvarstykite hiperbolinį kosinusą .
Visiškai taikome ankstesnį algoritmą, tik vietoj savybės apie dviejų funkcijų skirtumo išvestinę, taikome savybę apie šių dviejų funkcijų sumos išvestinę. 
.
Sujungę pradžią ir pabaigą, gauname įrodinėjamą lygybę: 
.
3. Apsvarstykite hiperbolinę liestinę .
Išvestinę randame naudodami trupmenos išvestinės radimo taisyklę.
4. Hiperbolinio kotangento išvestinė
galima rasti kaip sudėtingos funkcijos išvestinę 
.
Sujungę pradžią ir pabaigą, gauname įrodinėjamą lygybę: 
.
Funkcinis diferencialas
Tegul funkcija 
– yra diferencijuojamas taške , tada jos šios funkcijos padidėjimas taške , atitinkantis argumento prieaugį , gali būti pavaizduotas kaip
kur yra tam tikras skaičius, nepriklausomas nuo , Ir yra argumento funkcija, kuri yra be galo maža 
.
Taigi, funkcijos padidėjimas yra dviejų be galo mažų narių suma 
Ir 
. Buvo parodyta, kad antroji kadencija 
yra begalinis maža funkcija aukštesnė tvarka nei t.y. (žr. 8.1). Todėl pirmasis terminas 
yra pagrindinė tiesinė funkcijos prieaugio dalis . Pastaboje 8.1. funkcijai didinti gauta kita formulė (8.1.1). , būtent: . (8.1.1)
Apibrėžimas 8.3. Diferencialas funkcijas taške vadinamas pagrindine tiesine jo prieaugio dalimi, lygus produktui išvestinė 
šiuo metu savavališku argumento padidėjimu ir žymimas (arba 
):
(8.4)
Funkcinis diferencialas taip pat vadinamas pirmos eilės diferencialas.
Nepriklausomo kintamojo diferencialas suprantamas kaip bet koks skaičius, nepriklausomas nuo . Dažniausiai šis skaičius imamas kaip kintamojo prieaugis, t.y. 
. Tai atitinka taisyklę (8.4), nustatančią funkcijos skirtumą
Apsvarstykite funkciją 
ir rasti jo skirtumą.
Nes išvestinė 
. Taigi, mes gavome: 
ir diferencines funkcijas galima rasti naudojant formulę
. (8.4.1)
Pastaba 8.7. Iš (8.4.1) formulės išplaukia, kad. 
Taigi žymėjimas gali būti suprantamas ne tik kaip išvestinės žymėjimas 
, bet ir kaip priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų skirtumų santykis.
8.7. Geometrinė diferencialinės funkcijos reikšmė
Tegu funkcijos grafikas 
nubrėžiama liestinė (žr. 8.1 pav.). Taškas 
yra funkcijos grafike ir turi abscisę - . Pateikiame savavališką prieaugį, kad taškas 
nepaliko funkcijos apibrėžimo srities .
8.1 pav. Funkcijos grafiko iliustracija
Taškas turi koordinates 
. Segmentas 
. Taškas yra funkcijos grafiko liestinėje ir turi abscisę - . Iš stačiakampio 
iš to seka, kad čia kampas yra kampas tarp teigiamos ašies krypties ir funkcijos grafiko liestinės taške. Pagal funkcijos diferencialo apibrėžimą o išvestinės funkcijos geometrinė reikšmė taške darome tokią išvadą 
. Taigi, geometrine prasme diferencialinė funkcija yra tai, kad diferencialas reiškia funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugį taške.
Pastaba 8.8. Diferencialas ir prieaugis savavališkai funkcijai , paprastai kalbant, nėra lygūs vienas kitam.B bendras atvejis, skirtumas tarp funkcijos prieaugio ir diferencialo yra be galo mažas aukštesnė tvarka mažesnis nei argumento prieaugis. Iš 8.1 apibrėžimo matyti, kad 
, t.y. 
.
8.1 paveiksle taškas yra funkcijos grafike ir turi koordinates 
. Segmentas.
8.1 paveiksle nelygybė tenkinama 
, t.y. 
. Tačiau gali būti atvejų, kai tai tiesa priešinga nelygybė 
. Tai daroma dėl tiesinė funkcija o aukštyn išgaubtai funkcijai.
Hiperbolinių funkcijų informaciniai duomenys. Hiperbolinio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai, grafikai ir savybės. Sumų, skirtumų ir produktų formulės. Dariniai, integralai, serijų išplėtimai. Išraiškos per trigonometrines funkcijas.
Hiperbolinių funkcijų apibrėžimai, jų apibrėžimų ir reikšmių sritys
sh x – hiperbolinis sinusas
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x – hiperbolinis kosinusas
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ m< +∞ .
th x – hiperbolinė liestinė
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x – hiperbolinis kotangentas
X ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .
Hiperbolinių funkcijų grafikai
Hiperbolinio sinuso grafikas y = sh x
Hiperbolinio kosinuso y = grafikas ch x
Hiperbolinės liestinės y = grafikas th x
Hiperbolinio kotangento y = grafikas cth x
Formulės su hiperbolinėmis funkcijomis
Ryšys su trigonometrinėmis funkcijomis
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; vaikiška lovelė iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i cot z
čia aš - įsivaizduojamas vienetas, i 2 = - 1
.
Taikydami šias formules trigonometrinėms funkcijoms, gauname formules, susijusias su hiperbolinėmis funkcijomis.
Paritetas
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x;
cth(-x) = - cth x.
Funkcija ch(x)- net. Funkcijos sh(x), th(x), cth(x)- keista.
Kvadratų skirtumas
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Argumentų sumos ir skirtumo formulės
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Hiperbolinio sinuso ir kosinuso sandaugų formulės
,
,
,
,
,
.
Hiperbolinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės
,
,
,
,
.
Hiperbolinio sinuso ir kosinuso ryšys su tangentu ir kotangentu
,
,
,
.
Dariniai
,
sh x, ch x, th x, cth x integralai
,
,
.
Serijos išplėtimai
sh x
ch x
th x
cth x
Atvirkštinės funkcijos
Areasinus
Prie – ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakozinas
At 1 ≤ x< ∞
Ir 0 ≤ m< ∞
taikomos šios formulės:
,
.
Antroji areokosino atšaka yra adresu 1 ≤ x< ∞
ir - ∞< y ≤ 0
:
.
Plototangentė
- 1
< x < 1
ir - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Plototangentas
Prie – ∞< x < - 1
arba 1
< x < ∞
ir y ≠ 0
taikomos šios formulės:
,
.
Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
Atsakymas: Hiperbolinės funkcijos – šeima elementarios funkcijos, išreikštas eksponentiniu būdu ir glaudžiai susijęs su trigonometrinėmis funkcijomis. Hiperbolines funkcijas 1757 m. pristatė Vincenzo Riccati (Opusculorum, I tomas). Jis jas gavo atsižvelgdamas į vieneto hiperbolę.
Tolimesnį hiperbolinių funkcijų savybių tyrimą atliko Lambertas. Skaičiuojant įvairius integralus dažnai susiduriama su hiperbolinėmis funkcijomis. Kai kurie integralai racionalios funkcijos o iš funkcijų, turinčių radikalus, gana paprastai atliekama naudojant kintamųjų pakeitimus naudojant hiperbolines funkcijas. Hiperbolinių funkcijų išvestinius nesunku rasti, nes hiperbolinės funkcijos yra deriniai Pavyzdžiui, hiperbolinis sinusas ir kosinusas apibrėžiami kaip 
Šių funkcijų dariniai turi formą 
Pateikiamos hiperbolinės funkcijos šias formules: 1)hiperbolinis sinusas: 
(V užsienio literatūražymimas sinx); 2) hiperbolinis kosinusas: 
(užsienio literatūroje jis žymimas cosx); 3) hiperbolinė liestinė: 
(užsienio literatūroje tai žymima tanx); 4) hiperbolinis kotangentas: 
; 5) hiperbolinis sekantas ir kosekantas: 
Geometrinis apibrėžimas: Atsižvelgiant į ryšį, hiperbolinės funkcijos pateikia parametrinį hiperbolės vaizdą. Šiuo atveju argumentas t = 2S, kur S yra kreivinio trikampio OQR plotas, paimtas su „+“ ženklu, jei sektorius. yra virš OX ašies, o „-“ priešingu atveju. Šis apibrėžimas yra panašus į trigonometrinių funkcijų apibrėžimą vieneto ratas, kuris taip pat gali būti sukonstruotas panašiu būdu. Ryšys su trigonometrinėmis funkcijomis: Hiperbolinės funkcijos išreiškiamos įsivaizduojamo argumento trigonometrinėmis funkcijomis. Analitinės savybės: Hiperbolinis sinusas ir hiperbolinis kosinusas yra analitinis sudėtinga plokštuma, išskyrus iš esmės ypatingą tašką begalybėje.
Išvestinė lentelė.
Atsakymas:
Darinių lentelė (kurių mums daugiausia reikia): 
46) Funkcijos išvestinė – nurodoma parametriškai.
Atsakymas:
Tegu nurodyta dviejų kintamųjų x ir y priklausomybė nuo parametro t, kintanti ribose nuo Tegul funkcija turi atvirkštinę reikšmę: 
Tada galime, atsižvelgdami į funkcijų sudėtį 
gaukite y priklausomybę nuo x: 
Reikšmės y priklausomybė nuo reikšmės x, nurodyta parametriškai, gali būti išreikšta funkcijų išvestinėmis, nes ir pagal išvestinę formulę atvirkštinė funkcija, 
kur yra parametro reikšmė, kuriai esant gaunama reikšmė x, kuri mus domina skaičiuojant išvestinę. Atkreipkite dėmesį, kad taikant formulę gauname ryšį tarp, vėlgi išreiškiamą kaip parametrinį ryšį: 
antrasis iš šių santykių yra tas pats, kuris dalyvavo parametrinė užduotis funkcijos y(x) . Nepaisant to, kad išvestinė nėra aiškiai išreikšta, tai netrukdo mums išspręsti problemų, susijusių su išvestinės radimu, ieškant atitinkamos parametro t reikšmės. Parodykime tai sekantį pavyzdį. 4.22 pavyzdys: Tegul priklausomybė tarp x ir y pateikiama parametriškai pagal šias formules: Raskite priklausomybės y(x) grafiko liestinės lygtį taške. Reikšmės gaunamos, jei imame t=1. Raskime x ir y išvestines parametro t atžvilgiu: Todėl 
Esant t=1 gauname išvestinės reikšmę, kurią nurodo ši reikšmė nuolydis k norimos liestinės. Koordinatės 
lietimo taškai nurodyti problemos pareiškime. Tai reiškia, kad liestinės lygtis yra tokia: Atkreipkite dėmesį, kad pagal gautą parametrinę priklausomybę galime rasti antrąją funkcijos y išvestinę kintamojo x atžvilgiu: 
