MATRIKOS APIBRĖŽIMAS. MATRIKŲ RŪŠYS

M dydžio matrica× n vadinamas rinkiniu m·n skaičiai, išdėstyti stačiakampėje lentelėje m linijos ir n stulpelius. Ši lentelė paprastai įtraukiama skliausteliuose. Pavyzdžiui, matrica gali atrodyti taip:

Trumpumo dėlei matricą galima žymėti vienu didžioji raidė, Pavyzdžiui, A arba IN.

IN bendras vaizdas matricos dydis m× n parašyk tai taip

.

Skaičiai, sudarantys matricą, vadinami matricos elementai. Matricos elementus patogu pateikti su dviem indeksais a ij: pirmasis nurodo eilutės numerį, o antrasis nurodo stulpelio numerį. Pavyzdžiui, a 23– elementas yra 2 eilutėje, 3 stulpelyje.

Jei matricoje yra tiek pat eilučių, kiek stulpelių, tada matrica iškviečiama kvadratas, ir vadinamas jo eilučių arba stulpelių skaičius tvarka matricos. Pirmiau pateiktuose pavyzdžiuose antroji matrica yra kvadratinė - jos tvarka yra 3, o ketvirtoji matrica yra 1.

Iškviečiama matrica, kurioje eilučių skaičius nėra lygus stulpelių skaičiui stačiakampio formos. Pavyzdžiuose tai yra pirmoji matrica ir trečioji.

Taip pat yra matricų, kuriose yra tik viena eilutė arba vienas stulpelis.

Vadinama matrica, turinti tik vieną eilutę matrica – eilutė(arba eilutę) ir matricą su tik vienu stulpeliu matrica – stulpelis.

Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis ir žymimas (0) arba tiesiog 0. Pavyzdžiui,

.

Pagrindinė įstrižainė kvadratinė matrica pavadinkime įstrižainę, einančią iš viršutinio kairiojo į apatinį dešinįjį kampą.

Vadinama kvadratinė matrica, kurioje visi elementai žemiau pagrindinės įstrižainės yra lygūs nuliui trikampis matrica.

.

Kvadratinė matrica, kurioje visi elementai, išskyrus galbūt esančius pagrindinėje įstrižainėje, yra lygūs nuliui, vadinama įstrižainės matrica. Pavyzdžiui, arba.

Vadinama įstrižainė matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui vienišas matrica ir žymima raide E. Pavyzdžiui, 3 eilės tapatybės matrica turi formą .

VEIKSMAI DĖL MATRIKŲ

Matricinė lygybė. Dvi matricos A Ir B Sakoma, kad jie yra lygūs, jei jie turi vienodą eilučių ir stulpelių skaičių ir juos atitinkantys elementai yra lygūs a ij = b ij. Taigi, jei Ir , Tai A = B, Jei a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ir a 22 = b 22.

Transponuoti. Pasvarstykime savavališka matrica A iš m linijos ir n stulpelius. Jis gali būti susietas su tokia matrica B iš n linijos ir m stulpeliai, kurių kiekviena eilutė yra matricos stulpelis A su tuo pačiu numeriu (taigi kiekvienas stulpelis yra matricos eilutė A su tuo pačiu numeriu). Taigi, jei , Tai .

Ši matrica B paskambino perkelta matrica A, ir perėjimas iš AĮ B perkėlimas.

Taigi perkėlimas yra matricos eilučių ir stulpelių vaidmenų apvertimas. Matrica perkelta į matricą A, paprastai žymimas A T.

Ryšys tarp matricos A o jo perkėlimas gali būti parašytas forma .

Pavyzdžiui. Raskite matricą, perkeltą duotosios.

Matricos papildymas. Tegul matricos A Ir B susideda iš tiek pat eilučių ir tas pats numeris stulpeliai, t.y. turėti tie patys dydžiai. Tada norėdami pridėti matricų A Ir B reikalingi matricos elementams A pridėti matricos elementus B stovi tose pačiose vietose. Taigi dviejų matricų suma A Ir B vadinama matrica C, kuri nustatoma pagal taisyklę, pvz.

Pavyzdžiai. Raskite matricų sumą:

Nesunku patikrinti, ar matricos pridėjimas paklūsta vadovaujantis įstatymais: komutacinė A+B=B+A ir asociatyvus ( A+B)+C=A+(B+C).

Matricos padauginimas iš skaičiaus. Padauginti matricą A už skaičių k reikalingas kiekvienas matricos elementas A padauginkite iš šio skaičiaus. Taigi, matricos produktas A už skaičių k Yra nauja matrica, kuris nustatomas pagal taisyklę arba .

Dėl bet kokių skaičių a Ir b ir matricos A Ir B galioja šios lygybės:

Pavyzdžiai.

Matricos daugyba.Ši operacija atliekama pagal savotišką dėsnį. Visų pirma, atkreipiame dėmesį, kad faktorių matricų dydžiai turi būti nuoseklūs. Galite dauginti tik tas matricas, kuriose pirmosios matricos stulpelių skaičius sutampa su antrosios matricos eilučių skaičiumi (t. y. pirmosios eilutės ilgis lygus antrojo stulpelio aukščiui). Darbas matricos A ne matrica B vadinama nauja matrica C=AB, kurio elementai sudaryti taip:

Taigi, pavyzdžiui, norint gauti produktą (t. y. matricoje C) elementas, esantis 1 eilutėje ir 3 stulpelyje nuo 13, reikia paimti 1-ą eilutę 1-oje matricoje, 3-ią stulpelį antroje, o tada padauginti eilutės elementus iš atitinkamų stulpelio elementų ir pridėti gautus produktus. O kiti sandaugos matricos elementai gaunami naudojant panašų pirmosios matricos eilučių ir antrosios matricos stulpelių sandaugą.

Apskritai, jei padauginsime matricą A = (a ij) dydis m× nį matricą B = (b ij) dydis n× p, tada gauname matricą C dydis m× p, kurio elementai apskaičiuojami taip: elementas c ij gaunamas elementų sandaugos rezultatas i matricos eilutė Aį atitinkamus elementus j matricos stulpelis B ir jų papildymai.

Iš šios taisyklės išplaukia, kad visada galite padauginti dvi tos pačios eilės kvadratines matricas, todėl gauname tos pačios eilės kvadratinę matricą. Visų pirma, kvadratinę matricą visada galima padauginti iš savęs, t.y. kvadratu.

Kitas svarbus atvejis – eilučių matricos dauginimas iš stulpelio matricos, o pirmosios plotis turi būti lygus antrosios aukščiui, todėl gaunama pirmos eilės matrica (t.y. vienas elementas). tikrai,

.

Pavyzdžiai.

Taigi šie paprasti pavyzdžiai parodyti, kad matricos, paprastai kalbant, viena su kita nejuda, t.y. A∙B ≠ B∙A . Todėl dauginant matricas reikia atidžiai stebėti faktorių eiliškumą.

Galima patikrinti, ar matricos daugyba paklūsta asociatyviniams ir paskirstymo dėsniams, t.y. (AB)C=A(BC) Ir (A+B)C=AC+BC.

Taip pat nesunku tai patikrinti padauginus kvadratinę matricą Aį tapatybės matricą E ta pačia tvarka vėl gauname matricą A, ir AE=EA=A.

Galima pastebėti tokį įdomų faktą. Kaip žinote, 2 ne nulinių skaičių sandauga nėra lygi 0. Matricoms taip gali nebūti, t.y. 2 nenulinių matricų sandauga gali pasirodyti lygi nulinei matricai.

Pavyzdžiui, Jei , Tai

.

DETERMINANTŲ SAMPRATA

Tegu pateikiama antros eilės matrica – kvadratinė matrica, susidedanti iš dviejų eilučių ir dviejų stulpelių .

Antros eilės determinantas, atitinkantis šią matricą, yra skaičius, gautas taip: 11–22–12–21 val.

Determinantas nurodomas simboliu .

Taigi, norint rasti antros eilės determinantą, iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos reikia atimti antrosios įstrižainės elementų sandaugą.

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite antros eilės determinantus.

Panašiai galime apsvarstyti trečiosios eilės matricą ir atitinkamą determinantą.

Trečiosios eilės determinantas, atitinkantis nurodytą trečios eilės kvadratinę matricą, yra skaičius, žymimas ir gaunamas taip:

.

Taigi ši formulė pateikia trečiosios eilės determinanto išplėtimą pagal pirmosios eilutės elementus 11, 12, 13 ir sumažina trečiosios eilės determinanto skaičiavimą iki antros eilės determinanto skaičiavimo.

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite trečiosios eilės determinantą.

Panašiai galime įvesti ketvirtojo, penktojo ir kt. determinantų sąvokas. įsakymus, sumažindami jų eiliškumą išplečiant į 1-os eilės elementus, kai terminų ženklai „+“ ir „–“ keičiasi.

Taigi, skirtingai nuo matricos, kuri yra skaičių lentelė, determinantas yra skaičius, kuris tam tikru būdu priskiriamas matricai.

Kvadratinių matricų determinantai.

Matricos determinantas yra skaičius, apibūdinantis kvadratinę matricą A ir glaudžiai susijęs su sistemų sprendimu tiesines lygtis. Matricos A determinantas žymimas arba. Bet kuri n eilės kvadratinė matrica A pagal tam tikrą dėsnį susieta su apskaičiuotu skaičiumi, vadinamu šios matricos n-osios eilės determinantu arba determinantu. Panagrinėkime antrosios ir trečiosios eilės determinantus.

Tegul matrica duota

,

tada jo antros eilės determinantas apskaičiuojamas pagal formulę

.

Pavyzdys. Apskaičiuokite matricos A determinantą:

Atsakymas: -10.

Trečiosios eilės determinantas apskaičiuojamas pagal formulę

Pavyzdys. Apskaičiuokite matricos B determinantą

.

Atsakymas: 83.

N-osios eilės determinantas apskaičiuojamas remiantis determinanto savybėmis ir šia Laplaso teorema: determinantas lygi sumai bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementų sandaugai pagal jų algebriniai priedai:

Algebrinis papildinys elementas lygus , kur yra elemento minoras, gautas nubraukus determinanto i-ąją eilutę ir j-ą stulpelį.

Nepilnametis Matricos A elemento tvarka yra (n-1) eilės matricos, gautos iš matricos A, išbraukus i-ą eilutę ir j-ą stulpelį, determinantas.

Pavyzdys. Raskite visų A matricos elementų algebrinius papildinius:

.

Atsakymas: .

Pavyzdys. Apskaičiuokite trikampės matricos determinantą:

Atsakymas: -15.

Determinantų savybės:

1. Jei kuri nors matricos eilutė (stulpelis) susideda tik iš nulių, tai jos determinantas yra 0.

2. Jei visi bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementai padauginami iš skaičiaus , tai jo determinantas bus padaugintas iš šio skaičiaus.

3. Transponuojant matricą jos determinantas nepasikeis.

4. Pertvarkant dvi matricos eilutes (stulpelius), jos determinantas pakeičia ženklą į priešingą.

5. Jei kvadratinėje matricoje yra dvi vienodos eilutės (stulpeliai), tai jos determinantas yra 0.

6. Jei dviejų matricos eilučių (stulpelių) elementai yra proporcingi, tai jos determinantas lygus 0.

7. Bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementų sandaugos iš kitos šios matricos eilutės (stulpelio) elementų algebrinių papildinių suma lygi 0.

8. Matricos determinantas nepasikeis, jei prie bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementų bus pridėti kitos eilutės (stulpelio) elementai, anksčiau padauginti iš to paties skaičiaus.

9. Savavališkų skaičių sandaugų suma pagal bet kurios eilutės (stulpelio) elementų algebrinius papildinius yra lygi matricos determinantui, gautam iš to pakeitus šios eilutės (stulpelio) elementus skaičiais.

10. Dviejų kvadratinių matricų sandaugos determinantas lygus produktui jų determinantai.

Atvirkštinė matrica.

Apibrėžimas. Matrica vadinama atvirkštine kvadratinės matricos A, jei padauginus iš šios matricos iš nurodytos, tiek dešinėje, tiek kairėje, gaunama tapatumo matrica:

.

Iš apibrėžimo matyti, kad tik kvadratinė matrica turi atvirkštinę vertę; šiuo atveju atvirkštinė matrica taip pat yra tos pačios eilės kvadratas. Jei matricos determinantas yra ne nulis, tada tokia kvadratinė matrica vadinama ne vienaskaita.

Būtinas ir pakankama būklė atvirkštinės matricos egzistavimas: atvirkštinė matrica egzistuoja (ir yra unikali) tada ir tik tada, kai pradinė matrica yra ne vienaskaita.

Pirmasis atvirkštinės matricos skaičiavimo algoritmas:

1. Raskite pradinės matricos determinantą. Jei determinantas nėra lygus nuliui, tada pradinė matrica yra ne vienaskaita, o atvirkštinė matrica egzistuoja.

2. Raskite matricą, perkeltą į A.

3. Raskite transponuotos matricos elementų algebrinius papildinius ir iš jų sudarykite adjunktąją matricą.

4. Apskaičiuokite atvirkštinė matrica pagal formulę: .

5. Patikriname atvirkštinės matricos skaičiavimo teisingumą pagal jos apibrėžimą .

Pavyzdys.

.

Atsakymas: .

Antrasis atvirkštinės matricos skaičiavimo algoritmas:

Atvirkštinė matrica gali būti apskaičiuojama remiantis toliau pateikta informacija elementarios transformacijos virš matricos eilučių:

Sukeisti dvi eilutes;

Matricos eilutės padauginimas iš bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį;

Pridedant prie vienos matricos eilutės kitą eilutę, padaugintą iš bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį.

Norint apskaičiuoti atvirkštinę matricos A matricą, reikia sudaryti matricą, tada elementariomis transformacijomis matricą A redukuoti iki tapatybės matricos E formos, tada vietoje tapatybės matricos gauname matricą.

Pavyzdys. Apskaičiuokite atvirkštinę matricos A matricą:

.

Sudarome tokios formos matricą B:

.

Elementas = 1 ir pirmoji eilutė, kurioje yra šis elementas, vadinkime juos vadovais. Atlikime elementarias transformacijas, kurių metu pirmasis stulpelis paverčiamas vienetiniu stulpeliu, kurio pirmoje eilutėje yra vienas. Norėdami tai padaryti, pridėkite pirmąją eilutę prie antros ir trečios eilučių, padaugintų atitinkamai iš 1 ir -2. Dėl šių transformacijų gauname:

.

Pagaliau gauname

.

Kur .

Matricos rangas. Matricos A rangas vadinamas aukščiausia tvarkašios matricos nepilnamečiai. Matricos A rangas žymimas rang(A) arba r(A).

Iš apibrėžimo seka: a) matricos rangas neviršija mažesnio iš jos matmenų, t.y. r(A) yra mažesnis arba lygus m arba n minimumui; b) r(A)=0 tada ir tik tada, kai visi matricos A elementai lygūs nuliui; c) n-osios eilės kvadratinei matricai r(A)=n tada ir tik tuo atveju, jei matrica A yra ne vienaskaita.

Pavyzdys: apskaičiuokite matricų eiles:

.

Atsakymas: r(A)=1. Atsakymas: r(A)=2.

Pavadinkime šias elementariosios matricos transformacijas:

1) Nulinės eilutės (stulpelio) atmetimas.

2) Padauginus visus matricos eilutės (stulpelio) elementus iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui.

3) Matricos eilučių (stulpelių) tvarkos keitimas.

4) Prie kiekvieno vienos eilutės (stulpelio) elemento pridedami atitinkami kitos eilutės (stulpelio) elementai, padauginti iš bet kurio skaičiaus.

5) Matricos perkėlimas.

Elementariosios matricos transformacijų metu matricos rangas nekinta.

Pavyzdžiai: Apskaičiuokite matricą kur

; ;

Atsakymas: .

Pavyzdys: Apskaičiuokite matricą , Kur

; ; ; E yra tapatybės matrica.

Atsakymas: .

Pavyzdys: Apskaičiuokite matricos determinantą

.

Atsakymas: 160.

Pavyzdys: Nustatykite, ar matrica A turi atvirkštinę vertę, ir jei taip, tada apskaičiuokite:

.

Atsakymas: .

Pavyzdys: Raskite matricos rangą

.

Atsakymas: 2.

2.4.2. Tiesinių lygčių sistemos.

M tiesinių lygčių sistema su n kintamųjų turi tokią formą:

,

Kur, - savavališki skaičiai, vadinami atitinkamai kintamųjų koeficientais ir lygčių laisvaisiais nariais. Lygčių sistemos sprendimas yra n skaičių () aibė, kurią pakeitus kiekviena sistemos lygtis virsta tikrąja lygybe.

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei turi bent vieną sprendinį, ir nenuoseklia, jei sprendinių nėra. Vienalaikė lygčių sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi vienintelis sprendimas, ir neapibrėžtas, jei jis turi daugiau nei vieną sprendimą.

Cramerio teorema: Tegul yra matricos A determinantas, sudarytas iš kintamųjų „x“ koeficientų, ir tegul yra determinantas matricos, gautos iš matricos A pakeitus j-tą šios matricos stulpelį stulpeliu nemokami nariai. Tada, jei , tai sistema turi unikalų sprendimą, kuris nustatomas pagal formules: (j=1, 2, …, n). Šios lygtys vadinamos Cramerio formulėmis.

Pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemas naudodami Cramerio formules:

Atsakymai: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Gauso metodas– kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas yra toks, kad elementariųjų transformacijų pagalba lygčių sistema redukuojama į lygiavertę žingsninės (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios nuosekliai randami visi kiti kintamieji, pradedant nuo paskutinio. kintamieji pagal skaičių.

Pavyzdys: Išspręskite lygčių sistemas Gauso metodu.

Atsakymai: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Vienalaikėms tiesinių lygčių sistemoms, šiuos teiginius:

jei matricos rangas sąnarių sistema lygus skaičiui kintamieji, t.y. r = n, tada lygčių sistema turi unikalų sprendinį;

· jeigu jungties sistemos matricos rangas mažesnis skaičius kintamieji, t.y. r

2.4.3. Technologija, skirta operacijoms su matricomis atlikti EXCEL.

Panagrinėkime kai kuriuos darbo su Excel skaičiuoklių procesoriumi aspektus, kurie leidžia supaprastinti skaičiavimus, reikalingus optimizavimo problemoms spręsti. Lentelės procesorius yra programinės įrangos produktas, skirtas automatizuoti lentelių duomenų apdorojimą.

Darbas su formulėmis. Skaičiuoklės programos naudoja formules daugeliui skirtingų skaičiavimų. Naudodami „Excel“ galite greitai sukurti formulę. Formulė susideda iš trijų pagrindinių dalių:

Lygybės ženklas;

Operatoriai.

Funkcijų naudojimas formulėse. Kad būtų lengviau įvesti formules, galite naudoti Excel funkcijas. Funkcijos yra formulės, integruotos į „Excel“. Norėdami suaktyvinti tam tikrą formulę, spustelėkite mygtukus Įterpti, Funkcijos. Pasirodžiusiame lange Funkcijų vedlys Kairėje pusėje yra funkcijų tipų sąrašas. Pasirinkus tipą, dešinėje bus pateiktas pačių funkcijų sąrašas. Funkcijos pasirenkamos spustelėjus pelės mygtuką ant atitinkamo pavadinimo.

Atliekant operacijas su matricomis, sprendžiant tiesinių lygčių sistemas ir sprendžiant optimizavimo uždavinius, galite naudoti šias Excel funkcijas:

MUMULT - matricos daugyba;

TRANSPOSE – matricos perkėlimas;

MOPRED - matricos determinanto apskaičiavimas;

MOBR – atvirkštinės matricos skaičiavimas.

Mygtukas yra įrankių juostoje. Matricos operacijoms atlikti skirtos funkcijos yra kategorijoje Matematinė.

Matricos daugyba naudojant funkciją MUMNIFAS . Funkcija MULTIPLE grąžina matricų sandaugą (matricos saugomos 1 ir 2 masyvuose). Rezultatas yra masyvas su tiek pat eilučių skaičiumi kaip 1 masyve ir tiek pat stulpelių kaip 2 masyve.

Pavyzdys. Raskite dviejų matricų A ir B sandaugą programoje Excel (žr. 2.9 pav.):

; .

Įveskite matricas A į langelius A2:C3 ir B į langelius E2:F4.

Pasirinkite daugybos rezultato langelių diapazoną – H2:I2.

Įveskite matricos daugybos formulę =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4).

Paspauskite CTRL + SHIFT + ENTER.

Matriciniai atvirkštiniai skaičiavimai naudojant MOBR funkciją.

Funkcija MOBR grąžina atvirkštinę matricos, saugomos masyve, matricą. Sintaksė: MOBR(masyvas). Fig. 2.10 rodo pavyzdžio sprendimą programoje „Excel“.

Pavyzdys. Raskite matricą, atvirkštinę duotajai:

.

2.9 pav. Įvesties duomenys matricos daugybai.

2.10 pav. Pradiniai duomenys atvirkštinei matricai apskaičiuoti.

Kampinio momento ir magnetinio momento egzistavimas atome išplaukė iš N. Bohr (1913) teorijos ir buvo patvirtintas magnetinių laukų įtaka atomo spektrinėms linijoms, kurias dar 1896 m. atrado P. Zeemanas. Tiesioginį atomo santykinio magnetinio momento matavimą pirmą kartą 1922 metais atliko O. Sternas ir W. Gerlachas, stebėję sidabro atomų pluošto skilimą nevienodame magnetiniame lauke. W. Pauli pirmasis pasiūlė sukinį ir magnetinį momentą atomo branduolyje 1924 m., kai bandė paaiškinti hipersmulkią spektro linijų struktūrą. 1925 metais D. Uhlenbeckas ir S. Goudsmitas, remdamiesi duomenimis apie smulkiąją spektro linijų struktūrą, padarė išvadą, kad elektronas turi turėti sukinį ir magnetinį momentą. Pirmąjį elektrinio kvadrupolio momento branduolyje egzistavimo įrodymą H. Schüleris ir T. Schmidtas gavo 1935 m. Daugybę branduolinių momentų matavimų atliko O. Sternas ir I. Rabi bei bendradarbiai, kurie tyrinėjo. spektrines linijas naudojant molekulinio pluošto metodą. Tada, 1937 ir 1946 m., šiuos matavimus tęsė I. Rabi, N. Ramsey, E. Parcell, F. Blochas ir kiti tyrėjai, taikydami savo sukurtus radijo dažnio rezonanso, vėliau paramagnetinio rezonanso, o dar vėliau – ir kt. mikrobangų ir lazerinė spektroskopija.

Suk.

Bet kuris besisukantis kūnas turi kampinį impulsą jo masės centro atžvilgiu; tai yra paties kūno momentas arba sukimasis. Sukimosi momentas arba tiesiog atomo ar atomo branduolio sukimasis yra charakteristika, panaši į besisukančio viršaus ar giroskopo kampinį momentą. Kieto kūno, besisukančio apie ašį, kampinis impulsas apibrėžiamas kaip visų šio kūno dalelių kampinio momento suma tos pačios ašies atžvilgiu; šis momentas lygus dalelės masės sandaugų sumai pagal jos greitį ir trumpiausią dalelės atstumą iki sukimosi ašies. Kampinio momento vektorius yra lygiagretus sukimosi ašiai ir nukreiptas sraigto judėjimo kryptimi dešiniuoju sriegiu su tokiu pat sukimu. Atomų ir branduolių sukimasis matuojamas vienetais h/2p, Kur h– Planko konstanta lygi 6,6261Х10 –34 JChs. Eksperimentiškai nustatyta, kad šiuose vienetuose (pagal kvantinės mechanikos taisykles) stebimos visų sukinių projekcijos tam tikra kryptimi įgauna arba sveikąjį, arba pusiau sveikąjį skaičių, t.y. arba 1, 2, 3,... arba 1/2, 3/2, 5/2,... Maksimali projekcijos vertė sutampa su sukimosi reikšme; pavyzdžiui, jei branduolinis sukinys j yra 5/2, tada išmatuota maksimali sukimosi projekcijos vertė bus 5/2 vienetais h/2p JChs.

Magnetinis dipolio momentas.

Atomo ar branduolio magnetinis dipolio momentas yra panašus į kompaso adatos momentą. Tai reiškia sukimo momentą, veikiantį atomą arba branduolį magnetiniame lauke. Dipolio momentas yra vektorinis dydis. Atomo magnetinis momentas paprastai matuojamas Boro magnetono vienetais, m 0 = eh/4pmc= 9,27Х10 –24 J/T, kur e- elektronų krūvis, h– Planko konstanta, m– elektronų masė ir c– šviesos greitis. Branduolio magnetiniai momentai paprastai matuojami branduolio magnetono vienetais mN, kuris yra lygus Boro magnetonui, padalintam iš protonų ir elektronų masių santykio, būtent mN= 5.051Х10 –27 J/T.

Elektrinis kvadrupolio momentas.

Elektrinis kvadrupolio momentas yra branduolio elektros krūvio pasiskirstymo nuo sferinės simetrijos nuokrypio matas. Kiekybiškai jis apibrėžiamas kaip su sąlyga, kad branduolio sukimosi projekcija išilgai ašies yra maksimali z stačiakampė koordinačių sistema, kurios pradžia sutampa su šerdies centru. Šioje išraiškoje Z– branduolio krūvis arba jo atominis skaičius, z- protono koordinatės branduolyje, r yra atstumas nuo protono iki branduolio centro, o linija virš išraiškos skliausteliuose reiškia krūvio tankio vidurkį visame branduolyje. Galima parodyti, kad sferiškai simetrišku atveju K = 0.

Kiti punktai.

Iš esmės gali egzistuoti bet kokios eilės elektriniai ir magnetiniai daugiapoliai momentai 2 n, Kur n– nulis arba teigiamas sveikasis skaičius. Pavyzdžiui, buvo išmatuoti jodo, indžio ir galio branduolių magnetiniai oktupoliai. Tačiau galima įrodyti, kad dėl sukinio kvantinės prigimties atomas arba branduolys turi sukinį j negali turėti aukštesnės eilės daugiapolių momentų nei n = 2j. Taigi, atomas su j= l/2 negali turėti daugiapolių momentų, didesnių už dipolio, o atomas su j= 0 – net dipolio momentas. Buvo atlikti nepaprastai jautrūs eksperimentai, siekiant nustatyti elektrinius dipolio momentus branduoliuose, tačiau iki šiol jų nepavyko rasti.

ATOMO MOMENTAI

Zeeman efektas.

Vienas pirmųjų ir galingiausių atominių momentų tyrimo metodų buvo paremtas vadinamuoju P. Zeemano efektu, t.y. apie spektro linijų skilimą išoriniuose magnetiniuose laukuose. Jei išlydžio vamzdis, kuriame sužadinama atominė spinduliuotė, yra įdėtas į išorinį magnetinį lauką, spektrinės linijos suskils į keletą komponentų. Atstumą tarp komponentų linijų lemia atominių momentų sąveikos su išoriniais magnetiniais laukais energija. Kadangi sąveikos energija priklauso nuo atomų magnetinių momentų, išmatuotas skilimas suteikia informacijos apie jų dydį. Spektrinių linijų skaičius lemia sukimosi reikšmes.

Iš pradžių, tiriant atomų optinius spektrus, pastarieji buvo sužadinami dėl susidūrimų su elektronais dujų išlydžio vamzdeliuose arba dėl tokiuose vamzdeliuose kylančios elektromagnetinės spinduliuotės sugerties. Šiais laikais atomai dažnai sužadinami lazerio spinduliuote.

Molekulinio pluošto metodas.

Ypač paprastą, demonstratyvų ir tiesioginį atominių magnetinių momentų matavimo metodą 1921 m. pasiūlė O. Sternas ir W. Gerlachas. Jis pagrįstas atomų, turinčių magnetinį momentą, įlinkio matavimu netolygiame magnetiniame lauke. Viename magnetiniame lauke magnetinis momentas nenukrypsta, nes Laukas vienoda jėga veikia atominio magneto šiaurinį ir pietinį polius. Todėl atomo masės centras nesislenka; atomas gali tik precesuoti arba suktis apie savo masės centrą. Jei magnetinis laukas yra netolygus atomo dydžio atstumais, tai dėl magnetinio lauko stiprumo skirtumų laukas veiks stipriau vieną iš atomo magneto polių nei kitą, o atomas nukryps šių jėgų skirtumo įtakoje.

Eksperimento metu medžiaga kaitinama krosnyje, o jos atomai pro plyšį patenka į vakuuminę kamerą, kur kolimuojami į spindulį ir nusodinami ant plokštelės. Tada įjungiamas netolygus magnetinis laukas, nukreiptas per spindulį, ir užfiksuojamas atomų įlinkis. Kiekviena iš galimų magnetinio momento projekcijos ir sukimosi į lauko kryptį verčių turi atitikti savo nuokrypį. Nuolatinis projekcijų pasiskirstymas, atitinkantis klasikinę fiziką, lemtų nuolatinį signalo neryškumą įrašymo plokštelėje. Tačiau kvantinėje mechanikoje leidžiamos tik tam tikros diskrečios projekcijos, todėl stebimas vaizdas padalijamas į dvi ar daugiau eilučių, kurių skaičius yra 2 j+1, kur j– kampinis atomo impulsas aukščiau minėtuose vienetuose. Pagal komponentų skaičių 2 j+ 1 galite nustatyti kampinį momentą - sukimąsi j. Atstumas tarp linijų leidžia apskaičiuoti magnetinio momento dydį.

Toliau aptariami molekulinių pluoštų rezonansiniai metodai taip pat buvo pritaikyti atominiams magnetiniams momentams matuoti ir davė tiksliausius rezultatus. Panašiai elektronų paramagnetinis rezonansas, panašus į BMR, naudojamas atominiams magnetiniams momentams matuoti.

Atominių momentų nustatymo eksperimentų išvados.

Aukščiau pateiktų ir kitų panašių eksperimentų rezultatai atitinka šiuos teiginius apie atominių struktūrų sukimąsi ir magnetinius momentus.

Kiekvienas atomo elementas turi orbitos momentą, atitinkantį jo judėjimą Behr orbitoje l. Šis elektrono orbitinis judėjimas gali būti laikomas žiedine srove, dėl kurios atsiranda tokį judėjimą atitinkantis magnetinis momentas.

Magnetinio momento, siejamo su orbitos judėjimu, dydis klasikinėje mechanikoje būtų proporcingas orbitos impulso dydžiui. Bet elektronas turi ir savo momentą – sukimąsi. Magnetinis momentas taip pat turi būti susietas su sukimu.

Dėl to dalelės magnetinis momentas pasirodo proporcingas bendram mechaniniam momentui (orbitos ir sukimosi momentų sumai).

Svarbu nepamiršti, kad momentai – mechaniniai ir magnetiniai – yra vektoriniai dydžiai. Kvantinėje mechanikoje buvo sukurti tam tikri jų sumavimo ir atomų magnetinių momentų skaičiavimo metodai.

Branduolinės akimirkos

Yra keletas branduolinių momentų matavimo metodų; Kai kurie iš jų aptariami toliau.

Optinė spektroskopija.

Vienas iš svarbiausių branduolinių momentų matavimo metodų pagrįstas vadinamosios hipersmulkiosios atomų spektrų struktūros, kurios sužadinimui dabar dažnai naudojami lazeriai, tyrimu. Sukimosi reikšmę galima nustatyti pagal spektrinės linijos komponentų skaičių arba pagal santykinį linijų intensyvumą. Sukimosi, magnetinio momento ir elektrinio kvadrupolio momento galima nustatyti pagal atstumą tarp komponentų arba pagal magnetinio lauko poveikį linijai. Sukimą taip pat galima nustatyti iš dviatominių molekulių dryžuotų spektrų.

Molekulinio pluošto metodai.

O. Sterno, I. Rabi, N. Ramsey, W. Nirenbergo ir kitų mokslininkų sukurti molekulinio pluošto metodai ypač veiksmingi tiriant branduolinius momentus. Yra žinomi keli molekulinio pluošto metodai. Viename iš jų, kurį Sternas naudojo vandenilio ir deuterio branduoliniams momentams matuoti, buvo naudojamas molekulinis vandenilis ir sąranka, iš esmės panaši į Sterno ir Gerlacho eksperimento sąranką. Kadangi molekuliniame vandenilyje elektronų magnetiniai momentai beveik tiksliai panaikina vienas kitą, pastebėtą nuokrypį daugiausia lemia branduolio magnetinis momentas. Todėl išmatuotas nuokrypis leido nustatyti branduolio magnetinį momentą. Rabi ir jo bendradarbių atlikti pluošto eksperimentai naudojo atomus su nuliniu elektronų magnetiniu momentu, iš kurio susidarė atominis spindulys, praeinantis per vieną ar du nukreipiančius magnetinius laukus, tokio paties tipo kaip ir Sterno-Gerlacho eksperimente. . Pasirinkus magnetinius laukus ir tiriant atomų pluošto nukreipimo ar perfokusavimo modelį, buvo galima gauti informacijos apie branduolinių ir elektroninių momentų ryšį. Tokiu būdu buvo galima išmatuoti branduolių sukinius, taip pat branduolinių magnetinių momentų ir elektrinių kvadrupolių momentų sąveikos charakteristikas.

Veiksmingiausiu branduolinių momentų tyrimo metodu, matyt, reikėtų laikyti elektromagnetinės spinduliuotės atomų ir molekulių sugerties matavimą radijo dažnių ir mikrobangų diapazonuose. Kaip ir optinėje spektroskopijoje, molekulės spinduliuotės sugertis vyksta tokiu dažniu n, atitinkančią vertę hn=D E, kur D E – energijos skirtumas tarp dviejų būsenų, atitinkantis leistiną perėjimą. Esant paprastam magnetiniam momentui m branduoliai su sukiniu aš, esantis magnetiniame lauke N, vertė D E galima teoriškai apskaičiuoti, ir pasirodo, kad rezonansas atsiranda dažniu n, toks hn = mH/aš, Kur m– branduolio magnetinis momentas. Šiuo santykiu h yra Planko konstanta, taigi, išmatavus H Ir n, galite rasti magnetinio momento ir sukimosi santykį. Jei sąveika molekulėje pasirodo sudėtingesnė, tada D reikšmių lygybė E Ir mH/aš sutrinka ir spinduliuotės sugertis vyksta dažniais, kurie skiriasi nuo tų, kurie atitinka lygybę hn = mH/aš. Papildoma sąveika gali atsirasti branduolio, turinčio elektrinį kvadrupolio momentą, atveju, nes šis momentas gali sąveikauti su netolygiu elektriniu lauku, kurį sukuria kitų molekulės, kuriai priklauso ir branduolys, atomų krūviai. Šiuo atveju dažniai, kuriais vyksta absorbcija, leidžia nustatyti branduolio elektrinį kvadrupolio momentą.

Aukščiau aprašytą metodą, pagrįstą radijo dažnių spinduliuotės sugertimi, 1937 metais pirmą kartą sėkmingai panaudojo I. Rabi ir jo bendradarbiai ir vadino molekulinio pluošto magnetinio rezonanso metodu. Norėdami užregistruoti absorbcijos faktą, Rabi ištyrė absorbcijos poveikį molekulių deformacijai molekuliniuose pluoštuose. Jo eksperimentinės sąrankos schema parodyta paveikslėlyje. Molekulės iš „krosnies“ (šiluminio šaltinio) patenka į vakuuminę kamerą, kurioje yra magnetai A Ir IN, sukuriant nehomogeniškus magnetinius laukus, nehomogeniškumo kryptys yra priešingos. Į magnetą A Molekulės nukreipiamos kaip Sterno-Gerlacho eksperimente, o tada vėl sufokusuojamos magnetu IN ant detektoriaus, jei molekulėje esantys magnetiniai momentai yra vienodai orientuoti A Ir IN. Bet jei vienas iš momentų persiorientuoja į vidurinį regioną SU, tada perfokusavimas nevyksta ir spindulio intensyvumas mažėja. Todėl rajone SU sukurti vienodą magnetinį ir svyruojantį radijo dažnių lauką ir išmatuoti radijo dažnio spinduliuotės sugertį, fiksuojant pluošto intensyvumo mažėjimą. Tipiški eksperimento, atlikto su sunkiosiomis vandenilio molekulėmis, rezultatai pateikti paveikslėlyje. Tai yra pluošto intensyvumo priklausomybė nuo vienodo magnetinio lauko intensyvumo regione SU. Giliausias centrinis spindulio intensyvumo minimumas atitinka dažnį n ir lauko stiprumas H, kurie yra susiję ryšiu hn = mH/aš (žr. aukščiau), todėl šie duomenys leidžia nustatyti magnetinio momento ir sukimosi santykį. Mažesni papildomi minimumai atsiranda dėl elektrinio kvadrupolio momento; iš jų padėties galima nustatyti sunkiojo vandenilio branduolio arba deuterono elektrinį kvadrupolio momentą. Ramsey parodė, kad didesnį rezonansinių dažnių matavimo tikslumą galima pasiekti, jei svyruojantys laukai sukuriami dviejuose siauruose tarpeliuose - regiono pradžioje ir pabaigoje. SU.

Tirdamas polines molekules, Rabi ir jo bendradarbiai panaudojo elektrinio rezonanso metodą molekuliniuose pluoštuose ne magnetiniais, o elektriniais nukreipimo, perfokusavimo ir svyruojančiais laukais. Šis metodas pasirodė ypač vertingas tiriant branduolinių elektrinių kvadrupolių momentų sąveiką.

Branduolinis magnetinis rezonansas (BMR).

1946 metais E. Purcellas ir F. Blochas bei jų bendradarbiai pirmieji sėkmingai panaudojo magnetinio rezonanso metodą, kai nenaudojamas molekulinis pluoštas, o stebima rezonansinė radijo dažnio spinduliuotės sugertis mėginyje. Purcellas tiesiogiai užfiksavo spinduliuotės sugertį, o Blochas panaudojo porą stačiakampių ritių: vienoje iš ritių įvykę svyravimai rezonansiniu dažniu sukėlė mėginio branduolių persiorientavimą, kurio precesija sukėlė stebimą signalą kitoje ritėje. .

A. Kastleris ir kiti eksperimentuotojai gavo žymiai stipresnius atominio rezonanso signalus, optiniu siurbimu pakeitę branduolio orientacijos pasiskirstymą ir registruodami rezonansą skleidžiamos šviesos intensyvumo ir poliarizacijos pokyčiais.

Kiti metodai.

Kai kurie branduoliniai momentai buvo nustatyti radiospektroskopijos būdu: jonai fiksuojami elektriniu ir magnetiniu lauku, po to išmatuojami jų magnetiniai momentai ir vidinės sąveikos konstantos. Tokie metodai pasirodė ypač veiksmingi atsiradus lazerinio aušinimo technikoms, kurios leido atvėsinti jonus iki kelių mikrokelvinų temperatūros, kuriai esant pirmos ir antros eilės linijos išplėtimo Doplerio efektai yra nereikšmingi. Ypač svarbus pavyzdys – H. Dehmelto ir jo bendradarbių atlikti elektrono magnetinio momento matavimai. Šie matavimai davė vertę

aš = 1,001159652193(10)m 0,

kuri sutampa su kvantinės elektrodinamikos prognozėmis 10 ženklų po kablelio tikslumu.

Dabar taip pat galima užfiksuoti ir lazeriu atvėsinti neutralius atomus, kurie vėliau naudojami tiksliems matavimams.

Matavimo rezultatai.

Branduolinės teorijos požiūriu šie rezultatai verti dėmesio.

1 H 1 protono ir 0 n 1 neutrono magnetiniai momentai skiriasi nuo branduolinio magnetono, nors pirminė prognozė buvo tokia, kad pirmasis turėtų būti tiksliai lygus branduolio magnetonui, o antrasis lygiai lygus nuliui.

Skirtumas tarp deuterono magnetinio momento 1 H 2 ir protono bei neutrono magnetinių momentų sumos, nors ir mažas, turi baigtinę reikšmę. Tai reiškia, kad protono ir neutrono momentai deuterone yra adityvūs tik apytiksliai.

1 H 3 magnetinis momentas skiriasi nuo protono magnetinio momento 6,6%, nors teoriškai jie turėtų būti lygūs.

Deuteronas turi elektrinį kvadrupolio momentą, t.y. jis nukrypsta nuo sferinės simetrijos (yra regbio kamuolio formos), kai teoriškai turėtų turėti sferinę simetriją.

Išmatuotas elektrono magnetinis momentas sutampa su kvantinės elektrodinamikos numatytu momentu iki dešimtosios dešimtosios dalies. Taip pat žr

Dipolis- idealizuota sistema, skirta apytiksliai apibūdinti lauką, kurį sukuria sudėtingesnės krūvių sistemos, taip pat apytiksliai apibūdinti išorinio lauko poveikį tokioms sistemoms. Dipolio aproksimacija, kurio įvykdymas dažniausiai numanomas kalbant apie dipolio laukas, yra pagrįstas lauko potencialų išplėtimu į spindulio vektoriaus galių seką, apibūdinančią šaltinio krūvių padėtį ir atmetus visus terminus, viršijančius pirmąją eilę. Gautos funkcijos efektyviai apibūdins lauką, jei:

1. lauką spinduliuojančios sistemos matmenys yra maži, palyginti su nagrinėjamais atstumais, todėl būdingo sistemos dydžio ir spindulio vektoriaus ilgio santykis yra maža reikšmė ir prasminga atsižvelgti tik į pirmuosius serijinis potencialų išplėtimas;
2. pirmosios eilės narys plėtinyje nėra lygus 0, priešingu atveju turi būti naudojamas didesnis daugiapolis aproksimacija;
3. lygtys įvertina potencialius gradientus, ne didesnius nei pirmosios eilės.

Tipiškas dipolio pavyzdys yra du vienodo dydžio ir priešingo ženklo krūviai, esantys vienas nuo kito tokiu atstumu, kuris yra labai mažas, palyginti su atstumu iki stebėjimo taško. Tokios sistemos laukas visiškai apibūdinamas dipolio aproksimacija.

Sistemos dipolio momentas

Elektrinis dipolis

Elektrinis dipolis- idealizuota elektriškai neutrali sistema, susidedanti iš taškinių ir absoliučiai lygių teigiamų ir neigiamų elektros krūvių.

Kitaip tariant, elektrinis dipolis yra dviejų absoliučiai lygių priešingų taškinių krūvių, esančių tam tikru atstumu vienas nuo kito, derinys.

Vektoriaus sandauga $\backslash vec\; l,$ iš neigiamo krūvio į teigiamą, pagal absoliučią krūvių vertę $q\backslash ,$ vadinamas dipolio momentu: $\backslash vec\; d=q\backslash vec\; l.$

Išoriniame elektriniame lauke $\backslash vec\; E$ jėgos momentas veikia elektrinį dipolį $(\backslash vec\; d)\backslash times(\backslash vec\; E),$ kuri linkusi jį pasukti taip, kad dipolio momentas pasisuks lauko kryptimi.

Elektrinio dipolio potencinė energija (nuolatiniame) elektriniame lauke yra $-(\backslash vec\; E)\backslash cdot(\backslash vec\; d).$(Nevienodo lauko atveju tai reiškia priklausomybę ne tik nuo dipolio momento – jo dydžio ir krypties, bet ir nuo vietos, dipolio išsidėstymo taško).

Toli nuo elektrinio dipolio jo elektrinio lauko stiprumas mažėja didėjant atstumui $R$ Kaip $R^\; (-3),$ tai yra greičiau nei taškinio krūvio ( $E\backslash sim\; R^\; (-2)$).

Bet kuri apskritai elektra neutrali sistema, turinti tam tikru apytiksliu elektros krūvį (ty iš tikrųjų dipolio aproksimacija) gali būti laikomas elektriniu dipoliu su momentu $\backslash vec\; d\; =\; \backslash sum\_i\; q\_i\; (\backslash vec\; r)\_i,$ Kur $q\_i$- apmokestinti $i$-tas elementas $(\backslash vec\; r)\_i$ yra jo spindulio vektorius. Šiuo atveju dipolio aproksimacija bus teisinga, jei atstumas, kuriuo tiriamas sistemos elektrinis laukas, yra didelis, palyginti su jai būdingais matmenimis.

Magnetinis dipolis

Magnetinis dipolis- elektrinio analogas, kurį galima įsivaizduoti kaip dviejų „magnetinių krūvių“ sistemą (ši analogija sąlyginė, nes šiuolaikinės elektrodinamikos požiūriu magnetiniai krūviai neegzistuoja). Magnetinio dipolio modeliu galime laikyti nedidelį (palyginti su atstumais, kuriais išspinduliuojamas dipolio generuojamas magnetinis laukas) plokščią uždarą laidų ploto rėmą. $S\backslash ,$ kuriuo teka srovė $aš\backslash ,.$Šiuo atveju dipolio magnetinis momentas (SGSM sistemoje) yra dydis $(\backslash vec\; \backslash mu)\; =\; I\; S\; (\backslash vec\; n),$ Kur $(\backslash vec\; n)$- vieneto vektorius, nukreiptas statmenai rėmo plokštumai ta kryptimi, kuria, stebint, kadre srovė teka pagal laikrodžio rodyklę.

$\backslash mathbf(Z)\; =\; -\; \backslash frac(1)(R)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(d)\backslash left(t-\backslash frac(R)(c)\backslash right).$

Prisiminkite, kad dipolis yra ramybės pradžioje, taigi $\backslash mathbf(d)$ yra vieno kintamojo funkcija. Tada

$\backslash mathbf(E)\; =\; -\; \backslash operatoriaus\; vardas(rot)\backslash ,\backslash operatoriaus\; vardas(rot)\backslash ,\backslash mathbf(Z),$ $\backslash mathbf(B)\; =\; -\; \backslash frac(1)(c)\backslash operatoriaus\; vardas(rot)\backslash ,\backslash taškas(\backslash mathbf(Z)).$

Šiuo atveju lauko potencialus galima pasirinkti formoje

$\backslash mathbf(A)\; =\; -\; \backslash frac(\backslash dot(\backslash mathbf(Z)))(c),\; ~~\; \backslash phi\; =\; \backslash operatoriausvardas(div)\backslash ,\backslash mathbf(Z).$

Šios formulės gali būti naudojamos, kai taikomas dipolio aproksimavimas.

Dipolio spinduliuotė (bangų zona arba tolimojo lauko spinduliuotė)

Pateiktos formulės yra žymiai supaprastintos, jei sistemos matmenys yra daug mažesni už skleidžiamą bangos ilgį, tai yra, krūvio greičiai yra daug mažesni c, o laukas laikomas daug didesniu atstumu nei bangos ilgis. Ši lauko sritis vadinama bangų zona. Šioje srityje sklindanti banga gali būti laikoma praktiškai plokščia. Iš visų terminų, esančių posakiuose už $\backslash mathbf(E)$ Ir $\backslash mathbf(B)$ tik terminai, turintys antruosius išvestinius iš $\backslash mathbf(d),$ nes

$\backslash frac(\backslash dot(\backslash mathbf(d)))(c)\; \backslash approx\; \backslash frac(d)(\backslash lambda),$ $\backslash frac(\backslash ddot(\backslash mathbf(d)))(c^2)\; \backslash approx\; \backslash frac(d)(\backslash lambda^2).$

GHS sistemos laukų išraiškos yra tokios formos

$\backslash mathbf(H)\; =\; \backslash frac(1)(c^2\; R)[\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\backslash mathbf(n)],\; ~~\; \backslash mathbf(H)\; =\; [\backslash mathbf(n)\; ,\; \backslash mathbf(E)],$ $\backslash mathbf(E)\; =\; \backslash frac(1)(c^2\; R)\backslash left[\; [\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\backslash mathbf(n)]\; ,\; \backslash mathbf(n)\; \backslash right],\; ~~\; \backslash \; mathbf(E)\; =\; [\backslash mathbf(B)\; ,\; \backslash mathbf(n)].$

Plokštuminėje bangoje – spinduliavimo intensyvumas kietajame kampe $d\backslash Omega$ lygus

$dI\; =\; c\backslash frac(H^2)(4\backslash pi)R^2\; d\backslash Omega,$

todėl dipolio spinduliuotei

$dI\; =\; \backslash frac(1)(4\; \backslash pi\; c^3)[\backslash ddot(\backslash mathbf(d)),\; \backslash mathbf(n)]^2\; d\backslash Omega$

= \frac(\ddot(\mathbf(d))^2)(4\pi c^3)\sin^2(\theta) d\Omega.

Kur $\backslash teta$- kampas tarp vektorių $\backslash ddot(\backslash mathbf(d))$ Ir $\backslash mathbf(n).$ Raskime bendrą spinduliuojamą energiją. Atsižvelgiant į tai $d\backslash Omega\; =\; 2\backslash pi\backslash ,\; \backslash sin(\backslash theta)\backslash ,\; d\backslash theta,$ integruokime išraišką per $d\backslash teta$ iš $0$į $\backslash pi.$ Bendra spinduliuotė yra

$I\; =\; \backslash frac(2)(3\; c^3)\; (\backslash ddot(\backslash mathbf(d)))^2.$

Nurodykime spinduliuotės spektrinę sudėtį. Jis gaunamas pakeitus vektorių $\backslash ddot(\backslash mathbf(d))$ pagal Furjė komponentą ir tuo pačiu padauginus išraišką iš 2. Taigi,

$d\; \backslash mathcal(E)\_\backslash omega\; =\; \backslash frac(4\; \backslash omega^4)(3\; c^3)\; \backslash left|\; \backslash mathbf(d)\_\backslash omega\; \backslash right|^2\; \backslash frac(d\backslash omega)(2\backslash pi).$

Taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Dipolis (elektrodinamika)"

Pastabos

Literatūra

• Landau, L. D., Lifshits, E. M. Lauko teorija. - 7-asis leidimas, pataisytas. - M.: Nauka, 1988. - 512 p. - („Teorinė fizika“, II tomas). - ISBN 5-02-014420-7.
• Akhmanovas S. A., Nikitinas S. Yu., „Fizinė optika“, 2004 m.

Ištrauka, apibūdinanti dipolį (elektrodinamika)

Iš baimės praradęs sąmonę Pierre'as pašoko ir nubėgo atgal į bateriją, kaip vienintelį prieglobstį nuo visų jį supusių siaubo.
Pjeras įeidamas į tranšėją pastebėjo, kad į bateriją nesigirdi šūvių, tačiau kai kurie žmonės ten kažką darė. Pierre'as neturėjo laiko suprasti, kokie jie žmonės. Jis pamatė vyresnįjį pulkininką, gulintį nugara ant pylimo, tarsi ką nors apžiūrinėdamas apačioje, ir pamatęs vieną pastebėtą kareivį, kuris, išsiveržęs į priekį nuo už rankos laikančių žmonių, sušuko: „Broliai! – ir dar kažką keisto pamatė.
Bet jis dar nespėjo suprasti, kad pulkininkas buvo nužudytas, kad tas, kuris šaukė „broliai! Ten buvo kalinys, kuriam prieš akis kitas kareivis įsmeigė durtuvą į nugarą. Vos jam įbėgus į apkasą, prie jo kažką šaukdamas pribėgo lieknas, geltonas, prakaituoto veido vyriškis mėlyna uniforma, su kardu rankoje. Pierre'as, instinktyviai gindamasis nuo stūmimo, nes vienas kito nematydami pabėgo vienas nuo kito, ištiesė rankas ir viena ranka sugriebė šį vyrą (tai buvo prancūzų karininkas) už peties, kita – už išdidaus. Pareigūnas, paleidęs kardą, sugriebė Pierre'ą už apykaklės.
Kelias sekundes jie abu išsigandusiomis akimis žiūrėjo į vienas kitam svetimus veidus ir abu buvo nesupratę, ką padarė ir ką turėtų daryti. „Ar aš patekau į nelaisvę, ar jis pateko į mane? - pagalvojo kiekvienas iš jų. Tačiau, aišku, prancūzų karininkas buvo labiau linkęs manyti, kad buvo paimtas į nelaisvę, nes stipri Pjero ranka, varoma nevalingos baimės, vis tvirčiau spaudė gerklę. Prancūzas norėjo ką nors pasakyti, kai staiga virš jų galvų žemai ir siaubingai sušvilpė patrankos sviedinys, ir Pierre'ui atrodė, kad prancūzų karininko galva buvo nuplėšta: jis taip greitai ją sulenkė.
Pjeras taip pat nulenkė galvą ir paleido rankas. Daugiau negalvodamas, kas ką paėmė į nelaisvę, prancūzas nubėgo atgal į bateriją, o Pierre'as leidosi žemyn, klimpdamas už žuvusiųjų ir sužeistųjų, kurie, jam atrodė, gaudo už kojas. Tačiau nespėjus nusileisti, prie jo pasirodė tankios minios bėgančių rusų kareivių, kurie krisdami, suklupę ir rėkdami džiaugsmingai ir įnirtingai bėgo link baterijos. (Tai buvo išpuolis, kurį Ermolovas priskyrė sau, sakydamas, kad tik jo drąsa ir laimė galėjo padaryti šį žygdarbį, ir išpuolis, kurio metu jis neva išmetė ant piliakalnio kišenėje buvusius Šv. Jurgio kryžius.)
Bateriją užėmę prancūzai pabėgo. Mūsų kariai, šaukdami „Hurray“, nustūmė prancūzus taip toli už baterijos, kad buvo sunku juos sustabdyti.
Iš baterijos buvo paimti kaliniai, tarp jų ir sužeistas prancūzų generolas, kurį apsupo pareigūnai. Minios sužeistųjų, Pierre'ui pažįstamų ir nepažįstamų, rusų ir prancūzų, kurių veidai buvo subjauroti iš kančios, vaikščiojo, šliaužė ir bėgo iš baterijos neštuvais. Pierre'as įėjo į piliakalnį, kur praleido daugiau nei valandą, o iš jį priėmusio šeimos rato nieko nerado. Čia buvo daug žuvusiųjų, jam nežinomų. Tačiau kai kuriuos atpažino. Jaunas pareigūnas sėdėjo vis dar susirangęs prie šachtos krašto, kraujo baloje. Raudonveidis kareivis vis dar trūkčiojo, bet jo nepašalino.

Elektrinis dipolis- idealizuota elektriškai neutrali sistema, susidedanti iš taškinių ir absoliučiai lygių teigiamų ir neigiamų elektros krūvių.

Kitaip tariant, elektrinis dipolis yra dviejų absoliučiai lygių priešingų taškinių krūvių, esančių tam tikru atstumu vienas nuo kito, derinys.

Vektoriaus sandauga, nukreipta nuo neigiamo krūvio į teigiamą pagal absoliučią krūvių vertę, vadinama dipolio momentu:

Išoriniame elektriniame lauke jėgos momentas veikia elektrinį dipolį, kuris linkęs jį sukti taip, kad dipolio momentas pasisuks lauko kryptimi.

Elektrinio dipolio potencinė energija (nuolatiniame) elektriniame lauke lygi (Nevienodo lauko atveju tai reiškia priklausomybę ne tik nuo dipolio momento – jo dydžio ir krypties, bet ir nuo vietos , dipolio vietos taškas).

Toli nuo elektrinio dipolio jo elektrinio lauko stiprumas mažėja didėjant atstumui, kažkaip greičiau nei taškinis krūvis ().

Bet kuri apskritai elektra neutrali sistema, turinti tam tikru apytiksliu elektros krūvį (ty iš tikrųjų dipolio aproksimacija) gali būti laikomas elektriniu dipoliu su momentu, kur - elemento krūvis yra jo spindulio vektorius. Šiuo atveju dipolio aproksimacija bus teisinga, jei atstumas, kuriuo tiriamas sistemos elektrinis laukas, yra didelis, palyginti su jai būdingais matmenimis.

Magnetinis dipolis

Magnetinis dipolis- elektrinio analogas, kurį galima įsivaizduoti kaip dviejų „magnetinių krūvių“ sistemą (ši analogija sąlyginė, nes šiuolaikinės elektrodinamikos požiūriu magnetiniai krūviai neegzistuoja). Magnetinio dipolio modeliu galime laikyti nedidelį (palyginti su atstumais, kuriais tiriamas sukuriamas dipolio magnetinis laukas) plokščią uždarą laidus ploto rėmą, kuriuo teka srovė Šiuo atveju – dipolio magnetinis momentas (SGSM sistemoje) yra reikšmė, kur - vieneto vektorius, nukreiptas statmenai kadro plokštumai ta kryptimi, kai stebima, kad kadre srovė teka pagal laikrodžio rodyklę.

Sukimo momento, veikiančio iš magnetinio lauko magnetiniame dipolyje, ir nuolatinio magnetinio dipolio potencinės energijos magnetiniame lauke išraiškos yra panašios į atitinkamas elektrinio dipolio sąveikos su elektriniu lauku formules, tik jos apima magnetinis momentas ir magnetinės indukcijos vektorius:

Virpesių dipolio laukas

Šiame skyriuje nagrinėjamas taškinio elektrinio dipolio, esančio tam tikrame erdvės taške, sukurtas laukas.