Trupmenų lygtys. ODZ.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Liko paskutinis vaizdas - trupmenines lygtis. Arba jie taip pat vadinami daug garbingiau - trupmenines racionaliąsias lygtis. Tai tas pats dalykas.
Trupmenų lygtys.
Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklis nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:
Leiskite jums priminti, kad jei vardikliai yra tik numeriai, tai tiesinės lygtys.
Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Tai paminėsiu žemiau.
Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant tas pačias identiškas transformacijas.
Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai būtų sumažinti! Viskas iš karto taps lengviau. Leiskite paaiškinti pavyzdžiu. Turime išspręsti lygtį:
Kaip mokoma jaunesniųjų klasių? Viską perkeliame į vieną pusę, sunešame į šalį bendras vardiklis ir tt Pamiršk tai kaip blogą sapną! Tai reikia padaryti, kai pridedate arba atimate. trupmeninės išraiškos. Arba dirbate su nelygybėmis. O lygtyse iš karto padauginame abi puses iš išraiškos, kuri suteiks galimybę sumažinti visus vardiklius (t. y. iš esmės iš bendro vardiklio). Ir kas yra ši išraiška?
Kairėje pusėje, norint sumažinti vardiklį, reikia padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2 Tai reiškia, kad lygtis turi būti padauginta iš 2 (x+2). Padauginti:
Tai įprastas dauginimas trupmenomis, bet parašysiu smulkiai:
Atkreipkite dėmesį, kad aš dar neatidarau laikiklio (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:
Kairėje pusėje jis visiškai susitraukia (x+2), o dešinėje 2. Ko ir reikėjo! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:
Ir kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.
Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:
Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1, galime rašyti:
Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – trupmenomis.
Matome, kad norėdami sumažinti vardiklį su X, turime trupmeną padauginti iš (x – 2). O kelios mums netrukdo. Na, padauginkime. Visi kairėje pusėje Ir visi dešinėje pusėje:
Vėl skliausteliuose (x – 2) Aš neatskleisiu. Aš dirbu su skliaustu kaip visuma taip, lyg tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.
Su gilaus pasitenkinimo jausmu sumažiname (x – 2) ir gauname lygtį be jokių trupmenų, su liniuote!
Dabar atidarykime skliaustus:
Atvežame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:
Tačiau prieš tai išmoksime spręsti kitas problemas. Dėl palūkanų. Beje, tai grėblys!
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Lygčių su trupmenomis sprendimas Pažiūrėkime į pavyzdžius. Pavyzdžiai yra paprasti ir iliustruojantys. Su jų pagalba galėsite suprasti suprantamiau.
Pavyzdžiui, reikia išspręsti paprastą lygtį x/b + c = d.
Tokio tipo lygtis vadinama tiesine, nes Vardiklyje yra tik skaičiai.
Sprendimas atliekamas abi lygties puses padauginus iš b, tada lygtis įgauna formą x = b*(d – c), t.y. kairėje pusėje esantis trupmenos vardiklis anuliuoja.
Pavyzdžiui, kaip išspręsti trupmeninė lygtis:
x/5+4=9
Abi puses padauginame iš 5. Gauname:
x+20=45
x=45-20=25
Kitas pavyzdys, kai vardiklyje yra nežinomasis:
Tokio tipo lygtys vadinamos trupmeninėmis-racionaliosiomis arba tiesiog trupmeninėmis.
Trupmenų lygtį išspręstume atsikratę trupmenų, po kurių ši lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine lygtimi, kuri sprendžiama įprastu būdu. Jums tereikia atsižvelgti į šiuos dalykus:
- kintamojo, kuris paverčia vardiklį į 0, reikšmė negali būti šaknis;
- Negalite padalyti ar padauginti lygties iš išraiškos =0.
Čia įsigalioja leistinų verčių srities (ADV) sąvoka - tai lygties šaknų reikšmės, kurioms lygtis turi prasmę.
Taigi, sprendžiant lygtį, būtina rasti šaknis ir patikrinti, ar jos atitinka ODZ. Tos šaknys, kurios neatitinka mūsų ODZ, neįtraukiamos į atsakymą.
Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti trupmeninę lygtį:
Remiantis aukščiau pateikta taisykle, x negali būti = 0, t.y. ODZ viduje šiuo atveju: x – bet kokia reikšmė, išskyrus nulį.
Vardiklio atsikratome visus lygties narius padauginę iš x
Ir mes išsprendžiame įprastą lygtį
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Atsakymas: x = 1/3
Išspręskime sudėtingesnę lygtį:
ODZ taip pat yra čia: x -2.
Spręsdami šią lygtį, neperkelsime visko į vieną pusę ir nesuvesime trupmenų į bendrą vardiklį. Iš karto padauginsime abi lygties puses iš išraiškos, kuri vienu metu panaikins visus vardiklius.
Norint sumažinti vardiklius, reikia kairę pusę padauginti iš x+2, o dešinę – iš 2. Tai reiškia, kad abi lygties puses reikia padauginti iš 2(x+2):
Tai yra labiausiai paplitęs trupmenų dauginimas, kurį jau aptarėme aukščiau.
Parašykime tą pačią lygtį, bet šiek tiek kitaip
Kairė pusė sumažinama (x+2), o dešinė – 2. Sumažinus gauname įprastą tiesinė lygtis:
x = 4 – 2 = 2, o tai atitinka mūsų ODZ
Atsakymas: x = 2.
Lygčių su trupmenomis sprendimas ne taip sunku, kaip gali pasirodyti. Šiame straipsnyje mes tai parodėme pavyzdžiais. Jei turite kokių nors sunkumų su kaip išspręsti lygtis su trupmenomis, tada atsisakykite prenumeratos komentaruose.
Pačios lygtys su trupmenomis nėra sudėtingos ir yra labai įdomios. Pažvelkime į trupmeninių lygčių tipus ir kaip jas išspręsti.
Kaip išspręsti lygtis su trupmenomis - x skaitiklyje
Jei pateikiama trupmeninė lygtis, kai skaitiklyje yra nežinomasis, sprendimas nereikalauja papildomų sąlygų ir išsprendžiamas be nereikalingo vargo. Bendras vaizdas tokia lygtis yra x/a + b = c, kur x yra nežinomasis, a, b ir c yra įprasti skaičiai.
Raskite x: x/5 + 10 = 70.
Norėdami išspręsti lygtį, turite atsikratyti trupmenų. Padauginkite kiekvieną lygties narį iš 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ir 5 atšaukiami, 10 ir 70 padauginami iš 5 ir gauname: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Raskite x: x/5 + x/10 = 90.
Šis pavyzdys yra šiek tiek sudėtingesnė pirmojo versija. Čia yra du galimi sprendimai.
- 1 variantas: atsikratome trupmenų, padaugindami visus lygties narius iš didesnio vardiklio, ty iš 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x = 300.
- 2 parinktis: pridėkite kairę lygties pusę. x/5 + x/10 = 90. Bendras vardiklis yra 10. Padalijus 10 iš 5, padauginus iš x, gauname 2x. Padalinkite 10 iš 10, padauginkite iš x, gausime x: 2x+x/10 = 90. Taigi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Dažnai yra trupmeninių lygčių, kuriose x yra išdėstyti pagal skirtingos pusės lygybės ženklas. Tokiose situacijose visas trupmenas su X reikia perkelti į vieną pusę, o skaičius – į kitą.
- Raskite x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Pasukite 2x/5 į dešinę su priešingas ženklas: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Sumažiname 5x/5 ir gauname: x = 130.
Kaip išspręsti lygtį su trupmenomis - x vardiklyje
Šio tipo trupmeninėms lygtims reikia parašyti papildomų sąlygų. Šių sąlygų nurodymas yra privaloma ir neatskiriama dalis teisingas sprendimas. Nepridėdami jų rizikuojate, nes atsakymas (net jei jis teisingas) gali būti tiesiog neįskaičiuotas.
Bendroji trupmeninių lygčių forma, kai vardiklyje yra x, yra: a/x + b = c, kur x yra nežinomasis, a, b, c yra įprasti skaičiai. Atminkite, kad x negali būti bet koks skaičius. Pavyzdžiui, x negali būti lygus nuliui, nes jo negalima padalyti iš 0. Būtent taip ir yra papildoma sąlyga, kurį turime nurodyti. Tai vadinama leistinų verčių diapazonu, sutrumpintai vadinamu OA.
Raskite x: 15/x + 18 = 21.
Iš karto užrašome x ODZ: x ≠ 0. Dabar, kai nurodytas ODZ, išsprendžiame lygtį pagal standartinę schemą, atsikratydami trupmenų. Visus lygties narius padauginame iš x. 15x / x + 18x = 21x => 15 + 18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Dažnai pasitaiko lygčių, kur vardiklyje yra ne tik x, bet ir kokia nors kita operacija su juo, pavyzdžiui, sudėjimas ar atėmimas.
Raskite x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Jau žinome, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, o tai reiškia, kad x-3 ≠ 0. Perkeliame -3 į dešinę pusę, ženklą „-“ pakeisdami į „+“ ir gauname, kad x ≠ 3. ODZ yra nurodyta.
Išsprendžiame lygtį, viską padauginame iš x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Perkelkite X į dešinę, skaičius į kairę: 24 = 3x => x = 8.
Lygčių su trupmenomis sprendimas Pažiūrėkime į pavyzdžius. Pavyzdžiai yra paprasti ir iliustruojantys. Su jų pagalba galėsite suprasti suprantamiau.
Pavyzdžiui, reikia išspręsti paprastą lygtį x/b + c = d.
Tokio tipo lygtis vadinama tiesine, nes Vardiklyje yra tik skaičiai.
Sprendimas atliekamas abi lygties puses padauginus iš b, tada lygtis įgauna formą x = b*(d – c), t.y. kairėje pusėje esantis trupmenos vardiklis anuliuoja.
Pavyzdžiui, kaip išspręsti trupmeninę lygtį:
x/5+4=9
Abi puses padauginame iš 5. Gauname:
x+20=45
x=45-20=25
Kitas pavyzdys, kai vardiklyje yra nežinomasis:
Tokio tipo lygtys vadinamos trupmeninėmis-racionaliosiomis arba tiesiog trupmeninėmis.
Trupmenų lygtį išspręstume atsikratę trupmenų, po kurių ši lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine lygtimi, kuri sprendžiama įprastu būdu. Jums tereikia atsižvelgti į šiuos dalykus:
- kintamojo, kuris paverčia vardiklį į 0, reikšmė negali būti šaknis;
- Negalite padalyti ar padauginti lygties iš išraiškos =0.
Čia įsigalioja leistinų verčių srities (ADV) sąvoka - tai lygties šaknų reikšmės, kurioms lygtis turi prasmę.
Taigi, sprendžiant lygtį, būtina rasti šaknis ir patikrinti, ar jos atitinka ODZ. Tos šaknys, kurios neatitinka mūsų ODZ, neįtraukiamos į atsakymą.
Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti trupmeninę lygtį:
Remiantis aukščiau pateikta taisykle, x negali būti = 0, t.y. ODZ šiuo atveju: x – bet kokia reikšmė, išskyrus nulį.
Vardiklio atsikratome visus lygties narius padauginę iš x
Ir mes išsprendžiame įprastą lygtį
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Atsakymas: x = 1/3
Išspręskime sudėtingesnę lygtį:
ODZ taip pat yra čia: x -2.
Spręsdami šią lygtį, neperkelsime visko į vieną pusę ir nesuvesime trupmenų į bendrą vardiklį. Iš karto padauginsime abi lygties puses iš išraiškos, kuri vienu metu panaikins visus vardiklius.
Norint sumažinti vardiklius, reikia kairę pusę padauginti iš x+2, o dešinę – iš 2. Tai reiškia, kad abi lygties puses reikia padauginti iš 2(x+2):
Tai yra labiausiai paplitęs trupmenų dauginimas, kurį jau aptarėme aukščiau.
Parašykime tą pačią lygtį, bet šiek tiek kitaip
Kairė pusė sumažinama (x+2), o dešinė – 2. Sumažinus gauname įprastą tiesinę lygtį:
x = 4 – 2 = 2, o tai atitinka mūsų ODZ
Atsakymas: x = 2.
Lygčių su trupmenomis sprendimas ne taip sunku, kaip gali pasirodyti. Šiame straipsnyje mes tai parodėme pavyzdžiais. Jei turite kokių nors sunkumų su kaip išspręsti lygtis su trupmenomis, tada atsisakykite prenumeratos komentaruose.
Šiai lygčiai supaprastinti naudojamas mažiausias bendras vardiklis.Šis metodas naudojamas, kai negalite rašyti duota lygtis su vienu racionali išraiška kiekvienoje lygties pusėje (ir naudokite kryžminį daugybos metodą). Šis metodas naudojamas, kai jums duodama racionalioji lygtis su 3 ir daugiau trupmenomis (jei dvi trupmenos, geriau naudoti kryžminį dauginimą).
Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį (arba mažiausią bendrą kartotinį). NOZ yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio.
- Kartais NPD yra akivaizdus skaičius. Pavyzdžiui, jei pateikiama lygtis: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, tada akivaizdu, kad mažiausias skaičių 3, 2 ir 6 bendras kartotinis yra 6.
- Jei NCD nėra akivaizdus, užrašykite didžiausio vardiklio kartotinius ir raskite tarp jų vieną, kuris bus kitų vardiklio kartotinis. Dažnai NOD galima rasti tiesiog padauginus du vardiklius. Pavyzdžiui, jei lygtis pateikta x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada NOS = 8*9 = 72.
- Jei viename ar keliuose vardikliuose yra kintamasis, procesas tampa šiek tiek sudėtingesnis (bet ne neįmanomas). Šiuo atveju NOC yra išraiška (su kintamuoju), kuri yra padalinta iš kiekvieno vardiklio. Pavyzdžiui, lygtyje 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), nes ši išraiška dalijama iš kiekvieno vardiklio: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš skaičiaus, lygaus NOC padalijus iš atitinkamo kiekvienos trupmenos vardiklio.
- Kadangi dauginate ir skaitiklį, ir vardiklį iš to paties skaičiaus, efektyviai padauginate trupmeną iš 1 (pavyzdžiui, 2/2 = 1 arba 3/3 = 1).
- Taigi mūsų pavyzdyje padauginkite x/3 iš 2/2, kad gautumėte 2x/6, o 1/2 padauginkite iš 3/3, kad gautumėte 3/6 (trupmenos 3x +1/6 nereikia dauginti, nes ji vardiklis yra 6).
Panašiai elkitės, kai kintamasis yra vardiklyje. Antrajame mūsų pavyzdyje NOZ = 3x(x-1), todėl padauginkite 5/(x-1) iš (3x)/(3x), kad gautumėte 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x padaugintas iš 3(x-1)/3(x-1) ir gausite 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) padauginus iš (x-1)/(x-1) ir gausite 2(x-1)/3x(x-1). Rasti x.
- Dabar, kai sumažinote trupmenas iki bendro vardiklio, galite atsikratyti vardiklio. Norėdami tai padaryti, padauginkite kiekvieną lygties pusę iš bendro vardiklio. Tada išspręskite gautą lygtį, ty raskite „x“. Norėdami tai padaryti, išskirkite kintamąjį vienoje lygties pusėje. Mūsų pavyzdyje: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Galite pridėti 2 frakcijas su tas pats vardiklis
- , todėl parašykite lygtį taip: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Abi lygties puses padauginkite iš 6 ir atmeskite vardiklius: 2x+3 = 3x +1. Išspręskite ir gaukite x = 2.
