Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė

Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje nurodomas ženklas √ kvadratinė šaknis. Norėdami nurodyti trupmeną, naudokite simbolį „/“.

Taip pat žr naudingos medžiagos:

Už nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, sinusas 30 laipsnių - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute „30 laipsnių“, jų sankirtoje skaitome rezultatą - vieną pusę. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą nuodėmės stulpelio ir 60 laipsnių linijos sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Taip pat randamos kitų „populiarių“ kampų sinusų, kosinusų ir liestinių reikšmės.

Sinuso pi, kosinuso pi, tangento pi ir kiti kampai radianais

Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.

Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo priklausomybę nuo laipsnio matas kampe. Taigi pi radianai yra lygūs 180 laipsnių.

Bet kurį skaičių, išreikštą pi (radianais), galima lengvai konvertuoti į laipsnius, pakeičiant pi (π) į 180.

Pavyzdžiai:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.

2. Kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.

3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi liestinė pi yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.

Sinuso, kosinuso, liestinės verčių lentelė kampams nuo 0 iki 360 laipsnių (bendrosios vertės)

Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tada nurodytai kampo laipsnio mato vertei funkcija neturi konkrečios vertės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, vadinasi, mes dar neįėjome norimą vertę. Mes domimės, kokių užklausų vartotojai kreipiasi į mus ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir liestinių reikšmes visiškai pakanka daugeliui išspręsti. problemų.

Populiariausių kampų trigonometrinių funkcijų sin, cos, tg verčių lentelė
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 laipsnių
(skaitinės reikšmės „pagal Bradis lenteles“)

Trigonometrijos tyrimą pradėsime nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat tangentas ir kotangentas aštrus kampas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Prisiminkime tai stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė pasukto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Taikant tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Status kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešinga kampo pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, priešinga kampas A yra pažymėtas .

Kampas nurodomas atitinkamu Graikiškas laiškas.

Hipotenuzė stačiojo trikampio kraštinė yra priešinga stačiu kampu.

Kojos- šonai, esantys priešais smailius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešinga(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje iš kampo pusių, vadinama gretimas.

Sinusas smailus kampas in stačiakampis trikampis– tai požiūris priešinga kojaį hipotenuzę:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kraštinės ir gretimos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimų kraštinių ir priešingos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, kosinuso ir sinuso santykis):

Atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšius žemiau. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir užrašėme formules. Bet kodėl mums vis dar reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma lygi.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams stačiakampis trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinodami du trikampio kampus, galite rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Tai reiškia, kad kampai turi savo santykį, o šonai - savo. Bet ką daryti, jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kampą (išskyrus stačią) ir vieną kraštinę, bet jums reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidurdavo žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami trigonometrinių kampų funkcijos- suteikti ryšius tarp vakarėliams Ir kampuose trikampis. Žinodami kampą, galite rasti viską trigonometrinės funkcijos pagal specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat sudarysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Esant atitinkamoms kampo vertėms, liestinė ir kotangentė neegzistuoja.

Pažvelkime į keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Nuo ,.

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime jį naudodami Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir. Prisiminkite pagrindinius jų santykius mintinai!

Trikampiui su kampais ir kojelė, priešinga kampui ties, yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes pažvelgėme į uždavinius sprendžiant stačiuosius trikampius – tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! IN Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje yra daug uždavinių, kur atsiranda trikampio išorinio kampo sinusas, kosinusas, liestinė arba kotangentas. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.

Trigonometrinės tapatybės- tai lygybės, nustatančios vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšį, leidžiantį rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .

Konvertuojant trigonometrinės išraiškos Labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.

Lietinės ir kotangento radimas naudojant sinusą ir kosinusą

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite į tai, tada pagal apibrėžimą ordinatė y yra sinusas, o abscisė x yra kosinusas. Tada liestinė bus lygus santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bus kotangentas.

Pridurkime, kad tik tokie kampai \alpha, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, galios tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Pavyzdžiui: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kampui \alpha, išskyrus \pi z, z yra sveikas skaičius.

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2) z. Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti.

Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, gauname tai tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iš to išplaukia tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.

Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 liestinės kvadrato suma lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma yra lygi atvirkštiniam sinuso kvadratui nurodytas kampas. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, kuri skiriasi nuo \pi z.

Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes

1 pavyzdys

Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, gauname:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Ši lygtis turi 2 sprendinius:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)

Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, taigi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Norėdami rasti tan \alpha, naudojame formulę tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

2 pavyzdys

Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 duotas numeris \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, taigi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Norėdami rasti ctg \alpha, naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos yra pagrindinės matematikos šakos trigonometrijos kategorijos ir yra neatsiejamai susijusios su kampo apibrėžimu. Nuosavybė į tai matematikos mokslas reikalauja įsiminti ir suprasti formules bei teoremas, taip pat išplėtotas erdvinis mąstymas. Štai kodėl trigonometriniai skaičiavimai dažnai sukelia sunkumų moksleiviams ir studentams. Norėdami juos įveikti, turėtumėte geriau susipažinti su trigonometrinėmis funkcijomis ir formulėmis.

Trigonometrijos sąvokos

Kad suprastum pagrindinės sąvokos trigonometrija, pirmiausia turite nuspręsti, kas yra stačiakampis trikampis ir kampas apskritime ir kodėl su jais susieti visi pagrindiniai trigonometriniai skaičiavimai. Trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 laipsnių, yra stačiakampis. Istoriškai šią figūrą dažnai naudojo architektūros, navigacijos, meno ir astronomijos žmonės. Atitinkamai, tyrinėdami ir analizuodami šios figūros savybes, žmonės priėjo apskaičiuoti atitinkamus jo parametrų santykius.

Pagrindinės kategorijos, susijusios su stačiakampiais trikampiais, yra hipotenuzė ir kojos. Hipotenuzė yra trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui. Atitinkamai, kojos yra kitos dvi pusės. Bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180 laipsnių.

Sferinė trigonometrija yra trigonometrijos dalis, kuri mokoma ne mokykloje, o mokomasi taikomieji mokslai pavyzdžiui, astronomija ir geodezija, mokslininkai tai naudoja. Sferinės trigonometrijos trikampio ypatumas yra tas, kad jo kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių.

Trikampio kampai

Stačiakampiame trikampyje kampo sinusas yra kojos, esančios priešingos norimam kampui, santykis su trikampio hipotenuze. Atitinkamai, kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Abi šios vertės visada yra mažesnės nei viena, nes hipotenuzė visada yra ilgesnė už koją.

Kampo liestinė yra reikšmė, lygi priešingos ir gretimos norimo kampo pusės santykiui arba sinuso ir kosinuso santykiui. Savo ruožtu kotangentas yra norimo kampo gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis. Kampo kotangentą taip pat galima gauti padalijus vieną iš liestinės vertės.

Vieneto ratas

Vienetinis apskritimas geometrijoje yra apskritimas, kurio spindulys lygus vienam. Toks ratas yra sukonstruotas Dekarto sistema koordinates, o apskritimo centras sutampa su koordinačių pradžia, ir pradinė padėtis Spindulio vektorius nustatomas pagal teigiamą X ašies kryptį (abscisių ašį). Kiekvienas apskritimo taškas turi dvi koordinates: XX ir YY, tai yra abscisės ir ordinatės koordinates. Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką XX plokštumoje ir numetę nuo jo statmeną į abscisių ašį, gauname stačią trikampį, kurį sudaro pasirinkto taško spindulys (žymimas raide C), statmenas nubrėžtas į X ašį. (sankirtos taškas žymimas raide G), o atkarpa abscisių ašis yra tarp koordinačių pradžios (taškas žymimas raide A) ir susikirtimo taško G. Gautas trikampis ACG yra stačiakampis trikampis, įrašytas apskritimas, kur AG yra hipotenuzė, o AC ir GC yra kojos. Kampas tarp apskritimo spindulio AC ir abscisių ašies atkarpos, pažymėtos AG, apibrėžiamas kaip α (alfa). Taigi cos α = AG/AC. Atsižvelgiant į tai, kad AC yra vienetinio apskritimo spindulys ir jis lygus vienetui, paaiškėja, kad cos α=AG. Taip pat sin α=CG.

Be to, žinodami šiuos duomenis, galite nustatyti apskritimo taško C koordinatę, nes cos α = AG ir sin α = CG, o tai reiškia, kad taškas C turi duotomis koordinatėmis(cos α;sin α). Žinodami, kad liestinė lygi sinuso ir kosinuso santykiui, galime nustatyti, kad tan α = y/x, o cot α = x/y. Atsižvelgdami į kampus neigiamoje koordinačių sistemoje, galite apskaičiuoti, kad kai kurių kampų sinuso ir kosinuso reikšmės gali būti neigiamos.

Skaičiavimai ir pagrindinės formulės

Trigonometrinės funkcijos reikšmės

Apsvarstę trigonometrinių funkcijų esmę vieneto ratas, galite nustatyti šių funkcijų reikšmes kai kuriems kampams. Vertės pateiktos žemiau esančioje lentelėje.

Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės

Lygtys, kuriose po trigonometrinės funkcijos ženklu yra nežinoma reikšmė, vadinamos trigonometrinėmis. Tapatybės su reikšme sin x = α, k – bet koks sveikasis skaičius:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Tapatybės su reikšme cos x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Tapatybės su reikšme tg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Tapatybės su reikšme ctg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. vaikiška lovelė x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Sumažinimo formulės

Ši kategorija pastovios formulėsžymi metodus, kuriais galima pereiti nuo formos trigonometrinių funkcijų prie argumento funkcijų, tai yra sumažinti bet kokios reikšmės kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą iki atitinkamų intervalo kampo rodiklių nuo 0 iki 90 laipsnių, kad būtų patogiau skaičiuoti.

Kampo sinuso funkcijų mažinimo formulės atrodo taip:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Kampo kosinusui:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Aukščiau pateiktas formules galima naudoti laikantis dviejų taisyklių. Pirma, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip vertė (π/2 ± a) arba (3π/2 ± a), funkcijos reikšmė pasikeičia:

• iš nuodėmės į cos;
• iš cos į nuodėmę;
• nuo tg iki ctg;
• nuo ctg iki tg.

Funkcijos reikšmė lieka nepakitusi, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ± a) arba (2π ± a).

Antra, sumažintos funkcijos ženklas nesikeičia: jei iš pradžių buvo teigiamas, toks ir lieka. Tas pats su neigiamomis funkcijomis.

Sudėjimo formulės

Šios formulės išreiškia dviejų sukimosi kampų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes per savo trigonometrines funkcijas. Paprastai kampai žymimi α ir β.

Formulės atrodo taip:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β.

Dvigubo ir trigubo kampo formulės

Dvigubo ir trigubo kampo trigonometrinės formulės yra formulės, kurios atitinkamai susieja kampų 2α ir 3α funkcijas su kampo α trigonometrinėmis funkcijomis. Išvesta iš papildymo formulių:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα – 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Perėjimas nuo sumos prie produkto

Atsižvelgiant į tai, kad 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), supaprastinus šią formulę, gauname tapatybę sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Panašiai sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Perėjimas nuo produkto prie sumos

Šios formulės išplaukia iš sumos perėjimo į sandaugą tapatybių:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Laipsnio mažinimo formulės

Šiose tapatybėse kvadratinės ir kubinis laipsnis sinusas ir kosinusas gali būti išreikšti daugiakampio pirmojo laipsnio sinusu ir kosinusu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universalus pakaitalas

Universalios formulės trigonometrinis pakeitimas Trigonometrines funkcijas išreikškite pusės kampo liestine.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), kai x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 – tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• vaikiška lovelė x = (1 – tg^2 x/2) / (2tgx/2), kai x = π + 2πn.

Ypatingi atvejai

Ypatingi pirmuonių atvejai trigonometrines lygtis yra pateikti žemiau (k yra bet koks sveikasis skaičius).

Sinuso koeficientai:

Kosinuso koeficientai:

Tangento koeficientai:

Kotangento koeficientai:

Teoremos

Sinusų teorema

Yra dvi teoremos versijos – paprasta ir išplėstinė. Paprasta teorema sinusai: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šiuo atveju a, b, c yra trikampio kraštinės, o α, β, γ yra atitinkamai priešingi kampai.

Išplėstinė sinuso teorema už savavališkas trikampis: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šioje tapatybėje R žymi apskritimo, į kurį įrašytas nurodytas trikampis, spindulį.

Kosinuso teorema

Tapatybė rodoma taip: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulėje a, b, c yra trikampio kraštinės, o α yra kampas, priešingas kraštinei a.

Tangento teorema

Formulė išreiškia ryšį tarp dviejų kampų liestinių ir priešingų kraštinių ilgio. Kraštinės pažymėtos a, b, c, o atitinkami priešingi kampai yra α, β, γ. Liestinės teoremos formulė: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangentės teorema

Sujungia į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį su jo kraštinių ilgiu. Jei a, b, c yra trikampio kraštinės, o atitinkamai A, B, C yra prieš jas esantys kampai, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra trikampio pusperimetras, tapatybės galioja:

• lovelė A/2 = (p-a)/r;
• lovelė B/2 = (p-b)/r;
• vaikiška lovelė C/2 = (p-c)/r.

Taikymas

Trigonometrija – ne tik teorinis mokslas susiję su matematines formules. Jo savybės, teoremos ir taisyklės naudojamos praktikoje skirtingos pramonės šakos žmogaus veikla— astronomija, oro ir jūrų navigacija, muzikos teorija, geodezija, chemija, akustika, optika, elektronika, architektūra, ekonomika, mechanikos inžinerija, matavimo darbai, kompiuterinė grafika, kartografija, okeanografija ir daugelis kitų.

Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas – tai pagrindinės trigonometrijos sąvokos, kurių pagalba galima matematiškai išreikšti trikampio kampų ir kraštinių ilgių ryšius, per tapatybes, teoremas ir taisykles rasti reikiamus dydžius.

Kai buvo svarstomos stačiojo trikampio sprendimo problemos, pažadėjau pateikti sinuso ir kosinuso apibrėžimų įsiminimo techniką. Naudodamiesi juo, visada greitai prisiminsite, kuri pusė priklauso hipotenuzei (greta ar priešinga). Nusprendžiau to per ilgai neatidėlioti, reikalingos medžiagosžemiau, perskaitykite 😉

Faktas yra tas, kad aš ne kartą pastebėjau, kaip 10–11 klasių mokiniams sunku prisiminti šiuos apibrėžimus. Jie labai gerai prisimena, kad koja reiškia hipotenuzą, bet kurią- jie pamiršta ir sutrikęs. Klaidos kaina, kaip žinote per egzaminą, yra prarastas taškas.

Informacija, kurią pateiksiu tiesiogiai, neturi nieko bendra su matematika. Ji yra susijusi su vaizduotės mąstymas, ir verbalinės-loginės komunikacijos metodais. Kaip tik taip ir prisimenu, kartą ir visiems laikamsapibrėžimo duomenis. Jei pamiršite juos, visada galėsite lengvai juos prisiminti naudodami pateiktus metodus.

Leiskite man priminti sinuso ir kosinuso apibrėžimus stačiakampiame trikampyje:

Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:

Taigi, kokios asociacijos jums kyla su žodžiu kosinusas?

Turbūt kiekvienas turi savo 😉Prisiminkite nuorodą:

Taigi išraiška iškart atsiras jūsų atmintyje -

«… GRĮTINĖS kojos ir hipotenuzės santykis».

Kosinuso nustatymo problema buvo išspręsta.

Jei reikia atsiminti sinuso apibrėžimą stačiakampyje, tada prisimindami kosinuso apibrėžimą galite lengvai nustatyti, kad stačiakampio trikampio smailaus kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis. Juk yra tik dvi kojos, jei gretimą koją „užima“ kosinusas, tai su sinusu lieka tik priešinga.

O tangentas ir kotangentas? Sumišimas tas pats. Mokiniai žino, kad tai yra kojų santykis, tačiau problema yra atsiminti, kuri iš jų nurodo – ar priešinga gretimai, ar atvirkščiai.

Apibrėžimai:

Tangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:

Kotangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis:

Kaip atsiminti? Yra du būdai. Vienas taip pat naudoja žodinį-loginį ryšį, kitas – matematinį.

MATEMATINIS METODAS

Yra toks apibrėžimas - smailaus kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

*Išmokę formulę atmintinai, visada galite nustatyti, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.

Taip pat.Smailiojo kampo kotangentas yra kampo kosinuso ir jo sinuso santykis:

Taigi! Prisimindami šias formules visada galite nustatyti, kad:

- stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos santykis

— stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis.

ŽODŽIO-LOGINIS METODAS

Apie tangentą. Prisiminkite nuorodą:

Tai yra, jei jums reikia prisiminti liestinės apibrėžimą, naudodami šį loginį ryšį, galite lengvai prisiminti, kas tai yra

„... priešingos pusės ir gretimos pusės santykis“

Jei mes kalbame apie kotangentą, tada prisimindami liestinės apibrėžimą galite lengvai išsakyti kotangento apibrėžimą -

„... gretimos pusės ir priešingos pusės santykis“

Svetainėje yra įdomus triukas, kaip prisiminti tangentą ir kotangentą " Matematinis tandemas " , žiūrėk.

UNIVERSALUS METODAS

Galite tiesiog įsiminti.Tačiau, kaip rodo praktika, žodinių-loginių ryšių dėka žmogus ilgą laiką atsimena informaciją, o ne tik matematinę.

Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.