Матрицын эквивалент. Эквивалент матрицууд

Бидний ойрын зорилго бол аливаа матрицыг заримд нь багасгаж болохыг батлах явдал юм стандарт төрлүүд. Энэ замд эквивалент матрицуудын хэл хэрэгтэй.

Байгаа. Бид матрицыг матрицтай l_эквивалент (n_эквивалент эсвэл эквивалент) гэж хэлж, матрицыг матрицаас авах боломжтой бол (эсвэл) тэмдэглэнэ. хязгаарлагдмал тоомөр (багана эсвэл мөр, багана тус тус) энгийн хувиргалт. l_эквивалент ба n_эквивалент матрицууд нь эквивалент гэдэг нь тодорхой байна.

Эхлээд бид ямар ч матрицыг багасгаж болохыг харуулах болно тусгай төрөл, багасгасан гэж нэрлэдэг.

Байгаа. Энэ матрицын тэгээс бусад мөр нь 1-тэй тэнцүү элемент агуулж байгаа бөгөөд баганын бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал багасгасан хэлбэртэй байна. Шугамын тэмдэглэгдсэн нэг элементийг бид энэ шугамын тэргүүлэх элемент гэж нэрлээд тойрог дотор оруулна. Өөрөөр хэлбэл, матриц нь тухайн матрицын багана агуулж байвал тухайн матрицын мөр нь багасгасан хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, дараах матрицад

мөр нь дараах хэлбэртэй байна, оноос хойш. Энэ жишээн дээр нэг элемент нь шугамын тэргүүлэх элемент болж байгааг анхаарч үзье. Цаашид хэрэв өгөгдсөн төрлийн мөрөнд тэргүүлэх шинж чанартай хэд хэдэн элемент байвал бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь дурын аргаар сонгоно.

Хэрэв матриц нь тэг биш мөр бүр нь багасгасан хэлбэртэй байвал түүнийг багасгасан хэлбэртэй гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, матриц

дараах хэлбэртэй байна.

Санал 1.3 Аливаа матрицын хувьд багасгасан хэлбэрийн эквивалент матриц байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв матриц нь (1.1) хэлбэртэй байвал үндсэн хувиргалт хийсний дараа

Бид матрицыг авдаг

Үүнд мөр нь дараах хэлбэртэй байна.

Хоёрдугаарт, хэрэв матриц дахь мөрийг багасгасан бол энгийн хувиргалтуудыг (1.20) хийсний дараа матрицын мөр багасна. Үнэхээр өгөгдсөнөөс хойш ийм багана байдаг

гэхдээ дараа нь, улмаар хувиргалтыг хийсний дараа (1.20) багана өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. . Тиймээс мөр нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо матрицын тэг биш мөр бүрийг дээрх аргаар ээлжлэн хувиргаснаар бид хязгаарлагдмал тооны алхмын дараа багасгасан хэлбэрийн матрицыг олж авах нь тодорхой байна. Матрицыг авахын тулд зөвхөн эгнээний элементар хувиргалтыг ашигласан тул энэ нь матрицтай l_эквивалент байна. >

Жишээ 7. l_матрицтай тэнцэх багасгасан хэлбэрийн матрицыг байгуул.

Энэ бүлгийн эхний гурван догол мөр нь олон гишүүнт матрицуудын эквивалентийн тухай сургаалд зориулагдсан болно. Үүний үндсэн дээр дараагийн гурван догол мөрөнд энгийн хуваагч нарын аналитик онолыг, өөрөөр хэлбэл тогтмол (цөөн нэрлэсэн) квадрат матрицыг багасгах онолыг бүтээв. хэвийн хэлбэр. Бүлгийн сүүлийн хоёр догол мөрөнд хувиргах матрицыг бүтээх хоёр аргыг өгсөн болно.

§ 1. Олон гишүүнт матрицын элементар хувиргалт

Тодорхойлолт 1. Олон гишүүнт матриц эсвэл -матриц нь тэгш өнцөгт матриц бөгөөд элементүүд нь олон гишүүнт байдаг:

Энд олон гишүүнтийн хамгийн их зэрэглэл байна.

Бид олон гишүүнт матрицыг матрицын олон гишүүнт хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл матрицын коэффициент бүхий олон гишүүнт хэлбэрээр төлөөлж болно:

Олон гишүүнт матриц дээрх дараах энгийн үйлдлүүдийг авч үзье.

1. Зарим, жишээ нь th мөрийг тоогоор үржүүлэх.

2. Өмнө нь дурын олон гишүүнт үржүүлсэн заримыг, жишээ нь th, өөр нэг мөрөнд, жишээ нь th, мөрийг нэмэх.

3. Дурын хоёр мөрийг, жишээ нь th болон th мөрийг солино.

Уншигчийг 1, 2, 3 үйлдлүүд нь зүүн талд байгаа олон гишүүнт матрицыг дараах дарааллын квадрат матрицаар үржүүлэхтэй тэнцэх эсэхийг шалгахыг урьж байна.

(1)

өөрөөр хэлбэл 1, 2, 3-р үйлдлүүдийг хэрэгжүүлсний үр дүнд матрицыг , , матрицууд болгон хувиргадаг. Иймд 1, 2, 3 төрлийн үйлдлүүдийг зүүн энгийн үйлдлүүд гэнэ.

Олон гишүүнт матриц дээрх зөв энгийн үйлдлүүд нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог (эдгээр үйлдлүүд нь олон гишүүнт матрицын мөрүүд дээр биш, харин баганууд дээр хийгддэг) болон харгалзах матрицууд (захиалгаар):

Зөв энгийн үйлдлийг хэрэглэсний үр дүнд матрицыг баруун талд нь харгалзах матрицаар үржүүлнэ.

Бид төрлийн (эсвэл ижил төрлийн) матрицуудыг энгийн матрицууд гэж нэрлэх болно.

Тодорхойлогч аливаа энгийн матрицхамаарахгүй бөгөөд тэгээс ялгаатай. Тиймээс зүүн (баруун) энгийн үйлдэл бүрийн хувьд байдаг урвуу ажиллагаа, энэ нь мөн зүүн (баруун тус тус) энгийн үйлдэл юм.

Тодорхойлолт 2. Хоёр олон гишүүнт матрицыг 1) зүүн талын эквивалент, 2) баруун талын эквивалент, 3) нэг нь нөгөөгөөсөө 1) зүүн талын элементар үйлдлүүд, 2) баруун элементар үйлдлүүд, 3) зүүн ба зөв үндсэн үйлдлүүд.

Матрицад харгалзах зүүн энгийн үйлдлүүдийг ашиглан матрицыг олж авъя. Дараа нь

. (2).

Бүтээгдэхүүнээр тэмдэглэснээр бид тэгш байдлыг (2) хэлбэрээр бичнэ

, (3)

Энд матриц тус бүрийн адил тэгээс өөр тогтмол тодорхойлогч байна.

Тогтмол тэгээс өөр тодорхойлогчтой квадрат матриц бүрийг энгийн матрицуудын үржвэр болгон төлөөлж болохыг дараагийн хэсэгт бид батлах болно. Иймээс (3) тэгш байдал нь (2) тэнцүү байх тул матрицын зүүн эквивалентийг илэрхийлнэ.

Зөв тэнцүү байх тохиолдолд олон гишүүнт матрицуудтэгш байдлын (3) оронд бид тэгш эрхтэй байх болно

, (3")

ба (хоёр талын) тэнцүү байх тохиолдолд - тэгш байдал

Энд дахин ба тэгээс ялгаатай ба бие даасан тодорхойлогчтой матрицууд байна.

Тиймээс 2-р тодорхойлолтыг ижил төстэй тодорхойлолтоор сольж болно.

Тодорхойлолт 2". Хоёр тэгш өнцөгт матрицыг 1) зүүн эквивалент, 2) баруун эквивалент, 3) тэнцүү гэж нэрлэдэг.

1) , 2) , 3) ,

Энд ба нь тогтмол ба тэгээс өөр тодорхойлогчтой олон гишүүнт квадрат матрицууд.

Бид дээр дурдсан бүх ойлголтыг дараах чухал жишээгээр тайлбарлав.

Шугаман нэгэн төрлийн системийг авч үзье дифференциал тэгшитгэл-Тогтмол коэффициент бүхий үл мэдэгдэх аргумент функцтэй-р дараалал:

(4)

Шинэ үл мэдэгдэх функцийн Mu тэгшитгэл; Хоёрдахь энгийн үйлдэл нь үл мэдэгдэх шинэ функцийг нэвтрүүлэх гэсэн үг юм (-ын оронд); Гурав дахь үйлдэл нь ба (жишээ нь: ).

Шинэ суурь руу шилжих.

(1) ба (2) нь ижил m хэмжээст шугаман X орон зайн хоёр суурь байг.

(1) нь суурь учир хоёр дахь суурийн векторуудыг үүнээс өргөтгөж болно.

Коэффициентуудаас бид матриц үүсгэдэг.

(4) – суурь (1)-ээс суурь (2) руу шилжих үед хувиргах матрицын координат.

Үүнийг вектор болго, тэгвэл (5) ба (6).

Харилцаа (7) нь үүнийг илэрхийлдэг

Р матриц нь доройтдоггүй, учир нь өөрөөр хэлбэл энэ нь байх болно шугаман хамааралбаганын хооронд, дараа нь векторуудын хооронд.

Мөн эсрэгээр нь үнэн юм: аливаа ганц бус матриц нь (8) томъёогоор тодорхойлогдсон координатын хувиргах матриц юм. Учир нь P нь ганц биш матриц, тэгвэл түүний урвуу байдаг. (8)-ын хоёр талыг үржүүлбэл: (9) болно.

X шугаман орон зайд сонгосон 3 суурь байг: (10), (11), (12).

Хаанаас, өөрөөр хэлбэл. (13).

Тэр. цагт дараалсан хувиргалткоординатууд, үр дүнд нь хувиргах матриц нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувиргалтуудын матрицуудын үржвэртэй тэнцүү байна.

Шугаман оператор байж, X-д (I) ба (II), Y – (III) ба (IV) дээр хос сууриудыг сонгоё.

I – III суурийн хос A оператор нь тэгшитгэлд тохирч байна: (14). II – IV суурийн хос дахь ижил оператор нь тэгшитгэлд тохирч байна: (15). Тэр. Өгөгдсөн А операторын хувьд бид хоёр матрицтай ба. Бид тэдний хооронд хараат байдлыг бий болгомоор байна.

I-ээс III руу шилжих үед координатын хувиргах матрицыг P гэж үзье.

II-ээс IV руу шилжих үед координатын хувиргах матрицыг Q гэж үзье.

Дараа нь (16), (17). (16) ба (17)-ын илэрхийллүүдийг (14)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ тэгш байдлыг (15)-тай харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Харилцаа (19) нь ижил операторын матрицыг өөр өөр сууринд холбодог. X ба Y орон зай давхцаж байгаа тохиолдолд, III үүрэгсуурь нь I, IV – II тоглодог бол (19) хамаарал нь дараах хэлбэртэй болно.

Ном зүй:

3. Кострикин А.И. Алгебрийн танилцуулга. II хэсэг. Алгебрийн үндэс: их дээд сургуулийн сурах бичиг, -М. : Физик-математикийн уран зохиол, 2000, 368 х.

Лекц No16 (II улирал)

Сэдэв: Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлматрицын эквивалент.

Хоёр матриц, A ба B, ижил хэмжээтэй, гэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв R ба S хоёр ганц бус матриц байгаа бол (1).

Жишээ:Суурийн өөр өөр сонголтуудын хувьд ижил операторт тохирох хоёр матриц шугаман орон зай x X ба Y нь тэнцүү байна.

Дээрх тодорхойлолтыг ашиглан ижил хэмжээтэй бүх матрицын олонлог дээр тодорхойлсон хамаарал нь эквивалент хамаарал болох нь тодорхой байна.

Теорем 8: Ижил хэмжээтэй хоёр тэгш өнцөгт матриц тэнцүү байхын тулд тэдгээр нь ижил зэрэгтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Нотолгоо:

1. А ба В нь утга учиртай хоёр матриц байг. Бүтээгдэхүүний зэрэглэл (С матриц) нь хүчин зүйл бүрийн зэрэглэлээс өндөргүй байна.

С матрицын k-р багана нь А матрицын баганын векторуудын шугаман хослол бөгөөд энэ нь С матрицын бүх баганад хамаарна гэдгийг бид харж байна. хүн бүрт. Тэр. , өөрөөр хэлбэл – шугаман орон зайн дэд орон зай.

Дэд орон зайн хэмжээ нь орон зайн хэмжээнээс бага буюу тэнцүү байх тул С матрицын зэрэглэл нь А матрицын зэрэглэлээс бага буюу тэнцүү байна.

Тэнцвэрт (2) бид i индексийг засч, k-д 1-ээс s хүртэлх бүх боломжит утгыг онооно. Дараа нь бид (3) системтэй төстэй тэгш байдлын системийг олж авна.

Тэнцүү байдлаас (4) тодорхой байна i-р мөрМатриц С нь бүх i-ийн хувьд В матрицын эгнээний шугаман хослол бөгөөд дараа нь С матрицын эгнээгээр дамжсан шугаман их бие нь В матрицын эгнээгээр дамжсан шугаман их бие дотор агуулагдаж, дараа нь түүний хэмжээс. шугаман бүрхүүлнь В матрицын эгнээний векторуудын шугаман их биеийн хэмжээсээс бага буюу тэнцүү байх ба энэ нь С матрицын зэрэглэл нь В матрицын зэрэглэлээс бага буюу тэнцүү байна гэсэн үг.

2. Зүүн ба баруун талд байгаа А матрицын үржвэрийг ганц бус нэгээр эрэмбэлэх. квадрат матриц Q нь A матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.(). Тэдгээр. С матрицын зэрэг нь А матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Нотолгоо:Тохиолдолд нотлогдсон зүйлийн дагуу (1). Q матриц нь ганц бие биш тул түүний хувьд байдаг: мөн өмнөх мэдэгдэлд нотлогдсоны дагуу.

3. Хэрэв матрицууд тэнцүү бол тэдгээр нь ижил зэрэгтэй байна гэдгийг баталцгаая. Тодорхойлолтоор R ба S байвал A ба B нь тэнцүү байна. Зүүн талд байгаа A-г R-ээр, баруун талд нь S-ээр үржүүлснээр ижил зэрэглэлийн матрицууд гарах тул (2)-д нотлогдсон тул А-ын зэрэглэл нь В-ийн зэрэгтэй тэнцүү байна.

4. А ба В матрицууд ижил зэрэгтэй байг. Тэдгээр нь тэнцүү гэдгийг баталцгаая. Ингээд авч үзье.

X ба Y нь суурь (Х суурь) ба (Ү суурь) сонгосон хоёр шугаман орон зай байг. Мэдэгдэж байгаагаар аливаа хэлбэрийн матриц нь X-ээс Y хүртэлх тодорхой шугаман операторыг тодорхойлдог.

r нь А матрицын зэрэглэлтэй тул яг r векторуудын дунд шугаман хамааралгүй байна. Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр эхний r векторууд шугаман бие даасан байна гэж үзэж болно. Дараа нь бусад бүх зүйлийг шугаман байдлаар илэрхийлж болох бөгөөд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

X орон зайд шинэ суурийг дараах байдлаар тодорхойлъё: . (7)

Y орон зай дахь шинэ суурь нь дараах байдалтай байна.

Нөхцөлөөр векторууд шугаман бие даасан байдаг. Y: (8) суурь дээр тэдгээрийг зарим вектороор нэмж оруулъя. Тэгэхээр (7) ба (8) нь X ба Y хоёр шинэ суурь юм. Эдгээр сууриудаас А операторын матрицыг олъё:

Тэгэхээр шинэ хос суурийн хувьд А операторын матриц нь J матриц юм. А матриц нь анх r зэрэглэлийн дурын тэгш өнцөгт матриц байсан. Нэг операторын өөр өөр суурь дахь матрицууд эквивалент байдаг тул энэ нь төрөл ба r зэрэглэлийн дурын тэгш өнцөгт матриц нь J-тэй тэнцүү болохыг харуулж байна. Нэгэнт бид эквивалент хамаарлыг авч үзэж байгаа тул энэ нь ямар ч хоёр матриц А ба В төрлийн болон r зэрэг нь J матрицтай тэнцүү байх нь хоорондоо тэнцүү байна.

Ном зүй:

1. Воеводин В.В. Шугаман алгебр. Санкт-Петербург: Лан, 2008, 416 х.

2. Беклемишев Д.В аналитик геометрТэгээд шугаман алгебр. М.: Физматлит, 2006, 304 х.

3. Кострикин А.И. Алгебрийн танилцуулга. II хэсэг. Алгебрийн үндэс: их дээд сургуулийн сурах бичиг, -М. : Физик-математикийн уран зохиол, 2000, 368 х.

Лекц No17 (II улирал)

Сэдэв: Хувийн үнэ цэнэ ба хувийн векторууд. Өөрийн гэсэн дэд орон зай. Жишээ.

Баримт бичиг: өөрөөр хэлбэл. Дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэх үед матрицын зэрэглэл хадгалагдана.

1. Шугамын дарааллыг өөрчлөх.

2. Матрицыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх.

3. Шилжүүлэн суулгах.

4. Тэгийн мөрийг арилгах.

5. Дурын тоогоор үржүүлсэн мөрөнд өөр мөр нэмэх.

Эхний өөрчлөлт нь насанд хүрээгүй зарим хүүхдийг өөрчлөхгүй, харин заримынх нь тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх болно. Хоёрдахь хувиргалт нь мөн зарим насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хэвээр үлдээж, заримыг нь тэгээс өөр тоогоор үржүүлнэ. Гурав дахь өөрчлөлт нь насанд хүрээгүй бүх хүүхдийг хадгалах болно. Тиймээс эдгээр хувиргалтыг ашиглахдаа матрицын зэрэглэл хадгалагдах болно (хоёр дахь тодорхойлолт). Тэг мөрийг хасах нь матрицын зэрэглэлийг өөрчлөх боломжгүй, учир нь ийм мөр нь тэгээс өөр минорыг оруулах боломжгүй. Тав дахь өөрчлөлтийг авч үзье.

Бага Δp суурь нь эхний p мөрөнд байрладаг гэж бид таамаглах болно. Эдгээр мөрүүдийн нэг болох a мөрөнд дурын b тэмдэгт мөрийг λ тоогоор үржүүлье. Тэдгээр. a мөрөнд үндсэн минорыг агуулсан мөрүүдийн шугаман хослол нэмэгдэнэ. Энэ тохиолдолд үндсэн бага Δp өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно (мөн 0-ээс ялгаатай). Эхний p мөрөнд байрлуулсан бусад насанд хүрээгүй хүүхдүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд бусад бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдэд мөн адил байна. Тэр. В энэ тохиолдолдзэрэглэл (хоёр дахь тодорхойлолтоор) хадгалагдана. Одоо эхний p мөрүүдийн бүх мөр байхгүй (магадгүй түүнд байхгүй ч байж магадгүй) бага насны хатагтайг авч үзье.

ai мөрөнд дурын b тэмдэгтийг нэмж, λ тоогоор үржүүлснээр бид шинэ жижиг Ms‘, мөн Ms‘=Ms+λ Ms-ийг олж авна.

Хэрэв s>p бол Ms=Ms=0, учир нь Анхны матрицын p-ээс их эрэмбийн бүх минорууд 0-тэй тэнцүү байна.Харин дараа нь Ms‘=0 байх ба матрицын хувиргалтын зэрэглэл нэмэгдэхгүй. Гэхдээ үндсэн насанд хүрээгүй хүүхэд ямар ч өөрчлөлт ороогүй тул энэ нь бас буурч чадаагүй юм. Тиймээс матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Та мөн өөрийн сонирхож буй мэдээллээ шинжлэх ухааны хайлтын систем Otvety.Online-аас олж болно. Хайлтын маягтыг ашиглана уу:

1. Хоёр вектор орон зай, үүний дагуу тооны талбар дээрх хэмжилт, шугаман операторын зураглалыг өгье. Энэ хэсэгт бид өгөгдсөн шугаман операторт харгалзах матриц нь суурь нь орж, өөрчлөгдөхөд хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдэх болно.

Дурын суурь болон . Эдгээр баазуудад оператор матрицтай тохирно. Вектор тэгш байдал

матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна

Энд ба нь векторуудын координатын багана ба суурийн ба .

Одоо in болон бусад суурь болон . Шинэ баазуудад , -ийн оронд бид: , , . Үүний зэрэгцээ

Орон зай дахь координатыг хувиргах ба хуучин сууриудаас шинэ суурь руу шилжих үед тус тусад нь эрэмбийн квадрат матрицуудыг ба дангаар нь тэмдэглэе (§ 4-ийг үзнэ үү):

Дараа нь (27) ба (29) -аас бид дараахь зүйлийг олж авна.

(28) ба (30) -аас бид дараахь зүйлийг олно.

Тодорхойлолт 8. Хоёр тэгш өнцөгт, ижил хэмжээтэй матрицыг хоёр ганц биш квадрат матриц байгаа бол тэнцүү гэж нэрлэдэг.

(31)-ээс харахад өөр өөр баазын сонголттой ижил шугаман операторт харгалзах хоёр матриц үргэлж бие биетэйгээ эквивалент байна. Эсрэгээр, хэрэв матриц нь болон доторх зарим суурийн оператортой тохирч байвал матриц нь матрицтай тэнцүү бол ба доторх зарим суурийн хувьд ижил шугаман оператортой тохирч байгааг харахад хялбар байдаг.

Тиймээс шугаман оператор бүр талбарын элементүүдтэй өөр хоорондоо эквивалент матрицын ангилалд нийцдэг.

2. Дараах теорем нь хоёр матрицын эквивалентийн шалгуурыг тогтоов.

Теорем 2. Ижил хэмжээтэй тэгш өнцөгт хоёр матриц тэнцүү байхын тулд эдгээр матрицууд ижил зэрэгтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Баталгаа. Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай. Тэгш өнцөгт матрицыг ганц биш дөрвөлжин матрицаар (зүүн эсвэл баруун) үржүүлэхэд анхны тэгш өнцөгт матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөх боломжгүй (I бүлэг, х. 27-г үзнэ үү). Иймд (32)-аас дараах зүйл гарч ирнэ

Нөхцөл байдал хангалттай. Хэмжээтэй тэгш өнцөгт матриц байг. Энэ нь суурьтай орон зайг суурьтай орон зайд буулгах шугаман операторыг тодорхойлдог. Шугаман байдлаар тоогоор тэмдэглэе бие даасан векторуудвекторуудын дунд . Ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй гэж үзэж болно , үлдсэн хэсэг нь шугаман байдлаар түүгээр илэрхийлэгдэнэ:

. (33)

Шинэ суурийг дараах байдлаар тодорхойлъё.

(34)

Дараа нь (33)

. (35)

Векторууд нь шугаман бие даасан байна. -д үндэслэхийн тулд тэдгээрийг зарим вектороор нэмж оруулъя.

Дараа нь шинэ суурь дахь ижил операторт харгалзах матриц; , (35) ба (36)-ын дагуу маягттай байна

. (37)

Матрицад нэг нь үндсэн диагональ дагуу дээрээс доошоо явдаг; матрицын бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна. Матрицууд нь ижил оператортой тохирч байгаа тул бие биетэйгээ тэнцүү байна. Батлагдсаны дагуу эквивалент матрицууд ижил зэрэгтэй байна. Тиймээс анхны матрицын зэрэглэл нь -тэй тэнцүү байна.

Дурын тэгш өнцөгт зэрэглэлийн матриц нь "каноник" матрицтай тэнцүү болохыг бид харуулсан. Гэхдээ матриц нь хэмжээс, тоог зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог. Иймд өгөгдсөн хэмжээ, өгөгдсөн зэрэглэлийн бүх тэгш өнцөгт матрицууд нь ижил матрицтай тэнцэх тул бие биетэйгээ тэнцүү байна. Теорем нь батлагдсан.

3. төлөөлөх шугаман операторыг өгье - хэмжээст орон зайхэмжээст. Хэлбэрийн векторуудын багц , энд , хэлбэрүүд вектор орон зай. Бид энэ орон зайг ; Энэ нь сансар огторгуйн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг эсвэл тэдний хэлснээр сансар огторгуйн дэд орон зай юм.

Дэд орон зайн хамт бид тэгшитгэлийг хангасан бүх векторуудын багцыг авч үздэг

Эдгээр векторууд нь мөн дэд орон зайг үүсгэдэг; Бид энэ дэд орон зайг гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт 9. Хэрэв шугаман оператор нь -ийг зураглавал зайны хэмжээсийн тоог операторын зэрэглэл, (38) нөхцөлийг хангасан бүх векторуудаас бүрдэх зайны хэмжээсийн тоог операторын согог гэнэ. .

Бүх эквивалентуудын дунд тэгш өнцөгт матрицууд, янз бүрийн үндсэн дээр энэ операторыг тодорхойлох, байдаг каноник матриц[(37)-г үзнэ үү]. -ээр болон харгалзах сууриудыг ба -аар тэмдэглэе. Дараа нь

, .

Тодорхойлолтоос үзэхэд векторууд нь -д суурь болж, векторууд нь -ийн суурийг харьцуулдаг. Үүнээс үзэхэд операторын зэрэглэл ба

Хэрэв операторт тохирох дурын матриц бол энэ нь эквивалент тул ижил зэрэглэлтэй байна. Тиймээс операторын зэрэглэл нь тэгш өнцөгт матрицын зэрэгтэй давхцдаг

,

зарим үндсэн дээр операторыг тодорхойлох Тэгээд .

Матрицын баганууд нь векторуудын координатуудыг агуулна . Үүнээс үзэхэд операторын зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл хэмжээсийн тоо нь тэнцүү байна хамгийн их тоохоорондын шугаман бие даасан векторууд . Тиймээс матрицын зэрэглэл нь матрицын шугаман бие даасан баганын тоотой давхцдаг. Шилжүүлэх явцад матрицын мөрүүдийг багана болгож, зэрэглэл нь өөрчлөгддөггүй тул матрицын шугаман бие даасан мөрүүдийн тоо нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.

4. Хоёрыг өгье шугаман оператор, мөн тэдний ажил.

Операторыг , операторыг . Дараа нь оператор газрын зураг:

Тодорхой сонголтын суурь ба , операторуудад харгалзах , , , матрицуудыг танилцуулъя. Дараа нь операторын тэгш байдал нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирно., өөрөөр хэлбэл, -д.