Матрицыг Жорданы хэлбэр болгон бууруулах жишээ

1°. . Үндэс шинж чанарын тэгшитгэл: l 1, 2, 3 = 1. .

Өвөрмөц векторууд Аλ = 1-ээр, өөрөөр хэлбэл. гол А 1:

, энэ нь суурь гэсэн үг Н(А 1): .

Операторын зураг А 1 М(А 1) харилцаанаас бид олж мэднэ:

; суурь М(А 1) е 3 (1, 2, –1) гэх мэт. е 3 = 2е 1 – е 2, тэгвэл е 3 Оℒ( е 1 , е 2).

Дараа нь: суурь вектор байх болно; суурийг нөхөж буй вектор суурийн өмнө векторуудын аль нэг нь байх болно, жишээ нь вектор; ба үндэс Суурь дээр нэмэх зүйл байхгүй, учир нь .

Прототип А 1 цагт= (1, 2, –1) Þ цагт 1 – цагт 2 – цагт 3 = 1, жишээ нь (1, 0, 0).

Дашрамд хэлэхэд: систем А 1 цагт= (1, 0, 0) нь шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл. векторын хувьд хоёр дахь давхаргын урвуу дүрс байхгүй (1, 2, –1).

Тиймээс операторын Йордан үндэс А: .

Эцэст нь бид оператор матрицын Jordan хэлбэрийг олж авлаа А: .

2°. Матрицын ердийн Жорданы хэлбэрийг ол шугаман оператор А = мөн оператор матриц нь Jordan хэлбэртэй байх суурь.

Δ. Шугаман оператор матрицын хувьд А = Шинж чанар тэгшитгэлийг зохиож шийдье: det( А- л Э) = 0 .

= .

Дараа нь: = 0 тул l 1, 2 = –1; l 3, 4 = 1.

a) Операторыг авч үзье А -1 = А-л Э= А+Э= А l = - 1-ийн хувьд, өөрөөр хэлбэл операторын цөм А-1. Үүнийг хийхийн тулд бид дөрвөн шугаман системийг шийддэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлматрицтай А-1. Гуравдугаарт ба дөрөв дэх тэгшитгэлсистем гэдэг нь ойлгомжтой. Тэгвэл үүнийг амархан тогтоож болно. Вектор е 1 (1, 1, 0, 0) нь операторын цорын ганц хувийн вектор юм А, хувийн утгад харгалзах l = -1 бөгөөд операторын цөмийн суурийг бүрдүүлнэ А-1. Дараа нь бид операторын дүрсний үндэс суурийг хайж байна А –1:

.

Векторуудын хувьд үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй е 2 , е 3 , е 4 харилцаа байна: е 3 + е 4 – е 2 = (0, 0, 0, 1), операторын зургийн суурийг ол А –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Векторууд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй е 1-тэй давхцаж байгаа тул энэ вектор нь зураг ба операторын цөмийн огтлолцлын үндэс суурь болдог гэж бид дүгнэж байна. А -1 .

λ = -1 язгуурын үржвэр нь хоёр, энэ хувийн утгад тохирох хувийн вектор нь зөвхөн нэг байна. Тиймээс бид итгэж байна g 1 вектортой тэнцүү байна, мөн бид эхний давхаргын урвуу дүрс болох өөр Jordan суурь векторыг хайж байна. Шийдье гетероген системшугаман тэгшитгэл ба хоёр дахь векторыг ол g 2 (1, 3/4, 0, 0) олон хоёрын хувийн утга l = -1-д харгалзах Жорданы суурь. Энэ тохиолдолд ердийн зүйл бол вектор нь хоёр дахь давхаргын урвуу дүрсгүй, учир нь өргөтгөсөн матрицтай систем

шийдэл байхгүй. Энэ нь санамсаргүй биш, учир нь 2-р үржвэрийн хувийн утга l= -1 нь операторын Жорданы суурь хоёр вектортой тохирч байх ёстой. А:

g 1 (1, 1, 0, 0); g 2 (1, 3/4, 0, 0).

Үүний зэрэгцээ бид дараахь зүйлийг тэмдэглэж байна.

б) Одоо l = 1 хувийн утга ба үүний дагуу операторыг авч үзье А 1 =А+Э:

.

Энэ операторын цөмийг олъё, өөрөөр хэлбэл. хувийн векторуудоператор Аλ = 1 үед.

.

Вектор е 1 (1, 1, 1, 1) нь операторын цөмийн суурийг бүрдүүлдэг А 1 ба операторын цорын ганц хувийн вектор юм А, хувийн утгад харгалзах l = 1.

Бид зургийн үндэс суурийг хайж байна М(А 1) оператор А 1 .

.

Үүнийг тэмдэглэж байна е 1 = е 2 + е 3 + е 4, бид дүгнэж байна: цөмийн огтлолцлын үндэс ба операторын дүрс А 1 нь вектор е 1 .

Зөвхөн нэг хувийн вектор байгаа бөгөөд хувийн утга нь 2-ын үржвэртэй тул бид Жорданы суурийн өөр векторыг олох хэрэгтэй. Тиймээс бид итгэж байна g 3 нь y 1 (1, 1, 1, 1) вектортой тэнцүү байх ба бид y 1 (1, 1, 1, 1)-ийн эхний давхаргын урвуу дүрс болох өөр Jordan суурь векторыг хайж байна. Үүний тулд бид шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг шийддэг А 1 g 4 = j 1 ба векторыг ол g 4 (0, 1/2, 0, 1/2) олон хоёрын хувийн утга l = 1-д харгалзах Жорданы суурь. Энэ тохиолдолд y 1 (1, 1, 1, 1) вектор нь хоёр дахь давхаргын урвуу дүрсгүй, учир нь систем А 1 y = gӨргөтгөсөн матрицтай 4 шийдэл байхгүй. Дахин хэлэхэд энэ нь санамсаргүй зүйл биш, учир нь 2-р үржвэрийн хувийн утга l= 1 нь Иорданы суурийн хоёр вектортой тохирч байх ёстой бөгөөд тэдгээрийг аль хэдийн олжээ.

g 3 (1, 1, 1, 1); g 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Үүний зэрэгцээ бид дараахь зүйлийг тэмдэглэж байна. Аг 3 = g 1 , Аг 4 = g 3 + g 4 . Операторын хувьд АЙордан үндэс нь олддог: . Хаана А G= . ▲

3°. ; det( А- л Э) = 0 л 1, 2 = 1; l 3, 4 = 2.

Δ a) Операторыг авч үзье А 1: А 1 -Э= . Бид операторын хувийн векторуудыг хайж байна А l = 1-ийн хувьд, өөрөөр хэлбэл. оператор цөм А 1 .

. Векторууд ( е 1 ,е 2) үндэс суурийг бүрдүүлнэ Н(А 1).

Векторуудаас хойш е 1 , е 2 , е 3 , е 4 – шугаман бие даасан, тэгвэл , ба суурийг нөхөж буй векторууд суурь руу - векторууд.

Өвөрмөц векторын үндсэн дээр шугаман операторын матрицыг диагональ хэлбэрт оруулах боломжтой гэдгийг мэддэг. Гэсэн хэдий ч бодит тоонуудын олонлог дээр шугаман оператор нь хувийн утгагүй, тиймээс хувийн векторгүй байж болно. Олон түмний дээгүүр нийлмэл тооямар ч шугаман оператор нь хувийн векторуудтай боловч тэдгээр нь суурь болгоход хангалтгүй байж болно. Шугаман оператор матрицын өөр нэг каноник хэлбэр байдаг бөгөөд үүнд нийлмэл тоонуудын олонлог дээрх дурын матрицыг багасгаж болно.

Теорем 10.1.Цогцолбор элемент бүхий аливаа матрицыг C комплекс тоонуудын багцад Жордан 14 хэвийн хэлбэр болгон бууруулж болно.

Шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгье:

Тодорхойлолт 10.1.Квадрат захиалгын матриц n, элементүүд нь λ хувьсагчийн дурын зэрэгтэй олон гишүүнт C комплекс тоонуудын олонлогоос коэффициент бүхий олон гишүүнтийг λ- гэнэ. матриц(эсвэл олон гишүүнт матриц, эсвэл олон гишүүнт матриц).

Олон гишүүнт матрицын жишээ бол шинж чанарын матриц юм А – λ Эдур зоргоороо квадрат матриц А. Үндсэн диагональ дээр нэгдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнт, түүний гадна талд тэг эсвэл тэг зэрэг олон гишүүнт байдаг. Ийм матрицыг тэмдэглэе А(λ).

Жишээ 10.1.Матрицыг өгье А=, тэгвэл А– λ Э = =
= А(λ).

Тодорхойлолт 10.2. Анхан шатны өөрчлөлтүүдλ-матрицуудыг дараах хувиргалт гэж нэрлэдэг.

матрицын дурын мөрийг (багана) үржүүлэх А(λ) тэгтэй тэнцүү биш дурын тоонд;

ямар ч нэмэлт би- тэр мөр ( би th багана) матрицын А(λ) бусад j-р мөр ( jбагана) дурын олон гишүүнтээр үржүүлсэн (  ).

λ-матрицын шинж чанарууд

1) Эдгээр хувиргалтыг матрицад ашиглах А(λ) дурын хоёр мөр эсвэл хоёр баганыг дахин зохион байгуулж болно.

2) Эдгээр хувиргалтыг диагональ матрицад ашиглах А(λ) диагональ элементүүдийг сольж болно.

Жишээ 10.2. 1) 

  .

2)


.

Тодорхойлолт 10.3.Матрицууд А(λ) ба Б(λ) гэж нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв -аас А(λ) бид очиж болно Б(λ) ашиглана хязгаарлагдмал тооанхан шатны өөрчлөлтүүд.

Зорилго нь матрицыг аль болох хялбарчлах явдал юм А(λ).

Тодорхойлолт 10.4. Каноник λ- матрицДараах шинж чанартай λ-матриц гэж нэрлэдэг.

матриц А(λ) диагональ;

олон гишүүнт бүр д би (), би = 1, 2, …, n-д бүрэн хуваагдана д би –1 ();

олон гишүүнт бүрийн тэргүүлэх коэффициент д би (), би = 1, 2, …, n 1-тэй тэнцүү эсвэл энэ олон гишүүнт тэгтэй тэнцүү байна.

А(λ) =
.

Сэтгэгдэл. Хэрэв олон гишүүнтийн дунд байвал д би() тэг гарч ирдэг, тэдгээр нь үндсэн диагональ эзэлдэг сүүлчийн газрууд(2-р шинж чанараар), хэрэв тэг зэрэгтэй олон гишүүнтүүд байгаа бол тэдгээр нь 1-тэй тэнцүү бөгөөд үндсэн диагональ дээр эхний байруудыг эзэлнэ.

Тэг ба таних матрицууд нь каноник λ матрицууд юм.

Теорем10.2. λ-матриц бүр нь зарим каноник λ-матрицтай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл үүнийг энгийн хувиргалтаар багасгаж болно). каноник хэлбэр)

Жишээ 10.3.Матрицыг багасгах А(λ) =
канон хэлбэр рүү.

Шийдэл. Өөрчлөлтийн явц нь Гауссын аргын хувиргалттай төстэй байдаг бол матрицын зүүн дээд элемент нь түүнийг каноник хэлбэрт оруулахдаа тэг биш бөгөөд хамгийн бага зэрэгтэй байна.

А(λ) =
 (эхний болон хоёр дахь баганыг солино) 
 (хоёр дахь баганад бид эхний баганыг ( – 2)-аар үржүүлнэ) 
 (хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг ( – 2)-аар үржүүлнэ) 
 (хоёр ба гурав дахь баганыг солих) 
 (гурав дахь баганад бид хоёр дахь баганыг ( – 2) 3-аар үржүүлнэ) 
 (гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг ( – 2)-аар үржүүлнэ) 
.

1. Талбайн коэффициент бүхий олон гишүүнтийг өгье

3-р эрэмбийн квадрат матрицыг авч үзье

. (36)

Олон гишүүнт нь матрицын олон гишүүнт мөн эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

.

Нөгөө талаас шинж чанарын тодорхойлогч дахь элементийн минор нь -тэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас , .

Тиймээс матриц нь -тэй тэнцүү, нэгдмэл бус хувьсах олон гишүүнтэй байна.

Бид матрицыг олон гишүүнт дагалдах матриц гэж нэрлэнэ.

Инвариант олон гишүүнт бүхий матриц өгье

Энд бүх олон гишүүнтүүд байна сумаас өндөр зэрэгтэй байх ба хоёр дахь хэсгээс эхлэн эдгээр олон гишүүнт бүр нь өмнөх нэгийн хуваагч юм. Эдгээр олон гишүүнтүүдийн дагалдах матрицуудыг бид гэж тэмдэглэнэ.

Дараа нь 3-р эрэмбийн бараг диагональ матриц

(38)

Инвариант олон гишүүнт олон гишүүнт (37) байна (145-р хуудасны 4-р теоремыг үз). Матрицууд нь ижил хувьсах олон гишүүнтүүдтэй тул ижил төстэй байдаг, өөрөөр хэлбэл ганц биш матриц үргэлж байдаг.

Матрицыг матрицын анхны байгалийн хэвийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. Энэ хэвийн хэлбэр нь: 1) бараг диагональ харагдах байдал (38), 2) диагональ эсийн тусгай бүтэц (36) ба 3) онцлогтой. нэмэлт нөхцөл: диагональ нүднүүдийн шинж чанарын олон гишүүнтүүдийн цувралд хоёр дахь хэсгээс эхлэн олон гишүүнт бүр нь өмнөх нэгийн хуваагч юм.

2. Одоо -оор тэмдэглэе

(39)

тооны талбар дахь энгийн матриц хуваагч. Бид харгалзах дагалдах матрицуудыг тэмдэглэнэ

.

Матрицын цорын ганц энгийн хуваагч тул теорем 5-ын дагуу бараг диагональ матриц болно.

(40)

нь олон гишүүнт (39) үндсэн хуваагчтай.

Матрицууд ба талбарт ижил энгийн хуваагчтай байна. Иймээс эдгээр матрицууд нь ижил төстэй, өөрөөр хэлбэл ганц биш матриц үргэлж байдаг.

Матрицыг матрицын хоёр дахь байгалийн хэвийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. Энэ хэвийн хэлбэр нь: 1) бараг диагональ хэлбэр (40), 2) диагональ эсийн тусгай бүтэц (36) ба 3) нэмэлт нөхцөлөөр тодорхойлогддог: диагональ нүд бүрийн онцлог полином нь олон гишүүнт бууруулж болохгүй зэрэг юм. салбарт.

Сэтгэгдэл. Элементар матриц хуваагч нь инвариант олон гишүүнтээс ялгаатай нь үндсэндээ өгөгдсөн тооны талбартай холбоотой байдаг. Хэрэв бид анхны тоон талбарын оронд өөр тоон талбарыг (энэ матрицын элементүүдийг агуулдаг) авбал үндсэн хуваагч өөрчлөгдөж болно. Энгийн хуваагчтай хамт матрицын хоёр дахь байгалийн хэвийн хэлбэр ч өөрчлөгдөнө.

Жишээлбэл, бодит элементүүдтэй матрицыг өгье. Энэ матрицын шинж чанарын олон гишүүнт бодит коэффициенттэй байна. Үүний зэрэгцээ энэ олон гишүүнт байж болно нарийн төвөгтэй үндэс. Хэрэв энэ нь бодит тоонуудын талбар юм бол энгийн хуваагчдын дунд бууруулж болохгүй хүч ч байж болно. дөрвөлжин гурвалсан тоободит коэффициентүүдтэй. Хэрэв комплекс тоонуудын талбар бол энгийн хуваагч бүр нь .

3. Одоо тоон талбарт зөвхөн матрицын элементүүд төдийгүй энэ матрицын бүх шинж чанарын тоонууд багтсан гэж үзье. Дараа нь матрицын анхан шатны хуваагч нь хэлбэртэй байна

. (41)

Эдгээр энгийн хуваагчдын нэгийг авч үзье

Дараах эрэмбийн матрицтай холбоно.

. (42)

Энэ матриц нь зөвхөн нэг энгийн хуваагчтай эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Бид (42) матрицыг энгийн хуваагчтай харгалзах Жорданы нүд гэж нэрлэх болно.

Анхан шатны хуваагч (41)-д харгалзах Жорданы эсүүдийг дараах байдлаар тэмдэглэв

Дараа нь бараг диагональ матриц

нь үндсэн чадлын хуваагчтай (41).

Мөн матрицыг дараах байдлаар бичиж болно.

Матрицууд нь ижил энгийн хуваагчтай байдаг тул бие биетэйгээ төстэй, өөрөөр хэлбэл ганц биш матриц байдаг.

Матрицыг Жорданы хэвийн хэлбэр эсвэл зүгээр л матрицын Жордан хэлбэр гэж нэрлэдэг. Жорданы хэлбэр нь бараг диагональ харагдах байдал, тусгай бүтэцтэй (42) диагональ эсүүдээр тодорхойлогддог.

Хэрэв , дараа нь матриц бүрийг анхаарна уу

,

нь зөвхөн нэг энгийн хуваагчтай: . Иймд (III) ба (IV)-ийн хамт энгийн хуваагч (41)тэй дан бус матрицын хувьд дараах дүрслэлүүд байна.

Мэдлэгийн санд сайн ажлаа илгээх нь энгийн зүйл юм. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

Нотолгоо:Учир нь Матрицыг диагональ хэлбэрт буулгах чадвар нь бүх Жорданы эсүүд 1-р дараалалтай байх Жорданы хэлбэрийг бууруулах чадвартай тэнцүү байна. А матрицын бүх элементар хуваагч нь нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт байх ёстой. Учир нь A - lE матрицын бүх инвариант хүчин зүйлүүд нь e n (l) олон гишүүнт хуваагч бөгөөд сүүлийн нөхцөл нь e n (l) -ийн бүх элементар хуваагч нь 1 зэрэгтэй тэнцэх бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.

1.6 Хамгийн бага олон гишүүнт

А эрэмбийн квадрат матрицыг авч үзье nталбайн элементүүдтэй П. Хэрэв

е (l) = b 0 l k + b 1 l k -1 + ... + b k -1 l + b k

P[l] цагирагаас дурын олон гишүүнт, дараа нь матриц

е(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

олон гишүүнтийн утга гэж нэрлэгдэх болно е (l) l = A-тай; Үүнд анхаарлаа хандуулъя чөлөөт гишүүнолон гишүүнт е (k) нь матрицын тэг градусаар үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. таних матриц E.

Матрицын язгуурыг тодорхойлъё.

Хэрэв олон гишүүнт бол е (k) нь матриц А-аар цуцлагдсан, i.e. е (A) = 0 бол А матрицыг дуудах болно матрицын үндэсэсвэл төөрөгдөл үүсгэхгүй бол олон гишүүнтийн үндэс е (l) .

А матриц нь тэргүүлэгч коэффициентүүд нь нэгтэй тэнцүү олон гишүүнтүүдийн үндэс юм - А матрицаар хүчингүй болсон тэгээс бусад олон гишүүнтийг авч, энэ олон гишүүнтийг тэргүүлэх коэффициентээр нь хуваа.

Тодорхойлолт:А матрицаар хүчингүй болсон тэргүүлэх коэффициент 1-тэй хамгийн бага зэрэгтэй олон гишүүнтийг А матрицын хамгийн бага олон гишүүн гэж нэрлэдэг ба m A гэж тэмдэглэнэ.

Теорем:А матриц бүр зөвхөн нэг хамгийн бага олон гишүүнтэй байна.

Нотолгоо:Жишээлбэл, хамгийн бага олон гишүүнт хоёр байна гэж үзье м 1 (газар м 2 (k), тэгвэл тэдгээрийн ялгаа нь доод зэрэглэлийн тэг биш олон гишүүн байх ба үүний үндэс нь дахин А матриц байсан. Энэ ялгааг тэргүүлэх коэффициентээр нь хуваахад бид 1-ийн тэргүүлэх коэффициенттэй олон гишүүнтийг авах болно. тэдгээрийн А матриц байх ба аль нь хамгийн бага олон гишүүнтээс бага зэрэгтэй байна м 1 (газар м 2 (l), энэ нь хамгийн бага олон гишүүнтийн тодорхойлолттой зөрчилдөж байна.

Теорем:Аливаа олон гишүүнт еҮндэс нь А матриц болох (l) нь хамгийн бага олон гишүүнт үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана м(k) энэ матрицын.

Нотолгоо:Болъё е(к) хуваагдахгүй м(l). -ээр тэмдэглэе q(к) хувийн, дамжуулан r(к) хуваалтын үлдэгдэл е(л) дээр м(l), бид авах болно

е(l) = м(л) q(l) + r(l).

Энд l = A-г орлуулах ба тэр баримтыг ашиглана

м(l) = е(l) = 0,

r(l) = 0.

Гэхдээ үлдэгдлийн зэрэг r(к) хуваагчийн хүчнээс бага м(l). Тийм ч учраас r(k) нь язгуур нь А матриц бөгөөд зэрэг нь хамгийн бага олон гишүүнтийн зэрэгтэй тэнцүү биш олон гишүүнт юм. м(l), энэ нь зөрчилдөж байна. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Ижил төстэй матрицууд ижил олон гишүүнт шинж чанартай байх нь мэдэгдэж байна. Хамгийн бага олон гишүүнт мөн ийм шинж чанартай байдаг: ижил төстэй матрицууд ижил хамгийн бага олон гишүүнтэй байдаг. Гэхдээ хамгийн бага олон гишүүнтүүдийн тэгш байдал тийм биш юм хангалттай нөхцөлматрицын ижил төстэй байдал.

Дараагийн теоремыг батлахын тулд бид өгнө тодорхойлолтхолбоотой матриц.

А ij(1) - А матрицын алгебрийн нэмэлтүүд. Бид матрицад шилжүүлсэн A v тэмдэглэгээнд А-тай хавсарсан матрицыг тодорхойлно. алгебрийн нэмэлтүүд A.-ийн хувьд Тиймээс

A v =.

Теорем:Сүүлийн энгийн хуваагч д n(л) онцлог матриц А -лЭ нь хамгийн бага олон гишүүнт m A юм.

Нотолгоо:Тэгш байдлыг бичье

(-1)n | A - lE | = d n -1 (l) e n (l).

Эндээс d n -1 (l) ба e n (l) нь тэг болохгүй. A - lE матрицтай хавсарсан матрицыг B(l) гэж тэмдэглэе.

B(l) = (A - lE) (1)

Тэгш байх нь шударга

(A - lE) B(l) = | A - lE | E. (2)

Нөгөөтэйгүүр, учир нь B(l) матрицын элементүүд нь нэмэх эсвэл хасах тэмдгээр авсан А - lE матрицын (n - 1)-р эрэмбийн минорууд ба зөвхөн тэдгээрийг, олон гишүүнт d n -1 (l) нь ерөнхий байна. хамгийн том хуваагчЭнэ бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд

B(l) = d n -1 (l) C(l), (3)

ба хамгийн том нь нийтлэг хуваагчматрицын элементүүд C(n) нь 1-тэй тэнцүү байна.

Тэгш (3), (2) ба (1) нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ

(A - lE) d n -1 (l) C(l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

Бид энэ тэгш байдлыг тэгээс өөр хүчин зүйлээр бууруулна d n -1 (l). Хэрэв μ(n) нь тэгээс өөр олон гишүүнт байвал анхаарна уу.

D(l) = (d ij (l))

Тэг биш l-матриц, мөн d st (l) байг? 0, тэгвэл c(l) D(l) матрицад (s, t) газарт тэг биш c(l) d st (l) элемент байх болно. Тэр.

(A - lE) C(l) = (-1) n e n (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

Энэ тэгшитгэлээс харахад зүүн талд байгаа l-матрицын зүүн талын lE - A binomial-д хуваагдах үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байна. 3-р хэсэгт батлагдсан леммагаас үзэхэд энэ үлдэгдэл нь матрицтай тэнцүү байна

e n (A) E = e n (A).

Үнэн хэрэгтээ e n (n) E матрицыг коэффициентүүд нь скаляр матрицууд болох n олон гишүүнт матрицаар бичиж болно. А матрицтай ажиллах.

тэдгээр. олон гишүүнт e n (n) нь үнэхээр А матрицаар хүчингүй болсон. Энэ нь e n (n) олон гишүүнт хамгийн бага олон гишүүнд бүрэн хуваагдана гэсэн үг юм. м (l) матриц А,

д (l) = м (л) q (l). (5)

олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициент болох нь тодорхой байна q(-1) n +1 (n) нь нэгтэй тэнцүү.

Учир нь м (A) = 0, дараа нь 3-р догол мөрийн ижил леммийг харгалзан n-матрицын зүүн хэсгийн үлдэгдэл. м (л) Эбином дээр lE - A нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

м (л) Э = (lE - A) Q(l). (6)

(5), (4) ба (6) тэгшитгэлүүдийг тэнцүү болгож бууруулна

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Энэ тэгш байдлын аль аль талыг нь багасгаж болно нийтлэг үржүүлэгч(lE - A), учир нь Үүний тэргүүлэх коэффициент E матриц l-олон гишүүннь ганц бус матриц юм. Тэр.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

C(n) матрицын элементүүдийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 1-тэй тэнцүү байна. Иймд олон гишүүнт q(n) нь тэг зэрэгтэй байх ёстой бөгөөд түүний тэргүүлэх коэффициент нь 1 тул

Тиймээс (5) -ийг харгалзан үзвэл

д n (l) = м (л),

Q.E.D.

Бүлэг 2. Асуудлыг шийдвэрлэх

Жишээ 1. l-матрицыг каноник хэлбэрт оруул

Шийдэл:Энэхүү A(n) матрицыг энгийн хувиргалт хийж каноник хэлбэрт оруулъя.

1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, дараа нь эхний мөрийг (-l) ба (-l 2 -1) үржүүлж, хоёр, гурав дахь мөрөнд тус тус нэмнэ. Эхний ба хоёр дахь баганыг нэмж, эхний баганыг (-l 2 -l) үржүүлнэ. Үүссэн матрицад хоёр, гурав дахь баганыг солино. Хоёр дахь мөрийг (-l)-ээр үржүүлээд гурав дахь мөрөнд нэмье. Дараа нь хоёр дахь баганыг (-l 2 -l + 1) -ээр үржүүлнэ. Хоёр ба гурав дахь мөрийг (-1)-ээр үржүүлнэ.

A(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = A(l).

Үүссэн матриц нь каноник, учир нь Энэ нь диагональ хэлбэртэй бөгөөд үндсэн диагональ дээрх дараагийн олон гишүүнт бүрийг өмнөхтэй нь хуваана.

Хариулт:

Жишээ 2. l-матрицуудын эквивалентыг батал

Шийдэл: A(n) матрицыг каноник хэлбэрт оруулъя.

1) A(l) матрицын эхний ба гурав дахь баганыг солино.

2) Эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасна:

3) Эхний мөрийг (l+1)-ээр үржүүлж, түүнээс гурав дахь мөрийг хасна.

4) Эхний баганыг () ба ()-аар үржүүлж, хоёр ба гурав дахь баганыг хасна.

5) Хоёр ба гурав дахь мөрийг солино уу:

6) Гурав дахь мөрийг ()-аар үржүүлж, түүнээс хоёр дахь мөрийг хасна:

7) Гурав дахь мөрийг (-1)-ээр үржүүлнэ:

A(l) ~ = B(l).

Хариулах: A(l) ~ B(l).

B(n) матриц нь каноник гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 3.Үүнийг нотол өгөгдсөн матриц A(l) нь нэг модуль юм. Диагональ харах хүртэл багасгах.

Нэг модуль матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бөгөөд l-ээс хамаардаггүй. Тооцоолъё? A:

Эхний баганыг (-ээр үржүүлнэ) l 2) ба үүнийг хоёр дахь нь нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Хариулт: A(n) матриц нь нэг модуль юм.

Жишээ 4.Инвариант хүчин зүйлсийг ашиглан Жорданы матрицыг ол

a) матриц А:

б) матриц В:

в) матриц С:

Шийдэл:А матрицын хувьд бид энгийн хуваагчдын хүснэгтийг эмхэтгэдэг. Хүснэгтийн эхний баганад сүүлчийн инвариант хүчин зүйлийн анхан шатны хуваагчдыг бичнэ: .

Энгийн хуваагчдын хүснэгтийг ашиглан бид Жорданы матрицыг зохиодог. Энгийн хуваагч бүрийн хувьд бид тохирох Жорданы нүдийг бичнэ. Ж 1 (1), Ж 1 (2), Ж 1 (3), Ж 1 (4). Эдгээр нүдийг матрицын үндсэн диагональ дээр байрлуулснаар бид хүссэн Жорданы матрицыг олж авна.

В матрицын хувьд бид энгийн хуваагчдын хүснэгтийг эмхэтгэдэг. Хүснэгтийн эхний баганад бид сүүлчийн инвариант хүчин зүйлийн цорын ганц энгийн хуваагчийг, хоёр дахь баганад - эцсийн өмнөх инвариант хүчин зүйлийг бичнэ.

Инвариант хүчин зүйлүүд

С матрицын хувьд бид энгийн хуваагчдын хүснэгтийг эмхэтгэдэг. Хүснэгтийн эхний баганад бид сүүлчийн инвариант хүчин зүйлийн цорын ганц энгийн хуваагчийг, хоёр дахь баганад - эцсийн өмнөх хүчин зүйлийн, гурав дахь баганад - бичнэ.

Энгийн хуваагчдын хүснэгтийг ашиглан бид Жорданы матрицыг зохиодог. Энгийн хуваагч бүрийн хувьд бид тохирох Жорданы нүдийг бичнэ Ж 2 (1), Ж 1 (1), Ж 1 (1). Эдгээр нүдийг матрицын үндсэн диагональ дээр байрлуулснаар бид хүссэн Жорданы матрицыг олж авна.

Хариулт:

Жишээ 5.Дараах матрицуудыг ердийн Жорданы хэлбэр болгон бууруул.

Шийдэл: 1. А матрицын хувьд бид ердийн Жорданы матрицыг олж, түүнийг каноник хэлбэрт оруулав. Онцлог матрицыг эмхэтгэх

матриц Жорданы хэлбэр

2. А - lE матрицыг каноник хэлбэрт оруулъя.

1) Эхний болон хоёр дахь баганыг солино

2) Эхний мөрийг (l - 4) ба (-1) -ээр үржүүлж, хоёр, гурав дахь мөрөнд тус тус нэмнэ.

3) Гурав, хоёр дахь баганыг нэмнэ

4) Эхний баганыг хоёр дахь баган дээр нэмж, эхний баганыг (l) үржүүлнэ.

5) Хоёр ба гурав дахь мөрийг (-1)-ээр үржүүлээд хоёр, гурав дахь багана, хоёр, гурав дахь мөрийг солино.

Инвариант матрицын хүчин зүйлүүд

e 1 (l) = 1, e 2 (l) = l - 2

e 3 (l) = = = .

3. Олж авсан хувьсах хүчин зүйл e 1 (l) ба e 2 (l) ашиглан бид энгийн хуваагчдын хүснэгтийг зохиож, нэгтэй тэнцүү энгийн хуваагчдыг хүснэгтэд оруулаагүй болно.

Энгийн хуваагч бүрийн хувьд бид тохирох Жорданы нүдийг бичнэ Ж 1 (2), Ж 2 (2). Эдгээр нүдийг матрицын үндсэн диагональ дээр байрлуулснаар бид хүссэн Жорданы матрицыг олж авна.

Ж А = .

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдээр дамжуулан В матрицыг хэвийн Жорданы хэлбэрт оруулъя.

1. Шинж чанар матрицыг зохио

2. Инвариант хүчин зүйлсийг олцгооё. Нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд хамгийн их хуваагчтай

Хоёрдахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг олъё:

Эдгээр олон гишүүнтүүдийн хамгийн том нийтлэг хуваагч

Гурав дахь эрэмбийн минор нь матрицын тодорхойлогчтой давхцдаг

det (B - lE) = =.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх хамгийн том нийтлэг хуваагчийг авъя.

Инвариант хүчин зүйлсийг олцгооё:

e 1 (l) = d 1 (l) =1, e 2 (l) = =

3. Олж авсан хувьсах хүчин зүйл e 2 (l) ба e 3 (l) ашиглан бид энгийн хуваагчдын хүснэгтийг байгуулав.

4. Энгийн хуваагч бүрийн хувьд бид харгалзах Жорданы нүдийг бичнэ Ж 1 (-1), Ж 2 (-1). Эдгээр нүдийг матрицын үндсэн диагональ дээр байрлуулснаар бид хүссэн Жорданы матрицыг олж авна.

Ж Б = .

Хариулт:

Ж А =

Ж Б = .

Жишээ 6.Матрицын олон гишүүнт шинж чанартай болохыг харуул

түүний хувьд хүчингүй болно.

Шийдэл.Тодорхойлогчийг олох онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

l хувьсагчийн оронд А матрицыг орлуулснаар бид олж авна

A = 3 A 2 - A 3 = 3= 3= 0,

Үүнийг харуулах шаардлагатай байсан.

Жишээ 7.Матрицын хамгийн бага олон гишүүнтийг ол

Шийдэл.Эхний арга. 1. Шинж чанар матрицыг зохио

2. Бид энэ l-матрицыг ердийн диагональ хэлбэрт оруулав. Эхний болон гурав дахь мөрийг сольж үзье. Зүүн талд байгаа нэгжийг тэргүүлэх элемент болгон сонгоцгооё дээд буланматрицууд. Бидний хийдэг тэргүүлэх элементийг ашиглан тэгтэй тэнцүүэхний мөр ба эхний баганын үлдсэн элементүүд:

Бид тэргүүлэх элементийг (-l) авч, хоёр дахь мөр, хоёр дахь баганын бусад бүх элементүүдийг тэгтэй тэнцүү болгоно. Дараа нь бид хоёр ба гурав дахь эгнээг (-1) -ээр үржүүлж, диагональ элементүүдийн тэргүүлэх коэффициентүүд нь байна. нэгтэй тэнцүү. Бид ердийн диагональ үзэмжийг олж авдаг:

Хамгийн бага матрицын олон гишүүнт

m A (l) =e 3 (l) =.

Хоёр дахь арга зам. 1. Бид шинж чанарын матрицыг эмхэтгэдэг;

2. шинж чанарын олон гишүүнтийг ол

A (l) = 3л 2 - л 3.

3. шинж чанарын матрицын хоёр дахь эрэмбийн миноруудыг ол (A - lE). Эхний хоёр мөрөнд байрлах насанд хүрээгүй хүүхдүүдээр өөрсдийгөө хязгаарлая.

М 12 12 = =, М 13 12 = = -л, М 23 12 = = л.

Үлдсэн насанд хүрээгүй хүмүүсийн илэрхийлэл нь олдсон хүмүүстэй давхцаж байна. Олон гишүүнтийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (-l), l нь l-тэй тэнцүү, i.e.

4. Томъёоны дагуу

бид авах:

Шалгахын тулд тооцоолъё

m A (A) =A 2 -3A =

Хамгийн бага олон гишүүнт m A (A) нь устаж үгүй ​​болж байгааг анхаарна уу, i.e.

Хариулах: .

Жишээ 8.Тус улсын хүн ам. Улсын хүн амыг дөрвөн насны бүлэгт хуваая.

(0.20], (20.40], (40.60), (60,) жил. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

t үед эдгээр бүлгүүдийн хүмүүсийн тоо. Бид эдгээр дэд бүлгүүдийн хүн амын тоог (тухайлбал, тухайн улсын хүн амын насны бүтэц) 20, 40, 60,... жилийн (жишээ нь X(20), X(40), X(60)... ). Бид үүнийг X(0) векторын координатууд болон төрөлт, нас баралтын түвшний утгуудаас тооцож, амьдралд аль болох ойртуулах болно.

Ирээдүйн тэгшитгэлийг бий болгоё.

20 жилийн дараа 1-р бүлгийн бараг бүх хүмүүс хоёрдугаарт шилжих болно. Зарим нь өвчин, осол гэх мэтээр үхэх болно. 1-р бүлгээс 0.95 хүн 20 жилээр 2-р бүлэгт шилжинэ. Энэ нь 1-р бүлгийн 2-р бүлгийн коэффициент юм.

x 2 (t + 20) = 0.95 x 1 (t). (2)

Нэмж дурдахад, энэ бүлгийн залуучуудын багахан хэсэг нь 20 нас хүрэхээсээ өмнө гэрлэж, хүүхэдтэй болох цаг хугацаатай байх бөгөөд энэ нь 1-р бүлгийн 1-р бүлэгт (20 жилийн дараа) хувь нэмэр оруулдаг. Энэ хувь нэмэр 1-р бүлгийн хүн амын 0.01 байна. Мөн 2, 3-р бүлгүүд 1-р бүлэгт (хүүхдийн хэлбэрээр) хувь нэмэр оруулна. 2-р бүлгийн хувь нэмэр = түүний тооны 0.5 (бүгд гэр бүлтэй, гэр бүл бүр нэг хүүхэдтэй), 3-р бүлгийн оруулсан хувь нэмэр = түүний тооны 0.02 байна. Дараа нь

X 1 (t + 20) = 0.01 x 1 (t) + 0.5 x 2 (t) + 0.02 x 3 (t). (3)

Хоёр дахь бүлэгт эсэн мэнд үлдэх түвшинг 0.8, өөрөөр хэлбэл.

X 3 (t + 20) = 0.8 x 2 (t). (4)

Мөн 3 ба 4-р бүлэгт 0.7 ба 0.4:

X 4 (t + 20) = 0.7 x 3 (t) + 0.5 x 4 (t). (5)

Бид өгсөн харилцаагаа (2, 3, 4, 5) матриц хэлбэрээр дахин бичнэ.

X(t + 20) = AX(t). (6)

Нөлөөллийн коэффициентийн А матриц нь:

Үүнийг дараах зарчмын дагуу эмхэтгэсэн болно.

оролтын дугаар = баганын дугаар,

гаралтын дугаар = мөрийн дугаар.

Тиймээс 2-р бүлгийн 1-р бүлгийн нөлөөллийн коэффициентийг 1-р баганын 2-р эгнээнд бичих ёстой.

Томъёо (6)-ын дагуу хэрэв А оператор нь t үед X(t) популяцийн найрлагад үйлчилдэг бол 20 жилийн дараа популяцийн бүрэлдэхүүн X(t + 20) гарна. Тиймээс А операторыг ээлжийн оператор гэж нэрлэдэг (энэ асуудалд 20 жилийн ээлж).

Томъёо (6)-аас ийм байна

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Тиймээс бид 20, 40, 60,... (төрөлт, нас баралтын түвшин өөрчлөгдөхгүй гэж үзвэл) дараа нь хүн амыг тооцоолохыг хүсч байна - i.e. AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),... Бүтээгдэхүүнийг тооцоол

A n X(0) = AAAA…AX(0)

Өөр өөр дарааллаар тооцоолж болно. Чи үүнийг хийж чадна:

A(A…(AX(0))). (9)

Эсвэл та үүнийг хийж болно: эхлээд A n дараа нь

Энэ асуудалд, хэрэв та ирээдүйн хүн амыг хэдхэн хормын дотор (жишээлбэл, 200 жилийн өмнө) тооцоолох шаардлагатай бол үйл ажиллагааны тоог багасгахын тулд (9) томъёог ашиглана. Гэхдээ бид сонгохыг хүсвэл тоон элементүүдматриц А (жишээлбэл, тухайн улсын хүн ам ижил түвшинд тогтворжиж байгаа төрөлтийг ол) дараа нь (10) арга илүү тохиромжтой. Тэгэхээр өнөөдрийн хүн амын тоо:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (сая хүн).

Одоо тооцоогоо хийцгээе n= 2, 3...10 (9)-ийн дагуу математикийн компьютерийн аль ч програмд ​​(жишээлбэл, Mathematics, MathCAD, Maple V). Би заримыг нь ашигладаг компьютерийн программ, бид үр дүнг авдаг бөгөөд бид хүснэгтэд оруулна.

200 жилийн дараа хүн амтай улстай ойролцоо байгааг бид харж байна орчин үеийн Орос, хүн амд хүрч багассан Ленинград муж. Хүн ам хэрхэн хөгширч байгааг анхаарч үзье (ахмад хүмүүсийн эзлэх хувь нэмэгдэж байна). Энэ нь хүн амын бууралтын зайлшгүй шинж тэмдэг юм. Бодит байдал дээр бүх зүйл илүү дорддог: нэг нутаг дэвсгэрт хүн ам цөөрөх нь залуучуудыг уулзаж, гэрлэхэд хүндрэл учруулж, улс орны баялгийг бууруулж, улмаар доройтож байна. эмнэлгийн үйлчилгээгэх мэт. гэх мэт. гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл хүн амын тоо буурах нь хүснэгт А-д заасан тоо буурахад хүргэнэ.

Харьцуулахын тулд 2-р бүлгийн төрөлтийг өөрөөр буюу нэг гэр бүлд 4 хүүхэд байхаар тогтооё.

Дараа нь ижил тооцоолол бидэнд өгдөг:

140 жилийн дараа өнөөгийн Орос улс Хятадын тэрбум хүн амтайг гүйцэж, тал хувь нь залуучуудаас бүрдэх байсан.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв бид зөвхөн ийм энгийн таамаглалыг сонирхож байсан бол бид өөрсдийгөө хязгаарлаж чадна энгийн тооцоо(9) гэсэн үг бөгөөд Иорданы хэлбэрийн онол шаардлагагүй болно. Гэхдээ бид улс орныг сүйрүүлэхгүй, хүн амыг гамшгийн хэмжээнд өсгөхгүйгээр үйл явцыг удирдах чадварыг сонирхож байна. Тиймээс бид гурван асуултыг сонирхож байна.

· Төрөлтийн түвшинг сонгох замаар хүн амыг тогтворжуулах боломжтой юу (нас баралтыг бууруулахаас илүү өсгөх нь илүү хялбар);

· улсын хүн ам тогтворжихын тулд төрөлт ямар байх ёстой;

· Тогтвортой хүн амын тоотой хүн амын бүтэц (залуучууд болон өндөр настнуудын хоорондын харьцаа) хэрхэн бий болох вэ (энэ харьцаа нь ажилчин бүр хэдэн тэтгэвэр авагчийг тэжээх ёстойг тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр хөдөлмөрийн бүтээмжтэй хамт амьжиргааны түвшинг тодорхойлдог. ).

Тоон туршилт, өөрөөр хэлбэл ийм хүснэгтийг тооцоолох янз бүрийн хэмжээтэйТөрөлтийн түвшин (9) -ийн дагуу, магадгүй танд төрөлтийн түвшинг сонгох боломжийг олгоно. Гэхдээ бид тодорхойгүй хугацаанд тооцоо хийх боломжгүй, тоонуудын зан төлөвийг ойлгоход бэрхшээлтэй тул бид үл мэдэгдэх алдаатай үр дүнг авах болно. тусдаа бүлгүүд. Үнэн хэрэгтээ: утгууд x 3 (t) ба x 4 (t) инч сүүлчийн ширэээргэлзэх. Хэрэв та үржил шимийн параметрийг бага зэрэг өөрчлөх юм бол хэлбэлзэл нь бага зэрэг өөрчлөгдөнө.

(8) дагуу манай улсын хүн ам 20 жилийн хугацаанд тэнцүү байна

X(20n)=A n X(0), (12)

А матрицыг (7)-д өгсөн. Үүнийг бид мэднэ

A n = S J n S -1 (13)

Энд S нь шинэ суурь руу шилжих матриц бөгөөд үүнээс бүрдэнэ тогтмол тоонууд, ба J нь А матрицын Жорданы хэвийн хэлбэр юм.

J-г тооцоолохын тулд бидэнд А матрицын хувийн утгууд хэрэгтэй. Бид тооцоололд компьютер ашигладаг. Манай А матрицын Maple V нь дөрвөн хувийн утгыг өгдөг:

л 1 = 0.7095891332

л 2 = - 0.667497875

л 4 = - 0.0320912582

Тодорхой хувийн утгуудын тоо = 4 тул J матриц дахь бүх Жорданы эсүүд 1-р дараалалтай гэсэн үг юм. J матриц нь цэвэр диагональ бөгөөд n-р зэрэг нь дараах хэлбэртэй байна.

Тиймээс бид (12)-ыг олж авна:

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

V үсэг нь зарим тоон (тогтмол) баганын векторуудыг илэрхийлдэг.

Томъёоны бүтэц (14) нь өсөх тусам X-ийн зан төлөвийг харуулж байна n. Хувийн утга нь үнэмлэхүй утгаараа 1-ээс бага байгаа тул бүх нэр томъёо буурдаг. X нь 0 вектор руу чиглэдэг. Сүүлийн гурван нэр томъёо багасаж байна эхнийхээс хурдан. Хангалттай том хэмжээтэй nэхний улирал нь энэ нийлбэрийн үндсэн нэр томъёо болно. Хоёрдахь нэр томъёо нь эхнийхээс хурдан буурдаг боловч хоёр дахь хувийн утгын сөрөг байдлаас шалтгаалан эхнийх нь (тэгш хувьд) нэмэгддэг. n), эсвэл үүнээс хасагдсан (сондгой n), өөрөөр хэлбэл үүсгэдэг саармагжуулсан хэлбэлзэлзан төлөвт X. Эдгээр хэлбэлзэл нь бодит байдалд нийцдэг, учир нь эдгээр хэлбэлзлийн мөчлөг нь дур мэдэн сонгосон интервалаар (20 жил) тодорхойлогддог. Хүн амыг хуваахдаа илүү их тоо насны бүлгүүдсөрөг хувийн утга нь богино хугацаатай хэлбэлзлийг үүсгэдэг.

Хэрэв төрөлт өндөр байгаа бол X(20n)-ийн томъёо нь (14) хэлбэртэй хэвээр байгаа боловч бусад том хувийн утгуудыг агуулна. Төрөлтийн түвшин өндөр байгаа тохиолдолд эхний хувийн утга нэгээс их болж хувирдаг тул бид ажиглаж байна. экспоненциал өсөлтхүн ам.

Дээр бичсэн зүйлээс бид дүгнэж болно: хэрэв бид улс орны хүн амыг тогтворжуулахыг хүсвэл төрөлтийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр эхний хувийн утга 1-тэй тэнцүү байх ба бусад бүх хувийн утга үнэмлэхүй 1-ээс бага байх болно. Энэ нь тэгшитгэлийн сүүлийн гурван гишүүний 0 томъёо (14) байх хандлагатай байх ба дараа нь V 1 нь популяцийн хүссэн тогтвортой төлөв байх болно.

Дараа нь бид төрөлтийг сонгоно. (7)-д өгөгдсөн А матриц руу буцъя. 2-р бүлгийн (эхний эгнээ, хоёрдугаар багана) хүүхдийн төрөлтийг g үсгээр солино. Мэдэгдэж байгаагаар А матрицын хувийн утга нь түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс байх ёстой. Бидэнд l = 1 хэрэгтэй тул тодорхойлогч det(A - E)-ийг тооцоолно.

Бид авдаг

det = 0.584880 - 0.57006 гр

det = 0 тэгшитгэлээс g = 1.026-г олно. Бид энэ төрөлтийн утгыг А матрицад (1-р мөр, 2-р багана) орлуулж, (9) ашиглан 200 жилийн интервал дахь улсын хүн амыг дахин тооцоолно.

Тэд 200 жилийн төрөлтийг улсын хүн амын тогтвортой байдлыг хангахуйц байдлаар тохируулсан. Энэ нь 130 сая орчим байна. Бие даасан бүлгүүдийн тооны хэлбэлзэл нь нэлээд чухал юм. Эдгээр хэлбэлзлийн шалтгаан нь А матриц одоо хоёр хувийн утгатай, модуль нь нэгтэй ойролцоо, нэг нь сөрөг байна. Энэ нь бид ийм үр дүнд хүрсэн гэсэн үг

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + l 3 n V 3 + l 4 n V 4 , (15)

Гурав, дөрөв дэх хувийн утгуудын үнэмлэхүй утга 1-ээс бага байгаа тул сүүлийн хоёр гишүүн n нэмэгдэх тусам мууддаг. Хоёрдахь гишүүн нь X нь V 1 - V 2 утгаас хэлбэлзэж байгааг баталгаажуулдаг. V 1 + V 2 ба буцаж.

g-ийн ойролцоо утгыг өгснөөр А матрицад яг 1-тэй тэнцүү хувийн утга байхгүй. Тиймээс эдгээр том хэлбэлзлийн дэвсгэр дээр бүлгүүдийн хэмжээ аажмаар өөрчлөгддөг. Мэдээжийн хэрэг, та 1-тэй илүү нарийвчлалтай хувийн утгад хүрэхийн тулд үржил шимийг тохируулахыг оролдож, дараа нь хоёр дахь хувийн утга (-1) -тэй хэр ойрхон байгааг олж мэдэх боломжтой. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, энэ асуудлын хувийн утгыг тодруулах нь утгагүй юм анхны утгуудмөн А матриц нь өөрөө том алдаатай өгөгдсөн (мөн үржил шим, нас баралтыг нарийн хэмжих нь зарчмын хувьд үнэн зөв тооцоолол хийх үндэслэл болохгүй, учир нь тэдгээрийг засах боломжгүй юм). Энэ загварыг боловсронгуй болгох нь нийгмийн бусад хамаарлыг харгалзан үзэх замаар явах ёстой. Гэхдээ цэвэр онолын үүднээс авч үзвэл бид хязгаар (14) байгаа эсэх асуудлыг шийдсэн: хэрэв хувийн утгуудын аль нэг нь 1-тэй тэнцүү бол бусад нь үнэмлэхүй утгаас бага байвал хязгаар оршин байна.

Дүгнэлт

Матрицуудыг анх дурдсан эртний Хятад, дараа нь "шидэт дөрвөлжин" гэж нэрлэдэг. Матрицын гол хэрэглээ нь шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явдал байв. Мөн шидэт квадратуудыг Арабын математикчид хэсэг хугацааны дараа мэддэг байсан бөгөөд тэр үед матриц нэмэх зарчим гарч ирэв. 17-р зууны сүүлчээр детерминант онолыг хөгжүүлсний дараа Габриэль Крамер (1704 - 1752) 18-р зуунд онолоо боловсруулж эхэлсэн бөгөөд 1751 онд Крамерын дүрмийг нийтлэв. Ойролцоогоор ижил хугацаанд "Гаусын арга" гарч ирэв. Матрицын онол 19-р зууны дунд үеэс Уильям Хамилтон, Артур Кэйли нарын бүтээлээр эхэлсэн. Матрицын онолын үндсэн үр дүн нь Карл Вейерштрасс (1815 - 1897), Жордан, Фробениус (1849 - 1917) нар юм. Матриц гэдэг нэр томьёог 1850 онд Жеймс Силвестр анх санаачилсан.

Матрицууд хаа сайгүй байдаг. Жишээлбэл, үржүүлэх хүснэгт нь матрицын үржвэр юм. Физик эсвэл бусад чиглэлээр хэрэглээний шинжлэх ухаанматрицууд нь өгөгдлийг бүртгэх, хувиргах хэрэгсэл юм. Програмчлалд - програм бичихэд. Тэдгээрийг мөн массив гэж нэрлэдэг. Технологид өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, дэлгэц дээрх аливаа зураг нь хоёр хэмжээст матриц бөгөөд тэдгээрийн элементүүд нь цэгүүдийн өнгө юм. Сэтгэл судлалд энэ нэр томъёоны ойлголт нь математикийн энэ нэр томъёотой төстэй боловч оронд нь математикийн объектуудтодорхой" сэтгэл зүйн объектууд"- жишээ нь, туршилтууд. Үүнээс гадна матрицыг эдийн засаг, биологи, хими, тэр ч байтугай маркетингийн салбарт өргөн ашигладаг. Мөн хийсвэр загвар байдаг - гэрлэлтийн онол анхдагч нийгэм, матрицын тусламжтайгаар тодорхой овгийн төлөөлөгчид, тэр байтугай үр удам ч гэрлэх зөвшөөрөгдсөн хувилбаруудыг харуулсан.

Математикийн хувьд матрицыг SLAE буюу системийг нягт бичихэд өргөн ашигладаг дифференциал тэгшитгэл. Матрицын төхөөрөмж нь SLAE-ийн шийдлийг матриц дээрх үйлдлүүд болгон багасгах боломжийг олгодог.

Матрицын Жорданы ердийн хэлбэрийг тодорхой хугацааны дараа улс, бүс нутаг, дэлхийн хүн амыг тооцоолоход ашигладаг. Ийм матриц нь тодорхой нөхцлөөс хамааран хүн амын өөрчлөлтийн талаархи ойлголтыг өгдөг: төрөлт, нас баралт, улс орны үхэл эсвэл хүн амын гамшгийн өсөлтийг зөвшөөрөхгүй.

Матрицын онол шаардлагагүй сургуулийн сургалтын хөтөлбөрматематик судалж байна. Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай сургуулиудад матрицын онолын үндсэн ойлголтыг өнгөцхөн заадаг. Дээд математикийг судлахдаа матрицыг илүү нарийвчлан авч үздэг.

Энэхүү бүтээлийг оюутнуудад матрицын онолын чиглэлээр мэдлэгээ өргөжүүлэх, ахлах ангийн сурагчид, математикийн багш нартай танилцахыг санал болгож болно. ерөнхий ойлголтуудМатрицын онол нь математикийн хүрээг тэлэхийн нэг хэсэг юм.

Ажилд тавьсан зорилтууд шийдэгдэж, зорилгодоо хүрсэн.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. Kvashko, L. P. Шугаман алгебрын үндэс: Сурах бичиг. тэтгэмж / L. P. Kvashko. - Хабаровск: DVGUPS хэвлэлийн газар, 2012. - 78 х. : өвчтэй.

2. Бичсэн, Д.Т. лекцийн тэмдэглэл дээд математик: [2 цагт]. 1-р хэсэг / D. T. Бичсэн. - 6 дахь хэвлэл. - М.: Iris-press, 2006. - 288 х.: өвчтэй.

3. Мишина, A. P. Дээд алгебр. / I. V. Проскуряков. - М., Физматлит, 1962. - 300 х.

4. Романников, А.Н. Шугаман алгебр: Сурах бичиг. гарын авлага // Москва Улсын их сургуульэдийн засаг, статистик, компьютерийн шинжлэх ухаан. - М., 2003. - 124 х.

5. Окунев, Л.Я. Дээд алгебр. / Л.Я.Окунев. - М.: Боловсрол, 1966. - 335 х.

6. Фаддеев, Д.К. Алгебрийн лекц: Proc. тэтгэмж./ D.K. Фаддеев.-4-р хэвлэл, устгасан..- Санкт-Петербург: Лан, 2005.- 416 х. - (Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг. Тусгай уран зохиол. Шилдэг сонгодог сурах бичгүүд. Математик).

7. Бутузов, В.Ф. Асуулт, бодлого дахь шугаман алгебр: сурах бичиг. оюутнуудад зориулсан тусламж их дээд сургуулиуд/ В.Ф. Бутузов. - 3-р хэвлэл, шинэчилсэн - Санкт-Петербург: Лан, 2008. - 256 х. - (Их дээд сургуулийн сурах бичиг. Тусгай зохиол).

8. Воеводин, V.V. Шугаман алгебр: Сурах бичиг. тэтгэмж/ V.V. Воеводин.-4-р хэвлэл, устгасан..- Санкт-Петербург: Лан, 2008.- 416 х. -(Их дээд сургуулийн сурах бичиг. Тусгай зохиол)

9. Курош, A. G. Дээд алгебрийн курс: Сурах бичиг. тэтгэмж./ A.G. Курош. 17-р хэвлэл, - Санкт-Петербург: Лан хэвлэлийн газар, 2008. - 432 х.: өвчтэй. - (Их дээд сургуулийн сурах бичиг. Тусгай зохиол).

10. Гельфанд, И.М. лекцүүд шугаман алгебр./ ТЭД. Гельфанд. - 5-р хэвлэл, Илч. - М .: Добросвет, Москвагийн тасралтгүй төв математикийн боловсрол, 1998. - 320 х.

11. Мальцев, А.И. Шугаман алгебрийн үндэс: Сурах бичиг. тэтгэмж./A.I. Мальцев. 5-р хэвлэл, устгасан. - Санкт-Петербург: Лан хэвлэлийн газар, 2009. - 480 х.: өвчтэй. - (Их дээд сургуулийн сурах бичиг. Тусгай зохиол).

12. Гантмакэр, Ф.Р.Матрицын онол. Сурах бичиг их дээд сургуулиудад зориулсан гарын авлага./ F.R. Гантмахэр, - Шинжлэх ухаан М. 1967. - 576 х.

13. Алгебрийн хичээлийн лекц. Семестр 2. Дугаар II. Жордан матрицын хэвийн хэлбэр: Сургалт, арга зүйн гарын авлага/ С.Н. Тронин. -- Казань: Казанский (Приволжский) холбооны их сургууль, 2012. - 78 х.

14. Ван дер Ваерден Б.Л. Алгебр / B.L. ван дер Ваерден; Пер. түүнтэй хамт. А.А. Белский.-3-р хэвлэл, стер.- Санкт-Петербург: Лан, 2004.- 624 х.

15. Алферова, З.В. Алгебр ба тооны онол. Сургалт арга зүйн цогцолбор/ З.В. Алферова, Е.Л. Балюкевич, А.Н. Романников. - М.: Евразийн нээлттэй хүрээлэн, 2011. - 279 х.

16. Ланкастер, П., Матрицын онол / П.Ланкастер - М.: “Шинжлэх ухаан” 1973, 280 х.

17. Шрейер О.Матрицын онол / Э.Спернер. - Л.: ОНТИ, 1936. - 156 х.

18. Шнеперман, Л.Б. Алгебр ба тооны онолын асуудлын цуглуулга: Сурах бичиг. тэтгэмж./ Л.Б. Шнеперман.-3-р хэвлэл, устгасан..- Санкт-Петербург: Лан, 2008.- 224 х. -(Их дээд сургуулийн сурах бичиг. Тусгай зохиол).

19. Проскуряков, I. V. Шугаман алгебрийн асуудлын цуглуулга. Сурах бичиг тэтгэмж / I.V. Проскуряков. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - Санкт-Петербург: "Лан" хэвлэлийн газар, 2010. - 480 х. -- (Их дээд сургуулийн сурах бичиг. Тусгай зохиол).

20. Алгебрийн бодлогын цуглуулга: бодлогын ном / ред. А.И. Кострикина. - М.: MTsNMO, 2009. - 404 х.

21. Сушкова M. V. Их сургуулийн математик / Санкт-Петербург Улсын Политехникийн Их Сургуулийн Интернет сэтгүүл. - 2002. - No 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Allbest.ru дээр нийтлэгдсэн

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Матрицын үндсэн үйлдлүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд. Матрицын үржвэр эсвэл матрицын үржвэр. Блок матрицууд. Тодорхойлогчийн тухай ойлголт. Матрицын хэрэгслийн самбар. Шилжүүлэх. Үржүүлэх. Квадрат матрицын тодорхойлогч. Вектор модуль.

хураангуй, 04/06/2003 нэмэгдсэн


Матрицын хэрэглээ ба тэдгээрийн төрлүүд (тэнцүү, квадрат, диагональ, нэгж, тэг, мөр вектор, баганын вектор). Матриц дээрх үйлдлүүдийн жишээ (тоогоор үржүүлэх, нэмэх, хасах, үржүүлэх, матрицыг шилжүүлэх) болон үүссэн матрицын шинж чанарууд.

танилцуулга, 2013-09-21 нэмэгдсэн


Бүртгэлийн хэлбэр, системийг шийдвэрлэх арга алгебрийн тэгшитгэл n үл мэдэгдэх. Вектор ба матрицын үржвэр ба норм. Матриц тодорхойлогчдын шинж чанарууд. Хувийн үнэ цэнэба хувийн векторууд. Хэрэглэх жишээ тоон шинж чанарматрицууд

хураангуй, 2009-08-12 нэмэгдсэн


Матрицын тухай ойлголт, төрөл, алгебр. Квадрат матрицын тодорхойлогч ба тэдгээрийн шинж чанарууд, Лапласын теорем ба цуцлалт. Үзэл баримтлал урвуу матрицба түүний өвөрмөц байдал, барилгын алгоритм, шинж чанарууд. Зөвхөн квадрат матрицын таних матрицын тодорхойлолт.

хураангуй, 2010 оны 06-р сарын 12-нд нэмэгдсэн


Ортогональ ба тайлбар нэгдмэл матриц. Матрицыг тодорхойлох үндсэн хүчин зүйлүүд. Цогцолбор квадратын тодорхойлолт нь доройтдоггүй ба ганц бие матрицууд. Тодорхойлогчийг олох аргууд. Доджсоны конденсацийн арга. Налуу тэгш хэмтэй полиlinear эгнээний функц.

курсын ажил, 2015-04-06 нэмэгдсэн


Матриц ашиглан үнэ цэнийг илэрхийлэхдээ бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд аж ахуйн нэгжийн мөнгөн зардлыг тооцоолох. Тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг шалгах, тэдгээрийг Крамерын томьёо, урвуу матриц ашиглан шийдвэрлэх. Гауссын аргыг ашиглан алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

туршилт, 2014 оны 09-р сарын 28-нд нэмэгдсэн


Алгебрийн матрицын бүлэг, сонгодог матрицын бүлгүүдийн жишээ: ерөнхий, тусгай, симплекс ба ортогональ. Алгебрийн бүлгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд. Матрицын зэрэглэл, тэгшитгэл рүү буцах, нийцтэй байдал. Шугаман зураглал, матрицтай үйлдлүүд.

курсын ажил, 2009-09-22 нэмэгдсэн


Zp талбар дээрх урвуу матрицууд. 2-р эрэмбийн урвуу матрицыг тоолох томъёо. 3-р эрэмбийн урвуу матрицыг тоолох томъёо. Ерөнхий томъёо Zp талбар дээрх урвуу матрицуудыг тоолох. Zn дээрх урвуу матрицууд.

дипломын ажил, 2007 оны 08-р сарын 8-нд нэмэгдсэн


Тооцооллын арга цэгийн бүтээгдэхүүн өгөгдсөн векторууд. Тодорхойлогч ба матрицын зэрэглэлийг тооцоолох, урвуу матрицыг олох. Крамерын арга, урвуу матриц болон суурилагдсан lsolve функцийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Хүлээн авсан үр дүнгийн дүн шинжилгээ.

лабораторийн ажил, 2014.10.13 нэмэгдсэн


Үндсэн үйлдлүүдматрицууд дээр. Шийдэл матрицын тэгшитгэлурвуу матрицыг ашиглах ба ашиглах анхан шатны өөрчлөлтүүд. Урвуу болон шилжүүлсэн матрицын тухай ойлголт. Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх янз бүрийн төрөл: AX=B, HA=B, AXB=C, AX+XB=C, AX=HA.