Тодорхойлолт:Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр тогтмол байна.

M нь эллипсийн дурын цэг юм. O – дунд F 1 F 2 . F 1 F 2 =2с. Зайны нийлбэр нь 2a байна. Бид координатын системийг Ox нь F 1, F 2-ыг дайран өнгөрч, Oy нь 2c-ийг хагасаар хуваана.

F 1 M+ F 2 M=2a. - эллипсийн ur-e.

Өөрчилье: ; 2a>2c, a>c,a 2 -c 2 =b 2

Эллипсийн цэг бүр энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа нь ойлгомжтой. Гэхдээ учир нь Өөрчлөлтийн явцад бид хоёр талыг хоёр удаа квадрат болгосны дараа нэмэлт оноо авсан эсэхийг шалгах шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл (4) тэгшитгэлийн цэг бүр эллипст хамаарах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Эхлээд (4) тэгшитгэлд тохирох шугамын хэлбэрийн талаар хэдэн үг хэлье.

. Тэгшитгэлээс харахад шулуун шугам нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Өсөх тусам 0-ээс a хүртэл, b-ээс 0 хүртэл буурна.Муруйн цэгүүд тэгш өнцөгт дотор байна

Үүссэн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун дээрх цэг бүр эллипст хамаарах эсэхийг шалгацгаая. Үүний тулд M(x 0,y 0) цэгийн координатууд (4)-ийг хангавал F 1 M+ F 2 M=2a болохыг харуулах шаардлагатай.

Тиймээс нэмэлт оноо гарсангүй.

Тоонууд Тэгээд - эллипсийн гол ба жижиг хагас тэнхлэгүүд F 1, F 2 - эллипсийн голомт.

At
бид авдаг
- тойргийн тэгшитгэл.

Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл: Радиустай хоёр тойрог байгуулъя Тэгээд гарал үүсэл нь төвтэй. O цэгээс бид t өнцгөөр Ox руу налуу туяа татна. B цэгээр хэвтээ шугам, А цэгээр босоо шугам татъя. t-ийг 0-ээс 2 π болгон өөрчилснөөр M цэг эллипсийг дүрслэх болно.
- эллипсийн тэгшитгэлийн параметрүүд. a=b-ийн хувьд бид авна
- параметрийн тэгшитгэлтойрог.

Тодорхойлолт.Зуувангийн хазгай байдал нь гол тэнхлэгийн урттай фокусын хоорондох зайны хагасын харьцаа юм. .

Учир нь
, тиймээс < 1.
, тиймээс,

Сэтгэгдэл:Эллипсийн хазгай байдлыг түүний суналтын хэмжүүр гэж үзэж болно. Хачирхалтай байдал их байх тусам харьцаа бага байна (зууван тэнхлэгийн хагас гол тэнхлэг).

гиперболын хазгай байдал.

Тодорхойлолт:Гипербола гэдэг нь энэ хавтгайн фокус гэж нэрлэгддэг F 1 ба F 2 тогтмол хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүүний абсолют утга нь 0-тэй тэнцүү биш тогтмол утга болох хавтгай дээрх цэгүүдийн байрлал юм.

F 1 F 2 сегментийн дундах координатын тэнхлэг ба эхийг дахин сонгоцгооё. F 1 F 2 зай нь 2 секунд байна. Мөн бид зайны зөрүүг 2а-аар тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолтоос бид дараах байдалтай байна.
. 2а<2c, а

БА бид:

Үүнийг квадрат болгоё.

дахин дөрвөлжин. Энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёр хэсгийг хуваах
бид авах:
.

Зууван хэлбэрийн нэгэн адил үүнийг хоёр удаа квадрат болгосон ч нэмэлт оноо авахгүй гэдгийг шалгах шаардлагатай. Тиймээс (1) тэгшитгэл нь гиперболын тэгшитгэл юм.

Эхлээд (1) тэгшитгэлээр тодорхойлсон шугамын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе. (1) тэгшитгэлээс дараах нь гарч ирнэ
.

Шугаман (1) нь координатын тэнхлэгүүд болон эхлэлийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Энэ нь ойлгомжтой
. Тиймээс эгнээнд
муруй цэг байхгүй. Үүний үр дүнд муруй нь хоёр салангид салбараас бүрдэх ба тэдгээрийн нэг нь хагас хавтгайд байрладаг.
(баруун салбар), хоёр дахь нь - хагас хавтгайд -
(зүүн салбар).

M(x 0,y 0) тэгшитгэл (1)-ээр тодорхойлогдсон шулуун дээрх дурын цэг байг.
. Хэрэв бид үүнийг нотлох юм бол
, тэгвэл бид (1) тэгшитгэл нь гиперболын тэгшитгэл гэдгийг батлах болно.

Дараа нь бид энэ томъёонд y 0-ийг орлуулж, хаалтуудыг нээж, ижил төстэй зүйлийг өгч, үүнийг харгалзан үзнэ.
Үндэс бүрийн доор бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё. Үүний үр дүнд бид:
. Болъё
(баруун салбарын цэгүүдийн хувьд), дараа нь.

At
(зүүн салааны цэгүүдийн хувьд) дараа нь.

Тиймээс . Бид үүнийг ойлгодог
. Энэ нь (1) тэгшитгэл нь гиперболын тэгшитгэл гэсэн үг. Нэмэлт оноо байгаагүй.

a тоог гиперболын бодит хагас тэнхлэг, b тоог төсөөллийн хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг гиперболын орой гэж нэрлэдэг. F 1 ба F 2 цэгүүд нь гиперболын гол цэгүүд юм.

ТУХАЙ
Гиперболын томьёоны бас нэг онцлогийг тэмдэглэе. Гиперболын хамт хос шулуун шугамыг авч үзье
. Эхний улиралд ижил абсциссатай үед гиперболын цэгүүдийн ординат нь шулуун шугамын харгалзах цэгүүдийн харгалзах ординатаас бага байна, учир нь
. , учир нь . Тэдгээр. Гиперболын цэгүүд абсцисса хязгааргүй ихэссэнээр шулуун шугамын харгалзах цэгүүдэд хүссэн хэмжээгээр ойртоно.
. Тэгш хэмийн улмаас бусад квадратууд дахь гиперболын цэгүүд шугамын цэгүүдэд тодорхойгүй хугацаагаар ойртох үед
.

Шууд
- гиперболын асимптотууд. Гиперболын асимптотууд нь гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай 2a ба 2b талуудтай тэгш өнцөгтийн диагональуудын дагуу чиглэнэ.

Хэрэв a=b бол гиперболын тэгшитгэл хэлбэрийг авна
. Ийм гиперболыг тэгш талт гэж нэрлэдэг.

Гиперболын хазгай байдал. c нь гиперболын голомтуудын хоорондох зайны хагас, гиперболын бодит хагас тэнхлэг гэж үзье.

Тодорхойлолт:Гиперболын хазгай нь хэмжигдэхүүн юм .

c,a,b-ийн хоорондох холболтыг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
. Гиперболын хазгай 1-ээс их байна.

Сэтгэгдэл:Гиперболын эксцентриситетийг түүний асимптотуудын хоорондох өнцгийн утга гэж үзэж болно.
, энд φ нь гиперболын асимптотуудын хоорондох өнцгийн утга юм.

Тодорхойлолт 7.1. F 1 ба F 2 тогтмол хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь өгөгдсөн тогтмол утга болох хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. эллипс.

Эллипсийн тодорхойлолт нь түүний геометрийн бүтцийн дараах аргыг өгдөг. Бид хавтгай дээр F 1 ба F 2 гэсэн хоёр цэгийг засч, сөрөг бус тогтмол утгыг 2а-аар тэмдэглэнэ. F 1 ба F 2 цэгүүдийн хоорондох зайг 2c гэж үзье. Жишээ нь, хоёр зүү ашиглан F 1 ба F 2 цэгүүдэд 2а урттай сунадаггүй утас бэхлэгдсэн байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь зөвхөн ≥ c үед л боломжтой гэдэг нь ойлгомжтой. Утсыг харандаагаар татсаны дараа зураас зурж, эллипс хэлбэртэй болно (Зураг 7.1).

Тэгэхээр a ≥ c байвал тайлбарласан олонлог хоосон биш байна. a = c үед эллипс нь F 1 ба F 2 төгсгөлтэй сегмент бөгөөд c = 0 үед i.e. Хэрэв эллипсийн тодорхойлолтод заасан тогтмол цэгүүд давхцаж байвал энэ нь a радиустай тойрог юм. Эдгээр доройтсон тохиолдлуудаас татгалзаж, бид дүрмээр бол a > c > 0 гэж таамаглах болно.

Зуувангийн 7.1-р тодорхойлолт дахь F 1 ба F 2 тогтмол цэгүүдийг (7.1-р зургийг үз) гэж нэрлэдэг. эллипсийн голомт, тэдгээрийн хоорондох зайг 2c, - фокусын урт, мөн F 1 M ба F 2 M сегментүүдийг холбодог дурын цэгМ голомттой эллипс дээр, - фокусын радиус.

Зууван хэлбэр нь фокусын уртаар бүрэн тодорхойлогддог |F 1 F 2 | = 2c ба параметр a, түүний хавтгай дээрх байрлал - хос F 1 ба F 2 цэгүүд.

Зуувангийн тодорхойлолтоос харахад энэ нь F 1 ба F 2 голомтуудыг дайран өнгөрч буй шугам, түүнчлэн F 1 F 2 сегментийг хагасаар хувааж, түүнд перпендикуляр шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. (Зураг 7.2, а). Эдгээр мөрүүдийг нэрлэдэг эллипсийн тэнхлэгүүд. Тэдний огтлолцлын О цэг нь эллипсийн тэгш хэмийн төв бөгөөд үүнийг нэрлэдэг эллипсийн төв, мөн эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд (Зураг 7.2, а дахь A, B, C, D цэгүүд) - эллипсийн оройнууд.

a тоог дууддаг эллипсийн хагас гол тэнхлэг, ба b = √(a 2 - c 2) - түүний бага тэнхлэг. c > 0-ийн хувьд хагас том тэнхлэг нь эллипсийн голомттой нэг тэнхлэгт байрлах оройнуудынх нь төвөөс (А ба В орой) хүртэлх зайтай тэнцүү болохыг хялбархан харж болно. 7.2-р зураг, а) ба хагас жижиг тэнхлэг b нь төвийн эллипсээс түүний бусад хоёр орой хүртэлх зайтай тэнцүү байна (Зураг 7.2, a-д C ба D орой).

Эллипсийн тэгшитгэл.Хавтгай дээрх F 1 ба F 2 цэгүүд, гол тэнхлэг 2a дээр төвлөрч байгаа зарим эллипсийг авч үзье. 2c нь фокусын урт, 2c = |F 1 F 2 |

Хавтгай дээрх Oxy тэгш өнцөгт координатын системийг сонгоцгооё. Ингэснээр түүний гарал үүсэл нь эллипсийн төвтэй давхцаж, голомтууд нь дээр байна. x тэнхлэг(Зураг 7.2, b). Ийм координатын системийг нэрлэдэг канониктухайн эллипсийн хувьд, харгалзах хувьсагч нь байна каноник.

Сонгосон координатын системд голомтууд нь F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) координатуудтай байна. Цэгүүдийн хоорондох зайны томъёог ашиглан |F 1 M| нөхцөлийг бичнэ + |F 2 M| = 2a координатаар:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Энэ тэгшитгэл нь хоёр квадрат радикал агуулсан тул тохиромжгүй юм. Тиймээс үүнийг өөрчилье. (7.2) тэгшитгэлийн хоёр дахь радикалыг шилжүүлье баруун талба квадрат:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Хашилтыг нээж, цутгасны дараа ижил төстэй нэр томъёобид авдаг

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

Энд ε = c/a. Бид хоёр дахь радикалыг арилгахын тулд квадратын үйлдлийг давтан хийнэ: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, эсвэл оруулсан параметрийн ε утгыг харгалзан (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 тул

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

(7.4) тэгшитгэл нь эллипс дээр байрлах бүх цэгүүдийн координатаар хангагдсан байна. Гэхдээ энэ тэгшитгэлийг гаргахдаа эквивалент бус хувиргалтыг ашигласан анхны тэгшитгэл(7.2) - хоёр квадрат, арилгах дөрвөлжин радикалууд. Тэгшитгэлийн квадрат нь эквивалент хувиргалт, хэрэв түүний хоёр хэсэг хоёулаа утгатай бол c ижил тэмдэгтэй, гэхдээ бид өөрчлөлтүүддээ үүнийг шалгаагүй.

Хэрэв бид дараахь зүйлийг анхаарч үзвэл хувиргалтын тэнцүү байдлыг шалгахаас зайлсхийх боломжтой. F 1 ба F 2, |F 1 F 2 | хос цэг = 2c, хавтгай дээр эдгээр цэгүүдэд голомт бүхий эллипсийн гэр бүлийг тодорхойлно. F 1 F 2 сегментийн цэгүүдээс бусад хавтгайн цэг бүр нь заасан гэр бүлийн зарим эллипст хамаарна. Энэ тохиолдолд фокусын радиусуудын нийлбэр нь тодорхой эллипсийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул хоёр эллипс огтлолцохгүй. Тиймээс, огтлолцолгүй эллипсийн дүрсэлсэн гэр бүл нь F 1 F 2 сегментийн цэгүүдээс бусад бүх хавтгайг хамардаг. a параметрийн өгөгдсөн утгаар (7.4) тэгшитгэлийг хангаж байгаа цэгүүдийн багцыг авч үзье. Энэ олонлогийг хэд хэдэн эллипсийн хооронд тарааж болох уу? Олонлогийн зарим цэгүүд нь хагас гол тэнхлэг бүхий эллипсэд хамаарна. Хагас гол а тэнхлэгтэй эллипс дээр байрлах энэ олонлогт цэг байг. Дараа нь энэ цэгийн координатууд тэгшитгэлд захирагдана

тэдгээр. (7.4) ба (7.5) тэгшитгэлүүд байна ерөнхий шийдлүүд. Гэсэн хэдий ч энэ нь системийг шалгахад хялбар байдаг

ã ≠ a-д шийдэл байхгүй. Үүнийг хийхийн тулд, жишээлбэл, x-г эхний тэгшитгэлээс хасахад хангалттай.

Энэ нь хувиргасны дараа тэгшитгэлд хүргэдэг

ã ≠ a-ийн шийдэлгүй тул . Тэгэхээр (7.4) нь хагас том тэнхлэг a > 0, хагас бага тэнхлэг b =√(a 2 - c 2) > 0 байх эллипсийн тэгшитгэл юм. Үүнийг гэнэ. каноник эллипсийн тэгшитгэл.

Эллипс харах.Дээр хэлэлцсэн геометрийн аргаэллипс байгуулах нь хангалттай санааг өгдөг Гадаад төрхэллипс. Гэхдээ эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийг (7.4) ашиглан судалж болно. Жишээлбэл, та y ≥ 0 гэж үзвэл y-г x-ээр илэрхийлж болно: y = b√(1 - x 2 /a 2), мөн энэ функцийг судалсны дараа түүний графикийг байгуулж болно. Зууван бүтээх өөр нэг арга бий. Зуувангийн (7.4) каноник координатын системийн эхэнд төвтэй a радиустай тойргийг x 2 + y 2 = a 2 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Хэрэв энэ нь a/b > 1 коэффициентээр шахагдсан бол у тэнхлэг, тэгвэл та x 2 + (ya/b) 2 = a 2, өөрөөр хэлбэл, эллипс тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн муруйг авна.

Тайлбар 7.1.Хэрэв ижил тойрог нь a/b хүчин зүйлээр шахагдсан бол

Эллипсийн хазгай. Эллипсийн фокусын уртыг гол тэнхлэгт нь харьцуулсан харьцааг нэрлэнэ эллипсийн хазгай байдалба ε-ээр тэмдэглэнэ. Өгөгдсөн эллипсийн хувьд

каноник тэгшитгэл (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Хэрэв (7.4)-д a ба b параметрүүд нь тэгш бус байдлаар хамааралтай бол a

c = 0 үед эллипс тойрог болж хувирах үед ε = 0. Бусад тохиолдолд 0.

(7.4) ба (7.2) тэгшитгэлүүд тэнцүү тул (7.3) тэгшитгэл (7.4)-тэй тэнцүү байна. Тиймээс эллипсийн тэгшитгэл нь мөн (7.3). Үүнээс гадна (7.3) хамаарал нь |F 2 M| уртын энгийн, радикалгүй томьёог өгдөг учраас сонирхолтой юм. эллипсийн M(x; y) цэгийн фокусын радиусуудын нэг: |F 2 M| = a + εx.

Хоёрдахь фокусын радиусын ижил төстэй томъёог тэгш хэмийг харгалзан үзэх эсвэл (7.2) тэгшитгэлийг квадрат болгохын өмнө эхний радикалыг хоёр дахь нь биш харин баруун талд шилжүүлсэн тооцоог давтах замаар олж авч болно. Тиймээс эллипс дээрх дурын M(x; y) цэгийн хувьд (7.2-р зургийг үз).

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

ба эдгээр тэгшитгэл бүр нь эллипсийн тэгшитгэл юм.

Жишээ 7.1.Хагас гол тэнхлэг 5, хазгай 0.8-тай эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олоод байгуулъя.

Эллипсийн хагас том тэнхлэгийг a = 5 ба хазгай ε = 0.8 гэдгийг мэдсэнээр бид түүний хагас бага тэнхлэг b-ийг олох болно. b = √(a 2 - c 2), c = εa = 4 тул b = √(5 2 - 4 2) = 3. Тэгэхээр каноник тэгшитгэл нь x 2 /5 2 + y 2 /3 хэлбэртэй байна. 2 = 1. Зууван байгуулахын тулд каноник координатын системийн эхэнд төвтэй тэгш өнцөгтийг зурах нь тохиромжтой бөгөөд талууд нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй параллель бөгөөд харгалзах тэнхлэгүүдтэй тэнцүү байна (Зураг 1). 7.4). Энэ тэгш өнцөгт нь огтлолцдог

A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) оройн дээрх эллипсийн тэнхлэгүүд ба эллипс өөрөө дотор нь бичээстэй байна. Зураг дээр. 7.4-т мөн эллипсийн F 1.2 (±4; 0) голомтыг харуулав.

Эллипсийн геометрийн шинж чанарууд.(7.6) дахь эхний тэгшитгэлийг |F 1 M| гэж дахин бичье = (a/ε - x)ε. F 1 фокус нь эллипст хамаарахгүй тул a > c-ийн a/ε - x утга эерэг болохыг анхаарна уу. Энэ утга нь энэ шугамын зүүн талд байрлах M(x; y) цэгээс d: x = a/ε босоо шугам хүртэлх зайг илэрхийлнэ. Зууван тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Энэ эллипс нь F 1 M фокусын радиусын уртыг шулуун d хүртэлх зайд харьцуулсан харьцаа нь ε-тэй тэнцүү тогтмол утгатай хавтгайн M(x; y) цэгүүдээс бүрддэг гэсэн үг юм (Зураг 1). 7.5).

d шулуун шугам нь "давхар" - зуувангийн төвтэй харьцуулахад d-тэй тэгш хэмтэй босоо шулуун шугамтай бөгөөд үүнийг d-ийн хувьд x = -a/ε тэгшитгэлээр өгсөн болно г-тэй адил арга замаар. d ба d" мөрүүдийг хоёуланг нь дууддаг эллипсийн чиглүүлэлтүүд. Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь түүний голомтууд байрлах эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр байх ба эллипсийн төвөөс a/ε = a 2 /c зайд байрладаг (7.5-р зургийг үз).

Директриксээс түүнд хамгийн ойр байрлах фокус хүртэлх p зайг нэрлэнэ эллипсийн фокусын параметр. Энэ параметр нь тэнцүү байна

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Зууван нь өөр нэг чухал зүйлтэй геометрийн шинж чанар: фокусын радиус F 1 M ба F 2 M нь M цэг дээрх эллипстэй шүргэгчтэй тэнцүү байна. тэнцүү өнцөг(Зураг 7.6).

Энэ өмч нь тодорхой байна физик утга. Хэрэв гэрлийн эх үүсвэрийг F 1 фокус дээр байрлуулсан бол эллипсээс ойсны дараа энэ фокусаас гарч буй туяа нь хоёр дахь фокусын радиусын дагуу явах болно, учир нь тусгасны дараа тусгалын өмнөх шиг муруйтай ижил өнцгөөр байрлана. Тиймээс F 1 фокусаас гарч буй бүх туяа хоёр дахь F 2 фокус дээр төвлөрч, эсрэгээр нь төвлөрнө. Энэхүү тайлбар дээр үндэслэн энэ өмчийг нэрлэдэг эллипсийн оптик шинж чанар.

Зууван зурахаасаа өмнө түүний зарим шинж чанарыг олж мэдье.

Эд хөрөнгө 33.1. Эллипс нь харилцан перпендикуляр хоёр тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь голомтууд, тэгш хэмийн төвийг агуулдаг. Хэрэв эллипсийг каноник тэгшитгэлээр (33.4) өгвөл түүний тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь Ox болон Oy тэнхлэгүүд бөгөөд эх нь тэгш хэмийн төв юм.

Баталгаа. (33.4) тэгшитгэл дээр үндэслэн нотолгоо хийцгээе.

Эллипсийг (33.4) ба тэгшитгэлээр өгье М 1 (x 1 ;y 1)–– эллипсийн зарим цэг. Дараа нь

Цэг M 2 (-x 1 ; y 1)цэг юм тэгш хэмтэй цэг Oy тэнхлэгтэй харьцуулахад M 1 (Зураг 33.2).

Цагаан будаа. 33.2. Цэгүүдийн тэгш хэм

Бид (33.4) тэгшитгэлийн зүүн талын утгыг M 2 цэг дээр тооцоолно

Тэгш эрхийн дагуу (33.6) бид олж авдаг

гол нь эндээс л байна М 2эллипс дээр байрладаг. Цэг М 3 (x 1 ; -y 1)цэгтэй тэгш хэмтэй цэг юм М 1тэнхлэгтэй харьцуулахад Үхэр(Зураг 33.2). Үүнтэй адилаар бид үүнд итгэлтэй байна

тэр бол М 3нь эллипсийн цэг юм. Эцэст нь цэг М 4 (-x 1 ; -y 1)цэгт тэгш хэмтэй байна М 1гарал үүсэлтэй харьцуулахад (Зураг 33.2). Өмнөх аргументуудыг давтан хэлэхэд энэ цэг мөн эллипс дээр байрладаг болохыг олж мэдэв. Тэгэхээр эллипс (33.4) тэгшитгэлтэй бол уг мэдэгдэл нотлогдоно. 1-р теоремийн дагуу зарим координатын систем дэх аливаа эллипс ийм тэгшитгэлтэй байдаг тул лемма бүрэн батлагдсан.

Зууван зуръя, тэгшитгэлээр өгөгдсөн(33.4). Тэгш хэмийн улмаас эллипсийн дээд хагас хавтгайд байрлах хэсгийг зурахад хангалттай гэдгийг анхаарна уу. Бид (33.4) тэгшитгэлээс y-г илэрхийлж, язгуурын өмнө "+" тэмдгийг авснаар энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ функцийг зурцгаая. Тодорхойлолтын домэйн - сегмент [-a; a], y(0)=b, нэмэгдэж буй хувьсагчтай x-аас 0 өмнө афункц нь монотоноор буурдаг. График тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмийн улмаас Өөфункц y-аас өөрчлөгдөхөд монотон ургадаг –аөмнө 0 . Дериватив интервалын бүх цэгүүдэд тодорхойлогддог (0; а)тиймээс график нь гөлгөр (хүрээ агуулаагүй, аль ч цэгт шүргэгч байдаг). Хоёр дахь дериватив интервалын бүх цэгүүдэд сөрөг байна (а; б), тиймээс график дээшээ гүдгэр байна.

Сегментийн төгсгөлийн ойролцоох муруйн зан төлөв [-α; α]. (33.4) тэгшитгэлээс хувьсагчийг илэрхийлье. xдамжуулан y: . Мэдээжийн хэрэг, цэг дээр y = 0Энэ функц нь деривативтай, өөрөөр хэлбэл цэг дээрх энэ графиктай шүргэгч байна (a, 0)байдаг. Энэ нь тэнхлэгтэй параллель байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг Өө. Эллипсийн тэгш хэмээс бид энэ нь гөлгөр муруй гэж дүгнэж, олж авсан өгөгдлийг харгалзан үүнийг байгуулна (Зураг 33.3).

Цагаан будаа. 33.3.Элипс

Тодорхойлолт 33.4. Эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг гэнэ оргилуудэллипс, тэгш хэмийн төв –– төв зууван, голомтыг агуулсан хоёр оройн хоорондох сегментийг нэрлэдэг гол тэнхлэгэллипс, хагас урт –– хагас гол босоо ам эллипс. Фокус агуулаагүй тэгш хэмийн тэнхлэг дээрх оройнуудын хоорондох сегментийг нэрлэдэг бага тэнхлэг эллипс, хагас урт –– бага тэнхлэг. Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг хазгай байдал эллипс .

Зууван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1 ба F_2 нь эдгээрийн хоорондох зайнаас (2c) их (2а) тогтмол утга юм. оноо өгсөн(Зураг 3.36, а). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар.

Эллипсийн фокусын шинж чанар

F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 - фокусын урт, F_1F_2 сегментийн дунд О нь эллипсийн төв, 2а тоо нь эллипсийн гол тэнхлэгийн урт (үүний дагуу a тоо нь эллипсийн хагас гол тэнхлэг юм). Эллипсийн дурын М цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M хэрчмүүдийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Эллипсийн хоёр цэгийг холбосон сегментийг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг.

e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн эксцентриситет гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Эллипсийн геометрийн тодорхойлолт, түүний фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:

Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36в). Бид эллипсийн төв O цэгийг координатын системийн эхлэл болгон авна; бид голомтоор дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) абсцисса тэнхлэг болгон авдаг (түүн дээрх эерэг чиглэл нь F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); фокусын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг ординатын тэнхлэг болгон эллипсийн төвийг (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) дайран өнгөрдөг шулуун шугамыг ординат тэнхлэг болгон авч үзье. тэгш өнцөгт системкоординатууд Окси зөв болсон).

Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг байгуулъя. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Эллипсэд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Бид хоёр дахь радикалыг баруун тийш шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нэр томъёог авчирна.

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно.

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Томилогдсон b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр талыг a^2b^2\ne0-д хуваавал бид хүрэх болно каноник тэгшитгэлзуйван:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм.

Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36,6). Энэ тохиолдолд цэг дээр гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем каноник болно O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь төв нь О цэгт, радиус нь a-тай тэнцүү тойргийн тэгшитгэл юм.

Үндэслэлээр урвуу дараалал, координатууд нь (3.49) тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд бөгөөд зөвхөн тэдгээр нь хамаарах болохыг харуулж болно. геометрийн байршилцэгүүдийг эллипс гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, аналитик тодорхойлолтэллипс нь үүнтэй тэнцэнэ геометрийн тодорхойлолт, эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг.

Зуувангийн чиглүүлэх шинж чанар

Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгтэй параллель, түүнээс ижил \frac(a^2)(c) зайд орших хоёр шулуун шугам юм. c=0 үед эллипс нь тойрог байх үед дистрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүй байна гэж үзэж болно).

0 хазгайтай эллипс Хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрийн тус бүрийн хувьд өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн F (фокус) хүртэлх зайг өгөгдсөн цэгээр дамжаагүй өгөгдсөн шулуун d (шууд) хүртэлх зайд харьцуулсан харьцаа нь тогтмол бөгөөд хазгайтай тэнцүү байна. e ( эллипсийн найруулагч шинж чанар). Энд F ба d нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгийн нэг талд байрлах эллипсийн голомтуудын нэг ба түүний чиглүүлэлтийн нэг юм. F_1,d_1 эсвэл F_2,d_2 .

Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, фокус F_2 ба directrix d_2 (Зураг 3.37,6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид каноник эллипсийн тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 болон захиралд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл

F_1r\varphi туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл (Зураг 3.37, c ба 3.37 (2)) хэлбэртэй байна.

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм.

Чухамдаа туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (тайлбар 2.8-ын 2-р догол мөрийг үзнэ үү):

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Бид тэгшитгэлийн радикал, дөрвөлжин хоёр талыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хий e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Зуйван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга

Зууван (зураг 3.37, а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (зуувангийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олъё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a. Үүний үр дүнд эллипсийн дотор байрлах фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн хагас том тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Тиймээс эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба b тоо нь эллипсийн хагас жижиг тэнхлэг юм.

Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн c=0 тохиолдолд л зууван тойрог байх үед олно. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн шахалтын харьцаа гэж нэрлэдэг.

Тайлбар 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b шулуун шугамууд нь координатын хавтгай дээрх гол тэгш өнцөгтийг хязгаарлаж, дотор нь эллипс байдаг (Зураг 3.37, а-г үз).

2. Эллипсийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметр хүртэл нь шахаж олж авсан цэгүүдийн байрлал.

Үнэн хэрэгтээ Окси тэгш өнцөгт координатын систем дэх тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=a^2 хэлбэртэй байг. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед

\эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд)

Тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y" тойргийг орлуулснаар M(x,y" цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэлийг олж авна. ):

(x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм.

3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын системийн) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна.

4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үзнэ үү), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусаар дамждаг эллипсийн хөвчний хагасын урт юм ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, e тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэдгийг харгалзан үзвэл бид олж авна.

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2, !}

Энд k нь эллипсийн шахалтын харьцаа, 0

6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 a

7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО"(x_0,y_0) цэг дээр төвтэй эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг (3.36) ашиглан каноник болгон бууруулна.