Параболагийн фокусын урт. Гипербола ба түүний каноник тэгшитгэл

Даалгавар No 1. Фокусын координатыг тодорхойлж, параболын директорын тэгшитгэлийг зохио.

Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах
, бид эндээс 2p=4 болохыг олж мэднэ . Тэгэхээр гол нь
- параболын голомт ба шулуун шугам
, өөрөөр хэлбэл x=-1 эсвэл x+1=0 нь түүний чиглүүлэлт юм.

Хариулт: (1;0)

Бодлого No 2. Орой нь эхтэй параболын голомтууд F(0;-4) цэгт оршдог. Энэ параболын тэгшитгэлийг бич.

Бодлого No 3. Эхэндээ оройтой параболын директрис нь 2х+5=0 шулуун байна.

Тэгшитгэл бичээд параболын фокусын координатыг ол.

Р
Шийдэл: Эхэндээ оройтой параболын директрис нь 2х+5=0 шулуун буюу
, дараа нь түүний фокус координаттай байна

, тиймээс хүссэн муруй нь Ox тэнхлэгийн F( тэгш хэмтэй байна. )
ба түүний мөчрүүд баруун тийш чиглэсэн (фокусны абсцисса эерэг). Тиймээс параболын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Учир нь
Тэр
параболын тэгшитгэл нь:
, түүний фокусын координатууд нь F(2.5;0) байна.

Хариулт:
; F(2.5;0)

Даалгавар No4. В(1;-2) цэгийг дайран өнгөрвөл төв нь координатын системийн эхэнд байгаа, Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй параболын тэгшитгэлийг бич.

Парабола нь Ой тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй бөгөөд координатын системийн эхэнд оройтой байдаг тул тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
. В(1;-2) цэг нь парабол дээр байрладаг тул координатууд нь параболуудыг хангадаг, өөрөөр хэлбэл.
,

Хаана
, Тиймээс
- параболын тэгшитгэл.

Хариулт:

Бодлого №5. 24 м урттай гүүрний нуман хаалга нь параболын хэлбэртэй бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байвал ол.

Параболын тоймыг зурцгаая
декарт хэлээр тэгш өнцөгт системкоординатууд Гүүрний өндрийг h гэж тэмдэглэе =24 - гүүрний нуман хаалганы урт. Дараа нь A(12;-h) P:
.

Т
А цэг хэрхэн параболад хамаарах вэ?
, тэгвэл координатууд нь параболын тэгшитгэлийг хангана. Энэ нь одоогийн координатын (x;y) оронд өгөгдсөн цэгийн координатыг параболын тэгшитгэлд орлуулах боломжтой болгодог. Тэгвэл бидэнд байна

Тэгэхээр гүүрний нуман хаалганы өндөр нь 3 м.

Бодлого No6. Тэнгэрийн хаяаны хавтгайд өнцгөөр чиглэсэн усны урсгал 2 м өндөрт гарч, хоолойны үзүүрээс 12 м-ийн зайд унадаг. Тийрэлтэт онгоцны параболик траекторийг ол.

Шийдэл: Тийрэлтэт онгоцны параболын траекторийг декартын тэгш өнцөгт координатын системтэй холбон параболын зам нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй, мөчрүүд нь доош чиглэсэн, орой нь координатын эхэнд байрлана.

Дараа нь ийм параболик траекторийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
, цэг A(6;-2) P:
Тиймээс түүний координатууд нь параболын тэгшитгэлийг хангана. Параболагийн одоогийн х, у координатын оронд А цэгийн координатыг орлуулах
, тэгш байдлыг өгдөг

. Тиймээс,
- тийрэлтэт онгоцны параболик траекторийн тэгшитгэл.

Хариулт:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Бодлого No7. Цацруулагчийн тэнхлэгийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар тусгагчийн хөндлөн огтлол нь парабол юм. Цацруулагчийн өргөн 30 см, гүн нь 20 см бол түүний тэгшитгэлийг бичнэ үү.

Хариулт:

Бодлого No8. Дэлхийн гадаргуу дээрх нүхнээс параболын салбарыг дүрсэлсэн урсгалд ус урсаж байна.
. Нүхний өндөр нь савны ирмэгээс ямар зайд урсаж газарт унах вэ

Хариулт: 3 м.

Бодлого No9. Парабол толины тэнхлэгийн огтлол нь парабол юм

"Гүн" нь 18.75 см бол толины диаметрийг тодорхойл.

Хариулт: 30 см.

Бодлого No 10. Доор шидсэн чулуу хурц өнцөгтэнгэрийн хаяаны хавтгайд хүрсэн хамгийн өндөр өндөр 16 м., Параболик замналыг дүрсэлсний дараа чулуу шидэх цэгээс 48 м-ийн өндөрт унав. Чулууны зам мөрийг ол.

Хариулт:
.

Бодлого No11 Фокус нь a) F(3;0) цэгт оршвол эхэнд оройтой параболыг ол; b) F(-2;0); в) F(0;4); d) F(0;-)

Хариулт: a)
; б)
; V)
; G)

Бодлого No12 Директрикс өгөгдсөн бол эхэнд оройтой параболыг ол: a)
; b)x=-5; в) y=3; d) y=-2;

Хариулт: a)
; б)
; V)
; G)
.

Бодлого No13. Фокусын координатыг олж парабол тус бүрийн директорын тэгшитгэлийг бич.

A)
; б)
; V)
; G)
. Эдгээр параболуудыг байгуул.

Хариулт: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3=0; в) F(0;); 2ж+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Бодлого No14. А(2;-2) ба В(1;2) цэгүүд парабол дээр хэвтэж байгаа эсэхийг шалга.

Хариулт: А байна, В биш.

Бодлого No 15. Үхрийн тэнхлэгт тэгш хэмтэй, цэгийг дайран өнгөрөх эхэнд оройтой параболын тэгшитгэлийг бич.

Хариулт:

Бодлого No16. Эхэндээ оройтой параболын тэгшитгэлийг бичвэл:

A) парабол нь дээд хагас хавтгайд ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг бөгөөд түүний фокусын параметр нь 4-тэй тэнцүү байна;

B) парабола нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доод хагас хавтгайд байрладаг бөгөөд түүний фокусын параметр нь 6-тай тэнцүү байна;

B) парабола нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй баруун хагас хавтгайд байрладаг бөгөөд түүний фокусын параметр нь 3-тай тэнцүү байна;

г) парабола нь зүүн хагас хавтгайд ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг бөгөөд түүний фокусын параметр нь 5-тай тэнцүү байна.

Хариулт a)
; б)
; V)
; G)
.

III түвшин

3.1. Гиперболын шугаманд хүрэх 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Гиперболын тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй давхцаж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

3.2. Гиперболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич

1) цэгээр дамжин өнгөрөх А(4, 1), Б(5, 2) ба C(5, 6);

2) 10-р шулуун шугамтай зэрэгцээ x – 3y + 9 = 0;

3) шулуун шугаманд перпендикуляр 10 x – 3y + 9 = 0.

Параболань координатууд нь тэгшитгэлийг хангадаг хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал юм

Параболын параметрүүд:

Цэг Ф(х/2, 0) гэж нэрлэдэг анхаарлаа төвлөрүүл парабол, хэмжээ х – параметр , цэг ТУХАЙ(0, 0) – дээд . Энэ тохиолдолд шулуун шугам OF, парабол нь тэгш хэмтэй байх нь энэ муруйн тэнхлэгийг тодорхойлдог.

Хэмжээ Хаана М(x, y) – дурын цэгпарабол гэж нэрлэдэг фокусын радиус , Чигээрээ Д: x = –х/2 – захирал (энэ нь параболын дотоод мужтай огтлолцохгүй). Хэмжээ параболын эксцентриситет гэж нэрлэдэг.

Параболагийн гол шинж чанар: параболын бүх цэгүүд нь чиглүүлэлт ба фокусаас ижил зайд байна (Зураг 24).

Координатын систем дэх түүний салбаруудын бусад чиглэлийг тодорхойлдог каноник параболын тэгшитгэлийн бусад хэлбэрүүд байдаг (Зураг 25):

Учир нь параметрийн тохиргоопарабол параметр болгон тпараболын цэгийн ординатын утгыг дараах байдлаар авч болно.

Хаана тнь дурын бодит тоо юм.

Жишээ 1.Канон тэгшитгэлийг ашиглан параболын параметр ба хэлбэрийг тодорхойлно уу.

Шийдэл. 1. Тэгшитгэл y 2 = –8xцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно ТУХАЙ Өө. Түүний мөчрүүд зүүн тийшээ чиглэсэн байдаг. Харьцуулж байна өгөгдсөн тэгшитгэлтэгшитгэлтэй y 2 = –2px, бид олдог: 2 х = 8, х = 4, х/2 = 2. Иймд фокус нь цэг дээр байна Ф(–2; 0), директрисын тэгшитгэл Д: x= 2 (Зураг 26).

2. Тэгшитгэл x 2 = –4yцэг дээр оройтой параболыг тодорхойлно О(0; 0), тэнхлэгийн тэгш хэмтэй Өө. Түүний мөчрүүд нь доошоо чиглэсэн байдаг. Энэ тэгшитгэлийг тэгшитгэлтэй харьцуулах x 2 = –2py, бид олдог: 2 х = 4, х = 2, х/2 = 1. Иймд фокус нь цэг дээр байна Ф(0; –1), директрисын тэгшитгэл Д: y= 1 (Зураг 27).

Жишээ 2.Муруйн параметр ба төрлийг тодорхойлох x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Зураг зурах.

Шийдэл.Өөрчилье зүүн талолборлох аргыг ашиглан тэгшитгэл бүтэн дөрвөлжин:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Үүний үр дүнд бид авдаг

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Энэ каноник тэгшитгэл(–4, –3) цэгт оройтой парабол, параметр х= 8, салбарууд дээш чиглэсэн (), тэнхлэг x= –4. Анхаарал төвлөрч байна Ф(–4; –3 + х/2), i.e. Ф(–4; 1) захирал Дтэгшитгэлээр өгөгдсөн y = –3 – х/2 эсвэл y= –7 (Зураг 28).

Жишээ 4.Орой нь цэг дээр байгаа параболын тэгшитгэлийг бич В(3; –2) цэг дээр анхаарлаа төвлөрүүл Ф(1; –2).

Шийдэл.Өгөгдсөн параболын орой ба фокус нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг Үхэр(ижил ординатууд), параболын мөчрүүд зүүн тийш чиглэсэн (фокусны абсцисса нь оройн абсциссагаас бага), фокусаас орой хүртэлх зай х/2 = 3 – 1 = 2, х= 4. Эндээс шаардлагатай тэгшитгэл

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) эсвэл ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Даалгаврууд бие даасан шийдвэр

I түвшин

1.1. Параболын параметрүүдийг тодорхойлж, түүнийг байгуул:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Хэрэв та дараахийг мэдэж байгаа бол параболын эхэнд оройтой тэгшитгэлийг бич.

1) парабол тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй зүүн хагас хавтгайд байрладаг ҮхэрТэгээд х = 4;

2) парабол нь тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрладаг Өөмөн цэгээр дамжин өнгөрдөг М(4; –2).

3) директрицийг 3-р тэгшитгэлээр өгөгдсөн y + 4 = 0.

1.3. Бүх цэгүүд нь (2; 0) цэг ба шулуун шугамаас ижил зайд орших муруйны тэгшитгэлийг бич. x = –2.

II түвшин

2.1. Муруйн төрөл ба параметрүүдийг тодорхойлно.

Энэ бүлгийн туршид хавтгайд тодорхой хуваарийг сонгосон гэж үздэг (доор авч үзсэн бүх тоонууд энд байна); Зөвхөн ийм масштабтай тэгш өнцөгт координатын системийг авч үздэг.

§ 1. Парабола

Параболыг уншигчид мэддэг сургуулийн курсматематикийг функцийн график болох муруй хэлбэрээр

(Зураг 76). (1)

Аливаа квадрат гурвалжны график

мөн парабола; Энэ нь координатын системийг зүгээр л (зарим OO вектороор) шилжүүлэх, өөрөөр хэлбэл хувиргах замаар боломжтой юм

функцийн график (хоёр дахь координатын системд) график (2)-тай (эхний координатын системд) давхцаж байгаа эсэхийг шалгана.

Үнэн хэрэгтээ (3) -ийг тэгш байдал (2) гэж орлуулъя. Бид авдаг

Бид коэффициентийг сонгохыг хүсч байна чөлөөт гишүүнЭнэ тэгшитгэлийн баруун талд олон гишүүнт (харьцангуй) тэгтэй тэнцүү байв. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлээс тодорхойлно

өгдөг

Одоо бид нөхцөл байдлаас тодорхойлж байна

Үүнд бид аль хэдийн олдсон утгыг орлуулна. Бид авдаг

Тиймээс, ээлжээр (3), аль нь

бид цаашаа явлаа шинэ системпараболын тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авсан координатууд

(Зураг 77).

(1) тэгшитгэл рүү буцъя. Энэ нь параболын тодорхойлолт болж чадна. Түүний хамгийн энгийн шинж чанаруудыг эргэн санацгаая. Муруй нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй: хэрэв цэг нь (1) тэгшитгэлийг хангаж байвал цэг тэгш хэмтэй цэгОрдинатын тэнхлэгтэй харьцуулахад M нь тэгшитгэлийг (1) хангадаг - муруй нь ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (Зураг 76).

Хэрэв бол парабол (1) нь абсцисса тэнхлэгтэй өвөрмөц хамааралтай дээд хагас хавтгайд байрладаг. нийтлэг цэгТУХАЙ.

Абсциссагийн үнэмлэхүй утга хязгааргүй өсөхөд ординат нь мөн хязгааргүй нэмэгддэг. Муруйн ерөнхий дүр төрхийг Зураг дээр үзүүлэв. 76, а.

Хэрэв (Зураг 76, б) бол муруй нь муруйн абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй доод хагас хавтгайд байрлана.

-аас авсан координатын шинэ системд шилжинэ хуучин солихОрдинатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг эсрэг тал руу чиглүүлбэл хуучин систем дэх y тэгшитгэлтэй парабол нь координатын шинэ системд y тэгшитгэлийг хүлээн авна. Тиймээс параболыг судлахдаа бид (1) тэгшитгэлээр өөрсдийгөө хязгаарлаж болно.

Эцэст нь тэнхлэгүүдийн нэрийг өөрчилье, өөрөөр хэлбэл ординатын тэнхлэг нь хуучин абсцисса тэнхлэг, абсцисса тэнхлэг нь хуучин ординатын тэнхлэг байх шинэ координатын системд шилжих болно. Энэхүү шинэ системд (1) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Эсвэл тоогоор тэмдэглэсэн бол хэлбэрээр

Тэгшитгэл (4)-ийг дуудна аналитик геометрпараболын каноник тэгшитгэл; Өгөгдсөн парабол (4) тэгшитгэлтэй тэгш өнцөгт координатын системийг каноник координатын систем (энэ параболын хувьд) гэж нэрлэдэг.

Одоо бид суулгах болно геометрийн утгакоэффициент Үүнийг хийхийн тулд бид цэгийг авдаг

тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон параболын фокус (4) ба шулуун d шулуун гэж нэрлэдэг

Энэ шугамыг параболын директрис (4) гэж нэрлэдэг (78-р зургийг үз).

(4) параболын дурын цэг байг. (4) тэгшитгэлээс үзэхэд М цэгийн d чиглүүлэлтийн зай нь тоо юм.

М цэгийн F фокусаас зай нь

Гэхдээ тиймээс

Тиймээс параболын бүх М цэгүүд нь түүний фокус ба чиглүүлэлтээс ижил зайд байна.

Үүний эсрэгээр (8) нөхцөлийг хангаж буй M цэг бүр парабол (4) дээр байрладаг.

Үнэхээр,

Тиймээс,

мөн хаалт нээж ижил нэр томъёог оруулсны дараа

Парабол (4) бүр нь F фокус ба энэ параболын d чиглүүлэлтээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид нотолсон.

Үүний зэрэгцээ бид (4) тэгшитгэл дэх коэффициентийн геометрийн утгыг тогтоов: тоо нь параболын фокус ба чиглүүлэлтийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Одоо F цэг ба энэ цэгийг дайрахгүй d шулууныг хавтгайд дур мэдэн өгсөн гэж үзье. Фокус F ба d директрис бүхий парабола байдгийг баталцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд d шугамтай перпендикуляр F цэгээр (Зураг 79) g шугамыг зурна; хоёр шулууны огтлолцох цэгийг D гэж тэмдэглэе; зайг (өөрөөр хэлбэл F цэг ба шулуун d шугамын хоорондох зай) -аар тэмдэглэнэ.

Шулуун g шулууныг тэнхлэг болгон эргүүлж түүн дээрх DF чиглэлийг эерэг гэж авцгаая. Энэ тэнхлэгийг тэгш өнцөгт координатын системийн абсцисса тэнхлэг болгоцгооё, түүний гарал үүсэл нь сегментийн дунд О болно.

Дараа нь d шулуун шугам мөн тэгшитгэлийг хүлээн авна.

Одоо бид сонгосон координатын системд параболын каноник тэгшитгэлийг бичиж болно.

Энд F цэг нь фокус байх ба d шулуун шугам нь параболын (4) директрис болно.

Парабола нь F цэг ба d шулуунаас ижил зайд орших М цэгүүдийн байрлал гэдгийг бид дээр тогтоосон. Тиймээс бид параболын ийм геометрийн (өөрөөр хэлбэл координатын системээс хамааралгүй) тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт. Парабол гэдэг нь зарим нэг тогтмол цэгээс (параболын "фокус") болон зарим тогтмол шугамаас (параболын "шууд") ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Параболын фокус ба директрисын хоорондох зайг -ээр тэмдэглэснээр бид өгөгдсөн параболын хувьд каноник, өөрөөр хэлбэл параболын тэгшитгэл нь канон хэлбэртэй байдаг тэгш өнцөгт координатын системийг үргэлж олж болно.

Эсрэгээр, зарим тэгш өнцөгт координатын системд ийм тэгшитгэлтэй аливаа муруй нь парабол юм (геометрийн утгаараа сая тогтоогдсон).

Параболын фокус ба директрисын хоорондох зайг фокусын параметр буюу зүгээр л параболын параметр гэж нэрлэдэг.

Параболын чиглүүлэлтийн перпендикуляр фокусыг дайран өнгөрөх шугамыг түүний фокусын тэнхлэг (эсвэл энгийн тэнхлэг) гэж нэрлэдэг; энэ нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэг юм - энэ нь параболын тэнхлэг нь координатын систем дэх абсцисса тэнхлэг бөгөөд үүнтэй харьцуулахад параболын тэгшитгэл (4) хэлбэртэй байна.

Хэрэв цэг (4) тэгшитгэлийг хангаж байвал абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй цэг мөн энэ тэгшитгэлийг хангана.

Параболын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг; Энэ нь өгөгдсөн параболын каноник координатын системийн гарал үүсэл юм.

Параболын параметрийн өөр геометрийн тайлбарыг өгье.

Параболын тэнхлэгт перпендикуляр параболын фокусаар шулуун шугам татъя; энэ нь параболыг хоёр цэгээр огтолж (79-р зургийг үз) параболын фокусын хөвч гэж нэрлэгддэг хэсгийг (өөрөөр хэлбэл, параболын директрикстэй параболын фокусаар дамжин өнгөрөх хөвчийг) тодорхойлно. Фокусын хөвчний уртын хагас нь параболын параметр юм.

Үнэн хэрэгтээ фокусын хөвчний уртын хагас нь юм үнэмлэхүй үнэ цэнэаль нэг цэгийн ординатууд, тус бүрийн абсцисса нь фокусын абсциссатай тэнцүү, i.e. Тиймээс бид цэг бүрийн ординатын хувьд

Q.E.D.

Тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя, энд . Тэнхлэгийг фокусаар дамжуулна Ф парабол ба чиглүүрт перпендикуляр байх ба тэнхлэг нь фокус ба чиглүүлэлтийн хооронд дундуур дамждаг. Фокус ба чиглүүлэлтийн хоорондох зайг тэмдэглэе. Дараа нь директорын тэгшитгэл.

Энэ тоог параболын фокусын параметр гэж нэрлэдэг. Параболын одоогийн цэгийг үзье. Гиперболын цэгийн фокусын радиусыг цэгээс директрикс хүртэлх зай гэж үзье. Дараа нь( зураг 27.)

Зураг 27.

Параболын тодорхойлолтоор. Тиймээс,

Тэгшитгэлийг квадрат болгоод:

(15)

Энд (15) нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй, эхийг дайран өнгөрөх параболын каноник тэгшитгэл юм.

Параболагийн шинж чанарыг судлах

1) Параболын орой:

Тэгшитгэл (15) нь тоогоор хангагдсан тул парабола эх үүсвэрээр дамждаг.

2) Параболын тэгш хэм:

Парабол, өөрөөр хэлбэл жинхэнэ тэгш байдал руу орцгооё. Цэг нь тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй байдаг тул парабола нь абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Параболагийн хазайлт:

Тодорхойлолт 4.2.Параболын хазгай нь нэгтэй тэнцүү тоо юм.

Учир нь параболын тодорхойлолтоор.

4) Параболын тангенс:

Параболын шүргэлтийн цэг дээрх шүргэгчийг тэгшитгэлээр тодорхойлно

Хаана ( зураг 28.)

Зураг 28.

Парабола зураг

Зураг 29.

ESO-Mathcad ашиглах:

зураг 30.)

Зураг 30.

a) МХХТ ашиглахгүйгээр бүтээх: Парабол байгуулахын тулд бид төв нь О цэг дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системийг тогтооно. нэгж сегмент. Бид фокусыг OX тэнхлэг дээр тэмдэглэдэг, учир нь бид ийм байдлаар зурж, параболын чиглүүлэгчийг зурдаг. Бид радиустай цэг дээр тойрог байгуулдаг зайтай тэнцүүшулуун шугамаас параболын директрис хүртэл. Тойрог шугамыг цэгээр огтолж байна. Бид параболыг гарал үүсэл болон цэгүүдээр дамжихаар байгуулдаг.( зураг 31.)

Зураг 31.

b) ESO-Mathcad ашиглах:

Үүссэн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна. Mathcad программд 2-р эрэмбийн мөрийг байгуулахын тулд бид тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэй болгож бууруулна. зураг 32.)

Зураг 32.

Хоёр дахь дарааллын шугамын онолын ажлыг нэгтгэн дүгнэх анхан шатны математикАсуудлыг шийдвэрлэхдээ шугамын талаархи мэдээллийг ашиглахад хялбар байх үүднээс бид 2-р эрэмбийн шугамын бүх өгөгдлийг 1-р хүснэгтэд оруулна.

Хүснэгт №1.

Анхан шатны математикийн хоёрдугаар эрэмбийн шугамууд

Хоёрдахь эрэмбийн шугамыг судлахад МХХТ-ийг ашиглах боломжууд

Орчин үеийн нийгмийн амьдралын бүхий л талыг хамарсан мэдээлэлжүүлэлтийн үйл явц нь хэд хэдэн тэргүүлэх чиглэлтэй бөгөөд үүнд мэдээж боловсролын мэдээлэлжүүлэлт багтах ёстой. Энэ нь мэдээлэл, харилцаа холбооны технологи (МХТ) ашиглан хүний ​​оюуны үйл ажиллагааг дэлхийн хэмжээнд оновчтой болгох үндсэн суурь юм.

Өнгөрсөн зууны 90-ээд оны дунд үеэс өнөөг хүртэл Орос улсад хувийн компьютер өргөн тархсан, хүртээмжтэй болж, харилцаа холбооны хэрэгсэл өргөн тархсанаар тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь боловсролын мэдээллийн технологийг боловсролын үйл явцад нэвтрүүлэх, түүнийг сайжруулах, шинэчлэх, боловсронгуй болгох боломжийг олгодог. мэдлэгийн чанар, суралцах сэдлийг нэмэгдүүлэх, суралцах хувь хүний ​​зарчмыг дээд зэргээр ашиглах. Боловсролын мэдээллийн технологи нь боловсролыг мэдээлэлжүүлэх энэ үе шатанд зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл юм.

Мэдээллийн технологи нь мэдээллийн хүртээмжийг хөнгөвчлөх, боловсролын үйл ажиллагааны хувьсах, хувьчлах, ялгах боломжийг нээж өгөөд зогсохгүй сургалтын бүх субъектуудын харилцан үйлчлэлийг шинэ хэлбэрээр зохион байгуулах, хөгжүүлэх боломжийг олгодог. боловсролын систем, үүнд оюутан боловсролын үйл ажиллагаанд идэвхтэй, эрх тэгш оролцогч байх болно.

Шинэ үүсэх мэдээллийн технологихичээлийн хүрээнд хичээлийн үр нөлөөг чанарын хувьд нэмэгдүүлэхэд чиглэсэн шинэ программ хангамж, арга зүйн цогцолбор бий болгох хэрэгцээг өдөөж байна. Тиймээс амжилттай, зорилтот хэрэглээнд зориулагдсан боловсролын үйл явцмэдээллийн технологийн хэрэгсэл, багш нар мэдэх ёстой ерөнхий тодорхойлолтПрограм хангамжийн хэрэглээний зарчим, дидактик чадамжийг судалж, дараа нь тэдний туршлага, зөвлөмжид үндэслэн тэдгээрийг боловсролын үйл явцад "бүтээнэ".

Математикийг судлах нь одоогоор хэд хэдэн онцлог, хөгжлийн бэрхшээлтэй холбоотой байдаг. сургуулийн боловсролманай улсад.

Математикийн боловсролын хямрал гэгч зүйл бий болсон. Үүний шалтгаан нь дараах байдалтай байна.

Нийгэм, шинжлэх ухааны тэргүүлэх чиглэлийг өөрчлөхөд, өөрөөр хэлбэл хүмүүнлэгийн ухааны тэргүүлэх чиглэл одоо улам бүр нэмэгдэж байна;

Сургуулийн математикийн хичээлийн тоог багасгахад;

Математикийн боловсролын агуулгыг амьдралаас тусгаарлах;

Сурагчдын мэдрэмж, сэтгэл хөдлөлд бага нөлөө үзүүлдэг.

Өнөөдөр "Сургуулийн хүүхдүүдэд, түүний дотор математикийн хичээл заахдаа орчин үеийн мэдээлэл, харилцаа холбооны технологийн боломжуудыг хэрхэн хамгийн үр дүнтэй ашиглах вэ?" Гэсэн асуулт нээлттэй хэвээр байна.

Компьютер нь "Квадрат функц" гэх мэт сэдвийг судлахад маш сайн туслагч юм, учир нь тусгай програмын тусламжтайгаар та янз бүрийн функцүүдийн графикийг барьж, функцийг судлах, огтлолцох цэгүүдийн координатыг хялбархан тодорхойлох, хаалттай дүрсүүдийн талбайг тооцоолох гэх мэт боломжтой. Жишээлбэл, 9-р ангийн алгебрийн хичээл дээр график хувиргалт (сунгах, шахах, координатын тэнхлэгийг хөдөлгөх) дээр зөвхөн барилгын царцсан үр дүнг харах боломжтой бол багш, сурагчийн дараалсан үйлдлийн динамикийг бүхэлд нь харж болно. дэлгэцийн дэлгэц дээр.

Бусадтай адилгүй компьютер техникийн хэрэгсэл, оюутанд хамгийн тохиромжтой математик загваруудыг үнэн зөв, тодорхой, сэтгэл хөдөлгөм байдлаар илчилдэг, i.e. хүүхэд практик үйлдлээрээ юуг хичээх ёстой вэ.

Математикийн багш оюутнуудад графикт шүргэгч гэдгийг итгүүлэхийн тулд хичнээн бэрхшээлийг даван туулах ёстой вэ? квадрат функцХолбоо барих цэг дээр энэ нь функцийн графиктай бараг нийлдэг. Энэ баримтыг компьютер дээр харуулах нь маш хялбар бөгөөд Үхрийн тэнхлэгийн дагуух интервалыг нарийсгаж, шүргэх цэгийн маш жижиг хэсэгт функцийн график ба шүргэгч шугам давхцаж байгааг олж мэдэхэд хангалттай. Эдгээр бүх үйлдлүүд оюутнуудын өмнө явагддаг. Энэ жишээ нь ангид идэвхтэй эргэцүүлэн бодоход түлхэц болдог. Компьютер ашиглах нь хичээл дээр шинэ материалыг тайлбарлах болон хяналтын үе шатанд хоёуланд нь боломжтой. "Миний тест" гэх мэт эдгээр програмын тусламжтайгаар оюутан өөрийн мэдлэгийн түвшинг онолын хувьд бие даан шалгаж, онол практикийн даалгавруудыг гүйцэтгэх боломжтой. Хөтөлбөрүүд нь олон талт байдлаас шалтгаалан тохиромжтой байдаг. Тэдгээрийг өөрийгөө хянах болон багшийн хяналтанд ашиглаж болно.

Математик болон компьютерийн технологийн үндэслэлтэй интеграци нь асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц, математикийн хуулиудыг ойлгох үйл явцыг илүү баялаг, гүнзгий харах боломжийг бидэнд олгоно. Нэмж дурдахад компьютер нь сурагчдын график, математик, сэтгэхүйн соёлыг төлөвшүүлэхэд туслах бөгөөд компьютерийн тусламжтайгаар та дидактик материалыг бэлтгэх боломжтой: карт, судалгааны хуудас, тест гэх мэт. Үүний зэрэгцээ хүүхдүүдэд тухайн сэдвээр бие даан тест боловсруулах боломж, энэ үеэр сонирхол, бүтээлч байдал.

Иймд математикийн хичээлд компьютерийг аль болох өргөн ашиглах шаардлага гарч байна. Мэдээллийн технологийг ашиглах нь мэдлэгийн чанарыг дээшлүүлж, квадрат функцийг судлах цар хүрээг өргөжүүлж, улмаар оюутнуудын хичээл, сэдвийн сонирхлыг хадгалах шинэ хэтийн төлөвийг олоход тусалдаг бөгөөд ингэснээр илүү сайн, илүү анхааралтай хандах болно. тэр. Өнөөдөр орчин үеийн мэдээллийн технологи нь менежментээс боловсрол хүртэлх сургуулийг бүхэлд нь шинэчлэх, боловсролын хүртээмжийг хангах хамгийн чухал хэрэгсэл болж байна.

Хавтгай дээрх шулуун ба энэ шулуун дээр байхгүй цэгийг авч үзье. БА эллипс, Мөн гиперболөгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун шугам хүртэлх зайны харьцаа нь тогтмол утга болох цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэгдмэл байдлаар тодорхойлж болно.

ε зэрэглэл. 0 1 үед - гипербола. ε параметр нь эллипс ба гиперболын аль алиных нь хазгай. Боломжтой зүйлээс эерэг утгууднэг параметр ε, тухайлбал ε = 1 нь ашиглагдаагүй болно. Энэ утга нь өгөгдсөн цэг болон өгөгдсөн шугамаас ижил зайд орших цэгүүдийн геометрийн байрлалтай тохирч байна.

Тодорхойлолт 8.1. Геометрийн газарТогтмол цэгээс тогтмол шулуунаас ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийг гэнэ парабол.

Тогтмол цэг гэж нэрлэдэг параболын фокус, мөн шулуун шугам - параболын чиглүүлэлт. Үүний зэрэгцээ энэ нь гэж үздэг параболын хазгай байдалнэгтэй тэнцүү.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл парабола нь директрикстэй перпендикуляр шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй бөгөөд параболын фокусыг дайран өнгөрдөг. Энэ шулуун шугамыг параболын тэгш хэмийн тэнхлэг буюу энгийнээр нэрлэдэг параболын тэнхлэг. Парабол нь тэгш хэмийн тэнхлэгээ нэг цэгээр огтолдог. Энэ цэгийг нэрлэдэг параболын орой. Энэ нь параболын фокусыг тэнхлэгийнх нь шууд тэнхлэгтэй огтлолцох цэгтэй холбосон сегментийн дунд байрладаг (Зураг 8.3).

Параболын тэгшитгэл.Параболын тэгшитгэлийг гаргахын тулд бид хавтгай дээр сонгоно гарал үүсэлпараболын орой дээр, зэрэг x тэнхлэг- фокусын байрлалаар тодорхойлогддог параболын тэнхлэг (8.3-р зургийг үз). Энэ координатын системийг нэрлэдэг канониктухайн параболын хувьд, харгалзах хувьсагч нь байна каноник.

Фокусаас чиглүүлэлт хүртэлх зайг p-ээр тэмдэглэе. Түүнийг дууддаг параболын фокусын параметр.

Дараа нь фокус нь F(p/2; 0) координаттай байх ба d чиглүүлэгчийг x = - p/2 тэгшитгэлээр тодорхойлно. F цэг ба d шулуунаас ижил зайд орших M(x; y) цэгүүдийн байрлалыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

(8.2) тэгшитгэлийг дөрвөлжин болгож, ижил төстэйг үзүүлье. Бид тэгшитгэлийг авдаг

гэж нэрлэдэг каноник параболын тэгшитгэл.

Дөрвөлжин болгохыг анхаарна уу энэ тохиолдолд - эквивалент хөрвүүлэлттэгшитгэл (8.2), учир нь тэгшитгэлийн хоёр тал нь сөрөг биш, мөн радикалын доорх илэрхийлэл.

Параболагийн төрөл.Хэрэв бид мэдэгдэж байгаа хэлбэр нь y 2 = x параболыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу 1/(2р) коэффициентээр шахсан бол бид параболыг авна. ерөнхий үзэл(8.3) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Жишээ 8.2.Хэрэв параболын каноник координат нь (25; 10) цэгээр дамжин өнгөрвөл фокусын координат ба директрисын тэгшитгэлийг олъё.

IN каноник координатуудпараболын тэгшитгэл нь y 2 = 2px. (25; 10) цэг нь парабол дээр байгаа тул 100 = 50p, тиймээс p = 2. Иймд y 2 = 4x нь параболын каноник тэгшитгэл, x = - 1 нь түүний директорын тэгшитгэл ба цэг дээр төвлөрч байна (1; 0).

Параболын оптик шинж чанар.Парабола нь дараах байдалтай байна оптик шинж чанар. Хэрэв гэрлийн эх үүсвэрийг параболын фокус дээр байрлуулсан бол бүх зүйл гэрлийн туяапараболаас тусгасны дараа тэдгээр нь параболын тэнхлэгтэй зэрэгцээ байх болно (Зураг 8.4). Оптик шинж чанар нь параболын аль ч цэгт M байна гэсэн үг юм хэвийн векторшүргэгч нь фокусын радиус MF ба абсцисса тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг.