Геометр. Цэгүүдийн геометрийн байршил

Сонгодог тодорхойлолтмагадлал нь анхан шатны үйл явдлын тухай ойлголттой холбоотой. Бид ижил магадлалтай A i үйл явдлуудын тодорхой олонлог Ω-ийг авч үздэг бөгөөд энэ нь хамтдаа өгдөг найдвартай үйл явдал. Тэгээд бүх зүйл сайхан байна: үйл явдал бүрийг энгийн зүйл болгон хувааж, дараа нь түүний магадлалыг тооцдог.

Гэсэн хэдий ч анхны олонлог Ω (өөрөөр хэлбэл бүх энгийн үйл явдлын орон зай) үргэлж төгсгөлтэй байдаггүй. Жишээлбэл, бид Ω-ийг авч болно хязгаарлагдмал багцхавтгай дээрх цэгүүд эсвэл шулуун шугамын сегмент.

А үйл явдлын хувьд бид Ω бүсийн аль ч дэд бүсийг авч үзэж болно. Жишээлбэл, хавтгай дээрх анхны зургийн доторх дүрс эсвэл шулуун шугамын анхны сегмент дотор хэвтэж буй сегмент.

Ийм олонлог дээрх энгийн үзэгдэл нь зөвхөн цэг байж болохыг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ хэрэв олонлог нэгээс олон цэгийг агуулж байвал түүнийг хоосон бус хоёр дэд олонлогт хувааж болно. Иймээс ийм багц нь аль хэдийн энгийн биш юм.

Одоо магадлалыг тодорхойлъё. Энд бүх зүйл хялбар байдаг: тус бүрийг "цохих" магадлал тодорхой цэгтэгтэй тэнцүү. Үгүй бол бид ямар ч тохиолдолд P (Ω) = 1-ээс их ижил эерэг нөхцлийн хязгааргүй нийлбэрийг (эцэст нь анхан шатны үйл явдлууд ижил магадлалтай) авдаг.

Тиймээс, Ω хязгааргүй мужуудын энгийн үйл явдлууд нь бие даасан цэгүүд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгэнд нь "орох" магадлал нь тэг юм. Харин Ω-тэй адил элементар бус үйл явдлын магадлалыг хэрхэн хайх вэ хязгааргүй олонлогоноо? Тиймээс бид геометрийн магадлалын тодорхойлолтод ирлээ.

Шугаман эсвэл хавтгай дээрх олон Ом цэгүүдийн дэд олонлог болох А үйл явдлын геометрийн магадлал нь А дүрсийн талбайг бүх Ω олонлогийн талбайтай харьцуулсан харьцаа юм.

Даалгавар. Бай нь радиустай тойрог хэлбэртэй 4. Онох магадлал хэд вэ? баруун тал, хэрвээ байны аль нэг цэгийг онох нь адил магадлалтай бол? Энэ тохиолдолд зорилгоо алдсаныг хасна.

Зургийг харцгаая: баруун хагас тойргийн аль ч цэг бидэнд тохирох болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ хагас тойргийн S(A) талбай нь бүх тойргийн талбайн яг тал хувь нь тул бидэнд:

Таны харж байгаагаар геометрийн магадлалын хувьд төвөгтэй зүйл байхгүй. Гэсэн хэдий ч Москвад ч гэсэн олон багш нар байдаг дээд математикТэд энэ сэдвийг нэмэлт гэж үздэг тул энэ сэдвээс зайлсхийхийг хичээдэг. Үүний үр дүнд материалын буруу ойлголт, үүний үр дүнд магадлалын онолын шалгалтын асуудал үүсдэг.

Энэ нь юу болохыг төсөөлөхийн тулд геометрийн магадлал, хуудас цаас аваад дурын дүрс зур. Гурвалжин, дөрвөлжин эсвэл тойрог - юу ч байсан. Дараа нь хурц, сайн ирлэсэн харандаа авч, зургийн аль ч хэсэгт нудлаарай. Энэ энгийн үйл явцыг хэд хэдэн удаа давтана. Хэрэв бид зурагны гаднах цохилтыг хасвал дараахь зүйлийг авна.

1. Дүрсийг цохих магадлал нь P (Ω) = 1. Энэ нь нэлээд логик юм, учир нь бидний дүрс бүхэлдээ энгийн үзэгдлийн орон зай Ω юм;
2. Хэрэв зарим нэг цэг ( анхан шатны үйл явдал) урьдчилан тэмдэглэвэл түүнийг цохих магадлал тэг болно. Хэдийгээр та зориудаар "онилсон" ч гэсэн оновчтой цохилт өгөхгүй. Алдаа нь миллиметрийн мянганы нэг байх болно, гэхдээ тэг биш;
3. Одоо хоёр цэгийг авч үзье. Тэдний аль нэгийг нь онох магадлал тэг хэвээр байна. Үүний нэгэн адил, хэрэв та 3 оноо авбал. Эсвэл тав - энэ нь хамаагүй.

Үүнийг туршлага харуулж байна эцсийн дүнтэг нөхцөл нь үргэлж тэг байна. Гэхдээ хязгааргүй олон нэр томъёо байх үед юу болох вэ? Энд нөхцөл байдал тийм ч тодорхой биш бөгөөд гурван сонголт байж болно.

1. Хязгаарлагдмал багц цэгүүдийн хувьд нийлбэр нь тэг байна. Хэрэв бид туршлагаасаа хязгааргүй цэгүүдийг тэмдэглэвэл тэдгээрийн нэгдэлд орох магадлал тэг хэвээр байна;
2. Нийлбэр нь зарим эерэг тоотой тэнцүү байна - энэ тохиолдол нь эхнийхээс эрс ялгаатай. Эндээс геометрийн магадлал үүсдэг;
3. Нийлбэр нь хязгааргүйтэй тэнцүү - ийм зүйл тохиолддог, гэхдээ бид үүнийг одоо сонирхохгүй байна.

Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? Үүсэх механизм эерэг тоонуудмөн хязгааргүй нь олонлогийн тоолох тухай ойлголттой холбоотой. Үүнээс гадна та Lebesgue хэмжүүр гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та математикийн чиглэлээр сурч байгаа бол энэ мэдлэг танд үнэхээр хэрэгтэй.

Хичээлийн зорилго:

• Боловсрол: шоу шинэ аргацэгүүдийн геометрийн байршлыг бий болгох асуудлыг шийдвэрлэх; Асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж сур.
• Хөгжүүлэх: харааны хөгжил уран сэтгэмж; танин мэдэхүйн сонирхол.
• Боловсрол: ажил төлөвлөх, эрэл хайгуул хийх чадварыг хөгжүүлэх оновчтой арга замуудтүүний хэрэгжилт, үзэл бодлоо үндэслэлтэйгээр хамгаалах, үр дүнг шүүмжлэлтэй үнэлэх чадвар.

Хичээлийн зорилго:

• Шинэ материалыг судлах.
• Сурагчдын асуудал шийдвэрлэх чадварыг шалгах.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

1. Тодорхойлолт.
2. Жишээ 1.
3. Жишээ 2.
4. Жишээ 3.
5. Онолын хэсэг.
6. Ерөнхий ойлголтууд.

Танилцуулга.

Математикийн салбар дахь эртний Египет, Вавилоны соёлыг Грекчүүд үргэлжлүүлэв. Тэд зөвхөн өөрсдийн геометрийн бүх туршлагад суралцаад зогсохгүй илүү хол явсан. Эрдэмтэд эртний Грекхуримтлагдсан геометрийн мэдлэгийг системчилж, улмаар дедуктив шинжлэх ухаан болох геометрийн үндэс суурийг тавьж чадсан.

Грекийн худалдаачид зүүн математиктай танилцсан худалдааны замууд. Гэхдээ дорно дахины хүмүүс онолд бараг оролцдоггүй байсан тул Грекчүүд үүнийг хурдан олж мэдэв. Тэд асуулт асуув: яагаад ижил өнцөгт гурвалжинд суурийн хоёр өнцөг тэнцүү байна вэ? Яагаад гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү вэ? ижил үндэслэлээрболон өндөр?

Харамсалтай нь тайлбарласан анхны эх сурвалж хадгалагдаагүй байна эрт үеГрекийн математикийн хөгжил. Зөвхөн МЭӨ 4-р зууны үеийн сэргээн засварласан бичвэрүүд болон зохиолчдын бүтээлийн орчуулгаар баялаг Арабын эрдэмтдийн бүтээлүүдийн ачаар л эртний Грек, бидэнд Евклид, Архимед, Аполлониус болон бусад бүтээлүүд бий агуу хүмүүс. Гэхдээ эдгээр бүтээлүүд аль хэдийн бүрэн хөгжсөн математикийн шинжлэх ухааныг харуулж байна.

Эртний Грекийн математик нь МЭӨ 6-р зуунаас эхлэн хөгжлийн урт бөгөөд төвөгтэй замыг туулсан. ба 6-р зуун хүртэл. Шинжлэх ухааны түүхчид мэдлэгийн шинж чанарын дагуу хөгжлийн гурван үеийг ялгадаг.

1. Хувь хүний ​​хуримтлал математикийн баримтуудба асуудлууд (МЭӨ 6 - 5Б.Б.).
2. Олж авсан мэдлэгийг системчлэх (МЭӨ 4-3-р зуун).
3. Тооцооллын математикийн үе (МЭӨ 3-р зуун - 6-р зуун).

Геометрийн цэгүүдийн байршил (GLP).

Тодорхойлолт.

Геометрийн газар- геометрийн тухай хуучин ном зохиолд хэрэглэгдэж байсан нэр томъёо боловсролын уран зохиол, зааж өгөх зарим нөхцөлийг хангасан цэгүүдийн багц, дүрмээр бол геометрийн шинж чанартай. Жишээ нь: Өгөгдсөн А ба В хоёр цэгээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал перпендикуляр биссектрис AB сегмент рүү. Заримдаа тэд шулуун шугам болон бусад дүрсүүдийн геометрийн байршлын тухай ярьдаг.

Энэ нэр нь цэгүүд байрладаг "газар" гэсэн шугамын санаатай холбоотой юм.

Геометрийн хувьд өгөгдсөн томьёо эсвэл нөхцөлийн дагуу хөдөлж буй цэгийн замнал. Жишээлбэл, тойрог нь хавтгай дээр хөдөлж буй цэгийн байрлал бөгөөд түүний байрлалаас төв хүртэлх зай өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Геометрийн цэгүүдийн байршил (GMT)тодорхой нөхцөлийг хангасан бүх цэгүүдийг багтаасан цэгүүдийн багц ба зөвхөн тэдгээрийг.

Геометрийн цэгүүдийн байршил (GMT)- геометрийн дүрсийг тодорхой шинж чанартай цэгүүдийн багц гэж тодорхойлоход ашигладаг математикийн ярианы дүрс.

Жишээ.

• Сегментийн перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.
• Тойрог нь тухайн цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлалыг тойргийн төв гэж нэрлэдэг.
• Парабол гэдэг нь нэг цэгээс (фокус гэж нэрлэдэг) ба шулуунаас (директор гэж нэрлэдэг) ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Жишээ 1.

Аливаа сегментийн перпендикуляр медиан нь энэ сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал (өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүдийн багц) юм. PO нь AB ба AO = OB ба перпендикуляр байг:

Дараа нь медиан перпендикуляр PO дээр байрлах дурын P цэгээс AB сегментийн А ба В төгсгөл хүртэлх зай нь ижил бөгөөд d-тэй тэнцүү байна.

Тиймээс сегментийн дунд перпендикуляр цэг бүр байна дараах өмч: энэ нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна.

Жишээ 2.

Өнцгийн биссектриса нь түүний талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Жишээ 3.

Тойрог нь төвөөсөө ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал (өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүдийн багц) юм (зураг дээр эдгээр цэгүүдийн аль нэгийг харуулав - A).

Аккорд, тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөхийг (жишээлбэл, BC, 1-р зураг) диаметр гэж нэрлэдэг бөгөөд d эсвэл D гэж тэмдэглэнэ. Диаметр- Энэ хамгийн том хөвч, хоёр радиустай тэнцүү (d = 2 r).

Тангенс. PQ секант (Зураг 2) тойргийн K ба M цэгүүдийг дайран өнгөрлөө гэж бодъё. Мөн M цэг нь тойргийн дагуу хөдөлж, K цэгт ойртож байна гэж үзье. Дараа нь PQ цэг нь K цэгийг тойрон эргэлдэж, байрлалаа өөрчилнө. М цэг K цэг рүү ойртох тусам PQ хэсэг нь AB хязгаарлах байрлал руу чиглэх болно. AB шугамыг К цэг дээрх тойрогтой шүргэгч гэж нэрлэдэг. K цэгийг шүргэлтийн цэг гэнэ. Тангенс ба тойрог нь зөвхөн нэгтэй нийтлэг цэг- холбоо барих цэг.

Тангенсийн шинж чанарууд.

1. Тойрог шүргэгч нь контактын цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна (AB нь OK-д перпендикуляр, Зураг 2).
2. Тойргийн гаднах цэгээс нэг тойрог руу хоёр шүргэгч зурж болно; тэдгээрийн сегментүүд AB=AC-тай тэнцүү байна (Зураг 3).

Сегмент– энэ нь ACB нум болон харгалзах AB хөвчөөр хязгаарлагдсан тойргийн хэсэг юм (Зураг 4). AB хөвчний дундаас ACB нумантай огтлолцох цэг хүртэл татсан перпендикуляр CD-ийн уртыг хэрчмийн өндөр гэнэ.

Тойрог дахь өнцөг.

Төвийн өнцөг нь хоёр радиусаас үүссэн өнцөг юм (∠AOB, Зураг 5). AB ба АС хоёр хөвчийг нийтлэг цэгээс нь татсан өнцгийг бичээстэй өнцөг гэнэ (∠BAC, Зураг 4). Нэг нийтлэг цэгээс татсан AB ба АС хоёр шүргэгчээс үүссэн өнцгийг хязгаарласан өнцөг гэнэ (∠BAC, Зураг 3).

Тойргийн элементүүдийн хоорондын хамаарал.

Бичсэн өнцөг(∠ABC, Зураг 7) хагастай тэнцүүижил нуман дээр тулгуурласан төв өнцөг AmC (∠AOC, Зураг 7). Тиймээс ижил нуман (AmC, 7-р зураг) дээр суурилсан бүх бичээстэй өнцөг (Зураг 7) тэнцүү байна. Тэгээд тэрнээс хойш төв өнцөгнумантай ижил тооны градусыг агуулна (AmC, Зураг 7), дараа нь ямар ч бичээстэй өнцгийг түүний тулгуурласан нумын хагасаар хэмждэг (манай тохиолдолд AmC).

Хагас тойрог (∠APB, ∠AQB, ..., 8-р зураг) дээр үндэслэсэн бүх бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Булан(∠AOD, Зураг 9), хоёр хөвчөөр (AB ба CD) үүссэн, түүний талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумуудын хагас нийлбэрээр хэмжигддэг: (AnD + CmB) / 2.

Хоёр секантын (AO ба OD) үүссэн өнцгийг (∠AOD, Зураг 10) түүний талуудын хооронд бэхлэгдсэн нумын хагасын зөрүүгээр хэмждэг: (AnD – BmC) / 2.

Шүргэгч ба хөвч (AB ба CD) үүсгэсэн өнцгийг (∠DCB, Зураг 11) дотор нь агуулагдах нумын хагасаар хэмждэг: CmD / 2.

Тангенс ба секантын (CO ба BO) үүссэн өнцгийг (∠BOC, Зураг 12) түүний талуудын хоорондох нумын хагасын зөрүүгээр хэмждэг: (BmC – CnD) / 2.

Хоёр шүргэгчээр (CO ба AO) үүссэн хязгаарлагдмал өнцгийг (∠AOC, Зураг 12) түүний талуудын хоорондох нумын хагасын зөрүүгээр хэмждэг: (ABC – CDA) / 2.

Хөвчний сегментүүдийн (AB ба CD, 13-р зураг эсвэл 14-р зураг) огтлолцлын цэгээр хуваагдсан бүтээгдэхүүнүүд нь тэнцүү байна: AO · BO = CO · DO.

Шүргэгчийн квадрат нь секант ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна (Зураг 12): OA 2 = OB · OD. Энэ өмчийг гэж үзэж болно онцгой тохиолдол 14-р зураг.

Аккорд(AB , Зураг 15) , диаметртэй перпендикуляр( CD) , Охагаст: AO = OB.

Цагаан будаа. 15

Сонирхолтой баримт:

Пи-баярын баярын мэнд хүргэе.

Энгийнээр хэлэхэд шинжлэх ухааны хэл, "Pi" тоо нь тойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа юм. Энэ нь энгийн зүйл мэт боловч эрт дээр үеэс математикчдын сэтгэлийг түгшээж ирсэн. Тэгээд санаа зовсоор л байна. Эрдэмтэд 20 орчим жилийн өмнө энэ өдрийг тэмдэглэхээр тохиролцсон юм. Тэд бүх дэвшилтэт нийгэмлэгийг баярт нэгдэхийг уриалав. Тэр нэгдэж: дугуй пи-рог идэж, шээж, үргэлж Пи-во иддэг бөгөөд уулзахдаа Пи дуугардаг.

Фенүүд Пигийн шинж тэмдгийг санахын тулд өрсөлдөх болно. Мөн тэд санах ойноос 68,890 тэмдэгтийг алдаагүй нэрлэсэн 24 настай Хятад оюутан Лю Чаогийн амжилтыг давахыг хичээх болно. Түүнд 24 цаг 4 минут зарцуулсан.

Баярыг 3-р сарын 14-нд явуулахаар төлөвлөж байгаа бөгөөд энэ нь Америкийн бичгээр 3.14, өөрөөр хэлбэл Пигийн эхний гурван оронтой адил юм.
Домогт өгүүлснээр Вавилоны тахилч нар "Пи" тоог мэддэг байжээ. Бабелийн цамхаг барихад ашигласан. Гэвч тэд түүний үнэ цэнийг нарийн тооцоолж чадаагүй тул төслийг дуусгаж чадаагүй юм. "Пи" тооны тэмдгийг анх 1706 онд математикч Уильям Жонс зохиолдоо ашигласан байдаг. Гэхдээ энэ нь Шведийн математикч Леонхард Эйлерийн хүчин чармайлтын ачаар 1737 оноос хойш үнэхээр үндэслэсэн юм.

Баярыг тэмдэглэх санаа надад төрсөн Америкийн физикчЛарри Шоу.
"Пи" тоонд хэдэн аравтын бутархай байдаг вэ гэсэн асуултад яг тодорхой хариулт байдаггүй. Хамгийн магадлалтай тэд хязгааргүй тоо. А гол онцлогЭдгээр тэмдгүүдийн дараалал давтагдахгүй байх явдал юм. Өнөөдөр 12,411 их наяд нь мэдэгдэж байна. Судалгаанд хамрагдсан 500 тэрбум. Мөн давталт олдсонгүй.

Зарим алдартай физикч, математикч, жишээлбэл Дэвид Бэйли, Питер Борувин, Саймон Плоуфф нарын хэлснээр хэн ч тэднийг хэзээ ч олохгүй - давталт. Наад зах нь орчлон ертөнцийг бүхэлд нь шинж тэмдгээр бич. Тийм ээ, ядаж хичнээн Орчлон ертөнц... Мөн эрдэмтэд үүнээс ямар нэгэн далд ид шидийн үзлийг олж хардаг. "Пи" тоо нь эцэс төгсгөлгүй анхдагч эмх замбараагүй байдлыг кодлодог гэж үздэг бөгөөд энэ нь хожим эв нэгдэл болсон. Эсвэл нууцлаг мэдээлэл.

Асуултууд:

1. Тойрог, тойргийн тодорхойлолтыг томъёолно уу?
2. Та ямар шинэ ойлголттой танилцсан бэ?
3. Цэгүүдийн байрлалыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
4. Диаметр ба радиус хоёрын ялгаа юу вэ?
5. Гурвалжингаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ?

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт:

1. "Харааны геометр" сэдвээр хичээл
2. Савин А.П. Геометрийн газруудын арга / Нэмэлт сургалтматематикийн хувьд: Заавар 7-9-р ангийн хувьд ахлах сургууль. Comp. I.L. Никольская. – М.: Гэгээрэл, х. 74.
3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометр: 7-9-р ангийн сурах бичиг боловсролын байгууллагууд. – М.: Мнемосин, 2005, х. 84.
4. Шарыгин И.Ф. Геометр. 7-9-р анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг боловсролын байгууллагууд. – М .: тоодог, х. 76.
5. Мазур К.И. "М. И. Сканавигийн найруулсан түүврийн математикийн өрсөлдөөний гол асуудлуудыг шийдвэрлэх нь"

Хичээл дээр ажилласан:

Самилина М.В.

Потурнак С.А.

Владимир ЛАГОВСКИЙ

талаар асуулт асуу орчин үеийн боловсрол, санаагаа илэрхийлэх эсвэл тулгамдсан асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой Боловсролын форум, хаана байна олон улсын түвшиндшинэлэг бодол санаа, үйл ажиллагааны боловсролын зөвлөл хуралдаж байна. Бүтээсэн блог,Та чадварлаг багшийн статусаа ахиулахаас гадна ирээдүйн сургуулийн хөгжилд жинтэй хувь нэмэр оруулах болно. Боловсролын удирдагчдын холбоодээд зэрэглэлийн мэргэжилтнүүдэд үүд хаалгыг нээж, дэлхийн шилдэг сургуулиудыг бий болгоход хамтран ажиллахыг урьж байна.

Геометробъектын орон зайн харилцаа, хэлбэрийг судалдаг шинжлэх ухаан юм.

Евклидийн геометр- Энэ геометрийн онол, Евклидийн элементүүдэд анх заасан аксиомын систем дээр үндэслэсэн.

Лобачевскийн геометр (гипербол геометр)- Лобачевскийн параллель шугамын аксиомоор солигдсон параллель шугамын аксиомыг эс тооцвол ердийн Евклидийн геометртэй ижил үндсэн суурь дээр үндэслэсэн геометрийн онол бол Евклидийн бус геометрүүдийн нэг юм.

Нэг төгсгөлдөө хязгаарлагдмал, нөгөө талдаа хязгааргүй шулуун шугамыг туяа гэнэ.

Шулуун шугамын хоёр талдаа хүрээлэгдсэн хэсгийг хэрчм гэнэ.

Буланнь нэг цэгээс (өнцгийн орой) гарах хоёр цацраг (өнцгийн талууд) -аас үүссэн геометрийн дүрс юм. Өнцгийг хэмжих хоёр нэгж байдаг: радиан ба градус. 90 ° өнцгийг зөв өнцөг гэж нэрлэдэг; 90 ° -аас бага өнцгийг хурц гэж нэрлэдэг; 90°-аас дээш өнцгийг мохоо гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн өнцөг- эдгээр нь нийтлэг оройтой өнцөг юм нийтлэг тал; нөгөө хоёр тал нь бие биенийхээ үргэлжлэл юм. нийлбэр зэргэлдээ булангууд 180 ° -тай тэнцүү. Босоо өнцөг- эдгээр нь нийтлэг оройтой хоёр өнцөг бөгөөд нэг талын талууд нь нөгөөгийн талуудын үргэлжлэл юм.

Өнцгийн биссектрисаөнцгийг хоёр хуваасан туяа гэж нэрлэдэг.

Нэг хавтгайд хэвтэж, хэр удаан үргэлжилсэн огтлолцдоггүй хоёр шулууныг параллель гэнэ. Нэг шулуунтай параллель бүх шугамууд хоорондоо параллель байна. Нэг шулууны бүх перпендикулярууд хоорондоо параллель байх ба эсрэгээр параллель шулуунуудын аль нэгэнд перпендикуляр шугам нь бусадтай перпендикуляр байна. Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох перпендикуляр сегментийн урт нь тэдгээрийн хоорондох зай юм. Хоёр зэрэгцээ шугам гурав дахь шугамтай огтлолцох үед найман өнцөг үүсдэг бөгөөд үүнийг хосоор нь нэрлэдэг. харгалзах өнцөг(эдгээр өнцөг нь хосоороо тэнцүү); хөндлөн хэвтсэн дотоод өнцөг (тэдгээр нь хос хосоороо тэнцүү); хөндлөн хөндлөн өнцөг (тэдгээр нь хосоороо тэнцүү); дотоод нэг талт өнцөг (тэдгээрийн нийлбэр нь 180 °); гадаад нэг талт өнцөг (тэдгээрийн нийлбэр нь 180 °).

Фалесийн теорем. Өнцгийн талууд параллель шулуун шугамуудтай огтлолцох үед өнцгийн талууд хуваагдана пропорциональ сегментүүд.

Геометрийн аксиомууд. Харъяаллын аксиом: Хавтгай дээрх дурын хоёр цэгээр дамжуулан та шулуун шугам, үүнээс гадна зөвхөн нэгийг зурж болно. Эмх цэгцийн аксиом: Шугаман дээр байрлах дурын гурван цэгийн дунд хамгийн ихдээ нэг цэг нөгөө хоёрын хооронд оршдог.

Тохирлын аксиом (тэгш байдал)хэрчмүүд ба өнцөг: хэрвээ хоёр сегмент (өнцөг) гурав дахь хэсэгтэй тохирч байвал тэдгээр нь хоорондоо тохирч байна. Зэрэгцээ шугамын аксиом: шугамын гадна байрлах дурын цэгээр дамжуулан та өгөгдсөнтэй параллель өөр шугам, үүнээс гадна зөвхөн нэг шугам зурж болно.

Тасралтгүй байдлын аксиом (Архимедийн аксиом): дурын хоёр AB ба CD сегментийн хувьд АВ шулуун дээр хэвтэж буй A1, A2, ..., An цэгүүдийн хязгаарлагдмал олонлог байдаг бөгөөд ингэснээр AA1, A1A2, ... хэрчмүүд байна. , An-1An нь CD сегменттэй тохирч, В цэг нь А ба Ан хоёрын хооронд байрладаг.

Сегментүүдийн битүү гинжин хэлхээнээс үүссэн хавтгай дүрсийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Өнцгийн тооноос хамааран олон өнцөгт нь гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт байж болно. Уртуудын нийлбэрийг периметр гэж нэрлэх ба p-ээр тэмдэглэнэ.
Хэрэв бүх диагональ нь олон өнцөгт дотор байвал түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. нийлбэр дотоод булангууд гүдгэр олон өнцөгтнь 180°*(n-2)-тай тэнцүү бөгөөд n нь олон өнцөгтийн өнцгийн (эсвэл талуудын) тоо юм.

Гурвалжиннь гурван тал (эсвэл гурван өнцөг) бүхий олон өнцөгт юм. Хэрэв гурван өнцөг нь хурц байвал энэ нь хурц гурвалжин болно. Хэрэв өнцгүүдийн аль нэг нь зөв байвал энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно; зөв өнцгийг үүсгэдэг талуудыг хөл гэж нэрлэдэг; эсрэг тал зөв өнцөг, гипотенуз гэж нэрлэдэг. Хэрэв аль нэг өнцөг нь мохоо бол энэ нь мохоо гурвалжин болно. Гурвалжин нь хоёр тал нь тэнцүү бол тэгш өнцөгт болно. Гурвалжин нь бүх талууд нь тэнцүү бол тэгш өнцөгт болно.

IN зөв гурвалжиндараах харилцаанууд хүчинтэй байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай:

Бичсэн тойргийн радиус:

Дурын гурвалжинд:

Хэзээ ч ердийн олон өнцөгтТа тойрог бичиж, тойргийг дүрсэлж болно:

Энд a - тал, n - олон өнцөгтийн талуудын тоо, R - хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, r - бичээстэй тойргийн радиус (энгийн олон өнцөгтийн үг).

Энгийн олон өнцөгтийн талбай:

Хажуу тал ба диагональуудын уртыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Гурвалжны үндсэн шинж чанарууд:

• эсрэг том талхудлаа илүү том өнцөгба эсрэгээр;
• эсрэг талын тэнцүү талууд хэвтэж байна тэнцүү өнцөгба эсрэгээр;
• гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 °;
• гурвалжны нэг талыг үргэлжлүүлснээр бид гаднах өнцгийг олж авдаг. Гадаад булангурвалжин нийлбэртэй тэнцүү байнатүүнтэй зэргэлдээгүй дотоод булангууд;
• гурвалжны аль ч тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага ба тэдгээрийн ялгаанаас их байна.

Гурвалжин тэнцүү байх шинж тэмдэг: гурвалжин тэнцүү байвал тэнцүү байна:

• хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
• хоёр булан ба тэдгээрийн зэргэлдээ тал;
• гурван тал.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шалгуур: Дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин тэнцүү байна.

• хөл нь тэнцүү;
• нэг гурвалжны хөл ба гипотенуз нь нөгөө гурвалжны хөл ба гипотенузтай тэнцүү;
• Нэг гурвалжны гипотенуз ба хурц өнцөг нь гипотенуз ба тэнцүү байна хурц буланөөр;
• нэг гурвалжны хөл ба зэргэлдээх хурц өнцөг нь нөгөө гурвалжны хөл ба зэргэлдээх хурц өнцөгтэй тэнцүү;
• нэг гурвалжны хөл ба эсрэг талын хурц өнцөг нь хөл ба нөгөө гурвалжны эсрэг талын хурц өнцөгтэй тэнцүү байна.

Гурвалжны өндөр нь аль ч оройгоос эсрэг тал руу (эсвэл түүний өргөтгөл) татсан перпендикуляр юм. Энэ талыг гурвалжны суурь гэж нэрлэдэг. Гурвалжны гурван өндөр нь үргэлж нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг гурвалжны ортоцентр гэж нэрлэдэг. Цочмог гурвалжны ортот төв нь гурвалжны дотор байрладаг ба ортот төв нь гурвалжны дотор байрладаг. мохоо гурвалжин- гадаа; Тэгш өнцөгт гурвалжны орто төв нь зөв өнцгийн оройтой давхцдаг.

Гурвалжны өндрийн томъёо:

Медиан- энэ нь гурвалжны аль ч оройг эсрэг талын голд холбосон сегмент юм. Гурвалжны гурван медиан нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь үргэлж гурвалжны дотор байрладаг бөгөөд таталцлын төв юм. Энэ цэг нь голч бүрийг оройноос эхлэн тоолоход 2:1 харьцаагаар хуваана.

Биссектрис- энэ нь оройноос огтлолцох цэг хүртэлх өнцгийн биссектрисын сегмент юм эсрэг тал. Гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь үргэлж гурвалжны дотор байрладаг ба бичээстэй тойргийн төв юм. Бисектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.
Гурвалжны биссектрисын томъёо:

Медиан перпендикуляр- энэ нь сегментийн (хажуугийн) дунд цэгээс татсан перпендикуляр юм. Гурвалжны гурван медиан перпендикуляр нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь тойргийн төв юм. IN хурц гурвалжинэнэ цэг нь гурвалжин дотор байрладаг; мохоо - гадна талд; тэгш өнцөгт хэлбэрээр - гипотенузын дунд. Ортоцентр, хүндийн төв, хүрээлэгдсэн тойргийн төв ба бичээстэй тойргийн төв нь зөвхөн тэгш талт гурвалжинд давхцдаг.

Пифагорын теорем. Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: c2 = a2 + b2.

IN ерөнхий тохиолдол(Тийм дурын гурвалжин) бидэнд: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, энд C нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.

Дөрвөн өнцөгт- Гурав нь нэг шулуун дээр ороогүй дөрвөн цэг (орой) ба тэдгээрийг холбосон дөрвөн дараалсан сегмент (хажуу тал) -аас бүрдэх дүрс, огтлолцох ёсгүй.

Параллелограммнь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Параллелограммын аль ч хоёр эсрэг талыг түүний суурь гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн хоорондох зайг өндөр гэнэ.

Параллелограммын шинж чанарууд:

• параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү;
• параллелограммын эсрэг өнцөг нь тэнцүү;
• Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваана;
• Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний дөрвөн талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Параллелограммын талбай:

Параллелограмм дотор бичсэн тойргийн радиус:

Тэгш өнцөгтбүх өнцөг нь 90°-тай тэнцүү параллелограмм юм.

Тэгш өнцөгтийн үндсэн шинж чанарууд.
Тэгш өнцөгтийн талууд нь мөн түүний өндөр юм.
Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү байна: AC = BD.

Тэгш өнцөгтийн диагоналын квадрат нь түүний талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү (Пифагорын теоремын дагуу).

Тэгш өнцөгт талбай: S = ab.

Тэгш өнцөгтийн диаметр:

Тэгш өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус:

Ромб бол бүх талууд тэнцүү параллелограмм юм. Ромбын диагональууд нь харилцан перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн өнцгийг хоёр хуваадаг.

Ромбын талбайг диагональуудаар илэрхийлнэ.

Квадрат нь тэгш өнцөгттэй параллелограмм ба тэнцүү талууд. Квадрат нь тэгш өнцөгт ба ромбын нэгэн зэрэг онцгой тохиолдол тул дээрх бүх шинж чанаруудыг агуулдаг.

Дөрвөлжин талбай:

Квадратыг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус:

Дөрвөлжин дотор бичсэн тойргийн радиус:

Дөрвөлжин диагональ:

Трапецнь эсрэг талын хоёр тал нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Зэрэгцээ талуудыг трапецын суурь, нөгөө хоёрыг хажуу тал гэж нэрлэдэг. Суурийн хоорондох зай нь өндөр юм. Хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг трапецын дунд шугам гэж нэрлэдэг. Дунд шугамтрапец нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү бөгөөд тэдгээртэй параллель байна. Тэнцүү талуудтай трапецийг ижил талт трапец гэж нэрлэдэг. Адил талт трапецын хувьд суурь тус бүрийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Трапецын талбай: , a ба b нь суурь, h нь өндөр.

Гурвалжны дунд шугам- энэ нь гурвалжны талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм. Гурвалжны дунд шугам нь суурийнх нь хагастай тэнцүү ба түүнтэй параллель байна. Энэ шинж чанар нь трапецын шинж чанараас үүдэлтэй, учир нь гурвалжин нь түүний суурийн аль нэг нь цэг болж хувирвал трапецын доройтлын тохиолдол гэж үзэж болно.

Хавтгай дүрсүүдийн ижил төстэй байдал. Хэрэв та онгоцны дүрсийн бүх хэмжээсийг ижил тооны удаа (ижил төстэй байдлын хамаарал) өөрчлөх юм бол хуучин болон шинэ дүрсийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Хоёр олон өнцөгт өнцөг нь тэнцүү, талууд нь пропорциональ байвал ижил төстэй байна.

Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг. Хоёр гурвалжин ижил төстэй бол:

• тэдгээрийн харгалзах бүх өнцөг нь тэнцүү (хоёр өнцөг хангалттай);
• тэдгээрийн бүх талууд пропорциональ байна;
• Нэг гурвалжны хоёр тал нь нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорциональ бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна.

Квадратууд ижил төстэй тооижил төстэй шугамын квадратуудтай пропорциональ байна (жишээлбэл, тал, диаметр).

Геометрийн цэгүүдийн байршилтодорхой заасан нөхцлийг хангасан бүх цэгүүдийн багц юм.

Тойрог- энэ нь нэг цэгээс ижил зайд байгаа хавтгай дээрх цэгүүдийн геометрийн байрлалыг тойргийн төв гэж нэрлэдэг. Тойргийн төвийг түүний аль нэг цэгтэй холбосон хэрчмийг радиус гэж нэрлэдэг ба - r гэж тэмдэглэнэ. Тойргоор хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсгийг тойрог гэнэ. Тойргийн нэг хэсгийг нуман гэж нэрлэдэг. Тойргийн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг секант, тойрог дотор байрлах хэрчмийг хөвч гэнэ. Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг диаметр гэж нэрлэдэг бөгөөд d гэж тэмдэглэнэ. Диаметр нь хоёр радиустай тэнцүү хэмжээтэй хамгийн том хөвч юм: d = 2r.

a нь бодит, b нь төсөөллийн хагас тэнхлэг юм.

Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл:
Ax + By + Cz + D = 0,
хаана x, y, z - тэгш өнцөгт координат хувьсах цэгонгоц, A, B, C - тогтмол тоонууд.
Энэ цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр тойрог дээрх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг шүргэгч гэнэ. Энэ тохиолдолд энэ цэгийг холбоо барих цэг гэж нэрлэдэг.

Тангенсийн шинж чанарууд:

• тойрог руу шүргэгч нь контактын цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр;
• тойргийн гадна байрлах цэгээс нэг тойрог руу хоёр шүргэгчийг зурж болно; Тэдний сегментүүд тэнцүү байна.

Сегмент- энэ бол нуман болон харгалзах хөвчөөр хязгаарлагдсан тойргийн хэсэг юм. Хөвчний дундаас нумантай огтлолцох хүртэл татсан перпендикулярын уртыг сегментийн өндөр гэж нэрлэдэг.

Салбар- энэ нь нумаар хязгаарлагдсан тойргийн хэсэг ба энэ нумын төгсгөлд татсан хоёр радиус юм.

Тойрог дахь өнцөг. Төвийн өнцөг нь хоёр радиусаас үүссэн өнцөг юм. Бичсэн өнцөг нь нийтлэг цэгээс татсан хоёр хөвчөөс үүссэн өнцөг юм. Нэг нийтлэг цэгээс татсан хоёр шүргэгчээс үүссэн өнцөгийг хязгаарласан өнцөг гэнэ.

Энэ томъёо нь өнцгийн радиан хэмжилтийг тодорхойлох үндэс суурь болно. Аливаа өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн нь дурын радиустай зурсан, энэ өнцгийн талуудын хооронд хүрээлэгдсэн нумын уртыг түүний радиустай харьцуулсан харьцаа юм.

Тойргийн элементүүдийн хоорондын хамаарал.

Бичсэн өнцөг нь ижил нумын дагуух төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна. Иймд ижил нуманд оршдог бүх бичээстэй өнцөг нь тэнцүү байна. Төвийн өнцөг нь нумынхтай ижил тооны градусыг агуулдаг тул ямар ч бичээстэй өнцгийг түүний тулгуурласан нумын хагасаар хэмждэг.

Хагас тойрогт багтсан бүх бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Хоёр хөвчөөс үүссэн өнцгийг түүний талуудын хоорондох нумын нийлбэрийн хагасаар хэмждэг.

Хоёр секантын үүсгэсэн өнцгийг түүний талуудын хоорондох нумын хагасын зөрүүгээр хэмждэг.

Шүргэгч ба хөвчөөс үүссэн өнцгийг түүний дотор байгаа нумын хагасаар хэмждэг.

Шүргэгч ба секантын үүсгэсэн өнцгийг түүний талуудын хоорондох нумын хагасын зөрүүгээр хэмждэг.

Хоёр шүргэгчээс үүссэн хязгаарлагдмал өнцгийг түүний талуудын хоорондох нумын хагасын зөрүүгээр хэмждэг.

Уулзалтын цэгээр хуваагдсан хөвчүүдийн сегментүүдийн бүтээгдэхүүнүүд тэнцүү байна.

Шүргэгчийн квадрат нь секант ба түүний гаднах хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Диаметрт перпендикуляр хөвч нь тэдгээрийн огтлолцлын цэг дээр хуваагдана.

Оройнууд нь тойрог дээр байрладаг олон өнцөгтийг тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. Талууд нь тойрогтой шүргэгч олон өнцөгтийг тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу олон өнцөгтийн оройгоор дамжин өнгөрөх тойргийг олон өнцөгтийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг; олон өнцөгтийн талууд шүргэгч байх тойргийг олон өнцөгт дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. Дурын олон өнцөгтийн хувьд дотор нь тойрог бичиж, түүнийг тойруулан дүрслэх боломжгүй юм. Гурвалжны хувьд ийм боломж үргэлж байдаг.

Хэрэв тойрог нь нийлбэр нь бол дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно эсрэг талуудтэнцүү байна. Параллелограммын хувьд энэ нь зөвхөн ромб (дөрвөлжин)-д л боломжтой. Бичсэн тойргийн төв нь диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Дөрвөн өнцөгтийн нийлбэр бол тойргийг дүрсэлж болно эсрэг талын булангууд 180 ° -тай тэнцүү. Параллелограммын хувьд энэ нь зөвхөн тэгш өнцөгт (дөрвөлжин) боломжтой. Хязгаарлагдсан тойргийн төв нь диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг. Трапецын эргэн тойронд ижил талт байвал тойрог дүрсэлж болно. Энгийн олон өнцөгт нь ижил тал ба өнцөгтэй олон өнцөгт юм.

Ердийн дөрвөлжин бол дөрвөлжин; тогтмол гурвалжин - тэгш талт гурвалжин. Энгийн олон өнцөгтийн өнцөг бүр нь 180°(n - 2)/n-тэй тэнцүү бөгөөд энд n нь түүний өнцгийн тоо юм. Энгийн олон өнцөгт дотор бүх оройнуудаас нь ижил зайд орших О цэг байдаг бөгөөд үүнийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг. Ердийн олон өнцөгтийн төв нь мөн бүх талаасаа ижил зайд байрладаг. Тойрог ердийн олон өнцөгт дотор бичиж, тойргийг дүрсэлж болно. Бичсэн болон хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд нь ердийн олон өнцөгтийн төвтэй давхцдаг. Тойргийн радиус нь жирийн олон өнцөгтийн радиус бөгөөд бичээстэй тойргийн радиус нь түүний нэр томъёо юм.

Стереометрийн үндсэн аксиомууд.

Ямар ч хавтгай энэ хавтгайд хамаарах цэгүүд, түүнд хамаарахгүй цэгүүд байдаг.

Хэрвээ хоёр өөр өөр онгоцууднийтлэг цэгтэй бол энэ цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу огтлолцоно.

Хэрэв хоёр ялгаатай шулуун шугамууд нийтлэг цэгтэй бол тэдгээрийн дундуур зөвхөн нэг хавтгай зурж болно.

Нэг шулуун дээр байрлах гурван цэгээр дамжуулан хязгааргүй олон тооны хавтгайг зурж, энэ тохиолдолд онгоцны багцыг үүсгэж болно. Бүх цацрагийн онгоцууд дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг цацрагийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Энэ шугамын гадна байрлах ямар ч шулуун ба цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг хавтгай зурж болно. Хоёр шугамаар хавтгай зурах нь үргэлж боломжгүй байдаг, тэгвэл эдгээр шугамыг огтлолцсон гэж нэрлэдэг.

Хэр удаан үргэлжилсэн огтлолцох шугамууд огтлолцохгүй, гэхдээ тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтдэггүй тул параллель шугам биш юм. Зөвхөн параллель шугамууд нь хавтгайг зурах боломжтой салангид шугамууд юм. Зэрэгцээ шугамын хоорондох ялгаа нь параллель шугам нь ижил чиглэлтэй, огтлолцох шугам нь тийм биш юм. Хоёр огтлолцсон шугамаар үргэлж нэг ба зөвхөн нэг хавтгай зурах боломжтой. Хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох зай нь огтлолцсон шугамууд дээр байрлах хамгийн ойрын цэгүүдийг холбосон сегментийн урт юм. огтлолцдоггүй хавтгайг параллель хавтгай гэж нэрлэдэг. Хавтгай ба шулуун шугам нь огтлолцдог (нэг цэг дээр) эсвэл огтлолцдоггүй. IN сүүлчийн тохиолдолТэд шулуун ба хавтгай хоёр хоорондоо параллель гэж хэлдэг.

Нэг цэгээс хавтгайд унасан перпендикуляр нь холбох сегмент юм энэ цэгхавтгай дээрх цэгтэй ба хавтгайд перпендикуляр шулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Хавтгай дээрх цэгийн проекц нь цэгээс хавтгай руу татсан перпендикулярын суурь юм. P хавтгай дээрх сегментийн проекц нь төгсгөлүүд нь энэ сегментийн цэгүүдийн проекцууд болох сегмент юм.

Хоёр талт өнцөг гэдэг нь тэдгээрийг хязгаарласан нийтлэг шулуун шугам бүхий хоёр хагас хавтгайгаас үүссэн дүрс юм. Хагас хавтгайг нүүр гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг хязгаарлаж буй шулуун шугамыг хоёр талт өнцгийн ирмэг гэж нэрлэдэг. Ирмэгтэй перпендикуляр хавтгай нь хагас хавтгай гэж нэрлэгддэг огтлолцол дээр өнцөг үүсгэдэг шугаман өнцөгхоёр талт өнцөг. Хоёр өнцөгт өнцгийг шугаман өнцгөөр нь хэмждэг.

Олон талт өнцөг. Хэрэв бид шулуун шугамын дагуу бие биенээ дараалан огтолж буй олон хавтгайг цэгээр зурвал олон өнцөгт өнцөг гэж нэрлэгддэг дүрсийг олж авна. Олон өнцөгт өнцгийг үүсгэдэг онгоцуудыг түүний нүүр гэж нэрлэдэг; нүүрнүүд дараалан огтлолцох шулуун шугамыг олон талт өнцгийн ирмэг гэж нэрлэдэг. Хамгийн бага тоо хэмжээОлон өнцөгт өнцгийн нүүрний тоо гуравтай тэнцүү байна.

Зэрэгцээ хавтгайг олон талт өнцөг, пропорциональ сегментийн ирмэг дээр хайчилж, ижил төстэй олон өнцөгт үүсгэдэг.

Шугаман ба хавтгайн параллелизмын шинж тэмдэг.

Хавтгайн гадна байрлах шулуун нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунтай параллель байвал энэ хавтгайтай параллель байна.

Хэрэв шулуун ба хавтгай нь ижил шулуунтай перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Зэрэгцээ хавтгайн шинж тэмдэг:

• Хэрэв нэг хавтгайн огтлолцох хоёр шулуун нь нөгөө хавтгайн огтлолцох хоёр шулуунтай параллель байвал эдгээр хавтгайнууд параллель байна.
• Хэрэв хоёр хавтгай ижил шулуунтай перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.
• Шулуун ба хавтгайн перпендикуляр байдлын шинж тэмдэг.
• Хэрэв шулуун нь нэг хавтгайд байрлах огтлолцсон хоёр шулуунтай перпендикуляр байвал энэ хавтгайд перпендикуляр байна.
• Хэрэв хавтгай параллель шулуунуудын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна.

Хавтгайг огтолж байгаа бөгөөд түүнд перпендикуляр биш шулуун шугамыг хавтгайд налуу гэнэ.

Гурван перпендикуляр теорем

Онгоцонд хэвтэж буй шулуун шугам ба проекцтой перпендикулярэнэ хавтгайд налуу нь налуу хавтгайд перпендикуляр байна.

Орон зай дахь шугамуудын параллелизмын шинж тэмдэг:

• Хэрэв хоёр шулуун нэг хавтгайд перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.
• Хэрэв огтлолцох хавтгайн аль нэгэнд нөгөө хавтгайтай параллель шулуун шугам байгаа бол энэ нь хавтгайнуудын огтлолцлын шугамтай параллель байна.

Тэгш өнцөгт xy координатын систем дэх хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл:
ax + bx + c = 0, энд a, b, c тогтмол тоонууд, x, y нь шулуун дээрх M(x,y) хувьсах цэгийн координатууд юм.

Зэрэгцээ шугамын шинж тэмдэг:

Онгоцны перпендикуляр байдлын шинж тэмдэг: хэрэв онгоц өөр хавтгайд перпендикуляр шугамаар дамжин өнгөрвөл эдгээр хавтгайнууд перпендикуляр байна.

Хоёр хазайсан шулууны нийтлэг перпендикуляр дээрх теорем.Аливаа хоёр хазайсан шугамын хувьд өвөрмөц нийтлэг перпендикуляр байдаг.

Олон талтхил нь хавтгайн хэсгүүдээс (олон өнцөгт) тогтдог бие юм. Эдгээр олон өнцөгтийг нүүр, хажуу талыг нь ирмэг, оройг нь олон өнцөгтийн орой гэж нэрлэдэг. Нэг нүүрэн дээр байрлахгүй хоёр оройг холбосон хэсгүүдийг олон өнцөгтийн диагональ гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт нь бүх диагональууд нь дотор нь байрладаг бол гүдгэр байна.

Шоо - эзэлхүүний тоозургаан тэнцүү талтай.

Кубын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай:

Призм нь хоёр нүүр нь (призмын суурь) байдаг олон өнцөгт юм тэнцүү олон өнцөгтүүдтус тус зэрэгцээ талууд, үлдсэн нүүрнүүд нь параллелограммууд юм.

Харгалзах оройг холбосон сегментүүдийг хажуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг. Призмийн өндөр нь суурийн аль ч цэгээс өөр суурийн хавтгайд унасан аливаа перпендикуляр юм. Суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн хэлбэрээс хамааран призм нь гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт байж болно. хажуугийн хавиргапризмууд суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал ийм призмийг шулуун шугам гэж нэрлэдэг; өөрөөр бол налуу призм. Хэрэв шулуун призмийн сууринд энгийн олон өнцөгт байрладаг бол ийм призмийг мөн тогтмол гэж нэрлэдэг. Призмийн диагональ нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй призмийн хоёр оройг холбосон хэрчим юм.

Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай:
S тал = P*H, P нь суурийн периметр, H нь өндөр.

Параллелепипедсуурь нь параллелограмм болох призм юм. Тиймээс параллелепипед зургаан нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь бүгд параллелограмм юм. Эсрэг нүүр царайхосоороо тэнцүү ба зэрэгцээ. Параллелепипед дөрвөн диагональтай; Тэд бүгд нэг цэг дээр огтлолцдог ба түүн дээр хагас хуваагдана.

Хэрэв дөрөв хажуугийн нүүрнүүдпараллелепипед - тэгш өнцөгт, дараа нь үүнийг шулуун гэж нэрлэдэг. Зургаан нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипедийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ d ба түүний ирмэгүүд a, b, c нь d2 = a2 + b2 + c2 хамаарлаар холбогдоно. Тэгш өнцөгт параллелепипед, бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй бол шоо гэж нэрлэгддэг. Кубын бүх ирмэгүүд тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай:
V = a*b*c, S бүрэн = 2(ab + ac + bc).

Пирамиднэг нүүр (пирамидын суурь) нь дурын олон өнцөгт, үлдсэн нүүрүүд (хажуугийн нүүр) нь пирамидын орой гэж нэрлэгддэг нийтлэг оройтой гурвалжин хэлбэртэй олон өнцөгт юм. Пирамидын оройноос суурь хүртэл унасан перпендикулярыг пирамидын өндөр гэнэ. Суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн хэлбэрээс хамааран пирамид нь гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт байж болно. Гурвалжин пирамиднь тетраэдр, дөрвөлжин пирамид нь пентаэдр гэх мэт.. Нэг хэвийн олон өнцөгт суурь дээр хэвтэж, өндөр нь суурийн төвд унадаг бол пирамидыг тогтмол гэнэ. Бүх хажуугийн хавирга ердийн пирамидтэнцүү; бүх хажуугийн нүүр - тэгш өнцөгт гурвалжин. Хажуугийн нүүрний өндрийг ердийн пирамидын нэр томъёо гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид пирамидын суурьтай параллель зүсэлт зурвал эдгээр хавтгай ба хажуугийн гадаргуугийн хооронд бэхлэгдсэн биеийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ нүүрийг суурь гэж нэрлэдэг; тэдгээрийн хоорондох зай нь өндөр юм. Хэрэв үүссэн пирамид нь тогтмол байвал таслагдсан пирамидыг тогтмол гэж нэрлэдэг. Энгийн тайрсан пирамидын бүх хажуугийн нүүрүүд нь ижил тэгш өнцөгт трапецууд юм.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай:
, энд P нь суурийн периметр; h - хажуугийн нүүрний өндөр (ердийн пирамидын нэр томъёо).

Таслагдсан пирамидын эзэлхүүн:

Ердийн таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай:
,
Энд P ба P’ нь суурийн периметр; h - хажуугийн нүүрний өндөр (ердийн таслагдсан пирамидын нэр томъёо).

Цилиндр гадаргуу нь чиглэлээ хадгалж, өгөгдсөн шугамтай (муруй) огтлолцсон шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсдэг. Энэ мөрийг хөтөч гэж нэрлэдэг. Хөдөлгөөний явцад шугамын янз бүрийн байрлалд тохирох шугамуудыг цилиндр гадаргуугийн генераторууд гэж нэрлэдэг.

Цилиндр бол хязгаарлагдмал бие юм цилиндр гадаргуухаалттай хөтөч ба хоёр зэрэгцээ хавтгайтай. Эдгээр онгоцны хэсгүүдийг цилиндрийн суурь гэж нэрлэдэг. Суурийн хоорондох зай нь цилиндрийн өндөр юм. Цилиндр нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь сууринд перпендикуляр байвал шулуун байна; эс бөгөөс цилиндр налуу байна. Хэрэв суурь нь тойрог бол цилиндрийг дугуй гэж нэрлэдэг. Хэрэв цилиндр нь шулуун ба дугуй хэлбэртэй бол түүнийг дугуй гэж нэрлэдэг. Призм бол цилиндрийн онцгой тохиолдол юм.

Эзлэхүүн, цилиндрийн хажуу ба нийт гадаргуугийн талбай:
,
Энд R нь суурийн радиус; H нь цилиндрийн өндөр юм.

Дугуй цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн цилиндр хэсгүүд.

Хэсэг, суурьтай зэрэгцээ, - ижил радиустай тойрог.

Цилиндрийн генераторуудтай параллель хэсгүүд нь хос зэрэгцээ шугамууд юм.

Суурь болон генераторуудтай зэрэгцээгүй хэсгүүд нь эллипс юм.

Конус гадаргуу нь үргэлж дамжин өнгөрөх шулуун шугамын хөдөлгөөнөөр үүсдэг тогтмол цэг, мөн огтлолцдог энэ мөр, хөтөч гэж нэрлэдэг. Хөдөлгөөний явцад шулуун шугамын янз бүрийн байрлалд тохирсон шулуун шугамыг конус гадаргуугийн генераторууд гэж нэрлэдэг; цэг нь түүний дээд тал юм. Конус гадаргуу нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: нэг нь туяа, нөгөө нь түүний үргэлжлэлээр тодорхойлогддог.

Ихэвчлэн түүний нэг хэсгийг конус гадаргуу гэж үздэг.

Конус- энэ нь битүү чиглүүлэгчтэй конус гадаргуугийн хэсгүүдийн аль нэгээр хязгаарлагдах бие бөгөөд оройгоор дамжихгүй конус гадаргуутай огтлолцдог хавтгай юм.

Энэ хавтгайн конусан гадаргуу дотор байрлах хэсгийг конусын суурь гэж нэрлэдэг. Дээд талаас суурь руу унасан перпендикулярыг конусын өндөр гэж нэрлэдэг.

Пирамид бол конусын онцгой тохиолдол юм. Хэрэв суурь нь тойрог байвал конусыг дугуй гэж нэрлэдэг. Конусын оройг суурийн төвтэй холбосон шулуун шугамыг конусын тэнхлэг гэнэ. Хэрэв өндөр бол дугуй конустүүний тэнхлэгтэй давхцаж байвал ийм конусыг дугуй гэж нэрлэдэг.

Эзлэхүүн, конусын хажуу ба нийт гадаргуугийн талбай:
,
энд r нь радиус; Sbas - талбай; P нь суурийн тойрог; L нь generatrix-ийн урт; H нь конусын өндөр юм.

Таслагдсан конусын эзэлхүүн ба хажуугийн гадаргуугийн талбай:

Конус хэсгүүд.

Дугуй конусын суурьтай параллель хэсгүүд нь тойрог юм.

Дугуй конусын зөвхөн нэг хэсгийг огтолж, түүний генатристай параллель биш хэсгийг эллипс гэнэ.

Дугуй конусын зөвхөн нэг хэсгийг огтолж, түүний генатрисуудын аль нэгтэй парабола огтлолцох хэсгийг парабол гэнэ.

Дугуй конусын хоёр хэсгийг огтолж буй хэсэг нь ерөнхийдөө хоёр мөчирөөс бүрдэх гипербол юм. Ялангуяа, хэрэв энэ хэсэг нь конусын тэнхлэгээр дамждаг бол бид огтлолцсон хос шулуун шугамыг (конус үүсгэдэг) олж авдаг.

Бөмбөрцөг гадаргуу- энэ бол бөмбөрцөг гадаргуугийн төв гэж нэрлэгддэг нэг цэгээс ижил зайд байрлах орон зай дахь цэгүүдийн геометрийн байрлал юм.

Бөмбөг (бөмбөрцөг)бөмбөрцөг гадаргуугаар хязгаарлагдсан бие юм. Та диаметрийг тойруулан хагас тойрог (эсвэл тойрог) эргүүлэх замаар бөмбөг авч болно. Бүгд хавтгай хэсгүүдбөмбөг - тойрог. Хамгийн том тойрог нь бөмбөгний төвийг дайран өнгөрөх хэсэгт байрладаг бөгөөд үүнийг агуу тойрог гэж нэрлэдэг. Түүний радиус радиустай тэнцүү байнабөмбөг. Аливаа хоёр том тойрог бөмбөгний диаметрийн дагуу огтлолцоно. Энэ диаметр нь мөн том тойргийн огтлолцох диаметр юм. Ижил диаметртэй төгсгөлд байрлах бөмбөрцөг гадаргуугийн хоёр цэгээр дамжуулан хязгааргүй тооны том тойрог зурж болно.

Бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн цилиндрийн эзэлхүүнээс нэг хагас дахин бага, бөмбөрцгийн гадаргуу нь нэг хагас дахин бага байна. бүрэн гадаргууижил цилиндр.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх бөмбөрцгийн тэгшитгэл:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)= R2,
энд x, y, z нь бөмбөрцөг дээрх хувьсах цэгийн координатууд;
x0, y0, z0 - төвийн координат;
R нь бөмбөрцгийн радиус юм.

Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба бөмбөрцгийн талбай:

Эзлэхүүн бөмбөг сегментба сегментчилсэн гадаргуугийн талбай:
,
Энд h нь бөмбөрцөг сегментийн өндөр.

Бөмбөрцөг хэлбэртэй хэсгийн эзлэхүүн ба нийт гадаргуугийн талбай:
,
энд R нь бөмбөгний радиус; h нь бөмбөрцөг сегментийн өндөр.

Бөмбөрцөг давхаргын эзэлхүүн ба нийт гадаргуугийн талбай:
,
h бол өндөр; r1 ба r2 нь бөмбөрцөг давхаргын суурийн радиус юм.

Торусын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай:
,
энд r нь тойргийн радиус; R нь тойргийн төвөөс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх зай юм.

A0 цэг дээрх S гадаргуугийн дундаж муруйлт:

Бөмбөгний хэсгүүд. Бөмбөлөг (бөмбөрцөг) ямар нэг хавтгайгаар таслагдсан хэсгийг бөмбөрцөг сегмент гэж нэрлэдэг. Тойрог бөмбөрцөг сегментийн суурь гэж нэрлэдэг. Тойргийн төвөөс бөмбөрцөг гадаргуутай огтлолцох хэсэгт татсан перпендикуляр сегментийг бөмбөрцөг сегментийн өндөр гэж нэрлэдэг. Хоёр параллель хавтгай огтлолцож буй бөмбөрцгийн хэсэг бөмбөрцөг гадаргуу, бөмбөрцөг давхарга гэж нэрлэдэг; бөмбөрцөг давхаргын муруй гадаргууг бөмбөрцөг бүс (бүс) гэж нэрлэдэг. Бөмбөгний туузны суурийн хоорондох зай нь түүний өндөр юм. Бөмбөрцөг сегментийн муруй гадаргуугаар хязгаарлагдсан бөмбөгний хэсэг ба конус гадаргуу, суурь нь сегментийн суурь, дээд хэсэг нь бөмбөгний төвийг бөмбөрцөг хэлбэртэй сектор гэж нэрлэдэг.

Тэгш хэм.

Толин тусгалын тэгш хэм. Геометрийн дүрсХэрэв энэ зургийн Е цэг бүрт ижил дүрсийн Е’ цэг олдвол EE’ хэрчим нь S хавтгайд перпендикуляр байх ба энэ хавтгайд хуваагдана. S хавтгайг тэгш хэмийн хавтгай гэж нэрлэдэг. Тэгш хэмтэй дүрс, биет, бие биетэйгээ тэнцүү биш байна явцуу утгаарааүгс, тэдгээрийг толин тусгал тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Төвийн тэгш хэм. Хэрэв энэ зургийн А цэг бүрт ижил дүрстэй Е цэг олдвол геометрийн дүрсийг C төвтэй тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг бөгөөд ингэснээр AE хэрчим нь С төвийг дайран өнгөрч, энэ цэг дээр хуваагдана. Энэ тохиолдолд С цэгийг тэгш хэмийн төв гэж нэрлэдэг.

Эргэлтийн тэгш хэм. Биеийг 360°/n өнцгөөр (n нь бүхэл тоо) эргүүлэх үед AB шулуун шугамын (тэгш хэмийн тэнхлэг) эргэн тойронд бүрэн давхцаж байвал эргэлтийн тэгш хэмтэй байна. эхлэх байрлал. n=2-ын хувьд бидэнд байна тэнхлэгийн тэгш хэм.

Симметрийн төрлүүдийн жишээ.Бөмбөг (бөмбөрцөг) нь төв, толин тусгал, эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаг. Тэгш хэмийн төв нь бөмбөгний төв юм; тэгш хэмийн хавтгай нь ямар ч хавтгай юм агуу тойрог; тэгш хэмийн тэнхлэг нь бөмбөгний диаметр юм.

Дугуй конус нь тэнхлэгийн тэгш хэмтэй; тэгш хэмийн тэнхлэг нь конусын тэнхлэг юм.

Шулуун призм байдаг толины тэгш хэм. Тэгш хэмийн хавтгай нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хооронд ижил зайд байрладаг.

Онгоцны дүрсүүдийн тэгш хэм.

Толин тусгал тэнхлэгийн тэгш хэм. Хэрэв хавтгай дүрсхавтгайтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (энэ нь зөвхөн хавтгайн дүрс нь энэ хавтгайд перпендикуляр байвал боломжтой), дараа нь эдгээр хавтгайн огтлолцох шулуун шугам нь энэ зургийн хоёрдугаар эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Энэ тохиолдолд дүрсийг толин тусгал тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг.

Төвийн тэгш хэм. Хэрэв хавтгай дүрс нь хоёр дахь эрэмбийн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бол, хавтгайд перпендикулярЗураг, дараа нь зургийн шулуун ба хавтгай огтлолцох цэг нь тэгш хэмийн төв болно.

Хавтгай дүрсүүдийн тэгш хэмийн жишээ.

Зөвхөн параллелограмм байна төвийн тэгш хэм. Түүний тэгш хэмийн төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм.
Адил талт трапец нь зөвхөн тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байдаг. Түүний тэгш хэмийн тэнхлэг нь трапецын суурийн дунд цэгүүдээр татсан перпендикуляр юм.

Ромб нь төв ба тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байдаг. Түүний тэгш хэмийн тэнхлэг нь диагональуудын аль нэг нь юм; тэгш хэмийн төв нь тэдгээрийн огтлолцлын цэг юм.

Цэгүүдийн геометрийн байрлал (цаашид GMT) нь тодорхой шинж чанартай цэгүүдээс бүрдэх хавтгайн дүрс бөгөөд энэ шинж чанарыг агуулаагүй нэг ч цэг агуулаагүй болно.

Бид зөвхөн луужин болон захирагч ашиглан барьж болох HMT-уудыг авч үзэх болно.

Хавтгай дээрх хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн их илэрхийлэгддэг шинж чанаруудтай HMTs-ийг авч үзье.

1) GMT, зайтай өгөгдсөн зай r өгөгдсөн О цэгээс r радиустай О цэг дээр төвтэй тойрог байна.

2) Өгөгдсөн А ба В хоёр цэгээс ижил зайд орших GMT нь AB хэрчимд перпендикуляр ба түүний дундыг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

3) GMT өгөгдсөн хоёр огтлолцсон шулуунаас ижил зайд огтлолцох цэгийг дайран өнгөрч, өгөгдсөн шулуунуудын хоорондох өнцгийг хагасаар хуваадаг хос перпендикуляр шулуун байна.

4) GMT, шугамаас h ижил зайд байрладаг, энэ шугамтай зэрэгцээ байрлах хоёр шугам байдаг. өөр өөр талуудтүүнээс өгөгдсөн зайд h.

5) Өгөгдсөн М цэг дээр өгөгдсөн m шулуунтай шүргэгч тойргийн төвүүдийн геометрийн байрлал нь М цэг дээр AB-тай перпендикуляр байна (М цэгээс бусад).

6) Өгөгдсөн М цэг дээр өгөгдсөн тойрогтой шүргэгч тойргийн төвүүдийн геометрийн байрлал нь М цэг ба өгөгдсөн тойргийн төвийг (М ба О цэгээс бусад) дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

7) Энэ сегмент нь өгөгдсөн өнцгөөр харагдах GMT нь энэ хэсэгт тайлбарласан хоёр тойргийн нумыг бүрдүүлдэг. энэ сегментмөн энэ өнцгийг агуулсан.

8) GMT, өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зай нь m: n харьцаатай байдаг бөгөөд энэ нь тойрог юм (Аполлонийн тойрог гэж нэрлэдэг).

9) Тойргийн нэг цэгээс зурсан хөвчний дундын геометрийн байрлал нь диаметртэй адил өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн тойргийн төвтэй холбосон хэрчим дээр баригдсан тойрог юм.

10) Гурвалжны оройн геометрийн байрлал нь өгөгдсөн хэмжээтэй тэнцүү бөгөөд хэмжээтэй байна нийтлэг үндэслэл, суурьтай параллель, дээд талыг дайран өнгөрөх хоёр шулуун шугамыг бүрдүүлнэ өгөгдсөн гурвалжинба суурийг агуулсан шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

GMT-ийг олох жишээг өгье.

ЖИШЭЭ 2.Хөвчний дунд цэг болох GMT-ийг ол.өгөгдсөн тойргийн нэг цэгээс зурсан(GMT No 9).

Шийдэл. О төвтэй тойргийг өгөөд хөвч зурсан энэ тойрог дээр А цэгийг сонгоё. Хүссэн GMT нь диаметртэй (А цэгээс бусад) AO дээр баригдсан тойрог гэдгийг харуулъя (Зураг 3).

AB нь хөвч, M нь дунд цэг байг. M ба O хоёрыг холбоно. Дараа нь MO ^ AB (хөрчийг хагасаар хуваах радиус нь энэ хөвчтэй перпендикуляр байна). Гэхдээ дараа нь RAMO = 90 0. Энэ нь M нь AO диаметртэй тойрогт хамаарагдана гэсэн үг (GMT No 7). Учир нь энэ тойрог О цэгийг дайран өнгөрвөл О нь манай GMT-д хамаарна.

Үүний эсрэгээр, M нь манай GMT-д харьяалагдах болно. Дараа нь AB хөвчийг M-ээр дамжуулан зурж, M ба O-ыг холбосноор бид RAMO = 90 0, өөрөөр хэлбэл RAMO = 90 0-ийг олж авна. MO ^ AB, тиймээс M нь AB хөвчний дунд хэсэг юм. Хэрэв M нь О-той давхцаж байвал О нь АС-ийн дунд байна.

Ихэнхдээ координатын арга нь GMT-ийг олох боломжийг олгодог.

ЖИШЭЭ 3.Өгөгдсөн хоёр цэгээс А ба В цэг хүртэлх зайг GMT-г ол энэ талаар m: n (m ≠ n).

Шийдэл. Сонгоцгооё тэгш өнцөгт системкоординатууд нь A ба B цэгүүд нь Үхрийн тэнхлэг дээр эх цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлаж, Oy тэнхлэг нь дунд AB-аар дамжин өнгөрдөг (Зураг 4). AB = 2a гэж үзье. Тэгвэл А цэг нь А координаттай (a, 0), В цэг нь В координаттай (-a, 0). C нь манай HMT-д харьяалагддаг, C(x, y) координатууд ба CB/CA = м/н.Гэхдээ гэсэн үг

(*)

Тэгш эрхээ өөрчилье. Бидэнд байна

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь бүх боломжит тохиолдлын тоо хязгаартай байдагт үндэслэсэн байдаг. Хэрэв туршилтын боломжит үр дүнгийн хуваарилалт тасралтгүй бөгөөд хязгааргүй бол энэ ойлголтыг асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг геометрийн магадлал.

Ω муж ба дотор нь А муж байна гэж таамаглаж байна. Ом дээр санамсаргүй байдлаар цэг шиддэг. А үйл явдал – А талбайг онох цэг.

Геометрийн магадлалА үйл явдал нь А үйл явдал тохиолдоход таатай бүсийн хэмжигдэхүүнийг нийт бүс нутгийн хэмжигдэхүүн Ω-д харьцуулсан харьцаа, өөрөөр хэлбэл.

Ω муж нь нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст, гурван хэмжээст, n хэмжээст байж болно.

Жишээ. R=50 радиустай тойрог руу цэг шидсэн. Тойрог дотор бичээстэй квадрат руу унах магадлалыг ол.

Шийдэл. P(A) = =; (R =; a =)

6. Үйл явдлын нийлбэр ба түүний шинж чанарууд. Жишээ.

Дүнолон үйл явдал нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм.

Хэрэв А ба В бол хамтарсан арга хэмжээ, дараа нь тэдгээрийн A + B нийлбэр нь А үйл явдал, В үйл явдал, эсвэл хоёулангийнх нь хамт тохиолдохыг заана. Хэрэв А ба В үйл явдлууд хоорондоо таарахгүй бол тэдгээрийн A + B нийлбэр нь А эсвэл В үйл явдал тохиолдсон гэсэн үг юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

A + B = B + A – нэмэхийн шилжих чадвар.

A + (B + C) = (A + B) + C – нэмэхийн ассоциатив байдал.

A(B + C) = (A+B)(A+C) – тархалтын хуулиуд.

Жишээ.

1) А үйл явдал эхний сумаар байг онож байна, В үйл явдал хоёр дахь сумаар байг онож байна, дараа нь C = A + B үйл явдал ерөнхийдөө байг онож байна, ямар ч буудлага хамаагүй - эхний, хоёр дахь эсвэл хоёулаа хамт.

2) Хэрэв А үйл явдал нь хөзрийг тавцангаас гаргахад улаан өнгийн карт гарч ирэх бол В үйл явдал бол алмаазан костюмтай карт гарч ирэх бол C = A + B нь улаан өнгийн карт гарч ирэх явдал юм. костюм, улаан эсвэл очир алмааз байх нь хамаагүй.

7. Магадлал нэмэх теорем (баталгаатай) ба түүний үр дагавар. Жишээ. 8 Үйл явдлын үйлдвэрлэл, түүний шинж чанар.

9. Нөхцөлт магадлал. Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд. Магадлалын үржүүлэх теорем (баталгаатай). Жишээ

Б үйл явдлын бодит боломжийн зэрэглэлийн хэмжүүр болох P(B) магадлал нь тодорхой нөхцөл хангагдсан тохиолдолд утга учиртай болно. Нөхцөл байдал өөрчлөгдөхөд В үйл явдлын магадлал өөрчлөгдөж болно. Иймд p(B) магадлалыг судалсан нөхцлүүдийн багц дээр шинэ А нөхцөлийг нэмбэл, А үйл явдал болсон нөхцөлд олдсон В үйл явдлын магадлалыг В үйл явдлын нөхцөлт магадлал гэнэ. PA(B), эсвэл P (B/A), эсвэл P(B/A) гэж тэмдэглэнэ.

Үржвэрийг бүрдүүлж буй үйл явдлууд бие даасан байх үед Магадлалын үржүүлэх теорем нь хамгийн энгийн хэлбэрээ авдаг.

А үйл явдал болсон эсэхээс хамаарч түүний магадлал өөрчлөгдөхгүй бол В үйл явдлыг А үйл явдлаас хамааралгүй гэнэ, өөрөөр хэлбэл.

Үгүй бол PA(B) нь P(B)-тэй тэнцүү биш бол В үйл явдлыг А-аас хамааралтай гэж үзнэ.

Хэд хэдэн A, B, M... үйл явдлуудын аль нэг нь бие даасан бөгөөд эдгээр үйл явдлуудын аль нэг нь болон бусад үйл явдлын аль нэг хослол (бүтээгдэхүүн) нь бие даасан байвал нийлбэрээр бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол A, B, M үйл явдлуудыг хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Хоёр ба түүнээс дээш бие даасан үйл явдал тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

10. Томъёо бүрэн магадлалболон Bayes. Жишээ.

НИЙТ МАГАДЛЫН ТОМЪЁО

H1, H2,K, Hn үйл явдлууд хос хосоороо бүтэн бүлэг үүсгэе үл нийцэх үйл явдлууд. Ийм үйл явдлуудыг таамаглал гэж нэрлэдэг. H1, H2, K, Hn таамаглалуудтай хамт А үйл явдал тохиог. Тэгвэл А үйл явдлын магадлалын томъёо нь байна

П(А)  П(Х 1)  П Х (А)  П(Х 2)  П Х (А) K П(Х n )  П Х (А) .

Баталгаа. А  А.Х. 1  А.Х. 2 K А.Х. n . Учир нь Х 1 , Х 2 ,К, Х nхосоороо нийцэхгүй, тэгвэл А.Х. 1 , А.Х. 2 ,К, А.Х. n бас хосоороо таарахгүй. Магадлалыг нэмэх дүрмийн дагуу бидэнд байна

П(А)   П(АХ би )   П(Х би )  П Х би (А) .

Q.E.D.

Жишээ. Энэ хотод жилийн 100 орчим өдөр хойд зүгээс, баруун зүгээс 200 өдөр салхилдаг. Хойд хэсэгт байрлах аж үйлдвэрийн газрууд утаа гаргадаг хортой бодисуудгурав дахь өдөр бүр, баруун хэсэгт байрладаг - долоо хоног бүрийн сүүлчийн өдөр. Хот хорт утаанд хэр их өртдөг вэ?

Шийдэл. Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй байдлаар сонгосон өдөр хот үйлдвэрийн утаанд дарагдах магадлалыг тооцох хэрэгтэй. Дараах үйл явдлуудыг тэмдэглэе: А хорт утааны нөлөөлөл, H1 салхи хойд зүгээс, H2 салхи баруунаас. Нөхцөлөөр бидэнд байгаа