Деривативын геометрийн утга нь тухайн цэг дэх дериватив юм. Деривативын геометрийн утга

Олж мэдэх геометрийн утгадериватив бол y = f(x) функцийн графикийг авч үзье. Авцгаая дурын цэгМ координат (x, y) ба түүнд ойрхон N цэг (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Ординатуудыг $\overline(M_(1) M)$ болон $\overline(N_(1) N)$, мөн M цэгээс OX тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зуръя.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ харьцаа нь OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй MN секантын үүсгэсэн $\alpha $1 өнцгийн тангенс юм. $\Delta $x тэг рүү чиглэх тул N цэг M-д ойртох ба MN секантын хязгаарлах байрлал нь М цэг дээрх муруй руу шүргэгч MT байх болно. Тиймээс f`(x) дериватив нь шүргэгчтэй тэнцүү байна. OX тэнхлэгт эерэг чиглэлтэй M (x, y) цэг дээр муруйн шүргэгчээс үүссэн $\alpha $ өнцгийн - шүргэгчийн налуу (Зураг 1).

Зураг 1. Функцийн график

Томъёо (1) ашиглан утгыг тооцоолохдоо тэмдгүүдэд алдаа гаргахгүй байх нь чухал юм. өсөлт нь сөрөг байж болно.

Муруй дээр байрлах N цэг нь аль ч талаасаа M руу чиглэж болно. Тиймээс, 1-р зурагт шүргэгчийг эсрэг чиглэл өгсөн бол $\alpha $ өнцөг $\pi $ хэмжээгээр өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь өнцгийн тангенс ба үүний дагуу өнцгийн коэффициентэд ихээхэн нөлөөлнө.

Дүгнэлт

Үүнээс үзэхэд дериватив байгаа нь y = f(x) муруйн шүргэгч байхтай холбоотой бөгөөд өнцгийн коэффициент - tg $\alpha $ = f`(x) нь төгсгөлтэй байна. Иймд шүргэгч нь OY тэнхлэгтэй параллель байх ёсгүй, эс тэгвээс $\alpha $ = $\pi $/2 байх ба өнцгийн тангенс нь хязгааргүй байх болно.

Зарим цэгүүдэд тасралтгүй муруй нь шүргэгчгүй эсвэл OY тэнхлэгтэй параллель шүргэгчтэй байж болно (Зураг 2). Тэгвэл эдгээр утгуудад функц нь деривативтай байж болохгүй. Функцийн муруй дээр хэдэн ч ижил төстэй цэг байж болно.

Зураг 2. Муруйн онцгой цэгүүд

Зураг 2-ыг авч үзье. $\Delta $x сөрөг эсвэл эерэг утгуудаас тэг рүү чиглэнэ.

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Хэрэв орвол энэ тохиолдолдхарилцаа (1) нь эцсийн хязгаартай бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Эхний тохиолдолд дериватив нь зүүн талд, хоёрдугаарт, дериватив нь баруун талд байна.

Хязгаарлалт байгаа нь зүүн ба баруун деривативуудын тэнцүү ба тэгш байдлыг илтгэнэ.

Хэрэв зүүн ба баруун деривативууд тэнцүү биш бол өгөгдсөн цэг дээр OY-тэй параллель биш шүргэгч байна (М1 цэг, Зураг 2). M2, M3 цэгүүдэд (1) хамаарал нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

M2-ийн зүүн талд байрлах N цэгүүдийн хувьд $\Delta $x $

$M_2$-н баруун талд $\Дельта $x $>$ 0, гэхдээ илэрхийлэл нь мөн f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Зүүн талд байгаа $M_3$ цэгийн хувьд $\Delta $x $$ 0 ба f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, i.e. Зүүн болон баруун талын (1) илэрхийллүүд эерэг бөгөөд $\Дельта $x -0 ба +0 ойртох үед хоёулаа +$\infty $ байх хандлагатай байдаг.

онд дериватив байхгүй тохиолдолд тодорхой цэгүүдшулуун шугамыг (x = c) Зураг 3-т үзүүлэв.

Зураг 3. Дериватив байхгүй

Жишээ 1

Зураг 4-т функцийн график ба абсцисса цэгт $x_0$ графиктай шүргэгчийг харуулав. Абсцисса дахь функцын деривативын утгыг ол.

Шийдэл. Цэг дэх дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Бүхэл тооны координат бүхий шүргэгч дээрх хоёр цэгийг сонгоцгооё. Жишээлбэл, эдгээр нь F (-3.2) ба C (-2.4) цэгүүд байг.

Геометрийн утгадериватив. Энэ сэдэвтэй холбоотой шалгалтын даалгавар нь төгсөгчдөд зарим хүндрэл учруулдаг. Тэдний ихэнх нь үнэндээ маш энгийн байдаг.Энэ нийтлэлд бид хэзээ деривативыг олох шаардлагатай ажлуудыг шинжлэх болно өгсөн хуваарьфункц ба тодорхой цэгт графикт шүргэгч

* Түүгээр ч барахгүй эдгээр асуудлуудад энэ шүргэгч дамждаг дор хаяж хоёр цэгийг ноорог дээр тодорхой тэмдэглэсэн болно. Шийдэхийн тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ?

Тодорхой y = f (x) функцийн дурын графикийг байгуулъя. дээр координатын хавтгай, x o цэг дээр шүргэгч байгуулна, шулуун ба үхрийн тэнхлэг хоорондын өнцгийг α (альфа) гэж тэмдэглэе.

Алгебрийн хичээлээс бид шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болохыг мэднэ.

Энэ нь функцийн дериватив юмy = е(x) x 0 цэг дээр тангенсийн налуутай тэнцүү:

Мөн өнцгийн коэффициент нь эргээд тангенстай тэнцүүөнцөг α (альфа), өөрөөр хэлбэл:

α (альфа) өнцөг нь бага, 90 градусаас их, эсвэл байж болно тэгтэй тэнцүү.

Хоёр тохиолдлыг харуулъя:

1. Шүргэх өнцөг нь 90 градусаас их (мохоо өнцөг).

2. Шүргэгчийн хазайлтын өнцөг нь 0 градус (шүргэх нь тэнхлэгтэй параллель байна) Өө).

Өөрөөр хэлбэл, функцийн график, тодорхой цэгт энэ графикт шүргэгч өгөгдсөн, шүргэх цэгийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлуудыг шүргэгчийн налууг (эсвэл шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс, энэ нь ижил зүйл).

Доор бид тангенс ба абсцисса тэнхлэгийн (тэнхлэг) хоорондох өнцгийн тангенсыг олох замаар ийм асуудлыг шийдэхийг авч үзэх болно.Өө), бид ойрын ирээдүйд шийдлийн өөр аргыг (өнцгийн коэффициентээр дамжуулан деривативыг олох) авч үзэх болно. Функцийн графикийг уншихын тулд деривативын шинж чанарын талаархи мэдлэг шаардлагатай асуудлуудыг мөн авч үзэх болно. Битгий алдаарай!

Координатын хавтгай дээр тангенс дамждаг хоёр цэг байгааг анхаарна уу - энэ бол маш их юм чухал цэг(эдгээр даалгаврын түлхүүр гэж хэлж болно).

Танд өөр юу хэрэгтэй вэ?- энэ бол мохоо өнцгийн тангенсийн талаарх мэдлэг юм.

y = е(x) x 0 y = е(x) цэг дээр x 0 .

Шүргэх цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү бөгөөд энэ нь эргээд абсцисса тэнхлэгт энэ шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна. Энэ өнцгийн шүргэгчийг олохын тулд бид тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах бөгөөд график дээрх хоёр цэгээр хязгаарлагдсан сегмент нь гипотенуз байх ба хөл нь тэнхлэгүүдтэй параллель байна. Энэ асуудалд эдгээр нь (–5; –4), (1; 5) цэгүүд юм.

Би танд сануулъя: шүргэгч хурц өнцөгВ зөв гурвалжинхарилцаа гэж нэрлэдэг эсрэг хөлзэргэлдээх рүү.

Хөл нь эсийн тоогоор тодорхойлогддог.

Абсцисса тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцөг өнцөгтэй тэнцүү BAC , Өө. гэсэн үг

Хариулт: 1.5

y = е(x) x 0 y = е(x) цэг дээр x 0 .

Даалгавар нь өмнөхтэй төстэй юм. График дээрх хоёр цэгээр хязгаарлагдсан сегмент нь гипотенуз болох тэгш өнцөгт гурвалжинг мөн байгуулна. Энэ асуудалд эдгээр нь (–5; –7), (3; 3) цэгүүд юм.

Хөл нь мөн эсийн тоогоор тодорхойлогддог.

Х тэнхлэгт шүргэгчийн налуу өнцөг нь BAC өнцөгтэй тэнцүү байна , Учир нь хувьсах гүйдлийн хөл нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө. гэсэн үг

Хариулт: 1.25

Зурагт функцийн графикийг харуулавy = е(x) ба абсцисса цэг дээрх шүргэгчx 0 . Функцийн деривативын утгыг олy = е(x) цэг дээр x 0 .

График дээрх хоёр цэгээр хязгаарлагдсан сегмент нь гипотенуз болох тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна. Энэ асуудалд эдгээр нь (–3; 3) ба (5; 11) цэгүүд юм. (5;11) цэгээс бид хөлний үргэлжлэлийг барьж, гадаад өнцгийг олж авдаг.

CD х тэнхлэгтэй параллель байх тул ABD өнцөг нь х тэнхлэгт шүргэгчийн налуугийн өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид ABD өнцгийн тангенсыг тооцоолох болно. Энэ нь 90 градусаас их байгааг анхаарна уу, тиймээс энд тангенсийн бууралтын томъёог ашиглах хэрэгтэй.

гэсэн үг

*Хөлний уртыг эсийн тоогоор тооцдог.

Хариулт: -1.75

Зурагт функцийн графикийг харуулав y = е(x) ба абсцисса цэг дээрх шүргэгч x 0 . Функцийн деривативын утгыг ол y = е(x) цэг дээр x 0 . x 0

Тэгээд л болоо! Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Хичээлийн зорилго:

Оюутнууд мэдэж байх ёстой:

• юу гэж нэрлэдэг налууЧигээрээ;
• шулуун шугам ба Үхрийн тэнхлэгийн хоорондох өнцөг;
• деривативын геометрийн утга нь юу вэ;
• функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл;
• параболын шүргэгчийг байгуулах арга;
• өргөдөл гаргах боломжтой онолын мэдлэгпрактик дээр.

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: үүсмэл зүйлийн механик болон геометрийн утгын талаархи мэдлэг, чадвар, ур чадварын тогтолцоог оюутнуудад эзэмшүүлэх нөхцлийг бүрдүүлэх.

Боловсрол: оюутнуудад шинжлэх ухааны ертөнцийг үзэх үзлийг төлөвшүүлэх.

Хөгжүүлэлт: сурагчдын танин мэдэхүйн сонирхол, бүтээлч байдал, хүсэл зориг, ой санамж, яриа, анхаарал, төсөөлөл, ойлголтыг хөгжүүлэх.

Боловсрол, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга замууд:

• харааны;
• практик;
• By сэтгэцийн үйл ажиллагаа: индуктив;
• материалын шингээлтийн дагуу: хэсэгчлэн хайх, нөхөн үржихүй;
• бие даасан байдлын зэргээр: лабораторийн ажил;
• өдөөх: урамшуулах;
• хяналт: аман урд талын судалгаа.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Аман дасгал (үүсмэлийг ол)
2. “Шалтгаан математик шинжилгээ”.
3. Шинэ материал сурах
4. Физик. Одоохон.
5. Даалгавруудыг шийдвэрлэх.
6. Лабораторийн ажил.
7. Хичээлийг дүгнэж байна.
8. Гэрийн даалгаврын талаар тайлбар хийх.

Тоног төхөөрөмж: мультимедиа проектор (танилцуулга), карт ( лабораторийн ажил).

"Хүн өөрийнхөө хүчинд итгэж байж л ямар нэгэн зүйлд хүрдэг"

Л.Фейербах

Хичээлийн туршид хичээлийн зохион байгуулалт, сурагчдын хичээлд бэлэн байдал, дэг журам, сахилга бат.

Хичээлийн бүхэлд нь болон түүний үе шатуудын аль алинд нь суралцагчдад сургалтын зорилго тавих.

Энэ сэдвээр болон хичээлийн туршид судалж буй материалын ач холбогдлыг тодорхойлох.

Амаар тоолох

1. Деривативуудыг ол:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логик тест.

a) Алга болсон илэрхийллийг оруулна уу.

Шинжлэх ухааны хөгжлийн ерөнхий чиглэл нь эцсийн эцэст хүний ​​үйл ажиллагааны практикт тавигдах шаардлагаар тодорхойлогддог. Татвар хураах, армийн хангамжийг зохион байгуулах, ордон, пирамид барих, усалгааны системийг бий болгох зэрэг нь нарийн төвөгтэй тооцоолол шаарддаг тул арифметик, алгебрийг хангалттай хөгжүүлээгүй бол нарийн шаталсан удирдлагын тогтолцоотой эртний улсууд оршин тогтнох боломжгүй байсан. Сэргэн мандалтын үед дундад зууны үеийн ертөнцийн янз бүрийн хэсгүүдийн хоорондын холбоо өргөжиж, худалдаа, гар урлал хөгжсөн. Үйлдвэрлэлийн техникийн түвшний хурдацтай өсөлт эхэлж, хүн, амьтны булчингийн хүчин чармайлттай холбоогүй эрчим хүчний шинэ эх үүсвэрүүдийг үйлдвэрт ашиглаж байна. XI-XII зууны үед дүүргэгч, нэхэх машинууд гарч ирсэн бөгөөд XV зууны дундуур - хэвлэх машин. Энэ үед нийгмийн үйлдвэрлэл эрчимтэй хөгжих хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн эрт дээр үеэс дүрслэх шинж чанартай байсан байгалийн шинжлэх ухааны мөн чанар өөрчлөгдсөн. Байгалийн шинжлэх ухааны зорилго нь объект биш харин байгалийн үйл явцыг гүнзгий судлах явдал юм. Тогтмол хэмжигдэхүүнтэй ажилладаг математик нь эртний байгалийн шинжлэх ухаанд тохирсон байв. Үйл явцын үр дүнг бус харин түүний урсгалын мөн чанар, түүний төрөлхийн хэв маягийг дүрсэлсэн математикийн аппаратыг бий болгох шаардлагатай байв. Үүний үр дүнд 12-р зууны эцэс гэхэд Английн Ньютон, Германы Лейбниц нар математикийн анализ хийх эхний шатыг дуусгасан. "Математик анализ" гэж юу вэ? Аливаа үйл явцын шинж чанарыг хэрхэн тодорхойлж, урьдчилан таамаглах вэ? Эдгээр функцийг ашиглах уу? Тодорхой үзэгдлийн мөн чанарт илүү гүнзгий нэвтэрч орох уу?

Ньютон, Лейбниц нарын замыг дагаж, энэ үйл явцыг цаг хугацааны функц гэж үзэн хэрхэн дүн шинжилгээ хийж болохыг харцгаая.

Цаашид бидэнд туслах хэдэн ойлголтыг танилцуулъя.

y=kx+ b шугаман функцийн график нь шулуун, k тоог гэнэ шулуун шугамын налуу. k=tg, энд шулуун шугамын өнцөг, өөрөөр хэлбэл энэ шулуун ба Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг байна.

Зураг 1

y=f(x) функцийн графикийг авч үзье. Дурын хоёр цэгээр дамжуулан секант зуръя, жишээ нь AM секант. (Зураг 2)

Секантын өнцгийн коэффициент k=tg. AMC тэгш өнцөгт гурвалжинд<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Зураг 2

Зураг 3

"Хурд" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө нэг хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлт нь нөгөө хэмжигдэхүүний өөрчлөлтөөс хамааралтай болохыг тодорхойлдог бөгөөд сүүлийнх нь цаг хугацаа байх албагүй.

Тэгэхээр секантын налуу өнцгийн тангенс tg = байна.

Богино хугацаанд тоо хэмжээний өөрчлөлтийн хамаарлыг бид сонирхож байна. Аргументийн өсөлтийг тэг рүү чиглүүлье. Дараа нь томъёоны баруун тал нь А цэг дээрх функцийн дериватив юм (яагаадыг тайлбарла). Хэрэв x -> 0 бол M цэг графикийн дагуу А цэг рүү шилжих бөгөөд энэ нь AM шулуун нь AB шулуун руу ойртож байна гэсэн үг юм. А цэг дээрх y = f(x) функцын графиктай шүргэгч. (Зураг 3)

Секантын налуу өнцөг нь шүргэгчийн налуугийн өнцөгт чиглэдэг.

Деривативын геометрийн утга нь тухайн цэг дээрх деривативын утга нь тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

Деривативын механик утга.

Шүргэгчийн өнцгийн тангенс нь тухайн цэг дэх функцийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг харуулсан утга, өөрөөр хэлбэл судалж буй процессын шинэ шинж чанар юм. Энэ хэмжээг Лейбниц гэж нэрлэсэн дериватив, мөн Ньютон үүсмэлийг өөрөө агшин зуур гэж нэрлэдэг гэж хэлсэн хурд.

дугаар 91(1) хуудас 91 – самбар дээр харуулах.

x 0 – 1 цэгийн f(x) = x 3 муруйн шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь энэ функцийн деривативын x ​​= 1 дэх утга юм. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

№ 91 (3.5) – диктант.

№ 92(1) - хэрэв хүсвэл самбар дээр.

№ 92 (3) - аман сорилтой бие даан.

№ 92 (5) - самбар дээр.

Хариултууд: 45 0, 135 0, 1.5 e 2.

Зорилго: үзэл баримтлалыг боловсруулах " механик мэдрэмждериватив".

Механик дахь деривативын хэрэглээ.

Хууль батлагдсан шулуун шугаман хөдөлгөөнцэгүүд x = x (t), t.

1. Тодорхой хугацааны туршид хөдөлгөөний дундаж хурд;
2. t 04 үеийн хурд ба хурдатгал
3. Зогсоох мөчүүд; зогсох мөчөөс хойшхи цэг нь нэг чиглэлд хөдөлж байгаа эсэх, эсвэл эсрэг чиглэлд хөдөлж эхэлсэн эсэх;
4. Хамгийн өндөр хурдтодорхой хугацааны туршид хөдөлгөөн хийх.

Ажлыг 12 хувилбарын дагуу гүйцэтгэдэг, даалгавруудыг хүндрэлийн түвшингээр нь ялгадаг (эхний сонголт бол хамгийн бага түвшний хүндрэл юм).

Ажил эхлэхийн өмнө дараахь асуултуудын талаар ярилц.

1. Юу физик утгашилжилтийн дериватив? (Хурд).
2. Хурдны деривативыг олох боломжтой юу? Энэ хэмжигдэхүүнийг физикт ашигладаг уу? Үүнийг юу гэж нэрлэдэг вэ? (хурдатгал).
3. Агшин зуурын хурдтэгтэй тэнцүү. Энэ мөчид биеийн хөдөлгөөний талаар юу хэлж болох вэ? (Энэ бол зогсох мөч юм).
4. Дараах мэдэгдлүүдийн физик утга нь юу вэ: хөдөлгөөний дериватив нь t 0 цэг дээр тэгтэй тэнцүү байна; t 0 цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг өөрчлөгдөх үү? (Бие зогсох, хөдөлгөөний чиглэл эсрэгээр өөрчлөгдөнө).

Оюутны ажлын жишээ.

x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Зураг 4

IN эсрэг чиглэл.

Хурдны бүдүүвч диаграммыг зурцгаая. Хамгийн дээд хурд нь тухайн цэг дээр хүрдэг

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Зураг 5

1) Деривативын геометрийн утга нь юу вэ?
2) Деривативын механик утга нь юу вэ?
3) Ажлынхаа талаар дүгнэлт хий.

Хуудас 90. No91(2,4,6), No92(2,4,6,), 92 дугаар 112.

Ашигласан номууд

• Сурах бичиг Алгебр ба шинжилгээний эхлэл.
  Зохиогчид: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
  А.Б. Жижченкогийн найруулсан.
• Алгебр 11-р анги. Хичээлийн төлөвлөгөөШ.Алимов, Ю.В.Сидоров нарын сурах бичиг. 1-р хэсэг.
• Интернет нөөц:

Лекц: Функцийн деривативын тухай ойлголт, деривативын геометрийн утга

Бүх авч үзэх интервалд тасралтгүй байх зарим f(x) функцийг авч үзье. Харж буй интервал дээр бид x 0 цэгийг, мөн энэ цэг дэх функцийн утгыг сонгоно.

Тиймээс, бид x 0 цэгийг тэмдэглэсэн графикийг, мөн (x 0 + ∆x) цэгийг харцгаая. ∆х нь сонгосон хоёр цэгийн хоорондох зай (ялгаа) гэдгийг санаарай.

X тус бүр нь тохирч байгааг ойлгох нь зүйтэй хувийн утгафункцууд y.

x 0 ба (x 0 + ∆x) цэг дээрх функцийн утгуудын зөрүүг энэ функцийн өсөлт гэж нэрлэдэг. ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

анхаарлаа хандуулъя Нэмэлт мэдээлэлГрафик дээр байгаа нь KL гэж нэрлэгддэг секант, түүнчлэн KN ба LN интервалтайгаар үүсгэсэн гурвалжин юм.

Секантын байрлах өнцгийг түүний налуу өнцөг гэж нэрлээд α гэж тэмдэглэнэ. Үүнийг амархан тодорхойлж болно градусын хэмжүүр LKN өнцөг нь α-тай тэнцүү байна.

Одоо tgα = LN / KN = ∆у / ∆х тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хамаарлыг санацгаая.

Энэ нь секантын налуу өнцгийн тангенс юм харьцаатай тэнцүү байнафункц нь аргументийн өсөлт рүү нэмэгддэг.

Нэгэн цагт дериватив нь функцийн өсөлтийг хязгааргүй бага интервал дээр аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар юм.

Дериватив нь тодорхой газар нутагт функц өөрчлөгдөх хурдыг тодорхойлдог.

Деривативын геометрийн утга

Хэрэв та ямар нэгэн функцийн деривативыг тодорхой цэгээс олвол өгөгдсөн гүйдлийн графикт шүргэгч OX тэнхлэгтэй харьцуулахад ямар өнцгөөр байрлахыг тодорхойлж болно. График дээр анхаарлаа хандуулаарай - тангенциал налуу өнцгийг φ үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд шулуун шугамын тэгшитгэл дэх k коэффициентээр тодорхойлогддог: y = kx + b.

Өөрөөр хэлбэл, деривативын геометрийн утга нь функцын зарим цэг дэх шүргэгч өнцгийн тангенс юм гэж бид дүгнэж болно.

Сэдэв. Дериватив. Деривативын геометрийн болон механик утга

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол функцийг тухайн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой гэнэ. Функцийн деривативыг (томьёо 2) гэж тэмдэглэнэ.

1. Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикийг харцгаая. 1-р зурагнаас харахад функцийн графикийн А ба В хоёр цэгийн хувьд 3-р томъёог бичиж болно). Энэ нь AB секантын налуу өнцгийг агуулдаг.

Тиймээс ялгааны харьцаа нь секантын налуутай тэнцүү байна. Хэрэв та А цэгийг засаж, В цэгийг түүн рүү чиглүүлбэл энэ нь хязгааргүй буурч 0-д ойртож, AB секанс нь шүргэгч AC-д ойртоно. Тиймээс ялгааны харьцааны хязгаар нь A цэг дээрх шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Энэ нь дүгнэлтэд хүргэдэг.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн графиктай шүргэгчийн налуу юм. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм.

1. Тангенсийн тэгшитгэл . Тухайн цэг дээрх функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг гаргая. IN ерөнхий тохиолдолөнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. b-г олохын тулд шүргэгч нь А цэгийг дайран өнгөрдөг давуу талыг ашиглана: . Энэ нь: . Энэ илэрхийлэлийг b-ийн оронд орлуулснаар шүргэгч тэгшитгэлийг олж авна (томьёо 4).