Сургуульд олон хүмүүс интегралыг шийдэж чадахгүй эсвэл зарим нэг бэрхшээлтэй тулгардаг. Энэ нийтлэл танд үүнийг ойлгоход тусална, учир нь та бүх зүйлийг олох болно. салшгүй хүснэгтүүд.
Интегралдахь үндсэн тооцоо, ойлголтуудын нэг юм математик шинжилгээ. Түүний гадаад төрх нь хоёр зорилгоос үүдэлтэй:
Эхний гоол- дериватив ашиглан функцийг сэргээх.
Хоёр дахь зорилго- графикаас f(x) функц хүртэлх зайд байрлах талбайн тооцоо, a нь b-ээс их буюу тэнцүү, х тэнхлэгээс их буюу тэнцүү байна.
Эдгээр зорилго нь биднийг тодорхой ба тодорхойгүй интеграл руу хөтөлдөг. Эдгээр интегралуудын хоорондын холбоо нь шинж чанарыг хайх, тооцоолоход оршино. Гэвч бүх зүйл урсаж, цаг хугацаа өнгөрөх тусам бүх зүйл өөрчлөгдөж, шинэ шийдлүүдийг олж, нэмэлтүүдийг тодорхойлсон бөгөөд ингэснээр тодорхой ба тодорхойгүй интегралуудыг интеграцийн бусад хэлбэрт хүргэж байна.
Юу болов тодорхойгүй интеграл гэж та асууж байна. Энэ нь х-ээс их b-ээс их интервал дахь нэг х хувьсагчийн эсрэг дериватив функц F(x) юм. дурын функцийг F(x) гэж нэрлэдэг бөгөөд аливаа x тэмдэглэгээний өгөгдсөн интервалд дериватив нь F(x)-тэй тэнцүү байна. F(x) нь f(x)-ийн хувьд эсрэг дериватив болох нь тодорхой байна. Энэ нь F1(x) = F(x) + C гэсэн үг юм. C - өгөгдсөн интервал дахь f(x)-ийн аливаа тогтмол ба эсрэг дериватив. Энэ мэдэгдэл нь f(x) - 2 функцийн хувьд эсрэг деривативууд нь зөвхөн тогтмол хэмжээгээр ялгаатай; Теорем дээр үндэслэсэн интеграл тооцооЭнэ нь тус бүр нь интервалд үргэлжилдэг болох нь харагдаж байна
Тодорхой интеграл интеграл нийлбэр дэх хязгаар буюу зарим (a,b) мөрөнд тодорхойлогдсон f(x) функцийн өгөгдсөн шугамын төгсгөл дэх илэрхийллүүдийн зөрүүг илэрхийлсэн эсрэг дериватив F байгаа нөхцөлд ойлгогдоно. F(b) - F(a).
Энэ сэдвийг судлахын тулд би видеог үзэхийг санал болгож байна. Энэ нь интегралыг хэрхэн олохыг нарийвчлан хэлж өгдөг.
Интегралын хүснэгт бүр нь шийдвэрлэхэд тусалдаг тул маш хэрэгтэй байдаг тодорхой төрөлинтеграл.
Бүх төрлийн бичиг хэргийн хэрэгсэл гэх мэт. Та v-kant.ru онлайн дэлгүүрээр дамжуулан худалдан авах боломжтой. Эсвэл зүгээр л Самара бичгийн хэрэгслийн холбоосыг дагана уу (http://v-kant.ru) чанар, үнэ нь таныг тааламжтайгаар гайхшруулах болно.
-ийн интегралуудыг жагсаацгаая үндсэн функцууд, тэдгээрийг заримдаа хүснэгт гэж нэрлэдэг:
Дээрх томъёонуудын аль нэгийг баруун талын деривативыг (үр дүн нь интеграл болно) нотолж болно.
Интеграцийн аргууд
Интеграцийн үндсэн аргуудыг авч үзье. Үүнд:
1. задралын арга(шууд интеграци).
Энэ арга нь хүснэгтэн интегралыг шууд ашиглах, мөн тодорхойгүй интегралын 4 ба 5-р шинж чанарыг ашиглах (өөрөөр хэлбэл хаалтнаас тогтмол хүчин зүйлийг авах ба/эсвэл интегралыг функцүүдийн нийлбэр болгон илэрхийлэх - задрал) дээр суурилдаг. Нөхцөлүүдийн интеграл).
Жишээ 1.Жишээлбэл,(dx/x 4)-ийг олохын тулд x n dx хүснэгтийн интегралыг шууд ашиглаж болно. Үнэн хэрэгтээ,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Өөр хэдэн жишээг харцгаая.
Жишээ 2.Үүнийг олохын тулд бид ижил интеграл ашигладаг:
Жишээ 3.Үүнийг олохын тулд та авах хэрэгтэй
Жишээ 4.Үүнийг олохын тулд бид интеграл функцийг хэлбэрээр илэрхийлнэ 
ба экспоненциал функцийн хувьд хүснэгтийн интегралыг ашиглана:
Тогтмол хүчин зүйл болох хаалт ашиглахыг авч үзье.
Жишээ 5.
Жишээлбэл, олъё 
. Үүнийг харгалзан үзвэл бид авдаг
Жишээ 6.Бид олох болно. Учир нь 
, хүснэгтийн интегралыг ашиглая 
Бид авдаг
Дараах хоёр жишээнд та хаалт болон хүснэгтийн интегралуудыг ашиглаж болно.
Жишээ 7.
(бид ашигладаг ба 
);
Жишээ 8.
(бид ашигладаг 
Тэгээд 
).
Нийлбэрийн интеграл ашигладаг илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.
Жишээ 9.Жишээлбэл, олъё 
. Тоолуурт өргөтгөх аргыг хэрэглэхийн тулд бид нийлбэр шоо томъёог ашиглаж, дараа нь үүссэн олон гишүүнтийг хуваагч, гишүүн гишүүнээр хуваана.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Шийдлийн төгсгөлд нэг нийтлэг тогтмол С бичигдсэн байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй (мөн нэр томъёо бүрийг нэгтгэхдээ салангид биш). Цаашид мөн илэрхийлэлд дор хаяж нэг тодорхойгүй интеграл (бид шийдлийн төгсгөлд нэг тогтмол бичнэ) агуулагдаж байвал шийдлийн процесст бие даасан нэр томъёоны интегралаас тогтмолуудыг орхихыг санал болгож байна.
Жишээ 10.Бид олох болно 
. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд тоологчийг үржвэр болгоё (үүний дараа бид хуваагчийг багасгаж болно).
Жишээ 11.Бид олох болно. Тригонометрийн таних тэмдгийг энд ашиглаж болно.
Заримдаа илэрхийлэлийг нэр томьёо болгон задлахын тулд илүү төвөгтэй арга техникийг ашиглах хэрэгтэй болдог.
Жишээ 12.Бид олох болно 
. Интегралд бид бутархайн бүх хэсгийг сонгоно 
. Дараа нь
Жишээ 13.Бид олох болно
2. Хувьсах орлуулах арга (орлуулах арга)
Арга нь дараах томьёо дээр суурилдаг: f(x)dx=f((t))`(t)dt, энд x =(t) нь авч үзэж буй интервал дээр дифференциалагдах функц юм.
Баталгаа. Зүүн ба t хувьсагчтай холбоотой деривативуудыг олъё зөв хэсгүүдтомъёо.
Зүүн талд завсрын аргумент нь x = (t) байх цогц функц байгааг анхаарна уу. Иймд t-д хамааруулан ялгахын тулд эхлээд интегралыг х-д хамааруулан ялгаж, дараа нь t-д хамаарах завсрын аргументийн деривативыг авна.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Баруун талын дериватив:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Эдгээр деривативууд нь тэнцүү тул Лагранжийн теоремын дагуу батлагдаж буй томъёоны зүүн ба баруун талууд тодорхой тогтмолоор ялгаатай байна. Тодорхой бус интеграл нь өөрөө тодорхойгүй тогтмол гишүүн хүртэл тодорхойлогддог тул энэ тогтмолыг эцсийн тэмдэглэгээнээс хасаж болно. Батлагдсан.
Хувьсагчийн амжилттай өөрчлөлт нь анхны интегралыг хялбарчлах боломжийг олгодог бөгөөд хамгийн энгийн тохиолдолд хүснэгтийн хэлбэрт оруулдаг. Энэ аргыг хэрэглэхдээ шугаман болон шугаман бус орлуулалтын аргуудыг ялгадаг.
a) Шугаман орлуулалтын аргаНэг жишээ авч үзье.
Жишээ 1.
. t= 1 – 2x гэж үзье
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Шинэ хувьсагчийг тодорхой бичих шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ийм тохиолдолд тэд дифференциал тэмдгийн дор функцийг хувиргах эсвэл дифференциал тэмдгийн дор тогтмол болон хувьсагчийг оруулах тухай ярьдаг. О далд хувьсагчийн орлуулалт.
Жишээ 2.Жишээ ньcos(3x + 2)dx-г олъё. Дифференциалын шинж чанараар dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тэгвэлcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x +) 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Харгалзан үзсэн хоёр жишээн дээр шугаман орлуулалтыг t=kx+b(k0) ашиглан интегралуудыг олов.
Ерөнхий тохиолдолд дараах теорем хүчинтэй байна.
Шугаман орлуулалтын теорем. F(x) нь f(x) функцийн эсрэг дериватив байг. Дараа ньf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, энд k ба b зарим тогтмолууд,k0.
Баталгаа.
f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C интегралын тодорхойлолтоор. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Интеграл тэмдэгээс тогтмол k коэффициентийг авч үзье: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Одоо бид тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг хоёр хувааж, тогтмол гишүүний тэмдэглэгээ хүртэл нотлох мэдэгдлийг олж авах боломжтой.
Энэ теорем нь f(x)dx= F(x) + C интегралын тодорхойлолтод х аргументийн оронд (kx+b) илэрхийллийг орлуулах юм бол энэ нь нэмэлт илэрхийлэл гарч ирнэ гэж заасан байдаг. эсрэг деривативын өмнө хүчин зүйл 1/k.
Батлагдсан теоремыг ашиглан бид дараах жишээнүүдийг шийднэ.
Жишээ 3.
Бид олох болно 
. Энд kx+b= 3 –x, өөрөөр хэлбэл k= -1,b= 3. Дараа нь
Жишээ 4.
Бид олох болно. Herekx+b= 4x+ 3, өөрөөр хэлбэл k= 4,b= 3. Дараа нь
Жишээ 5.
Бид олох болно 
. Энд kx+b= -2x+ 7, өөрөөр хэлбэл k= -2,b= 7. Дараа нь
.
Жишээ 6.Бид олох болно 
. Энд kx+b= 2x+ 0, өөрөөр хэлбэл k= 2,b= 0 байна.
.
Хүлээн авсан үр дүнг задралын аргаар шийдсэн 8-р жишээтэй харьцуулъя. Ижил асуудлыг өөр аргаар шийдэж, бид хариултыг авсан 
. Үр дүнг харьцуулж үзье: Тиймээс эдгээр илэрхийлэл нь бие биенээсээ тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай байдаг 
, өөрөөр хэлбэл Хүлээн авсан хариултууд хоорондоо зөрчилддөггүй.
Жишээ 7.Бид олох болно 
. Хуваарьт төгс квадратыг сонгоцгооё.
Зарим тохиолдолд хувьсагчийг өөрчилснөөр интегралыг шууд хүснэгтэн хэлбэрт оруулахгүй, харин шийдлийг хялбарчилж, дараагийн алхамд өргөтгөх аргыг ашиглах боломжтой болгодог.
Жишээ 8.Жишээлбэл, олъё 
. t=x+ 2, дараа нь dt=d(x+ 2) =dx гэж солино. Дараа нь
,
Энд C = C 1 – 6 (эхний хоёр гишүүний оронд (x+ 2) илэрхийллийг орлуулахад ½x 2 -2x– 6 болно).
Жишээ 9.Бид олох болно 
. t= 2x+ 1, тэгвэл dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
(2x+ 1) илэрхийллийг t-д орлуулж, хаалтуудыг нээж, ижил төстэйгүүдийг өгье.
Өөрчлөлтийн явцад бид өөр тогтмол нэр томъёо руу шилжсэн гэдгийг анхаарна уу, учир нь хувиргах явцад тогтмол нэр томъёоны бүлгийг орхигдуулж болно.
b) Шугаман бус орлуулалтын аргаНэг жишээ авч үзье.
Жишээ 1.
. Lett = -x 2. Дараа нь х-г t-ээр илэрхийлж, дараа нь dx-ийн илэрхийлэл олж, хүссэн интегралдаа хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж болно. Гэхдээ энэ тохиолдолд өөрөөр хийх нь илүү хялбар байдаг. dt=d(-x 2) = -2xdx гэж олъё. xdx илэрхийлэл нь хүссэн интегралын интегралын хүчин зүйл гэдгийг анхаарна уу. Үүссэн тэгшитгэлээс үүнийг илэрхийльеxdx= - ½dt. Дараа нь
Эсрэг дериватив функц ба тодорхойгүй интеграл
Баримт 1. Интеграл гэдэг нь дифференциалын урвуу үйлдэл, тухайлбал, энэ функцийн мэдэгдэж буй деривативаас функцийг сэргээх явдал юм. Ингэснээр функц сэргээгдсэн Ф(x) гэж нэрлэдэг эсрэг деривативфункцийн хувьд е(x).
Тодорхойлолт 1. Чиг үүрэг Ф(x е(x) тодорхой интервалаар X, хэрэв бүх утгын хувьд xЭнэ интервалаас тэгш байдал хадгалагдана Ф "(x)=е(x), өөрөөр хэлбэл энэ функц е(x) нь дериватив юм эсрэг дериватив функц Ф(x). .
Жишээлбэл, функц Ф(x) = нүгэл x функцийн эсрэг дериватив юм е(x) = cos x бүх тооны шулуун дээр, учир нь x-ийн дурын утгын хувьд (нүгэл x)" = (cos x) .
Тодорхойлолт 2. Функцийн тодорхойгүй интеграл е(x) нь түүний бүх эсрэг деривативуудын багц юм. Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана
∫
е(x)dx
,тэмдэг хаана байна ∫ интеграл тэмдэг, функц гэж нэрлэдэг е(x) – интеграл функц, ба е(x)dx - интеграл илэрхийлэл.
Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив е(x), Тэр
∫
е(x)dx = Ф(x) +C
Хаана C - дурын тогтмол (тогтмол).
Функцийн эсрэг деривативуудын багцын утгыг ойлгох тодорхойгүй интегралДараахь зүйрлэл тохиромжтой. Хаалга (уламжлалт модон хаалга) байг. Үүний үүрэг бол "хаалга байх" юм. Хаалга юугаар хийгдсэн бэ? Модоор хийсэн. Энэ нь интегралын эсрэг деривативуудын багц нь "хаалга байх" функц, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойгүй интеграл нь "мод + C байх" функц байна гэсэн үг бөгөөд C нь тогтмол юм. энэ хүрээнджишээ нь модны төрлийг илэрхийлж болно. Хаалгыг зарим багаж ашиглан модоор хийдэгтэй адил функцийн деривативыг ашиглан эсрэг дериватив функцээс "бүтээдэг". деривативыг судалж байхдаа бидний сурсан томъёо .
Дараа нь нийтлэг объектуудын функцын хүснэгт ба тэдгээрийн харгалзах эсрэг деривативууд ("хаалга байх" - "мод байх", "халбага байх" - "төмөр байх" гэх мэт) нь үндсэн хүснэгттэй төстэй байна. тодорхойгүй интегралуудыг доор өгөв. Тодорхой бус интегралын хүснэгтэд эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг деривативуудыг харуулсан нийтлэг функцуудыг жагсаав. Тодорхой бус интегралыг олох асуудлын нэг хэсэгт маш их хүчин чармайлтгүйгээр шууд интегралд оруулах боломжтой, өөрөөр хэлбэл тодорхойгүй интегралын хүснэгтийг ашиглан интегралуудыг өгдөг. Илүү төвөгтэй бодлогод хүснэгтийн интегралыг ашиглахын тулд эхлээд интегралыг хувиргах ёстой.
Баримт 2. Функцийг эсрэг дериватив болгон сэргээхдээ бид дурын тогтмол (тогтмол)-ыг харгалзан үзэх ёстой. C, мөн 1-ээс хязгааргүй хүртэлх янз бүрийн тогтмолтой эсрэг деривативуудын жагсаалтыг бичихгүйн тулд дурын тогтмолтой эсрэг деривативуудын багц бичих хэрэгтэй. C, жишээ нь: 5 x³+C. Тиймээс эсрэг дериватив нь функц байж болох тул дурын тогтмол (тогтмол) нь эсрэг деривативын илэрхийлэлд багтсан болно, жишээлбэл, 5. x³+4 эсвэл 5 x³+3 бөгөөд ялгах үед 4 эсвэл 3 эсвэл бусад тогтмол нь тэг болно.
Энэ функцийн хувьд интеграцийн асуудлыг тавьцгаая е(x) ийм функцийг олоорой Ф(x), хэний деривативтэнцүү байна е(x).
Жишээ 1.Функцийн эсрэг деривативуудын олонлогийг ол
Шийдэл. Энэ функцийн хувьд эсрэг дериватив нь функц юм
Чиг үүрэг Ф(x) функцийн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг е(x), хэрэв дериватив бол Ф(x) тэнцүү байна е(x), эсвэл ижил зүйл болох дифференциал Ф(x) тэнцүү байна е(x) dx, өөрөөр хэлбэл
(2)
Тиймээс функц нь функцийн эсрэг дериватив юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь цорын ганц эсрэг дериватив биш юм. Тэд бас үүрэг гүйцэтгэдэг
Хаана ХАМТ- дурын тогтмол. Үүнийг ялгах замаар баталгаажуулж болно.
Тиймээс, хэрэв функцэд нэг эсрэг дериватив байгаа бол түүний хувьд байдаг хязгааргүй олонлогтогтмол нэр томъёогоор ялгаатай эсрэг деривативууд. Функцийн бүх эсрэг деривативуудыг дээрх хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь дараах теоремоос үүдэлтэй.
Теорем (баримт 2-ын албан ёсны мэдэгдэл).Хэрэв Ф(x) – функцийн эсрэг дериватив е(x) тодорхой интервалаар X, дараа нь бусад ямар ч эсрэг дериватив е(x) ижил интервал дээр хэлбэрээр илэрхийлж болно Ф(x) + C, Хаана ХАМТ- дурын тогтмол.
IN дараах жишээТодорхой бус интегралын шинж чанаруудын дараа бид 3-р зүйлд өгөгдсөн интегралын хүснэгтэд аль хэдийн хандсан. Дээрх зүйлийн мөн чанар тодорхой байхын тулд бид хүснэгтийг бүхэлд нь уншихаас өмнө үүнийг хийдэг. Хүснэгт болон шинж чанаруудын дараа бид нэгтгэх явцад тэдгээрийг бүхэлд нь ашиглах болно.
Жишээ 2.Эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг ол:
Шийдэл. Бид эдгээр функцийг "хийсэн" эсрэг дериватив функцүүдийн багцыг олдог. Интегралын хүснэгтээс томьёог дурдахдаа одоохондоо ийм томьёо байдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөрч, тодорхой бус интегралын хүснэгтийг өөрөө бага зэрэг судлах болно.
1) Интегралын хүснэгтээс (7) томъёог ашиглана n= 3, бид олж авна
2) Интегралын хүснэгтээс (10) томъёог ашиглана n= 1/3, бидэнд байна
3) Түүнээс хойш
дараа нь (7) томъёоны дагуу n= -1/4 бид олдог
Энэ нь интеграл тэмдгийн доор бичигдсэн функц өөрөө биш юм. е, мөн түүний бүтээгдэхүүн нь дифференциалаар dx. Энэ нь үндсэндээ эсрэг деривативыг аль хувьсагчаар хайж байгааг харуулахын тулд хийгддэг. Жишээлбэл,
,
;
Энд хоёр тохиолдолд интеграл нь -тэй тэнцүү боловч авч үзсэн тохиолдолд түүний тодорхойгүй интегралууд өөр байна. Эхний тохиолдолд энэ функцийг хувьсагчийн функц гэж үзнэ x, хоёрдугаарт - функцээр z .
Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйл явцыг тухайн функцийг интегралдах гэж нэрлэдэг.
Тодорхой бус интегралын геометрийн утга
Бид муруй олох хэрэгтэй гэж бодъё y=F(x)Мөн цэг бүр дээрх шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенс гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн өгөгдсөн функц f(x)энэ цэгийн абсцисса.
дагуу геометрийн мэдрэмждериватив, муруйн өгөгдсөн цэг дэх шүргэгч өнцгийн тангенс y=F(x) утгатай тэнцүү байнадериватив F"(x). Тиймээс бид ийм функцийг олох хэрэгтэй F(x), үүний төлөө F"(x)=f(x). Даалгаварт шаардлагатай функц F(x)-ийн эсрэг дериватив юм f(x). Асуудлын нөхцлийг нэг муруй биш, харин муруйн гэр бүл хангадаг. y=F(x)- эдгээр муруйнуудын аль нэгийг, үүнээс өөр ямар ч муруйг авч болно зэрэгцээ шилжүүлэгтэнхлэгийн дагуу Өө.
-ийн эсрэг дериватив функцийн графикийг нэрлэе f(x)интеграл муруй. Хэрэв F"(x)=f(x), дараа нь функцийн график y=F(x)интеграл муруй байна.
Баримт 3. Тодорхой бус интеграл нь геометрийн хувьд бүх интеграл муруйн бүлгээр илэрхийлэгдэнэ. , доорх зурган дээрх шиг. Муруй бүрийн координатын гарал үүслийн зайг дурын интеграцийн тогтмолоор тодорхойлно C.
Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд
Баримт 4. Теорем 1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай, дифференциал нь интегралтай тэнцүү.
Баримт 5. Теорем 2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл е(x) функцтэй тэнцүү е(x) тогтмол хугацаа хүртэл , өөрөөр хэлбэл
(3)
1 ба 2-р теоремууд нь дифференциал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдлүүд гэдгийг харуулж байна.
Баримт 6. Теорем 3. Тогтмол үржүүлэгчВ интегралтодорхойгүй интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно , өөрөөр хэлбэл
