Энэ хэсэгт үндсэн үндсэн функцууд болон тэдгээрийн шинж чанаруудын талаархи лавлагаа материалыг агуулдаг. Ангилалыг өгсөн болно үндсэн функцууд. График, томьёо, дериватив, эсрэг дериватив (интеграл), цувралын өргөтгөлүүд, нарийн төвөгтэй хувьсагчаар илэрхийлэгдэх тодорхой функцүүдийн шинж чанарыг хэлэлцдэг дэд хэсгүүдийн холбоосыг доор харуулав.
Үндсэн функцүүдийн лавлах хуудас
Энгийн функцүүдийн ангилал
Алгебрийн функцтэгшитгэлийг хангах функц байна:
,
хаана нь хамааралтай хувьсагч у ба бие даасан хувьсагч х дахь олон гишүүнт байна.
,
Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
олон гишүүнт хаана байна.
Алгебрийн функцийг олон гишүүнт (бүхэл бүтэн рационал функц), рационал функц, иррационал функц гэж хуваадаг.Бүхэл бүтэн оновчтой функц , үүнийг бас нэрлэдэголон гишүүнт эсвэлолон гишүүнт , нь x ба хувьсагчаас гарнахязгаарлагдмал тоо ашиглан тооарифметик үйлдлүүд
.
нэмэх (хасах) ба үржүүлэх. Хаалтуудыг нээсний дараа олон гишүүнтийг каноник хэлбэрт оруулна.
Бутархай рационал функц , эсвэл зүгээр лоновчтой функц
,
, нэмэх (хасах), үржүүлэх, хуваах арифметик үйлдлүүдийг ашиглан х хувьсагч ба хязгаарлагдмал тооны тооноос гарна. Рационал функцийг хэлбэр болгон бууруулж болно
хаана ба олон гишүүнт байна.Иррациональ функц нь рационал биш алгебрийн функц юм. Дүрмээр бол ir-ийн дагууоновчтой функц
.
үндэс, тэдгээрийн найрлагыг оновчтой функцээр ойлгох. n зэрэгтэй үндэс нь тэгшитгэлийн шийдэл гэж тодорхойлогддог
.
Үүнийг дараах байдлаар томилно.Трансцендент функцууд
алгебрийн бус функцууд гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь экспоненциал, тригонометр, гипербол болон тэдгээрийн урвуу функцууд юм.
Үндсэн үндсэн функцүүдийн тойм
Бүх энгийн функцуудыг дараах хэлбэрийн илэрхийлэл дээр гүйцэтгэсэн нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийн төгсгөлтэй тоогоор илэрхийлж болно.
z t.
Мөн урвуу функцийг логарифмээр илэрхийлж болно. Үндсэн үндсэн функцуудыг доор жагсаав.
Эрчим хүчний функц:
y(x) = x p ,
Энд p нь илтгэгч. Энэ нь х зэрэглэлийн сууриас хамаарна. руу буцахэрчим хүчний функц
.
р илтгэгчийн сөрөг бус бүхэл утгын хувьд энэ нь олон гишүүнт юм. Бүхэл тооны утгын хувьд p - оновчтой функц. At оновчтой утга - иррациональ функц.
Трансцендент функцууд
Экспоненциал функц:
y(x) = a x ,
Энд a нь зэрэглэлийн суурь юм. Энэ нь x илтгэгчээс хамаарна.
Урвуу функц нь логарифм юм.
x = log a y.
Экспонент, e-ийн х-ийн хүч:
y(x) = e x ,
Энэ нь дериватив нь тухайн функцтэй тэнцүү экспоненциал функц юм:
.
Экспонентийн суурь нь e тоо юм:
≈ 2,718281828459045...
.
Урвуу функц нь натурал логарифм - e тооны суурийн логарифм юм:
x = ln y ≡ log e y.
Тригонометрийн функцууд:
Синус: ;
Косинус: ;
Шүргэдэг: ;
Котангенс: ;
Энд би - төсөөллийн нэгж, i 2 = -1 .
Урвуу тригонометрийн функцууд:
Арксинус: x = арксин у,
;
Нуман косинус: x = arccos y,
;
Арктангенс: x = арктан у,
;
Нуман тангенс: x = arcctg y,
.
1) Функцийн домэйн ба функцийн хүрээ.
Функцийн домэйн нь бүх хүчинтэй олонлог юм бодит үнэ цэнэмаргаан x(хувьсагч x), үүнд зориулсан функц у = f(x)тодорхойлсон. Функцийн муж нь бүх бодит утгуудын багц юм y, функц нь үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг.
IN анхан шатны математикфункцуудыг зөвхөн бодит тооны олонлог дээр судалдаг.
2) Функцийн тэг.
Функц тэг байна аргументийн үнэ цэнэ, энэ үед функцийн утга тэгтэй тэнцүү байна.
3) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.
Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд нь функцийн утгууд нь зөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг байдаг аргументуудын утгуудын багц юм.
4) Функцийн монотон байдал.
Өсөн нэмэгдэж буй функц (тодорхой интервалд) нь функц юм илүү өндөр үнэ цэнэЭнэ интервалын аргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна.
Буурах функц (тодорхой интервалд) нь энэ интервал дахь аргументийн том утга тохирох функц юм. бага утгафункцууд.
5) Тэгш (сондгой) функц.
Тэгш функц гэдэг нь тодорхойлолтын муж нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функц юм Xтодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал f(-x) = f(x).
Тэгш функцийн график нь ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. XТодорхойлолтын муж нь гарал үүсэл болон дурын хувьд тэгш хэмтэй функцийг сондгой функц гэнэ тодорхойлолтын талбараас тэгш байдал нь үнэн юм f(-x) = - f(x
)..
Хэрэв ийм функц байгаа бол функцийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг эерэг тооМ ийм байдлаар |f(x)| x-ийн бүх утгын хувьд ≤ M. Хэрэв ийм тоо байхгүй бол функц хязгааргүй болно.
7) Функцийн үечилсэн байдал.
Хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын х-ийн хувьд f(x+T) = f(x) үйлчилдэг тэгээс өөр T тоо байвал f(x) функц нь үечилсэн байна. Энэ хамгийн бага тоог функцийн үе гэж нэрлэдэг. Бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг. (Тригонометрийн томъёо).
19. Үндсэн энгийн функц, тэдгээрийн шинж чанар, график. Эдийн засаг дахь функцүүдийн хэрэглээ.
Үндсэн үндсэн функцууд. Тэдний шинж чанар ба графикууд
1. Шугаман функц.
Шугаман функц хэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энд x нь хувьсагч, a ба b нь бодит тоо юм.
Тоо Адуудсан налуушулуун, тэр тангенстай тэнцүүэнэ шулуун шугамын налуугийн өнцөг х тэнхлэгийн эерэг чиглэл. Хуваарь шугаман функцшулуун шугам юм. Энэ нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог.
Шугаман функцийн шинж чанарууд
1. Тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоонуудын олонлог: D(y)=R
2. Утгын олонлог нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм: E(y)=R
3. Функц нь эсвэл үед тэг утгыг авна.
4. Функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгддэг (буурдаг).
5. Шугаман функц нь тодорхойлолтын бүх мужид тасралтгүй, дифференциал болон .
2. Квадрат функц.
Х нь хувьсагч, a, b, c коэффициентүүд нь бодит тоо байх хэлбэрийн функцийг гэнэ. квадрат
Сегментийн урт координатын тэнхлэгтомъёогоор олно:
Сегментийн урт координатын хавтгайтомъёогоор хайдаг:
Гурван хэмжээст координатын систем дэх сегментийн уртыг олохын тулд дараах томъёог ашиглана.
Сегментийн дунд хэсгийн координатууд (координатын тэнхлэгийн хувьд зөвхөн эхний томъёог, координатын хавтгайд - эхний хоёр томъёог ашиглана. гурван хэмжээст системкоординатууд - бүх гурван томъёо) томъёог ашиглан тооцоолно.
Чиг үүрэг- энэ бол маягтын захидал харилцаа юм y= е(x) хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд, үүнээс болж заримынх нь үнэ цэнийг харгалзан үздэг хувьсах хэмжээ x(аргумент эсвэл бие даасан хувьсагч) нь өөр хувьсагчийн тодорхой утгатай тохирч байвал y(хамааралтай хувьсагч, заримдаа энэ утгыг функцийн утга гэж нэрлэдэг). Функц нь нэг аргументын утгыг авч байгааг анхаарна уу Xхамааралтай хувьсагчийн зөвхөн нэг утга таарч болно цагт. Гэсэн хэдий ч ижил үнэ цэнэ цагтянз бүрээр авч болно X.
Функцийн домэйн- эдгээр нь бие даасан хувьсагчийн бүх утгууд юм (функцийн аргумент, ихэвчлэн энэ X), функц нь тодорхойлогдсон, i.e. түүний утга байна. Тодорхойлолтын талбайг зааж өгсөн болно Д(y). By томоор ньТа энэ ойлголтыг аль хэдийн мэддэг болсон. Функцийн домайныг мөн домэйн гэж нэрлэдэг хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ, эсвэл ODZ, та аль эрт олж чадсан.
Функцийн хүрээ- энэ бүгд боломжит утгуудЭнэ функцийн хамааралтай хувьсагч. Томилогдсон Э(цагт).
Функц нэмэгддэгаргументийн том утга нь функцын том утгатай тохирч байх интервал дээр. Функц нь буурч байнааргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байх интервал дээр.
Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд- эдгээр нь хамааралтай хувьсагч эерэг эсвэл сөрөг тэмдэгээ хадгалж үлдэх бие даасан хувьсагчийн интервалууд юм.
Функцийн тэг- эдгээр нь функцийн утга тэгтэй тэнцүү байх аргументуудын утгууд юм. Эдгээр цэгүүдэд функцийн график нь абсцисса тэнхлэгийг (OX тэнхлэг) огтолж байна. Ихэнх тохиолдолд функцийн тэгийг олох хэрэгцээ нь тэгшитгэлийг энгийнээр шийдэх хэрэгцээг илэрхийлдэг. Түүнчлэн, тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг олох хэрэгцээ нь ихэвчлэн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хэрэгцээг илэрхийлдэг.
Чиг үүрэг y = е(x) гэж нэрлэдэг бүр X
Энэ нь хэнд ч гэсэн гэсэн үг эсрэг утгатайаргумент, тэгш функцийн утгууд тэнцүү байна. Хуваарь жигд функц op-amp-ийн ординатын тэнхлэгтэй харьцуулахад үргэлж тэгш хэмтэй байна.
Чиг үүрэг y = е(x) гэж нэрлэдэг хачин, хэрэв энэ нь тэгш хэмтэй олонлог дээр тодорхойлогдсон бол аль ч XТодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал нь:
Энэ нь аргументийн эсрэг утгатай утгуудын хувьд сондгой функцийн утгууд бас эсрэг байна гэсэн үг юм. Сондгой функцийн график нь эхийн хувьд үргэлж тэгш хэмтэй байдаг.
Тэгш ба язгууруудын нийлбэр сондгой функцууд(abscissa тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд OX) үргэлж тэгтэй тэнцүү, учир нь тус бүрийн хувьд эерэг үндэс Xхэрэгтэй сөрөг үндэс –X.
Анхаарах нь чухал: зарим функц нь тэгш эсвэл сондгой байх албагүй. Тэгш, сондгой ч биш олон функц байдаг. Ийм функцийг нэрлэдэг функцууд ерөнхий үзэл , мөн тэдний хувьд дээр өгөгдсөн тэгш байдал эсвэл шинж чанаруудын аль нь ч хангагдаагүй.
Шугаман функцнь дараах томъёогоор өгч болох функц юм.
Шугаман функцийн график нь шулуун ба ерөнхий тохиолдолиймэрхүү харагдаж байна (хэрэв тохиолдлын жишээг өгөв к> 0, энэ тохиолдолд функц нэмэгдэж байна; тохиолдуулан к < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Квадрат функцийн график (Парабола)
Параболын графикийг квадрат функцээр тодорхойлно.
Квадрат функц нь бусад функцүүдийн нэгэн адил OX тэнхлэгийг үндэс болох цэгүүдээр огтолдог: ( x 1 ; 0) ба ( x 2 ; 0). Хэрэв үндэс байхгүй бол квадрат функц нь зөвхөн нэг үндэс байвал OX тэнхлэгийг огтолдоггүй, энэ үед (; x 0 ; 0) квадрат функц нь зөвхөн OX тэнхлэгт хүрэх боловч огтлолцохгүй. Квадрат функц нь үргэлж координаттай цэг дээр OY тэнхлэгийг огтолж байна: (0; в). Хуваарь квадрат функц(парабол) иймэрхүү харагдаж болно (зураг нь бүх боломжит параболын төрлийг шавхаагүй жишээг харуулж байна):
Энэ тохиолдолд:
- коэффициент бол а> 0, функцэд y = сүх 2 + bx + в, дараа нь параболын салбарууд дээшээ чиглэсэн;
- хэрэв а < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Параболын оройн координатыг тооцоолж болно дараах томъёонууд. X топ (х- дээрх зурган дээр) парабола (эсвэл квадрат гурвалжны хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрэх цэг):
Igrek топс (q- дээрх зургуудад) параболууд эсвэл параболын мөчрүүд доош чиглэсэн бол дээд тал нь ( а < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (а> 0), утга квадрат гурвалжин:
Бусад функцүүдийн графикууд
Эрчим хүчний функц
Эрчим хүчний функцүүдийн графикуудын зарим жишээ энд байна.
Урвуу пропорциональфункцийг дуудна томъёогоор өгөгдсөн:
Тооны тэмдэгээс хамаарна кбуцах хуваарь пропорциональ хамааралхоёр үндсэн сонголт байж болно:
Асимптотфункцийн график хязгааргүй ойртсон мөртлөө огтлолцдоггүй шугам юм. Графикийн асимптотууд урвуу пропорциональ байдалДээрх зурагт функцийн график хязгааргүй ойртох боловч огтлолцохгүй координатын тэнхлэгүүдийг үзүүлэв.
Экспоненциал функцсуурьтай Ань дараах томъёогоор өгөгдсөн функц юм.
ахуваарь экспоненциал функцхоёр үндсэн сонголттой байж болно (бид бас жишээ өгдөг, доороос үзнэ үү):
Логарифм функцнь дараах томъёогоор өгөгдсөн функц юм.
Тоо нь нэгээс их эсвэл бага эсэхээс хамаарна ахуваарь логарифм функцхоёр үндсэн сонголт байж болно:
Функцийн график y = |x| иймэрхүү харагдаж байна:
Үе үе (тригонометрийн) функцүүдийн графикууд
Чиг үүрэг цагт = е(x) гэж нэрлэдэг үе үе, хэрэв ийм зүйл байгаа бол үгүй тэгтэй тэнцүү, тоо Т, Юу е(x + Т) = е(x), дурын хувьд Xфункцийн домэйноос е(x). Хэрэв функц бол е(x) үетэй үе үе байна Т, дараа нь функц:
Хаана: А, к, б – тогтмол тоонууд, ба ктэгтэй тэнцүү биш, мөн үетэй Т 1, үүнийг томъёогоор тодорхойлно:
Ихэнх жишээ үечилсэн функцууд- Эдгээр нь тригонометрийн функцууд юм. Энд үндсэн графикууд байна тригонометрийн функцууд. Дараах зурагт функцийн графикийн хэсгийг харуулав y= нүгэл x(график бүхэлдээ зүүн, баруун тийш тодорхойгүй үргэлжилдэг), функцийн график y= нүгэл xдуудсан синусоид:
Функцийн график y= cos xдуудсан косинус. Энэ графикийг дараах зурагт үзүүлэв. Синусын график нь OX тэнхлэгийн дагуу зүүн ба баруун тийш хязгааргүй үргэлжлэх тул:
Функцийн график y= тг xдуудсан тангентоид. Энэ графикийг дараах зурагт үзүүлэв. Бусад үечилсэн функцүүдийн графикуудын нэгэн адил, энэ хуваарьзүүн ба баруун тийш OX тэнхлэгийн дагуу тодорхойгүй хугацаагаар давтана.
Эцэст нь функцийн график y=ctg xдуудсан котангентоид. Энэ графикийг дараах зурагт үзүүлэв. Бусад үечилсэн болон тригонометрийн функцүүдийн графикуудын нэгэн адил энэ график нь OX тэнхлэгийн дагуу зүүн ба баруун тийш хязгааргүй давтагдана.
Эдгээр гурван зүйлийг амжилттай, хичээнгүй, хариуцлагатай хэрэгжүүлснээр CT дээр гарч ирэх боломжтой болно маш сайн үр дүн, таны чадах хамгийн дээд хэмжээ.
Алдаа олсон уу?
Хэрэв та алдаа олсон гэж бодож байвал боловсролын материал, дараа нь энэ тухай имэйлээр бичнэ үү. Та мөн алдааны талаар мэдэгдэх боломжтой нийгмийн сүлжээ(). Захидалдаа тухайн сэдвийг (физик эсвэл математик), сэдэв эсвэл тестийн нэр эсвэл дугаар, бодлогын дугаар, таны бодлоор алдаа гарсан текст (хуудас) дахь газрыг зааж өгнө. Мөн сэжигтэй алдаа юу болохыг тайлбарлана уу. Таны захидал анзаарагдахгүй байх болно, эсвэл алдаа засах болно, эсвэл яагаад энэ нь алдаа биш гэдгийг тайлбарлах болно.
