1. Дурын векторуудыг авч үзье. Эхлээд эдгээр векторууд шугаман бие даасан байна гэж үзье. Энэ тохиолдолд эдгээр векторуудын аль нэгэнд эмхэтгэсэн Грам тодорхойлогч тэгээс өөр байх болно. Дараа нь (22)-ын дагуу гэж үзвэл
(23)
мөн эдгээр тэгш бус байдал ба тэгш бус байдлыг гишүүнээр нь үржүүлэх
, (24)
.
Тиймээс шугаман хувьд Грам тодорхойлогч бие даасан векторуудэерэг, шугаман хамааралтай хүмүүсийн хувьд тэг байна. Грам тодорхойлогч хэзээ ч сөрөг байдаггүй.
Товчлолын хувьд тэмдэглэе 
. Дараа нь (23) ба (24)
ба дээр баригдсан параллелограммын талбай хаана байна. Цаашид,
,
векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн хаана байна. Үргэлжлүүлбэл бид дараахь зүйлийг олж мэднэ.
,
мөн эцэст нь
. (25)
Үүнийг векторууд дээр ирмэг дээр барьсан хэмжээст параллелепипедийн эзэлхүүн гэж нэрлэх нь зүйн хэрэг.
Зарим ортонормаль суурь дээрх векторын координатыг , -ээр тэмдэглэцгээе
Дараа нь (14) дээр үндэслэсэн.
тиймээс [харна уу томъёо (25)]
. (26)
Энэ тэгшитгэл нь дараах геометрийн утгыг агуулна.
Параллелепипедийн квадрат эзэлхүүн нийлбэртэй тэнцүү байнабүх координат хэмжээст дэд орон зайн дээрх проекцуудын квадрат эзэлхүүн. Тодруулбал, (26)-аас дараах тохиолдолд:
. (26)
Томъёо (20), (21), (22), (26), (26") ашиглан хэмжээст нэгдмэл болон Евклидийн аналитик геометрийн хэд хэдэн үндсэн хэмжүүрийн асуудлыг шийддэг.
2. Өргөтгөл рүү буцъя (15). Үүнээс шууд гарч байна:
Энэ нь (22) -тай хослуулан тэгш бус байдлыг өгдөг (дурын векторуудын хувьд 
)
Энэ тохиолдолд вектор нь векторуудад ортогональ байвал тэнцүү тэмдэг нь биелнэ.
Эндээс Хадамардын тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг тэгш бус байдлыг олж авахад хялбар байдаг
Энд зөвхөн векторууд хос ортогональ байвал тэнцүү тэмдэг биелнэ. Тэгш бус байдал (29) нь дараах геометрийн тодорхой баримтыг илэрхийлнэ.
Параллелепипедийн эзэлхүүн нь түүний ирмэгийн уртын үржвэрээс хэтрэхгүй бөгөөд параллелепипед нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх үед л энэ бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Хадамардын тэгш бус байдлыг өгч болно хэвийн харагдах байдал, (28)-ыг оруулж, зарим ортонормаль суурь дахь векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг авч үзэх:
.
Дараа нь (26") ба (28) -аас дараах болно
. (28)
3. Одоо тэгш бус байдал (27) ба тэгш бус байдал (28) хоёуланг нь хамарсан ерөнхий Хадамард тэгш бус байдлыг байгуулъя:
вектор тус бүр нь аль нэг вектор эсвэл тодорхойлогчдын аль нэгэнд ортогональ байвал тэнцүү тэмдэг биелнэ. 
тэгтэй тэнцүү.
Тэгш бус байдал (28") нь дараах геометрийн утгыг агуулна.
Параллелепипедийн эзэлхүүн нь нэмэлт хоёр нүүрний эзэлхүүний үржвэрээс хэтрэхгүй бөгөөд хэрэв эдгээр нүүрүүд хоорондоо ортогональ эсвэл тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тэг эзэлхүүнтэй байвал энэ бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Бид векторын тоогоор (29) тэгш бус байдлын үнэн зөвийг индуктив аргаар тогтооно. Энэ тоо 1 байхад тэгш бус байдал үнэн болно [харна уу томъёо (27)].
Хоёр дэд орон зайг тус тус оруулъя, суурь ба . Мэдээжийн хэрэг, . Ортогональ тэлэлтүүдийг авч үзье
.
Параллелепипедийн эзэлхүүний квадратыг суурийн эзэлхүүний квадрат ба өндрийн квадратын үржвэрээр солих [үзнэ үү. томъёо (22)], бид олдог
Энэ тохиолдолд вектор задралаас дараах байдалтай байна.
, (31)
ба энд тэмдэг нь зөвхөн үед л явагдана.
Одоо харьцаа (30), (30"), (31) ба индукцийн таамаглалыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Бид тэгш бус байдлыг олж авлаа (29). Энэ тэгш бус байдалд тэмдэг хэзээ тохиолдохыг тодруулах руу шилжихэд бид үүнийг таамаглаж байна 
Тэгээд 
. Дараа нь (30") дагуу 
Мөн . (32) харилцаанд хаа сайгүй тэгш тэмдэг байдаг тул үүнээс гадна индукцийн таамаглалаар вектор бүр нь вектор тус бүрд ортогональ байна. Мэдээжийн хэрэг, вектор ч гэсэн ийм шинж чанартай байдаг
Ийнхүү Хадамардын ерөнхий тэгш бус байдал бүрэн тогтоогдсон байна.
4. Ерөнхийжүүлсэн Хадамард тэгш бус байдлыг (29) мөн аналитик хэлбэрийг өгч болно.
Дурын эерэг тодорхой Гермит хэлбэр байцгаая. Суурьтай хэмжээст орон зай дахь векторын координат гэж үзвэл бид хэлбэрийг үндсэн хэмжигдэхүүн хэлбэрээр авдаг (224-р хуудсыг үз). Тэгвэл нэгдмэл орон зай болно. Хадамард ерөнхий тэгш бус байдлыг суурь векторуудад хэрэглэе: - векторуудын хоорондох эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийн коэффициентүүдийн бодит матриц ба түүнийг хамаарлаас тодорхойлох.
.
Буняковскийн тэгш бус байдлаас харахад энэ нь бодит үнэ цэнэтэй юм.
Тэд үүнийг жинхэнэ шугаман орон зайд хэлдэг Xүйл ажиллагааг тодорхойлсон скаляр векторын үржүүлэх, хэрэв дурын хос векторууд x ба цагт-аас Xнийцтэй бодит тоогэж нэрлэдэг скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд XТэгээд цагттэмдэгтээр тодорхойлогддог (x,y),мөн хэрэв байгаа бол X. у, з € Xямар ч бодит тоо Адараах зүйлсийг гүйцэтгэнэ цэгийн бүтээгдэхүүний аксиомууд:
- 1. (x,y) =(y,; X).
- 2. (.t + у, з)= (x,z) + (y, z).
- 3. (аа, у) = a(x,y).
- 4. (x, x)> 0 цагт х Ф 0 ба (x, X)= 0 үед X = 0.
Жишээ 8.1. X-г орон зай гэж үзье геометрийн векторууд, -д суралцсан вектор алгебр. Хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр гэж тодорхойлсон цэгийн үржвэр нь цэгийн үржвэрийн аксиомуудыг хангадаг. ?
Жишээ 8.2. IN арифметик орон зай K pбаганын өндөр П скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд
томъёогоор тодорхойлж болно
Скаляр бүтээгдэхүүний аксиомуудын үнэн зөвийг шалгах нь тийм ч хэцүү биш юм. Жишээлбэл, аксиом 4-ийн хангалтыг шалгая. Үүнийг анхаарна уу
Гэхдээ ядаж нэг тоо байвал квадратуудын нийлбэр эерэг байна Шитэг биш (эсвэл x f 0), хэрэв бүх x* нь тэгтэй тэнцүү бол (жишээ нь x = 0) тэгтэй тэнцүү байна. ?
Жишээ 8.3. -аас ихгүй градусын бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн шугаман орон зайд П- 1 скаляр үржвэрийг томъёогоор оруулж болно
Скаляр бүтээгдэхүүний аксиомуудыг шалгах нь шинж чанарууд дээр суурилдаг тодорхой интегралбөгөөд хэцүү биш. ?
Жишээ 8.4. Шугаман орон зайд Са, б][a, 6] интервал дээр үргэлжилсэн бодит хувьсагчийн функцууд нь тодорхой интеграл ашиглан олон гишүүнтийн шугаман орон зайд скаляр үржвэрийг нэвтрүүлж болно. 
Скаляр бүтээгдэхүүний аксиомуудыг шалгах нь өмнөх жишээн дээрхтэй ижил аргаар явагдана. ?
2 ба 3-р аксиомуудаас ийм байна векторуудын дурын төгсгөлтэй шугаман хослолыг олон гишүүнт олон гишүүнтээр үржүүлэх дүрмийн дагуу векторуудын өөр шугаман хослол болгон скаляраар үржүүлж болно, өөрөөр хэлбэл. томъёоны дагуу
Бодит шугаман орон зай, векторуудын скаляр үржвэрийг тодорхойлсон, гэж нэрлэдэг Евклидийн орон зай.Хязгаарлагдмал хэмжээст шугаман орон зайг олон янзаар Евклидийн орон зай болгон хувиргаж болно. Хэрэв n хэмжээст Евклидийн орон зайд Xтогтмол суурь e, e^,..., e n, дараа нь дурын векторууд x ба yдотор нь задрал байдаг
ба векторуудын хувьд (8.1) томъёо хинаөгдөг
эсвэл дотор матриц хэлбэрхаана байх ёстой
Тиймээс, Евклидийн X орон зай дахь скаляр үржвэр нь матрицаар бүрэн тодорхойлогддог D. (8.3) томъёонд квадрат матриц бүр гарч болохгүй. Гэхдээ хэрэв өгөгдсөн суурь дахь нэг скаляр үржвэр нь зарим Г матрицаар тодорхойлогддог бол ижил матриц нь зөвхөн өөр үндэслэлээр скаляр үржвэрийг тодорхойлдог гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Г матрицыг хадгалж, суурийг өөрчилснөөр бид олж авна хязгааргүй олонлогӨгөгдсөн π хэмжээст шугаман орон зайд скаляр бүтээгдэхүүн.
(8.3) томьёонд орсон Г матрицыг нэрлэнэ Грам матрицсуурь e = (e x, b2,..., e n). Грам матриц (скаляр үржвэрийн матриц) нь зөвхөн суурийн хувьд төдийгүй дурын эрэмблэгдсэн төгсгөлтэй векторын системүүдийн хувьд ч тодорхойлж болно.
n хэмжээст Евклидийн орон зайд суурийн Грам матрицын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.
1. Грам матрицГ тэгш хэмтэй ба дурын n хэмжээст баганын хувьдXе 0 нөхцөлийг хангаж байнах ТГX > 0, ялангуяа диагональ элементүүд(ei,ej) = ef G e* Грам матрицууд нь хагас эквивалент юм.
Грам матрицын тэгш хэм нь скаляр үржвэрийн 1-р аксиомоос гардаг бөгөөд үүний дагуу (e*, ej)= (e^, e*) дурын хоёр суурь вектор ба нөхцөл х ТГ x > 0, x f 0, скаляр үржвэрийн 4-р аксиомтой тэнцүү байна.
Симметрик матриц А,нөхцөлийг хангаж байна x t Ah > > 0, х Ф 0, дуудагдсан эерэг тодорхой.Энэ нэр томъёог харгалзан үзвэл батлагдсан өмч нь дараах байдалтай байна. Грам матриц нь эерэг тодорхой юм.
2. Грам матрицууд G ба G" Евклидийн орон зайн e ба e" хоёр суурь нь хамаарлаар холбогдоно
Энд T нь e баазаас суурь руу шилжих матриц юм e".
Үнэхээр е баазаас суурь руу шилжихэд э!координатууд XТэгээд цагтхоёр вектор XТэгээд цагткоординат болгон хувиргасан X"Тэгээд у"томъёоны дагуу (4.6-р хэсгийг үзнэ үү)
Тиймээс матриц Т ТГ Тсуурь нь Грам матриц байдаг э!.
3. Аливаа суурийн Грам матрицын тодорхойлогч нь эерэг байна.
Үнэн хэрэгтээ (8.4) томъёоноос үзэхэд суурь өөрчлөгдөхөд Грам матрицын тодорхойлогч тэмдэг нь хэвээр үлдэнэ (эсвэл хэвээр байна). тэгтэй тэнцүү), шилжилтийн матрицын тодорхойлогч нь тэг биш тул:
Грам матрицын хувьд бид нэгтэй тэнцүү тодорхойлогчтой ижил төстэй матрицыг (доорх тайлбарыг үзнэ үү) авч болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.
4. Бүх булангийн диагональ насанд хүрээгүй хүмүүс
Суурийн грамм матрицууд e lf e2 , ... e n эерэг байна.
Үнэн хэрэгтээ хэн ч гэсэн руубид Lfc = (ei,...,efc) дэд орон зайг бие даасан Евклидийн орон зай гэж үзэж болно.
Тэгвэл ei, 62, ... суурийн Грам матрицын тодорхойлогч нь D^-тай давхцах болно. Өмнөх өмчийн дагуу энэ тодорхойлогч эерэг байна.
Сэтгэгдэл.Хэсэгт. 9.C энэ нь тогтоогдсон эд хөрөнгө 4 шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлэерэг баталгаа квадрат матриц. Тиймээс 1-р шинж чанараас 4-р шинж чанар гарч ирнэ. Аливаа эерэг тодорхой матриц нь өгөгдсөн Евклидийн орон зайд ямар нэгэн суурийн Грам матриц юм. Үнэн хэрэгтээ скаляр үржвэрийг (8.3) томъёогоор тодорхойлж болох бөгөөд үүнд аливаа эерэг тодорхой матрицыг Γ гэж авч болно. Дараа нь скаляр үржвэрийн 1-р аксиом нь Г матрицын тэгш хэмээс, 2 ба 3-р аксиомууд нь тархалтын шинж чанараас дагах болно. матрицын бүтээгдэхүүн, ба аксиом 4 - G-ийн эерэг тодорхой байдлын нөхцлөөс. Иймээс 4-р шинж чанартай аливаа матрицыг Грам матриц гэж үзэж болно. Ялангуяа таних матрицыг Грам матрицаар сонгож болно, i.e. өгөгдсөн үндсэн дээр э, ..., e pцэгийн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлно
томъёо
Өмнө дурьдсанчлан Грам матрицын тухай ойлголтыг дурын эрэмбэлэгдсэн хязгаарлагдмал векторын системд оруулж болно. Үүний зэрэгцээ мөн дотор ерөнхий тохиолдолГрам матриц нь тэгш хэмтэй хэвээр байгаа боловч бусад шинж чанарууд (эерэг тодорхой, тодорхойлогчийн эерэг байдал) алдагдсан. Дараахь мэдэгдэл хүчин төгөлдөр байна.
Теорем 8.1.Векторуудын системийн Грам матриц нь зөвхөн энэ систем шугаман бие даасан байх тохиолдолд ганц биш байна. Грам матриц нь шугаман биш юм хамааралтай системвекторууд нь эерэг тодорхой, ялангуяа эерэг тодорхойлогчтой байдаг. Шугаман хамааралтай векторуудын системийн Грам матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
> Ямар ч шугаман бие даасан векторын системийг Евклидийн орон зайд, тухайлбал түүний суурь болгон авч үзэж болно. шугаман бүрхүүл. Суурийн Грам матрицын шинж чанарын дагуу авч үзэж буй векторуудын системийн Грам матриц эерэг тодорхойлогддог. Тиймээс, тэр бүгд булангийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд, ялангуяа түүний тодорхойлогч нь эерэг байна. Энэ нь Грам матриц нь шугаман байна гэсэн үг юм бие даасан системвекторууд доройтдоггүй.
Энэ вектор тэгш байдлыг вектороор скаляраар үржүүлэх а, а2 , болон,
Бид шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг олж авна
AC коэффициентүүдтэй харьцуулахад, акшугаман гэж үздэг
хослолууд. Энэ системийн матриц нь вектор системийн Грам матриц юм а, а,2 , ..., CLkХэрэв Г матриц нь ганц биш байвал нэгэн төрлийн системзөвхөн тэг шийдэлтэй. Энэ нь авч үзэж буй векторуудын систем гэсэн үг юм а, а2 , , a toшугаман бие даасан.
Хэрэв векторуудын систем А, ^кшугаман хамааралтай, дараа нь авч үзсэн шугаман системтэгээс өөр шийдэлтэй. Тиймээс түүний тодорхойлогч, i.e. авч үзэж буй векторуудын системийн Г грамм матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Def: Грамын тодорхойлогч, векторын систем ( д 1 , д 2 , …, э к} тодорхойлогч гэж нэрлэдэг
G( д 1 , д 2 , …, э к) = 
.
T° . Векторуудын системийн хувьд ( д 1 , д 2 , …, э к) Евклидийн орон зай E nбайсан
шугаман хамааралтай, шаардлагатай бөгөөд хангалттай Г( д 1 , д 2 , …, э к) тэнцүү байсан
◀ Шаардлагатай. Болъё д 1 , д 2 , …, э кшугаман хамааралтай. Дараа нь э к= a 1 д 1 + a 2 д 2 +…+ э к-1 а к–1 ба Г( д 1 , д 2 , …, э к) сүүлийн эгнээний элементүүд 1 ( д 1 ,e i) + a 2 ( д 2 ,e i) + …+ a к –1 (э к –1 ,e i), i.e. сүүлчийн мөрүлдсэн Þ Г(-ын шугаман хослол юм. д 1 , д 2 , …, э к) = 0.
Хангалттай байдал. G( д 1 , д 2 , …, э к) = 0 Þ түүний шугамууд нь шугаман хамааралтай Þ $b 1 , b 2 , …, b к b 1 ( д 1 ,e i) + … + b к(э к, э би) = 0 Þ (b 1 д 1 + … + b к э к= 0 ба бүгд биш b би= 0 Þ д 1 , д 2 , …, э кшугаман хамааралтай. Зөрчилдөөн
Үр дагавар. Хэрэв д 1 , д 2 , …, э кшугаман хамааралгүй бол Г( д 1 , д 2 , …, э к) ¹ 0. Үүнээс гадна Г( д 1 , д 2 , …, э к) > 0
◀ харгалзан ℒ( д 1 , д 2 , …, э к). Дараа нь ( э к, э би) – зарим тэгш хэмтэй матрицын элементүүд хоёр шугаман хэлбэр, аль нь харгалзах квадрат хэлбэрскаляр үржвэрийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. эерэг тодорхой байна. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу D 1 > 0, D 2 > 0, …, D к> 0. Харин Д к= Г( д 1 , д 2 , …, э к)
§2. Харилцан суурь.
Векторуудын ковариант ба контрвариант координатууд
Болъё E n– Евклидийн орон зай, ( д 1 , д 2 , …, e n)-д үндэслэсэн E nТэгээд ( д 1 , д 2 , …, e n) өөр нэг үндэслэл E n. Суурь ( e i) ба ( e i) харилцан гэж нэрлэдэг бол ( e i, e j) = = .
Кронекер-Капелли.
T° . Аливаа үндэслэл ( e i) -аас E nөвөрмөц харилцан үйлчлэх үндэстэй.
◀ За e j= д 1 + д 2 + … + e n. Тэгш байдлыг скаляраар үржүүлнэ e i.
(e i, e j) = (e i, д 1) + (e i, д 2) + … + (e i, e n) = , би, j = 1, 2, …, n.
Бидэнд байгаа гетероген систем n- шугаман тэгшитгэлүүд nтодорхойгүй, энэ системийн тодорхойлогч нь Г( д 1 , д 2 , …, e n) ¹ 0, өөрөөр хэлбэл. систем нь 0 биш өвөрмөц шийдэлтэй.
Тиймээс векторууд e jхоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддог. Тэдгээр нь суурь (өөрөөр хэлбэл шугаман бие даасан) байгаа эсэхийг шалгацгаая.
1 байг д 1 + a 1 д 2 + …+ a н э н= 0. Скаляраар үржүүлнэ e i.
a 1 ( e i, д 1) + a 2 ( e i, д 2) + … + a n(e i, e n) = 0 Þ a би= 0, би, j = 1, 2, …, n
Сэтгэгдэл : суурь бол ( e i) нь ортонормаль бол түүний харилцан суурь нь өгөгдсөн суурьтай давхцдаг.
зөвшөөрөх ( e i) ба ( e j) харилцан суурь Э н.
Дараа нь "xО Э н 
(1)
(x 1 , x 2 , …, x n) векторын ковариант координат гэж нэрлэдэг x.
(x 1 , x 2 , …, x n) векторын эсрэг координат гэж нэрлэдэг x.
Гэрээ: тоноглогдсон хүчин зүйлсээс бүрдсэн илэрхийлэл байг хязгаарлагдмал тооиндексүүд (дээд ба доод). Энэ тохиолдолд бүх дэд бичвэрийг зааж өгөхийг зөвшөөрч байна өөр өөр тэмдэгтүүд(дээд талынхтай төстэй). Хэрэв ийм илэрхийлэлд нэг нь дээд, нөгөө нь бага гэсэн хоёр ижил индекс байгаа бол 1-ээс ийм индексийг нэгтгэн дүгнэнэ гэж үзнэ. n.) бид авдаг e j= г жи э и; e j= г жи э и.
координатаар тодорхойлогдсон векторуудын скаляр үржвэр.
Суурь оруулъя д
векторууд өгөгдсөн А
= x 1 e 1
+ x 2 д 2
+ … + x n e n
, В
= 1 цагт e 1
+ 2 цагт д 2
+ … + у н e n
. Дараа нь ( а, в) =
(x 1 e 1
+ x 2 д 2
+ … + x n e n
)×( 1 цагт e 1
+ 2 цагт д 2
+ … + у н e n
) = 
= x T × G× цагт, Хаана х Т– вектор координатын мөр А
, у -вектор координатын багана В
. Тиймээс, ( а, в)
= x T × G× цагт(42).
Грам матрицын шинж чанарууд.
10 . Грам матриц нь үндсэн диагональ дээр тэгш хэмтэй байна.
Энэ нь ( э к, э с ) = (э с, э к ).
20 . Грам матрицын диагональ элементүүд нь хатуу эерэг байна.
Энэ нь үүнээс үүдэлтэй юм э к ¹ 0 Тиймээс ( э к, э к ) > 0.
гучин. Грам матриц болон бусад n-хэмжээст багана Xнөхцөл хангагдсан байна x T × G× X> 0.
Энэ нь скаляр бүтээгдэхүүний тодорхойлолтын 4-р аксиомоос үүдэлтэй.
Симметрик матриц А,нөхцөлийг хангаж байна x T × A× X> 0 аль ч
тэг биш багана X,дуудсан эерэг тодорхой. Тиймээс матриц
Грамма эерэг тодорхой.
4 0 . Болъё д = (e 1 , д 2, ... , e n ) Мөн e 1 = (e 1 1 , e 2 1, ... , e n 1 ) - доторх хоёр суурь Э н , ГТэгээд G 1– Суурь дахь өгөгдсөн скаляр үржвэрийн грамм матрицууд д Тэгээд e 1 тус тус. Болъё Т– суурийн шилжилтийн матриц д суурь руу e 1 . Дараа нь ( а, в) = x T × G× y, x = T×x 1, y = T×y 1, x T = (T×x 1)T =(x 1)T × T T.Тиймээс, ( а, в) = ((x 1)T × T T)× G×(Т×у 1) = (x 1)T ×(Т Т× G×T)× y 1.Гэхдээ ( а, в) = (x 1)T × G 1 × y 1. Эндээс
G 1 = T T × G × T(43)
Формула (42) нь янз бүрийн суурь дахь Грам матрицуудын хоорондын холболтыг өгдөг.
50 . Бүх суурь дахь Грам матрицын тодорхойлогч нь ижил тэмдэгтэй байна.
Томъёо (42)-аас ú дагна G 1ú =ú Т Тú ×ú Гú ×ú Тú = ú Гú ×ú Тú 2. Учир нь Тú 2 > 0, дараа нь ú G 1ú ба ú Гижил шинж тэмдэгтэй байна.
Жишээ.
1.
элбэг дэлбэг М 2
бодит элементүүдтэй квадрат матрицууд, скаляр үржвэрийг томъёогоор тодорхойлно 
. Үндсэн дээр энэ бүтээгдэхүүний Грам матрицыг ол e 1
= , д 2
= , д 3
= , д 4
= .
Шийдэл.Бүх хос хосолсон бүтээгдэхүүнийг олцгооё үндсэн элементүүд: (e 1, e 1 ) = 1, (e 1, e 2 ) = (e 2, e 1 ) = 0, (e 1, e 3 ) = (e 3, e 1 ) = 0, (e 1, e 4 ) = (e 4, e 1 ) = 0, (e 2 , e 2 ) = 1, (e 2, e 3 ) = (e 3, e 2 ) = 0, (e 2, e 4 ) = (e 4, e 2 ) = 0, (e 3 , e 3 ) = 1, (e 3, e 4 ) = (e 4, e 3 ) = 0, (e 4, e 4 ) = 1. Тиймээс,
2.
Сансарт Р
[X] 3-аас ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнтийн скаляр үржвэрийг томъёогоор олно 
, Хаана аТэгээд б- тогтмол бодит тоо, а< b.
Грам матрицыг үндсэн дээр зохио (1, x, x 2, x 3).
Шийдэл.Үндсэн элементүүдийн бүх хос үржвэрийг олъё: (1, 1) = = б-а,
(1, X) = (X, 1) = = ), (1, x 2) = (x 2, 1) = = ), (1, x 3) = (x 3, 1) = = ), (x, x)= = ), (x, x 2) = (x 2 , x) = = ), (x, x 3) = (x 3, x) = = ), (x 2, x 2) = = ), (x 2, x 3) = (x 3, x 2) = = ), (x 3, x 3) = =). Грам матриц дараах байдлаар харагдах болно.
Г = 
.
3. Үндсэндээ ( e 1, e 2, e 3 ) орон зай E 3 скаляр үржвэрийг Грам матрицаар тодорхойлно Г= . Векторуудын цэгийн үржвэрийг ол А = (1, –5, 4) ба В = (–3, 2, 7).
Шийдэл.(41) томъёог ашиглан бид ( А , В ) = (1, –5, 4) × × = 7.
Евклидийн орон зайд хэмжүүрийн танилцуулга
Болъё Э н – n-хэмжээст Евклидийн орон зай. Вектор ба өөрөө хоёрын скаляр үржвэрийг нэрлэе Энэ векторын скаляр квадрат , өөрөөр хэлбэл ( а, а ) = a 2 . Скаляр үржвэрийн 4-р аксиомын дагуу a 2 ³ 0.
Тодорхойлолт 47. Векторын урт дуудсан арифметик утга квадрат язгуурэнэ векторын скаляр квадратаас. тэдгээр. ú А ú = (44)
Вектор уртын шинж чанарууд:
1. Аливаа вектор А урттай бөгөөд цорын ганц, ú А ú ³ 0.
2. ú a× А ú = úaú×ú А ú аль ч тохиолдолд А Î Э н .
3. Аливаа векторын хувьд А Тэгээд В -аас Э н тэгш бус байдал ú үнэн a×b ú £ú А ú ×ú В ú.
Баталгаа.(А –а В ) 2 = А 2 – 2а( а, в ) + a 2 × В 2 ³ 0 аль нэг О Р. Учир нь квадрат гурвалжин a-ийн аль ч утгын хувьд сөрөг биш бол түүний ялгаварлагч нь эерэг биш, i.e. ( а, в ) 2 – А 2× В 2 £ 0, эсвэл ( а, в ) 2 фунт А 2× В 2. Тиймээс ú a×b ú £ú А ú ×ú В ú (45). Энэ томьёоны тэгш тэмдэг нь векторууд пропорциональ байвал л болно.
Тодорхойлолт 48. Нэгж урттай векторыг нэрлэдэг нэгж вектор эсвэл ортом .
4 0 . Хэн ч биш тэг вектортүүнтэй пропорциональ нэгж нэгж байдаг.
Хэрэв a ¹ 0 , дараа нь ú А ú ¹ 0. Иймд вектор байна a 0 = А . Мэдээжийн хэрэг, a 0 ú =1.
Тодорхойлолт 49. Тэг биш векторуудын хоорондох өнцөг a мөн ийм бодит тоог дууддаг j, тэр (46).
Векторуудын хоорондох өнцөг А мөн тэмдэглэж болно .
Өнцгийн шинж чанарууд.
1 0 . Ямар ч тэгээс бусад хоёр векторын хувьд тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тодорхойлно.
(44) томъёоноос үзэхэд, jбайдаг.
2 0 . Хэрэв a ¹ 0, b ¹ 0 бол .
Тодорхойлолт 48.Тэг биш хоёр векторыг дуудна ортогональ , хэрэв тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол.
Ортогональ векторуудыг тэмдэглэв А ^В.
3 0 . Хэрэв А ^В , a ¹ 0, b ¹ 0,Тэр ( а А )^ (б В ).
4 0 . Хэрэв А ^В Тэгээд А ^-тай , Тэр А ^(В + -тай ).
Тодорхойлолт 50. Орон зайн бүх векторуудын олонлог Э н , вектор руу ортогональ А , үүнд тэг вектор нэмэгдсэнийг дуудна векторын ортогональ нэмэлт a .
5 0 . Ортогональ вектор комплемент А нь ( n - 1)-хэмжээст Евклидийн дэд орон зай Э н .
Баталгаа.
3 0 ба 4 0 шинж чанаруудаас авч үзэж буй олонлог гарч ирнэ Л байна шугаман дэд орон зайВ Э н . Түүнээс хойш Э н Хэрэв скаляр үржвэр тодорхойлогдсон бол энэ нь ортогональ нэмэлтээр тодорхойлогддог тул Л нь Евклидийн дэд орон зай юм. Түүнээс гадна, -тай Î Л Û ( А , -тай ) = 0 (*). Үүнийг засъя Э н суурь. Болъё А = (a 1, a 2, …, a n), -тай = (x 1, x 2, …, x n). Дараа нь -тай Î Л Û a T × G × x = 0 (**). Тэгшитгэл (**) нь шугаман байна нэгэн төрлийн тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх. Үндсэн системтүүний шийдэл нь ( n– 1) шийдэл. Иймд (**) тэгшитгэлийн шийдлийн орон зай нь ( n– 1) - хэмжээст.
Болъё Э к - орон зайн дэд орон зай Э н . гэж тэмдэглэе Э тэг вектор ба бүх векторуудаас ямар ч тэгээс өөр вектор руу ортогональ байх олонлог Э к .Өөрөөр хэлбэл -тай Î Э Û ( -тай , А ) = бүгдэд нь 0 А Î Э к . Орон зай E ортогональ нэмэлт сансарт Э к .
