Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Хичээлийн зорилго:

• тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенсийн тухай ойлголтыг танилцуулах;
• асуудлыг шийдвэрлэхэд синус, косинус, тангенс хэрхэн ашиглагдаж байгааг харуулах;
• ажиглах, харьцуулах, дүн шинжилгээ хийх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн явц

Мэдлэгийг шинэчлэх (хичээлийн гол асуудлыг тодорхойлох)

Урд талын судалгаа хэлбэрээр явуулсан.

Багш аа.Самбар дээр та 6 асуудлын хураангуйг харж болно< Рисунок 1>. Та эдгээр асуудлаас алийг нь хэрхэн шийдвэрлэхээ мэддэг байсныг санаж байна уу? Эдгээр асуудлыг шийдэж өгөөч. Харгалзах теоремуудыг томъёол.

Зураг 1

Оюутнууд:

Даалгавар 1.Хариулт: 5. Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30° өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна.

Даалгавар 2.Хариулт: 41°. Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

Даалгавар 3.Хариулт: 10. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнахөлний квадратууд.

Асуудал 4-6бид шийдэж чадахгүй.

Багш аа.Та яагаад 4-6-р асуудлыг шийдэж чадахгүй байна вэ? Ямар асуулт гарч ирэх вэ?

Оюутнууд.Бид tgB, sinA, cosB гэж юу болохыг мэдэхгүй.

Багш аа. sinA, cosB, tanB гэж уншина: "А өнцгийн синус", "Б өнцгийн косинус", "Б өнцгийн тангенс". Өнөөдөр бид эдгээр илэрхийлэл бүр нь ямар утгатай болохыг мэдэж, 4-6 гэх мэт асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Шинэ материалын танилцуулга

Эвристик харилцан яриа хэлбэрээр явагдсан.

Багш аа. 3 ба 4, 6 ба 8 хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг зур. Тэдгээрийг ABC ба A 1 B 1 C 1 гэж тэмдэглэж, B ба B 1 нь 4 ба 8 хөлийн эсрэг талын өнцөг, тэгш өнцөг нь C, C 1 байна. B ба B1 өнцөг тэнцүү байна уу? Яагаад?

Оюутнууд. Гурвалжин нь ижил төстэй учраас тэнцүү байна. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь зөв байна.<Рисунок 2>

Багш аа. ABC ба A 1 B 1 C 1 гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас өөр ямар харилцааны тэгшитгэл гарах вэ?

Оюутнууд. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.

Багш аа. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.

BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. АС: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. АС хөл нь В өнцгийн эсрэг, ВС хөл нь энэ өнцгийн хажууд байна. Синус, косинус, тангенсийн тодорхойлолтыг хэл.

Оюутнууд. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.

Багш аа. А өнцгийн синус, косинус, тангенсыг өөрөө бич (слайд 1). Үр дүнгийн томъёо (1), (2), (3):

(1)

Тиймээс бид тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс гэж юу болохыг олж мэдсэн. Ерөнхийдөө синус, косинус, тангенс гэсэн ойлголтууд байдаг урт түүх. Эртний эрдэмтэд гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалснаар тооцоолох арга замыг олжээ янз бүрийн элементүүдгурвалжин. Энэхүү мэдлэгийг голчлон практик одон орон судлалын асуудлыг шийдвэрлэх, хүрэх боломжгүй зайг тодорхойлоход ашигласан.

Нэгтгэх

Багш аа. 591-р (а, б) асуудлыг шийдье.

Даалгавар дэлгэц дээр гарч ирнэ (слайд 2). "a" даалгаврыг самбар дээр шийддэг бүрэн тайлбар; "b" - бие даан, дараа нь бие биенээ шалгана.

Тэгш өнцөгтэй C өнцөгтэй ABC гурвалжны А ба В өнцгийн синус, косинус, тангенсыг ол, хэрэв: а) ВС = 8, АВ = 17; б) BC = 21, AC = 20.

Шийдэл. a) =. =, Пифагорын теоремыг ашиглан бид AC = 15,

Багш аа.Одоо 4-6-р асуудал руугаа буцъя<Рисунок 1>. 4–6-р асуудалд юу мэдэгдэж байгааг, мөн юуг олох хэрэгтэйг ярилцъя?

Даалгавар 4.Юу мэддэг вэ? Та юу олох хэрэгтэй вэ?

Оюутнууд. BC = 7, tan B = 3.5 нь мэдэгдэж байна. Бид AC-ийг олох хэрэгтэй.

Багш аа. tg B гэж юу вэ?

Оюутнууд. .

Багш аа. Бид томъёогоор ажилладаг. Томъёо нь гурван бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдэнэ. Тэднийг нэрлэ. Ямар бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг мэддэг вэ? Аль бүрэлдэхүүн хэсэг нь үл мэдэгдэх вэ? Та олж чадах уу? Олоорой.

Оюутнууд. AC = BC * tg B = 7 * 3.5 = 24.5

Багш аа. Энэ жишээг ашиглан 5 ба 6-р асуудлыг шийд<Рисунок 1>. 1 сурагч хаалттай самбар дээр ажилладаг

Багш аа.

1. Надад хэлээч, та шаардлагатай үл мэдэгдэх зүйлсийг олж чадсан уу?

2. Таны үйлдлийн дараалал ямар байсан бэ?

3. Магадгүй өөр шийдэл байж болох уу?

Оюутнууд.1. Тиймээ. Амархан. Жишээг дагаж. Бодлого 5. Хариу: 10. Бодлого 6. Хариулт: 2.5

2. Эхлээд бид харгалзах өнцгүүдийн синус ба косинусыг тодорхойлолтоор харгалзах харьцаагаар сольж, дараа нь бид мэдэгдэж буй өгөгдлийг үр дүнгийн харьцаанд оруулсны дараа үл мэдэгдэх үл мэдэгдэхийг олно.

Багш аа. Аль нь ерөнхий дүгнэлт 4-6-р асуудлыг шийдсэний дараа үүнийг хийж болох уу? Бид тэгш өнцөгт гурвалжинд ямар шинэ асуудлыг шийдэж сурсан бэ? Бодож, дүгнэлтээ гарга.

Оюутнууд. Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжны нэг тал ба тэр тал нь нөгөө талуудын аль нэгэнд харьцуулсан харьцаа, эсвэл нэг тал ба нөгөө талуудын аль нэг нь мэдэгдэж буй талтай (синус, косинус эсвэл тангенс) харьцааг мэддэг бол та Энэ хоёр дахь талыг олж болно.

Асуудлыг шийдвэрлэх.

Одоо 7–9-ийн эдгээр асуудлыг шийдэж үзээрэй<Рисунок 3>.

Зураг 3

Оюутнууд. Бид тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна.

Багш аа. 1-р асуудал руугаа буцъя<Рисунок 1>. Асуудлын нөхцөлийг өөрчилье. NK = 5, NM = 10. М өнцгийг ол.

Оюутнууд.М өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү тул M өнцөг нь 30 ° -тай тэнцүү байна.

Багш аа. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв өнцгийн синус 0.5 бол өнцөг нь 30 ° байна. Одоо №592 (а, в, г) бодлогуудыг шийдье.

№ 592. Өнцөг байгуулах а, хэрэв: a) c) d) .

Шийдэл.

a) Хажуу талд зөв өнцөг 1 ба 2-р урттай сегментүүдийг хойш тавьж, сегментүүдийн төгсгөлийг холбоно. Үүссэн гурвалжинд 1-р хөлийн эсрэг талын өнцөг нь хүссэн өнцөг болно а;

в) 0.2 =. Түүний оройноос баруун өнцгийн нэг талд бид 1-ийн урттай сегментийг байрлуулна. Хаагдсан сегментийн төгсгөлд төв нь 5 радиустай тойрог байгуул. Тойргийн зөв өнцгийн хоёр дахь талтай огтлолцох цэг нь өнцгийн эхний талд тавигдсан сегментийн төгсгөлд холбогдсон байна. Үүссэн гурвалжинд 1 урттай хөлтэй зэргэлдээх өнцөг нь өнцөг юм а; (слайд 4)

д) Оройноос нь зөв өнцгийн нэг талд бид 1 урттай хэрчмийг байрлуулна. Хаагдсан сегментийн төгсгөлд төв нь 2 радиустай тойрог байгуул. Тойргийн зөв өнцгийн хоёр дахь талтай огтлолцох цэг нь өнцгийн эхний талд тавигдсан сегментийн төгсгөлд холбогдсон байна. Үүссэн гурвалжинд 1 урттай хөлний эсрэг талын өнцөг нь хүссэн өнцөг юм а.(слайд 5)

Та өнцгүүдийг барьсан, энэ нь та өнцгүүдийг олсон гэсэн үг юм. Тэдгээрийг хэмжиж, хүснэгт хэлбэрээр танилцуулж болно.

Үүний нэгэн адил та 7-9-р асуудлыг шийдэж чадна<Рисунок 3>

Дүгнэж байна

Багш аа.Асуултанд хариулна уу:

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны синус, косинус, тангенс хэд вэ?

2. Тэгш өнцөгт гурвалжинд 6 элемент байна. Та өнөөдөр ямар шинэ асуудлыг шийдэж сурсан бэ? Таны үйл ажиллагааны дараалал юу вэ? Эдгээр үйлдлийг зөв хийх чадвараа шалгана уу (Хувийн карт тараасан).

Картуудын ойролцоо агуулга: 1. Б гурвалжин ABCөнцөг C нь шулуун шугам, BC = 2, AB-г ол. 2. ABC гурвалжинд C өнцөг нь шулуун, AC = 8, . AB-г ол. 3. ABC гурвалжинд C өнцөг нь 90°, АС = 6, . Нарыг ол.

Оюутнууд өөрсдийн ажлыг холбогдох карт дээрх бэлэн шийдлүүдтэй харьцуулдаг.

Гэрийн даалгавар: 159-р хуудасны 15-р асуулт; № 591 (c, d), 592 (b, d, f) (слайд 6)

Ашигласан уран зохиол

1. Геометр. 7-9-р анги: сурах бичиг. Учир нь боловсролын байгууллагууд/ [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев болон бусад]. - 2-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2014 он.

Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг сайн ойлгохын тулд эхлээд харахад, нарийн төвөгтэй ойлголтууд(энэ нь олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг), "Чөтгөр зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхнээс нь эхэлж, өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгоцгооё.

Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус

Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.

Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!

Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус, радианаар хэмжиж болно.

(нэг градус) өнцгийг гэж нэрлэдэг төв өнцөгтойргийн хэсэгтэй тэнцэх дугуй нуман дээр тулгуурлан тойрог дотор. Тиймээс бүх тойрог нь дугуй нумын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь ижил өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр тулгуурладаг.

Радиан дахь өнцөг гэдэг нь тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нумаар оршдог тойргийн төв өнцөг юм. За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Хэрэв үгүй ​​​​бол зурган дээрээс үүнийг олж мэдье.

Тиймээс зураг нь өнцгийг харуулж байна радиантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, энэ өнцөг нь дугуй нуман дээр тулгуурладаг бөгөөд түүний урт нь тойргийн радиустай тэнцүү (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү) урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.

За, үүнийг мэдэж байгаа тул тойргийн дүрсэлсэн өнцөгт хэдэн радиан агуулагдаж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Энд байна:

За, одоо энэ хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэдэг үгийг орхигдуулдаг.

Хэдэн радиан байдаг вэ? Энэ нь зөв!

Ойлгосон уу? Дараа нь үргэлжлүүлээд засаарай:

Хэцүү байна уу? Дараа нь хар хариултууд:

Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс

Тиймээс бид өнцгийн тухай ойлголтыг олж мэдсэн. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (баруун өнцөгт зэргэлдээх) бөгөөд хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, хөл нь эсрэгээрээ байна. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синус- энэ нь эсрэг талын (алсын) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алслагдсан) хажуугийн (ойр) харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг эсрэг (хол) руу харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юунд хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчТэгээд котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусТэгээд косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

Косинус→хүрэх→хүргэх→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа нь эдгээр талуудын уртаас (ижил өнцгөөр) хамаардаггүй тул синус, косинус, тангенс, котангенс гэдгийг санах хэрэгтэй. Надад итгэхгүй байна уу? Дараа нь зургийг хараад итгэлтэй байна:

Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд нэгтгэж үзээрэй!

Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: өнцгийн хувьд адилхан тооцоол.

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийг судлахад маш их хэрэг болно. Тиймээс үүнийг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье.

Таны харж байгаагаар өгөгдсөн тойрогбарьсан Декарт системкоординатууд Тойргийн радиус нэгтэй тэнцүү, тойргийн төв нь гарал үүслийн цэг дээр байрладаг бол, эхлэх байрлалРадиусын вектор нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).

Тойрог дээрх цэг бүр нь тэнхлэгийн координат ба тэнхлэгийн координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоо юу вэ? Тэгээд ер нь тэд ярьж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид зөв гурвалжны талаар санаж байх хэрэгтэй. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? Энэ нь зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, энэ нь . Энэ утгыг косинусын томъёонд орлуулъя. Энд юу болох вэ:

Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? За мэдээж! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

Тэгэхээр тойрогт хамаарах цэг ямар координаттай болохыг та хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо байвал яах вэ? Энэ нь аль координаттай тохирч байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, координатууд! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Энэ нь зөв, координат! Тиймээс, хугацаа.

Тэгвэл юутай тэнцүү вэ? Зөв шүү, шүргэгч ба котангенсийн харгалзах тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээнд? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэцгээе. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар утгатай вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсийн утгууд нь харгалзах харьцаатай байна. Тиймээс эдгээр хамаарал нь радиус векторын аль ч эргэлтэнд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та тодорхой утгын өнцгийг авах болно, гэхдээ зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг , мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тэгэхээр, тойрог тойрсон радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Тиймээс эхний тохиолдолд радиус вектор нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид (ямар нэг бүхэл тоо) эсвэл өөр өөр өнцөг нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд тохирох гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор бичиж болно, эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна)

Одоо тригонометрийн үндсэн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, ашиглах нэгж тойрог, утгууд нь юу вэ гэдэгт хариулахыг хичээ:

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Хэцүү байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

Эндээс бид тодорхой өнцгийн хэмжигдэхүүнд тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

Байхгүй байна;

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө туршаад дараа нь хариултуудыг шалгаарай.

Хариултууд:

Байхгүй

Байхгүй

Байхгүй

Байхгүй

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

Гэхдээ доорх хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:

Битгий ай, одоо бид танд нэг жишээ үзүүлэх болно харгалзах утгуудыг санах нь маш энгийн:

Энэ аргыг ашиглахын тулд өнцгийн гурван хэмжүүрийн синусын утгыг (), мөн өнцгийн тангенсийн утгыг санах нь чухал юм. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд маш энгийн байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт заасан сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай диаграммыг санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?

За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Үүнийг гаргацгаая ерөнхий томъёоцэгийн координатыг олох.

Жишээлбэл, бидний өмнө тойрог байна:

Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлэх замаар олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.

Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.

Үүнтэй ижил логикийг ашиглан бид цэгийн y координатын утгыг олно. Тиймээс,

Тэгэхээр, in ерөнхий үзэлЦэгүүдийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тойргийн төвийн координатууд,

Тойргийн радиус,

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж эдгээр томъёог туршиж үзье?

1. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

2. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

3. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

4. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

5. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?

Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл сайн шийдэж байгаарай) та тэдгээрийг олж сурах болно!

1.

Та үүнийг анзаарч болно. Гэхдээ бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.

2. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Та үүнийг анзаарч болно. Хоёрт юу тохирохыг бид мэднэ бүрэн хурдэхлэх цэг. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.

Синус ба косинус байна хүснэгтийн утгууд. Бид тэдгээрийн утгыг санаж, дараахь зүйлийг олж авдаг.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

3. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Та үүнийг анзаарч болно. Зураг дээрх асуултын жишээг дүрсэлцгээе:

Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү ба өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус авдаг болохыг тогтоов сөрөг утга, мөн синус эерэг байвал бидэнд:

Илүү дэлгэрэнгүй ижил төстэй жишээнүүдЭнэ сэдвээр тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ойлгодог.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

4.

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)

Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олъё.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана

Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,

Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).

Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авъя:

ба - хүснэгтийн утгууд. Тэднийг санаж, томъёонд орлъё:

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Өнцгийн синус нь эсрэг талын (хол) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хажуугийн (ойр) талтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ (ойр) талын эсрэг (алс) талтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тригонометр - хэсэг математикийн шинжлэх ухаан, тригонометрийн функцууд болон тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг. Тригонометрийн хөгжил эрт дээр үеэс эхэлсэн эртний Грек. Дундад зууны үед Ойрхи Дорнод, Энэтхэгийн эрдэмтэд энэ шинжлэх ухааныг хөгжүүлэхэд чухал хувь нэмэр оруулсан.

Энэ нийтлэлийг зориулав үндсэн ойлголтуудба тригонометрийн тодорхойлолт. Энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг авч үздэг. Тэдний утгыг геометрийн хүрээнд тайлбарлаж, дүрсэлсэн болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Эхлээд аргумент нь өнцөг болох тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаагаар илэрхийлсэн.

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Өнцгийн синус (sin α) нь энэ өнцгийн эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус (cos α) - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа.

Өнцгийн тангенс (t g α) - эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа.

Өнцгийн котангенс (c t g α) - зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа.

Эдгээр тодорхойлолтыг тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөгт өгсөн болно!

Нэг жишээ хэлье.

IN гурвалжин ABCтэгш өнцөгт C синус A өнцгөөр харьцаатай тэнцүү байнахөл BC гипотенуз AB.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд нь гурвалжны талуудын мэдэгдэж буй уртаас эдгээр функцүүдийн утгыг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Санах нь чухал!

Синус ба котангенсийн утгын муж нь -1-ээс 1 хүртэл байна. Өөрөөр хэлбэл, синус ба косинусын утгууд нь -1-ээс 1 хүртэл байна. Шүргэгч ба котангенсийн утгын муж нь бүхэл тооны шугам, өөрөөр хэлбэл эдгээр функцууд ямар ч утгыг авч болно.

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолтууд нь хурц өнцөгт хамаарна. Тригонометрийн хувьд эргэлтийн өнцгийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд түүний утга нь хурц өнцгөөс ялгаатай нь 0-ээс 90 градусаар хязгаарлагдахгүй, градус эсвэл радианаар эргэх өнцгийг - ∞-ээс + ∞ хүртэлх бодит тоогоор илэрхийлдэг.

IN энэ хүрээндТа дурын хэмжээтэй өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлж болно. Декартын координатын системийн эхэнд төв нь байгаа нэгж тойргийг төсөөлье.

Координаттай (1, 0) анхны А цэг нь тодорхой α өнцгөөр нэгж тойргийн төвийг тойрон эргэлдэж, А 1 цэг рүү очдог. Тодорхойлолтыг А 1 (x, y) цэгийн координатаар өгсөн болно.

Эргэлтийн өнцгийн синус (нүгэл).

Эргэлтийн өнцгийн синус α нь A 1 (x, y) цэгийн ординат юм. нүгэл α = у

Эргэлтийн өнцгийн косинус (cos).

Эргэлтийн өнцгийн косинус α нь A 1 (x, y) цэгийн абсцисса юм. cos α = x

Эргэлтийн өнцгийн тангенс (тг).

Эргэлтийн өнцгийн тангенс α нь А 1 (x, y) цэгийн ординатыг түүний абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. t g α = y x

Эргэлтийн өнцгийн котангенс (ctg).

Эргэлтийн өнцгийн котангенс α нь А 1 (x, y) цэгийн абсциссыг түүний ординаттай харьцуулсан харьцаа юм. c t g α = x y

Аливаа эргэлтийн өнцгийн хувьд синус ба косинусыг тодорхойлно. Эргүүлсний дараах цэгийн абсцисса ба ординатыг дурын өнцгөөр тодорхойлж болох тул энэ нь логик юм. Тангенс ба котангенсийн хувьд байдал өөр байна. Эргүүлсний дараах цэг нь тэг абсцисса (0, 1) ба (0, - 1) цэг рүү очих үед шүргэгч тодорхойгүй байна. Ийм тохиолдолд t g α = y x шүргэгчийн илэрхийлэл нь тэгээр хуваагдахыг агуулж байгаа тул утгагүй болно. Нөхцөл байдал котангентын хувьд ижил төстэй байна. Ялгаа нь цэгийн ординат тэг болж байгаа тохиолдолд котангенс тодорхойлогдоогүйд оршино.

Санах нь чухал!

Ямар ч α өнцгийн хувьд синус ба косинусыг тодорхойлно.

Тангенс нь α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) -аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлогддог.

Котангенс нь α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) -аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлогддог.

Шийдвэр гаргахдаа практик жишээнүүд"эргэлтийн өнцгийн синус α" гэж бүү хэл. "Эргэлтийн өнцөг" гэсэн үгсийг зүгээр л орхигдуулсан бөгөөд энэ нь юу яригдаж байгаа нь контекстээс аль хэдийн тодорхой болсон гэсэн үг юм.

Тоонууд

Тооны эргэлтийн өнцгийг бус синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох талаар юу хэлэх вэ?

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс тнь синус, косинус, тангенс, котангенстай тэнцүү тоо юм традиан.

Жишээлбэл, 10 π тооны синус синустай тэнцүүэргэлтийн өнцөг 10 π рад.

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Хэн ч бодит тоо тНэгж тойрог дээрх цэг нь тэгш өнцөгт декартын координатын системийн гарал үүслийн төвтэй холбоотой. Энэ цэгийн координатаар синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлно.

Тойрог дээрх эхлэх цэг нь координаттай (1, 0) А цэг юм.

Эерэг тоо т

Сөрөг тоо тнь цагийн зүүний эсрэг тойргийн эргэн тойронд хөдөлж байвал эхлэх цэг хүрэх цэгтэй тохирч байна замаар явах болнот.

Тойрог дээрх тоо ба цэгийн хоорондын холбоо тогтоогдсон тул синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт руу шилжлээ.

t-ийн синус (нүгэл).

Тооны синус т- тоонд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат т. sin t = y

Косинус (cos) t

Тооны косинус т- тоонд тохирох нэгж тойргийн цэгийн абсцисса т. cos t = x

Тангенс (тг) t

Тооны тангенс т- тоонд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординатыг абсцисстай харьцуулсан харьцаа т. t g t = y x = sin t cos t

Хамгийн сүүлийн үеийн тодорхойлолтууд нь энэ зүйлийн эхэнд өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байгаа бөгөөд зөрчилдөхгүй. Тоонд тохирох тойрог дээр заа т, өнцгөөр эргүүлсний дараа эхлэх цэг хүрэх цэгтэй давхцдаг традиан.

Өнцгийн болон тоон аргументуудын тригонометрийн функцууд

α өнцгийн утга бүр нь энэ өнцгийн синус ба косинусын тодорхой утгатай тохирч байна. α = 90 ° + 180 ° k-ээс бусад бүх α өнцөгтэй адил k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) нь тодорхой шүргэгч утгатай тохирч байна. Дээр дурдсанчлан котангенс нь α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) -ээс бусад бүх α-д тодорхойлогддог.

sin α, cos α, t g α, c t g α нь альфа өнцгийн функцууд буюу өнцгийн аргументын функцууд гэж бид хэлж чадна.

Үүний нэгэн адил бид синус, косинус, тангенс, котангенсийн талаар тоон аргументын функц болгон ярьж болно. Бодит тоо бүр тнь тооны синус эсвэл косинусын тодорхой утгатай тохирч байна т. π 2 + π · k, k ∈ Z-ээс бусад бүх тоонууд шүргэгч утгатай тохирч байна. Котангенс нь π · k, k ∈ Z-ээс бусад бүх тоонуудын нэгэн адил тодорхойлогддог.

Тригонометрийн үндсэн функцууд

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн функцууд юм.

Ямар аргумент болох нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг тригонометрийн функц (өнцгийн аргументэсвэл тоон аргумент) бид харьцаж байна.

Хамгийн эхэнд өгөгдсөн тодорхойлолтууд болон 0-ээс 90 градусын хооронд орших альфа өнцөгт эргэн оръё. Тригонометрийн тодорхойлолтуудсинус, косинус, тангенс, котангенс нь бүрэн нийцдэг геометрийн тодорхойлолтууд, тэгш өнцөгт гурвалжны харьцааг ашиглан өгөгдсөн. Үүнийг үзүүлье.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системд төвтэй нэгж тойргийг авъя. Үүнийг эргүүлье эхлэх цэг A (1, 0) -ийг 90 градус хүртэл өнцгөөр зурж, үүссэн A 1 (x, y) цэгээс абсцисса руу перпендикуляр зурна. Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинд A 1 O H өнцөг байна өнцөгтэй тэнцүүэргэх α, хөл O H урт нь A 1 (x, y) цэгийн абсциссатай тэнцүү байна. Өнцгийн эсрэг талын хөлийн урт нь A 1 (x, y) цэгийн ординаттай тэнцүү бөгөөд энэ нь нэгж тойргийн радиус тул гипотенузын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Геометрийн тодорхойлолтын дагуу α өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синусыг талуудын харьцаагаар тодорхойлох нь альфа нь 0-ээс 90 градусын хооронд байрлах эргэлтийн өнцгийн α-ийн синусыг тодорхойлохтой тэнцүү гэсэн үг юм.

Үүнтэй адилаар косинус, тангенс, котангенсийн хувьд тодорхойлолтуудын нийцлийг харуулж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Дунд түвшний

Зөв гурвалжин. Бүрэн зурагтай гарын авлага (2019)

Тэгш өнцөгт гурвалжин. НЭГДСЭН ТҮВШИН.

Асуудлын хувьд зөв өнцөг нь огт шаардлагагүй байдаг - зүүн доод хэсэг, тиймээс та энэ хэлбэрээр тэгш өнцөгт гурвалжинг таньж сурах хэрэгтэй.

мөн үүнд

мөн үүнд

Тэгш өнцөгт гурвалжин юугаараа сайн бэ? За ... юуны түрүүнд онцгой байдаг сайхан нэрстүүний талуудын хувьд.

Зураг дээр анхаарлаа хандуулаарай!

Санаж, бүү андуураарай: хоёр хөлтэй, зөвхөн нэг гипотенуз байдаг(нэг бөгөөд цорын ганц, өвөрмөц, хамгийн урт)!

За, бид нэрсийн талаар ярилцлаа, одоо хамгийн чухал зүйл бол Пифагорын теорем юм.

Пифагорын теорем.

Энэ теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой олон асуудлыг шийдэх түлхүүр юм. Пифагор үүнийг бүрэн нотолсон эрт дээр үеэс, тэр цагаас хойш тэр түүнийг мэддэг хүмүүст маш их ашиг тусыг авчирсан. Мөн хамгийн сайн зүйл бол энэ нь энгийн зүйл юм.

Тэгэхээр, Пифагорын теорем:

"Пифагорын өмд бүх талаараа тэгш байна!" гэсэн онигоог санаж байна уу?

Эдгээрийг адилхан зурцгаая Пифагорын өмдтэгээд тэднийг харцгаая.

Энэ нь ямар нэгэн шорт шиг харагдахгүй байна уу? За, аль талдаа, хаана тэнцүү вэ? Энэ онигоо яагаад, хаанаас гарсан бэ? Мөн энэ хошигнол нь Пифагорын теоремтой, эсвэл Пифагор өөрөө теоремоо томъёолсонтой яг холбоотой юм. Тэгээд тэр үүнийг дараах байдлаар томъёолжээ.

"Сум квадрат талбайнууд, хөл дээр баригдсан, тэнцүү байна дөрвөлжин талбай, гипотенуз дээр баригдсан."

Энэ нь үнэхээр арай өөр сонсогдож байна уу? Тиймээс Пифагор теоремийнхээ мэдэгдлийг зурахад яг ийм зураг гарч ирэв.

Энэ зураг дээр жижиг квадратуудын талбайн нийлбэр нь том талбайн талбайтай тэнцүү байна. Хүүхдүүд хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү гэдгийг илүү сайн санаж байхын тулд хэн нэгэн ухаантай Пифагор өмдний тухай онигоо гаргаж ирэв.

Яагаад одоо бид Пифагорын теоремыг томъёолж байна вэ?

Пифагор зовж, дөрвөлжингийн тухай ярьсан уу?

Эрт дээр үед ... алгебр байгаагүй гэдгийг та харж байна! Ямар ч шинж тэмдэг байхгүй гэх мэт. Ямар ч бичээс байсангүй. Эртний хөөрхий оюутнууд бүх зүйлийг үгээр санах нь ямар аймшигтай байсныг та төсөөлж байна уу??! Мөн бид байгаадаа баяртай байж болно энгийн үг хэллэгПифагорын теорем. Үүнийг илүү сайн санахын тулд дахин давтъя:

Энэ нь одоо хялбар байх ёстой:

За, энд байна гол теоремтэгш өнцөгт гурвалжны талаар ярилцав. Хэрэв та үүнийг хэрхэн баталж байгааг сонирхож байгаа бол дараах түвшний онолыг уншаарай, тэгээд цаашаа... харанхуй ой... тригонометр! Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн аймшигтай үгсэд.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенс.

Үнэндээ бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм. Мэдээжийн хэрэг, синус, косинус, тангенс, котангенсийн "жинхэнэ" тодорхойлолтыг нийтлэлд авч үзэх хэрэгтэй. Гэхдээ би үнэхээр хүсэхгүй байна, тийм үү? Бид баярлаж чадна: тэгш өнцөгт гурвалжны асуудлыг шийдэхийн тулд та дараах энгийн зүйлийг бөглөж болно.

Яагаад бүх зүйл зүгээр л буланд байдаг юм бэ? Булан хаана байна? Үүнийг ойлгохын тулд 1 - 4-р мэдэгдлүүдийг үгээр хэрхэн бичсэнийг мэдэх хэрэгтэй. Харж, ойлгож, санаж яваарай!

1.
Үнэндээ энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:

Өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? Булангийн эсрэг талын хөл, өөрөөр хэлбэл эсрэг талын (өнцгийн хувьд) хөл байна уу? Мэдээжийн хэрэг байгаа! Энэ бол хөл!

Өнцгийн талаар юу хэлэх вэ? Анхааралтай хар. Аль хөл нь булангийн хажууд байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, хөл. Энэ нь өнцгийн хувьд хөл нь зэргэлдээ байна гэсэн үг юм

Одоо анхаарлаа хандуулаарай! Бидэнд юу байгааг хараарай:

Энэ нь ямар сайхан болохыг хараарай:

Одоо шүргэгч ба котангенс руу шилжье.

Би үүнийг одоо яаж үгээр бичих вэ? Хөл нь өнцөгтэй ямар холбоотой вэ? Мэдээжийн хэрэг эсрэгээрээ - булангийн эсрэг талд "худлаа". Хөл нь яах вэ? Булангийн хажууд. Тэгэхээр бидэнд юу байгаа вэ?

Тоолуур ба хуваагч хэрхэн байраа сольсныг хараарай?

Тэгээд одоо булангуудыг дахин хийж, солилцоо хийсэн:

Үргэлжлэл

Сурсан бүхнээ товчхон бичье.

Пифагорын теорем:

Тэгш өнцөгт гурвалжны тухай гол теорем бол Пифагорын теорем юм.

Пифагорын теорем

Дашрамд хэлэхэд, та хөл, гипотенуз гэж юу болохыг сайн санаж байна уу? Хэрэв тийм ч сайн биш бол зургийг хараарай - мэдлэгээ сэргээ

Та аль хэдийн Пифагорын теоремыг олон удаа ашигласан байх магадлалтай, гэхдээ яагаад ийм теорем үнэн болохыг та бодож байсан уу? Би яаж үүнийг батлах вэ? Эртний Грекчүүд шиг хийцгээе. Хажуу талтай дөрвөлжин зуръя.

Бид түүний талуудыг уртын сегментүүдэд хэр ухаалаг хуваасан болохыг хараарай!

Одоо тэмдэглэсэн цэгүүдийг холбоно

Энд бид өөр нэг зүйлийг тэмдэглэсэн боловч та өөрөө зургийг хараад яагаад ийм байгааг бодож байна.

Том талбайн талбай хэд вэ? Зөв,. Жижиг талбайг яах вэ? Мэдээж, . Дөрвөн булангийн нийт талбай хэвээр байна. Бид тэднийг нэг нэгээр нь авч, гипотенузаар нь бие биендээ наасан гэж төсөөлөөд үз дээ. Юу болсон бэ? Хоёр тэгш өнцөгт. Энэ нь "тайрах" талбай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Одоо бүгдийг нь нэгтгэе.

Өөрчлүүлье:

Тиймээс бид Пифагорт зочилсон - бид түүний теоремыг эртний аргаар нотолсон.

Тэгш өнцөгт гурвалжин ба тригонометр

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дараах харилцааг хангана.

Хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна

Цочмог өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

Цочмог өнцгийн тангенс нь эсрэг талынх нь зэргэлдээ талын харьцаатай тэнцүү байна.

Хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаатай тэнцүү байна.

Дахин нэг удаа энэ бүгдийг таблет хэлбэрээр:

Энэ нь маш тохиромжтой!

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг

I. Хоёр талдаа

II. Хөл ба гипотенузаар

III. Гипотенуз ба хурц өнцгөөр

IV. Хөл ба хурц өнцгийн дагуу

а)

б)

Анхаар! Энд хөл нь "тохиромжтой" байх нь маш чухал юм. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь иймэрхүү байвал:

ТЭГВЭЛ ГУРВАЛЖИНУУД ТЭНЦҮҮ БИШ, тэдгээр нь нэг ижил хурц өнцөгтэй байсан ч.

Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай гурвалжингийн аль алинд нь хөл нь зэргэлдээ, эсвэл хоёуланд нь эсрэг талд байсан.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдгүүд нь гурвалжны тэгш байдлын ердийн тэмдгүүдээс хэрхэн ялгаатай болохыг та анзаарсан уу? "Энгийн" гурвалжны тэгш байдлын хувьд тэдгээрийн гурван элемент нь тэнцүү байх ёстой гэдгийг анхаарч үзээрэй: хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хоорондох тал эсвэл гурван тал. Гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын хувьд зөвхөн хоёр харгалзах элемент хангалттай. Гайхалтай, тийм үү?

Нөхцөл байдал тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй шинж тэмдгүүдийн хувьд ойролцоогоор ижил байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг

I. Хурц өнцгийн дагуу

II. Хоёр талдаа

III. Хөл ба гипотенузаар

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медиан

Яагаад ийм байна вэ?

Тэгш өнцөгт гурвалжны оронд бүхэл бүтэн тэгш өнцөгтийг авч үзье.

Диагональ зурж, цэгийг авч үзье - диагональуудын огтлолцлын цэг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ?

Тэгээд үүнээс юу гарах вэ?

Тэгэхээр ийм болсон

1. - медиан:

Энэ баримтыг санаарай! Маш их тусалдаг!

Хамгийн гайхалтай нь бас эсрэгээрээ байгаа явдал юм.

Гипотенуз руу татсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байх нь ямар сайн зүйл болох вэ? Зургийг харцгаая

Анхааралтай хар. Бидэнд: , өөрөөр хэлбэл гурвалжны цэгээс бүх гурван орой хүртэлх зай тэнцүү болсон. Гэхдээ гурвалжинд гурвалжны гурван орой хүртэлх зай нь тэнцүү ганцхан цэг байдаг бөгөөд энэ нь ТОГЛОГЫН ТӨВ юм. Тэгээд юу болсон бэ?

За ингээд "үүнээс гадна..."-ээс эхэлцгээе.

болон харцгаая.

Гэхдээ ижил төстэй гурвалжинбүх өнцөг тэнцүү байна!

болон тухай мөн адил хэлж болно

Одоо хамтдаа зурцгаая:

Энэхүү "гурвалсан" ижил төстэй байдлаас ямар ашиг тус авч болох вэ?

За, жишээ нь - тэгш өнцөгт гурвалжны өндрийн хоёр томьёо.

Холбогдох талуудын харилцааг бичье.

Өндөрийг олохын тулд бид пропорцийг шийдэж, авна Эхний томъёо "Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өндөр":

Тиймээс ижил төстэй байдлыг хэрэгжүүлье: .

Одоо юу болох вэ?

Дахин бид пропорцийг шийдэж, хоёр дахь томьёог авна.

Та эдгээр хоёр томъёог маш сайн санаж, илүү тохиромжтойг нь ашиглах хэрэгтэй. Тэднийг дахин бичье

Пифагорын теорем:

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг:

• хоёр талдаа:
• хөл ба гипотенузаар: эсвэл
• хөл болон зэргэлдээ хурц өнцөг дагуу: эсвэл
• хөлний дагуу болон эсрэг талын хурц өнцөг: эсвэл
• гипотенуз ба хурц өнцгөөр: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг:

• нэг хурц өнцөг: эсвэл
• хоёр хөлийн пропорциональ байдлаас:
• хөл ба гипотенузын пропорциональ байдлаас: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синус, косинус, тангенс, котангенс

• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.
• Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр: эсвэл.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөв өнцгийн оройноос татсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна: .

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай:

• хөлөөрөө:

Синустэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг α нь харьцаа юм эсрэгхөл нь гипотенуз хүртэл.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: sin α.

КосинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг α нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: cos α.

Тангенсхурц өнцөг α нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: tg α.

Котангенсхурц өнцөг α нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм.
Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: ctg α.

Өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Дүрэм:

Үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдалтэгш өнцөгт гурвалжинд:

(α - хөлний эсрэг талын хурц өнцөг б ба хөлний хажууд а . Хажуу тал -тай - гипотенуз. β - хоёр дахь хурц өнцөг).

Хурц өнцөг нэмэгдэх тусамнүгэл α баtan α нэмэгдэх, баcos α буурдаг.

Аливаа α хурц өнцөгт:

нүгэл (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Жишээ-тайлбар:

ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг оруул
AB = 6,
BC = 3,
өнцөг A = 30º.

А өнцгийн синус, В өнцгийн косинусыг олъё.

Шийдэл.

1) Эхлээд бид В өнцгийн утгыг олно. Энд бүх зүйл энгийн: тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90º бол B өнцөг = 60º байна:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Нүгэл А-г тооцоолъё. Синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. А өнцгийн хувьд эсрэг тал нь ВС тал байна. Тэгэхээр:

МЭӨ 3 1
нүгэл А = -- = - = -
AB 6 2

3) Одоо cos B-ийг тооцоолъё. Косинус нь зэргэлдээх хөлийн гипотенузын харьцаатай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. B өнцгийн хувьд зэргэлдээх хөлнарны нэг тал хэвээрээ байна. Энэ нь бид дахин BC-ийг AB-д хуваах хэрэгтэй гэсэн үг юм, өөрөөр хэлбэл А өнцгийн синусыг тооцоолохтой ижил үйлдлийг хийх хэрэгтэй.

МЭӨ 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Үр дүн нь:
нүгэл А = cos B = 1/2.

нүгэл 30º = cos 60º = 1/2.

Эндээс харахад тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг хурц өнцгийн синус байна косинустай тэнцүүөөр хурц өнцөг - мөн эсрэгээр. Энэ бол бидний хоёр томьёоны утга учир юм:
нүгэл (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Үүнийг дахин шалгацгаая:

1) α = 60º гэж үзье. α-ийн утгыг синусын томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
нүгэл (90º – 60º) = cos 60º.
нүгэл 30º = cos 60º.

2) α = 30º гэж үзье. Косинусын томъёонд α-ийн утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
cos (90° – 30º) = нүгэл 30º.
cos 60° = гэм 30º.

(Тригонометрийн талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг Алгебр хэсгээс үзнэ үү)