y ax2 bx функцийг хэрхэн шийдэх вэ c. "Y=ax2 функц, түүний график ба шинж чанарууд" сэдвээр алгебрийн хичээлийн хураангуй (9-р анги)

/3. Дараа нь бид зарим хэв маягийг "харах" болно:Тодорхойлолт . Хэрэв тооны тойргийн М цэг нь t тоотой тохирч байвал М цэгийн абсциссыг t тооны косинус гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.сos т , мөн М цэгийн ординатыг t тооны синус гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.
синт

Тооны тойргийн дөрөвний нэг дэх синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдгүүдийн хүснэгт: Координатын хавтгай дээрх тойргийн тэгшитгэл (Тодорхойлолт 1.Тооны тэнхлэг тооны шугам, координатын шугам) Ox нь О цэгийг сонгосон шулуун шугам юм

гарал үүсэл (координатын гарал үүсэл) → x

(Зураг 1), чиглэл Огэж жагсаасан эерэг чиглэл.

мөн сегментийг тэмдэглэсэн бөгөөд уртыг нь авна

уртын нэгж Тодорхойлолт 2. Уртыг уртын нэгж болгон авсан сегментийг масштаб гэж нэрлэдэг.Тоон тэнхлэг дээрх цэг бүр координаттай байдаг бөгөөд энэ нь

бодит тоо . О цэгийн координат тэг байна. Ox туяа дээр байрлах дурын А цэгийн координат нь OA хэрчмийн урттай тэнцүү байна. Ox туяанд оршдоггүй тоон тэнхлэгийн дурын А цэгийн координат сөрөг бөгөөд үнэмлэхүй утгаараа OA сегментийн урттай тэнцүү байна. Тодорхойлолт 3.Тэгш өнцөгт декартын координатын систем Хавтгай дээрх Окси хоёрыг харилцан дуудТэгээд перпендикуляртоон тэнхлэгүүд Ox and Oy withижил масштабтай нийтлэг эхлэлцаг тоолох

Анхаарна уу. 2-р зурагт үзүүлсэн тэгш өнцөгт декартын координатын Окси системийг нэрлэнэ зөв системкоординатууд, ялгаатай зүүн координатын системүүд, Ох туяаг 90° өнцгөөр эргүүлэх нь цагийн зүүний дагуу хийгдэнэ. Энэхүү гарын авлагад бид Бид зөвхөн баруун гар талын координатын системийг авч үздэг, тусгайлан заагаагүй.

Хэрэв бид хавтгайд Окси-ийн тэгш өнцөгт декартын координатын зарим системийг оруулбал онгоцны цэг бүрийг олж авна. хоёр координат – абсциссаТэгээд ординат, эдгээрийг дараах байдлаар тооцно. А нь хавтгай дээрх дурын цэг байг. А цэгээс перпендикуляр буулгая А.А. 1 ба А.А. 2 шулуун шугам руу Ox болон Oy тус тус (Зураг. 3).

Тодорхойлолт 4. А цэгийн абсцисса нь тухайн цэгийн координат юм А Ox тооны тэнхлэг дээрх 1, А цэгийн ординат нь цэгийн координат болно А Oy тооны тэнхлэг дээр 2.

Зориулалт Цэгийн координат (абсцисса ба ординат).Тэгш өнцөгт декартын координатын систем дэх A-г ихэвчлэн Окси (Зураг 4) гэж тэмдэглэдэг. А(x;y) эсвэл А = (x; y).

Анхаарна уу. О цэгийг дуудлаа гарал үүсэл, координаттай гарал үүсэл (координатын гарал үүсэл)(0 ; 0) .

Тодорхойлолт 5. Тэгш өнцөгт декартын координатын системд Окси тооны тэнхлэгҮхэрийг абсцисса тэнхлэг, Oy тоон тэнхлэгийг ординатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Тодорхойлолт 6. Тус бүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй декартын системкоординатууд нь хавтгайг 4 дөрөвний (квадрант) хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн дугаарыг 5-р зурагт үзүүлэв.

Тодорхойлолт 7. Тэгш өнцөгт декартын координатын систем өгөгдсөн хавтгайг гэнэ координатын хавтгай.

Анхаарна уу. Абсцисса тэнхлэгийг координатын хавтгайд тэгшитгэлээр тодорхойлно y= 0, ординатын тэнхлэгийг координатын хавтгайд тэгшитгэлээр өгөв x = 0.

Мэдэгдэл 1. Хоёр цэгийн хоорондох зайкоординатын хавтгай

А 1 (x 1 ;y 1) Тэгээд А 2 (x 2 ;y 2)

тооцоолсон томъёоны дагуу

Баталгаа. Зураг 6-г авч үзье.

Тиймээс,

Q.E.D.

Координатын хавтгай дээрх тойргийн тэгшитгэл

Oxy координатын хавтгайд (Зураг 7) цэг дээр төвтэй R радиустай тойргийг авч үзье. А 0 (x 0 ;y 0) .

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

10-р ангид тооны тойрогт маш их цаг зарцуулдаг. Энэ нь математикийн бүхэл бүтэн хичээлийн хувьд энэхүү математикийн объектын ач холбогдлтой холбоотой юм.

Сургалтын хэрэглүүрийг зөв сонгох нь материалыг сайн эзэмшихэд чухал ач холбогдолтой. Хамгийн үр дүнтэй ийм хэрэгсэлд видео хичээл орно. IN сүүлийн үедтэд алдартай оргилд хүрдэг. Тиймээс зохиолч цаг үеэсээ хоцролгүй, математикийн багш нарт туслах ийм гайхалтай гарын авлагыг боловсруулсан - "Координатын хавтгай дээрх тооны тойрог" сэдэвт видео хичээл.

Энэ хичээл 15:22 минут үргэлжилнэ. Энэ бол багшийн тухайн сэдвээр материалыг бие даан тайлбарлахад зарцуулж болох хамгийн дээд хугацаа юм. Шинэ материалыг тайлбарлахад маш их цаг хугацаа шаардагдах тул нэгтгэхэд хамгийн тохиромжтойг нь сонгох шаардлагатай. үр дүнтэй ажлуудболон дасгалууд, мөн оюутнууд энэ сэдвээр даалгавруудыг шийдвэрлэх өөр нэг хичээлийг онцлон тэмдэглэ.

Хичээл нь координатын систем дэх тооны тойргийн зургаас эхэлнэ. Зохиогч энэ тойргийг байгуулж, үйлдлээ тайлбарладаг. Дараа нь зохиогч координатын тэнхлэгүүдтэй тооны тойргийн огтлолцох цэгүүдийг нэрлэнэ. Тойргийн цэгүүд өөр өөр хэсэгт ямар координаттай болохыг доор тайлбарлав.

Үүний дараа зохиогч тойргийн тэгшитгэл ямар байдгийг сануулж байна. Мөн сонсогчдод тойрог дээрх зарим цэгүүдийг дүрсэлсэн хоёр загварыг танилцуулж байна. Үүний ачаар дараагийн алхамд зохиогч тойргийн цэгүүдийн координатыг хэрхэн олохыг харуулав. тодорхой тоозагварууд дээр тэмдэглэгдсэн. Энэ нь тойргийн тэгшитгэл дэх x ба y хувьсагчдын утгын хүснэгтийг гаргадаг.

Дараа нь бид тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай жишээг авч үзэхийг санал болгож байна. Жишээг шийдэж эхлэхийн өмнө үүнийг шийдвэрлэхэд туслах зарим нэг тайлбарыг оруулсан болно. Дараа нь дэлгэцэн дээр бүрэн, тодорхой бүтэцтэй, зурагтай шийдэл гарч ирнэ. Энд мөн жишээний мөн чанарыг ойлгоход хялбар хүснэгтүүд байдаг.

Дараа нь эхнийхээс бага хөдөлмөр зарцуулдаг, гэхдээ ач холбогдол, тусгалтай өөр зургаан жишээг авч үзье гол санаахичээл. Энд шийдлүүдийг бүрэн эхээр нь толилуулж байна дэлгэрэнгүй түүхмөн тодорхой байдлын элементүүдтэй. Тухайлбал, шийдэл нь шийдлийн явцыг харуулсан зургуудыг агуулдаг математик тэмдэглэгээ, бүрдүүлэх математикийн бичиг үсэгоюутнууд.

Багш хичээл дээр ярилцсан жишээн дээр өөрийгөө хязгаарлаж болох боловч энэ нь материалыг өндөр чанартай сурахад хангалтгүй байж магадгүй юм. Тиймээс бататгах даалгавруудыг сонгох нь маш чухал юм.

Хичээл нь зөвхөн цаг хугацаа нь хязгаарлагдмал байдаг багш нарт төдийгүй оюутнуудад хэрэгтэй байж болно. Ялангуяа хүлээн авдаг хүмүүс гэр бүлийн боловсролэсвэл бие даан боловсрол эзэмшдэг. Материалыг энэ сэдвээр хичээл тасалсан оюутнууд ашиглаж болно.

Текстийг тайлах:

Бидний хичээлийн сэдэв нь "КОРДИНАТ ХАТГАЛТ ДЭЭР ТООН ТОЙРОГ"

Декартын тэгш өнцөгт координатын xOy (x o y) системийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ координатын системд бид тойргийн төв нь координатын эхтэй тохирч байхаар тооны тойргийг байрлуулж, түүний радиусыг масштабын сегмент болгон авна.

Тоон тойргийн A цэгийг координаттай (1;0), B - цэгтэй (0;1), C - (-1;0) (хасах нэг, тэг), D цэгтэй нэгтгэнэ. - (0; - 1)-тэй (тэг, хасах нэг).

(1-р зургийг үз)

Тооны тойргийн цэг бүр xOy (x o y) систем дэх өөрийн координаттай байдаг тул эхний улирлын ikx цэгүүдийн хувьд тэгээс ихмөн тоглоом тэгээс их байна;

Хоёрдугаар улирал ICH тэгээс багатоглоом тэгээс их байна,

3-р улирлын онооны хувьд ikx тэгээс бага, yk нь тэгээс бага,

мөн дөрөвдүгээр улиралд ikx тэгээс их, yk тэгээс бага байна

Тоон тойргийн дурын Е (x;y) цэгийн хувьд (х, у координаттай) -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x хасах нэгээс их буюу тэнцүү, гэхдээ түүнээс бага) тэгш бус байдал. эсвэл нэгтэй тэнцүү y нь хасах нэгээс их эсвэл тэнцүү, гэхдээ нэгээс бага эсвэл тэнцүү);

Эх нь төвтэй R радиустай тойргийн тэгшитгэл нь x 2 + y 2 = R 2 хэлбэртэй (х квадрат дээр нэмэх нь у квадрат нь er квадраттай тэнцүү) гэдгийг санаарай. Мөн төлөө нэгж тойрог R =1, тэгэхээр бид x 2 + y 2 = 1 болно

(х квадрат нэмэх у квадрат нь нэг).

Тоон тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг олцгооё, эдгээрийг хоёр схем дээр үзүүлэв (Зураг 2, 3-ыг үз).

Харгалзах E цэгийг үзье

(пи дөрөв) - зурагт үзүүлсэн эхний улирлын дунд. E цэгээс бид перпендикуляр EK-ийг OA шулуун шугам руу буулгаж, OEK гурвалжинг авч үзье. AE нум нь AB нумын тал нь тул AOE өнцөг =45 0. Иймээс OEK гурвалжин нь тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд OK = EC байна. Энэ нь Е цэгийн абсцисса ба ординат тэнцүү гэсэн үг, i.e. x тоглоомтой тэнцүү. Е цэгийн координатыг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг шийднэ: (х тэнцүү yrek - системийн эхний тэгшитгэл ба x квадрат нэмэх yrek квадрат нь нэг - системийн хоёр дахь тэгшитгэлд). , x-ийн оронд бид y-г орлуулж, бид 2y 2 = 1 (хоёр yyrek квадрат нь нэгтэй тэнцүү), үүнээс у = = (y нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд хоёрын язгуурт хуваагдвал хоёрын язгууртай тэнцүү) болно. хоёр хуваагдана) (ординат нь эерэг байна. Энэ нь Е цэгийг хэлнэ). тэгш өнцөгт системкоординат нь координаттай(,)(хоёрын язгуурыг хоёрт хуваах, хоёрыг хоёроор хуваах үндэс).

Үүнтэй адил үндэслэлээр бид эхний байршлын бусад тоонуудад тохирох цэгүүдийн координатыг олоод дараахийг олж авна: харгалзах цэг нь координаттай (- ,) (хоёрын үндэсийг хоёроор хуваасан, хоёрын үндэсийг хоёроор хуваа) ; for - (- ,-) (хоёрыг хоёрт хуваасан үндсийг хасаж, хоёрыг хоёр хуваасан үндсийг хасах); for (долоон пи дөрвөөс дээш) (,)(язгуур хоёрыг хоёрт хуваасан, хоёрыг хоёр хуваасан үндэс).

D цэгтэй тохирно (Зураг 5). DP(de pe)-ээс OA хүртэлх перпендикулярыг буулгаж ODP гурвалжинг авч үзье. Энэ OD гурвалжны гипотенуз нь нэгж тойргийн радиустай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл нэг бөгөөд DOP өнцөг нь гучин градустай тэнцүү, учир нь нуман AD = digi AB (a de нь a be гуравны нэгтэй тэнцүү) ба нуман AB нь ерэн градустай тэнцүү. Иймд DP = (de pe нь хагастай тэнцүү O de нь хагастай тэнцүү) Гучин градусын өнцгийн эсрэг талын хөл хэвтэж байгаа тул хагастай тэнцүүгипотенуз, өөрөөр хэлбэл y = (y нь хагастай тэнцүү). Пифагорын теоремыг ашигласнаар бид OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe квадрат тэнцүү o de квадрат хасах de pe квадрат), харин OR = x (o pe тэнцүү x) болно. Энэ нь x 2 = OD 2 - DP 2 = гэсэн үг юм

энэ нь x 2 = (х квадрат нь дөрөвний гуравтай тэнцүү) ба x = (х нь гурвыг хоёр үржүүлгийн үндэстэй тэнцүү) гэсэн үг юм.

X эерэг, учир нь эхний улиралд байна. Тэгш өнцөгт координатын системийн D цэг нь гурвын язгуурыг хоёр, нэг хагаст хуваасан координат (,) байгааг олж мэдсэн.

Үүнтэй ижил аргаар бид хоёр дахь байршлын бусад тоонуудтай тохирох цэгүүдийн координатыг олж, олж авсан бүх өгөгдлийг хүснэгтэд бичнэ.

Жишээнүүдийг харцгаая.

ЖИШЭЭ 1. Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг ол: a) C 1 ();

b) C 2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (цэ нэг нь гучин таван пи-г дөрөв, цэ хоёрыг хасах дөчин есөн пи-г гурав, цэ гурвыг дөчин нэгэн пи-д харгалзах цэ гурав, хасах хорин зургаан пи-д тохирох цэ дөрөв).

Шийдэл. Өмнө нь олж авсан мэдэгдлийг ашиглацгаая: хэрэв тооны тойргийн D цэг нь t тоотой тохирч байвал энэ нь t + 2πk (te нэмэх хоёр оргил) хэлбэрийн дурын тоотой тохирч байна, энд ka нь дурын бүхэл тоо, өөрөөр хэлбэл. kϵZ (ка нь z-д хамаарна).

a) Бид = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (гучин таван пи-г үржүүлбэл 4-ийг гучин тавыг үржүүлбэл 4-ийг гучин таваар үржүүлбэл найм ба дөрөвний гурвын нийлбэр, пи-ээр үржүүлбэл тэнцүү байна. гурвыг дөрөв дахин нэмсэн хоёр пи-ийн үржвэрийг дөрөв болгоно). Хүснэгт 1-ийг ашиглан бид C 1 () = C 1 (- ;) -ийг авна.

b) C 2 координаттай төстэй: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8) Энэ нь тоо гэсэн үг юм.

тоотой ижил тооны тойргийн цэгтэй тохирч байна. Мөн тоо нь тоотой адил тооны тойргийн цэгтэй тохирч байна

(хоёр дахь зохион байгуулалт болон хүснэгт 2-ыг харуул). Нэг цэгийн хувьд бид x =, y = байна.

в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Энэ нь 41π тоо нь π тоотой тооны тойрог дээрх ижил цэгтэй тохирч байна гэсэн үг - энэ нь координаттай цэг (-1; 0).

г) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), өөрөөр хэлбэл - 26π нь тоон тойрог дээрх тэг тоотой ижил цэгтэй тохирч байна - энэ нь координат (1; 0) бүхий цэг юм.

ЖИШЭЭ 2. y = ординаттай тооны тойрог дээрх цэгүүдийг ол

Шийдэл. y = шулуун шугам нь тооны тойргийг хоёр цэгээр огтолж байна. Нэг цэг нь тоотой, хоёр дахь цэг нь тоотой тохирч байна.

Тиймээс бид бүх оноог 2πk-ийн бүтэн эргэлтийг нэмснээр олж авна, энд k нь хэд байгааг харуулж байна бүрэн хувьсгалуудцэг тавьдаг, өөрөөр хэлбэл. бид авах,

дурын тооны хувьд + 2πk хэлбэрийн бүх тоо. Ихэнхдээ ийм тохиолдолд тэд хоёр цуврал утгыг хүлээн авсан гэж хэлдэг: + 2πk, + 2πk.

ЖИШЭЭ 3. Тооны тойргийн абсцисса х =тэй цэгүүдийг олоод аль t тоотой тохирч байгааг бич.

Шийдэл. Шулуун X= тооны тойргийг хоёр цэгээр огтолно. Нэг цэг нь тоотой тохирч байна (хоёр дахь байршлыг үзнэ үү),

Тиймээс + 2πk хэлбэрийн дурын тоо. Хоёрдахь цэг нь тоотой тохирч байгаа тул + 2πk хэлбэрийн аль ч тоотой тохирч байна. Эдгээр хоёр цуврал утгыг нэг оруулгад багтааж болно: ± + 2πk (нэмэх хоёр пи-г гурван нэмэх хоёр пи).

ЖИШЭЭ 4. Тооны тойрог дээрх ординаттай цэгүүдийг ол цагт> аль t тоотой тохирч байгааг бич.

Шулуун шугам y = тоо тойргийг M ба P хоёр цэгээр огтолж байна. Мөн y > тэгш бус байдал нь MR нээлттэй нумын цэгүүдтэй тохирч байгаа бөгөөд энэ нь тойргийг цагийн зүүний эсрэг хөдөлгөх үед төгсгөлгүй нумуудыг (өөрөөр хэлбэл u байхгүй) гэсэн үг юм. , М цэгээс эхэлж, P цэгээр төгсдөг. Энэ нь MR нумын аналитик тэмдэглэгээний цөм нь тэгш бус байдал гэсэн үг юм.< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ЖИШЭЭ5. Тооны тойрог дээрх ординатын цэгүүдийг ол цагт < и записать, каким числам t они соответствуют.

y = шулуун шугам нь тооны тойргийг M ба P гэсэн хоёр цэг дээр огтолж байна. Мөн тэгш бус байдал y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πк< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ЖИШЭЭ 6. Тооны тойрог дээрх абсциссатай цэгүүдийг ол X> аль t тоотой тохирч байгааг бич.

Шулуун шугам x = нь тооны тойргийг M ба P гэсэн хоёр цэгээр огтолж байна. Тэгш бус байдал нь P цэгийн эхлэл, төгсгөл нь цэг дээр байх үед цагийн зүүний эсрэг тойргийн дагуу шилжих үед нээлттэй нумын PM цэгүүдэд х > тохирно. M, энэ нь тохирч байна. Энэ нь PM нумын аналитик тэмдэглэгээний цөм нь тэгш бус байдал гэсэн үг юм< t <

(te нь хасах хоёр пи-ээс гурваас их, харин хоёр пи-ээс гурваас бага), нумын аналитик тэмдэглэгээ өөрөө + 2πk хэлбэртэй байна.< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ЖИШЭЭ 7. Тооны тойрог дээрх абсциссатай цэгүүдийг ол X < и записать, каким числам t они соответствуют.

X = шулуун шугам нь тооны тойргийг M ба P гэсэн хоёр цэгээр огтолж байна. Тэгш бус байдал x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te нь гурваар хоёр пи-ээс их, харин гурваас дөрөв пи-ээс бага), нумын аналитик тэмдэглэгээ нь өөрөө + 2πk хэлбэртэй байна.< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Тооны тойрогцэгүүд нь тодорхой бодит тоотой тохирч буй нэгж тойрог юм.

Нэгж тойрог нь 1 радиустай тойрог юм.

Тооны тойргийн ерөнхий дүр төрх.

1) Түүний радиусыг хэмжих нэгж болгон авна.

2) Хэвтээ ба босоо диаметр нь тооны тойргийг дөрөвний дөрөвт хуваадаг (зураг харна уу). Тэднийг эхний, хоёрдугаар, гурав, дөрөвдүгээр улирал гэж нэрлэдэг.

3) Хэвтээ диаметрийг хувьсах гүйдлээр тэмдэглэсэн ба хамгийн баруун цэг нь А байна.
Босоо диаметрийг BD гэж тодорхойлсон бөгөөд B нь хамгийн өндөр цэг юм.
Тус тусад нь:

эхний улирал нь AB нум юм

хоёрдугаар улирал - МЭӨ нум

Гуравдугаар улирал - нуман CD

дөрөвдүгээр улирал – DA нуман

4) Тооны тойргийн эхлэл цэг нь А цэг юм.

Тооны тойргийн дагуу тоолохыг цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг хийж болно.
А цэгээс тоолохыг цагийн зүүний эсрэг гэж нэрлэдэг эерэг чиглэл.
А цэгээс цагийн зүүний дагуу тоолохыг нэрлэдэг сөрөг чиглэл.

Координатын хавтгай дээрх тооны тойрог.

Тооны тойргийн радиусын төв нь гарал үүсэлтэй тохирч байна (тоо 0).

Хэвтээ диаметр нь тэнхлэгтэй тохирч байна x, босоо – тэнхлэгүүд y.

Тооны тойргийн А цэг нь тэнхлэг дээр байна xба координаттай (1; 0).

Үнэ цэнэxТэгээдyтооны тойргийн дөрөвний нэгд:

Тооны тойргийн үндсэн хэмжигдэхүүнүүд:

Тооны тойрог дээрх гол цэгүүдийн нэр, байршил:

Тооны тойргийн нэрийг хэрхэн санах вэ.

Тооны тойргийн үндсэн нэрийг хялбархан санахад туслах хэд хэдэн энгийн загварууд байдаг.

Эхлэхээсээ өмнө танд сануулъя: тоолол нь эерэг чиглэлд, өөрөөр хэлбэл А цэгээс (2π) цагийн зүүний эсрэг явагдана.

1) Координатын тэнхлэг дээрх туйлын цэгүүдээс эхэлье.

Эхлэх цэг нь 2π (тэнхлэг дээрх хамгийн баруун цэг X, 1-тэй тэнцүү).

Таны мэдэж байгаагаар 2π нь тойргийн тойрог юм. Энэ нь хагас тойрог нь 1π эсвэл π гэсэн үг юм. Тэнхлэг Xтойргийг яг хагасаар хуваана. Үүний дагуу тэнхлэг дээрх хамгийн зүүн цэг X-1-тэй тэнцүү бол π гэж нэрлэдэг.

Тэнхлэг дээрх хамгийн өндөр цэг цагт, 1-тэй тэнцүү, дээд хагас тойргийг хагасаар хуваана. Энэ нь хэрэв хагас тойрог нь π бол хагас тойрог нь π/2 гэсэн үг юм.

Үүний зэрэгцээ π/2 нь мөн тойргийн дөрөвний нэг юм. Ийм дөрөвний гурвыг эхнийхээс гурав хүртэл тоолж үзье - бид тэнхлэгийн хамгийн доод цэгт хүрнэ. цагт, -1-тэй тэнцүү. Харин дөрөвний гурвыг багтаасан бол нэр нь 3π/2 болно.

2) Одоо үлдсэн цэгүүд рүү шилжье. Анхаарна уу: бүх эсрэг цэгүүд ижил тоологчтой бөгөөд эдгээр нь тэнхлэгтэй харьцуулахад эсрэг цэгүүд юм цагт, хоёулаа тэнхлэгүүдийн төвтэй харьцуулахад, мөн тэнхлэгтэй харьцуулахад X. Энэ нь бидэнд тэдний онооны утгыг шахахгүйгээр мэдэхэд тусална.

Та зөвхөн эхний улирлын онооны утгыг санах хэрэгтэй: π/6, π/4, π/3. Дараа нь бид зарим хэв маягийг "харах" болно:

- y тэнхлэгтэй харьцуулахад 2-р улирлын цэгүүдэд, эхний улирлын цэгүүдийн эсрэг талд, тоологч дахь тоо нь хуваагчийн хэмжээнээс 1-ээр бага байна. Жишээлбэл, π/6 цэгийг ав. Тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний эсрэг талын цэг цагтмөн хуваагчдаа 6, тоологчдоо 5 байна (1 бага). Өөрөөр хэлбэл, энэ цэгийн нэр нь: 5π/6. π/4-ийн эсрэг талын цэг нь мөн хуваагчдаа 4, тоологч хэсэгт 3 байна (4-өөс 1-ээс бага) - энэ нь 3π/4 цэг юм.
π/3-ын эсрэг талын цэг мөн хуваагчдаа 3, тоологч хэсэгт 1-ээр бага байна: 2π/3.

- Координатын тэнхлэгүүдийн төвтэй харьцуулахадБүх зүйл эсрэгээрээ байна: эсрэг цэгүүдийн тоонуудын тоо (гуравдугаар улиралд) хуваагчийн утгаас 1-ээс их байна. π/6 цэгийг дахин авч үзье. Төвтэй харьцуулахад түүний эсрэг талын цэг нь хуваагчдаа 6-тай, тоологч дахь тоо 1-ээс их байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь 7π/6 байна.

π/4 цэгийн эсрэг талын цэг мөн хуваагчдаа 4-тэй, тоологч хэсэгт 1-ээр илүү байна: 5π/4.
π/3 цэгийн эсрэг талын цэг мөн хуваагчдаа 3-тай, тоологч хэсэгт 1-ээр илүү байна: 4π/3.

- Тэнхлэгтэй харьцуулахад X(дөрөвдүгээр улирал)асуудал илүү төвөгтэй. Энд та хуваагчийн утгад 1-ээс бага тоог нэмэх хэрэгтэй - энэ нийлбэр нь эсрэг цэгийн тоологчийн тоон хэсэгтэй тэнцүү байх болно. π/6-аар дахин эхэлцгээе. 6-тай тэнцүү хуваарийн утга дээр энэ тооноос 1-ээр бага тоог нэмье - өөрөөр хэлбэл 5. Бид дараахийг авна: 6 + 5 = 11. Энэ нь тэнхлэгийн эсрэг байна гэсэн үг юм. Xцэг нь хуваагчдаа 6, тоологч хэсэгт 11 байх болно - өөрөөр хэлбэл 11π/6.

π/4 цэг. Бид хуваагчийн утга дээр 1-ээс бага тоог нэмнэ: 4 + 3 = 7. Энэ нь тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний эсрэг байна гэсэн үг юм. XЭнэ цэг нь хуваагчдаа 4, тоологч хэсэгт 7 байна - өөрөөр хэлбэл 7π/4.
π/3 цэг. Хуваагч нь 3. Бид 3-т нэгээр бага тоог нэмнэ - өөрөөр хэлбэл 2. Бид 5-ыг авна. Энэ нь түүний эсрэг талын цэг нь тоологч дотор 5 байна гэсэн үг - энэ нь 5π/3 цэг юм.

3) Дөрөвний дундын цэгүүдийн өөр нэг загвар. Тэдний хуваагч нь 4 гэдэг нь тодорхой байна. Тоолууруудад анхаарлаа хандуулцгаая. Эхний улирлын дундын тоологч нь 1π (гэхдээ 1 гэж бичих нь заншилгүй). Хоёрдугаар улирлын дундын тоологч нь 3π байна. Гуравдугаар улирлын дундын тоологч нь 5π байна. Дөрөвдүгээр улирлын дундын тоологч нь 7π байна. Дунд хэсгийн тоологч нь эхний дөрвөн сондгой тоог өсөх дарааллаар агуулсан байна.
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Энэ бас маш энгийн. Бүх хэсгийн дундын цэгүүд хуваагчдаа 4-тэй байдаг тул бид тэдний бүтэн нэрийг мэддэг: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Тооны тойргийн онцлог. Тооны шугамтай харьцуулах.

Та бүхний мэдэж байгаагаар тооны шулуун дээр цэг бүр нэг тоотой тохирч байна. Жишээлбэл, шулуун дээрх А цэг нь 3-тай тэнцүү бол энэ нь өөр ямар ч тоотой тэнцэх боломжгүй болно.

Энэ нь тойрог учраас тоон тойрог дээр ялгаатай. Жишээлбэл, тойргийн А цэгээс М цэг хүртэл ирэхийн тулд шулуун шугам дээр байгаа юм шиг (зөвхөн нумыг дайрч өнгөрдөг) эсвэл бүхэл бүтэн тойргийг тойрч, дараа нь М цэгт хүрч болно. Дүгнэлт:

M цэгийг зарим t тоотой тэнцүү болгоё. Бидний мэдэж байгаагаар тойргийн тойрог нь 2π юм. Энэ нь бид t тойрог дээрх цэгийг t эсвэл t + 2π гэсэн хоёр аргаар бичиж болно гэсэн үг юм. Эдгээр нь тэнцүү утга юм.
Энэ нь t = t + 2π гэсэн үг юм. Ганц ялгаа нь эхний тохиолдолд та тойрог хийлгүйгээр шууд М цэг дээр ирсэн, хоёр дахь тохиолдолд та тойрог хийсэн, гэхдээ ижил M цэг дээр дууссан. Та хоёр, гурав, хоёр зууг ийм болгож болно. тойрог. Хэрэв бид тойргийн тоог үсгээр тэмдэглэвэл к, дараа нь бид шинэ илэрхийлэл авна:
t = t + 2π к.

Тиймээс томъёо:

Тооны тойргийн тэгшитгэл
(хоёр дахь тэгшитгэл нь "Синус, косинус, тангенс, котангенс" хэсэгт байна):