Медиан гэдэг нь гурвалжны оройгоос эсрэг талын дунд хүртэл зурсан хэрчмийг хэлнэ, өөрөөр хэлбэл огтлолцох цэг дээр хагасыг нь хуваана. Дундаж огтлолцох цэг дээд талын эсрэг талдгарч байгаа талыг суурь гэж нэрлэдэг. Гурвалжны медиан бүр огтлолцлын цэг гэж нэрлэгддэг нэг цэгээр дамждаг. Түүний уртын томъёог хэд хэдэн аргаар илэрхийлж болно.

Медианы уртыг илэрхийлэх томъёо

Ихэнхдээ геометрийн бодлогод оюутнууд гурвалжны медиан гэх мэт сегментийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Түүний уртын томъёог талуудаар илэрхийлнэ.

a, b ба c талууд нь энд байна. Түүнээс гадна c нь медиан унасан тал юм. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна энгийн томъёо. Туслах тооцоонд заримдаа гурвалжны медиан шаардлагатай байдаг. Бусад томъёо байдаг.

Тооцооллын явцад гурвалжны хоёр тал ба тэдгээрийн хооронд байрлах тодорхой өнцөг α мэдэгдэж байвал гурвалжны гурав дахь тал руу буулгасан медианы уртыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Үндсэн шинж чанарууд

Бүх медианууд нэг байна нийтлэг цэгО ба түүний огтлолцол нь оройноос нь тооцвол хоёр ба нэгийн харьцаагаар хуваагдана. Энэ цэгийг гурвалжны хүндийн төв гэж нэрлэдэг.
Медиан нь гурвалжинг талбайнууд нь тэнцүү хоёр өөр хэсэгт хуваана. Ийм гурвалжингуудыг тэнцүү талбай гэж нэрлэдэг.
Хэрэв та бүх медианыг зурвал гурвалжин 6-д хуваагдана ижил хэмжээтэй тоонууд, энэ нь мөн гурвалжин байх болно.
Гурвалжны гурван тал нь тэнцүү бол медиан тус бүр нь мөн өндөр ба биссектрис байх бөгөөд өөрөөр хэлбэл түүний татагдаж буй талдаа перпендикуляр байх ба түүний гарч буй өнцгийг хоёр хуваана.
IN тэгш өнцөгт гурвалжинбусадтай тэнцүү биш хажуугийн эсрэг талын оройноос унасан медиан нь мөн өндөр ба биссектриса байх болно. Бусад оройноос унасан медианууд тэнцүү байна. Энэ нь бас шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлтэгш өнцөгт.
Хэрэв гурвалжин нь суурь бол ердийн пирамид, дараа нь өгөгдсөн суурь хүртэл буулгасан өндрийг бүх медиануудын огтлолцлын цэг хүртэл төсөөлнө.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд медианыг татна хамгийн том тал, уртын талтай тэнцүү.
Гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэгийг О гэж үзье. Доорх томъёо нь ямар ч M цэгийн хувьд үнэн байх болно.

Гурвалжны медиан нь өөр шинж чанартай байдаг. Талуудын квадратаар уртын квадратыг тооцоолох томъёог доор үзүүлэв.

Медиан зурсан талуудын шинж чанарууд

Хэрэв та медиануудын огтлолцох аль ч хоёр цэгийг унасан талуудтай нь холбовол үүссэн сегмент нь гурвалжны дунд шугам байх бөгөөд гурвалжны хажуугийн хагас нь нийтлэг цэгүүд байхгүй болно.
Гурвалжны өндрийн суурь ба медиануудын суурь, мөн гурвалжны оройг өндрийн огтлолцлын цэгтэй холбосон сегментүүдийн дунд цэгүүд нь нэг тойрог дээр байрладаг.

Эцэст нь хэлэхэд хамгийн чухал сегментүүдийн нэг нь гурвалжны медиан гэж хэлэх нь логик юм. Түүний томъёог ашиглан бусад талуудын уртыг олох боломжтой.

Гурвалжин - гурван талтай олон өнцөгт, эсвэл хаалттай эвдэрсэн шугамгурван холбоостой, эсвэл нэг шулуун дээр хэвтдэггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс үүссэн дүрс (1-р зургийг үз).

abc гурвалжны үндсэн элементүүд

Оргилууд - A, B, C цэгүүд;

Намууд – оройнуудыг холбосон a = BC, b = AC ба c = AB сегментүүд;

Өнцөг – α, β, γ гурван хос талаас үүссэн. Өнцөг нь ихэвчлэн оройнуудын адил A, B, C үсгээр тодорхойлогддог.

Гурвалжны хажуу талуудаас үүссэн, түүний дотоод талбайд хэвтэж буй өнцгийг дотоод өнцөг гэж нэрлэх ба түүнтэй зэргэлдээх өнцгийг гурвалжны зэргэлдээх өнцөг гэнэ (2, х 534).

Гурвалжны өндөр, медиан, биссектриса, дунд шугам

Гурвалжин дахь гол элементүүдээс гадна сонирхолтой шинж чанартай бусад сегментүүдийг авч үздэг: өндөр, медиан, биссектрис, дунд шугам.

Өндөр

Гурвалжингийн өндөр- эдгээр нь гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу унасан перпендикуляр юм.

Өндөрийг зурахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) гурвалжны аль нэг талыг агуулсан шулуун шугам зурах (хэрэв өндрийг оройноос нь зурсан бол) хурц өнцөгмохоо гурвалжинд);

2) зурсан шугамын эсрэг талд байрлах оройгоос энэ шугам хүртэлх цэгээс 90 градусын өнцөг үүсгэн сегментийг зур.

Өндөр нь гурвалжны талтай огтлолцох цэгийг нэрлэдэг өндөр суурь (2-р зургийг үз).

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

Тэгш өнцөгт гурвалжинд оройгоос татсан өндөр зөв өнцөг, анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваана.

Цочмог гурвалжинд түүний хоёр өндөр нь ижил төстэй гурвалжингуудыг таслав.

Хэрэв гурвалжин хурц байвал өндрийн бүх суурь нь гурвалжны талуудад хамаарах ба мохоо гурвалжинхоёр өндөр нь талуудын үргэлжлэл дээр унадаг.

Гурван өндөрт хурц гурвалжиннэг цэг дээр огтлолцох ба энэ цэгийг нэрлэдэг ортоцентр гурвалжин.

Медиан

Медианууд(Латин mediana - "дунд") - эдгээр нь гурвалжны оройг эсрэг талын дундын цэгүүдтэй холбосон сегментүүд юм (3-р зургийг үз).

Медианыг бий болгохын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) хажуугийн дунд хэсгийг олох;

2) гурвалжны хажуугийн дунд байгаа цэгийг эсрэг талын оройтой хэрчимтэй холбоно.

Гурвалжны медианы шинж чанарууд

Медиан нь гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг. Энэ цэгийг нэрлэдэг хүндийн төв гурвалжин.

Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Биссектрис

Биссектрис(Латин хэлнээс bis - хоёр дахин ба seko - зүсэгдсэн) нь гурвалжин доторх шулуун шугамын хэсгүүдийг түүний өнцгийг хоёр хуваасан (4-р зургийг үз).

Бисектрис байгуулахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) өнцгийн оройноос гарч буй туяаг байгуулж, хоёр тэнцүү хэсэгт (өнцгийн биссектриса) хуваах;

2) гурвалжны өнцгийн биссектрисын эсрэг талтай огтлолцох цэгийг олох;

3) гурвалжны оройг эсрэг талын огтлолцлын цэгтэй холбосон сегментийг сонгоно.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг харьцаагаар хуваана харьцаатай тэнцүү байнахоёр зэргэлдээ тал.

Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог. Энэ цэгийг бичээстэй тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Дотоод болон гадаад өнцгийн биссектриса нь перпендикуляр байна.

Гурвалжны гадна талын өнцгийн биссектриса нь эсрэг талын суналтыг огтолж байвал ADBD=ACBC болно.

Нэг дотоод ба хоёрын биссектриса гадаад булангуудгурвалжингууд нэг цэг дээр огтлолцдог. Энэ цэг нь энэ гурвалжны гурван тойргийн аль нэгний төв юм.

Гадаад өнцгийн биссектриса нь гурвалжны эсрэг талтай параллель биш бол гурвалжны хоёр дотоод ба нэг гадаад өнцгийн биссектрисагийн суурь нь нэг шулуун дээр оршино.

Гурвалжны гаднах өнцгүүдийн биссектриса нь эсрэг талуудтай параллель биш бол тэдгээрийн суурь нь нэг шулуун дээр байрладаг.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Танаас мэдээллээ өгөхийг шаардаж магадгүй юм хувийн мэдээлэлямар ч үед бидэнтэй холбоо барина уу.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

1. Медиан гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

2. Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог ба энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана. Энэ цэгийг нэрлэдэг хүндийн төвгурвалжин.

3. Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

1. Өнцгийн биссектриса нь байршилэнэ өнцгийн талуудаас ижил зайд байгаа цэгүүд.

2. Биссектрис дотоод булангурвалжны эсрэг талыг зэргэлдээ талуудтай пропорциональ хэрчмүүдэд хуваана: .

3. Гурвалжны биссектриссуудын огтлолцох цэг нь энэ гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв юм.

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

1. Тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцөгтийн оройгоос татсан өндрийг анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваана.

2. Хурц гурвалжинд түүний хоёр өндрөөс ижил төстэй өндөрийг таслав гурвалжин.

Үл хөдлөх хөрөнгө перпендикуляр биссектрисгурвалжин

1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь энэ хэрчмийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байна. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр нь перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг.

2. Гурвалжны хажуу тал руу татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг нь энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.

Гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанар

Гурвалжны дунд шугам нь түүний аль нэг талтай параллель бөгөөд энэ талын хагастай тэнцүү байна.

Гурвалжны ижил төстэй байдал

Хоёр гурвалжин төстэйдараах зүйлсийн аль нэг нь үнэн бол дараах нөхцөлүүд, дуудсан ижил төстэй шинж тэмдэг:

· нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү;

· нэг гурвалжны хоёр тал нь нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорциональ байх ба эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү;

· Нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай тус тус пропорциональ байна.

IN ижил төстэй гурвалжинхаргалзах шугамууд (өндөр, медиан, биссектриса гэх мэт) пропорциональ байна.

Синусын теорем

Косинусын теорем

a 2= б 2+ в 2- 2МЭӨ cos

Гурвалжингийн талбайн томъёо

1. Чөлөөт гурвалжин

a, b, c -талууд; - талуудын хоорондох өнцөг аТэгээд б; - хагас периметр; R-хязгаарлагдмал тойргийн радиус; r-бичээстэй тойргийн радиус; S-дөрвөлжин; h a -зурсан өндөр тал а.