Практик талаас нь авч үзвэл функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд деривативыг ашиглах нь хамгийн их сонирхол татдаг. Энэ юутай холбоотой вэ? Ашиг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах, тоног төхөөрөмжийн оновчтой ачааллыг тодорхойлох ... Өөрөөр хэлбэл, амьдралын олон салбарт бид зарим параметрүүдийг оновчтой болгох асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Эдгээр нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох даалгавар юм.
Хамгийн том ба гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хамгийн бага утгафункцийг ихэвчлэн X интервалаар хайдаг бөгөөд энэ нь функцын бүхэл бүтэн домэйн эсвэл домэйны хэсэг юм. X интервал нь өөрөө сегмент, нээлттэй интервал байж болно 
, хязгааргүй интервал.
Энэ нийтлэлд бид нэг хувьсагчийн y=f(x) тодорхой заасан функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох талаар ярих болно.
Хуудасны навигаци.
Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга - тодорхойлолт, дүрслэл.
Үндсэн тодорхойлолтуудыг товчхон авч үзье.
Функцийн хамгийн том утга 
хэнд ч зориулсан 
тэгш бус байдал нь үнэн юм.
Функцийн хамгийн бага утга X интервал дээрх y=f(x)-ийг ийм утга гэнэ 
хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.
Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөн совинтой байдаг: функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь абсцисса дээр авч үзэж буй интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.
Хөдөлгөөнгүй цэгүүд- эдгээр нь функцийн дериватив тэг болох аргументийн утгууд юм.
Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход яагаад суурин цэгүүд хэрэгтэй байна вэ? Энэ асуултын хариултыг Фермагийн теоремоор өгсөн болно. Энэ теоремоос хэрэв дифференциалагдах функц нь экстремум ( орон нутгийн доод хэмжэээсвэл орон нутгийн максимум) тодорхой цэг дээр, дараа нь энэ цэг хөдөлгөөнгүй байна. Тиймээс функц нь ихэвчлэн X интервал дээрх хамгийн их (хамгийн бага) утгыг энэ интервалаас хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд авдаг.
Түүнчлэн, функц нь энэ функцийн анхны дериватив байхгүй, функц өөрөө тодорхойлогддог цэгүүдэд ихэвчлэн хамгийн том, хамгийн бага утгуудыг авч болно.
Энэ сэдвээр хамгийн түгээмэл асуултуудын нэг болох "Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг тодорхойлох боломжтой юу" гэсэн асуултанд нэн даруй хариулъя. Үгүй ээ, үргэлж биш. Заримдаа X интервалын хил нь функцийн тодорхойлолтын хүрээний хилтэй давхцдаг эсвэл X интервал нь хязгааргүй байдаг. Хязгааргүй болон тодорхойлолтын хүрээн дэх зарим функцууд нь хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг утгыг хоёуланг нь авч болно. Эдгээр тохиолдолд функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгын талаар юу ч хэлж чадахгүй.
Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлийг өгөх болно. Зургийг харвал олон зүйл илүү тодорхой болно.
Сегмент дээр
Эхний зурагт функц нь сегмент дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг [-6;6].
Хоёрдахь зурагт үзүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. сегментийг өөрчилье. Энэ жишээнд функцийн хамгийн бага утгыг хөдөлгөөнгүй цэг дээр, хамгийн том утгыг интервалын баруун хилтэй харгалзах абсцисс бүхий цэг дээр олж авна.
Зураг 3-т [-3;2] сегментийн хилийн цэгүүд нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай тохирох цэгүүдийн абсцисса юм.
Нээлттэй интервал дээр
Дөрөв дэх зурагт функц нь нээлттэй интервал (-6;6) дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг.
Интервал дээр хамгийн том утгын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй.
Хязгааргүйд
Долоо дахь зурагт үзүүлсэн жишээнд функцийг авдаг хамгийн өндөр үнэ цэнэ(max y) нь абсцисса х=1-тэй хөдөлгөөнгүй цэгт байх ба интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утга (min y) хүрнэ. Хасах хязгааргүй үед функцын утга асимптотоор y=3-д ойртоно.
Интервалд функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрдэггүй. X=2 баруун гар талаас ойртох үед функцийн утга нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байна (х=2 шулуун шугам нь босоо асимптот), абсцисса нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай тул функцийн утга нь асимптот байдлаар y=3-д ойртоно. Энэ жишээний график дүрслэлийг Зураг 8-д үзүүлэв.
Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.
Хэсэг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг бичье.
- Бид функцийн тодорхойлолтын домэйныг олж, бүх сегментийг агуулж байгаа эсэхийг шалгана.
- Бид эхний дериватив байхгүй, сегментэд агуулагдах бүх цэгүүдийг олдог (ихэвчлэн ийм цэгүүдийг модулийн тэмдгийн дор аргументтай функцүүдэд олдог. эрчим хүчний функцуудбутархай-рациональ илтгэгчтэй). Хэрэв ийм цэг байхгүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ үү.
- Бид сегмент дотор байрлах бүх суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч сегментэд ороогүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ.
- Бид функцийн утгыг сонгосон суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол), эхний дериватив байхгүй цэгүүд (хэрэв байгаа бол), түүнчлэн x = a ба x = b цэгүүдэд тооцдог.
- Функцийн олж авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн жижиг утгыг сонгоно - тэдгээр нь функцийн шаардлагатай хамгийн том ба хамгийн бага утгууд байх болно.
Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох жишээг шийдвэрлэх алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.
Жишээ.
Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол
- сегмент дээр;
- сегмент дээр [-4;-1] .
Шийдэл.
Функцийн домэйн нь бүхэл багц юм бодит тоо, тэгээс бусад нь . Хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын домэйнд багтдаг.
Функцийн деривативыг ол: 
Функцийн дериватив нь сегмент ба [-4;-1] бүх цэгүүдэд байгаа нь ойлгомжтой.
Бид тэгшитгэлээс суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Цорын ганц жинхэнэ үндэс нь x=2. Энэ суурин цэг нь эхний сегментэд ордог.
Эхний тохиолдолд бид функцийн утгыг сегментийн төгсгөл ба суурин цэг дээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл x=1, x=2 ба x=4: 
Тиймээс функцийн хамгийн их утга 
x=1, хамгийн бага утгад хүрнэ 
– x=2 үед.
Хоёрдахь тохиолдолд бид функцийн утгыг зөвхөн сегментийн төгсгөлд тооцдог [-4;-1] (энэ нь нэг суурин цэг агуулаагүй тул): 
Функцийг зөвшөөр у =е(X)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б]. Мэдэгдэж байгаагаар ийм функц нь энэ сегмент дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгуудад хүрдэг. Функц нь эдгээр утгыг хоёуланг нь авч болно дотоод цэгсегмент [ а, б], эсвэл сегментийн хил дээр.
Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд [ а, б] шаардлагатай:
1) интервал дахь функцийн критик цэгүүдийг ол. а, б);
2) олсон чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох;
3) сегментийн төгсгөлд байгаа функцын утгыг тооцоолох, өөрөөр хэлбэл хэзээ x=Аба x = б;
4) функцийн бүх тооцоолсон утгуудаас хамгийн том ба хамгийн жижигийг сонгоно уу.
Жишээ.Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол
сегмент дээр.
Чухал цэгүүдийг олох:
Эдгээр цэгүүд сегмент дотор байрладаг; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
цэг дээр x= 3 ба цэг дээр x= 0.
Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн функцийн судалгаа.
Чиг үүрэг y = е (x) дуудсан гүдгэрхооронд (а, б) , хэрэв түүний график нь энэ интервалын аль ч цэгт зурсан шүргэгчийн доор орвол түүнийг дуудна гүдгэр доош (гүдгэр), хэрэв түүний график шүргэгчээс дээш байвал.
Гүдгэрийг хотгороор эсвэл эсрэгээр солих цэгийг нэрлэдэг гулзайлтын цэг.
Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийг шалгах алгоритм:
1. Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг ол.
2. Тооны шулуун дээр эгзэгтэй цэгүүдийг интервалд хувааж зур. Интервал бүр дээр хоёр дахь деривативын тэмдгийг ол; хэрэв , функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв бол функц нь доошоо гүдгэр байна.
3. Хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг нь өөрчлөгдөж, энэ үед хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү бол энэ цэг нь гулзайлтын цэгийн абсцисса болно. Түүний ординатыг ол.
Функцийн графикийн асимптотууд. Асимптотуудын функцийг судлах.
Тодорхойлолт.Функцийн графикийн асимптотыг нэрлэнэ Чигээрээ, энэ нь график дээрх цэг эх цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед графикийн аль ч цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг болох хандлагатай байдаг.
Гурван төрлийн асимптот байдаг: босоо, хэвтээ, налуу.
Тодорхойлолт.Шулуун шугам гэж нэрлэдэг босоо асимптотфункциональ график у = f(x), хэрэв энэ цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү бол энэ нь
функцийн тасрах цэг хаана байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй.
Жишээ.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 - таслах цэг.
Тодорхойлолт.Чигээрээ у =Адуудсан хэвтээ асимптотфункциональ график у = f(x)үед, хэрэв
Жишээ.
|
x | |||
|
y |
Тодорхойлолт.Чигээрээ у =кx +б (к≠ 0) гэж нэрлэдэг ташуу асимптотфункциональ график у = f(x)хаана
Функцийг судлах, график байгуулах ерөнхий схем.
Функцийн судалгааны алгоритму = f(x) :
1. Функцийн мужийг ол Д (y).
2. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг (боломжтой бол) ол x= 0 ба цагт y = 0).
3. Функцийн тэгш ба сондгой байдлыг шалгана уу ( y (‒ x) = y (x) ‒ тэгш байдал; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ сондгой).
4. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.
5. Функцийн монотон байдлын интервалуудыг ол.
6. Функцийн экстремумыг ол.
7. Функцийн графикийн гүдгэр (гүдгэр) ба гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг ол.
8. Хийсэн судалгаанд үндэслэн функцийн графикийг байгуул.
Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь байгуул.
1) Д (y) =
x= 4 - таслах цэг.
2) Хэзээ x = 0,
(0; ‒ 5) – огтлолцох цэг өө.
At y = 0,
3)
y(‒
x)=
функц ерөнхий үзэл(тэгш биш, сондгой биш).
4) Бид асимптотуудыг шалгадаг.
а) босоо
б) хэвтээ
в) ташуу асимптотуудыг хаанаас ол
‒ташуу асимптот тэгшитгэл
5) Б өгөгдсөн тэгшитгэлфункцийн монотон байдлын интервалыг олох шаардлагагүй.
6)
Эдгээр чухал цэгүүд нь функцийг тодорхойлох бүх мужийг (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ба (10; +∞) интервалд хуваадаг. Хүлээн авсан үр дүнг дараах хүснэгт хэлбэрээр танилцуулах нь тохиромжтой.
$z=f(x,y)$ функц тодорхойлогдсон ба зарим хязгаарлагдмал үед тасралтгүй байг хаалттай талбай$D$. Энэ муж дахь өгөгдсөн функц нь эхний эрэмбийн хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативтай байг (хязгаарлагдмал тооны цэгээс бусад). Өгөгдсөн хаалттай муж дахь хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд энгийн алгоритмын гурван алхам шаардлагатай.
$D$ хаалттай домайн дахь $z=f(x,y)$ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.
- $D$ домэйнд хамаарах $z=f(x,y)$ функцийн чухал цэгүүдийг ол. Чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.
- $D$ мужийн зааг дээрх $z=f(x,y)$ функцийн үйлдлийг судалж, боломжит хамгийн их ба хамгийн бага утгын цэгүүдийг ол. Хүлээн авсан цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.
- Өмнөх хоёр догол мөрөнд олж авсан функцийн утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.
Чухал цэгүүд юу вэ? харуулах\нуух
Доод чухал цэгүүднэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг илэрхийлнэ (жишээ нь $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ба $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) эсвэл ядаж нэг хэсэгчилсэн дериватив байхгүй.
Ихэнхдээ нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг дууддаг суурин цэгүүд. Тиймээс суурин цэгүүд нь дэд олонлог юм чухал цэгүүд.
Жишээ №1
Хаалттай муж дахь $z=x^2+2xy-y^2-4x$ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. шугамаар хязгаарлагдана$x=3$, $y=0$ болон $y=x+1$.
Бид дээр дурдсан зүйлийг дагаж мөрдөх боловч эхлээд $D$ үсгээр тэмдэглэсэн өгөгдсөн талбайн зургийг авч үзэх болно. Бидэнд өгсөн гурвын тэгшитгэлэнэ талбайг хязгаарласан шулуун шугамууд. $x=3$ шулуун нь ординатын тэнхлэгтэй (Ой тэнхлэг) параллель $(3;0)$ цэгийг дайран өнгөрдөг. $y=0$ шулуун шугам нь абсцисса тэнхлэгийн (Ox тэнхлэг) тэгшитгэл юм. За, $y=x+1$ шулууныг байгуулахын тулд бид энэ шугамыг зурах хоёр цэгийг олох болно. Мэдээжийн хэрэг, та $ x $ -ийн оронд хэд хэдэн дурын утгыг орлуулж болно. Жишээлбэл, $x=10$-г орлуулахад бид дараахыг авна: $y=x+1=10+1=11$. Бид $y=x+1$ шулуун дээр байрлах $(10;11)$ цэгийг оллоо. Гэхдээ $y=x+1$ шулуун нь $x=3$ ба $y=0$ шулуунуудтай огтлолцох цэгүүдийг олох нь дээр. Энэ яагаад илүү дээр вэ? Яагаад гэвэл бид нэг чулуугаар хэд хэдэн шувууг алах болно: $y=x+1$ шулууныг байгуулах хоёр цэгийг авах ба нэгэн зэрэг энэ шугам нь өгөгдсөн талбайг хязгаарласан бусад шугамуудыг ямар цэгээр огтолж байгааг олж мэдэх болно. $y=x+1$ шулуун нь $x=3$ шугамыг $(3;4)$ цэгээр, $y=0$ шулуун нь $(-1;0)$ цэгээр огтлолцоно. Шийдлийн явцыг нэмэлт тайлбараар будлиулахгүйн тулд би эдгээр хоёр цэгийг олж авах асуултыг тэмдэглэлд оруулах болно.
$(3;4)$ болон $(-1;0)$ оноог хэрхэн авсан бэ? харуулах\нуух
$y=x+1$ ба $x=3$ шулуунуудын огтлолцох цэгээс эхэлье. Хүссэн цэгийн координатууд нь эхний болон хоёр дахь шулуун шугамын аль алинд нь хамаарах тул үл мэдэгдэх координатыг олохын тулд та тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & y=x+1;\\ & x=3. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Ийм системийн шийдэл нь өчүүхэн: $x=3$-г эхний тэгшитгэлд орлуулбал: $y=3+1=4$. $(3;4)$ цэг нь $y=x+1$ ба $x=3$ шугамуудын хүссэн огтлолцох цэг юм.
Одоо $y=x+1$ ба $y=0$ шулуунуудын огтлолцох цэгийг олъё. Тэгшитгэлийн системийг дахин зохиож шийдье.
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & y=x+1;\\ & y=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. $$
Эхний тэгшитгэлд $y=0$-г орлуулбал: $0=x+1$, $x=-1$ болно. $(-1;0)$ цэг нь $y=x+1$ ба $y=0$ (абсцисса тэнхлэг) шугамуудын хүссэн огтлолцох цэг юм.
Ийм зураг зурахад бүх зүйл бэлэн байна.
Зурган дээрээс бүх зүйл харагдаж байгаа тул тэмдэглэлийн асуулт тодорхой харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч зураг нь нотлох баримт болж чадахгүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Зураг нь зөвхөн тайлбарлах зориулалттай.
Манай талбайг түүнийг хязгаарласан шугамуудын тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр шугамууд гурвалжинг тодорхойлдог, тийм үү? Эсвэл энэ нь бүрэн тодорхой биш байна уу? Эсвэл бидэнд ижил шугамаар хязгаарлагдсан өөр талбай өгөгдсөн байж магадгүй:
Мэдээжийн хэрэг, нөхцөл нь талбайг хаалттай гэж заасан тул үзүүлсэн зураг буруу байна. Гэхдээ ийм ойлгомжгүй байдлаас зайлсхийхийн тулд бүс нутгийг тэгш бус байдлаар тодорхойлох нь дээр. Бид $y=x+1$ шулуун шугамын доор байрлах онгоцны хэсгийг сонирхож байна уу? За, тэгэхээр $y ≤ x+1$. Манай талбай $y=0$ шугамаас дээш байх ёстой юу? Гайхалтай, энэ нь $y ≥ 0$ гэсэн үг. Дашрамд хэлэхэд, сүүлийн хоёр тэгш бус байдлыг нэг болгон хялбархан нэгтгэж болно: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Эдгээр тэгш бус байдал нь $D$ мужийг тодорхойлдог бөгөөд ямар ч эргэлзээ төрүүлэхгүйгээр хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлдог. Гэхдээ энэ нь тэмдэглэлийн эхэнд дурдсан асуултанд хэрхэн тусалдаг вэ? Энэ нь бас туслах болно :) Бид $M_1(1;1)$ цэг $D$ бүсэд хамаарах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Энэ мужийг тодорхойлох тэгш бус байдлын системд $x=1$ ба $y=1$-г орлуулъя. Хэрэв тэгш бус байдал хоёулаа хангагдсан бол цэг нь тухайн бүс нутагт оршдог. Хэрэв тэгш бус байдлын дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй. Тэгэхээр:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.
Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа хүчинтэй байна. $M_1(1;1)$ цэг нь $D$ бүсэд хамаарна.
Одоо бүс нутгийн хил дээрх функцийн зан төлөвийг судлах цаг болжээ, жишээлбэл. руу явцгаая . $y=0$ шулуун шугамаар эхэлцгээе.
Шулуун шугам $y=0$ (абсцисса тэнхлэг) нь $-1 ≤ x ≤ 3$ нөхцөлөөр $D$ мужийг хязгаарладаг. $y=0$ гэж орлуулъя өгөгдсөн функц$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Бид орлуулалтын үр дүнд олж авсан $x$ нэг хувьсагчийн функцийг $f_1(x)$ гэж тэмдэглэнэ.
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Одоо $f_1(x)$ функцийн хувьд $-1 ≤ x ≤ 3$ интервал дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй. Энэ функцийн деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүлье.
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
$x=2$ утга нь $-1 ≤ x ≤ 3$ сегментэд хамаарах тул бид мөн онооны жагсаалтад $M_2(2;0)$ нэмнэ. Нэмж дурдахад $-1 ≤ x ≤ 3$ сегментийн төгсгөлд $z$ функцийн утгыг тооцоолъё. цэг дээр $M_3(-1;0)$ болон $M_4(3;0)$. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв $M_2$ цэг нь авч үзэж буй сегментэд хамааралгүй бол $z$ функцийн утгыг тооцоолох шаардлагагүй болно.
Ингээд $M_2$, $M_3$, $M_4$ цэгүүдэд $z$ функцийн утгыг тооцоолъё. Мэдээжийн хэрэг та эдгээр цэгүүдийн координатыг $z=x^2+2xy-y^2-4x$ гэсэн анхны илэрхийлэл болгон орлуулж болно. Жишээлбэл, $M_2$ цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна.
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Гэсэн хэдий ч тооцооллыг бага зэрэг хялбарчилж болно. Үүнийг хийхийн тулд $M_3M_4$ сегмент дээр $z(x,y)=f_1(x)$ байгаа гэдгийг санах нь зүйтэй. Би үүнийг нарийвчлан бичих болно:
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Мэдээжийн хэрэг, ийм нөхцөлд нарийвчилсан бүртгэлүүдИхэвчлэн шаардлагагүй бөгөөд ирээдүйд бид бүх тооцоог товч бичих болно.
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Одоо $x=3$ шулуун шугам руу эргэцгээе. Энэ шулуун шугам нь $0 ≤ y ≤ 4$ нөхцөлөөр $D$ мужийг хязгаарладаг. Өгөгдсөн $z$ функцэд $x=3$ орлуулъя. Энэхүү орлуулалтын үр дүнд бид $f_2(y)$ функцийг авна.
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ функцийн хувьд $0 ≤ y ≤ 4$ интервал дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй. Энэ функцийн деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүлье.
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
$y=3$ утга нь $0 ≤ y ≤ 4$ сегментэд хамаарах тул өмнөх олдсон цэгүүдэд мөн $M_5(3;3)$ нэмнэ. Үүнээс гадна, $0 ≤ y ≤ 4$ сегментийн төгсгөлд байрлах цэгүүдэд $z$ функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. цэг дээр $ M_4 (3; 0) $ болон $ M_6 (3; 4) $. $M_4(3;0)$ цэг дээр бид $z$-ийн утгыг аль хэдийн тооцоолсон. $M_5$ ба $M_6$ цэгүүдэд $z$ функцийн утгыг тооцоолъё. $M_4M_6$ сегмент дээр $z(x,y)=f_2(y)$ байгаа тул:
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Эцэст нь, бүс нутгийн хамгийн сүүлийн хил хязгаарыг авч үзье $D $, i.e. шулуун шугам $y=x+1$. Энэ шулуун шугам нь $-1 ≤ x ≤ 3$ нөхцөлөөр $D$ мужийг хязгаарладаг. $y=x+1$-г $z$ функцэд орлуулбал бид дараах байдалтай болно:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Дахин нэг удаа бидэнд $x$ нэг хувьсагчийн функц байна. Мөн бид дахин $-1 ≤ x ≤ 3$ интервал дээр энэ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй. $f_(3)(x)$ функцийн деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүлье.
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
$x=1$ утга нь $-1 ≤ x ≤ 3$ интервалд хамаарна. Хэрэв $x=1$ бол $y=x+1=2$. $M_7(1;2)$-г цэгүүдийн жагсаалтад нэмээд $z$ функцийн энэ үед ямар утга байгааг олж мэдье. Сегментийн төгсгөлд байрлах цэгүүд $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. $M_3(-1;0)$ ба $M_6(3;4)$ цэгүүдийг өмнө нь авч үзсэн тул бид тэдгээрээс функцийн утгыг аль хэдийн олсон.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Уусмалын хоёр дахь алхам дууссан. Бид долоон утгыг хүлээн авсан:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
-руу хандъя. Гурав дахь догол мөрөнд олж авсан тоонуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгохдоо бид дараахь зүйлийг авна.
$$z_(мин)=-4; \; z_(хамгийн их)=6.$$
Асуудал шийдэгдсэн, хариултаа бичих л үлдлээ.
Хариулах: $z_(мин)=-4; \; z_(хамгийн их)=6$.
Жишээ №2
$x^2+y^2 ≤ 25$ мужаас $z=x^2+y^2-12x+16y$ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.
Эхлээд зураг зуръя. $x^2+y^2=25$ тэгшитгэл нь (энэ нь өгөгдсөн талбайн хилийн шугам) эх цэг дээр төвтэй (өөрөөр хэлбэл $(0;0)$ цэг дээр) радиустай тойргийг тодорхойлдог. 5. $x^2 +y^2 ≤ $25 тэгш бус байдал нь дурдсан тойрог дотор болон дээрх бүх цэгүүдийг хангаж байна.
Бид дагуу ажиллана. Хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, чухал цэгүүдийг олж мэдье.
$$ \frac(\хэсэг z)(\хэсэг х)=2х-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Олдсон хэсэгчилсэн дериватив байхгүй цэг байхгүй. Аль аль цэгт хэсэгчилсэн деривативууд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү болохыг олж мэдье. хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олцгооё.
$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун. \;\; \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x =6;\\ & y=-8 \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун $$.
Бид авсан хөдөлгөөнгүй цэг$(6;-8)$. Гэхдээ олсон цэг нь $D$ бүсэд хамаарахгүй. Үүнийг зураг зурахгүйгээр харуулахад хялбар байдаг. Манай $D$ мужийг тодорхойлсон $x^2+y^2 ≤ 25$ тэгш бус байдал биелэх эсэхийг шалгая. Хэрэв $x=6$, $y=-8$ бол $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. $x^2+y^2 ≤ 25$ тэгш бус байдал биелэхгүй. Дүгнэлт: $(6;-8)$ цэг нь $D$ бүсэд хамаарахгүй.
Тиймээс $D$ бүсэд ямар ч чухал цэг байхгүй. Ингээд цаашаа... Бид тухайн бүс нутгийн хил дээрх функцийн зан төлөвийг судлах хэрэгтэй, i.e. $x^2+y^2=25$ тойрог дээр. Мэдээжийн хэрэг, бид $y$-г $x$-ээр илэрхийлж, дараа нь гарсан илэрхийллийг $z$ функцдээ орлуулж болно. Тойргийн тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: $y=\sqrt(25-x^2)$ эсвэл $y=-\sqrt(25-x^2)$. Жишээ нь $y=\sqrt(25-x^2)$-г өгөгдсөн функцэд орлуулбал бид:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Цаашдын шийдэл нь өмнөх жишээн дэх №1-ийн бүсийн хил дээрх функцийн зан төлөвийг судлахтай бүрэн ижил байх болно. Гэсэн хэдий ч ийм нөхцөлд Лагранжийн аргыг хэрэглэх нь илүү үндэслэлтэй юм шиг санагдаж байна. Бид энэ аргын эхний хэсгийг л сонирхох болно. Лагранжийн аргын эхний хэсгийг хэрэглэсний дараа бид $z$ функцийг хамгийн бага ба хамгийн их утгыг шалгах цэгүүдийг авах болно.
Бид Лагранж функцийг бүтээдэг:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$
Бид Лагранжийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олж харгалзах тэгшитгэлийн системийг байгуулна.
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ламбда х; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ламбда у.\\ \зүүн \( \эхлэх (зэрэгцүүлсэн) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( зэрэгцүүлсэн)\баруун.$ доллар
Энэ системийг шийдэхийн тулд $\lambda\neq -1$ гэдгийг нэн даруй онцолъё. Яагаад $\lambda\neq -1$? Эхний тэгшитгэлд $\lambda=-1$-г орлуулахыг оролдъё.
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Үүссэн зөрчилдөөн $0=6$ нь $\lambda=-1$ утгыг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй гэдгийг харуулж байна. Гаралт: $\lambda\neq -1$. $x$ ба $y$-г $\lambda$-р илэрхийлье:
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\ламбда). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\ламбда)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ламбда). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Бид яагаад $\lambda\neq -1$ нөхцөлийг тусгайлан заасан нь эндээс тодорхой болсон гэж би бодож байна. Үүнийг $1+\lambda$ илэрхийллийг хуваагчдад хөндлөнгөөс оруулахгүйгээр хийсэн. Өөрөөр хэлбэл, хуваагч нь $1+\lambda\neq 0$ гэдэгт итгэлтэй байх болно.
Системийн гурав дахь тэгшитгэлд $x$ ба $y$-ын үр дүнгийн илэрхийлэлүүдийг орлуулъя. $x^2+y^2=25$-д:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \баруун)^2+\left(\frac(-8)(1+\ламбда) \баруун)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ламбда)^2)+\фрак(64)((1+\ламбда)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ламбда)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$
Үүссэн тэгш байдлаас харахад $1+\lambda=2$ эсвэл $1+\lambda=-2$ байна. Тиймээс бидэнд $\lambda$ параметрийн хоёр утга байна, тухайлбал: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Үүний дагуу бид $ x $ ба $ y $ гэсэн хоёр хос утгыг авдаг:
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Тиймээс бид хоёр боломжийн оноо авсан нөхцөлт экстремум, өөрөөр хэлбэл $M_1(3;-4)$ болон $M_2(-3;4)$. $M_1$ ба $M_2$ цэгүүдээс $z$ функцийн утгыг олцгооё.
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Бид эхний болон хоёр дахь шатанд олж авсан утгуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгох ёстой. Гэхдээ дотор энэ тохиолдолдсонголт бага байна :) Бидэнд:
$$ z_(мин)=-75; \; z_(макс)=125. $$
Хариулах: $z_(мин)=-75; \; z_(хамгийн их)=$125.
