Нарийвчилсан шийдлүүдийн тусламжтайгаар тригонометрийн илэрхийллийг онлайнаар хялбаршуулна уу. "Тригонометрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах" гэсэн шошготой нийтлэлүүд

Хичээл 1

Сэдэв: 11-р анги (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх)

Хялбаршуулсан байдал тригонометрийн илэрхийллүүд.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. (2 цаг)

Зорилтууд:

Тригонометрийн томьёо ашиглах, энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй холбоотой оюутнуудын мэдлэг, чадварыг системчлэх, нэгтгэх, өргөжүүлэх.

Хичээлийн хэрэгсэл:

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч
Зөөврийн компьютер дээр туршилт хийх. Үр дүнгийн хэлэлцүүлэг.
Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Бие даасан ажил.
Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгаврын тайлбар.

1. Зохион байгуулалтын мөч. (2 минут.)

Багш сонсогчидтой мэндчилж, хичээлийн сэдвийг зарлаж, өмнө нь тригонометрийн томьёог давтах даалгавар өгснийг сануулж, сурагчдыг сорилтод бэлтгэнэ.

2. Туршилт. (15 мин + 3 мин хэлэлцүүлэг)

Зорилго нь тригонометрийн томъёоны мэдлэг, тэдгээрийг хэрэглэх чадварыг шалгах явдал юм. Оюутан бүрийн ширээн дээр тестийн хувилбар бүхий зөөврийн компьютер байдаг.

Олон тооны сонголт байж болно, би тэдгээрийн аль нэгнийх нь жишээг өгөх болно.

би сонголт.

Илэрхийллийг хялбарчлах:

a) үндсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд

1. нүгэл 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) нэмэх томъёо

3. sin5x - sin3x;

в) бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах

6. 2sin8y cos3y;

г) давхар өнцгийн томьёо

7. 2sin5x cos5x;

e) хагас өнцгийн томьёо

е) гурвалсан өнцгийн томьёо

ба) бүх нийтийн орлуулалт

h) зэрэг буурах

16. cos 2 (3x/7);

Оюутнууд томъёо бүрийн хажууд байгаа зөөврийн компьютер дээр хариултаа хардаг.

Ажлыг компьютер шууд шалгадаг. Үр дүн нь хүн бүрт харагдахуйц том дэлгэц дээр гарч ирдэг.

Мөн ажил дууссаны дараа зөв хариултыг оюутнуудын зөөврийн компьютер дээр харуулав. Оюутан бүр хаана алдаа гаргасан, ямар томьёог давтах шаардлагатайг хардаг.

3. Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах. (25 мин.)

Зорилго нь програмыг давтаж, дадлагажуулж, бататгах явдал юм. үндсэн томъёотригонометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын В7 асуудлыг шийдвэрлэх.

Энэ үе шатанд ангиудыг хүчирхэг сурагчид (дараагийн шалгалтаар бие даан ажиллах) болон багштай хамтран ажилладаг сул сурагчдын бүлэгт хуваахыг зөвлөж байна.

Хүчтэй оюутнуудад зориулсан даалгавар (урьдчилан бэлтгэсэн хэвлэсэн суурь). Гол ач холбогдол нь бууруулах томъёо болон давхар өнцөг, 2011 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын дагуу.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах (хүчтэй оюутнуудад):

Үүний зэрэгцээ багш сул сурагчидтай ажиллаж, оюутнуудын диктант дор дэлгэцэн дээр даалгавруудыг ярилцаж, шийддэг.

Тооцоолох:

5) нүгэл(270º - α) + cos (270º + α)

Хялбарчлах:

Хүчтэй бүлгийн ажлын үр дүнг хэлэлцэх цаг болсон.

Хариултууд дэлгэцэн дээр гарч ирэх бөгөөд видео камер ашиглан 5 өөр оюутны ажлыг (тус бүрд нэг даалгавар) харуулдаг.

Сул бүлэг нь нөхцөл байдал, шийдлийн аргыг хардаг. Хэлэлцүүлэг, дүн шинжилгээ хийж байна. Ашиглаж байна техникийн хэрэгсэлхурдан болдог.

4. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. (30 мин.)

Гол зорилго нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг давтаж, системчилж, ерөнхийд нь бичиж, үндсийг нь бичих явдал юм. B3 асуудлын шийдэл.

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэл нь бид үүнийг хэрхэн шийдэж байгаагаас үл хамааран хамгийн энгийн зүйлд хүргэдэг.

Даалгаврыг гүйцэтгэхдээ оюутнууд онцгой тохиолдлын тэгшитгэлийн үндсийг бичихэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй ерөнхий үзэлмөн сүүлчийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох тухай.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бичнэ үү.

5. Бие даан хийх ажил (10 мин.)

Зорилго нь олж авсан ур чадвараа шалгах, асуудал, алдаа, тэдгээрийг арилгах арга замыг тодорхойлох явдал юм.

Оюутны сонголтоор олон түвшний ажлыг санал болгодог.

Сонголт "3"

1) Илэрхийллийн утгыг ол

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α илэрхийллийг хялбарчлах

3) Тэгшитгэлийг шийд

"4"-ийн сонголт

1) Илэрхийллийн утгыг ол

2) Тэгшитгэлийг шийд Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бич.

"5"-ын сонголт

1) Хэрэв tanα-г ол

2) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол Хариултынхаа хамгийн бага эерэг язгуурыг бичнэ үү.

6. Хичээлийн хураангуй (5 мин.)

Багш хичээл дээр давтаж, бататгасан зүйлээ нэгтгэн дүгнэдэг тригонометрийн томъёо, энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Гэрийн даалгаврыг (урьдчилан хэвлэмэл хэлбэрээр бэлтгэсэн) дараагийн хичээл дээр санамсаргүй шалгалтаар өгдөг.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

10) Хариултдаа хамгийн бага эерэг язгуурыг заана уу.

Хичээл 2

Сэдэв: 11-р анги (Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга. Үндэс сонголт. (2 цаг)

Зорилтууд:

Төрөл бүрийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх.
Хөгжлийг дэмжих математик сэтгэлгээсурагчид, ажиглах, харьцуулах, нэгтгэх, ангилах чадвар.
Оюутнуудыг сэтгэцийн үйл ажиллагааны явцад тулгарч буй бэрхшээлийг даван туулах, өөрийгөө хянах, тэдний үйл ажиллагааг судлахад урамшуулах.

Хичээлийн хэрэгсэл: KRMu, оюутан бүрийн зөөврийн компьютер.

Хичээлийн бүтэц:

Зохион байгуулалтын мөч
d/z болон өөрийн тухай хэлэлцүүлэг. Өнгөрсөн хичээлийн ажил
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын тойм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох.
Бие даасан ажил.
Хичээлийн хураангуй. Гэрийн даалгавар.

1. Зохион байгуулалтын үе (2 мин.)

Багш үзэгчидтэй мэндчилж, хичээлийн сэдэв, ажлын төлөвлөгөөг зарлана.

2. a) Шинжилгээ гэрийн даалгавар(5 минут.)

Зорилго нь гүйцэтгэлийг шалгах явдал юм. Нэг бүтээлийг видео камер ашиглан дэлгэцэн дээр гаргаж, үлдсэнийг нь багшийн шалгалтаар сонгон цуглуулдаг.

б) шинжилгээ бие даасан ажил(3 мин.)

Зорилго нь алдааг шинжлэх, түүнийг даван туулах арга замыг зааж өгөх явдал юм.

Хариултууд болон шийдлүүд нь оюутнуудад өөрсдийн ажлыг урьдчилан өгсөн байх; Шинжилгээ хурдан явагддаг.

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын тойм (5 мин.)

Зорилго нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг эргэн санах явдал юм.

Суралцагчдаас тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх ямар аргуудыг мэддэгийг асуу. Үндсэн (байнга хэрэглэгддэг) аргууд байдаг гэдгийг онцлон тэмдэглэ.

хувьсах солих,
хүчин зүйлчлэл,
нэгэн төрлийн тэгшитгэл,

мөн ашигласан аргууд байдаг:

нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон, бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглах;
томъёоны дагуу зэрэг буурах,
нийтийн тригонометрийн орлуулалт
оршил туслах өнцөг,
заримаар үржүүлэх тригонометрийн функц.

Нэг тэгшитгэлийг янз бүрийн аргаар шийдэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

4. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (30 мин.)

Зорилго нь энэ сэдвээр мэдлэг, ур чадварыг нэгтгэх, нэгтгэх, Улсын нэгдсэн шалгалтаас C1 шийдэлд бэлтгэх явдал юм.

Арга тус бүрийн тэгшитгэлийг оюутнуудтай хамт шийдэх нь зүйтэй гэж би бодож байна.

Оюутан шийдлийг зааж, багш үүнийг таблет дээр бичиж, бүх процессыг дэлгэцэн дээр харуулна. Энэ нь таны санах ойд урьд нь хамрагдсан материалыг хурдан бөгөөд үр дүнтэй санах боломжийг олгоно.

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 хувьсагчийг солих

2) үржүүлэх 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) нэгэн төрлийн тэгшитгэл sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) нийлбэрийг cos5x + cos7x = cos(π + 6x) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах

5) үржвэрийг 2sinx sin2x + cos3x = 0 нийлбэр болгон хувиргах

6) sin2x зэрэглэлийн бууралт - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт sinx + 5cosx + 5 = 0.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ ашиглаж байгааг анхаарах хэрэгтэй энэ аргасинус болон косинусыг tg(x/2)-ээр сольдог тул тодорхойлолтын хүрээг нарийсгахад хүргэдэг. Тиймээс хариултыг бичихээсээ өмнө π + 2πn, n Z олонлогийн тоонууд энэ тэгшитгэлийн морь мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

8) туслах өнцгийг √3sinx + cosx - √2 = 0 оруулах

9) зарим тригонометрийн функцээр үржүүлэх cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох (20 мин.)

Их, дээд сургуульд элсэх үед ширүүн өрсөлдөөний нөхцөлд шалгалтын эхний хэсгийг дангаар нь шийдэх нь хангалтгүй тул ихэнх оюутнууд хоёрдугаар хэсгийн (C1, C2, C3) даалгавруудад анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Тиймээс хичээлийн энэ үе шатны зорилго нь өмнө нь судалсан материалыг санаж, 2011 оны Улсын нэгдсэн шалгалтаас C1 асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлтгэх явдал юм.

Орших тригонометрийн тэгшитгэл, хариултыг бичихдээ үндэс сонгох шаардлагатай. Энэ нь зарим хязгаарлалттай холбоотой, жишээлбэл: бутархайн хуваагч нь тийм биш юм тэгтэй тэнцүү, тэгш язгуурын доорх илэрхийлэл сөрөг биш, логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл эерэг гэх мэт.

Ийм тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэж үзнэ нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдсэнболон дотор Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбархоёр дахь хэсэгт, тухайлбал C1 байна.

Тэгшитгэлийг шийд:

Хэрэв тийм бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна ашиглах замаар нэгж тойрогүндсийг нь сонгоцгооё (1-р зургийг үз)

Зураг 1.

бид x = π + 2πn, n Z-г авна

Хариулт: π + 2πn, n Z

Дэлгэц дээр үндэс сонгох нь өнгөт зураг дээр тойрог дээр харагдаж байна.

Наад зах нь нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд нум нь утгаа алддаггүй. Дараа нь

Нэгж тойргийг ашиглан бид үндсийг нь сонгоно (Зураг 2-ыг үз)

"Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах" видео хичээл нь сурагчдын асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх зорилготой юм. тригонометрийн асуудлуудүндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглах. Видео хичээлийн үеэр тригонометрийн ижил төстэй байдлын төрлүүд, тэдгээрийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзсэн болно. Өргөдөл гаргаж байна харааны материал, багш хичээлийн зорилгодоо хүрэхэд хялбар байдаг. Материалын тод танилцуулга нь цээжлэх чадварыг дэмждэг чухал цэгүүд. Хөдөлгөөнт эффект, дуу хоолойг ашиглах нь материалыг тайлбарлах үе шатанд багшийг бүрэн солих боломжийг олгодог. Тиймээс багш математикийн хичээлд энэхүү үзүүлэнг ашигласнаар сургалтын үр нөлөөг нэмэгдүүлэх боломжтой.

Видео хичээлийн эхэнд түүний сэдвийг зарласан. Дараа нь бид өмнө нь судалж байсан тригонометрийн ижил төстэй байдлыг эргэн санав. Дэлгэц нь sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, энд kϵZ-ийн хувьд t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk-ийн зөв, Энд kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2-ын хувьд, kϵZ нь үндсэн тригонометрийн адилтгалууд гэж нэрлэгддэг. Эдгээр таних тэмдэг нь тэгш байдлыг нотлох эсвэл илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг гэдгийг тэмдэглэв.

Асуудлыг шийдвэрлэхэд эдгээр таних тэмдгийг ашиглах жишээг доор авч үзье. Нэгдүгээрт, илэрхийлэлийг хялбаршуулах асуудлыг шийдвэрлэх талаар авч үзэхийг санал болгож байна. Жишээ 1-д cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай. Жишээг шийдэхийн тулд эхлээд хаалтнаас гарга нийтлэг үржүүлэгчучир нь 2 т. Хаалтанд хийсэн энэхүү хувиргалтын үр дүнд 1- cos 2 t илэрхийлэл гарч ирэх бөгөөд тригонометрийн үндсэн шинж чанараас авсан утга нь sin 2 t-тэй тэнцүү байна. Илэрхийллийг хувиргасны дараа хаалтнаас sin 2 t гэсэн нийтлэг хүчин зүйлийг хасах боломжтой болох нь ойлгомжтой бөгөөд үүний дараа илэрхийлэл болно. нүгэл гэж бичнэ 2 т(sin 2 t+cos 2 t). Ижил үндсэн ижилсвэрээс бид 1-тэй тэнцүү хаалтанд байгаа илэрхийллийн утгыг гаргана. Хялбаршуулсаны үр дүнд бид cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t-ийг олж авна.

Жишээ 2-т өртөг/(1- sint)+ зардал/(1+ sint) илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай. Хоёр бутархайн тоо нь илэрхийллийн зардлыг агуулж байгаа тул үүнийг нийтлэг хүчин зүйл болгон хаалтнаас гаргаж авч болно. Дараа нь хаалтанд байгаа бутархайг багасгана Ерөнхий хуваарьүржүүлэх (1- sint)(1+ sint). Авсаны дараа ижил төстэй нэр томъёотоологч 2 хэвээр, хуваагч 1 - нүгэл 2 т. Дэлгэцийн баруун талд sin 2 t+cos 2 t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн адилтгалуудыг эргэн санав. Үүнийг ашиглан cos 2 t бутархайн хуваагчийг олно. Бутархайг бууруулсны дараа бид зардал/(1- sint)+ зардал/(1+ sint)=2/зардлын илэрхийллийн хялбаршуулсан хэлбэрийг олж авна.

Дараа нь бид тригонометрийн үндсэн таних тэмдгүүдийн талаархи олж авсан мэдлэгийг ашигладаг таних тэмдгүүдийн жишээг авч үзэх болно. 3-р жишээнд (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t гэдгийг батлах шаардлагатай. Дэлгэцийн баруун талд нотлоход шаардлагатай гурван таних тэмдэг харагдана - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ба tg t=sin t/cos t хязгаарлалттай. Тодорхойлолтыг батлахын тулд эхлээд хаалтуудыг онгойлгож, дараа нь tg t·ctg t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн адилтгалын илэрхийллийг тусгасан бүтээгдэхүүн үүснэ. Дараа нь котангенсийн тодорхойлолтын дагуу ctg 2 t хувирна. Өөрчлөлтийн үр дүнд 1-cos 2 t илэрхийлэл гарна. Үндсэн таних тэмдгийг ашиглан бид илэрхийллийн утгыг олдог. Ийнхүү (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t болох нь батлагдсан.

Жишээ 4-д tg t+ctg t=6 бол tg 2 t+ctg 2 t илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Илэрхийллийг тооцоолохын тулд эхлээд тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг квадрат болгоно (tg t+ctg t) 2 =6 2. Дэлгэцийн баруун талд товчилсон үржүүлгийн томъёог эргүүлэн татна. Илэрхийллийн зүүн талын хаалтуудыг нээсний дараа tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t нийлбэр үүсэх бөгөөд үүнийг хувиргахын тулд тригонометрийн ижил төстэй байдлын аль нэгийг ашиглаж болно tg t·ctg t=1. , хэлбэр нь дэлгэцийн баруун талд эргэн дурсагдсан байна. Хувиргасны дараа tg 2 t+ctg 2 t=34 тэгшитгэл гарна. Тэгш байдлын зүүн тал нь бодлогын нөхцөлтэй давхцаж байгаа тул хариулт нь 34. Бодлого шийдэгдсэн.

"Тригонометрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах" видео хичээлийг уламжлалт хэлбэрээр ашиглахыг зөвлөж байна сургуулийн хичээлматематик. Энэ материал нь хэрэгжүүлэх багшид бас хэрэг болно алсын зайн сургалт. Тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх зорилгоор.

Текстийг тайлах:

"Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах."

Тэнцүү байдал

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат te нэмэх косинусын квадрат te нэгтэй тэнцүү)

2)tgt =, t ≠ + πk-ийн хувьд kϵZ (шүргэх te нь синус те ба косинус te харьцаатай тэнцүү, te нь pi-тэй тэнцүү биш хоёрыг нэмсэн пи ка, ка нь zet-д хамаарна)

3)ctgt =, t ≠ πk-ийн хувьд kϵZ (котангенс te нь косинусын te ба синусын харьцаатай тэнцүү бөгөөд te pi ka-тай тэнцүү биш, ka нь zet-д хамаарна).

4)tgt ∙ ctgt = 1 for t ≠ , kϵZ (te-ийн котангентын үржвэр нь te нь дээд ка-тай тэнцүү биш, хоёрт хуваагдах үед ka нь zet-д хамаарах үед нэгтэй тэнцүү)

үндсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд гэж нэрлэдэг.

Тэдгээрийг ихэвчлэн тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах, нотлоход ашигладаг.

Тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахын тулд эдгээр томъёог ашиглах жишээг харцгаая.

ЖИШЭЭ 1. Илэрхийллийг хялбарчлах: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (илэрхийлэл косинусын квадрат te хасах дөрөв дэх зэрэгтэй косинус te нэмэх дөрөвдүгээр зэрэглэлийн синус).

Шийдэл. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) = нүгэл 2 т 1= нүгэл 2 т

(бид косинусын квадрат te нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж, хаалтанд бид нэгдмэл байдал ба квадрат косинус te хоёрын ялгааг авна. Энэ нь эхний таних тэмдэгээр квадрат синус тетэй тэнцүү байна. Бид 4 дэх түвшний синус тегийн нийлбэрийг авна. косинус квадрат te ба синус квадрат te Бид хаалтны гаднах нийтлэг хүчин зүйлийн синус квадрат te-г гаргаж, хаалтанд косинус ба синусын квадратуудын нийлбэрийг авдаг. тригонометрийн ижилсэлнэгтэй тэнцэнэ. Үүний үр дүнд бид синусын квадратыг авна).

ЖИШЭЭ 2. Илэрхийлэлийг хялбарчлах: + .

(be илэрхийлэл нь хуваагч дахь эхний косинусын те-ийн хуваарьт нэг хасах синус те, хоёр дахь косинусын хуваарьт синус те нэмэх хоёр бутархайн нийлбэр юм).

(Косинус te нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж аваад, хаалтанд нэг хасах синусын нэг нэмэх синусын үржвэр болох нийтлэг хуваагч руу авъя.

Тоолуур дээр бид: нэг нэмэх синус те, нэг хасах синус те, бид ижил төстэй зүйлсийг танилцуулж, ижил төстэй зүйлийг авчирсны дараа тоологч нь хоёртой тэнцүү байна.

Хуваарийн хэсэгт та үржүүлэх товчилсон томъёог (квадратуудын ялгаа) хэрэглэж, тригонометрийн үндсэн шинж чанарын дагуу нэгдэл ба синус тегийн квадратын зөрүүг олж авах боломжтой.

косинусын квадраттай тэнцүү te. Косинус те-ээр багасгасны дараа бид эцсийн хариултыг авна: хоёрыг косинус те-д хуваана).

Тригонометрийн илэрхийллийг батлахдаа эдгээр томъёог ашиглах жишээг харцгаая.

ЖИШЭЭ 3. Идэвхжүүлэх (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (te ба синус те-ийн квадратуудын котангентын квадратаар үржвэрлэх үржвэр нь -ийн квадраттай тэнцүү байна) sine te).

Баталгаа.

Өөрчилье зүүн талтэгш байдал:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 т = нүгэл 2 т

(Хашилтыг нээцгээе. Өмнө нь олж авсан хамаарлаас te шүргэгчийн квадратуудын котангентын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Котангенс te гэдгийг санаарай. харьцаатай тэнцүү байна cosine te by sine te, энэ нь котангентын квадрат нь косинусын квадратыг синусын квадраттай харьцуулсан харьцаа гэсэн үг юм.

Синусын квадрат te) -ээр багасгасны дараа бид нэгдэл ба косинусын квадрат te хоорондын зөрүүг олж авна, энэ нь синус квадрат te). Q.E.D.

ЖИШЭЭ 4. tgt + ctgt = 6 бол tg 2 t + ctg 2 t илэрхийллийн утгыг ол.

(хэрэв шүргэгч ба котангенсийн нийлбэр зургаа бол шүргэгч te ба котангенсийн квадратуудын нийлбэр).

Шийдэл. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Анхны тэгш байдлын хоёр талыг квадрат болгоё:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (те ба котангенсийн нийлбэрийн квадрат нь зургаан квадраттай тэнцүү). Товчилсон үржүүлэх томъёог эргэн санацгаая: Хоёр хэмжигдэхүүний нийлбэрийн квадрат квадраттай тэнцүүэхний нэмэх нь эхний болон хоёр дахь нэмэх хоёр дахь квадратын үржвэрийг хоёр дахин нэмнэ. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Бид tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенсийн квадрат te нэмэх шүргэгч te ба котангентын хоёр үржвэрийг te нэмэх котангенсийн квадрат te тэнцүү байна. гучин зургаан) .

te ба котангенсийн үржвэр нь нэгтэй тэнцүү тул tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (te ба котангенс te ба хоёрын квадратуудын нийлбэр нь гучин зургаатай тэнцүү) болно.

Таны хүсэлтээр.

6. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

Учир нь 90° хүртэл бие биенээ нөхөж байгаа өнцгүүдийн кофункцууд тэнцүү байна, дараа нь бид бутархайн тоологч дахь sin50°-г cos40°-аар сольж, давхар аргументийн синусын томъёог тоологч дээр хэрэглэнэ. Бид тоологчдоо 5sin80°-г авна. sin80°-г cos10°-аар орлуулъя, энэ нь фракцыг багасгах боломжийг олгоно.

Хэрэглэсэн томъёо: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. IN арифметик прогресс, ялгаа нь 12, найм дахь гишүүн нь 54 бол сөрөг гишүүний тоог ол.

Шийдлийн төлөвлөгөө. Томъёо хийцгээе ерөнхий гишүүнөгөгдсөн прогрессоор n сөрөг нөхцлийн ямар утгыг олж авахыг олж мэдээрэй. Үүнийг хийхийн тулд бид дэвшлийн эхний гишүүнийг олох хэрэгтэй болно.

Бидэнд d=12, a 8 =54 байна. a n =a 1 +(n-1)∙d томъёог ашиглан бид бичнэ:

a 8 =a 1 +7d. Боломжтой өгөгдлийг орлуулъя. 54=a 1 +7∙12;

a 1 =-30. Энэ утгыг a n =a 1 +(n-1)∙d томъёонд орлуулна

a n =-30+(n-1)∙12 эсвэл a n =-30+12n-12. Хялбарчилъя: a n =12n-42.

Бид сөрөг нэр томъёоны тоог хайж байгаа тул тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй.

a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12н<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Дараах функцийн утгын мужийг ол: y=x-|x|.

Модульчлагдсан хаалтуудыг нээцгээе. Хэрэв x≥0 бол y=x-x ⇒ y=0 болно. График нь эхийн баруун талд байгаа Ox тэнхлэг байх болно. Хэрэв x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Зөв дугуй конусын генератрикс нь 18 см, суурийн талбай нь 36 см 2 бол түүний хажуугийн гадаргууг ол.

MAV тэнхлэгийн хэсэг бүхий конусыг үзүүлэв. Generator VM=18, S main. =36π. Бид конусын хажуугийн гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно: S тал. =πRl, энд l нь генератор ба нөхцлийн дагуу 18 см, R нь суурийн радиус, бид үүнийг томъёогоор олно: S cr. = πR 2. Бидэнд S cr байна. = S үндсэн = 36π. Эндээс πR 2 =36π ⇒ R=6.

Дараа нь S тал. =π∙6∙18 ⇒ S тал. =108π см 2.

12. Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Бутархай нь түүний хуваагчтай тэнцүү бол 1-тэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

log(x 2 +5x+4)=2logx logx≠0. Бид тэгш байдлын баруун талд логарифмын тэмдгийн доорх тооны зэрэглэлийн шинж чанарыг хэрэглэнэ: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Эдгээр аравтын логарифмууд тэнцүү тул логарифмын тэмдгийн доорх тоонууд тэнцүү байна. , тиймээс:

x 2 +5x+4=x 2, иймээс 5x=-4; Бид x=-0.8 авна. Гэхдээ энэ утгыг авах боломжгүй, учир нь логарифмын тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоонууд байж болох тул энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй байна. Анхаарна уу. Та шийдвэрийн эхэнд ODZ-ийг олох ёсгүй (цагаа дэмий үрээрэй!), төгсгөлд нь шалгах нь дээр (бидний одоо хийж байгаа шиг).

13. (x o; y o) нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл болох (x o – y o) илэрхийллийн утгыг ол.

14. Тэгшитгэлийг шийд:

Хэрэв та хуваавал 2 мөн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн хувьд та давхар өнцгийн тангенсийн томъёог сурах болно. Үр дүн нь энгийн тэгшитгэл юм: tg4x=1.

15. Функцийн деривативыг ол: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

Бидэнд нарийн төвөгтэй функц өгөгдсөн. Бид үүнийг нэг үгээр тодорхойлдог - энэ бол зэрэг юм. Иймд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийн дагуу зэрэглэлийн деривативыг олж, дараах томъёоны дагуу энэ зэргийн суурийн деривативаар үржүүлнэ.

(u n)’ = n ∙ u n -1 ∙ у'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6х 2 -4х)’ = 5(6х 2 -4х) 4 ∙ (12х-4)= 5(6х 2 -4х) 4 ∙ 4(3х-1)=20(3х-1)(6х 2 -4х) 4 .

16. Хэрэв функц бол f ‘(1)-ийг олох шаардлагатай

17. Тэгш талт гурвалжинд бүх биссектрисагийн нийлбэр 33√3 см байна.

Тэгш талт гурвалжны биссектриса нь медиан ба өндрийн аль аль нь юм. Ийнхүү энэ гурвалжны BD өндрийн урт нь тэнцүү байна

Тэгш өнцөгт Δ ABD-аас AB талыг олъё. sin60° = BD учраас : AB, дараа нь AB = BD : нүгэл 60°.

18. 12 см өндөртэй тэнцүү талт гурвалжинд тойрог дүрслэгдсэн байна.

Тойрог (O; OD) тэгш талт Δ ABC-д бичжээ. BD өндөр нь мөн биссектриса ба медиан бөгөөд тойргийн төв О цэг нь BD дээр байрладаг.

O – өндөр, биссектриса ба медиануудын огтлолцох цэг нь оройноос эхлэн тоолоход BD медианыг 2:1 харьцаагаар хуваана. Иймд ОД=(1/3)БД=12:3=4. Тойргийн радиус R=OD=4 см Тойргийн талбай S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π см 2.

19. Энгийн дөрвөлжин пирамидын хажуу ирмэг нь 9 см, суурийн тал нь 8 см пирамидын өндрийг ол.

Ердийн дөрвөлжин пирамидын суурь нь ABCD дөрвөлжин, MO өндрийн суурь нь дөрвөлжингийн төв юм.

20. Хялбарчлах:

Тоолуур дээр зөрүүний квадратыг нугалав.

Бид нэр томъёог бүлэглэх аргыг ашиглан хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилдаг.

21. Тооцоолох:

Арифметик квадрат язгуур гаргаж авахын тулд радикал илэрхийлэл нь төгс квадрат байх ёстой. Дараахь томъёог ашиглан язгуур тэмдгийн доорх илэрхийллийг хоёр илэрхийллийн квадратын зөрүү хэлбэрээр илэрхийлье.

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, a 2 +b 2 =10 гэж үзвэл.

22. Тэгш бус байдлыг шийд:

Тэгш бус байдлын зүүн талыг бүтээгдэхүүнээр төлөөлүүлье. Хоёр өнцгийн синусын нийлбэр нь эдгээр өнцгийн хагасын нийлбэрийн синус ба эдгээр өнцгийн хагасын зөрүүний косинусыг хоёр дахин үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.:

Бид авах:

Энэ тэгш бус байдлыг графикаар шийдье. Шулуун шугамаас дээш байрлах y=зардлын графикийн цэгүүдийг сонгож, эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг тодорхойлно (сүүдэрлэж үзүүлэв).