муж боловсролын байгууллагадээд мэргэжлийн боловсрол

ТОМСКИЙН ПОЛИТЕХНИКИЙН ИХ СУРГУУЛЬ

21-р хэлтэс

Сэдвийн хураангуй:

"Лапласын өөрчлөлт"

Дууссан

оюутан гр.0850

Киселева Ю.В.

Шалгасан:

Данейкин Ю.В.

Томск, 2008 он

Танилцуулга

Лапласын хувиргалт нь функцтэй холбоотой салшгүй хувирал юм

Шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн тархалтыг урьдчилан тодорхойлсон Лапласын хувиргалтын нэг онцлог нь эх хувь дээрх олон харилцаа, үйлдлүүд нь тэдгээрийн дүрс дээрх энгийн харилцаатай нийцэж байгаа явдал юм.

1. Шууд Лаплас хувиргалт

Бодит хувьсагчийн функцийн Лапласын хувиргалт

Баруун талЭнэ илэрхийллийг Лапласын интеграл гэж нэрлэдэг.

2. Урвуу хөрвүүлэлтЛаплас

Комплекс хувьсагчийн функцийн урвуу Лаплас хувиргалт

3. Хоёр талын Лаплас хувиргалт

Хоёр талын Лаплас хувиргалт нь тухайн функцэд хамаарах асуудлын ерөнхий дүгнэлт юм

Хоёр талын Лапласын хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно.

4. Дискрет Лаплас хувиргалт

Компьютерийн удирдлагын системийн салбарт ашигладаг. Дискрет Лаплас хувиргалтыг торны функцүүдэд хэрэглэж болно.
Ялгах

торны функц, өөрөөр хэлбэл энэ функцийн утгууд нь зөвхөн цаг хугацааны салангид мөчүүдэд тодорхойлогддог

Хэрэв бид дараах хувьсагчийн өөрчлөлтийг хэрэглэвэл:

Бид Z-хөрчлөлтийг авна:

5. Шинж чанар ба теоремууд

· Үнэмлэхүй нэгдэх

Хэрэв Лапласын интеграл σ = σ 0-д туйлын нийлдэг бол хязгаар байна гэсэн үг.

дараа нь энэ нь туйлын болон жигд нийлдэг

· Орших нөхцөл шууд хувиргахЛаплас

Лапласын хувиргалт

2. σ > σ a тохиолдол: хэрэв интеграл байвал Лапласын хувиргалт оршино

хязгаарлагдмал зүйл бүрт байдаг

3. Тохиолдол σ > 0 эсвэл σ > σ a (аль зааг нь их байна): σ > σ a-ийн хувьд f"(x) (f(x)-ийн дериватив) функцийн хувьд Лапласын хувиргалт байвал Лапласын хувиргалт бий болно.

Лапласын урвуу хувиргалт байх нөхцөл

Лапласын урвуу хувиргалтыг бий болгохын тулд дараахь нөхцлийг хангахад хангалттай.

1. Хэрэв зураг F(s) нь аналитик функц бол

нь z k тус бүрд аналитик бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна

тэгвэл урвуу хувирал байх ба харгалзах шууд хувиргалт нь абсцисса абсциссатай байна.

Жич: энэ хангалттай нөхцөлоршихуй.

Хувиралтын теорем

Хоёр эхийн эргэлтийн Лапласын хувиргалт нь эдгээр эхийн зургийн үр дүн юм.

Зургийг үржүүлэх

Лекц №12

Сэдэв: Шилжилтийн шинжилгээний операторын арга

процессууд.

Судлах асуултууд

1 Лапласын хувиргалт ба түүний шинж чанарууд.

2 Ом ба Кирхгофын хуулиуд оператор хэлбэрээр. Операторыг орлуулах схем.

3 Операторын аргыг ашиглан түр зуурын процессыг шинжлэх алгоритм.

4 Эх хувийг дүрсээр нь таних. Задаргааны теорем.

Уран зохиол: хуудас 331-342.

1 Лапласын хувиргалт ба түүний шинж чанарууд

Өмнө нь хянаж үзсэн сонгодог аргадараах мэдэгдэхүйц сул талуудтай:

хязгаарлагдмал хэрэглээ, энэ нь голчлон судалж буй хэлхээний нарийн төвөгтэй байдлын бага дараалалтай тохиолдолд ашиглагддаг гадны нөлөөшилжүүлсний дараа үүн дээр байна гармоник функццаг хугацаа эсвэл байнга; шилжүүлсний дараа хэлхээнд үзүүлэх гадны нөлөөлөл илүү байвал нарийн төвөгтэй дүр, дараа нь гинжин урвалын албадан бүрэлдэхүүнийг тодорхойлох нь илүү хэцүү болно.

нүсэр байдалЧөлөөт бүрэлдэхүүн ба тогтмол интеграцийг олохын тулд хоёр дахь дарааллын хэлхээний түр зуурын процессыг шинжлэхдээ алгебрийн тэгшитгэлөндөр захиалга.

Бүртгэгдсэн сул талуудаас ангид операторын аргахэрэглээнд суурилсан түр зуурын шинжилгээ Лапласын хувиргалт.

Операторын арга нь физикийн тодорхойгүй байдлаас болж математикийн албан ёсны хэлбэр, гэхдээ тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Операторын аргын нэг чухал шинж чанар нь түүнийг бүрэн нэгтгэх боломжгүй функцүүдэд, жишээлбэл, нэг хүчдэлийн алхам, зарим үед асаалттай гармоник хүчдэл болон сонгодог болон спектрийн аргууддүн шинжилгээ хийх боломжгүй.

Операторын аргын мөн чанар нь шилжилтийн үйл явцын тооцоог бодит хувьсагчийн функцын мужаас (цаг хугацаа t) цогц хувьсагчийн функцын муж руу шилжүүлдэгт оршино. Энэ тохиолдолд цаг хугацааны функцуудыг ялгах, нэгтгэх үйлдлүүдийг p оператороор нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцийг үржүүлэх, хуваах харгалзах үйлдлүүдээр солино. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн системийг алгебрийн систем болгон бууруулдаг тул тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Операторын аргад интеграцийн тогтмолуудыг тодорхойлох шаардлагагүй. Энэ нөхцөл байдал нь энэ аргыг практикт өргөнөөр ашиглаж байгааг тайлбарлаж байна.

Бодит хувьсагчийн домэйноос нийлмэл хувьсагчийн функцын домэйнд шилжих шилжилтийг ашиглан хийгддэг. Лапласын шууд хувиргалт. Үүний дараа хүссэн функцүүдийн зургуудын хувьд алгебрийн тэгшитгэлийг шийддэг. Үр дүнд нь алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэл урвуу Лаплас хувиргалтбодит хувьсагчийн домайн руу шилждэг.

Операторын аргын математик үндэслэлийг анх 1862 онд өгсөн. Оросын математикч М.Е.Ващенко-Захарченко нь симбол (оператор) тооцоог интегралд ашиглах боломжийг харуулсан. дифференциал тэгшитгэлЛапласын шууд хувиргалт дээр үндэслэсэн.

19-р зууны төгсгөлд. Английн цахилгааны инженер О.Хэвисайд, Д.Карсон нар түр зуурын процессыг тооцоолох дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх симбол аргыг амжилттай хэрэглэж, боловсруулсан. цахилгаан хэлхээ. Гэсэн хэдий ч операторын арга нь зөвхөн 20-р зуунд л хатуу үндэслэлийг хүлээн авсан. дээр суурилсан ерөнхий онолфункциональ өөрчлөлтүүд.

Лапласыг шууд хувиргахтэгшитгэлээр тодорхойлогддог

Энд f(t) нь t-д тодорхойлогдсон бодит хувьсагчийн функц юм
(т< 0; f(t) = 0) и удовлетворяющая условием граниченного роста:

Энд үржүүлэгч M ба өсөлтийн хурд C 0 эерэг байна бодит тоо.

Зураг 12.1-д F(p) нийлмэл хувьсагчийн тодорхойлолтын мужийг үзүүлэв.

Лапластын урвуу хувиралуусмалаас тодорхойлно
(12.1).

(12.1) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон F(p) функцийг дуудна Лапласын зураг, мөн (12.3) дахь f(t) функц нь байна эх.

Иймээс эх болон зураг нь бодит f(t) ба F(p) нийлмэл хувьсагчийн хос функцууд бөгөөд Лапласын хувиргалтаар холбогдож, бие биентэйгээ нягт уялдаа холбоотой байдаг.

(12.1) ба (12.3) хувиргалтын тэмдэглэгээг богиносгохын тулд дараах тэмдэглэгээг ашиглана.

Энд L нь Лаплас оператор.

Дараах зүйлд тодорхой байхын тулд бид захидал харилцааны тэмдгийг ашиглах болно.

Лапласын хувиргалт дээр үндэслэн (12.2) нөхцөлийг хангасан дурын функцын дүрсийг авч болно. Төрөл бүрийн функцүүдийн эх хувь, зургийг агуулсан тусгай лавлах номууд байдаг.

Хүснэгт 12.1-д энгийн функцүүдийн зургийн жишээг үзүүлэв.

Хүснэгт 12.1 – Лаплас функцүүдийн зураг

Заримыг нь харцгаая Лапласын хувиргалтын шинж чанарууд , мөн теорем гэж нэрлэдэг.

Нэмэх теорем буюу хувирлын шугаман байдал

Дифференциалын теорем

.

Интеграцийн теорем

.

Сааталын теорем

Лапласын хувиргалт нь эсэргүүцэл, индуктив болон багтаамжийн элементүүдийн хувьд хүчдэл ба гүйдлийн хоорондын хамаарлыг оператор хэлбэрээр олж авах боломжийг олгодог.

Эсэргүүцлийн элемент дээрх хүчдэлийн зураг

(12.1)-ийн дагуу U r (t) = r i (t) нь дараах хэлбэртэй байна.

U r (p) = r I (p) илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг Оператор хэлбэрийн Ом хууль эсэргүүцэл элементийн хувьд (Зураг 12.1, а), операторын эквивалент хэлхээг Зураг 12.1, б-д үзүүлэв.

Хүчдэлийн зураг
(12.4) ба (12.5)-ын дагуу индуктив элемент дээр (Зураг 12.2, а) дараах хэлбэртэй байна.

U L (p) = - L i(0) + pLI(p), (12.9)

Энд i(0) = i(0 -) = i(0 +) нь анхны нөхцлүүдийг харгалзан (коммутацийн нэгдүгээр хуулийн дагуу) t = 0 шилжих мөчид индуктив элементийн гүйдэл юм.

Илэрхийлэл (12.9) нь Зураг 12.2, b-ийн индуктив элементийн операторын эквивалент хэлхээнд тохирч байна.

-д түр зуурын процесс үүсэх t = 0 цаг мөчөөс эхлэн багтаамжийн элемент дээрх хүчдэл (Зураг 12.3, а). ерөнхий тохиолдол

Энд U c (0) = U c (0 -) = U c (0 +) нь анхны нөхцөлд тохирох багтаамжийн элемент дээрх хүчдэл (коммутацийн хоёр дахь хуулийн дагуу).

Зураг өгсөн нэгж функц
(Хүснэгт 12.1) ба хамаарал (12.4) ба (12.5) бид хүчдэлийн U c (t) дүрсийг олно:

Илэрхийлэл (12.10) нь 12.3б-р зурагт оператор хэлбэрийн багтаамжийн элементийн эквивалент хэлхээтэй тохирч байна.

Хэрэв эхний нөхцөл нь тэг бол, i.e. i L (0 -) = 0 ба U c (0 -) = 0, дараа нь (12.9) ба (12.10) илэрхийллүүд нь индуктив элементийн оператор хэлбэрээр Ом хуулийн хэлбэрийг авна.

U L (p) = LpI(p) = Z L (p)I(p), (12.11)

Энд Z L (p) = Lp – индуктив элементийн операторын эсэргүүцэл, багтаамжийн элементийн хувьд

Өмнө нь бид K(t, O = e) цөмтэй интеграл Фурье хувиргалтыг f(t) функцийн t тэнхлэгт үнэмлэхүй интегралчлах нөхцөл хангагдсан байх ёстой гэж үзсэн хувиргах нь биднийг энэхүү хязгаарлалтаас чөлөөлөх боломжийг олгодог. Тодорхойлолт 1. Функцээр бид дараах нөхцөлүүдийг хангасан бодит аргумент t-ийн дурын комплекс утгатай f(t) функцийг нэрлэх болно: 1. f(t) нь тасралтгүй. f(t) нь 1-р төрлийн тасалдалтай цэгүүдээс бусад бүх t тэнхлэг ба тэнхлэгийн * төгсгөлийн интервал бүр дээр зөвхөн хязгаарлагдмал тооны ийм цэг байж болно 2. f(t) функц; ) үед тэгтэй тэнцүү байна сөрөг утгууд t, f(t) = 0 3. t өсөхөд f(t) модуль экспоненциал функцээс хурдан өсөхгүй, өөрөөр хэлбэл M > 0 ба s тоонууд байдаг тул бүх t хувьд тэгш бус байдал ( 1) зарим s = aj-д биелэгдсэн бол АЛЬ 82 > 8-д ҮНЭН болно]. Бүх тооны 3, «o = infs) тэгш бус байдал (1) биелэх яг инфимум s0-ийг f(t) функцийн өсөлтийн индекс гэнэ. Сэтгэгдэл. Ерөнхий тохиолдолд тэгш бус байдал биелэхгүй, гэхдээ e > 0 нь ямар ч гэсэн тооцоолол хүчинтэй байна. Ийнхүү функц нь өсөлтийн илтгэгчтэй байна 0 = Түүний хувьд \t\ ^ M V* ^ 0 тэгш бус байдал биелэхгүй, харин |f| ^ Мэй. Нөхцөл (1) нь нөхцөлөөс (*) хамаагүй бага хязгаарлалттай. Жишээ 1. функц нь (") нөхцөлийг хангахгүй, харин (1) нөхцөл нь аль ч s ^ I ба A/ ^ I-ийн хувьд хангагдсан; өсөлтийн хурд 5o = Тэгэхээр энэ нь анхны функц юм. Нөгөө талаас функц нь анхны функц биш: өсөлтийн хязгааргүй дараалалтай, “o = +oo. Хамгийн энгийн анхны функц нь нэгж функц гэж нэрлэгддэг. Хэрэв тодорхой функц нь 1-р нөхцөлийн 1 ба 3-ыг хангаж байгаа боловч 2-р нөхцлийг хангаагүй бол бүтээгдэхүүн нь аль хэдийн анхны функц болно. Тэмдэглэгээг хялбар болгохын тулд бид дүрмээр бол rj(t) хүчин зүйлийг орхиж, бидний авч үзэх бүх функцүүд сөрөг t-ийн хувьд тэгтэй тэнцүү байх ёстой.зарим функцийн тухай f(t), тухайлбал, sin ty cos t, el гэх мэтийн тухай, тэгвэл дараах функцууд үргэлж далд байдаг (Зураг 2): n=n(0 Зураг 1 Тодорхойлолт 2. f( t) гэж үзье. ) нь анхны функц f(t) функцийн Лаплас дүрс нь LAPLACE TRANSFORM томъёогоор тодорхойлогддог нийлмэл хувьсагчийн F(p) функц юм.Үндсэн тодорхойлолтууд Функцуудын эргэлт Үржүүлэх теорем Зургаас эхийг олох. үйлдлийн тооцооллын урвуу теорем Дюхамелийн томьёо Шугаман дифференциал системийн тэгшитгэлүүдийг интеграцчилна. тогтмол коэффициентүүдИнтегралыг эерэг хагас тэнхлэгийн дагуу авсан интеграл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх t. F(p) функцийг /(/) функцийн Лаплас хувиргалт гэж бас нэрлэдэг; хувиргах цөм K(t) p) = e~pt. Функцийн дүрс нь F(p) байх нь бичигдэх болно. Жишээ 2. r)(t) нэгж функцийн дүрсийг ол. Функц нь өсөлтийн илтгэгч 0 - 0-тэй анхны функц юм. (2) томъёоны дагуу rj(t) функцийн дүрс нь функц байх болно. Хэрэв тэгвэл сүүлчийн тэгшитгэлийн баруун талын интеграл нийлнэ. , мөн rj(t) функцийн дүрс нь £ функц байхаар олж авна. Бидний тохиролцсоны дагуу бид rj(t) = 1 гэж бичих ба дараа нь олж авсан үр дүнг дараах байдлаар бичнэ: Теорем 1. 30 өсөлтийн индекстэй аливаа анхны f(t) функцийн хувьд F(p) дүрс тодорхойлогдоно. хагас хавтгайд R e = s > s0 байх ба энэ хагас хавтгайд байнааналитик функц (Зураг 3). Заасан хагас хавтгайд F(p) дүрс байгааг батлахын тулд үүнийг тогтооход хангалттай.буруу интеграл (2) хувьд туйлын нийлдэг > (3)-ыг ашигласнаар бид (2) интегралын үнэмлэхүй нийлэлтийг нотолж байна. Үүний зэрэгцээ бид нийлмэл байдлын хагас хавтгайд F(p)-ийн тооцоог олж авсан (2) интегралын оршихуйг р-ийн хувьд албан ёсоор оллоо. интеграл (2)-ын оршин тогтнохыг тогтоосонтой ижил аргаар тогтоогддог. F"(p)-д хэсэгчилсэн интеграцчлалыг ашигласнаар бид дараах тооцоог гаргана үнэмлэхүй нэгдэл). Аль ч хагас хавтгайд Rep ^ sj > o интеграл (5) нь p-ээс хамааралгүй нэгдэх интегралаар ихэсдэг тул p-тэй харьцуулахад жигд нийлдэг. Иймээс p-ийн ялгаа нь хууль ёсны бөгөөд тэгш байдал (5) нь үнэн юм. F"(p) дериватив байгаа тул Лапласын хувиргалт F(p) хагас хавтгайд Rep = 5 > 5о хаа сайгүй аналитик функц болно. Тэгш бус байдал (4) нь үр дүнг илэрхийлнэ. Хэрэв p нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байвал Re p = s хязгааргүй өснө , дараа нь Жишээ 3. Мөн функцийн дүрсийг олъё, дурын комплекс тоо /() функцийн илтгэгч нь a-тай тэнцүү 4 Rep = i > a-г авч үзвэл бид олж авна. a = 0-ийн хувьд бид дахин томъёог олж авна. eat функцийн дүрс нь зөвхөн Rep > a хагас хавтгайд биш, харин p цэгээс бусад бүх цэгүүдэд p аргументын аналитик функц болохыг анхаарцгаая. Энэ дүрс нь энгийн туйлтай p = a цэгийн хувьд дараах зүйлд бид нэгээс олон удаа тулгарах болно. ижил төстэй нөхцөл байдал, F(p) дүрс нь тусгаарлагдсанаас бусад нийлмэл p хувьсагчийн бүх хавтгайд аналитик функц байх үед ганц бие цэгүүд. Теорем 1-тэй зөрчилдсөн зүйл байхгүй. Сүүлийнх нь зөвхөн Rep > o хагас хавтгайд F(p) функц нь онцгой цэггүй болохыг харуулж байна: тэдгээр нь бүгд Rep = тэг шугамын зүүн талд эсвэл энэ шулуун дээр байрладаг. Битгий анзаар. Үйлдлийн тооцоололд заримдаа f(f) функцийн Хэвисайд дүрслэлийг ашигладаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог ба Лапласын дүрслэлээс p хүчин зүйлээр ялгаатай байдаг. §2. Лапласын хувиргалтын шинж чанарууд Дараах зүйлд бид анхны функцууд болон тэдгээрийн Лаплас дүрсүүдийг тэмдэглэх болно. Зургийн тодорхойлолтоос үзэхэд хэрэв теорем 2 (нэгдэл). £biw dee) ижил дүрстэй бол тэдгээр нь адилхан тэнцүү байна. Теопева 3 (p'ieiost* Лапласын хувиргалт). Хэрэв функцүүд нь эх байвал ямар ч нийлмэл тогтмолуудын хувьд α Уг мэдэгдлийн хүчинтэй байдал нь дүрсийг тодорхойлдог интегралын шугаман шинж чанараас хамаарна: , функцүүдийн өсөлтийн үзүүлэлтүүд). Энэ шинж чанар дээр үндэслэн бид үүнийг олж, мөн 4-р теоремыг (ижил төстэй байдал) олж авна. Хэрэв f(t) нь анхны функц, F(p) нь түүний Лапласын дүрс юм бол = m-ийн аливаа тогтмол a > O Тохиргооны хувьд бид (5) ба (6) томъёоноос теорем 5-ыг олж авна. (эх хувилбарыг ялгах тухай). F(p) дүрстэй анхны функц, мөн анхны функцүүд байг, функцийн өсөлтийн индекс хаана байна Дараа нь ба ерөнхийдөө Энд бид зөв хязгаарын утгыг хэлж байна Let. Бидэнд байгаа дүрсийг олцгооё Хэсэгээр интегралцвал (10)-ын баруун талд байгаа интегралаас гадуурх гишүүн нь k гэж алга болно Rc р = s > з-ийн хувьд бид t = Өгөгдсөн -/(0) орлуулалттай байна. . (10)-ын баруун талд байгаа хоёр дахь гишүүн нь pF(p)-тэй тэнцүү байна. Тиймээс (10) хамаарал хэлбэрийг авч, (8) томъёо батлагдсан болно. Ялангуяа f(n\t) дүрсийг олохын тулд n дахин хэсгийг хэсгүүдээр нь интегралцаж хаанаас бичих юм бол жишээ 4. Эхийг ялгах теоремыг ашиглан f(t) = функцийн дүрсийг ол. нүгэл2 т. Тиймээс 5-р теорем тогтоогъёгайхалтай өмч Интеграл Лаплас хувиргалт: энэ нь (Фурье хувиргалт шиг) ялгах үйлдлийг х-ээр үржүүлэх алгебрийн үйлдэл болгон хувиргадаг. Оруулсан томъёо. Хэрэв тэдгээр нь анхны функцууд юм бол үнэн хэрэгтээ Теорем 1-ийн үр дүнд зураг бүр тэг болох хандлагатай байдаг. Энэ нь оруулах томьёо дагадаг гэсэн үг юм (Теорем 6 (зураг ялгах тухай). Зургийг ялгах нь эх хувилбараар үржих хүртэл буурдаг. Хагас хавтгай дахь F(p) функц аналитик учраас ялгах боломжтой. Бидэнд сүүлийнх нь зүгээр л жишээ 5 гэсэн үг. Теорем 6-г ашиглан 4-р функцийн дүрсийг олоорой. Тиймээс (6-р теоремыг дахин ашигласнаар бид ерөнхийдөө теорем 7-г олно. Анхны интеграци нь зургийг Let-д хуваахад хялбар байдаг. Хэрэв эх функц байгаа бол энэ нь анхны функц байх болно, нөгөө талаас, Let F = Сүүлийнх нь батлагдсан хамаарал (13)-тай тэнцүү байна Жишээ 6. M B функцийн дүрсийг ол., Тэгэхээр. Тиймээс теорем 8 (зураг интеграл). Хэрэв интеграл нийлбэл ^ функцийн дүрс болж үйлчилнэ: LAPLACE TRANSFORM Үндсэн тодорхойлолтууд Шинж чанарууд Функцийн эвдрэл Үржүүлэх теорем Зургаас эхийг олох Үйлдлийн тооцооллын урвуу теоремыг ашиглах Дюхамелийн томьёо Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэгтгэх. Интеграл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Үнэн хэрэгтээ, интегралын зам нь хагас хавтгайд оршдог гэж үзвэл интегралчлалын дарааллыг өөрчилж болно гэсэн үг. Сүүлийн тэгшитгэл нь функцийн дүрс юм. Жишээ 7. M As функцийн дүрсийг ол мэдэгдэж байгаа, . Тиймээс бид £ = 0-г авна гэж үзвэл хэзээ. Тиймээс (16) хамаарал Жишээ хэлбэрийг авна. Графикаар тодорхойлогдсон f(t) функцийн дүрсийг ол (Зураг 5). f(t) функцийн илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичье: Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар авч болно. Функцийг авч үзээд, үүнээс функцийг хасч, ялгаа нь нэгтэй тэнцүү байх болно. Үүний үр дүнд бид функцийг нэмж, f(t) функцийг олж авна (Зураг 6 c), ингэснээр саатлын теоремыг ашиглан бид 10 теоремыг (шилжилт) олно. тэгээд хэнд ч зориулавнийлмэл тоо ro Үнэн хэрэгтээ теорем нь функцүүдийн мэдэгдэж буй зургуудыг ашиглан ижил функцүүдийн зургийг үржүүлсэнээр олох боломжийг олгодог.экспоненциал функц жишээлбэл, 2.1. Эвхэх функц. Үржүүлэх теорем f(t) функцууд нь бүх t-д тодорхойлогдсон ба тасралтгүй байг. Эдгээр функцүүдийн эргэлтийг нэрлэдэг t дээр, тэнцүүгээр тодорхойлогддог (хэрэв энэ интеграл байгаа бол). Анхны функцүүдийн хувьд convolve үйлдэл нь үргэлж боломжтой байдаг ба (17) 4 Үнэн хэрэгтээ m-ийн функц болох анхны функцуудын үржвэр нь төгсгөлтэй функц юм, өөрөөр хэлбэл. зарим төгсгөлтэй интервалын гадна алга болдог (энэ тохиолдолд сегментийн гадна. Төгсгөлтэй тасралтгүй функцүүдийн хувьд эргэлтийн үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой бөгөөд бид томьёог олж авна. Хувиралтын үйлдэл нь солигддог эсэхийг шалгахад хэцүү биш, теорем 11 (үржүүлэх). Хэрэв. , тэгвэл t) мушгиа дүрстэй байна.Эх функцүүдийн эргэлт нь өсөлтийн илтгэгчтэй анхны функц мөн » энд, функцүүдийн өсөлтийн илтгэгчид тус тус байна гэдгийг батлахад хэцүү биш. Зургийг олъё. Бидэнд байгаа зүйлийг ашиглан интегралын дарааллыг (ийм үйлдэл нь хууль ёсны) болон удаашралын теоремыг ашигласнаар бид (18) ба (19) -ийг олж авна. Зургийн үржвэр нь эхийн хувиргалттай тохирч байна, Prter 9. Функцийн дүрсийг олоорой. V(0) функц нь үржүүлэх теоремын дагуу /(ξ) функцийг үечилсэн гэж үзье үе T , анхны функц нь түүний Лаплас дүрс F(p) нь томьёо 3-аар өгөгдсөнийг харуул. Зургаас эхийг олох Бодлого дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ: F(p) функц өгөгдсөн бол бид функцийг олох хэрэгтэй. /(<)>Түүний зураг нь F(p). П комплекс хувьсагчийн F(p) функцийг дүрс болгоход хангалттай нөхцөлүүдийг томъёолъё. Теорем 12. Хэрэв хагас хавтгайд аналитик F(p) функц тэгвэл 1) arg p-тэй харьцуулахад R s0 хагас хавтгайн адил тэг рүү чиглэдэг; 2) интеграл үнэмлэхүй нийлдэг, тэгвэл F(p) нь ямар нэг анхны функцийн дүр зураг болно. F(p) = функц нь зарим эх функцийн дүрс болж чадах уу? Бид зурагнаас эх хувийг олох зарим аргыг зааж өгөх болно. 3.1. Зургийн хүснэгтийг ашиглан эх хувийг олох Юуны өмнө F(p) функцийг илүү энгийн, "хүснэгт" хэлбэрт оруулах нь зүйтэй. Жишээлбэл, F(p) - бутархай рационал функцаргумент p, үүнийг энгийн бутархай болгон задалж, Лапласын хувиргах зохих шинж чанаруудыг ашиглана. Жишээ 1. Эхийг олоорой. Бид F(p) функцийг хэлбэрээр бичнэ. Лапласын хувиргалтын шилжилтийн теорем болон шугаман шинж чанарыг ашиглан жишээ 2-ыг олно. 4-р функцийн эхийг олно. маягт Тиймээс 3.2. Урвууны теорем ба түүний үр дагаварыг ашиглах Теорем 13 (урвуу). Хэрэв fit) функц нь s0 өсөлтийн илтгэгчтэй анхны функц ба F(p) нь түүний дүрс бол f(t) функцийн тасралтгүй байдлын аль ч цэгт интегралыг дурын шулуун шугамын дагуу авсан тохиолдолд хамаарал хангагдана. нь үндсэн утгын утгаар ойлгогдож, өөрөөр хэлбэл Формула (1)-ийг Лапласын хувиргах урвуу томьёо буюу Меллиний томъёо гэж нэрлэдэг. Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, f(t) тус бүр дээр хэсэгчлэн жигд байна }