Функцийн хамгийн чухал ангиллын нэг бөгөөд интегралууд нь дамжуулан илэрхийлэгддэг үндсэн функцууд, нь рационал функцүүдийн ангилал юм.

Тодорхойлолт 1. Хэлбэрийн үүрэг хаана
- градусын олон гишүүнтnТэгээдмоновчтой гэж нэрлэдэг. Бүтэн оновчтой функц, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнт, шууд интеграл. Бутархай-рационал функцийн интегралыг стандарт аргаар үндсэн хүснэгтийн интеграл болгон хувиргах нэр томъёонд задлах замаар олж болно.

Тодорхойлолт 2. Бутархай
тоологчийн зэрэгтэй бол зөв гэж нэрлэдэгnбага хуваагч эрх мэдэл м. Тоолуурын зэрэг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх бутархайг буруу гэж нэрлэдэг.

Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт ба нийлбэрээр илэрхийлж болно зөв бутархай. Энэ нь олон гишүүнт тоог хуваахтай адил олон гишүүнт хуваагдах замаар хийгддэг.

Жишээ.

Бутархай хэсгийг төсөөлье
олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр:

x - 1

3

3

3

Эхний улирал
энэ нь тэргүүлэх нэр томъёог хуваасны үр дүнд олддог
, тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагдана Xхуваагч Дараа нь бид үрждэг
хуваагч бүрт x-1мөн үр дүнгийн үр дүнг ногдол ашгаас хасна; Бүрэн бус хэсгийн үлдсэн нөхцлүүд ижил төстэй олддог.

Олон гишүүнт хуваагдсаны дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ үйлдлийг бүхэл хэсгийг сонгох гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3. Хамгийн энгийн бутархай нь дараах төрлийн зөв рационал бутархай юм.

I.

II.
(K=2, 3, …).

III.
дөрвөлжин гурвалжин хаана байна

IV.
Энд K=2, 3, …; квадрат гурвалжин
жинхэнэ үндэс байхгүй.

a) хуваагчийг өргөжүүлэх
хамгийн энгийн бодит хүчин зүйл болгон (алгебрийн үндсэн теоремын дагуу энэ өргөтгөл нь хэлбэрийн шугаман биномуудыг агуулж болно.
ба квадрат гурвалсан тоо
, үндэсгүй);

б) өгөгдсөн бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах диаграммыг бич. Түүнээс гадна, маягтын хүчин зүйл бүр
тохирч байна к I ба II төрлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд:

маягтын хүчин зүйл бүрт
III ба IV төрлийн e нөхцөлтэй тохирч байна:

Жишээ.

Бутархай тэлэлтийн схемийг бичнэ үү
хамгийн энгийнийн нийлбэрээр.

в) олж авсан хамгийн энгийн бутархайн нэмэлтийг гүйцэтгэнэ. Үүссэн болон анхны бутархайн тоологчдын тэгш байдлыг бичнэ үү;

г) харгалзах тэлэлтийн коэффициентийг ол:
(шийдлийн аргуудыг доор авч үзэх болно);

д) коэффициентүүдийн олсон утгыг задралын схемд орлуулах.

Задаргааны дараа зөв рационал бутархайг хамгийн энгийн нөхцөл болгон нэгтгэх нь дараахь төрлийн интегралуудыг олоход хүргэдэг.

(кТэгээд д =2, 3, …).

Интегралын тооцоо III томъёо руу бууруулна:

интеграл - II томъёонд:

интеграл квадрат гурвалсан гишүүн агуулсан функцүүдийн интегралчлалын онолд заасан дүрмээр олж болно; - 4-р жишээнд үзүүлсэн өөрчлөлтүүдээр.

Жишээ 1.

a) хуваагчийг хүчин зүйл болгон:

б) интегралыг нөхцөл болгон задлах диаграммыг бич.

в) энгийн бутархай нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ:

Бутархайн тоологчдын тэгш байдлыг бичье.

г) үл мэдэгдэх A, B, C коэффициентийг олох хоёр арга байдаг.

Хоёр олон гишүүнт коэффициент нь тэнцүү байвал тэнцүү байна тэнцүү градус X, ингэснээр та тохирох тэгшитгэлийн системийг үүсгэж болно. Энэ бол шийдвэрлэх аргуудын нэг юм.

Коэффицентүүд нь

чөлөөт гишүүд (коэффицент ):4А=8.

Системийг шийдсэний дараа бид олж авдаг A=2, B=1, C= - 10.

Өөр нэг арга - хувийн үнэт зүйлс - дараах жишээнд авч үзэх болно;

д) олсон утгыг задралын схемд орлуулах:

Үр дүнгийн нийлбэрийг интеграл тэмдгийн дор орлуулж, нэр томъёо бүрийг тусад нь нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олно.

Жишээ 2.

Identity гэдэг нь түүнд багтсан үл мэдэгдэх бүх утгын хувьд хүчинтэй тэгш байдал юм. Үүний үндсэн дээр хувийн үнэ цэнийн арга.Өгүүлж болно Xаливаа үнэт зүйлс. Тэгш байдлын баруун талд байгаа аливаа нөхцөлийг арилгадаг утгуудыг тооцох нь илүү тохиромжтой.

Болъё x = 0. Дараа нь 1 = А 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Үүнтэй адилаар x = - 2бидэнд байгаа 1= - 2V*(-3), цагт x = 1бидэнд байгаа 1 = 3А.

Тиймээс,

Жишээ 3.

г) эхлээд бид хэсэгчилсэн утгын аргыг ашигладаг.

Болъё x = 0, Дараа нь 1 = А 1, A = 1.

At x = - 1бидэнд байгаа - 1+4+2+1 = - B(1+1+1)эсвэл 6 = - 3V, B = - 2.

C ба D коэффициентийг олохын тулд та өөр хоёр тэгшитгэл үүсгэх хэрэгтэй. Үүний тулд та өөр ямар ч утгыг авч болно X, Жишээлбэл x = 1Тэгээд x = 2. Та эхний аргыг ашиглаж болно, i.e. ижил чадлын хувьд коэффициентийг тэнцүүлэх X, жишээ нь хэзээ Тэгээд . Бид авдаг

1 = A+B+C ба 4 = С +Д- IN.

Мэдэх A = 1, B = -2, бид олох болно C = 2, Д = 0 .

Тиймээс коэффициентийг тооцоолохдоо хоёр аргыг хослуулж болно.

Сүүлийн интеграл шинэ хувьсагчийг тодорхойлох аргад заасан дүрмийн дагуу бид тусад нь олдог. Онцолж хэлье төгс дөрвөлжинхуваарьт:

гэж хэлье
Дараа нь
Бид авах:

=

Өмнөх тэгш байдлыг орлуулснаар бид олдог

Жишээ 4.

Хай

б)

г)

Интеграцчилснаар бидэнд:

Эхний интегралыг III томьёо руу хөрвүүлье.

Хоёр дахь интегралыг томъёо II болгон хувиргацгаая.

Гурав дахь интегралд бид хувьсагчийг орлуулна:

(Өөрчлөлтийг хийхдээ бид тригонометрийн томъёог ашигласан

Интегралуудыг ол:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Өөрийгөө шалгах асуултууд.

Эдгээр рационал бутархайн аль нь зөв вэ:

2. Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах диаграмм зөв бичигдсэн үү?

Энд бид толилуулж байна нарийвчилсан шийдлүүдДараах рационал бутархайг нэгтгэх гурван жишээ:
, , .

Жишээ 1

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Энд интеграл тэмдгийн дор оновчтой функц байдаг, учир нь интегралолон гишүүнтийн бутархай юм. хуваагч олон гишүүнт зэрэг ( 3 ) нь тоологч олон гишүүнтийн зэргээс бага ( 4 ). Тиймээс эхлээд та бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй.

1. Бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгоцгооё. x хуваах 4 х 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Эндээс
.

2. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та куб тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x =-г орлуулъя 1 :
.

1 . x-д хуваах - 1 :

Эндээс
.
Шийдье квадрат тэгшитгэл.
.
Тэгшитгэлийн үндэс нь: , .
Дараа нь
.

3. Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая.

.

Тиймээс бид олсон:
.
Интеграцид орцгооё.

Хариулах

Жишээ 2

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Энд бутархайн тоологч нь тэг зэрэгтэй олон гишүүнт ( 1 = x 0). Хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт юм. Учир нь 0 < 3 , тэгвэл бутархай зөв байна. Энгийн бутархай болгон задалъя.

1. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Энэ нь ядаж нэг байгаа гэж бодъё бүх үндэс. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 3 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын аль нэг байж болно:
1, 3, -1, -3 .
x =-г орлуулъя 1 :
.

Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо 1 . x хуваах 3 + 2 x - 3 x дээр - 1 :

Тэгэхээр,
.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:
x 2 + x + 3 = 0.
Ялгаварлагчийг ол: D = 1 2 - 4 3 = -11. Түүнээс хойш Д< 0 , тэгвэл тэгшитгэл бодит үндэсгүй болно. Тиймээс бид хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг олж авлаа.
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
x =-г орлуулъя 1 . Дараа нь x - 1 = 0 ,
.

Орлуулж орцгооё (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

-тэй тэнцүүлье (2.1) x-ийн коэффициентүүд 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Интеграцид орцгооё.
(2.2) .
Хоёрдахь интегралыг тооцоолохын тулд бид хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт сонгож, хуваагчийг квадратуудын нийлбэр болгон бууруулна.

;
;
.

Тооцоол I 2 .


.
x тэгшитгэлээс хойш 2 + x + 3 = 0жинхэнэ үндэс байхгүй бол x 2 + x + 3 > 0. Тиймээс модулийн тэмдгийг орхиж болно.

Бид хүргэж өгнө (2.2) :
.

Хариулах

Жишээ 3

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Энд интеграл тэмдгийн дор олон гишүүнтийн хэсэг байна. Тиймээс интеграл нь рационал функц юм. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна 3 . Бутархайн хуваагчийн олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна 4 . Учир нь 3 < 4 , тэгвэл бутархай зөв байна. Тиймээс үүнийг энгийн бутархай хэсгүүдэд задалж болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй.

1. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын аль нэг байж болно:
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо -1 . x-д хуваах - (-1) = x + 1:


Тэгэхээр,
.

Одоо бид гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг бүхэл язгууртай гэж үзвэл энэ нь тооны хуваагч болно. 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын аль нэг байж болно:
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

Тиймээс бид өөр нэг язгуурыг олсон x = -1 . Өмнөх тохиолдлын адил олон гишүүнтийг хуваах боломжтой боловч бид нэр томъёог бүлэглэх болно.
.

x тэгшитгэлээс хойш 2 + 2 = 0 бодит үндэс байхгүй бол хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг авна.
.

2. Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая. Бид дараах хэлбэрээр өргөтгөл хайж байна:
.
Бид бутархайн хуваагчаас салж, үржүүлнэ (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
x =-г орлуулъя -1 . Дараа нь x + 1 = 0 ,
.

Ялгаж үзье (3.1) :

;

.
x =-г орлуулъя -1 мөн x + гэдгийг анхаарч үзээрэй 1 = 0 :
;
; .

Орлуулж орцгооё (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

-тэй тэнцүүлье (3.1) x-ийн коэффициентүүд 3 :
;
1 = B + C;
.

Тиймээс бид энгийн бутархай хэсгүүдэд задралыг олсон:
.

3. Интеграцид орцгооё.


.

Бутархай-рационал функцийн интеграл.
Арга тодорхойгүй коэффициентүүд

Бид бутархайг нэгтгэх ажлыг үргэлжлүүлж байна. Хичээл дээр бид зарим төрлийн бутархайн интегралуудыг аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд энэ хичээлийг тодорхой утгаараа үргэлжлэл гэж үзэж болно. Материалыг амжилттай ойлгохын тулд интеграцийн үндсэн ур чадвар шаардагддаг тул хэрэв та интегралыг дөнгөж судалж эхэлсэн, өөрөөр хэлбэл та анхлан суралцагч бол нийтлэлээс эхлэх хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ.

Хачирхалтай нь, одоо бид интеграл олох биш, харин ... системийг шийдэх ажилд оролцох болно. шугаман тэгшитгэл. Энэ талаар яаралтайБи хичээлд оролцохыг зөвлөж байна, тухайлбал, та орлуулах аргуудыг ("сургуулийн" арга, системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх (хасах) арга) эзэмшсэн байх хэрэгтэй.

Бутархай рационал функц гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, бутархай-рационал функц нь тоологч болон хуваагч нь олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулсан бутархай юм. Түүнээс гадна, фракцууд нь нийтлэлд хэлэлцсэнээс илүү боловсронгуй байдаг Зарим бутархайг нэгтгэх.

Зөв бутархай-рационал функцийг нэгтгэх

Шууд жишээ болон стандарт алгоритмбутархай рационал функцийн интегралын шийдлүүд.

Жишээ 1

1-р алхам.Бутархай рационал функцийн интегралыг шийдэхдээ бидний ҮРГЭЛЖ хийдэг хамгийн эхний зүйл бол үүнийг олох явдал юм. дараагийн асуулт: бутархай зөв үү? Энэ алхамамаар хийдэг бөгөөд одоо би хэрхэн яаж тайлбарлах болно:

Эхлээд бид тоологчийг хараад олж мэдье ахлах зэрэголон гишүүнт:

Тоолуурын тэргүүлэх хүч нь хоёр юм.

Одоо бид хуваагчийг хараад олж мэдье ахлах зэрэгхуваагч. Мэдээжийн хэрэг бол хаалтуудыг онгойлгож, авчрах явдал юм ижил төстэй нэр томъёо, гэхдээ та үүнийг илүү хялбар хийж чадна тус бүрхаалт доторх хамгийн дээд зэргийг ол

ба оюун ухаанаар үржүүлбэл: - ингээд хуваагчийн дээд зэрэг нь гуравтай тэнцүү байна. Үнэхээр хаалтаа нээвэл гурваас дээш зэрэг авахгүй нь ойлгомжтой.

Дүгнэлт: Тоолуурын үндсэн зэрэг ХАТУУнь хувагчийн хамгийн дээд хүчнээс бага бөгөөд энэ нь бутархай зөв байна гэсэн үг.

Хэрэв орвол энэ жишээндтоологч нь олон гишүүнт 3, 4, 5 гэх мэтийг агуулж байв. градус, дараа нь бутархай байх болно буруу.

Одоо бид зөвхөн зөв бутархай оновчтой функцуудыг авч үзэх болно. Хичээлийн төгсгөлд тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх тохиолдлыг авч үзэх болно.

Алхам 2.Хусагчийг үржвэр болгоё. Бидний хуваагчийг харцгаая:

Ерөнхийдөө энэ нь аль хэдийн хүчин зүйлийн үр дүн юм, гэхдээ бид өөрөөсөө өөр зүйлийг өргөжүүлэх боломжтой юу? Эрүү шүүлтийн объект нь дөрвөлжин гурвалжин байх нь дамжиггүй. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

Ялгаварлан гадуурхагч Тэгээс дээш, энэ нь гурвалсан гишүүнийг үнэхээр үржвэрлэх боломжтой гэсэн үг юм:

Ерөнхий дүрэм: Хуваарьт хамааруулж болох БҮХ ЗҮЙЛ - бид үүнийг тооцдог

Шийдлийг боловсруулж эхэлцгээе:

Алхам 3.Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн (элементар) бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлдэг. Одоо илүү тодорхой болно.

Интеграл функцээ харцгаая:

Тэгээд, та нар мэдэж байгаа, ямар нэг байдлаар зөн совингийн бодол гарч ирэх нь бидний байх нь сайхан байх болно том хэсэгхэд хэдэн жижиг болж хувирна. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Асуулт гарч ирнэ, үүнийг хийх боломжтой юу? Харгалзах теоремыг тайвширцгаая математик шинжилгээбаталж байна - БОЛОМЖТОЙ. Ийм задрал байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.

Ганцхан барьдаг, магадлал өндөр БаяртайБид мэдэхгүй тул нэр нь тодорхойгүй коэффициентийн арга юм.

Таны таамаглаж байсанчлан биеийн дараачийн хөдөлгөөнүүд ийм байна, битгий хашгир! тэднийг зүгээр л таних - тэд юутай тэнцүү болохыг олж мэдэхэд чиглэгдэх болно.

Болгоомжтой байгаарай, би зөвхөн нэг удаа дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно!

Ингээд бүжиглэж эхэлцгээе:

Зүүн талд бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Одоо бид хуваагчаас найдвартай салж чадна (учир нь тэдгээр нь адилхан):

Зүүн талд бид хаалтуудыг нээдэг, гэхдээ одоогоор үл мэдэгдэх коэффициентүүдэд хүрч болохгүй.

Үүний зэрэгцээ бид олон гишүүнтийг үржүүлэх сургуулийн дүрмийг давтана. Би багш байхдаа энэ дүрмийг шулуун царайгаар хэлж сурсан. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлэх шаардлагатай..

Үзэл бодлоор ойлгомжтой тайлбарКоэффицентүүдийг хаалтанд оруулах нь дээр (хэдийгээр би хувьдаа цаг хэмнэхийн тулд үүнийг хэзээ ч хийдэггүй):

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Эхлээд бид ахлах зэрэг хайж байна:

Системийн эхний тэгшитгэлд бид холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ.

Дараахь зүйлийг сайн санаарай. Баруун талд нь огт s байхгүй бол юу болох байсан бэ? Ямар ч дөрвөлжингүйгээр зүгээр л шоудах байсан гэж бодъё? Энэ тохиолдолд системийн тэгшитгэлийн баруун талд тэг тавих шаардлагатай болно: . Яагаад тэг гэж? Гэхдээ баруун талд та үргэлж тэгтэй ижил квадратыг оноож болно: Хэрэв баруун талд хувьсагч байхгүй бол ба/эсвэл чөлөөт гишүүн, дараа нь бид системийн харгалзах тэгшитгэлийн баруун гар талд тэгүүдийг тавьдаг.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ.

Эцэст нь, рашаан, бид чөлөөт гишүүдийг сонгодог.

Аан... Би нэг ёсондоо тоглоом хийсэн юм. Хошигнолоос гадна математик бол ноцтой шинжлэх ухаан юм. Манай хүрээлэнгийн бүлэгт туслах профессор нэр томъёонуудыг тооны шулуунаар тарааж, томыг нь сонгоно гэж хэлэхэд хэн ч инээгээгүй. Нухацтай ярилцъя. Хэдийгээр... энэ хичээлийн төгсгөлийг харах хүртэл амьдарсан хүн чимээгүйхэн инээмсэглэсээр байх болно.

Систем бэлэн байна:

Бид системийг шийддэг:

(1) Эхний тэгшитгэлээс бид үүнийг илэрхийлж, системийн 2, 3-р тэгшитгэлд орлуулна. Үнэн хэрэгтээ өөр тэгшитгэлээс (эсвэл өөр үсэг) илэрхийлэх боломжтой байсан, гэхдээ дотор энэ тохиолдолд 1-р тэгшитгэлээс яг тодорхой илэрхийлэх нь давуу талтай хамгийн бага магадлал.

(2) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

(3) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмж, тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс дараахь зүйлийг гаргана.

(4) Бид үүнийг олж мэдсэн хоёр дахь (эсвэл гурав дахь) тэгшитгэлд орлуулдаг

(5) Орлуулж эхний тэгшитгэлд оруулаад .

Хэрэв танд системийг шийдвэрлэх арга барилд бэрхшээл тулгарвал ангид дадлага хий. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Системийг шийдсэний дараа шалгах нь үргэлж хэрэгтэй байдаг - олсон утгыг орлуулах бүрсистемийн тэгшитгэлийн үр дүнд бүх зүйл "нийсэх" ёстой.

Бараг тэнд. Коэффициенттер олдсон ба:

Дууссан ажил нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Таны харж байгаагаар даалгаврын гол бэрхшээл нь шугаман тэгшитгэлийн системийг зохиох (зөв!) ба шийдвэрлэх (зөв!) байв. Эцсийн шатанд бүх зүйл тийм ч хэцүү биш: бид шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг тодорхойгүй интегралболон нэгтгэх. Гурван интеграл бүрийн доор бид "үнэгүй" байгааг анхаарна уу. нарийн төвөгтэй функц, Би ангидаа түүнийг нэгтгэх онцлогуудын талаар ярьсан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Шалгах: Хариултыг ялгана уу:

Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.
Баталгаажуулах явцад бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Тодорхойгүй коэффициентийн арга ба илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах арга нь харилцан урвуу үйлдэл юм.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Эхний жишээнээс бутархай руу буцъя: . Хуваарьт бүх хүчин зүйлүүд ӨӨР БАЙДГИЙГ анзаарахад хялбар байдаг. Жишээлбэл, дараах фракцыг өгвөл яах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. ? Энд бид хуваагчийн зэрэгтэй, эсвэл математикийн хувьд, олон тоо. Нэмж дурдахад хүчин зүйлээр ангилагдах боломжгүй квадрат гурвалсан тоо байдаг (тэгшитгэлийн ялгаварлагчийг шалгахад хялбар байдаг) сөрөг байна, тиймээс гурвалсан тоог үржвэрлэх боломжгүй). Юу хийх вэ? Энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөтгөх нь иймэрхүү харагдах болно дээд талд нь үл мэдэгдэх коэффициенттэй эсвэл өөр зүйлтэй юу?

Жишээ 3

Функцийг танилцуулна уу

1-р алхам.Бидэнд тохирох бутархай байгаа эсэхийг шалгаж байна
Гол тоологч: 2
Хуваагчийн дээд зэрэг: 8
, энэ нь бутархай зөв гэсэн үг.

Алхам 2.Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулах боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг үгүй, бүх зүйл аль хэдийн тавигдсан. Дөрвөлжин гурвалжиндээр дурдсан шалтгааны улмаас бүтээл болж задардаггүй. Бүрээс. Ажил багатай.

Алхам 3.Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр гэж төсөөлье.
Энэ тохиолдолд өргөтгөл нь дараах хэлбэртэй байна.

Бидний хуваагчийг харцгаая:
Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахдаа гурван үндсэн цэгийг ялгаж салгаж болно.

1) Хэрэв хуваагч нь эхний зэрэглэлд "ганцаардсан" хүчин зүйлийг агуулж байвал (бидний тохиолдолд) дээд талд нь тодорхойгүй коэффициент тавьдаг (манай тохиолдолд). 1, 2-р жишээнүүд зөвхөн ийм “ганцаардсан” хүчин зүйлсээс бүрдсэн.

2) Хэрэв хуваагч байгаа бол олонүржүүлэгч бол та үүнийг дараах байдлаар задлах хэрэгтэй.
- өөрөөр хэлбэл, "X"-ийн бүх зэрэглэлийг нэгдүгээр зэрэглэлээс n-р зэрэг хүртэл дараалан давна. Бидний жишээн дээр хоёр олон хүчин зүйл байна: мөн , миний өгсөн өргөтгөлийг дахин харж, тэдгээрийг яг энэ дүрмийн дагуу өргөжүүлсэн эсэхийг шалгаарай.

3) Хэрэв хуваагч нь хоёрдугаар зэргийн задрах боломжгүй олон гишүүнийг агуулж байвал (манай тохиолдолд) тоологчийг задлахдаа та бичих хэрэгтэй. шугаман функцтодорхойгүй коэффициенттэй (бидний тохиолдолд тодорхойгүй коэффициент ба ).

Үнэндээ өөр 4-р тохиолдол бий, гэхдээ практик дээр энэ нь маш ховор тохиолддог тул би энэ талаар чимээгүй байх болно.

Жишээ 4

Функцийг танилцуулна уу үл мэдэгдэх коэффициенттэй энгийн бутархайн нийлбэр.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.
Алгоритмыг чанд дагаж мөрдөөрэй!

Хэрэв та бутархай-рационал функцийг нийлбэр болгон өргөжүүлэх зарчмуудыг ойлгож байгаа бол авч үзэж буй төрлийн бараг бүх интегралыг зажилж болно.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

1-р алхам.Мэдээжийн хэрэг, бутархай зөв:

Алхам 2.Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулах боломжтой юу? Чадах. Энд кубуудын нийлбэр байна . Товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хуваагчийг хүчин зүйлээр тооц

Алхам 3.Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ.

Олон гишүүнтийг үржүүлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу (дискриминант сөрөг эсэхийг шалгана уу), тиймээс дээд талд нь зөвхөн нэг үсэг биш харин үл мэдэгдэх коэффициент бүхий шугаман функцийг тавьдаг.

Бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг:

Системийг зохиож, шийдье:

(1) Бид эхний тэгшитгэлээс илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна (энэ бол хамгийн оновчтой арга юм).

(2) Бид хоёр дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

(3) Бид системийн гишүүний хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмдэг.

Систем нь энгийн тул цаашдын бүх тооцоо нь зарчмын хувьд аман байна.

(1) Бид олсон коэффициентүүдийн дагуу бутархайн нийлбэрийг бичнэ.

(2) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Хоёр дахь интегралд юу болсон бэ? Та хичээлийн сүүлийн догол мөрөнд энэ аргатай танилцаж болно. Зарим бутархайг нэгтгэх.

(3) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг дахин ашигладаг. Гурав дахь интеграл дээр бид бүтэн квадратыг тусгаарлаж эхэлдэг (хичээлийн төгсгөлийн догол мөр Зарим бутархайг нэгтгэх).

(4) Бид хоёр дахь интегралыг авч, гуравдугаарт бид бүтэн квадратыг сонгоно.

(5) Гурав дахь интегралыг ав. Бэлэн.

СЭДЭВ: Рационал бутархайн интегралчлал.

Анхаар! Интегралчлалын үндсэн аргуудын нэг болох рационал бутархайн интеграцийг судлахдаа нарийн нотолгоо хийхийн тулд цогц муж дахь олон гишүүнтүүдийг авч үзэх шаардлагатай. Тиймээс зайлшгүй шаардлагатай урьдчилан судлах зарим шинж чанарууд нийлмэл тооболон тэдгээрт хийсэн үйл ажиллагаа.

Энгийн рационал бутархайн интеграл.

Хэрэв П(z) Тэгээд Q(z) Эдгээр нь нийлмэл мужид олон гишүүнт байвал рационал бутархай болно. гэж нэрлэдэг зөв, хэрвээ зэрэг П(z) бага зэрэг Q(z) , Мөн буруу, хэрвээ зэрэг Р зэрэгээс багагүй Q.

би үүнд дуртай буруу бутархайдараах байдлаар төлөөлж болно. ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

а Р(z) – зэрэг нь градусаас бага олон гишүүнт Q(z).

Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь зөв бутархай учраас олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл хүчний функц, зөв ​​бутархайн интегралд ордог.

Тодорхойлолт 5. Хамгийн энгийн (эсвэл энгийн) бутархай нь дараах төрлийн бутархай байна.

1) , 2) , 3) , 4) .

Тэд хэрхэн нэгтгэж байгааг олж мэдье.

3) (өмнө нь судалж байсан).

Теорем 5. Зөв бутархай бүрийг энгийн бутархайн нийлбэрээр (баталгаагүй) төлөөлж болно.

Дүгнэлт 1. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн бодит язгуурууд байгаа бол бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 1-р төрлийн энгийн бутархайнууд л байх болно.

Жишээ 1.

Дүгнэлт 2. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгуур дунд зөвхөн олон бодит язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 1 ба 2-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно. :

Жишээ 2.

Дүгнэлт 3. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн нийлмэл нийлмэл язгуурууд байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 3-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно.

Жишээ 3.

Дүгнэлт 4. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгуур дунд зөвхөн олон нийлмэл нийлмэл язгуур байгаа бол бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахад 3 ба 4-р бутархай л байх болно. төрөл:

Өгөгдсөн өргөтгөлийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлохын тулд дараах байдлаар ажиллана. Үл мэдэгдэх коэффициент агуулсан өргөтгөлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлэв Хоёр олон гишүүнтийн тэгш байдал үүснэ. Үүнээс шаардлагатай коэффициентүүдийн тэгшитгэлийг дараахь байдлаар авна.

1. тэгш байдал нь X-ийн аль ч утгын хувьд үнэн (хэсэгчилсэн утгын арга). Энэ тохиолдолд дурын тооны тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд тэдгээрийн аль ч m нь үл мэдэгдэх коэффициентийг олох боломжийг олгодог.

2. коэффициентүүд нь X-ийн ижил зэрэгтэй давхцдаг (тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга). Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг олдог m - үл мэдэгдэх m - тэгшитгэлийн системийг олж авна.

3. хосолсон арга.

Жишээ 5. Бутархайг томруулна уу хамгийн энгийн рүү.

Шийдэл:

А ба В коэффициентийг олъё.

Арга 1 - хувийн үнэ цэнийн арга:

Арга 2 - тодорхойгүй коэффициентийн арга:

Хариулт:

Рационал бутархайг нэгтгэх.

Теорем 6. Аль ч рационал бутархайн хуваагч нь байхгүй аль ч интервал дээрх тодорхойгүй интеграл тэгтэй тэнцүү, байдаг ба рационал бутархай, логарифм, артангенс гэх мэт энгийн функцээр илэрхийлэгддэг.

Баталгаа.

Рационал бутархайг дараах хэлбэрээр төсөөлье. . Энэ тохиолдолд сүүлийн гишүүн нь зөв бутархай байх ба 5-р теоремын дагуу энгийн бутархайн шугаман хослолоор төлөөлүүлж болно. Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь олон гишүүнтийн интеграл болж буурдаг С(x) ба энгийн бутархай, тэдгээрийн эсрэг деривативууд нь теоремд заасан хэлбэртэй байна.

Сэтгэгдэл. Энэ тохиолдолд гол бэрхшээл бол хуваагчийг хүчин зүйл болгон задлах, өөрөөр хэлбэл түүний бүх үндсийг хайх явдал юм.

Жишээ 1. Интегралыг ол

Рационал функцүүдийн интеграл Бутархай - рационал функц Хамгийн энгийн рационал бутархай Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Энгийн бутархай интегралчлал Рационал бутархайг нэгтгэх ерөнхий дүрэм

зэрэгтэй олон гишүүнт n. Бутархай-рационал функц Бутархай-рационал функц нь функц юм харьцаатай тэнцүү байнахоёр олон гишүүнт: Хэрэв тоологчийн зэрэг нь хувагчийн зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл m-ээс бага бол рационал бутархайг зөв гэж нэрлэдэг.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Бутархай - оновчтой функц Бутархай бутархайг багасгах зөв төрөл: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x2x 32x

Хамгийн энгийн рационал бутархай Хэлбэрийн зөв рационал бутархай: Тэдгээрийг төрлийн хамгийн энгийн рационал бутархай гэнэ. сүх А); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Теорем: Хуваарагч нь үржвэрлэгдсэн аливаа зөв рационал бутархайг: түүгээр ч барахгүй энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Теоремын томъёололыг тайлбарлая дараах жишээнүүд: Тодорхой бус A, B, C, D... коэффициентүүдийг олохын тулд коэффициентийг харьцуулах арга ба хэсэгчилсэн хувьсагчийн утгын арга гэсэн хоёр аргыг хэрэглэнэ. Жишээ ашиглан эхний аргыг авч үзье. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ: Хамгийн энгийн бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгоё Үр дүн болон анхны бутархайн тоог тэнцүүлэх Ижил зэрэглэлийн коэффициентүүдийг тэнцүүлэх x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Хамгийн энгийн бутархайн интеграл Хамгийн энгийн рационал бутархайн интегралыг олцгооё: 3-р төрлийн бутархайн интегралыг жишээгээр авч үзье. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Энгийн бутархайн интеграл dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t t 9 23 2 9t 3) 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Энгийн бутархайн интеграл Интеграл энэ төрлийнорлуулалтыг ашиглан: хоёр интегралын нийлбэр болгон бууруулсан: Эхний интегралыг дифференциал тэмдгийн дор t-г оруулан тооцно. Хоёр дахь интегралыг давтагдах томьёог ашиглан тооцоолно: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt)

Энгийн бутархайн интеграл a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332ct 2 t ) ) (4)1(

Рационал бутархайг нэгтгэх ерөнхий дүрэм Хэрэв бутархай нь буруу бол олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Зөв оновчтой бутархайн хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахдаа тодорхой бус коэффициент бүхий энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Олон гишүүнт болон үүссэн энгийн бутархайн нийлбэрийг нэгтгэ.

Жишээ Бутархайг зөв хэлбэрт оруулъя. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx2 2 xx2 5 05 23 48 2 x x

Жишээ: Зөв бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлье. Тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг ххх хх 23 2 2 48 2 2)1(48 хх хх 2) хувьсагчийн хэсэгчилсэн утгын аргаар олъё. )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx хх 23 2 2 48 2)1(3 1 124 хх

Жишээ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln