Дискрет хоёр хэмжээст Фурье хувиргалт c. Дискрет Фурье хувиргалт (DFT)

Энэ бол дижитал дохио боловсруулах алгоритмд өргөн хэрэглэгддэг Фурье хувиргалтын нэг юм (түүний өөрчлөлтийг MP3 форматаар аудио шахалт, JPEG форматаар дүрсийг шахах гэх мэт), мөн дискрет давтамжийн шинжилгээтэй холбоотой бусад салбарт ашигладаг. жишээ нь дижитал аналог ) дохио. Дискрет Фурье хувиргалтыг оролт болгон шаарддаг дискрет функц. Ийм функцийг ихэвчлэн түүвэрлэлт (үргэлжилсэн функцүүдээс түүврийн утгууд) үүсгэдэг. Дискрет Фурье хувиргалт нь хэсэгчилсэн асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг дифференциал тэгшитгэлэргэлдэх зэрэг үйлдлүүдийг хийнэ. Дискрет Фурье хувиргалтыг мөн статистик, цаг хугацааны цувааны шинжилгээнд идэвхтэй ашигладаг. Өөрчлөлт нь нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст, бүр гурван хэмжээст байж болно.

Шууд хөрвүүлэлт:

Урвуу хөрвүүлэлт:

Тэмдэглэл:

§ Н- тодорхой хугацааны туршид хэмжсэн дохионы утгуудын тоо, түүнчлэн задралын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоо;

§ - хэмжсэн дохионы утгууд (оролтын өгөгдөл болох тоонууд бүхий салангид цаг хугацааны цэгүүд шууд хувиргахбуцаж ирэх амралтын өдрүүд;

§ - Нанхны дохиог бүрдүүлдэг синусоид дохионы цогц далайц; шууд хөрвүүлэх гаралтын өгөгдөл, урвуу хөрвүүлэхэд оруулах өгөгдөл; далайц нь нарийн төвөгтэй тул тэдгээрээс далайц ба фазын аль алиныг нь тооцоолох боломжтой;

§ - kth синусоид дохионы ердийн (бодит) далайц;

§ arg( Xk) - kth синусоид дохионы үе шат (комплекс тооны аргумент);

§ к- k-р дохионы давтамж, -тэй тэнцүү, хаана Т- оролтын өгөгдлийг авсан хугацаа.

Сүүлийнхээс харахад өөрчлөлт нь дохиог нэг үе дэх N хэлбэлзлээс нэг хэлбэлзэл хүртэлх давтамжтай синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (гармоник гэж нэрлэдэг) задалдаг нь тодорхой байна. Дээж авах давтамж нь нэг үе дэх N дээжтэй тэнцүү байдаг тул өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг зөв харуулах боломжгүй - муар эффект үүсдэг. Энэ нь N цогц далайцын хоёр дахь хагас нь үнэн хэрэгтээ эхнийх нь толин тусгал дүрс бөгөөд нэмэлт мэдээлэл агуулдаггүй болохыг харуулж байна.

Зарим үечилсэн дохиог авч үзье x(т) Т-тэй тэнцүү үетэй. Үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Нэг үе тутамд N дээж байхаар дохионы дээж авч үзье. Дискрет дохиог дээж хэлбэрээр илэрхийлье. x n = x(тн), энд , дараа нь Фурье цувралын эдгээр уншилтыг дараах байдлаар бичнэ.

Харьцааг ашигласнаар бид:

Хаана

Тиймээс бид авсан урвуу дискрет Фурье хувиргалт.

Одоо илэрхийллийг скаляраар үржүүлцгээе x nасаалттай бөгөөд бид дараахь зүйлийг авна.

Энд бид дараахь зүйлийг ашигладаг: a) хязгаарлагдмал тооны нэр томъёоны нийлбэрийн илэрхийлэл (дэлгэц) геометрийн прогресс, ба b) Эйлерийн функцуудын харьцааны хязгаар болох Кронекер тэмдгийн илэрхийлэл. нийлмэл тоо. Үүнээс үзэхэд:

Энэ томъёог тайлбарлав шууд дискрет Фурье хувиргалт.

Уран зохиолд үржүүлэгчийг урвуу хувиргалтаар бичих нь заншилтай байдаг тул хувиргах томъёог ихэвчлэн дараах хэлбэрээр бичдэг.

Дискрет Фурье хувирал нь шугаман хувиргалт, энэ нь цаг хугацааны дээжийн векторыг ижил урттай спектрийн дээжийн вектор болгон хувиргадаг. Тиймээс хувиргалтыг үржүүлэх хэлбэрээр хэрэгжүүлж болно квадрат матрицвектор руу:

Фурье хувиргалт

Фурье хувиргалтыг ашиглах үед зургийг цогцолборын нийлбэр хэлбэрээр дүрсэлдэг экспоненциал функцууддалайц, давтамж, фазын хувьсагч. Фурье хувиргалт маш их тоглодог чухал үүрэгсайжруулах, дүн шинжилгээ хийх, сэргээх, шахах зэрэг дүрс боловсруулах олон салбарт.

1. Фурье хувирлын үндсэн тодорхойлолтууд
2. Дискрет Фурье хувиргалт, үүнд хурдан Фурье хувиргалт орно
3. Фурье хувиргалтын хэрэглээ (Фурье хувиргалтын практик хэрэглээний зарим жишээ)

Фурье хувирлын үндсэн тодорхойлолтууд

Хэрэв ƒ(м,н)нь m ба n хоёр салангид орон зайн хувьсагчийн функц юм, тэгвэл хоёр хэмжээст хувиргалтФурье функцууд ƒ(м,н)дараах илэрхийллээр илэрхийлж болно

Хувьсагч нь өнцгийн давтамж юм. Тиймээс функцийг илэрхийлдэг ƒ(м,н)давтамжийн мужид. харгалзах давтамжтай нийлмэл утгатай функц юм. Давтамжууд нь , . Үүнийг анхаарна уу Ф(0,0) нь бүх хувьсагчийн нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ ƒ(м,н). Энэ шалтгааны улмаас Ф(0,0) нь ихэвчлэн Фурье хувирлын тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэгддэг.

Урвуу хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг илэрхийллээр илэрхийлнэ

Тэдгээр. энэ илэрхийлэл илэрхийлнэ ƒ(м,н)нийлбэр байдлаар хязгааргүй тооянз бүрийн давтамжтай нийлмэл экспоненциал функцууд (синус долгионууд). Далайц ба фаз нь давтамжийн дүрслэлд оруулах хувь нэмрийг тодорхойлдог.

Фурье хувирлын дүрслэл

Фурье хувиргалтыг харуулахдаа функц гэж үзье ƒ(м,н) 1-тэй тэнцүү бөгөөд тэгш өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгдсэн байна. Диаграммыг хялбарчлахын тулд функц ƒ(м,н)хоёр салангид хувьсагчийн тасралтгүй функцээр дүрслэгдэх болно мТэгээд n.

Тэгш өнцөгт функц

Доорх зураг нь торон функцийг ашиглан Фурье хувиргалтаас олж авсан далайцын утгыг дүрслэн харуулав. тэгш өнцөгт функцөмнөх зурагт үзүүлэв. Далайн дүрслэлийг Фурье хувиргах дүрслэл гэж бас нэрлэдэг.

Тэгш өнцөгт функцийн зургийн далайц

Функцийн оргил цэг нь төвд байх ба утгыг харуулна Ф(0,0), энэ нь бүх утгуудын нийлбэр юм ƒ(м,н). Бусад бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь босоо болон хэвтээ давтамжийн дагуу эрчим хүчний хуваарилалтыг илэрхийлдэг.

Фурье хувиргалтыг дүрслэх өөр нэг арга бол утгыг дүрс хэлбэрээр харуулах явдал юм.

Тэгш өнцөгт функцийн Фурье хувиргалтын логарифм дүрслэл

Төрөл бүрийн энгийн хэлбэрийн функцүүдийн Фурье хувиргалтын жишээг харцгаая.

Төрөл бүрийн энгийн хэлбэрийн функцүүдийн Фурье хувиргалтын жишээ

Дискрет косинусын хувиргалт

Дискрет косинусын хувиргалт нь дүрсийг өөр өөр далайц, давтамжтай синусоидуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлдэг. Image програмын dct2 функц Боловсруулах хэрэгслийн хайрцагзургийн хоёр хэмжээст дискрет косинусын хувиргалтыг хэрэгжүүлдэг. Дискрет Фурье хувиргалтын нэг онцлог нь зарим нь юм орон нутгийн бүс нутагдүрсийг тодорхойлж болно бага хэмжээнийдискрет Фурье хувиргах коэффициентууд. Энэ өмчийг зураг шахах аргыг боловсруулахад ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, дискрет косинусын хувиргалт нь JPEG алдагдалтай дүрсийг шахах алгоритмд хэрэглэгддэг олон улсын стандартын үндэс суурь юм. "JPEG" форматын нэр нь нэрний эхний үсгүүдээс бүрдэнэ ажлын хэсэг, энэ стандартыг боловсруулахад оролцсон (Нэгдсэн гэрэл зургийн мэргэжилтнүүдийн групп).

Хоёр хэмжээст дискрет косинусын матрицын хувиргалт Ахэмжээсийг дараах илэрхийллийн дагуу хэрэгжүүлнэ

Үнэ цэнэ Bpqматрицын дискрет косинусын хувиргалтын коэффициентууд гэж нэрлэдэг А.

(MATLAB дахь матрицын индексүүд 0 биш үргэлж 1-ээс эхэлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс MATLAB-д A(1,1) ба B(1,1) хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн матрицын элементүүд нь элементүүдтэй тохирно. 00Тэгээд B00Дээрх томъёоноос.)

Урвуу дискрет косинусын хувиргалтыг илэрхийллийн дагуу хэрэгжүүлнэ

Урвуу дискрет косинусын хувиргалт илэрхийллийг матрицын дүрслэл гэж тайлбарлаж болно Ахэмжээсүүд нь дараах функцүүдийн нийлбэр юм

Эдгээр функцуудыг салангид косинусын хувиргалтын үндсэн (үндсэн) функцууд гэж нэрлэдэг. Дискрет косинусын хувиргах коэффициент Bpqүндсэн функц бүрийн жин гэж үзэж болно. Жишээлбэл, элементийн хэмжээтэй матрицын хувьд 64 байна үндсэн функцууд, энэ нь зураг дээр харагдаж байна.

Элементийн хэмжээтэй матрицын хувьд олж авсан 64 үндсэн функц

Хэвтээ давтамж зүүнээс баруун тийш, босоо давтамж нь дээрээс доош нэмэгддэг.

Дискрет косинус хувиргах матриц

Өргөдөл Зураг боловсруулах Toolbox нь хоёрыг санал болгодог янз бүрийн арга замууддискрет косинусын хувиргалтыг хэрэгжүүлэх. Эхний арга нь dct2 функцэд хэрэгждэг. dct2 функцийг ашигладаг хурдан хувиргахТооцооллыг хурдасгахад зориулсан Фурье. Хоёрдахь арга нь dctmtx функцээр буцаж ирдэг дискрет косинус хувиргах матрицыг ашигладаг. Т хувиргах матрицыг дараах илэрхийллийн дагуу үүсгэнэ

Матрицын хувьд Ахэмжээсүүд нь хэмжээс бүхий матриц бөгөөд багана бүр нь нэг хэмжээст дискрет косинусын хувиргалтыг агуулдаг. А. Хоёр хэмжээст дискрет косинусын хувиргалт Агэж тооцсон B=T*A*T’. Урвуу хоёр хэмжээст дискрет косинусын хувиргалт Бгэж тооцсон T'*B*T.

Дискрет косинусын хувиргалт ба дүрс шахалт

JPEG дүрсийг шахах алгоритмд анхны зургийг хэмжээс эсвэл элементийн блокуудад хуваадаг. Дараа нь блок бүрийн хувьд хоёр хэмжээст дискрет косинусын хувиргалтыг тооцоолно. Дискрет косинусын хувиргалтын коэффициентийг квантчилж, кодчилж, дамжуулдаг. JPEG хүлээн авагч нь салангид косинусын хувиргалтын коэффициентийг тайлж, блок бүр дэх урвуу 2D дискрет косинусын хувиргалтыг тооцоолж, дараа нь тэдгээрийг нэг зураг болгон холбодог.

Анхны зургийн элементүүдийн хэмжээтэй блокоор хоёр хэмжээст дискрет косинусын хувиргалтыг тооцоолох жишээг авч үзье. Цаашилбал, зургийг дахин бүтээхдээ бид блок бүрээс зөвхөн 10 коэффициентийг харгалзан үзэх болно, үлдсэнийг нь тэг болгоно. Тайлбарласан тооцоог хийхдээ хувиргах матрицыг мөн ашиглана.

I = imread("cameraman.tif"); I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,,"P1*x*P2",T,T"); маск =; B2 = blkproc(B,,"P1.*x",маск); I2 = blkproc(B2,,"P1 *x*P2,T,T); imshow(I); зураг, imshow(I2)

Зураг дээр анхны болон сэргээн босгосон хоёр зургийг харуулав. Зургийг сэргээхэд дискрет косинус хувиргах коэффициентүүдийн зөвхөн 15%-ийг ашигласан. Гэсэн хэдий ч сэргээн босгосон зургийн чанар нь нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дискрет косинусын хувиргалтын бусад шинж чанарыг харахын тулд dctdemo функцийг үзнэ үү.

Радон хувиргалт

Зураг боловсруулах хэрэгслийн хайрцаг дахь радон функц нь заасан чиглэлийн дагуу дүрсийн проекцын матрицыг тооцоолдог. Хоёр хэмжээст f(x,y) функцийн проекц нь заасан шугамын дагуух интегралтай тэнцүү байна. Радон функц нь цагийн зүүний эсрэг хэвтээ чиглэлтэй харьцуулахад градусаар тодорхойлогддог тэнхлэг дээрх зургийн төсөөллийг тооцоолох явдал юм. Зураг нь тодорхой дүрсийг тодорхой өнцгөөр төсөөлж байгааг харуулж байна

Тета эргэх өнцөг бүхий зэрэгцээ цацрагийн проекц

Доорх зурагт энгийн хоёр хэмжээст функцийн хэвтээ ба босоо проекцийг харуулав.

Зарим энгийн функцийн хэвтээ ба босоо төсөөлөл

Төлөвлөгөөний дагуу тооцоолж болно дурын өнцөгтета. Зураг боловсруулах хэрэгслийн хайрцагт суурилуулсан радон функц нь тодорхой чиглэлийн дагуух зургийн проекцийг тооцоолдог. Хоёр хэмжээст f(x,y) функцийн x’ тэнхлэг дээрх проекц нь шугаман интеграл юм.

Тиймээс x'y' тэнхлэгүүдийг цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлэх замаар тодорхойлно.

Доорх зураг нь Радон хувирлын геометрийг харуулж байна.

Радон хувиргах геометр

Радон хувиргалтын дүрслэл

Радон хувиргалтыг хийхдээ анхны зураг болон тета өнцгийн векторыг зааж өгөх шаардлагатай.

Радон (I, тета);

Рнь багана бүр нь тета векторт агуулагдах аль нэг өнцгийн радон хувиргалт болох матриц юм. xp вектор нь x тэнхлэгийн дагуух харгалзах координатуудыг агуулна. Төвийн I пикселийг илэрхийллийн давхар ((хэмжээ(I)+1)/2) дагуу тодорхойлно.

Радон хувиргалтаар төсөөллийг хэрхэн тооцдогийг харцгаая. 0° ба 45° өнцгөөр төсөөлөлүүдийг авч үзье.

I = тэг (100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow(I)

Радон (I,); зураг; plot(xp,R(:,1)); гарчиг("R_(0^o) (x\prime)")

0°-ийн радон хувиргалт

Зураг; plot(xp,R(:,2)); гарчиг("R_(45^o) (x\prime)")

45°-ийн радон хувиргалт

Олон тооны өнцгөөр Радон хувиргалтыг ихэвчлэн зураг хэлбэрээр харуулдаг. Энэ жишээнд Радон хувиргалтыг 1° нарийвчлалтай 0°-аас 180° хүртэлх өнцгийн хүрээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй зургийн хувьд авч үзнэ.

Тета = 0:180;

= радон (I, тета); imagesc(theta,xp,R); гарчиг("R_(\theta) (X\prime)"); xlabel("\тета (зэрэг)"); ylabel("X\prime"); set(gca,"XTick",0:20:180); өнгөт зураг (халуун); өнгөт мөр

180 проекц ашиглан радон хувиргалт

Радоныг ашиглах нь шугамыг илрүүлэх үед хувиргадаг

Радон хувиргалт нь Хох хувиргалт гэж нэрлэгддэг бусад алдартай үйлдлүүдтэй төстэй юм. Радон функцийг шулуун шугамыг илрүүлэхэд ашиглаж болно. Энэ үйл явцын үндсэн үе шатуудыг авч үзье. РМатрицын хамгийн том оргил =1° ба x´= -80-тай тохирч байна. Анхны зургийн төвөөс x’ зайд өнцгөөр шугам татсан. Энэ шугамд перпендикуляр шулуун шугамыг зурсан бөгөөд энэ нь дээрх шулуун шугамтай тохирч байнаанхны зураг Р. Нэмж дурдахад матрицад үзүүлсэн зурган дээрх бусад шугамууд байдаг

харгалзах оргилууд.

Шулуун шугам илрүүлэх Радон хувиргах геометр

-ээр тэмдэглэе

. (3.21)

мөр, баганын хэмжээтэй салангид дүрсийг дүрсэлсэн хоёр хэмжээст талбар (хоёр хэмжээст дохио). Заасан хязгаараас гадуур энэ дохио тодорхойлогдоогүй байна. Хоёр хэмжээст үечилсэн дохиог оруулан энэ төгсгөлтэй дохионы үечилсэн үргэлжлэлийг хийцгээе.

Цагаан будаа. 3.4. Бодит (a) ба үе үе үргэлжилсэн (б) зургууд

Аливаа үечилсэн дохиог Фурьегийн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болох боловч нэг хэмжээст дохионоос ялгаатай нь хоёр хэмжээст дохиог хоёр хэмжээст Фурье цувралаар дүрсэлсэн бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

(3.23)

Энэхүү хоёр хэмжээст дүрслэлийн үндсэн функцууд нь хоёр хэмжээст цогцолбор экспоненциалууд (заримдаа нарийн төвөгтэй синусоид гэж нэрлэдэг) юм.

дохионы нэгэн адил ижил үетэй тэгш өнцөгт үетэй байх. Энд (,) нь үндсэн функцийн хоёр хэмжээст тоо бөгөөд хэмжигдэхүүнүүд нь орон зайн давтамжийн утгыг агуулна. Заримдаа бүхэл тоон хэмжигдэхүүнүүдийг орон зайн давтамж гэж нэрлэдэг. Цувралын Фурье коэффициент (3.22) нь хоёр хэмжээстийг бүрдүүлдэгдавтамжийн спектр

(3.24)

дохио бөгөөд Фурьегийн шууд хувиргалтын томъёогоор тодорхойлогддог. Спектрээс дохиог сэргээдэг илэрхийлэл (3.22) нь урвуу Фурье хувирал юм. Хоёр хэмжээст DFT гэж нэрлэгддэг (3.22) ба (3.24) хувиргуудын үнэн зөвийг (3.24)-ийг (3.22)-д орлуулж, дараах утгыг авчрах замаар шалгаж болно.баруун тал

FFT томъёоны дагуу элементүүдийн хоёр хэмжээст үе бүхий салангид дохиог үнэн зөв дүрслэхийн тулд хязгаарлагдмал тооны суурь функцууд (3.23) хангалттай - цуврал (3.22) нь төгсгөлтэй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь илэрхийлсэн дохио нь өөрөө нэг үеийг агуулдаг эцсийн тоооноо, өөрөөр хэлбэл. хязгаарлагдмал тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй. Спектрийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь дохионы эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос ялгаатай байж болохгүй нь ойлгомжтой.

Хоёр хэмжээст дискрет Фурье спектрийн хамгийн чухал шинж чанаруудын талаар ярилцъя. Давтамжийн цэгүүдийн спектрийн коэффициентийг (3.24) тооцоолъё :

Учир нь аливаа бүхэл тоон утгууд ба үр дүнгийн илэрхийлэл дэх сүүлчийн хүчин зүйл юм нэгтэй тэнцүү, тэгвэл бид тэнцүү байна:

,

хоёр хэмжээст DFT-ийн тэгш өнцөгт үечилсэн байдлыг илэрхийлдэг. Иймээс хоёр хэмжээст DFT-ийн зураг нь хоёр хэмжээст үе үе тасралтгүй дохионы зурагтай төстэй бөгөөд чанарын хувьд Зураг дээр үзүүлэв. 3.4.б (түүн дээрх орон зайн координатыг давтамжтай сольсон бол). Гэсэн хэдий ч, (3.24)-ийн дагуу спектрийн коэффициентүүд нь бодит дохионы хувьд цогц тоонууд гэдгийг санах нь зүйтэй. Гэхдээ дараа нь асуулт гарч ирнэ. Спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийт тоо нь . Комплекс тоо нь хос бодит тоотой тэнцэнэ - алгебрийн тэмдэглэгээнд бодит ба төсөөллийн хэсгүүд эсвэл экспоненциал тэмдэглэгээний модуль ба үе шат. Тиймээс бүрэн спектрийг тайлбарласан болно бодит тоо, энэ нь дохионы хэмжээнээс хоёр дахин их юм. Эхлээд харахад энэ нь зөрчилдөөнийг агуулдаг. Энэ нь хоёр хэмжээст DFT-ийн шинж чанарыг цаашид судлах замаар тодруулга олдог.

(3.25) хамаарлыг дараах байдлаар хувиргая. Эхлээд давтамжийн оронд давтамжийг орлъё. Хоёрдугаарт, бид хоёр хэсгийн цогц холболтыг хийх бөгөөд энэ нь тэгш байдлыг зөрчихгүй. Үүний үр дүнд илэрхийлэлийг авахад хялбар байдаг:

,

спектрийн тэгш өнцөгтийн хоёр өөр цэг дээрх спектрийн коэффициентүүдийн хооронд хоёрдмол утгагүй холболтыг бий болгодог. Энэхүү спектрийн тэгш хэмийн улмаас бие даасан спектрийн коэффициентүүдийн тоо хоёр дахин багассан тул үүссэн хамаарал нь зөрчилдөөнийг арилгадаг. Тогтсон шинж чанарын дагуу тэгш өнцөгтийн зүүн дээд ба баруун доод буланд хамаарах спектрийн коэффициентүүд нь спектрийн коньюгат хамаарлаар хоорондоо холбогддог. Үүний нэгэн адил спектрийн тэгш өнцөгтийн баруун дээд ба зүүн доод хэсгүүдийн Фурье коэффициентүүд хоорондоо холбоотой байдаг.

Энэ догол мөрний төгсгөлд бид хэзээ гэдгийг онцлон тэмдэглэв практик хэрэглээхоёр хэмжээст DFT - шууд ба урвуу аль алинд нь (3.22) ба (3.24) хувиргалтаас үзэхэд үе үе дохио, спектртэй ажиллах шаардлагагүй болно. (3.22) ба (3.24) харилцаа нь өөрөө энэ хэрэгцээг арилгадаг. Үнэн хэрэгтээ Фурьегийн шууд хувиргалт (3.24) нь баруун талд зөвхөн нэг "үндсэн" тэгш өнцөгт дэх үе үе үргэлжилсэн дохионы утгыг агуулдаг. Гэхдээ эдгээр хязгаарт анхны болон үе үе үргэлжилдэг дохионууд бүрэн давхцдаг бөгөөд энэ нь (3.24) томъёонд анхны дохиог ашиглах боломжийг олгодог. Үүнтэй төстэй тайлбарыг хийж болно урвуу хувиргалт(3.22), үүнээс үзэхэд тооцооллын явцад практикт хамаарах спектрийн "үндсэн" хэсэгтэй ажиллах шаардлагатай байна. спектрийн бүс.

Зөвхөн тооцооллын ач холбогдолтой тайлбаруудаас үзэхэд зохиомол, ашиггүй байдлын талаар дүгнэлт хийх ёсгүй. математик загваруудүечилсэн талбарууд. Зургийг боловсруулах явцад олон тооны асуудал гарч ирдэг бөгөөд тэдгээрийг зөв тайлбарлах, шийдвэрлэх нь зөвхөн эдгээр математик тайлбарын үндсэн дээр боломжтой юм. Эдгээрийн нэг хамгийн чухал ажлууднь спектрийн муж дахь дижитал хоёр хэмжээст шүүлтүүр бөгөөд түүний хэрэгжилт нь мөчлөгийн эргэлт гэж нэрлэгддэг хэрэгжилттэй холбоотой юм.

Фурье хувиргах

Олон дохиог синусоид (гармоник) болгон задлах замаар шинжлэхэд тохиромжтой. Үүнд хэд хэдэн шалтгаан бий. Жишээлбэл, хүний ​​чих ижил төстэй байдлаар ажилладаг. Энэ нь дуу авиаг өөр өөр давтамжийн чичиргээ болгон задалдаг. Үүнээс гадна синусоидууд нь " өөрийн функцууд» шугаман системүүд (тэдгээр дамжин өнгөрдөг тул шугаман системүүд, хэлбэрийг өөрчлөхгүйгээр, гэхдээ зөвхөн фаз ба далайцыг өөрчлөх боломжтой). Өөр нэг шалтгаан нь Котельниковын теоремыг дохионы спектрийн хувьд томъёолсон байдаг.

Фурье хувиргалт ) нь функцуудыг синусоид болгон задлах явдал юм (цаашид бид косинусын функцийг синусоид гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь "бодит" синусоидуудаас зөвхөн фазын хувьд ялгаатай байдаг). Фурье хувиргалтын хэд хэдэн төрөл байдаг.

1. Тогтмол бус тасралтгүй дохиоФурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.

2. Тогтмол тасралтгүй дохиог хязгааргүй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

3. Тогтмол бус дискрет дохиог Фурье интеграл болгон өргөжүүлж болно.

4. Тогтмол дискрет дохиог төгсгөлтэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.

Компьютер нь зөвхөн хязгаарлагдмал хэмжээний өгөгдөлтэй ажиллах боломжтой, тиймээс энэ нь зөвхөн Фурье хувиргалтын сүүлчийн төрлийг тооцоолж чаддаг. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Бодит дохио DFT

Дискрет дохио x нь N цэгийн үетэй байг. Энэ тохиолдолд үүнийг салангид синусоидуудын төгсгөлтэй цуврал (жишээ нь шугаман хослол) хэлбэрээр төлөөлж болно.

Эквивалент тэмдэглэгээ (бид косинус бүрийг синус болон косинус болгон задалдаг, гэхдээ одоо фазгүй):

Цагаан будаа. 6. 8 цэгийн дискрет дохионы Фурье цувралын үндсэн функцууд. Зүүн талд нь косинусууд, баруун талд нь синусууд байдаг. Давтамж нь дээрээс доошоо нэмэгддэг.

Үндсэн синусоидууд нь олон давтамжтай байдаг. Цувралын эхний гишүүн (k =0) нь тогтмол гэж нэрлэгддэг тогтмол бүрэлдэхүүн хэсэг(Тогтмол гүйдлийн офсет) дохио. Хамгийн анхны синусоид (k = 1) ийм давтамжтай байдаг тул түүний хугацаа нь анхны дохионы үетэй давхцдаг. Хамгийн өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг (k =N /2) ийм давтамжтай бөгөөд түүний хугацаа нь хоёр тоололтой тэнцүү байна. КоэффицентүүдA k ба

B k нь дохионы спектр (спектр) гэж нэрлэгддэг. Тэд си-ийн далайцыг харуулдаг.

дохиог бүрдүүлдэг нусоидууд. Фурье тэлэлтийн хоёр зэргэлдээ синусоидын хоорондох давтамжийн алхам гэж нэрлэдэг давтамжийн нарийвчлалспектр

Зураг дээр. Зураг 6-д 8 цэгээс салангид дохиог задлахад ашигладаг синусоидуудыг үзүүлэв. Синусоид бүр нь 8 цэгээс бүрддэг бөгөөд энэ нь ердийн дискрет дохио юм. Тасралтгүй синусоидуудыг тодорхой болгохын тулд зурагт үзүүлэв.

цэг бүрт Фурье цувааны нийлбэрийг тооцоолж анхны дохиог хувиргана. Дохиог синусоид болгон задлах (жишээ нь коэффициентийг олж авах) гэж нэрлэдэг Фурьегийн шууд хувиргалт. Урвуу үйл явц - синусоидыг ашиглан дохионы синтез - гэж нэрлэдэг урвуу Фурье хувиргалт(урвуу Фурье хувиргалт).

Урвуу Фурье хувиргалтын алгоритм нь ойлгомжтой (энэ нь Фурье цувралын томъёонд агуулагддаг; синтезийг хийхийн тулд та түүнд коэффициентүүдийг орлуулахад л хангалттай). Фурьегийн шууд хувиргах алгоритмыг авч үзье, i.e. A k ба B k коэффициентийг олох.

N үетэй үечилсэн салангид дохионы орон зай дахь тон суурь. Энэ нь орон зайн аль ч элементийг (дохио) задлахын тулд та тооцоолох хэрэгтэй гэсэн үг юм цэгэн бүтээгдэхүүнЭнэ элемент нь системийн бүх функцтэй бөгөөд үр дүнгийн коэффициентийг хэвийн болгодог. Дараа нь A k ба B k коэффициент бүхий суурь өргөтгөлийн томъёо нь анхны дохионы хувьд хүчинтэй байх болно.

Тиймээс A k ба B k коэффициентийг скаляр үржвэр гэж тооцдог (бусд

тасалдсан тохиолдолд – функцүүдийн үржвэрийн интеграл, салангид тохиолдолд

– салангид дохионы үржвэрийн нийлбэр):

Орчин үеийн харилцаа холбооны технологигүйгээр төсөөлөхийн аргагүй спектрийн шинжилгээ. Давтамжийн муж дахь дохиог дүрслэх нь тэдгээрийн шинж чанарыг шинжлэх, радио холбооны системийн дамжуулагчийн блок, нэгжийг шинжлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Дохиог давтамжийн муж руу хөрвүүлэхийн тулд шууд Фурье хувиргалтыг ашигладаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Давтамжийн шинжилгээний энэ томъёоноос харахад тооцоолол хийгдсэн корреляцийн хамааралцаг хугацааны мужид дүрслэгдсэн дохио ба өгөгдсөн давтамж дахь комплекс экспоненциалын хооронд. Энэ тохиолдолд Эйлерийн томъёоны дагуу комплекс экспоненциал нь бодит ба төсөөлөлд хуваагдана.

Давтамжийн мужид дүрслэгдсэн дохиог урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан цаг хугацааны муж болгон хувиргаж болно. Фурьегийн урвуу хувиргалтын ерөнхий томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Фурье шууд хувиргах томьёо нь хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх хугацааны интеграцийг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол математикийн хийсвэрлэл юм. IN бодит нөхцөл-аас бид нэгтгэх боломжтой энэ мөчидТ хугацаанаас өмнө бид 0 гэж тэмдэглэж болох цаг. Фурьегийн шууд хувиргалтын томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Үүний үр дүнд Фурье хувирлын шинж чанарууд ихээхэн өөрчлөгддөг. Оронд нь дохионы спектр тасралтгүй функц утгын салангид цуваа болдог. Одоо хамгийн бага давтамж, нэгэн зэрэг дохионы спектрийн давтамжийн утгын алхам нь:

Зөвхөн нүгэл үйлддэгдавтамжтай cos к/Тхарилцан ортогональ байх бөгөөд энэ нь Фурье хувиргалтанд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл юм. Фурье цувралын өргөтгөлийн эхний функцуудын багцыг Зураг 1-д үзүүлэв. Энэ тохиолдолд функцүүдийн үргэлжлэх хугацаа нь шинжилгээний үргэлжлэх хугацаатай давхцдаг. Т.

Одоо дохионы спектр 2-р зурагт үзүүлсэн шиг харагдах болно.

IN энэ тохиолдолдФурьегийн шууд хувиргалтыг (4) тооцоолох томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлэв.

Хязгаарлагдмал хугацаанд спектрийг тодорхойлох тохиолдолд урвуу Фурье хувиргалтын томъёо дараах байдалтай байна.

Үүнтэй адилаар та дижитал дохионы дээжийн шууд Фурье хувиргалтын томъёог тодорхойлж болно. Тасралтгүй дохионы оронд түүний дижитал дээжийг ашигладаг болохыг харгалзан (6) илэрхийлэлд интегралыг нийлбэрээр солино. Энэ тохиолдолд дүн шинжилгээ хийсэн дохионы үргэлжлэх хугацааг тоон дээжийн тоогоор тодорхойлно Н. Дижитал дохионы дээжийн Фурье хувиргалтыг дискрет Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэгбөгөөд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Одоо хязгаарлагдмал хугацааны интервал дахь Фурьегийн шууд хувиргалттай харьцуулахад дискрет Фурье хувиргалт (DFT)-ийн шинж чанарууд хэрхэн өөрчлөгдсөнийг харцгаая. Бид дээж авч үзэхэд аналог дохио, бид оролтын дохионы спектр давтамжаар хязгаарлагдах ёстойг олж мэдсэн. Энэ шаардлага нь дохионы спектрийн салангид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог хязгаарладаг. Эхлээд бид дохионы спектрийг давтамжаар хязгаарлаж болох юм шиг санагдаж магадгүй юм е d/2, энэ нь давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоотой тохирч байна K=N/2. Гэсэн хэдий ч энэ нь үнэн биш юм. Эерэг давтамж ба сөрөг давтамжийн бодит дохионы дээжийн дохионы спектр нь ойролцоогоор 0 орчим тэгш хэмтэй боловч зарим спектрийн алгоритмуудад сөрөг давтамж шаардлагатай байж болно. Оролтын дохионы нийлмэл дээж дээр дискрет Фурье хувиргалтыг хийх үед ялгаа нь бүр ч их байдаг. Үүний үр дүнд бүрэн тайлбарспектр дижитал дохиошаардлагатай Ндавтамжийн дээж ( k = 0, ..., N/2).