Сайтын материалыг ашиглах гэрээ

Сайт дээр нийтлэгдсэн бүтээлүүдийг зөвхөн хувийн хэрэгцээнд ашиглахыг танаас хүсч байна. Бусад сайтад материал нийтлэхийг хориглоно.
Энэ ажлыг (болон бусад бүх зүйлийг) бүрэн үнэ төлбөргүй татаж авах боломжтой. Та түүний зохиогч болон сайтын хамт олонд талархаж болно.

Сайн бүтээлээ мэдлэгийн санд оруулах нь амархан. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Үйлдвэрлэлийн төлөвлөгөөний зардлын хэмжээг тооцоолох. Магадлал шугаман тэгшитгэлхос регресс. Үр дүнг графикаар тайлбарлах шинж чанарууд. Хөгжил эдийн засгийн үйл явц. Хугацааны цувааны эконометрик загварчлалын онцлог.

туршилт, 2011 оны 02-р сарын 22-нд нэмэгдсэн


Арга симуляцийн загварчлал, түүний төрлүүд, үндсэн үе шатууд, онцлогууд: симуляцийн системийн статик ба динамик дүрслэл. Эдийн засгийн үйл явц, даалгаварт дүн шинжилгээ хийхэд симуляцийн загварчлалын аргыг ашиглах практикийг судлах.

курсын ажил, 2014/10/26 нэмэгдсэн


Аргын шинж чанар, тайлбар шугаман програмчлал, түүний хэрэглээний үндсэн чиглэл, ашиглалтын хязгаарлалт. Шийдэл эдийн засгийн даалгавар, оновчлолын загварыг бий болгох онцлог, ашгийн оновчлолын үр дүнг тооцох, дүн шинжилгээ хийх.

курсын ажил, 2010 оны 03-р сарын 23-нд нэмэгдсэн


Тооцоолол итгэлцлийн интервалуудэкспоненциал тэгшитгэлийг ашиглан шугаман чиг хандлагын таамаглал. Загваруудын хүрэлцээ, нарийвчлалыг үнэлэх. Хэрэглээ дасан зохицох аргуудВ эдийн засгийн таамаглал. Хугацааны цувааны экспоненциал дундаж.

туршилт, 2010 оны 08-р сарын 13-нд нэмэгдсэн


Математик загварчлал. Эдийн засгийн шинжилгээний мөн чанар. Математикийн аргуудВ эдийн засгийн шинжилгээ. Онол дараалал. Аж ахуйн нэгжийн үйл ажиллагааг төлөвлөх, бүтээгдэхүүний найдвартай байдал, нөөцийн хуваарилалт, үнэ.

тест, 2002 оны 12-р сарын 20-нд нэмэгдсэн


Statgraphics Plus програмыг ашиглан аж ахуйн нэгжүүдэд кластер шинжилгээ хийх. Шугаман регрессийн тэгшитгэл байгуулах. Уян хатан байдлын коэффициентийг тооцоолох регрессийн загварууд. Зэрэг статистикийн ач холбогдолтэгшитгэл ба детерминацийн коэффициент.

даалгавар, 2014-03-16-нд нэмэгдсэн


Хөдөлгөөнт дундаж аргын талаарх мэдээлэл, шугаман хос корреляцийн коэффициент, регрессийн шинжилгээ. Хувилбарын өгөгдөл дээр үндэслэн үзүүлэлтийн утгын өөрчлөлтийн графикийг зурах. Боловсруулж байна хугацааны цуваахөдөлж буй дундаж арга ба график.

курсын ажил, 2012-06-08 нэмэгдсэн

Одоог хүртэл бид интегралын аль нэг хязгаарт байгаа функцийн хязгааргүй байдал эсвэл энэ хязгаарын хязгааргүй байдалтай холбоотой нэг шинж чанар бүхий зохисгүй интегралуудын талаар ярилцсан. Бусад нь ямар утгаар ойлгогдож байгааг энд заах болно боломжит сонголтуудбуруу интеграл.

Хэрэв интеграцийн хоёр хязгаар нь дээрх төрлүүдийн нэг юмуу өөр нэг онцлог шинж чанартай бол тодорхойлолтоор бид үүнийг тооцно.

хаана в - дурын цэгцоорхой

(12) харьцааны баруун талын зохисгүй интеграл бүр нийлдэг гэж үздэг. Үгүй бол (12)-ын зүүн талд байгаа интеграл хуваагдана гэж тэд хэлдэг.

Тайлбар 2 болон зохисгүй интегралын нэмэлт шинж чанараас шалтгаалан (12) тодорхойлолт нь цэгийн сонголтоос хамаарахгүй гэсэн утгаараа зөв юм.

Жишээ 13.

Жишээ 14. Интеграл

Эйлер-Пуассоны интеграл, заримдаа Гавесын интеграл гэж нэрлэдэг. Энэ нь дээр дурдсан утгаар нийлдэг нь ойлгомжтой. Энэ нь тэнцүү гэдгийг дараа харуулах болно

Жишээ 15. Интеграл

аль ч a-ийн хувьд хоёр интегралын ядаж нэг нь салдаг тул зөрүүтэй

Жишээ 16. Интеграл

интеграл бүр нийлбэл нийлнэ

Эдгээр интегралуудын эхнийх нь нийлдэг

at Хоёр дахь интеграл нийлдэг бөгөөд үүнийг жишээ 12-т хийсэнтэй адил хэсгүүдээр нэгтгэх замаар эсвэл Абел-Дирихлетийн тестийг ашиглан шууд шалгаж болно. Тиймээс анхны интеграл нь хэзээ утга учиртай болно

Хэрэв интеграл нь дотоод цэгүүдийн аль нэг болон интеграцийн сегментийн ойролцоо хязгаарлагдахгүй бол бид үүнийг тооцно.

баруун талд байгаа интеграл хоёулаа байхыг шаарддаг.

Жишээ 17. Зөвшилцлийн утгаараа (13)

Жишээ 18. Интеграл - тодорхойлогдоогүй.

Ойролцоох хязгааргүй функцийн интегралыг тооцоолоход (13)-аас өөр тохиролцоо бас бий. дотоод цэгболон интеграцийн сегмент. Тодруулбал, тэд итгэдэг

баруун талд байгаа хязгаарлалт байгаа бол. Энэ хязгаарыг Кошигийн дараагаар үндсэн утгын утгаараа интеграл гэж нэрлэдэг бөгөөд (13) ба (14) тодорхойлолтыг ялгахын тулд хоёр дахь тохиолдолд интегралын тэмдгийн өмнө эхний үсэг V. R. Франц үгс valeur principal (үндсэн үнэ цэнэ). Англи хувилбарт тэмдэглэгээг ашигладаг. (үндсэн үнэ цэнээс).

Энэ гэрээний дагуу бид

Жишээ 19.

Дараахь тодорхойлолтыг мөн хүлээн зөвшөөрдөг.

Жишээ 20.

Эцэст нь хэрэв хэд хэдэн байвал ( эцсийн тоо) тухайн интервал дотор байрлах буюу түүний төгсгөлүүдтэй давхцаж байгаа тодорхой онцгой байдлын хувьд интервалыг ганц бус цэгүүдээр хязгаарлагдмал тооны ийм интервалд хувааж, тус бүр нь зөвхөн нэг онцгой шинжтэй байх ба интегралыг интегралын нийлбэрээр тооцно. хуваалтын сегментүүд дээр.

Ийм тооцооллын үр дүн нь хуваалтыг сонгохдоо дур зоргоороо байхаас хамаарахгүй гэдгийг баталж болно.

Жишээ 21. Яг тодорхой тодорхойлолтинтеграл логарифмыг одоо гэж бичиж болно

IN сүүлчийн тохиолдол V.R тэмдэг нь 1-р цэгт байрлах интервалын цорын ганц дотоод байдлыг илэрхийлнэ. Тодорхойлолтын утгаараа (13) энэ интеграл нь нийлэхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Үр дүнтэй шийдлийн аргууд
тодорхой ба буруу интеграл

Энэ нийтлэлийг агуулна нэмэлт материалтодорхой ба буруу интегралыг шийдвэрлэх аргуудын талаар. Уншигч дундаас ахисан түвшний интеграцийн ур чадвартай гэж үздэг. Хэрэв тийм биш бол дамми нарт зориулсан үндсэн ойлголтуудаас эхэлье: Тодорхой бус интеграл, шийдлийн жишээ.

Тодорхойгүй интеграл хаана байна, ойролцоо болон байна Тодорхой интеграл, та мөн Ньютон-Лейбницийн томъёог анхнаасаа мэддэг байх ёстой. Үүнээс гадна хамгийн энгийнийг шийдэж чаддаг байх хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох асуудал.

Хичээл нь тодорхой ба буруу интегралыг хэрхэн хурдан, үр дүнтэй шийдвэрлэхийг сурах хүсэлтэй хүмүүст зориулагдсан болно. Эхлээд би тэгш, үгүйг нэгтгэх онцлогуудыг авч үзэх болно жигд ажиллагаатайтэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интервалын дагуу. Дараа нь бид үүнийг олох болно тойргийн талбайг олох асуудалашиглан тодорхой интеграл. Энэ асуудал нь тодорхой интегралыг нэгтгэх нийтлэг аргыг танд танилцуулж байгаа тул бас чухал юм. тригонометрийн орлуулалт . Үүнийг хаана ч хянаагүй байна - шинэ материал!

Хоёр дахь хэсэг нь сайн мэддэг уншигчдад зориулагдсан болно буруу интегралууд. Үүний нэгэн адил тэгш ба сондгой функцүүдийн зохисгүй интегралыг тэгш хэмийн интервал дээр авч үзье. Илүү ихийг оруулаад ховор төрлүүдҮндсэн өгүүлэлд ороогүй зохисгүй интегралууд: доод хязгаар нь "хасах хязгааргүй" байх үед, хоёр хязгаар нь хязгааргүй байх хандлагатай үед, интеграцийн сегментийн хоёр төгсгөлд функц хязгааргүй тасалдалтай байх үед (энэ нь аль хэдийн интеграл юм хоёр дахь төрөл). Мөн маш ховор зохисгүй интеграл - интеграцийн сегмент дээр тасалдалтай цэгтэй.

Хэрэв та тодорхой зүйл сонирхож байгаа бол энд холбоосууд байна:

• Тэгш хэмтэй сегмент дээрх тэгш функцийн тодорхой интеграл
• Тойргийн талбайн тооцоо, тригонометрийн орлуулалт
• Хязгааргүй интегралын хязгаартай буруу интегралууд
• Сегментийн хоёр төгсгөлд тасалдсан 2-р төрлийн буруу интеграл
• Интеграл интервал дээр тасалдалтай буруу интеграл

Тэгш функцийн тодорхой интегралыг шийдэх арга

Маягтын тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграцийн сегмент нь тэг орчим тэгш хэмтэй байгааг харахад хялбар байдаг.

Хэрэв интеграл функц нь бүр, тэгвэл интеграл байж болно сегментийн хагасыг ашиглан тооцоолж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ: .

Энэ нь яагаад ийм байгааг олон хүн таамаглаж байсан ч одоо авч үзье тодорхой жишээзурагтай:

Жишээ 1

Функцийн паритетийн талаар олон зүйл ярьсан арга зүйн материал Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Нэг удаа давтацгаая: функц нь тэгш байдал хангагдсан ч гэсэн. Функцийг паритетыг хэрхэн шалгах вэ? Хэрэгтэй оронд нь"x"-ийг орлуулах.

IN энэ тохиолдолд:
, гэсэн үг, энэ функцтэгш байна.

Дүрмийн дагуу тэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй сегмент дээр тэгш функцийн интегралыг дараах байдлаар тооцоолж болно.

Тэгээд одоо геометрийн тайлбар. Тийм ээ, бид азгүй параболыг тарчлаасаар л...

Аливаа тэгш функц, ялангуяа тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна:

Тоон хувьд тодорхой интеграл талбайтай тэнцүү хавтгай дүрс, сүүдэртэй ногоон. Гэхдээ интегралын паритет, улмаар тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийн тэгш хэмийн улмаас цэнхэр өнгөөр ​​​​будсан зургийн талбайг тооцоолж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд хангалттай. Ижил хагасууд!
Тийм учраас үйлдэл нь зөв

Тэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй сегментийн дагуух тэгш функцтэй ижил төстэй түүх тохиолддог:

Зарим нь: "Энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ, та ямар ч байсан тодорхой интегралыг тооцоолж болно" гэж хэлэх болно. Чадах. Тооцоолъё:

Гэхдээ сөрөг доод хязгаарыг орлуулах нь тохиромжтой байсан уу? Үнэхээр биш. Дашрамд хэлэхэд, сурагчдын тэг бус хувь нь тэмдгүүдэд алдаа гаргах болно. Тэгийг орлуулах нь хамаагүй хялбар бөгөөд илүү тааламжтай байдаг. Энэ бол практик дээр бүх зүйл илүү муу байж болох энгийн жишээ гэдгийг би тэмдэглэж байна.

Нэмж дурдахад тухайн техникийг тооцоолохдоо ихэвчлэн ашигладаг давхар интеграл, гурвалсан интеграл, аль хэдийн хангалттай тооцоо байгаа газар.

Халаалтын богино жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Тодорхой интегралыг зүгээр л үнэлэхийг хүсэхэд та зургийг дуусгах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу! Жишээ 1-д зориулсан дүрслэлийг зөвхөн дүрмийг тодорхой болгохын тулд өгсөн болно. Зүгээр л энэ мөчидДараахь энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно.

Жишээ 3

1) Тодорхой интегралыг тооцоол.
2) Хавтгай дүрсний талбайг тооцоолох, шугамаар хязгаарлагданаболон интервал дээрх тэнхлэг .

Эдгээр нь хоёр өөр даалгавар юм!Үүнийг нийтлэлд аль хэдийн хэлэлцсэн болно Хавтгай дүрсний талбайг хэрхэн тооцоолох вэ?Эхлээд эхний цэгийг авч үзье:

1) Интеграл нь тэгш, интеграцийн сегмент нь тэг орчим тэгш хэмтэй тул:

Тодорхой интеграл нь сөрөг болж хувирсан бөгөөд энэ нь тохиолддог!

2) Одоо талбайг олъёхавтгай дүрс. Энд зураг зурахгүйгээр хийхэд хэцүү байдаг.

Хэрэв та гэнэн косинустай холбоотой хүндрэлтэй байгаа бол нийтлэлийг үзнэ үү Графикийн геометрийн хувиргалт.

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгийн доор байрладаг тул:

Косинусын паритетыг хэн ч цуцлаагүй тул сегментийг дахин хоёр дахин багасгаж, интегралыг хоёр дахин нэмэгдүүлснийг анхаарна уу.

Тодорхой интеграл ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох
Тригонометрийн орлуулалт

Энэ их чухал ажил, учир нь үүнийг авч үзэх болно стандарт интегралмөн ирээдүйд олон удаа тулгарах шийдвэр гаргах үйл явц.

Гэхдээ эхлээд тойргийн тэгшитгэлийн талаар хурдан сануулъя. Маягтын тэгшитгэл нь радиустай цэг дээр төвтэй тойргийг тодорхойлдог. Ялангуяа, тэгшитгэл нь эх цэг дээр төвлөрсөн радиусын тойргийг тодорхойлдог.

Жишээ 4

Тойргоор хүрээлэгдсэн тойргийн талбайг тооцоолох, тэгшитгэлээр өгөгдсөн

нь радиусын эхэнд төвтэй тойрог юм.

Зураг зурцгаая:

Эхлээд сайн мэддэг сургуулийн томъёог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолъё. Хэрэв тойргийн радиус нь бол түүний талбай нь:

Тойргийн талбайг тодорхой интеграл ашиглан тооцоолохын тулд тойргийн тэгшитгэлээс "Y" функцийг тодорхой хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай.

Дээд талын хагас тойрог нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн
Доод хагас тойрог нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн

Ялангуяа над шиг гаж донтон хүмүүс тойргийн хэд хэдэн цэгийг эдгээр тэгшитгэлд орлуулж, дээрх мэдэгдлийн үнэн зөвийг шалгаж болно.

Тойргийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ? IN энэ жишээндтойрог нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тул 1-р улиралд (цэнхэрээр сүүдэрлэсэн) салбарын талбайг тооцоолоход хангалттай бөгөөд үр дүнг 4-ээр үржүүлнэ.

Тиймээс:

Үүнтэй ижил боловч тодорхой бус интегралыг хичээлийн 6-р жишээнд авч үзсэн Комплекс интеграл, энэ нь интегралыг өөртөө багасгах урт, хөдөлмөр их шаардсан аргаар шийдсэн. Та ижил замаар явж болно, гэхдээ тодорхой интегралын хувьд тохиромжтой ба байдаг үр дүнтэй арга тригонометрийн орлуулалт:

Орлуулах зүйл хийцгээе:

Яагаад яг энэ орлуулалт тун удахгүй тодорхой болох боловч одоохондоо дифференциалыг олцгооё:

Үндэс нь юу болж хувирахыг олж мэдье, би үүнийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Хэрэв уусмалын явцад та таамаглах боломжгүй бол дараах томъёог ашиглана уу , тэгвэл харамсалтай нь та багшаас "дараагийн удаа эргэж ирээрэй" гэж сонсох болно.

Үндэсийг хувиргасны дараа яагаад орлуулсныг тодорхой харж болно. онцгой анхааралБи синусын коэффициент - "хоёр"-д анхаарлаа хандуулж байна, энэ коэффициентийг квадрат болгохдоо бүх зүйлийг хаалтнаас, үндэс доороос нь сайн гаргаж авахаар сонгох ёстой.

Интеграцийн шинэ хязгаарыг тооцоолоход л үлддэг.
Хэрэв бол

Интеграцийн шинэ доод хязгаар:
Интеграцийн шинэ дээд хязгаар:

Тиймээс:

Салбарын талбайг 4-ээр үржүүлэх ёстой тул бүх тойргийн талбай нь:

Интегралд шорт байгаа бол яах гэж зарим хүмүүс асуусан байх сургуулийн томъёо? Мөн заль мэх нь тойргийн талбайг маш нарийн тооцоолох чадвар нь зөвхөн хөгжлөөр бий болсон явдал юм математик шинжилгээ(хэдийгээр эрт дээр үед тойргийн талбайг зохих нарийвчлалтайгаар тооцдог байсан).

Шинжилсэн жишээг дараахь байдлаар шийдэж болно ерөнхий үзэл, өөрөөр хэлбэл дурын радиустай тойргоор хүрээлэгдсэн тойргийн талбайг ол: . Үр дүн нь яг томъёо юм!

Энэ асуудлыг шийдвэрлэх өөр аргыг хэрэглэж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй - интеграл ашиглан дээд хагас тойргийн талбайг тооцоолох. , дараа нь үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ. Гэхдээ интегралын паритетаас шалтгаалан шийдэл нь хамгийн оновчтой хувилбар хүртэл буурдаг.

Тригонометрийн орлуулалтын ач холбогдлыг би дахин нэг удаа онцолж байна, энэ нь практикт нэгээс хоёр удаа тохиолдох болно. Тиймээс материалыг бага зэрэг аюулгүй болгох хэцүү даалгаварбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Нөхцөл нь тодорхой интегралыг тооцоолохыг шаарддаг тул зургийг дуусгах шаардлагагүй болно. Орлуулах коэффициентийн талаар сайтар бодож үзээрэй. Хэрэв орлуулсны дараа интегралд хүндрэлтэй байгаа бол хичээл рүүгээ буцна уу Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд. Болгоомжтой байгаарай! Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Сондгой функцийн тодорхой интегралыг шийдэх арга
тэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй сегментийн дагуу

Танд таалагдах болно.

Тэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интегралын сегменттэй ижил тодорхой интегралыг авч үзье: .
Хэрэв интеграл нь байвал хачин, Тэр.

Яагаад ийм интеграл гэж тэгтэй тэнцүү?

Жишээ 6

Тодорхой интегралыг тооцоолох

Зураг зурцгаая:

Энд, үүнтэй зэрэгцэн, би өмнө нь хэзээ ч харж байгаагүй функцийн график нь урвуу куб парабол юм.

Манай функцийг тэгш/сондгой эсэхийг шалгая:
, энэ нь энэ функц нь сондгой бөгөөд түүний график нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм. Графикийн тэгш хэмээс харахад улаан, цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн талбайнууд тэнцүү байна..

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо цэнхэр өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн хэсэг нь албан ёсоор сөрөг байна. Мөн улаанаар сүүдэрлэсэн хэсэг нь эерэг байна. Талбарууд нь тэгш, албан ёсоор эсрэг тэсрэг байдаг тул бие биенээ цуцалдаг.

Даалгавруудын ялгааг би дахин нэг удаа онцолж байна:

1) Аливаа тодорхой интеграл (мэдээж байх ёстой) - Энэ нь албан ёсоор бүс нутаг хэвээр байна(сөрөг байсан ч). Ялангуяа, талбайн үйл ажиллагааны хачирхалтай байдлаас шалтгаалан тэд бие биенээ цуцалдаг. Үүнийг тодорхой жишээгээр харуулав.

2) Талбайг олох асуудал нь шал өөр даалгавар. Тиймээс, хэрэв бид энэ жишээн дээрх зургийн талбайг олохыг хүссэн бол үүнийг дараах байдлаар тооцоолох хэрэгтэй.

Энэ дүрмийн сэдвээр өөр хэдэн богино жишээ:

Үүнтэй адил ямар ч сондгой функц ба тэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй сегментийн хувьд.

Би үүнийг ашиглах ёстой юу? энэ аргапрактик дээр? Үнэндээ асуулт тийм ч энгийн биш юм. Чамд санал болгох үед нарийн төвөгтэй жишээ-тай их тооТооцооллын дагуу функцийн сондгой байдал ба интеграцийн сегментийн тэгш хэмийн 0 орчимд хамаарах ийм интеграл тэгтэй тэнцүү болохыг зааж өгөх боломжтой бөгөөд бүр тохиромжтой. Тэдний хэлснээр мэдлэг бол хүч, мунхаг бол ажиллах хүч юм.

Гэхдээ таныг санал болгох үед богино жишээ, тэгвэл багш үүнийг нарийвчлан шийдвэрлэхийг танд үндэслэлтэй тулгаж чадна: интегралыг авч, Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан интегралын хязгаарыг орлоорой. Жишээлбэл, ижил тодорхой интегралыг тооцоолохыг танаас хүсэв. Хэрэв та юу хэлэх гээд байгаагаа шууд бичиж, яагаад тэг болж байгааг үгээр тайлбарлавал энэ нь тийм ч сайн биш байх болно. "Дэлхий тоглож", бүрэн шийдлийг хэрэгжүүлэх нь илүү дээр юм.

Интеграл нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг та урьдчилан мэдэх болно ;-) Мөн энэ мэдлэг нь танд алдаа гаргахгүй байх боломжийг 100% олгоно.

Хязгааргүй доод хязгаартай буруу интегралыг шийдэх арга

Өгүүллийн хоёр дахь хэсэг нь хичээлийг сайн ойлгосон хүмүүст зориулагдсан болно Буруу интеграл. Шийдлийн жишээ, эсвэл ядаж ихэнхийг нь ойлгосон. Бид зохисгүй интегралуудын талаар ярих болно анхны төрөлхязгааргүй доод хязгаартай: .

Жишээ 7

Энэ интеграл нь хязгааргүй "энгийн" буруу интегралаас юугаараа ялгаатай вэ? дээд хязгаар? Шийдлийн технологийн хувьд бараг юу ч байхгүй. Та мөн эсрэг деривативыг (тодорхойгүй интеграл) олох хэрэгтэй бөгөөд интегралыг тооцоолохдоо хязгаарыг ашиглах хэрэгтэй. Үүний ялгаа нь интеграцийн доод хязгаарыг "хасах хязгаар" руу чиглүүлэх шаардлагатай: .

Дээрхээс харахад ийм зохисгүй интегралыг тооцоолох тодорхой томъёо дараах байдалтай байна.

Энэ жишээнд интеграл нь үргэлжилсэн ба:
, өөрөөр хэлбэл зохисгүй интеграл диверс болно.

Энд гол зүйл бол тэмдгүүдэд болгоомжтой хандах хэрэгтэй, мөн үүнийг мартаж болохгүй. Та юу хаашаа явж байгааг сайтар ойлгох хэрэгтэй.

Жишээ 8

Зохисгүй интегралыг тооцоолох эсвэл түүний дифференцийг тогтоох.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Буруу интегралыг шийдэх арга
интеграцийн хязгааргүй хязгаартай

Маш сонирхолтой тохиолдол. Буруу интеграл анхны төрөл-тай хязгааргүй хязгаарИнтеграци нь дараах хэлбэртэй байна.

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?Энэ интегралыг хоёр буруу интегралын нийлбэрээр илэрхийлэх ёстой.
(Ухаалаг бүх зүйл энгийн) ба нөхцөл байдлыг хараарай:
Анхаарна уу: Тэгийн оронд дурын тоог ашиглаж болох ч тэг нь ихэвчлэн хамгийн тохиромжтой байдаг.

Жишээ 9

Зохисгүй интегралыг тооцоолох эсвэл түүний дифференцийг тогтоох.

Интеграл нь бүхэл тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Бид интегралыг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлнэ.

мөн тэдгээрийг тусад нь шийдвэрлэх:

Тиймээс:
, өөрөөр хэлбэл зохисгүй интеграл байдаг ба нийлдэг.

Одоо интеграл функцэд анхаарлаа хандуулцгаая. Тэр бол бүр.
Хязгааргүй хязгаартай (тиймээс тэгш хэмт интегралын интервалтай) зохисгүй интегралд паритетыг ашиглаж болно. Тодорхой интегралтай адил интервалыг хоёр дахин багасгаж, үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь ашигтай байдаг.

Энэ яагаад боломжтой вэ? Тэгш функцийн интегралын график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Үүний үр дүнд, талбайн хагас нь төгсгөлтэй бол (интеграл нийлдэг) талбайн тэгш хэмтэй тал нь мөн төгсгөлтэй байна. Талбайн тал нь хязгааргүй бол (интеграл нь хуваагддаг) тэгш хэмтэй тал нь бас хуваагдана. Гурав дахь тохиолдлын талаар бүү мартаарай: хэрэв хагас нь байхгүй бол хоёр дахь нь, мөн бүхэл бүтэн интеграл. Жишээ нь:
– энэ хязгаар байхгүй, энэ нь буруу интеграл байхгүй гэсэн үг.

Илүү сонирхолтой тохиолдол руу шилжье:

Жишээ 10

Конвергенцийн зохисгүй интегралыг судал.

Даалгаварт анхаарлаа хандуулаарай - энд нөхцөл нь интеграл байгаа гэсэн баримтыг илэрхийлэхээ больсон.

Интеграл нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй байх ба академик хэв маягаар бид өвчтөнийг хоёр хэсэгт хуваадаг.

Эхнийхийг нь шийдье:

ба хоёр дахь нь:

Мөн интеграл аль аль нь байгаа хэдий ч тусад нь diverge – эцсийн интеграл ерөнхий тохиолдол байхгүй, учир нь хэмжээ тодорхойлогдоогүй. Яагаад? "a" хувьсагч нь "хасах хязгааргүй" байх хандлагатай байдаг тул жишээлбэл, "be" хувьсагчаас "нэмэх хязгааргүй"-ээс ИЛҮҮ ХУРДАН (эсвэл эсрэгээр).

Гэхдээ онцгой зүйл бий онцгой тохиолдол– хоёр хувьсагч нь хязгааргүйд ижил хандлагатай байх үед. Үүнийг хязгаараар илэрхийлнэ:

гэж нэрлэдэг Коши интегралын конвергенц . Хязгаарын маш утгыг гэж нэрлэдэг буруу интегралын тэргүүлэх утга .

Тэгээд нөхцөл байдал биднийг шаардсан тул судалгаа, тэгвэл дараах хүмүүс бичиг үсэгтэй болно хариулах: ерөнхий тохиолдолд буруу интеграл байхгүй, харин Коши нийлэлт явагдах ба интегралын үндсэн утга тэгтэй тэнцүү байна. Үндсэн утгыг ихэвчлэн дараах байдлаар илэрхийлдэг.

Тэгээд одоо Маш чухал цэг : интеграл нь хачин, мөн та зөв таамагласнаар, Хязгааргүй хязгаартай буруу интегралд сондгой байдлыг ХЭРЭГЛЭХ БИШ!!!

Энэ нь тодорхой интегралаас ялгаатай. Тэнд та үүнийг аюулгүйгээр бичиж болно, гэхдээ энд та мөн адил зүйлийг хийж болно тэгэх ёсгүй. Яагаад? Учир нь зарим тохиолдолд жишээ нь авч үзсэн шиг автомат алдаа гарах бөгөөд энэ нь үнэн биш юм.

Нарийн тал нь зарим нэг салшгүй хэсэг юм сондгой функцуудмөн үнэндээ тэгтэй тэнцүү байна! Мөн энэ нарийн чанарыг зориулдаг дараагийн жишээбие даасан шийдвэр гаргахын тулд.