Алгебрийн тэгшитгэл. Алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Унциклопедийн материал

Алгебрийн тэгшитгэлүүд нь P(x 1, ..., x n) = O хэлбэрийн тэгшитгэлүүд бөгөөд P нь x 1, ..., x n хувьсагчдын олон гишүүнт юм. Эдгээр хувьсагчдыг үл мэдэгдэх хувьсагч гэж нэрлэдэг. Хэрэв x 1-ийг 1-ээр, x 2-ыг 2-оор сольсон тохиолдолд (a 1, ..., a n) тоонуудын эрэмбэлэгдсэн багц нь энэ тэгшитгэлийг хангана. зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна (жишээлбэл, дараалсан гурвалсан тоо (3, 4, 5) нь x 2 + y 2 = z 2 тэгшитгэлийг хангана, учир нь 3 2 + 4 2 = 5 2). Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг хангасан тоог уг тэгшитгэлийн үндэс гэнэ. Өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангасан бүх тооны багц нь энэ тэгшитгэлийн шийдүүдийн багц юм. Ижил шийдтэй хоёр алгебрийн тэгшитгэлийг эквивалент гэж нэрлэдэг. P олон гишүүнтийн зэргийг P(x 1, ..., x n) = 0 тэгшитгэлийн зэрэг гэнэ. Жишээ нь: 3x - 5y + z = c нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл, x 2 + y 2. = z 2 нь хоёр дахь зэрэг, х 4 нь 3х 3 + 1 = 0 - дөрөвдүгээр зэрэг юм. Эхний зэргийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг (Шугаман тэгшитгэлийг үзнэ үү).

Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл нь хязгаарлагдмал тооны үндэстэй ба алгебрийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн багц их тооүл мэдэгдэх зүйлс илэрхийлж болно хязгааргүй олонлогтодорхой тооны багц. Тиймээс тэд ихэвчлэн n үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг биш, харин тэгшитгэлийн системийг авч үздэг бөгөөд өгөгдсөн системийн бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах тооны багцыг хайдаг. Эдгээр бүх багцын хослол нь системийн шийдлүүдийн багцыг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1 )).

Нэг үл мэдэгдэх 1-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг аль хэдийн шийдсэн Эртний Египетба Эртний Вавилон. Вавилоны бичээчид квадрат тэгшитгэл, түүнчлэн энгийн системийг шийдэж чаддаг байв шугаман тэгшитгэлба 2-р зэргийн тэгшитгэлүүд. Тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан тэд мөн 3-р зэргийн зарим тэгшитгэлийг шийдсэн, жишээ нь x 3 + x = a. IN Эртний Грекквадрат тэгшитгэлийг геометрийн байгууламж ашиглан шийдсэн. Грекийн математикч Диофант (III зуун) олон үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг боловсруулсан. рационал тоо. Жишээлбэл, тэрээр x 4 - y 4 + z 4 = n 2 тэгшитгэл, у 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3 гэх мэт тэгшитгэлийн системийг оновчтой тоогоор шийдсэн. (Диофантины тэгшитгэлийг үзнэ үү).

Зарим геометрийн асуудлууд: шоо хоёр дахин нэмэгдэх, өнцгийн гурвалсан хэсэг (харна уу. Сонгодог асуудлуудэртний), ердийн долоон өнцөгт барих - куб тэгшитгэлийн шийдэлд хүргэдэг. Шийдлийн явцад огтлолцох цэгүүдийг олох шаардлагатай байв конус хэсгүүд(эллипс, парабол ба гипербол). Давуу талыг ашиглаж байна геометрийн аргууд, Дундад зууны Дорнодын математикчид куб тэгшитгэлийн шийдлийг судалжээ. Гэсэн хэдий ч тэд үүнийг шийдэх томьёог гаргаж чадаагүй байна. Баруун Европын математикийн анхны томоохон нээлтийг 16-р зуунд олж авсан. куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо. Учир нь тэр үед сөрөг тоонуудөргөн тархаагүй байгаа тул x 3 + px = q, x 3 + q = px гэх мэт төрлийн тэгшитгэлүүдийг тусад нь шинжлэх шаардлагатай болсон.Италийн математикч С.Дель Ферро (1465-1526) x 3 тэгшитгэлийг шийдсэн. + px = q гэсэн хариултыг хүргэн, шавь A. M. Fiore-д дуулгасан бөгөөд тэрээр өөрөө өөрийгөө сургадаг гайхалтай математикч Н. Тартаглиаг (1499-1557) математикийн тэмцээнд урьсан юм. Тэмцээн эхлэхээс хэдхэн хоногийн өмнө Тарталиа куб тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий аргыг олж, түүнд санал болгосон 30 бодлогыг бүгдийг нь хурдан шийдэж, ялалт байгуулав. Гэсэн хэдий ч x 3 + px + q = 0 тэгшитгэлийг шийдэх Тартаглиагийн олсон томьёо.

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

Алгебрийн бэлгэдлийг бий болгох, хүртэлх тооны тухай ойлголтыг нэгтгэх нийлмэл тоо XVII-XVIII зууны үед зөвшөөрөгдсөн. судалгаа ерөнхий шинж чанаруудалгебрийн тэгшитгэл илүү өндөр зэрэгтэй, түүнчлэн нэг болон хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтүүдийн ерөнхий шинж чанарууд.

Хамгийн нэг нь чухал ажлууд 17-18-р зууны алгебрийн тэгшитгэлийн онол. 5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёог олж байв. 18-р зууны Францын эрдэмтний хүчин чармайлтаар олон үеийн алгебристуудын үр дүнгүй хайлтуудын дараа. Ж.Лагранж (1736-1813), Италийн эрдэмтэн П.Руффини (1765-1822), Норвегийн математикч Н.Абел нар XVIII сүүл - XIX эхэн үеВ. 5-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг зөвхөн арифметик үйлдлүүд болон үндсийг гарган авах замаар тэгшитгэлийн коэффициентээр илэрхийлэх томьёо байдаггүй нь батлагдсан. Эдгээр судалгааг Э.Галуагийн ажил гүйцэтгэсэн бөгөөд түүний онол нь аливаа тэгшитгэлийн үндэс нь радикалаар илэрхийлэгдсэн эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнээс өмнө ч К.Ф.Гаусс хэлээр илэрхийлэх асуудлыг шийдэж байжээ дөрвөлжин радикалууд x n - 1 = 0 тэгшитгэлийн үндэс, үүнд луужин ба захирагч ашиглан ердийн n-гоног байгуулах асуудал багасна. Ялангуяа эдгээр хэрэгслийг ашиглан ердийн долоон өнцөгт, есөн өнцөгт гэх мэтийг бүтээх боломжгүй юм. - n нь 2 2k + 1 хэлбэрийн анхны тоо эсвэл энэ хэлбэрийн өөр анхны тоонуудын үржвэр байх тохиолдолд л ийм бүтэц бий болно.

Шийдвэрлэх томьёо хайхын зэрэгцээ тодорхой тэгшитгэлаливаа алгебрийн тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх асуудлыг судалсан. 18-р зуунд Францын философич, математикч Ж.Д'Аламбер нийлмэл коэффициент бүхий тэг биш зэрэгтэй аливаа алгебрийн тэгшитгэл дор хаяж нэгтэй болохыг баталсан. цогц үндэс. Д'Аламберын нотолгоонд цоорхой байсан бөгөөд дараа нь түүнийг Гаусс дүүргэсэн n-р олон гишүүнтх-ийн хүчийг n шугаман хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалдаг.

Одоогийн байдлаар алгебрийн тэгшитгэлийн системийн онол нь алгебрийн геометр гэж нэрлэгддэг математикийн бие даасан салбар болж хувирсан. Энэ нь ийм тэгшитгэлийн системээр тодорхойлсон илүү өндөр хэмжээст шугам, гадаргуу, олон талт байдлыг судалдаг.

Математик сонирхдог оюутнуудад дээд эрэмбийн алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үр дүнтэй аргаҮндэсийг хурдан олох, үлдэгдлийг x – a хоёр тоогоор эсвэл сүх + b гэж хуваах нь Хорнерийн схем юм.

Хорнерын схемийг авч үзье.

P(x)-ийг x – a-д хуваахдаа бүрэн бус хэсгийг тэмдэглэе

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1, үлдэгдэл нь b n байна.

P(x) = Q(x)(x–) + b n тул тэгш байдал биелнэ

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(x–a) + b n

Баруун талын хаалтуудыг нээж, коэффициентүүдийг харьцуулж үзье тэнцүү градус x зүүн ба баруун. Бид a 0 = b 0 ба 1 гэсэн утгыг олж авна < к < n харьцаа a k = b k - a b k-1 барина. Эндээс b 0 = a 0 ба b k = a k + a b k-1, 1 байна < к < n.

Бид олон гишүүнт Q(x) ба үлдсэн b n-ийн коэффициентүүдийн тооцоог хүснэгт хэлбэрээр бичнэ.

Жишээ 1. 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 олон гишүүнтийг x + 1-д хуваа.

Шийдэл. Бид Хорнерын схемийг ашигладаг.

2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1-ийг x + 1-д хуваахад бид 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1 болно.

Хариулт: 2х 3 – 9х 2 + 6х – 1

Жишээ 2. P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1 байх P(3)-ийг тооцоол.

Шийдэл. Безутын теорем ба Хорнерын схемийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт: P(3) = 535

Дасгал хийх

1) Хорнерын схемийг ашиглан олон гишүүнтийг хуваа

x + 2 дээр 4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2;

2) Олон гишүүнтийг хуваа

2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1 дээр x + 1;

3) x = 7 бол P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 олон гишүүнтийн утгыг ол.

1.1. Хайх оновчтой үндэсбүхэл тоон коэффициент бүхий тэгшитгэл

Бүхэл тоон коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлийн рационал язгуурыг олох аргыг дараах теоремоор өгөв.

Теорем:Хэрэв бүхэл тоон коэффициент бүхий тэгшитгэл байгаа бол оновчтой үндэс, тэгвэл тэдгээр нь чөлөөт гишүүний хуваагчийг тэргүүлэх коэффициентийн хуваагчаар хуваасан хэсэг юм.

Нотолгоо: a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0

x = p/q нь рационал язгуур, q, p нь хоёрдогч анхан юм.

Тэгшитгэлд p/q бутархайг орлуулж, хуваагчаас чөлөөлөгдөхөд бид олж авна.

a 0 p n + a 1 p n-1 q+ … + a n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

(1)-ийг хоёр аргаар дахин бичье:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

a 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Тэгш тэгшитгэлээс (2) a n q n нь p-д хуваагддаг ба үүнээс хойш q n ба p нь хоёрдогч, тэгвэл a n нь p-д хуваагдана. Үүний нэгэн адил тэгш байдал (3)-аас 0 нь q-д хуваагдана гэсэн үг. Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 1. 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. Тэгшитгэлд бүхэл язгуур байхгүй; Тэгшитгэлийн язгуур нь p/q-г бууруулж болохгүй бутархай гэж үзье, тэгвэл чөлөөт гишүүний хуваагчдаас p олно, өөрөөр хэлбэл. тоонуудын дунд ± 1, q нь тэргүүлэх коэффициентийн эерэг хуваагчдаас: 1; 2.

Тэдгээр. тэгшитгэлийн оновчтой язгуурыг ± 1, ± 1/2 тоонуудын дунд хайх ёстой, P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1) 0, P 3 (–1) 0 гэж тэмдэглэнэ. ,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 нь тэгшитгэлийн үндэс юм.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

Бид авна: x 2 (2x – 1) – 3x(2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2х – 1)(х 2 – 3х + 1) = 0.

Хоёрдахь хүчин зүйлийг тэгтэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийг шийдвэл бид олж авна

Дасгал

Тэгшитгэлийг шийдэх:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;
2. 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3. 3х 4 – 8х 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;

1.2. Харилцан тэгшитгэл ба шийдвэрлэх арга

Тодорхойлолт. Үл мэдэгдэх бүхэл тоон хүчин чадалтай тэгшитгэлийг зүүн талын төгсгөлөөс ижил зайд орших коэффициентүүд нь хоорондоо тэнцүү бол давтагдах гэж нэрлэдэг. хэлбэрийн тэгшитгэл

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Сондгой зэрэглэлийн харилцан тэгшитгэл

сүх 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + a = 0

үргэлж x = – 1 язгууртай. Иймд x + 1 = 0 ба тэгшитгэлийг нэгтгэсэнтэй тэнцэнэ. Сүүлийн тэгшитгэл нь тэгш хэмтэй харилцан адилгүй тэгшитгэл юм. Тиймээс аль ч зэрэгтэй харилцан тэгшитгэлийг шийдэх нь тэгш хэмтэй харилцан адилгүй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Тэгш зэрэгтэй харилцан адилгүй тэгшитгэл өгье

ax 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + a = 0

x = 0 нь тэгшитгэлийн үндэс биш гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь бид тэгшитгэлийг x n-д хуваавал бид олж авна

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Бид зүүн талын нөхцлүүдийг хосоор нь бүлэглэдэг

a(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

Бид x + x -1 = y орлуулалтыг хийнэ. x 2 + x -2 = y 2 – 2 илэрхийллүүдийг орлуулсны дараа;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 тэгшитгэлд бид тэгшитгэлийг авна. цагтАу n + By n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та хэд хэдэн асуудлыг шийдэх хэрэгтэй квадрат тэгшитгэл x + x -1 = y k хэлбэрийн, энд k = 1, 2, ... n. Тиймээс бид анхны тэгшитгэлийн үндсийг олж авна.

Жишээ 1. x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. x = – 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Хорнерын схемийг хэрэгжүүлье.

Бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3? 0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Бүлэглэснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Бид орлуулалтыг танилцуулж байна: ; ; .

Бид харьцангуй авдаг цагттэгшитгэл: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 = ± 3.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, , ,

бид үндсийг авна: , , ,

Хариулт: x 1 = -1, ,

Дасгал

Тэгшитгэлийг шийдэх.

1. 2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2. 2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
3. 15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хувьсагчийг орлуулах арга

Хувьсах солих арга нь хамгийн түгээмэл арга юм. Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх урлаг нь аль өөрчлөлт нь хамгийн их утга учиртай болохыг, амжилтанд илүү хурдан хүргэхийг харах явдал юм.

Хэрэв тэгшитгэл өгөгдсөн бол

F(f(x)) = 0, (1)

дараа нь үл мэдэгдэх y = f(x)-г орлуулснаар эхлээд тэгшитгэлд буурна

дараа нь (2) y 1 , y 2 , …, y n , … тэгшитгэлийн бүх шийдийг олсны дараа f(x) = y 1, f(x) = y 2 ,…, f тэгшитгэлийн багцыг шийдвэрлэх хүртэл бууруулна. (x) = y 2,...

Хувьсагчийг орлуулах аргыг хэрэгжүүлэх үндсэн арга замууд нь:

• бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах;
• биномын квадратыг тодруулах;
• тэгшитгэлийн системд шилжих;
• хаалтуудыг хосоор нь нээх;
• хашилтыг хосоор нь нээж, тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах;
• тэгшитгэлийн зэргийг бууруулах;
• давхар солих.

1.3.1. Тэгшитгэлийн хүчийг багасгах

(x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. x 2 + x + 2 = y гэж тэмдэглээд дараа нь y (y + 1) = 6-г авч, сүүлчийнхийг нь шийдээд у 1 = 2, y 2 = -3 болно. Энэ тэгшитгэл (3) нь x 2 + x + 2 = 2 тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна.

x 2 + x + 2 = -3

Эхнийхийг нь шийдэж бид x 1 = 0, x 2 = -1 болно. Хоёрдахь асуудлыг шийдэж, бид олж авна ,

Хариулт: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m хэлбэрийн дөрөв дэх зэргийн тэгшитгэл, энд a + b = c + d, эсвэл a + c = b + d, эсвэл a + d = b+c.

Жишээ. (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, эдгээр хос хаалтуудыг үржүүлбэл (x 2 - 5x - 14) (x 2 - 5x + 4) = 40 тэгшитгэлийг авна.

Орлуулахыг танилцуулъя: x 2 - 5x – 14 = y, y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0 тэгшитгэлийг авна. y 1 = -20, y. 2 = 2. Анхны хувьсагч руу буцаж очоод бид тэгшитгэлийн багцыг шийднэ.

1.3.3. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ex 2 хэлбэрийн тэгшитгэл,

Энд ab = cd, эсвэл ac =bd, эсвэл ad = bc. Хаалтуудыг хосоор нь нээж, хоёр хэсгийг х 2 0-оор хуваана.

Жишээ. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х 2

Шийдэл. Эхний болон гурав дахь, хоёр, дөрөв дэх хаалтанд байгаа тоонуудын үржвэр тэнцүү байна, i.e. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Заасан хос хаалтыг үржүүлээд (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2 тэгшитгэлийг бичье.

x = 0 нь тэгшитгэлийн язгуур биш тул тэгшитгэлийн хоёр талыг x 2 0-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна. , солих: , анхны тэгшитгэл t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4 гэсэн хэлбэртэй байна.

Анхны хувьсагч руу буцъя:

Бид эхний тэгшитгэлийг шийдэж, бид x 1.2 = 5 ± авна

Хоёр дахь тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Хариулт: x 1.2 = 5 ±

1.3.4. Дөрөв дэх хэлбэрийн тэгшитгэл (сүх 2 + b 1 x + c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2

Тэгшитгэл (ax 2 + b 1 x+ c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2, энд c 0, A 0 нь x = 0 үндэсгүй тул тэгшитгэлийг x 2-т хуваавал, бид тэнцүү тэгшитгэлийг авна , энэ нь үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулсны дараа дөрвөлжин хэлбэрээр дахин бичигдэх бөгөөд амархан шийдэж болно.

Нэр тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь өгөгдөл, hnaz. үл мэдэгдэх бөгөөд хүссэн зүйл юм. A. коэффициентүүд (1) бүгдийг тэг гэж тооцдоггүй. Хэрэв залгасан бол тэгшитгэлийн зэрэг.

Үл мэдэгдэх утгууд X,(1) тэгшитгэлийг хангадаг, өөрөөр хэлбэл оронд нь орлуулахдаа тэгшитгэлийг ижил шинж чанар болгон хувиргадаг. (1) тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн олон гишүүнтийн үндэс

fn(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+a n .(2)

Олон гишүүнтийн язгуурууд нь Виетийн томъёог ашиглан түүний коэффициентуудтай холбоотой байдаг (харна уу. Вьетагийн теорем). Тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь үл мэдэгдэх утгын мужид байрлах түүний бүх үндсийг олохыг хэлнэ.

Хэрэглээний хувьд хамгийн чухал тохиолдол бол тэгшитгэлийн коэффициент ба үндэс нь нэг буюу өөр шинж чанартай тоо (жишээлбэл, оновчтой, бодит эсвэл төвөгтэй) байх явдал юм. Коэффициент ба үндэс нь дурын элемент байх тохиолдолд энэ хэргийг мөн авч үзнэ талбайнууд.Хэрэв өгсөн дугаар(эсвэл талбайн элемент) -тайолон гишүүнтийн үндэс fn(X) , дараа нь дагуу Теоремгүйгээр f n(x).-аар хуваагддаг x-sул мөргүй. Хорнерын дагуу хуваалтыг хийж болно

схем. Дуудсан тоо (эсвэл талбарын элемент).к-цэрэг рүү олон гишүүнтийн үндэс f(x)( к-натурал тоо x-s), хэрэв f(x) нь (-д хуваагддаг бол) ) k , гэхдээ (x-с) -д хуваагдахгүй k+1 . 1-р үржвэрийн үндэс гэж нэрлэдэг.энгийн үндэс

олон гишүүнт.

Rime талбайн коэффициент бүхий n>0 зэрэглэлийн f(x) олон гишүүнт бүр нь Pn-д олон үндэстэй байх ба язгуур тус бүрийг үржвэрийнхээ хэмжээгээр олон дахин тоолдог (тиймээс өөр язгуураас илүүгүй). INалгебрийн хувьд хаалттай талбар

Зэрэглэлийн олон гишүүнт бүр яг үндэстэй (тэдгээрийн үржвэрийг тоолох). Ялангуяа энэ нь нийлмэл тоонуудын талбарт үнэн юм. Pnaz талбайн коэффициент бүхий ps градусын тэгшитгэл (1). талбарт бууруулж болохгүй R, Pnaz талбайн коэффициент бүхий ps градусын тэгшитгэл (1). талбарт бууруулж болохгүйхэрэв олон гишүүнт (2) нь энэ талбар дээр буурах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл тухайн талбар дээрх бусад олон гишүүнтүүдийн үржвэр хэлбэрээр дүрслэгдэх боломжгүй. зэрэг нь бага байнах. Үгүй бол олон гишүүнт ба харгалзах тэгшитгэлийг дуудна. өгсөн. Тэг зэрэгтэй олон гишүүнтүүд нь өөрөө бууруулж болдоггүй, бууруулж болдоггүй. Өгөгдсөн олон гишүүнт P талбарт буурах эсвэл буурах шинж чанар нь авч үзэж буй талбараас хамаарна. Тиймээс x 2 -2 олон гишүүнт нь рационал тооны талбарт буурах боломжгүй, учир нь өөрөөр хэлбэл энэ нь рационал язгууртай байх боловч талбарт буурах боломжтой болно.: бодит тоо x 2 - 2=(x+)(Ц22=(x+ X- ). Үүний нэгэн адил олон гишүүнт x 2 + 1 нь бодит тоонуудын талбарт буурах боломжгүй, харин комплекс тоонуудын талбарт буурдаг. Ерөнхийдөө комплекс тоонуудын талбарт зөвхөн 1-р зэрэглэлийн олон гишүүнтийг багасгах боломжгүй бөгөөд ямар ч олон гишүүнт хуваагдаж болно.шугаман хүчин зүйлүүд . Бодит тоонуудын талбарт зөвхөн бодит үндэсгүй 1-р зэргийн олон гишүүнт ба 2-р зэргийн олон гишүүнтийг л бууруулж болохгүй (мөн олон гишүүнт бүрийг шугаман болон бууруулж болохгүй гэж задалж болно)). Рационал тооны талбар дээр, жишээлбэл, олон гишүүнт хэлбэрийн олон гишүүнт зэрэг аль ч зэрэгтэй олон гишүүнтүүд байдаг. Рационал тоонуудын талбар дээрх олон гишүүнтийн бууралтгүй байдлыг Эйзенштейний шалгуураар тогтоодог: хэрэв олон гишүүнт (2) бол. Бүхэл тоон коэффициентүүдтэй p байна, тэргүүлэгч нь хуваагдахгүй p,бусад бүх коэффициентүүд нь -д хуваагддаг ба чөлөөт гишүүн нь дараа нь хуваагддаггүй бөгөөд энэ олон гишүүнт рационал тооны талбарт буурах боломжгүй болно.

Болъё R -захиалгат талбар. Талбар дээр буурах боломжгүй зэрэгтэй олон гишүүнтийн хувьд Pnaz талбайн коэффициент бүхий ps градусын тэгшитгэл (1). талбарт бууруулж болохгүйийм зүйл байдаг өргөтгөлолон гишүүнтийн дор хаяж нэг язгуурыг агуулсан P талбар нь олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл талбар байдаг; Pnaz талбайн коэффициент бүхий ps градусын тэгшитгэл (1). талбарт бууруулж болохгүйЭнэ олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйл болгон задалж болно. Аливаа талбар алгебрийн хувьд хаалттай байдаг.

Радикал дахь алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар. Ямар ч А.у. 4-өөс ихгүй градусыг радикалуудаар шийддэг. 2 ба 3-р зэргийн тодорхой төрлийн тэгшитгэлд хүргэдэг асуудлын шийдлийг эртний Вавилонд (МЭӨ 2000) олж болно (харна уу. Квадрат тэгшитгэл, Куб тэгшитгэл).Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолын анхны танилцуулгыг Диофант "Арифметик" номонд (МЭ 3-р зуун) оруулсан болно. Үсгийн коэффициент бүхий 3 ба 4-р зэргийн тэгшитгэлийн радикалуудын шийдлийг 16-р зуунд Италийн математикчид олж авсан. (см. Кардано, Феррари арга).Үүнээс хойш бараг 300 жилийн турш 5 ба түүнээс дээш түвшний үсгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг радикалуудаар шийдэх оролдлого амжилтгүй болсон. Эцэст нь 1826 онд Н.Абел энэ боломжгүй гэдгийг нотолсон.

Орчин үеийн жорАбелийн теорем: (1) × шууд утга бүхий коэффициент бүхий градусын тэгшитгэл × дурын талбар ба RF талбай оновчтой функцууд-аас коэффициентүүдтэй TO;Дараа нь тэгшитгэлийн язгуур (1) (талбайн зарим өргөтгөлд байрладаг P)ашиглан энэ тэгшитгэлийн коэффициентээр илэрхийлэх боломжгүй хязгаарлагдмал тоонэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд (талбарт утга учиртай P)ба үндэс тэмдэг (талбарыг өргөжүүлэхэд утга учиртай R).Өөрөөр хэлбэл, ерөнхий тэгшитгэл n>4 зэрэг нь радикалуудад уусдаггүй (226-р хуудсыг үз).

Гэсэн хэдий ч Абелийн теорем нь А бүрийг үгүйсгэхгүй. өгөгдөлтэй тоон коэффициент(эсвэл коэффициентүүд энэ талбайн) радикалуудад уусдаг. Аливаа төрлийн тэгшитгэлийг радикалуудаар шийддэг (жишээлбэл, бином тэгшитгэл). Бүрэн шийдэлямар нөхцөлд A. at. радикалуудад уусдаг, ойролцоогоор. 1830 он Э.Галуа (Э.Галуа).

Үндсэн Галуагийн онол A.-ийн уусгах чадварын талаар at. in radikals нь дараах байдлаар томьёологдсон: Η нь K талбайн коэффициентүүдтэй, K дээр үл буурах олон гишүүнт байг; Дараа нь: 1) хэрэв тэгшитгэлийн ядаж нэг язгуур нь энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр радикалаар илэрхийлэгдэж, радикалуудын илтгэгчид тэг К-ийн шинж чанарт хуваагдахгүй бол талбай дээрх энэ тэгшитгэлийн Галуа байна. шийдвэрлэх боломжтой; 2) эсрэгээр, хэрэв тэгшитгэлийн Галуа бүлэг f(x) = QКрестим талбар дээр, K нь тэгтэй тэнцүү эсвэл энэ бүлгийн найрлагын хүчин зүйлсийн бүх дарааллаас их байвал тэгшитгэлийн бүх язгуурыг коэффициентээр нь радикалаар илэрхийлдэг бөгөөд үүссэн радикалуудын бүх илтгэгч нь H байна. анхны тоонууд, мөн эдгээр радикалуудад харгалзах бином тэгшитгэлүүд нь эдгээрийг нэмсэн талбарт буурах боломжгүй юм.

Э.Галуа энэ теоремыг хэзээ тохиолдолд нотолсон К Храционал тооны талбар; Энэ тохиолдолд теоремыг боловсруулахад агуулагдах K талбайн шинж чанарын бүх нөхцөл шаардлагагүй болно.

Абелийн теорем нь Галуагийн теоремын үр дагавар юм, учир нь Галуагийн бүлэг тэгшитгэлийн ns зэрэгтэй тэгшитгэлийн талбар дээрх үсгийн коэффициентүүд Rrasional функцууд нь аль ч талбараас CN тэгш хэмтэй коэффициенттэй тэгшитгэлийн коэффициентүүд. бүлэг болон төлөө шийдвэрлэх боломжгүй юм. Аль ч тохиолдолд радикалуудад шийдэгдэхгүй оновчтой (бүр бүхэл тоо) коэффициент бүхий ps зэрэгтэй тэгшитгэлүүд байдаг. Ийм тэгшитгэлийн жишээ бол тэгшитгэл бөгөөд рН нь анхны тоо юм. Галуагийн онол нь өгөгдсөн алгоритмын шийдлийг багасгах аргыг ашигладаг. гэж нэрлэгддэг энгийн тэгшитгэлүүдийн гинжин хэлхээнд. уусгагч өгөгдсөн тэгшитгэл.

Радикал дахь тэгшитгэлийн шийдвэрлэх чадвар нь геометрийн асуулттай нягт холбоотой. луужин, захирагч ашиглан барилга байгууламж, ялангуяа тойрог хуваах асуудал nтэнцүү хэсгүүд (харна уу Тойргийн олон гишүүнт хуваагдал, анхдагч үндэс).

Тоон коэффициент бүхий нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл. A. u-ийн үндсийг олохын тулд. Бодит эсвэл нийлмэл тооны талбараас 2-оос дээш градусын коэффициентүүдтэй, дүрмээр бол ойролцоогоор тооцоолох аргыг ашигладаг (жишээлбэл, Параболик арга).Энэ тохиолдолд эхлээд олон үндэснээс салах нь тохиромжтой. c тоо нь олон гишүүнт ба түүний дериватив дарааллаар байвал олон гишүүнтийн k нугалах үндэс болно. кХ 1 багтсан үед тэг рүү очно. Хэрэв хамгийн томд хуваагдвал нийтлэг хуваагчЭнэ олон гишүүнт ба түүний уламжлалаас та олон гишүүнттэй ижил үндэстэй, гэхдээ зөвхөн эхний үржвэрийн олон гишүүнтийг авна. гэсэн утгатай олон гишүүнтийг байгуулах боломжтой энгийн үндэсОлон гишүүнтийн бүх үндэс ижил үржвэртэй байна. Олон гишүүнт нь олон үндэстэй, хэрэв тийм бол ялгаварлагчтэгтэй тэнцүү.

Хил хязгаар, язгуурын тоог тодорхойлох асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг. a-ийн бүх язгуурын (бодит ба нийлмэл) модулийн дээд хязгаараас цааш. (1) аливаа нарийн төвөгтэй коэффициентүүдээр бид тоог авч болно

Бодит коэффициентүүдийн хувьд илүү нарийвчлалтай хязгаарыг ихэвчлэн өгдөг Ньютоны арга.Тодорхойлолт руу дээд хязгаар эерэг үндэсэерэг доод хязгаар, түүнчлэн дээд ба доод хязгаарын тодорхойлолтыг бууруулдаг сөрөг үндэс.

Бодит үндэсийн тоог тодорхойлохын тулд хамгийн хялбар арга бол ашиглах явдал юм Декартын теорем.Хэрэв өгөгдсөн олон гишүүнтийн бүх язгуур нь бодит (жишээлбэл, бодит тэгш хэмтэй матрицын шинж чанарын олон гишүүнт) гэдгийг мэддэг бол Декартын теорем нь яг язгуурын тоог өгдөг. Олон гишүүнтийг авч үзвэл сөрөг язгуурын тоог олохын тулд ижил теоремыг ашиглаж болно. Олон үндэсгүй бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн өгөгдсөн интервалд (ялангуяа бүх бодит язгуурын тоо) орших бодит язгууруудын яг тоог дараах байдлаар олж болно. Штурма дүрэм.Декартын теорем бол онцгой тохиолдол юм БуданаХ Фурье теоремууд,тодорхой тогтмол интервалд агуулагдах бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн бодит язгуурын тоог дээд үнэлгээ өгөх.

Заримдаа тэд үндсийг нь олох сонирхолтой байдаг тусгай төрөл, тиймээс, жишээ нь, Hurwitz шалгуур нь шаардлагатай болон өгдөг хангалттай нөхцөлтэгшитгэлийн бүх үндэс (нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий) сөрөг бодит хэсгүүдтэй байхын тулд (харна уу. РусаХ Хурвицын шалгуур).

-тэй олон гишүүнтийн хувьд оновчтой коэффициентүүдтүүний бүх оновчтой үндсийг тооцоолох арга байдаг. Рационал коэффициенттэй олон гишүүнт бүхэл тоон коэффициенттэй олон гишүүнт үндэстэй бөгөөд үүнийг коэффициентийн бүх хуваагчийн нийтлэг тоогоор үржүүлснээр олж авдаг бууруулж болохгүй бутархайхэлбэрийн , тэдгээрийн хувьд rH нь тоонууд , H нь тооны хуваагч (мөн зөвхөн эдгээр бутархайнуудын аль ч бүхэл тооны хувьд тоо нь хуваагддаг).

Хэрэв бол олон гишүүнтийн бүх рационал язгуурууд (хэрэв тэдгээр нь огт байгаа бол) хуваагч бүхэл тоонууд болно. чөлөөт гишүүн, мөн харгис хүчээр олж болно.

Алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд. A.U системүүдийн тухай 1-р зэрэгтэй үзнэ үү Шугаман тэгшитгэл.

Хоёр A.U систем. хоёр үл мэдэгдэх ямар ч зэрэг x ба yдараах байдлаар бичиж болно.

Хаана Нэг үл мэдэгдэх H олон гишүүнт X.

Хэрэв та ямар нэгэн зүйл өгвөл тоон утга, та нэг үл мэдэгдэхээс тогтмол коэффициент бүхий хоёр тэгшитгэлийн системийг авна. Үр дүнЭнэ систем нь дараах тодорхойлогчтой байна.

Дараах мэдэгдэл үнэн: олон гишүүнтийн аль нэг нь нийтлэг язгууртай эсвэл хоёр тэргүүлэх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү бол тоо нь үр дүнгийн үндэс болно.

Тиймээс (3) системийг шийдэхийн тулд үр дүнгийн бүх язгуурыг олж, эдгээр үндэс бүрийг системд (3) орлуулж, эдгээр хоёр тэгшитгэлийн нийтлэг язгуурыг нэг үл мэдэгдэх утгыг олох хэрэгтэй. у.Үүнээс гадна хоёр олон гишүүнтийн нийтлэг язгуурыг олж, тэдгээрийг (3) системд орлуулж, нэг үл мэдэгдэх үр дүнд үүссэн тэгшитгэлүүд байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай. нийтлэг үндэс. Өөрөөр хэлбэл, системийн шийдэл нь хоёр A. at. хоёр үл мэдэгдэхтэй гэдэг нь нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдэж, нэг үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн нийтлэг язгуурыг (нэг үл мэдэгдэх хоёр ба түүнээс дээш олон гишүүнтийн нийтлэг язгуурууд нь тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийн үндэс) тооцоход хүрдэг. - АЛГЕБРИЙН тэгшитгэл, зүүн талд нь үл мэдэгдэх олон гишүүнт, баруун талд нь тэг байхаар хувиргаж болох тэгшитгэл. Олон гишүүнтийн зэргийг тэгшитгэлийн зэрэг гэнэ. Хамгийн энгийн алгебрийн тэгшитгэл: шугаман тэгшитгэл... ...

Зурагт нэвтэрхий толь бичиг Хоёрыг тэнцүүлэх замаар олж авсан тэгшитгэлалгебрийн илэрхийллүүд . Жишээлбэл, x2+xy+y2 =x+1. Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийг aо + a1x + ... + anxn=0 ... хэлбэрт шилжүүлж болно.

Том нэвтэрхий толь бичигалгебрийн тэгшитгэл - - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи-орос толь бичиг. М.: ЦНИС-ийн улсын үйлдвэр, 2003.] Сэдвүүдмэдээллийн технологи ерөнхийдөө EN олон гишүүнт тэгшитгэл ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага - хоёр алгебрыг тэнцүүлэх замаар олж авсан тэгшитгэл. илэрхийллүүд. Жишээлбэл, x2 + xy + y2 = x+ 1. A.y. нэг үл мэдэгдэх х-тэй ao + a1x+ ... + anxn = 0 ... хэлбэрт хувирч болно.

Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг Математикийн дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн алгебрийн тэгшитгэл юм. Алгебрийн тэгшитгэлийн дөрөв дэх зэрэг нь хамгийн өндөр байдаганалитик шийдэл дахь радикалуудадерөнхий үзэл

(өөрөөр хэлбэл ямар ч үнэ цэнийн хувьд ... ... Википедиа 5-тай 6-р зэргийн олон гишүүнтийн графикчухал цэгүүд . Зургаа дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл нь алгебрийн тэгшитгэл юмдээд зэрэг

6. Ерөнхийдөө дараах байдлаар бичиж болно... Википедиа

Тэгшитгэлийн төрөлАлгебрийн тэгшитгэл. fnМаягтын тэгшитгэл fn– нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчийн олон гишүүнтийг алгебрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт гэдэг нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм

fn = а 0 x i y j ... v k + a 1 xл y м ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

Хаана x, y, ..., vхувьсагч ба би, j, ..., r- илтгэгч (бүхэл тоо) сөрөг бус тоо). Нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийг дараах байдлаар бичнэ.

е(x) = а 0 x n + а 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n

эсвэл онцгой тохиолдолд 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийн аливаа тэгшитгэл юм е(x) = 0. Хэрэв а 0 ¹ 0, тэгвэл nтэгшитгэлийн зэрэг гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 2 x+ 3 = 0 – нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл; Функцийн графикаас хойш нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шугаман гэж нэрлэдэг у = сүх + бшулуун шугам шиг харагдаж байна. Хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг квадрат, гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг куб гэж нэрлэдэг. Дээд зэрэглэлийн тэгшитгэлүүд нь ижил төстэй нэртэй байдаг.

Трансцендент тэгшитгэл.Логарифм, экспоненциал, эсвэл зэрэг трансцендент функц агуулсан тэгшитгэлүүд тригонометрийн функц, трансцендентал гэж нэрлэдэг. Жишээ нь болно дараах тэгшитгэлүүд:

Энд log нь 10-р суурьтай логарифм юм.

Дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь нэг буюу хэд хэдэн функц, тэдгээрийн дериватив эсвэл дифференциал агуулсан тэгшитгэлд өгсөн нэр юм. Дифференциал тэгшитгэл нь байгалийн хуулиудыг үнэн зөв гаргах маш үнэ цэнэтэй хэрэгсэл болох нь батлагдсан.

Интеграл тэгшитгэл.Интеграл тэмдгийн доор үл мэдэгдэх функц агуулсан тэгшитгэлүүд, жишээлбэл, е (с) = ò К (с, т) е(т) dt, Хаана е(с) Мөн К(с,т) өгөгдсөн, ба е(т) олох шаардлагатай.

Диофантийн тэгшитгэл.Диофантийн тэгшитгэл нь бүхэл тооны коэффициент бүхий хоёр ба түүнээс дээш үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл бөгөөд түүний шийдлийг бүхэл тоо эсвэл рационал тоогоор хайдаг. Жишээлбэл, тэгшитгэл 3 x – 5y= 1 шийдэлтэй байна x = 7, y= 4; ерөнхийдөө түүний шийдлүүд нь хэлбэрийн бүхэл тоо юм x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГИЙГ ШИЙДЭХ

Дээрх бүх төрлийн тэгшитгэлийн хувьд нийтлэг аргуудшийдэл байхгүй. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд, ялангуяа тодорхой төрлийн алгебрийн тэгшитгэлийн хувьд хангалттай байдаг бүрэн онолтэдний шийдвэр.

Шугаман тэгшитгэл.Эдгээр энгийн тэгшитгэлийг үл мэдэгдэхийн утга шууд харагдах эквивалент тэгшитгэл болгон бууруулж шийддэг. Жишээлбэл, тэгшитгэл x+ 2 = 7-ийг тэнцүү тэгшитгэл болгон бууруулж болно x= 5-ын тоог баруун, зүүн талаас нь 2-ыг хасна. Холих алхамууд энгийн тэгшитгэл, Жишээ нь, x+ 2 = 7, эквивалент нь дөрвөн аксиомыг ашиглахад үндэслэсэн болно.

1. Хэрэв тэнцүү утгуудижил тоогоор нэмэгдвэл үр дүн нь тэнцүү байх болно.

2. Хэрэв та ижил тооноос ижил тоог хасвал үр дүн нь тэнцүү болно.

3. Хэрэв тэнцүү утгыг ижил тоогоор үржүүлбэл үр дүн нь тэнцүү болно.

4. Хэрэв тэнцүү хэмжигдэхүүнийг ижил тоонд хуваавал үр дүн нь тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 2-р тэгшитгэлийг шийдэх x+ 5 = 15, бид 2-р аксиомыг ашиглаж, баруун болон зүүн талаас 5-ын тоог хасч, 2-р тэнцүү тэгшитгэлийг гаргана. x= 10. Дараа нь бид 4-р аксиомыг ашиглаж, үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-т хуваасны үр дүнд анхны тэгшитгэл хэлбэрт хүрнэ. x= 5, энэ нь хүссэн шийдэл юм.

Квадрат тэгшитгэл.Ерөнхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд сүх 2 + bx + c= 0-ийг томъёогоор авч болно

Тиймээс тодорхой тохиолдолд давхцаж болох хоёр шийдэл байдаг.

Бусад алгебрийн тэгшитгэлүүд.Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёотой төстэй тодорхой томьёог зөвхөн гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд бичиж болно. Гэхдээ эдгээр томъёо нь нарийн төвөгтэй бөгөөд үндсийг нь амархан олоход үргэлж тусалдаггүй. Тав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд тэдний хувьд Н.Абел 1824 онд нотолсончлан үүнийг зааж өгөх боломжгүй юм. ерөнхий томъёо, энэ нь тэгшитгэлийн язгуурыг радикалуудыг ашиглан коэффициентээр нь илэрхийлэх болно. Зарим онцгой тохиолдлуудад өндөр зэрэгтэй тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлээр хялбархан шийдэж болно зүүн тал, өөрөөр хэлбэл хүчин зүйл болгон тооцох.

Жишээлбэл, тэгшитгэл x 3 + 1 = 0-ийг хүчин зүйлчилсэн хэлбэрээр бичиж болно ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Хүчин зүйл бүрийг тохируулснаар бид шийдлийг олдог тэгтэй тэнцүү:

Тиймээс үндэс нь тэнцүү байна x= –1, өөрөөр хэлбэл. зөвхөн 3 үндэс.

Хэрэв тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр ангилах боломжгүй бол ойролцоо шийдлүүдийг ашиглана. Ойролцоогоор шийдлийг олох үндсэн аргуудыг Хорнер, Ньютон, Греффе нар боловсруулсан. Гэсэн хэдий ч бүх тохиолдолд шийдэл байдаг гэдэгт итгэлтэй байдаг: алгебрийн тэгшитгэл n-Яг зэрэгтэй nүндэс

Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно

Ийм системийн шийдлийг тодорхойлогчдыг ашиглан олно

Энэ нь утга учиртай Хэрэв Д= 0 бол хоёр тохиолдол боломжтой. (1) Тодорхойлогчдын дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй; тэгшитгэлүүд хоорондоо нийцэхгүй байна. Тоон жишээийм нөхцөл байдал - систем

(2) Тодорхойлогч хоёр нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэл нь эхнийхийнхээ үржвэр бөгөөд оршин байна хязгааргүй тоошийдвэрүүд.

Ерөнхий онолавч үзэж байна мшугаман тэгшитгэлүүд nхувьсагч:

Хэрэв m = nба матриц ( a ij) нь доройтдоггүй бол шийдэл нь өвөрмөц бөгөөд Крамерын дүрмийг ашиглан олж болно.

Хаана Жи – алгебрийн нэмэлтэлемент a ijматрицад ( a ij). Илүү их ерөнхий утгаарааДараах теоремууд байдаг. Болъё r– матрицын зэрэглэл ( a ij), с- хүрээтэй матрицын зэрэглэл ( a ij; б би) -аас авсан a ijтооны баганыг нэмэх б би. Дараа нь: (1) хэрэв r = s, тэгвэл байна n–rшугаман бие даасан шийдвэрүүд; (2) хэрэв r< s , тэгвэл тэгшитгэлүүд хоорондоо зөрчилдөж, шийдэл байхгүй болно.

АЛГЕБРИЙН тэгшитгэл, F(x 1 ,…,x m)=0 хэлбэрийн тэгшитгэл, F нь m хувьсагчтай олон гишүүнт бөгөөд үүнийг үл мэдэгдэх гэж нэрлэдэг.

Олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь тогтмол үндсэн K талбарт хамаарна гэж үздэг. Алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь K талбараас (эсвэл түүний) үл мэдэгдэх утгын x * 1,..., x * m олонлог юм. өргөтгөл), F олон гишүүнт орлуулсны дараа үүнийг тэг болгон хувиргана. Алгебрийн тэгшитгэлийн онолын гол ажил бол өгөгдсөн алгебрийн тэгшитгэл нь шийдэлтэй байх нөхцөл, бүх шийдлийн багцын тайлбарыг тодруулах явдал юм.

Нэг үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

n>0 ба a 0 ≠ 0 гэж таамаглаж байна. n тоог тэгшитгэлийн зэрэг гэж нэрлэх ба a 0, a 1 ..., n тоонуудыг түүний коэффициент гэнэ. Тэгшитгэлийн шийдэл болох үл мэдэгдэх х-ийн утгыг түүний үндэс, мөн F(x) олон гишүүнтийн үндэс гэж нэрлэдэг. Хэрэв α нь (1) тэгшитгэлийн үндэс бол F(x) олон гишүүнт (x-α) (Безутын теорем) -д үлдэгдэлгүй хуваагдана. F(x) олон гишүүнт нь (x-α)k-д хуваагдаж, (x-α)k-д хуваагдахгүй бол үндсэн K талбайн (эсвэл түүний өргөтгөлийн) α элементийг алгебрийн тэгшитгэлийн k нугалах үндэс гэнэ. +1. Олон тооны 1-ийн язгуурыг тэгшитгэлийн энгийн үндэс гэж нэрлэдэг.

K талбайн коэффициент бүхий n зэрэгтэй олон гишүүнт бүр нь K-д n-ээс ихгүй үндэстэй байх ба тэдгээрийн үржвэрийг харгалзан язгууруудыг тоолно. Хэрэв K талбар нь алгебрийн хувьд хаалттай бол ийм олон гишүүнт бүр нь үржвэрийг нь харгалзан яг n үндэстэй байна. Ялангуяа энэ нь нийлмэл тоон С (алгебрийн үндсэн теорем) талбарт үнэн юм. Безоутын теоремоос F(x)-ийг хэлбэрээр илэрхийлж болно

Энд α 1,.....α n нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүд нь Вьетагийн томъёогоор холбогддог

n≤ 4 зэрэгтэй тэгшитгэл бүрийг радикалаар шийдэж болно. Энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын хувьд язгуурыг тэгшитгэлийн коэффициентээр илэрхийлэх тодорхой томьёо байдаг бөгөөд зөвхөн нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, үндсийг задлах аргыг ашигладаг гэсэн үг юм. n=2 (квадрат тэгшитгэл) тохиолдолд томъёонууд нь хэлбэртэй байна

2, 3-р зэрэглэлийн тодорхой төрлийн тэгшитгэлүүдийг бууруулах асуудлын шийдлийг дөрвөлжин бичвэрээс олж болно. Эртний Вавилон. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолын анхны танилцуулгыг Диофантийн "Арифметик" (3-р зуун) номонд оруулсан болно. 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн радикалуудын шийдлийг ерөнхий хэлбэрээр Италийн математикч Г.Кардано, Л.Феррари нар 16-р зуунд гаргажээ. Бараг 300 жилийн турш олох гэж оролдсон ерөнхий шийдэл 4-ээс их градусын тэгшитгэлийн радикалуудад. 1826 онд Н.Абель энэ нь боломжгүй гэдгийг нотолсон (гэхдээ n>4 градусын тодорхой тэгшитгэлийн хувьд ийм томьёо байх боломжийг үгүйсгэхгүй). Ямар нөхцөлд алгебрийн тэгшитгэлийг радикалаар шийдвэрлэх боломжтой вэ гэсэн асуултын бүрэн шийдлийг Э.Галуа (1830 онд) олж авсан. Радикал дахь тэгшитгэлийн шийдвэрлэх чадварын тухай асуулт нь асуулттай нягт холбоотой юм геометрийн байгууламжуудлуужин ба захирагч ашиглах, ялангуяа тойргийг n тэнцүү хэсэгт хуваах, шоо хоёр дахин нэмэгдүүлэх, өнцгийг гурвалсан зүсэх, тойргийг квадрат болгох боломжгүйг нотлох.

Хэрэглээний хувьд тэгшитгэлийн коэффициент ба үндэс нь тоо (Z бүхэл тоо, Q рациональ, R реал эсвэл С комплекс тоонуудын талбаруудаас) байх тохиолдол маш чухал байдаг; Энэ тохиолдолд эдгээр талбаруудын тусгай шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг (жишээлбэл, топологи байгаа эсэх эсвэл тэдгээрийн дараалал). Энэ тохиолдолд тусгай функцийг ашиглан та 4-өөс дээш градусын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тодорхой томъёог авч болно.

R ба C-ийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийн үндсийг бодитоор олохын тулд ойролцоо аргыг ашигладаг. Бодит коэффициент бүхий тэгшитгэлийн бодит язгуурын тоог дээрээс нь тооцоолохын тулд та Декартын теоремыг ашиглаж болно: эерэг язгуурын тоо, тэдгээрийн үржвэрийг харгалзан үзвэл тэнцүү буюу тэнцүү байна. тэгш тоотэгшитгэлийн тэг бус коэффициентүүдийн дарааллын тэмдгийн өөрчлөлтийн тооноос бага.

Үндэсний утгын талаар олон тооны тооцоолол байдаг. Тиймээс C талбар дээр |α i |, i = 1, ..., n, утгаас хэтрэхгүй байна.

Хэрэв коэффициентүүд нь бодит бөгөөд 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0 бол тэгшитгэлийн бүх язгуурууд дээр оршино. нарийн төвөгтэй хавтгайнэгж тойрогт.

Тогтвортой байдлын асуудлыг судлахтай холбогдуулан механик системүүдӨгөгдсөн олон гишүүнт F(x)-ийн бүх үндэс хэзээ сөрөг бодит хэсгүүдтэй байх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ (Рут-Хюрвицийн бодлого). Ийм олон гишүүнт F-г тогтвортой гэж нэрлэдэг. Тогтвортой олон гишүүнтийн гол үр дүн нь C.Hermite, Английн эрдэмтэн Э.Рут, Германы математикч А.Хурвиц, И.Шур нар юм.

Хэд хэдэн үл мэдэгдэх алгебрийн тэгшитгэлийн системийг алгебрийн геометрээр судалдаг. Тусдаа хэсэг болох Диофантийн тэгшитгэлийн онол нь Q талбар гэх мэт нээлттэй талбар дээрх алгебрийн тэгшитгэлийн судалгааг агуулдаг.

Алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй тэгшитгэлийн систем юм

Шугаман алгебрт 1-р зэргийн тэгшитгэлийн системийг (шугаман тэгшитгэл) судалдаг.

Алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийн тоон дээрх хамгийн энгийн үр дүн нь k байх тохиолдолд хамаарна. нэгэн төрлийн тэгшитгэл k + 1 хувьсагчаас. Бүх x 1 * ,...,x x+1 k шийдлүүд нь λ 1 * ..., λх k+1 * шийдлийн ангиудад нэгтгэгдэх ба энд λ≠0 нь K талбарт хамаарна. Дараа нь бус тоо Системийн шийдлүүдийн олон талт байдлыг харгалзан тэг (анги). ерөнхий тохиолдол F 1, ..., F k олон гишүүнтүүдийн зэрэглэлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Ерөнхий нөхцөл нь F 1, ..., F k олон гишүүнтүүдийн коэффициентүүд нь зарим алгебрийн төрөлд хамаарахгүй байх явдал юм. аффин орон зайА-аас бага хэмжээстэй коэффициентүүд (Безутын теорем).

Нэг төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх тохиолдолд тэдгээрийн шийдлийн тоог олохын тулд зэрэглэлээс илүү нарийн инвариантуудыг, тухайлбал Ньютоны олон талтуудыг ашиглах шаардлагатай. Хэрэв

Энд i=(i 1 ,..i n) Є Z n тэгвэл F олон гишүүнт Ньютоны олон өнцөгт нь a i ≠ 0 байх i цэгийн R n зай дахь гүдгэр их бие юм. Арифметик тэгшитгэлийн системийн шийдийн тоо. F 1 , олон гишүүнтийн Ньютоны олон өнцөгтөөр илэрхийлэгдэнэ. . . ,Fk.

Лит.: Мишина А.П., Проскуряков И.В. Дээд алгебр. Шугаман алгебр, олон гишүүнт, ерөнхий алгебр. М., 1965; Kurosh A.G. Дээд алгебрийн курс. М., 1975; Кострикин А.И. Алгебрийн танилцуулга. М., 1977; Постников M. M. Тогтвортой олон гишүүнт. М., 1981; Фадеев Д.К., Соминский И.С. Дээд алгебрийн асуудлууд. Санкт-Петербург, 2001 он.

И.В.Проскуряков, А.Н.Паршин.