Дурын бодит квадрат хэлбэрийг авч үзье

Түүний коэффициент матриц нь жинхэнэ тэгш хэмтэй байна. Тиймээс (IX Бүлэг, § 13-ыг үзнэ үү) энэ нь зарим бодит диагональ матрицтай ортогональ байдлаар төстэй, өөрөөр хэлбэл бодит ортогональ матриц байдаг.

Энд матрицын шинж чанарын тоонууд байна.

Учир нь ортогональ матриц, дараа нь (41) -ээс хувьсагчийн ортогональ хувиргалт дор хэлбэр нь дараах болно.

эсвэл түүнээс дээш нарийвчилсан бүртгэл

(42")

хэлбэрт ордог

. (43)

Теорем 7. Бодит квадрат хэлбэрашиглан үргэлж өгч болно ортогональ хувиргалтруу каноник хэлбэр(43); Энэ тохиолдолд матрицын шинж чанарын тоонууд байна.

Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт (43) ортогональ хувиргалтыг ашиглан багасгахыг үндсэн тэнхлэгт бууруулах гэж нэрлэдэг. Энэ нэр нь хоёр дахь эрэмбийн төв гипер гадаргуугийн тэгшитгэл,

, (44)

хувьсагчийн ортогональ хувиргалттай (42) нь каноник хэлбэрийг авдаг

. (45)

Хэрэв бид тэдгээрийг - хэмжээст Евклидийн орон зайн зарим ортонормаль суурьт координат гэж үзвэл тэдгээр нь ижил орон зайн шинэ ортонормаль суурьт координат байх ба тэнхлэгүүдийн "эргэлт" нь ортогональ хувиргалтаар хийгддэг (42). Шинэ координатын тэнхлэгүүд нь төв гадаргуугийн (44) тэгш хэмийн тэнхлэгүүд бөгөөд ихэвчлэн энэ гадаргуугийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг.

(43) томъёоноос маягтын зэрэглэл гарч ирнэ тоотой тэнцүү байнаматрицын 0 бус шинж чанарын тоонууд бөгөөд гарын үсэг нь матрицын эерэг ба сөрөг шинж чанарын тоонуудын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.

Эндээс, тухайлбал, дараахь санал гарч байна.

Хэрэв квадрат хэлбэрийн коэффициентүүд тасралтгүй өөрчлөгдөхөд түүний зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр байвал коэффициентийн өөрчлөлтийн үед түүний гарын үсэг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Энэ тохиолдолд коэффициентүүдийн тасралтгүй өөрчлөлт нь шинж чанарын тоонуудын тасралтгүй өөрчлөлтийг дагуулдаг гэдгийг бид дүгнэж байна. Зарим шинж чанарын тоо тэмдэг өөрчлөгдсөн тохиолдолд л гарын үсэг өөрчлөгдөж болно. Гэвч завсрын мөчид тухайн шинж чанарын тоо тэг болж, маягтын зэрэглэл өөрчлөгдөхөд хүргэдэг.. (48)

Өмнөх догол мөрөнд дурдсан квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах онолыг хоёр дахь эрэмбийн төв муруйн геометрийн онолтой зүйрлүүлэн бүтээсэн боловч энэ сүүлийн онолын ерөнхий дүгнэлт гэж үзэх боломжгүй юм. Үнэн хэрэгтээ манай онолд ямар ч доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглахыг зөвшөөрдөг бол хоёрдугаар эрэмбийн муруйг каноник хэлбэрт оруулах нь шугаман хувиргалтыг маш сайн ашиглах замаар хийгддэг. тусгай төрөл(2) нь онгоцны эргэлт юм. Энэ геометрийн онолГэсэн хэдий ч хувиргах матрицыг ортогональ байхыг шаардах замаар бодит коэффициент бүхий үл мэдэгдэх квадрат хэлбэрийн хувьд ерөнхийлөж болно. Энэ өөрчлөлтийг гэж нэрлэдэг ортогональ, мөн процедур өөрөө квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгт буулгах.

ТЕОРЕМ. Квадрат хэлбэр бүрийг зарим ортогональ хувиргалтаар каноник хэлбэрт оруулж болно.

БАТАЛГАА. Бид квадрат хэлбэрийн матрицыг заримынх нь матриц гэж үзэх болно шугаман операторЕвклидийн орон зайд. Хэрэв матриц нь квадрат хэлбэртэй бол дарааллын тэгш хэмтэй байна. Хэрэв Хэмжээст Евклидийн орон зайн зарим ортонормаль суурь, дараа нь матриц нь энэ үндсэн дээр тэгш хэмт операторыг тодорхойлдог. Евклидийн орон зай дахь тэгш хэмт операторуудын тухай үндсэн теоремоор, тохиромжтой ортонормаль суурь дээр түүний матриц нь диагональ байх болно. Шилжилтийн матрицыг -аас , дараа нь .

Харин матриц нь нэг ортонормаль баазаас нөгөөд шилжих матрицын хувьд теорем 2 §1.6-д зааснаар ортогональ байх тул . Тийм ч учраас . Тухайлбал, матрицтай үл мэдэгдэх шугаман хувиргалтанд өртөж, квадрат хэлбэрийн матриц ингэж хувирдаг.

Тиймээс матрицтай үл мэдэгдэхийг хувиргах нь ортогональ бөгөөд диагональ матриц нь квадрат хэлбэртэй тохирч байна. каноник хэлбэр. □

Суурин дахь шугаман операторын матрицаас бүрдэх баримт хувийн векторууд, диагональ хэлбэртэй (үндсэн диагональ дагуу хувийн утгатай) нь квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэрийг олох аргыг, мөн энэ ортогональ хувиргалтыг өөрөө өгдөг.

Жишээ 2.Квадрат хэлбэрийг багасгасан ортогональ хувиргалтыг ол

каноник үзэл рүү орж энэ канон үзлийг бичнэ үү.

Шийдэл. Энэ хэлбэрийн матриц нь хэлбэртэй байна

,

Түүнийг олъё онцлог олон гишүүнт:

.

Тиймээс матриц нь давхар язгуур, энгийн язгууртай. Тиймээс энэ квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь байх болно

.

Энэ бууралтыг хэрэгжүүлэх ортогональ хувирлыг олъё. Үүний тулд олсон хувийн утгуудад харгалзах хувийн векторуудыг олно , өөрөөр хэлбэл бид шугаман системийг шийддэг нэгэн төрлийн тэгшитгэлхүн бүрт.

Бидэнд байхад

.

Хаана , өөрөөр хэлбэл 2 бие даасан хувьсагч байдаг ба үндсэн багцшийдлүүд нь:

Тэдэнд ортогоналчлалын процессыг ашигласнаар бид олж авна.

Өмнөх догол мөрөнд дурдсан квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах онолыг хоёр дахь эрэмбийн төв муруйн геометрийн онолтой зүйрлүүлэн бүтээсэн боловч энэ сүүлийн онолын ерөнхий дүгнэлт гэж үзэх боломжгүй юм. Үнэн хэрэгтээ манай онол нь ямар ч доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглах боломжийг олгодог бол хоёр дахь эрэмбийн муруйг каноник хэлбэрт оруулах нь хавтгайн эргэлт болох маш онцгой төрлийн (2) шугаман хувиргалтыг ашиглах замаар хийгддэг. Гэхдээ энэхүү геометрийн онолыг хувиргах матрицыг ортогональ байх шаардлагаар бодит коэффициент бүхий үл мэдэгдэх квадрат хэлбэрийн хувьд ерөнхийд нь авч үзэж болно. Энэ өөрчлөлтийг гэж нэрлэдэг ортогональ, мөн процедур өөрөө квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгт буулгах.

ТЕОРЕМ. Квадрат хэлбэр бүрийг зарим ортогональ хувиргалтаар каноник хэлбэрт оруулж болно.

БАТАЛГАА. Бид квадрат хэлбэрийн матрицыг Евклидийн орон зай дахь зарим шугаман операторын матриц гэж үзэх болно. Хэрэв матриц нь квадрат хэлбэртэй бол дарааллын тэгш хэмтэй байна. Хэрэв Хэмжээст Евклидийн орон зайн зарим ортонормаль суурь, дараа нь матриц нь энэ үндсэн дээр тэгш хэмт операторыг тодорхойлдог. Евклидийн орон зай дахь тэгш хэмт операторуудын тухай үндсэн теоремоор, тохиромжтой ортонормаль суурь дээр түүний матриц нь диагональ байх болно. Шилжилтийн матрицыг -аас , дараа нь .

Харин матриц нь нэг ортонормаль баазаас нөгөөд шилжих матрицын хувьд теорем 2 §1.6-д зааснаар ортогональ байх тул . Тийм ч учраас . Тухайлбал, матрицтай үл мэдэгдэх шугаман хувиргалтанд өртөж, квадрат хэлбэрийн матриц ингэж хувирдаг.

Тиймээс матрицтай үл мэдэгдэх хувирал нь ортогональ бөгөөд диагональ матриц нь каноник хэлбэрийн квадрат хэлбэртэй тохирч байна. □

Өвөрмөц векторуудаас бүрдсэн шугаман операторын матриц нь диагональ хэлбэртэй байдаг (үндсэн диагональ дагуух хувийн утгууд) нь квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэрийг олох арга, мөн энэ ортогональ хувиргалтыг бидэнд өгдөг. өөрөө.

Жишээ 2.Квадрат хэлбэрийг багасгасан ортогональ хувиргалтыг ол

каноник үзэл рүү орж энэ канон үзлийг бичнэ үү.

Шийдэл. Энэ хэлбэрийн матриц нь хэлбэртэй байна

,

Түүний шинж чанарын олон гишүүнтийг олъё:

.

Тиймээс матриц нь давхар язгуур, энгийн язгууртай. Тиймээс энэ квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь байх болно

.

Энэ бууралтыг хэрэгжүүлэх ортогональ хувирлыг олъё. Үүний тулд олсон хувийн утгуудад харгалзах хувийн векторуудыг олно , өөрөөр хэлбэл бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг тус бүрээр нь шийдэх болно.

Бидэнд байхад

.

Хаана , өөрөөр хэлбэл 2 бие даасан хувьсагч байдаг бөгөөд шийдлүүдийн үндсэн багц нь:

Тэдэнд ортогоналчлалын процессыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Бидэнд байхад

.

Энэ системдараахтай тэнцүү байна:

,

хэний шийдэл байх вэ

- Шугаман алгебр

Квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэг болгон багасгах

Өмнө нь бид бодит бууруулах асуудлыг авч үзсэн

q(x)= \нийлбэр_(n=1)^(n) \нийлбэр_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n хувьсагч

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

хувьсагчийн доройтдоггүй шугаман өөрчлөлтийг ашиглан x=Sy. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид ашигласан.

Шийдлийн өөр аргыг авч үзье. S~(S^(-1)=S^T) ортогональ матрицтай x=Sy хэмжигдэхүүний шугаман бус өөрчлөлтийг хувьсагчийн ортогональ өөрчлөлт (эсвэл хувьсагчийн ортогональ хувиргалт) гэж нэрлэнэ.

Асуудлыг томъёолъё квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгүүд рүү багасгах: квадрат хэлбэрийг (9.23) каноник хэлбэрт (9.24) авчрах x=Sy (S^(-1)=S^T) хувьсагчдын ортогональ өөрчлөлтийг олох шаардлагатай.

Шийдвэрлэхийн тулд бид дараахь зүйлийг ашигладаг геометрийн утгадаалгавар. Бид хувьсагчдыг тоолох болно x_1,x_2,\ldots,x_n n хэмжээст Евклидийн орон зайн \boldsymbol(x) векторын координатууд \mathbb(E) ортонормаль суурь (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n), мөн квадрат хэлбэрийн (9.23) А матриц нь заримынх нь матриц юм шугаман хувиргалт \mathcal(A)\колон \mathbb(E)\to \mathbb(E)ижил үндсэн дээр. Түүнээс гадна матриц нь тэгш хэмтэй байдаг тул энэ хувиргалт нь өөрөө хоорондоо уялдаатай байдаг: A ^ T = A. Квадрат хэлбэрийг (9.23) скаляр үржвэрээр илэрхийлж болно

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A) )(\boldsymbol(x))\bigr\rangle.

Хувьсагчдын ортогональ өөрчлөлт x=Sy нь нэг ортонормаль баазаас нөгөөд шилжихэд тохирно. Үнэн хэрэгтээ S нь ортонормаль баазаас (\boldsymbol(e)) ортонормаль суурь руу шилжих матриц байг. (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(s)_1,\ldots,\boldsymbol(s)_n), өөрөөр хэлбэл (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))Sба S^(-1)=S^T. Дараа нь суурь дахь \boldsymbol(x) векторын х координат (\boldsymbol(e)) ба ижил векторын у координат (\boldsymbol(s)) нь (8.11) томъёогоор хамаарагдана): x= Сы .

Иймд квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгүүд рүү багасгах асуудлыг дараах байдлаар томъёолж болно: \mathbb(E) орон зайд өөрөө залгагдсан хувиргах матриц \mathcal(A) диагональ байх суурийг олох шаардлагатай. хэлбэр. Теорем 9.10-д заасны дагуу өөрөө хавсарсан хувиргалтын хувийн векторуудаас ортонормаль суурь сонгох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд каноник суурь руу шилжих S матриц нь ортогональ болж хувирна: S^T=S^(-1) .

Энэ үр дүнг квадрат хэлбэрийн хувьд томъёолъё.

Квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгт буулгах теорем (9.12).

Жинхэнэ квадрат хэлбэрийг (9.23) х=Sy хувьсагчдын ортогональ хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт (9.24) буулгаж болно, энд - хувийн үнэ цэнэматрицууд А.

Үр дагавар. Квадрат хэлбэр (9.23) нь түүний матрицын бүх хувийн утга эерэг (сөрөг биш) байвал эерэг тодорхой (сөрөг бус тодорхой) байна.

Тайлбар 9.10

1. Шугаман бус сөнөөгчтэй хувьсах матрицквадрат хэлбэр (6.10) томъёоны дагуу өөрчлөгдөнө: A"=S^TAS. Ортогональ S матрицын хувьд энэ томъёо нь A"=S^(-1)AS хэлбэрийг авдаг бөгөөд энэ нь шугаман хэлбэрийг өөрчлөх (9.4) томъёотой давхцдаг. суурийг өөрчлөх үед хувиргах матриц.

2. Каноник хэлбэрийг (9.24) олохын тулд бүх үндсийг тодорхойлоход хангалттай \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(тэгш тэнцүү байж болно) (тэгшитгэл) \det(A-\lambda E)=0, энд E нь таних матриц юм.

3. 9.12 теоремын үр дагаварыг квадрат хэлбэрийн тэмдгийг шинжлэхэд ашиглаж болно.

- хэрэв бүх хувийн утга эерэг (сөрөг) байвал квадрат хэлбэр нь эерэг (сөрөг) тодорхой байна;

- хэрэв бүх хувийн утга нь сөрөг биш (эерэг биш) байвал квадрат хэлбэр нь сөрөг биш (эерэг биш) тодорхой байна;

- Хэрэв өөр өөр тэмдгийн хувийн утга байгаа бол квадрат хэлбэр нь тодорхойгүй (ээлж) байна.

4. Тайлбарын 3-р зүйлд томъёолсон үр дүнг хангалттай эсэхийг шалгахад ашиглаж болно шаардлагатай нөхцөлФункцийн болзолгүй экстремумыг хайх асуудлын хоёрдугаар дараалал. Үүнийг хийхийн тулд та хувийн утгуудыг олох хэрэгтэй \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx)тус бүрт суурин цэгүүд x^(\ast) функцууд f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).

Хэрэв бүх хувийн утга эерэг байвал: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, дараа нь x^(\ast) цэг дээр орон нутгийн доод хэмжээ;

- хэрэв бүх хувийн утга сөрөг байвал: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , тэгвэл x^(\ast) цэг дээр орон нутгийн максимум байна;

- хэрэв бүх хувийн утга сөрөг биш бол: \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, тэгвэл x^(\ast) цэг дээр орон нутгийн минимум байж болно;

- хэрэв бүх хувийн утга эерэг биш бол: \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, тэгвэл x^(\ast) цэг дээр локал максимум байж болно;

– хувийн утгууд бол \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, өөр өөр тэмдэгтэй, тэгвэл x^(\ast) цэгт экстремум байхгүй;

- хэрэв бүх хувийн утга нь тэг байвал: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, дараа нь нэмэлт судалгаа шаардлагатай.

5. Квадрат хэлбэрийг үндсэн тэнхлэгүүд рүү багасгах асуудлыг диагональ хэлбэрт өөрөө залгасан хувиргалтыг багасгах алгоритмыг ашиглан шийддэг. Энэ тохиолдолд квадрат хэлбэрийн матрицын диагональ хэлбэр ба x=Sy хувьсагчийн өөрчлөлтийн ортогональ матриц S олдож, квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт (үндсэн тэнхлэгт) авчирна.

Жишээ 9.7.Гурван хувьсагчийн квадрат хэлбэрийн тэмдгийг тодорхойл

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

Шийдэл.Бид квадрат хэлбэрийн матрицыг бүтээдэг: A=\эхлэх(pmatrix) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \төгсгөл(pmatrix). Жишээ 9.6-д энэ матрицын хувийн утгууд олдсон: \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3. Бүх хувийн утга нь сөрөг биш тул квадрат хэлбэр нь сөрөг биш тодорхой байна (9.10 Тайлбарын 4-р хэсгийг үзнэ үү).

Ортогональ матриц олдсон

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ -\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \төгсгөл(pmatrix)\!,

А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулах \Lambda= \операторын нэр(диаг) (0,0,3). Бид x=Sy хувьсагчийн шаардлагатай ортогональ өөрчлөлтийг бичнэ.

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

ба квадрат хэлбэр нь канон хэлбэрээр: \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

Жишээ 9.8.Матриц ашиглан хоёр хувьсагчийн функцийн орон нутгийн экстремум цэгүүдийг ол

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Шийдэл. 1-р алхамд функцийн градиент олдсон бөгөөд эхний эрэмбийн экстремумын шаардлагатай нөхцлөөс гурван суурин цэг:

x^0= \begin(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\begin(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\begin(pmatrix) - 1&1\төгсгөл(pmatrix)^T.

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \эхлэх(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end(pmatrix)\!.

Хэссийн матрицын хувийн утгыг хөдөлгөөнгүй цэг бүр дээр олъё.

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx ) = \begin(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) -22&4\\4&2\ төгсгөл (pmatrix)

Яг цэг дээр x^0=\begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)Гессийн матриц нь хэлбэртэй байна \begin(pmatrix) 0&0\\ 0&2\end(pmatrix). Eq-аас. \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0бид \lambda_1=0, \lambda_2=2-г олдог. Бүх хувийн утга нь сөрөг биш тул x ^ 0 цэг дээр орон нутгийн хамгийн бага хэмжээ байж болох бөгөөд эцсийн дүгнэлт гаргахын тулд нэмэлт судалгаа шаардлагатай (жишээ 6.13-ыг үзнэ үү).

Яг цэг дээр x^1=\эхлэх(pmatrix)1\\1 \төгсгөл(pmatrix)Гессийн матриц нь хэлбэртэй байна \begin(pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix). Eq-аас. \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, эсвэл \lambda^2-40 \lambda+60=0бид авдаг \lambda_(1,2)= 20\pm2\sqrt(85). Бүх хувийн утга эерэг тул x ^ 1 цэг дээр функцийн локал минимум байна.

Яг цэг дээр x^2=\begin(pmatrix)-1\\1 \end(pmatrix)Гессийн матриц нь хэлбэртэй байна \begin(pmatrix) -22&4\\ 4&2 \end(pmatrix). Eq-аас. \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, эсвэл \lambda^2+40 \lambda-60=0бид авдаг \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). Хувийн утга нь өөр өөр тэмдэгтэй байдаг тул x ^ 2 цэгт экстремум байхгүй байна.