Тэгшитгэл нь нэг юм хэцүү сэдвүүдуусгах, гэхдээ тэр үед хангалттай хүчирхэг хэрэгсэлихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан.
Тэгшитгэлийг тодорхойлоход ашигладаг янз бүрийн процессууд, байгальд тохиолддог. Тэгшитгэлийг эдийн засаг, физик, биологи, хими зэрэг бусад шинжлэх ухаанд өргөн ашигладаг.
IN энэ хичээлБид хамгийн энгийн тэгшитгэлийн мөн чанарыг ойлгохыг хичээж, үл мэдэгдэх зүйлийг илэрхийлж сурах, хэд хэдэн тэгшитгэлийг шийдэж сурах болно. Та шинэ материал сурах тусам тэгшитгэлүүд илүү төвөгтэй болох тул үндсийг ойлгох нь маш чухал юм.
Урьдчилсан ур чадвар Хичээлийн агуулгаТэгшитгэл гэж юу вэ?
Тэгшитгэл гэдэг нь утгыг нь олохыг хүссэн хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл юм. Энэ утга нь орлуулах үед ийм байх ёстой анхны тэгшитгэлзөв тоон тэгшитгэлийг олж авсан.
Жишээлбэл, 2 + 2 = 4 илэрхийлэл нь тэгш байдал юм. Зүүн талыг тооцоолохдоо зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна 4 = 4.
Гэхдээ тэгш байдал нь 2 + байна x= 4 нь хувьсагч агуулсан учраас тэгшитгэл юм x, үнэ цэнийг нь олох боломжтой. Энэ утга нь анхны тэгшитгэлд энэ утгыг орлуулах үед зөв тоон тэгшитгэлийг олж авахуйц байх ёстой.
Өөрөөр хэлбэл, бид тэнцүү тэмдэг нь түүний байршлыг зөвтгөх утгыг олох ёстой - зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү байх ёстой.
Тэгшитгэл 2 + x= 4 нь анхан шатны. Хувьсах утга x 2 тоотой тэнцүү. Бусад утгын хувьд тэгш байдал ажиглагдахгүй
Тэд 2-ын тоо гэж хэлдэг үндэсэсвэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 + x = 4
Үндэсэсвэл тэгшитгэлийн шийдэл- энэ нь тэгшитгэл жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирах хувьсагчийн утга юм.
Хэд хэдэн үндэс байж болно, эсвэл огт байхгүй. Тэгшитгэлийг шийдүндсийг нь олох буюу үндэс байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг.
Тэгшитгэлд орсон хувьсагчийг өөрөөр нэрлэдэг үл мэдэгдэх. Та дуртай зүйлээ нэрлэх эрхтэй. Эдгээр нь синоним юм.
Анхаарна уу. "Тэгшитгэлийг шийдэх" хэллэг нь өөрөө ярьдаг. Тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь тэгшитгэлийг "тэнцүүлэх" буюу зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү байхаар тэнцвэржүүлнэ гэсэн үг юм.
Нэг зүйлийг нөгөөгөөр нь илэрхийлэх
Уламжлал ёсоор тэгшитгэлийн судалгаа нь тэгшитгэлд багтсан нэг тоог бусад тоогоор илэрхийлж сурахаас эхэлдэг. Энэ уламжлалаа эвдэж болохгүй, тэгье.
Дараах илэрхийллийг анхаарч үзээрэй.
8 + 2
Энэ илэрхийлэл нь 8 ба 2 тоонуудын нийлбэр юм. Утга өгөгдсөн илэрхийлэл 10-тай тэнцүү
8 + 2 = 10
Бид тэгш эрхтэй болсон. Одоо та энэ тэгшитгэлээс дурын тоог ижил тэгш байдалд орсон бусад тоогоор илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 2-ын тоог илэрхийлье.
2-ын тоог илэрхийлэхийн тулд та "2-ын тоог авахын тулд 10 ба 8-ын тоог юу хийх ёстой вэ?" гэсэн асуултыг асуух хэрэгтэй. 2-ын тоог авахын тулд 10-аас 8-ыг хасах шаардлагатай нь тодорхой байна.
Үүнийг л бид хийдэг. Бид 2-ын тоог бичиж, тэнцүү тэмдгээр дамжуулан бид 2-ыг авахын тулд 10-аас 8-ыг хассан гэж хэлдэг.
2 = 10 − 8
Бид 8 + 2 = 10 тэгшитгэлээс 2-ын тоог илэрхийлэв. Жишээнээс харахад энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ, ялангуяа нэг тоог бусад тоогоор илэрхийлэхдээ тэнцүү тэмдгийг "" гэсэн үгээр солих нь тохиромжтой. байдаг" . Үүнийг илэрхийлэлд биш харин оюун ухаанаар хийх ёстой.
Тиймээс 8 + 2 = 10 тэгшитгэлээс 2-ын тоог илэрхийлснээр бид 2 = 10 - 8 тэгшитгэлийг олж авлаа. Энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар уншиж болно.
2 Байна 10 − 8
Энэ нь тэмдэг юм = "байна" гэсэн үгээр сольсон. Түүнээс гадна 2 = 10 − 8 тэгш байдлыг орчуулж болно математик хэлбүрэн эрхт хүний хэл. Дараа нь дараах байдлаар уншиж болно.
Дугаар 2 Байна 10 ба 8 дугаарын ялгаа
Дугаар 2 Байна 10 ба 8 дугаарын ялгаа.
Гэхдээ бид зөвхөн тэнцүү тэмдгийг "байна" гэсэн үгээр солих замаар хязгаарлагдах бөгөөд бид үүнийг үргэлж хийхгүй. Анхан шатны хэллэгийг математик хэлийг хүний хэл рүү хөрвүүлэхгүйгээр ойлгож болно.
Үүссэн 2 = 10 − 8 тэгшитгэлийг анхны байдалд нь буцаацгаая.
8 + 2 = 10
Энэ удаад 8-ын тоог илэрхийлцгээе. Энэ нь зөв, та 10-аас 2-ыг хасах хэрэгтэй
8 = 10 − 2
Үүссэн 8 = 10 − 2 тэгшитгэлийг анхны байдалд нь буцаацгаая.
8 + 2 = 10
Энэ удаад бид 10-ын тоог илэрхийлэх болно.Гэхдээ нэгэнт илэрхийлсэн тул аравыг илэрхийлэх шаардлагагүй болж байна. Зүүн ба баруун хэсгүүдийг солиход хангалттай, дараа нь бид хэрэгтэй зүйлээ авна.
10 = 8 + 2
Жишээ 2. 8 − 2 = 6 тэгш байдлыг авч үзье
Энэ тэгшитгэлээс 8-ын тоог илэрхийлье, 8-ын тоог илэрхийлэхийн тулд үлдсэн хоёр тоог нэмэх шаардлагатай.
8 = 6 + 2
Үүссэн 8 = 6 + 2 тэгшитгэлийг анхны байдалд нь буцаацгаая.
8 − 2 = 6
Энэ тэгшитгэлээс 2-ын тоог илэрхийлье 2-ын тоог илэрхийлэхийн тулд 8-аас 6-г хасах хэрэгтэй
2 = 8 − 6
Жишээ 3. 3 × 2 = 6 тэгш байдлыг авч үзье
3-ын тоог илэрхийлье. 3-ын тоог илэрхийлэхийн тулд 6-г 2-т хуваах хэрэгтэй
Үүссэн тэгш байдлыг анхны байдалд нь буцаацгаая.
3 × 2 = 6
Энэ тэгшитгэлээс 2-ын тоог илэрхийлье. 2-ын тоог илэрхийлэхийн тулд 6-г 3-т хуваах хэрэгтэй
Жишээ 4. Тэгш байдлыг анхаарч үзээрэй
Энэ тэгшитгэлээс 15-ын тоог илэрхийлье. 15-ын тоог илэрхийлэхийн тулд 3 ба 5-ын тоог үржүүлэх хэрэгтэй
15 = 3 × 5
Үүссэн 15 = 3 × 5 тэгшитгэлийг анхны байдалд нь буцаацгаая.
Энэ тэгшитгэлээс 5-ын тоог илэрхийлье. 5-ын тоог илэрхийлэхийн тулд 15-ыг 3-т хуваах хэрэгтэй
Үл мэдэгдэх зүйлийг олох дүрэм
Үл мэдэгдэх зүйлийг олох хэд хэдэн дүрмийг авч үзье. Тэд танд танил байж болох ч дахин давтахад гэмгүй. Ирээдүйд бид эдгээр дүрмийг хэрэглэхгүйгээр тэгшитгэлийг шийдэж сурснаар тэдгээрийг мартаж болно.
8 + 2 = 10 тэгшитгэлд бид 2-ын тоог илэрхийлэх шаардлагатай байсан өмнөх сэдэв дээр үзсэн эхний жишээ рүү буцъя.
8 + 2 = 10 тэгш байдлын хувьд 8 ба 2 тоо нь гишүүн, 10 тоо нь нийлбэр юм.
2-ын тоог илэрхийлэхийн тулд бид дараахь зүйлийг хийсэн.
2 = 10 − 8
Өөрөөр хэлбэл, 10-ын нийлбэрээс бид 8 гэсэн нэр томъёог хассан.
Одоо 8 + 2 = 10 тэгшитгэлд 2-ын оронд хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. x
8 + x = 10
Энэ тохиолдолд 8 + 2 = 10 тэгшитгэл нь 8 + тэгшитгэл болно x= 10 ба хувьсагч x үл мэдэгдэх нэр томъёо
Бидний даалгавар бол үүнийг олох явдал юм үл мэдэгдэх нэр томъёо, өөрөөр хэлбэл 8 + тэгшитгэлийг шийднэ x= 10. Үл мэдэгдэх нэр томъёог олохын тулд дараах дүрмийг баримтална.
Үл мэдэгдэх гишүүнийг олохын тулд нийлбэрээс мэдэгдэж буй гишүүнийг хасах хэрэгтэй.
Энэ нь үндсэндээ 8 + 2 = 10 тэгшитгэлд хоёрыг илэрхийлэхэд бидний хийсэн зүйл юм. 2-р гишүүнийг илэрхийлэхийн тулд бид 10-ын нийлбэрээс өөр гишүүн 8-ыг хасав
2 = 10 − 8
Одоо үл мэдэгдэх нэр томъёог олох x, бид 10 нийлбэрээс мэдэгдэж буй 8 гишүүнийг хасах ёстой:
x = 10 − 8
Хэрэв та үүссэн тэгш байдлын баруун талыг тооцоолвол хувьсагч нь ямар тэнцүү болохыг олж мэдэх боломжтой x
x = 2
Бид тэгшитгэлийг шийдсэн. Хувьсах утга xтэнцүү 2. Хувьсагчийн утгыг шалгахын тулд xанхны тэгшитгэл рүү илгээсэн 8 + x= 10 ба орлуулах x.Та тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэдэгт бүрэн итгэлтэй байж чадахгүй тул үүнийг шийдвэрлэсэн тэгшитгэлээр хийхийг зөвлөж байна.
Үүний үр дүнд
Хэрэв үл мэдэгдэх нэр томъёо нь эхний 8 тоо байсан бол мөн адил дүрэм үйлчилнэ.
x + 2 = 10
Энэ тэгшитгэлд xүл мэдэгдэх гишүүн, 2 нь мэдэгдэж байгаа гишүүн, 10 нь нийлбэр юм. Үл мэдэгдэх нэр томъёог олохын тулд x, та 10-ын нийлбэрээс мэдэгдэж буй 2 гишүүнийг хасах хэрэгтэй
x = 10 − 2
x = 8
8 − 2 = 6 тэгшитгэлд 8 тоог илэрхийлэх шаардлагатай байсан өмнөх сэдвийн хоёр дахь жишээ рүү буцъя.
8 − 2 = 6 тэгшитгэлд 8-ын тоо нь хасах, 2-ын тоо нь хасах, 6-ын тоо нь зөрүү юм.
8-ын тоог илэрхийлэхийн тулд бид дараахь зүйлийг хийсэн.
8 = 6 + 2
Өөрөөр хэлбэл, бид 6-ын зөрүү, хасагдсан 2-ыг нэмсэн.
Одоо 8 − 2 = 6 тэгшитгэлд 8-ын оронд хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. x
x − 2 = 6
Энэ тохиолдолд хувьсагч xгэж нэрлэгддэг үүрэг гүйцэтгэдэг үл мэдэгдэх алдаа
Үл мэдэгдэх алдааг олохын тулд дараах дүрмийг баримтална.
Үл мэдэгдэх хасах утгыг олохын тулд та зөрүү дээр хасахыг нэмэх хэрэгтэй.
Бид 8-ын тоог 8 − 2 = 6 тэгшитгэлд илэрхийлэхэд ийм зүйл хийсэн. 8-ын хасах утгыг илэрхийлэхийн тулд бид 6-ын зөрүү дээр 2-ын хасахыг нэмсэн.
Одоо үл мэдэгдэх алдааг олохын тулд x, бид 2-ын зөрүүг 6-д нэмэх ёстой
x = 6 + 2
Хэрэв та баруун талыг тооцоолвол хувьсагч нь ямар тэнцүү болохыг олж мэдэх боломжтой x
x = 8
Одоо 8 − 2 = 6 тэгшитгэлд 2-ын оронд хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. x
8 − x = 6
Энэ тохиолдолд хувьсагч xүүрэг гүйцэтгэдэг үл мэдэгдэх хасах
Үл мэдэгдэх орлуулагчийг олохын тулд дараах дүрмийг баримтална.
Үл мэдэгдэх хасалтыг олохын тулд та хасахаас зөрүүг хасах хэрэгтэй.
Бид 2-ын тоог 8 − 2 = 6 тэгшитгэлд илэрхийлэхдээ ийм үйлдэл хийсэн. 2-ын тоог илэрхийлэхийн тулд 8-аас 6-ын зөрүүг хасав.
Одоо үл мэдэгдэх дэдийг олохын тулд x, та хасах 8-аас 6-ийн зөрүүг дахин хасах хэрэгтэй
x = 8 − 6
Бид баруун талыг тооцоолж, утгыг олно x
x = 2
Өмнөх сэдвийн гурав дахь жишээ рүү буцъя, 3 × 2 = 6 тэгш байдал дээр бид 3-ын тоог илэрхийлэхийг оролдсон.
3 × 2 = 6 тэгшитгэлд 3-ын тоо нь үржүүлэгч, 2-ын тоо нь үржүүлэгч, 6-ийн тоо нь үржвэр юм.
3-ын тоог илэрхийлэхийн тулд бид дараахь зүйлийг хийсэн.
Өөрөөр хэлбэл, бид 6-ын үржвэрийг 2-оор хуваасан.
Одоо 3 × 2 = 6 тэгшитгэлд 3-ын оронд хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. x
x× 2 = 6
Энэ тохиолдолд хувьсагч xүүрэг гүйцэтгэдэг үл мэдэгдэх үржвэр.
Үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг олохын тулд дараах дүрмийг баримтална.
Үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг олохын тулд үржвэрийг хүчин зүйлд хуваах хэрэгтэй.
3 × 2 = 6 тэгшитгэлээс 3-ын тоог илэрхийлэхдээ бид үүнийг хийсэн. Бид 6-р бүтээгдэхүүнийг 2-т хуваасан.
Одоо үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг олох x, та бүтээгдэхүүнийг 6-г 2-т хуваах хэрэгтэй.
Баруун талыг тооцоолох нь хувьсагчийн утгыг олох боломжийг олгодог x
x = 3
Хэрэв хувьсагч бол ижил дүрэм үйлчилнэ xүржүүлэгч биш харин үржүүлэгчийн оронд байрлана. 3 × 2 = 6 тэгшитгэлд 2-ын оронд хувьсагч байна гэж төсөөлье. x.
Энэ тохиолдолд хувьсагч xүүрэг гүйцэтгэдэг үл мэдэгдэх үржүүлэгч. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг олох, тухайлбал бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлд хуваахтай ижил процедурыг гүйцэтгэдэг.
олохын тулд үл мэдэгдэх үржүүлэгч, та бүтээгдэхүүнийг үржвэрээр нь хуваах хэрэгтэй.
Бид 3 × 2 = 6 тэгшитгэлээс 2-ын тоог илэрхийлэхдээ үүнийг хийсэн. Дараа нь 2-ын тоог гаргахын тулд бид 6-ын үржвэрийг 3-ын үржүүлэгчид хуваана.
Одоо үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олох xБид 6-ын үржвэрийг 3-ын үржүүлэгчид хуваасан.
Тэгш байдлын баруун талыг тооцоолох нь x нь хэдтэй тэнцүү болохыг олж мэдэх боломжийг олгоно
x = 2
Үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг хамтдаа хүчин зүйл гэнэ. Үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг олох дүрэм ижил тул бид томъёолж болно ерөнхий дүрэмүл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олох:
Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй.
Жишээлбэл, 9 × тэгшитгэлийг шийдье x= 18. Хувьсагч xүл мэдэгдэх хүчин зүйл юм. Энэхүү үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та 18-ийн бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй 9-д хуваах хэрэгтэй
Тэгшитгэлээ шийдье x× 3 = 27. Хувьсагч xүл мэдэгдэх хүчин зүйл юм. Энэхүү үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та 27-ийн бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 3-т хуваах хэрэгтэй
Өмнөх сэдвийн дөрөв дэх жишээ рүү буцъя, тэгш байдлын хувьд бид 15-ын тоог илэрхийлэх шаардлагатай байсан. Энэ тэгшитгэлд 15-ын тоо нь ногдол ашиг, 5-ын тоо нь хуваагч, 3-ын тоо нь хуваагч юм.
15-ын тоог илэрхийлэхийн тулд бид дараахь зүйлийг хийсэн.
15 = 3 × 5
Өөрөөр хэлбэл, бид 3-ын хуваагчийг 5-аар үржүүлсэн.
Одоо тэгш байдалд 15-ын оронд хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ x
Энэ тохиолдолд хувьсагч xүүрэг гүйцэтгэдэг үл мэдэгдэх ногдол ашиг.
Үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд дараахь дүрмийг баримтална.
Үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд та хуваагчийг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй.
Тэгш тэгшитгэлээс 15-ын тоог илэрхийлэхдээ бид ийм зүйл хийсэн. 15-ын тоог илэрхийлэхийн тулд бид 3-ын хэсгийг 5-ын хуваагчаар үржүүлнэ.
Одоо үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олох x, та хуваагч 3-ыг 5-аар үржүүлэх хэрэгтэй
x= 3 × 5
x .
x = 15
Одоо тэгш байдалд 5-ын тооны оронд хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ x .
Энэ тохиолдолд хувьсагч xүүрэг гүйцэтгэдэг үл мэдэгдэх хуваагч.
Үл мэдэгдэх хуваагчийг олохын тулд дараах дүрмийг баримтална.
Тэгш тэгшитгэлээс 5-ын тоог илэрхийлэхдээ бид ийм зүйл хийсэн. 5-ын тоог илэрхийлэхийн тулд бид 15-ын ногдол ашгийг 3-т хуваана.
Одоо үл мэдэгдэх хуваагчийг олох x, та ногдол ашиг 15-ыг 3-т хуваах хэрэгтэй
Үүссэн тэгш байдлын баруун талыг тооцоолъё. Ингэснээр бид хувьсагч нь ямар тэнцүү болохыг олж мэднэ x .
x = 5
Тиймээс үл мэдэгдэх зүйлийг олохын тулд бид дараах дүрмийг судлав.
- Үл мэдэгдэх нэр томъёог олохын тулд нийлбэрээс мэдэгдэж буй нэр томъёог хасах хэрэгтэй;
- Үл мэдэгдэх утгыг олохын тулд та зөрүүг хасах хэрэгтэй;
- Үл мэдэгдэх хасах утгыг олохын тулд та minuend-аас зөрүүг хасах хэрэгтэй;
- Үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй;
- Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг үржүүлэгчээр хуваах хэрэгтэй;
- Үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд та хуваагчийг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй;
- Үл мэдэгдэх хуваагчийг олохын тулд та ногдол ашгийг хуваах хэсэгт хуваах хэрэгтэй.
Бүрэлдэхүүн хэсгүүд
Бид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэгш байдалд орсон тоо, хувьсагч гэж нэрлэх болно
Тиймээс нэмэлтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь байна нөхцөлТэгээд нийлбэр
Хасах бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь минуэнд, хасахТэгээд ялгаа
Үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь үржүүлэх, хүчин зүйлТэгээд ажил
Хуваалтын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь ногдол ашиг, хуваагч ба хуваагч юм.
Бид ямар бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байгаагаас хамааран үл мэдэгдэх зүйлийг олох дүрмийг дагаж мөрдөх болно. Бид өмнөх сэдвээр эдгээр дүрмийг судалсан. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эдгээр дүрмийг цээжээр мэдэхийг зөвлөж байна.
Жишээ 1. 45+ тэгшитгэлийн язгуурыг ол x = 60
45 - хугацаа, x- тодорхойгүй хугацаа, 60 - нийлбэр. Бид нэмэлтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. Үл мэдэгдэх нэр томъёог олохын тулд нийлбэрээс мэдэгдэж буй нэр томъёог хасах хэрэгтэй гэдгийг бид санаж байна.
x = 60 − 45
Баруун талыг нь тооцоод утгыг нь авъя x 15-тай тэнцүү
x = 15
Тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс нь 45 + байна x= 60 нь 15-тай тэнцүү.
Ихэнх тохиолдолд үл мэдэгдэх нэр томъёог илэрхийлэх боломжтой хэлбэрт оруулах ёстой.
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд
Энд өмнөх жишээнээс ялгаатай нь үл мэдэгдэх нэр томьёо нь 2-ын коэффициент агуулсан тул шууд илэрхийлэх боломжгүй. Бидний даалгавар бол энэ тэгшитгэлийг илэрхийлэх хэлбэрт оруулах явдал юм. x
Энэ жишээнд бид нэмэхийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд болох нөхцөл ба нийлбэрийг авч үзэж байна. 2 xэхний гишүүн, 4 нь хоёр дахь гишүүн, 8 нь нийлбэр юм.
Энэ тохиолдолд 2-р хугацаа xхувьсагчийг агуулдаг x. Хувьсагчийн утгыг олсны дараа xхугацаа 2 xөөрөөр харах болно. Тиймээс 2-р нэр томъёо xбүрэн үл мэдэгдэх нэр томъёо болгон авч болно:
Одоо бид үл мэдэгдэх нэр томъёог олох дүрмийг хэрэглэж байна. нийлбэрээс мэдэгдэж буй гишүүнийг хасна:
Үүссэн тэгшитгэлийн баруун талыг тооцоолъё.
Бидэнд шинэ тэгшитгэл бий. Одоо бид үржүүлгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна: үржүүлэгч, үржүүлэгч, үржвэр. 2 - үржүүлэх, x- үржүүлэгч, 4 - бүтээгдэхүүн
Энэ тохиолдолд хувьсагч xзүгээр л үржүүлэгч биш, харин үл мэдэгдэх үржүүлэгч юм
Энэхүү үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг үржүүлэгчээр хуваах хэрэгтэй.
Баруун талыг нь тооцоод хувьсагчийн утгыг авъя x
Шалгахын тулд олсон үндсийг анхны тэгшитгэл рүү илгээж, орлуулах хэрэгтэй x
Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд 3x+ 9x+ 16x= 56
Үл мэдэгдэх зүйлийг нэн даруй илэрхийл xэнэ нь хориотой. Эхлээд та энэ тэгшитгэлийг илэрхийлж болох хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.
Бид зүүн талд танилцуулж байна өгөгдсөн тэгшитгэл:
Бид үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. 28 - үржүүлэх, x- үржүүлэгч, 56 - бүтээгдэхүүн. Үүний зэрэгцээ xүл мэдэгдэх хүчин зүйл юм. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг үржүүлэгчээр хуваах хэрэгтэй.
Эндээс xтэнцүү 2
Эквивалент тэгшитгэл
Өмнөх жишээнд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед 3x + 9x + 16x = 56 , бид авчирсан ижил төстэй нэр томъёотэгшитгэлийн зүүн талд. Үүний үр дүнд бид 28-р шинэ тэгшитгэлийг олж авлаа x= 56. Хуучин тэгшитгэл 3x + 9x + 16x = 56 ба үр дүнд нь шинэ тэгшитгэл 28 x= 56 гэж нэрлэдэг эквивалент тэгшитгэл, учир нь тэдний үндэс давхцдаг.
Үндэс нь давхцаж байвал тэгшитгэлийг эквивалент гэнэ.
Үүнийг шалгаж үзье. Тэгшитгэлийн хувьд 3x+ 9x+ 16x= 56 Бид 2-той тэнцүү үндсийг олсон. Эхлээд энэ язгуурыг тэгшитгэлд орлуулъя 3x+ 9x+ 16x= 56 , дараа нь 28-р тэгшитгэлд оруулна x= 56, өмнөх тэгшитгэлийн зүүн талд ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрах замаар олж авсан. Бид зөв тоон тэгшитгэлийг авах ёстой
Үйлдлийн дарааллын дагуу үржүүлэх ажлыг эхлээд хийнэ.
Хоёр дахь тэгшитгэл 28-д язгуур 2-ыг орлуулъя x= 56
Хоёр тэгшитгэл нь ижил үндэстэй болохыг бид харж байна. Тэгэхээр тэгшитгэлүүд 3x+ 9x+ 16x= 6 болон 28 x= 56 нь үнэхээр тэнцүү юм.
Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 3x+ 9x+ 16x= 56 Бид тэдгээрийн нэгийг ашигласан - ижил төстэй нэр томъёог багасгах. Тэгшитгэлийн зөв хувиргалт нь 28-р тэнцүү тэгшитгэлийг олж авах боломжийг бидэнд олгосон. x= 56, үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар.
-аас таних тэмдгийн өөрчлөлтүүддээр одоогоорБид зөвхөн бутархайг багасгах, ижил төстэй нэр томъёог нэмэх, хасах аргыг л мэддэг нийтлэг үржүүлэгчхаалтнаас цааш, мөн хаалтуудыг нээнэ. Таны мэдэж байх ёстой бусад хөрвүүлэлтүүд байдаг. Гэхдээ төлөө ерөнхий санааТэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудын талаар бидний судалсан сэдвүүд хангалттай.
Эквивалент тэгшитгэлийг олж авах боломжийг олгодог зарим хувиргалтыг авч үзье
Хэрэв та тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмбэл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарч ирнэ.
мөн адил:
Хэрэв та тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасвал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарч ирнэ.
Өөрөөр хэлбэл, ижил тоон дээр ижил тоог нэмбэл (эсвэл хоёр талаас нь хасвал) тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд 
Тэгшитгэлийн хоёр талаас 10-ыг хас
Бид 5-р тэгшитгэлийг авсан x= 10. Бид үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд x, та 10-ын бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 5-д хуваах хэрэгтэй.
ба орлуулах xолсон утга 2
Бид зөв тоон тэгшитгэлийг авсан. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Бид тэгшитгэлийн хоёр талаас 10-ын тоог хассан. Үүний үр дүнд бид ижил тэгшитгэлийг олж авлаа. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тэгшитгэл шиг мөн 2-той тэнцүү байна
Жишээ 2. Тэгшитгэл 4( x+ 3) = 16
Тэгшитгэлийн хоёр талаас 12-ын тоог хас
Зүүн талд 4 үлдэнэ x, баруун талд нь 4 тоо
Бид 4-р тэгшитгэлийг авсан x= 4. Бид үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд x, та 4-р бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 4-т хуваах хэрэгтэй
Анхны тэгшитгэл 4 рүү буцъя. x+ 3) = 16 ба орлуулах xолсон утга 1
Бид зөв тоон тэгшитгэлийг авсан. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 4( x+ 3) = 16 бид тэгшитгэлийн хоёр талаас 12 тоог хасав. Үүний үр дүнд бид 4-р тэнцүү тэгшитгэлийг олж авлаа x= 4. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тэгшитгэл 4( x+ 3) = 16 нь мөн 1-тэй тэнцүү
Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд 
Тэгш байдлын зүүн талд байгаа хаалтуудыг өргөжүүлье:
Тэгшитгэлийн хоёр талд 8-ын тоог нэмнэ
Тэгшитгэлийн хоёр тал дээр ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье.
Зүүн талд 2 үлдэнэ x, баруун талд нь 9 тоо
Үүссэн тэгшитгэлд 2 x= 9 бид үл мэдэгдэх нэр томъёог илэрхийлдэг x
Анхны тэгшитгэл рүү буцъя ба орлуулах xолсон утга 4.5
Бид зөв тоон тэгшитгэлийг авсан. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Бид тэгшитгэлийн хоёр талд 8-ын тоог нэмсний үр дүнд бид ижил тэгшитгэлтэй болсон. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тэгшитгэл шиг мөн 4.5-тай тэнцүү байна
Бидэнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авах боломжийг олгодог дараагийн дүрэм нь дараах байдалтай байна
Хэрэв та тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилбөл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг авах болно.
Өөрөөр хэлбэл, нэг гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилвөл тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй. Энэ шинж чанар нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд чухал бөгөөд ихэвчлэн ашиглагддаг шинж чанаруудын нэг юм.
Дараах тэгшитгэлийг авч үзье.
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 2-той тэнцүү. Орлуулъя xэнэ үндэс ба тоон тэгш байдал зөв эсэхийг шалгана уу
Үр дүн нь зөв тэгш байдал юм. Энэ нь 2-ын тоо үнэхээр тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.
Одоо энэ тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэх, тэмдгүүдийг өөрчлөх замаар туршиж үзье.
Жишээлбэл, 3-р нэр томъёо xтэгшитгэлийн зүүн талд байрлана. Тэмдгийг эсрэгээр нь сольж баруун тийш шилжүүлье:
Үр дүн нь тэгшитгэл юм 12 = 9x − 3x . Энэ тэгшитгэлийн баруун талд:
xүл мэдэгдэх хүчин зүйл юм. Энэ алдартай хүчин зүйлийг олцгооё:
Эндээс x= 2 . Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөөгүй байна. Тэгэхээр тэгшитгэл нь 12 + 3 байна x = 9xТэгээд 12 = 9x − 3x тэнцүү байна.
Үнэн хэрэгтээ энэ хувиргалт нь тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмсэн (эсвэл хасагдсан) өмнөх хувиргалтын хялбаршуулсан арга юм.
Бид 12 + 3 тэгшитгэл дээр хэлсэн x = 9xхугацаа 3 xтэмдгийг өөрчилснөөр баруун тал руу шилжсэн. Бодит байдал дээр дараахь зүйл тохиолдсон: тэгшитгэлийн хоёр талаас 3-р гишүүнийг хассан x
Дараа нь ижил төстэй нэр томъёог зүүн талд өгөөд тэгшитгэлийг гаргав 12 = 9x − 3x. Дараа нь ижил төстэй нэр томъёог дахин өгсөн боловч баруун талд нь 12 = 6 тэгшитгэлийг олж авав x.
Гэхдээ "шилжүүлэх" гэж нэрлэгддэг зүйл нь ийм тэгшитгэлд илүү тохиромжтой байдаг тул энэ нь маш өргөн тархсан болсон. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид энэ тодорхой хувиргалтыг ихэвчлэн ашигладаг.
12 + 3 тэгшитгэл нь мөн адил байна x= 9xТэгээд 3x− 9x= −12 . Энэ удаагийн тэгшитгэл нь 12 + 3 байна x= 9x 12-р нэр томъёог баруун тал руу, 9-р нэр томъёог шилжүүлсэн xзүүн тийш. Шилжүүлгийн явцад эдгээр нэр томъёоны тэмдгүүд өөрчлөгдсөн гэдгийг бид мартаж болохгүй
Ижил тэгшитгэлийг олж авах боломжийг олгодог дараагийн дүрэм нь дараах байдалтай байна.
Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.
Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн язгуур нь хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлж, хуваахад өөрчлөгдөхгүй. агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай үед энэ үйлдлийг ихэвчлэн ашигладаг бутархай илэрхийлэл.
Эхлээд тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэх жишээг харцгаая.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд
Бутархай илэрхийлэл агуулсан тэгшитгэлийг шийдэхдээ эхлээд тэгшитгэлийг хялбарчлах нь заншилтай байдаг.
IN энэ тохиолдолдБид яг ийм тэгшитгэлтэй харьцаж байна. Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд хоёр талыг 8-аар үржүүлж болно.
-ийн хувьд бид өгөгдсөн бутархайн тоог энэ тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг бид санаж байна. Бидэнд хоёр бутархай байгаа бөгөөд тус бүр нь 8-ын тоогоор үрждэг. Бидний даалгавар бол бутархайн тоог 8-аар үржүүлэх явдал юм.
Одоо сонирхолтой хэсэг нь болж байна. Хоёр бутархайн тоологч ба хуваагч нь 8-ын хүчин зүйлийг агуулдаг бөгөөд үүнийг 8-аар багасгаж болно. Энэ нь бидэнд бутархай илэрхийллээс ангижрах боломжийг олгоно.
Үүний үр дүнд хамгийн энгийн тэгшитгэл хэвээр байна
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 4 гэдгийг таахад хэцүү биш юм
xолсон утга 4
Үр дүн нь зөв тоон тэгшитгэл юм. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Энэ тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид хоёр талыг 8-аар үржүүлсэн. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлтэй болсон. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тэгшитгэлийн нэгэн адил 4. Энэ нь эдгээр тэгшитгэлүүд тэнцүү байна гэсэн үг.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх хүчин зүйлийг ихэвчлэн тэгшитгэлийн хэсгийн өмнө бичдэг ба дараа нь бичдэггүй. Тиймээс тэгшитгэлийг шийдэж, бид хоёр талыг 8-аар үржүүлээд дараах оруулгыг авлаа.
Энэ нь тэгшитгэлийн язгуурыг өөрчилсөнгүй, гэхдээ хэрэв бид сургуульд байхдаа үүнийг хийсэн бол алгебрт үржүүлсэн илэрхийллийнхээ өмнө хүчин зүйл бичдэг заншилтай тул биднийг зэмлэх байсан. Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг 8 дахин үржүүлэхийг дараах байдлаар дахин бичихийг зөвлөж байна.
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд 
Зүүн талд 15-ын хүчин зүйлийг 15-аар, баруун талд 15, 5-ын хүчин зүйлийг 5-аар багасгаж болно.
Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе.
Нэр томьёог шилжүүлье xтэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тал руу, тэмдгийг өөрчлөх. Бид 15-р гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талаас зүүн тал руу шилжүүлж, тэмдгийг дахин өөрчилнө.
Хоёр талдаа ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя, бид олж авлаа
Бид үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. Хувьсагч x
Анхны тэгшитгэл рүү буцъя ба орлуулах xолсон утга 5
Үр дүн нь зөв тоон тэгшитгэл юм. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид хоёр талыг 15-аар үржүүлсэн. Цаашид ижил төстэй хувиргалтыг хийснээр бид 10 = 2 тэгшитгэлийг олж авлаа x. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тэгшитгэл шиг 5-тай тэнцүү. Энэ нь эдгээр тэгшитгэлүүд тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд
Зүүн талд та хоёр гурав дахин багасгаж болно, мөн баруун тал 18-тай тэнцүү байх болно
Хамгийн энгийн тэгшитгэл хэвээр байна. Бид үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. Хувьсагч xүл мэдэгдэх хүчин зүйл юм. Энэ алдартай хүчин зүйлийг олцгооё:
Анхны тэгшитгэл рүү буцаж оръё x 9-р утгыг олсон
Үр дүн нь зөв тоон тэгшитгэл юм. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Жишээ 4. Тэгшитгэлийг шийд 
Тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-аар үржүүл
Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе. Баруун талд 6 хүчин зүйлийг тоологч руу өсгөж болно.
Тэгшитгэлийн хоёр талд юуг багасгаж болохыг багасгая.
Бидэнд үлдсэн зүйлээ дахин бичье:
Нөхцөл шилжүүлэх аргыг ашиглацгаая. Үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан нэр томъёо x, бид тэгшитгэлийн зүүн талд, үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун талд нь бүлэглэв.
Хоёр хэсэгт ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя:
Одоо хувьсагчийн утгыг олъё x. Үүнийг хийхийн тулд үржвэр 28-ыг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 7-д хуваана
Эндээс x= 4.
Анхны тэгшитгэл рүү буцъя ба орлуулах xолсон утга 4
Үр дүн нь зөв тоон тэгшитгэл юм. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Жишээ 5. Тэгшитгэлийг шийд 
Боломжтой бол тэгшитгэлийн хоёр талын хашилтыг нээцгээе.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг 15-аар үржүүл
Тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтуудыг нээцгээе.
Тэгшитгэлийн хоёр тал дээр багасгаж болох зүйлийг багасгая.
Бидэнд үлдсэн зүйлээ дахин бичье:
Боломжтой бол хаалтуудыг өргөжүүлье:
Нөхцөл шилжүүлэх аргыг ашиглацгаая. Бид тэгшитгэлийн зүүн талд үл мэдэгдэх нэр томъёог, баруун талд үл мэдэгдэх нэр томъёог агуулсан нэр томъёог бүлэглэнэ. Шилжүүлгийн явцад нэр томъёо нь шинж тэмдгүүдээ эсрэгээр нь өөрчилдөг гэдгийг бүү мартаарай.
Тэгшитгэлийн хоёр тал дээр ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье.
Үнэ цэнийг нь олъё x
Үр дүнгийн хариулт нь бүхэл бүтэн хэсгийг агуулна:
Анхны тэгшитгэл рүү буцаж оръё xүнэ цэнийг олсон
Энэ нь нэлээд төвөгтэй илэрхийлэл болж хувирав. Хувьсагчдыг ашиглацгаая. Зүүн талтэгшитгэлийг хувьсагч руу оруулна А, мөн тэгш байдлын баруун талыг хувьсагч руу оруулна Б
Бидний даалгавар бол зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү эсэхийг шалгах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл A = B тэгш байдлыг батална
А хувьсагчийн илэрхийллийн утгыг олъё.
Хувьсах утга Атэнцүү байна. Одоо хувьсагчийн утгыг олъё Б. Тэр нь бидний тэгш эрхийн зөв талын үнэ цэнэ. Хэрэв энэ нь бас тэнцүү бол тэгшитгэл зөв шийдэгдэх болно
Хувьсагчийн утгыг бид харж байна Б, түүнчлэн А хувьсагчийн утга нь . Энэ нь зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү гэсэн үг юм. Эндээс бид тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэж дүгнэж байна.
Одоо тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэхгүй, хуваахыг хичээцгээе.
Тэгшитгэлийг авч үзье 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Үүнийг шийдье ердийн арга: үл мэдэгдэх утгатай нэр томъёог тэгшитгэлийн зүүн талд, үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун талд нь бүлэглэв. Дараа нь мэдэгдэж буй таних тэмдгийн хувиргалтыг хийснээр бид утгыг олно x
Оронд нь олсон утгыг 2-оор орлуулъя xанхны тэгшитгэлд:
Одоо тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг салгахыг хичээцгээе 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Энэ тэгшитгэлийн бүх гишүүний нийтлэг хүчин зүйл нь 2. Бид гишүүн бүрийг түүгээр нь хуваана.
Нэр томьёо бүрт бууралтыг хийцгээе:
Бидэнд үлдсэн зүйлээ дахин бичье:
Энэ тэгшитгэлийг алдартай таних хувиргалтыг ашиглан шийдье.
Бид root 2-ыг авсан. Тэгэхээр тэгшитгэлүүд 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Тэгээд 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 тэнцүү байна.
Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор хуваах нь үл мэдэгдэх зүйлийг коэффициентээс хасах боломжийг олгоно. Өмнөх жишээн дээр бид 7-р тэгшитгэлийг авсан x= 14, бид 14 үржвэрийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 7-д хуваах шаардлагатай байсан. Гэхдээ хэрэв бид зүүн талын 7 хүчин зүйлээс үл мэдэгдэх зүйлийг чөлөөлсөн бол язгуур шууд олдох байсан. Үүнийг хийхийн тулд хоёр талыг 7-д хуваахад хангалттай байв
Мөн бид энэ аргыг байнга хэрэглэх болно.
Хасах нэгээр үржүүлэх
Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг хасах нэгээр үржүүлбэл үүнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.
Энэ дүрэм нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэх (эсвэл хуваах) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг өөрчилдөггүйгээс үүсдэг. Энэ нь түүний хоёр хэсгийг −1-ээр үржүүлбэл язгуур өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг.
Энэ дүрэм нь тэгшитгэлд багтсан бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэмдгийг өөрчлөх боломжийг танд олгоно. Энэ юуны төлөө вэ? Дахин хэлэхэд, шийдвэрлэхэд хялбар эквивалент тэгшитгэлийг авахын тулд.
Тэгшитгэлийг авч үзье. Яагаад үндэстэй тэнцүүэнэ тэгшитгэл?
Тэгшитгэлийн хоёр талд 5-ын тоог нэмнэ
Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:
Одоо эргэн санацгаая. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь юу вэ? Энэ нь хасах нэг ба хувьсагчийн үржвэр юм x
Энэ нь хувьсагчийн урд байгаа хасах тэмдэг юм xхувьсагчийг өөрөө илэрхийлдэггүй x, гэхдээ 1 коэффициентийг ихэвчлэн бичдэггүй тул бидний олж хараагүй нэг нь. Энэ нь тэгшитгэл үнэндээ дараах байдалтай байна гэсэн үг юм.
Бид үржүүлэх бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй харьцаж байна. олохын тулд X, та −5 үржвэрийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл −1-д хуваах хэрэгтэй.
эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талыг −1-д хуваах нь бүр ч хялбар юм
Тэгэхээр тэгшитгэлийн язгуур нь 5 байна. Үүнийг шалгахын тулд анхны тэгшитгэлд орлуулъя. Анхны тэгшитгэлд хасах нь хувьсагчийн өмнө байгааг бүү мартаарай xүл үзэгдэх нэгжийг хэлнэ
Үр дүн нь зөв тоон тэгшитгэл юм. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Одоо тэгшитгэлийн хоёр талыг хасах нэгээр үржүүлэхийг оролдъё.
Хаалтыг нээсний дараа илэрхийлэл нь зүүн талд үүсэх бөгөөд баруун тал нь 10-тай тэнцүү байх болно.
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тэгшитгэлийн нэгэн адил 5 байна
Энэ нь тэгшитгэлүүд тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлд бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд сөрөг байна. Сөрөг хэсгүүдтэй харьцуулахад эерэг бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой тул тэгшитгэлд багтсан бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэмдгүүдийг өөрчилье. Үүнийг хийхийн тулд энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг −1-ээр үржүүлнэ.
−1-ээр үржүүлбэл ямар ч тоо тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх нь тодорхой. Тиймээс -1-ээр үржүүлж, хаалт нээх журмыг нарийвчлан тайлбарлаагүй боловч эсрэг тэмдэгтэй тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг шууд бичнэ.
Тиймээс тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлэхийг дараах байдлаар дэлгэрэнгүй бичиж болно.
эсвэл та бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тэмдгүүдийг зүгээр л өөрчилж болно:
Үр дүн нь адилхан байх ч ялгаа нь бид өөрсдөдөө цаг хэмнэх болно.
Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг −1-ээр үржүүлснээр бид тэгшитгэлийг олж авна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье. Хоёр талаас 4-ийг хасаад хоёр талыг 3-т хуваа
Үндэс олдвол хувьсагч нь ихэвчлэн зүүн талд, түүний утгыг баруун талд нь бичдэг бөгөөд энэ нь бидний хийсэн зүйл юм.
Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийн хоёр талыг −1-ээр үржүүлье. Дараа нь бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд тэмдгүүдээ эсрэгээр нь өөрчлөх болно.
Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талаас 2-ыг хас xмөн ижил төстэй нэр томъёог өгнө үү:
Тэгшитгэлийн хоёр талд нэгийг нэмж, ижил төстэй нэр томъёог өгье. 
Тэгтэй тэнцүүлэх
Хэрэв бид тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилбөл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна гэдгийг бид саяхан мэдсэн.
Хэрэв та зөвхөн нэг нэр томъёо биш, харин бүх нэр томъёог нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлбэл юу болох вэ? Тийм шүү, бүх нөхцөлийг нь хассан хэсэгт тэг л үлдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, юу ч үлдэхгүй.
Жишээ болгон тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлийг ердийнхөөрөө шийдэцгээе - бид нэг хэсэгт үл мэдэгдэх нэр томъёог бүлэглэж, нөгөө хэсэгт тоон гишүүнийг үл мэдэгдэх зүйлгүй үлдээнэ. Дараа нь мэдэгдэж буй таних хувиргалтыг хийснээр бид хувьсагчийн утгыг олно x
Одоо бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тэгтэй тэнцүүлэх замаар ижил тэгшитгэлийг шийдэхийг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд бид бүх нэр томъёог баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгүүдийг өөрчилнө.
Зүүн талд ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя:
Хоёр талдаа 77-г нэмээд хоёр талыг 7-д хуваа
Үл мэдэгдэх зүйлийг олох дүрмийн өөр хувилбар
Мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийн ижил хувиргалтыг мэддэг тул үл мэдэгдэх зүйлийг олох дүрмийг цээжлэх шаардлагагүй болно.
Жишээлбэл, тэгшитгэлээс үл мэдэгдэхийг олохын тулд бид 10-ын үржвэрийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 2-т хуваасан
Харин тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-т хуваавал язгуур нь шууд олдоно. Тэгшитгэлийн зүүн талд тоологч дахь хүчин зүйл 2, хуваагч дахь хүчин зүйл 2 нь 2-оор багасна. Баруун тал нь 5-тай тэнцүү байна.
Бид үл мэдэгдэх нэр томъёог илэрхийлэх замаар хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдсэн.
Гэхдээ та өнөөдөр бидний судалсан ижил өөрчлөлтүүдийг ашиглаж болно. Тэгшитгэлд 4-р нэр томъёог тэмдгийг өөрчилснөөр баруун тийш шилжүүлж болно.
Тэгшитгэлийн зүүн талд хоёр хоёр нь хүчингүй болно. Баруун тал нь 2-той тэнцүү байх болно. Тиймээс .
Эсвэл та тэгшитгэлийн хоёр талаас 4-ийг хасаж болно, тэгвэл та дараахь зүйлийг авна.
Маягтын тэгшитгэлийн хувьд бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах нь илүү тохиромжтой. Хоёр шийдлийг харьцуулж үзье:
Эхний шийдэл нь илүү богино бөгөөд цэвэрхэн юм. Хэрэв та толгой дээрээ хуваах юм бол хоёр дахь шийдэл нь мэдэгдэхүйц богиносгож болно.
Гэсэн хэдий ч, энэ хоёр аргыг мэдэж байх шаардлагатай бөгөөд зөвхөн дараа нь дуртай нэгийг нь ашиглаарай.
Хэд хэдэн үндэс байх үед
Тэгшитгэл нь олон үндэстэй байж болно. Жишээлбэл, тэгшитгэл x(x+ 9) = 0 нь 0 ба −9 гэсэн хоёр үндэстэй.
Eq-д. x(x+ 9) = 0 ийм утгыг олох шаардлагатай байсан xзүүн тал нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Энэ тэгшитгэлийн зүүн тал нь илэрхийллийг агуулдаг xТэгээд (x+9)хүчин зүйлүүд болох . Бүтээгдэхүүний хуулиас бид ядаж нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү (эхний хүчин зүйл эсвэл хоёр дахь хүчин зүйл) байвал бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ.
Өөрөөр хэлбэл, Eq. x(x+ 9) = 0 тэгш байдал үүснэ xтэг буюу тэнцүү байх болно (x+9)тэгтэй тэнцүү байх болно.
x= 0 эсвэл x + 9 = 0
Эдгээр илэрхийлэлийг хоёуланг нь тэг болгосноор бид тэгшитгэлийн язгуурыг олж чадна x(x+ 9) = 0. Эхний үндэс, жишээнээс харахад тэр даруй олдсон. Хоёр дахь үндсийг олохын тулд та шийдэх хэрэгтэй энгийн тэгшитгэл x+ 9 = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь -9 гэдгийг таахад амархан. Шалгах нь үндэс зөв болохыг харуулж байна:
−9 + 9 = 0
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэл нь 1 ба 2 гэсэн хоёр үндэстэй. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь илэрхийллийн үржвэр юм ( x− 1) ба ( x− 2) . Хэрэв хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна (эсвэл хүчин зүйл ( x− 1) эсвэл хүчин зүйл ( x − 2) ).
Ийм зүйл олъё xтүүний доор илэрхийллүүд ( x− 1) эсвэл ( x− 2) тэг болно:
Бид олсон утгуудыг нэг нэгээр нь анхны тэгшитгэлд орлуулж, эдгээр утгуудын хувьд зүүн тал нь тэгтэй тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаарай.
Хязгааргүй олон үндэс байхад
Тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй байж болно. Өөрөөр хэлбэл, ийм тэгшитгэлд дурын тоог орлуулснаар бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна.
Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд 
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь дурын тоо юм. Хэрэв та тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хаалтыг нээж, ижил төстэй нөхцлүүдийг нэмбэл 14 = 14 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгш байдлыг хэн ч олж авах болно x
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь дурын тоо юм. Хэрэв та тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хаалтыг нээвэл тэгшитгэлийг авна 10x + 12 = 10x + 12. Энэ тэгш байдлыг хэн ч олж авах болно x
Үндэс байхгүй үед
Мөн тэгшитгэл нь огт шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл үндэсгүй байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь ямар ч утгын хувьд үндэсгүй байдаг x, тэгшитгэлийн зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү биш байх болно. Жишээлбэл, үзье. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно
Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд
Тэгш байдлын зүүн талд байгаа хаалтуудыг өргөжүүлье:
Үүнтэй төстэй нэр томъёог авч үзье:
Зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү биш гэдгийг бид харж байна. Мөн энэ нь ямар ч үнэ цэнийн хувьд байх болно. y. Жишээлбэл, үзье y = 3 .
Үсгийн тэгшитгэл
Тэгшитгэл нь зөвхөн хувьсагчтай тоо төдийгүй үсгийг агуулж болно.
Жишээлбэл, хурдыг олох томъёо нь шууд тэгшитгэл юм.
Энэ тэгшитгэл нь жигд хурдасгасан хөдөлгөөний үед биеийн хурдыг тодорхойлдог.
Ашигтай ур чадвар нь үсгийн тэгшитгэлд багтсан аливаа бүрэлдэхүүн хэсгийг илэрхийлэх чадвар юм. Жишээлбэл, тэгшитгэлээс зайг тодорхойлохын тулд хувьсагчийг илэрхийлэх хэрэгтэй с .
Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ т
Баруун талд байгаа хувьсагчид түүнийг тасалцгаая т
Үүссэн тэгшитгэлд бид зүүн ба баруун талыг сольж байна.
Бид өмнө нь судалж байсан зайг олох томьёотой.
Тэгшитгэлээс цагийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг илэрхийлэх хэрэгтэй т .
Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ т
Баруун талд байгаа хувьсагчид түүнийг тасалцгаая тмөн бидэнд үлдсэн зүйлийг дахин бичнэ үү:
Үүссэн тэгшитгэлд v×t = sхоёр хэсэгт хуваана v
Зүүн талд байгаа хувьсагч vүүнийг тасалцгаая vмөн бидэнд үлдсэн зүйлийг дахин бичнэ үү:
Бидэнд өмнө нь судалж байсан цаг хугацааг тодорхойлох томъёо бий.
Галт тэрэгний хурд 50 км/цаг байна гэж бодъё
v= 50 км/цаг
Мөн зай нь 100 км
с= 100 км
Дараа нь захидал дараах хэлбэртэй болно
Цагийг энэ тэгшитгэлээс олж болно. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийг илэрхийлэх чадвартай байх хэрэгтэй т. Та ногдол ашгийг хуваагчаар хувааж, хувьсагчийн утгыг тодорхойлох замаар үл мэдэгдэх хуваагчийг олох дүрмийг ашиглаж болно. т
эсвэл та ижил хувиргалтыг ашиглаж болно. Эхлээд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ т
Дараа нь хоёр талыг 50-д хуваана
Жишээ 2 x
Тэгшитгэлийн хоёр талаас хасна а
Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваая б
a + bx = c, тэгвэл бид байх болно бэлэн шийдэл. Үүнийг орлуулахад хангалттай байх болно шаардлагатай утгууд. Эдгээр утгууд нь үсгээр солигдох болно a, b, cихэвчлэн дууддаг параметрүүд. Мөн хэлбэрийн тэгшитгэлүүд a + bx = cдуудсан параметр бүхий тэгшитгэл. Параметрүүдээс хамааран үндэс нь өөрчлөгдөнө.
2 + 4 тэгшитгэлийг шийдье x= 10. Энэ нь үсгийн тэгшитгэл шиг харагдаж байна a + bx = c. Ижил хувиргалтыг хийхийн оронд бид бэлэн шийдлийг ашиглаж болно. Хоёр шийдлийг харьцуулж үзье:
Хоёрдахь шийдэл нь илүү энгийн бөгөөд богино гэдгийг бид харж байна.
Бэлэн шийдлийн хувьд та хийх хэрэгтэй жижиг тэмдэглэл. Параметр бтэг байх ёсгүй (b ≠ 0), тэгээр хуваахыг зөвшөөрдөг.
Жишээ 3. Шууд тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ тэгшитгэлээс илэрхийл x
Тэгшитгэлийн хоёр талын хаалтуудыг нээцгээе
Нөхцөл шилжүүлэх аргыг ашиглацгаая. Хувьсагч агуулсан параметрүүд x, бид тэгшитгэлийн зүүн талд, энэ хувьсагчаас ангид параметрүүдийг баруун талд нь бүлэглэнэ.
Зүүн талд бид коэффициентийг хаалтнаас гаргаж авдаг x
Хоёр талыг илэрхийлэл болгон хувааж үзье a - b
Зүүн талд тоологч болон хуваагчийг багасгаж болно a - b. Хувьсагчийг эцэст нь ингэж илэрхийлдэг x
Одоо бид хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тулгарвал a(x − c) = b(x + d), тэгвэл бид бэлэн шийдэлтэй болно. Үүнд шаардлагатай утгыг орлуулахад хангалттай.
Бидэнд тэгшитгэл өгсөн гэж бодъё 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Энэ нь тэгшитгэлтэй адил юм a(x − c) = b(x + d). Үүнийг хоёр аргаар шийдье: ижил хувиргалтыг ашиглах, бэлэн шийдлийг ашиглах.
Тохиромжтой болгохын тулд үүнийг тэгшитгэлээс хасъя 4(x− 3) = 2(x+ 4) параметрийн утгууд а, б, в, г . Энэ нь биднийг орлуулахдаа алдаа гаргахгүй байх боломжийг олгоно:
Өмнөх жишээний адил энд хуваагч тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй ( a − b ≠ 0) . Хэрэв бид хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тулгарвал a(x − c) = b(x + d)параметрүүд нь аТэгээд бижил байх болно, бид үүнийг шийдэхгүйгээр энэ тэгшитгэл нь ялгаанаас хойш үндэсгүй гэж хэлж болно ижил тоотэгтэй тэнцүү.
Жишээлбэл, тэгшитгэл 2(x − 3) = 2(x + 4)хэлбэрийн тэгшитгэл юм a(x − c) = b(x + d). Eq-д. 2(x − 3) = 2(x + 4)параметрүүд аТэгээд бадилхан. Хэрэв бид үүнийг шийдэж эхэлбэл зүүн тал нь баруун талтай тэнцэхгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
Жишээ 4. Шууд тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ тэгшитгэлээс илэрхийл x
Тэгшитгэлийн зүүн талыг нийтлэг хуваагч руу авъя:
Хоёр талыг үржүүлнэ а
Зүүн талд xүүнийг хаалтанд оруулъя
Хоёр талыг (1 −.) илэрхийллээр хуваая а)
Нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл
Энэ хичээл дээр авч үзсэн тэгшитгэлүүдийг нэрлэнэ Нэг үл мэдэгдэх нэгдүгээр зэргийн шугаман тэгшитгэл.
Хэрэв тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэрэглэлд өгөгдсөн бол үл мэдэгдэх хуваагдлыг агуулаагүй, мөн үл мэдэгдэх үндэс агуулаагүй бол түүнийг шугаман гэж нэрлэж болно. Бид эрх мэдэл, язгуурын талаар хараахан судалж амжаагүй байгаа тул амьдралаа хүндрүүлэхгүйн тулд "шугаман" гэдэг үгийг "энгийн" гэж ойлгох болно.
Энэ хичээлээр шийдсэн ихэнх тэгшитгэлүүд нь эцсийн дүндээ бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах энгийн тэгшитгэл болж хувирав. Жишээлбэл, энэ нь тэгшитгэл 2( x+ 3) = 16 . Үүнийг шийдье.
Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе, бид 2-ыг авна x+ 6 = 16. Тэмдгийг өөрчилснөөр 6-р гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлье. Дараа нь бид 2-ыг авна x= 16 − 6. Баруун талыг нь тооцоол, бид 2-ыг авна x= 10. олох x, үржвэр 10-ыг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 2-т хуваана.Иймээс x = 5.
Тэгшитгэл 2( x+ 3) = 16 нь шугаман байна. Энэ нь 2-р тэгшитгэлд хүрнэ x= 10, язгуурыг олохын тулд бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах шаардлагатай байв. Энэ хамгийн энгийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг нэг үл мэдэгдэх 1-р зэргийн шугаман тэгшитгэл каноник хэлбэр . "Каноник" гэдэг үг нь "энгийн" эсвэл "хэвийн" гэсэн үгтэй ижил утгатай.
Нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман тэгшитгэлийг каноник хэлбэрээр үл мэдэгдэх нэг хэлбэрт тэгшитгэл гэнэ сүх = б.
Бидний үр дүнгийн тэгшитгэл 2 x= 10 нь каноник хэлбэрээр нэг үл мэдэгдэх нэгдүгээр зэргийн шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэрэгтэй, нэг үл мэдэгдэх, үл мэдэгдэх хуваагдлыг агуулаагүй, үл мэдэгдэхээс үндэс агуулаагүй бөгөөд үүнийг каноник хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл утгыг хялбархан тодорхойлох боломжтой хамгийн энгийн хэлбэрээр үзүүлэв. x. Параметрүүдийн оронд аТэгээд бМанай тэгшитгэлд 2 ба 10 гэсэн тоонууд багтсан. Гэхдээ ийм тэгшитгэл нь эерэг, сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү бусад тоонуудыг агуулж болно.
Шугаман тэгшитгэлд байгаа бол а= 0 ба б= 0 бол тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй болно. Үнэхээр, хэрэв атэгтэй тэнцүү ба бтэгтэй тэнцүү, дараа нь шугаман тэгшитгэл сүх= б 0 хэлбэрийг авна x= 0. Аливаа үнэ цэнийн хувьд xзүүн тал нь баруун талтай тэнцүү байх болно.
Шугаман тэгшитгэлд байгаа бол а= 0 ба б≠ 0 бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Үнэхээр, хэрэв атэгтэй тэнцүү ба бтэгтэй тэнцүү биш зарим тоотой тэнцүү бол 5-ын тоог, дараа нь тэгшитгэлийг хэлнэ сүх = б 0 хэлбэрийг авна x= 5. Зүүн тал нь тэг, баруун тал нь тав байх болно. Тэгээд тэг нь тавтай тэнцэхгүй.
Шугаман тэгшитгэлд байгаа бол а≠ 0, ба бямар ч тоотой тэнцүү бол тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна. Энэ нь параметрийг хуваах замаар тодорхойлогддог бпараметр бүрт а
Үнэхээр, хэрэв атэг биш зарим тоотой тэнцүү, 3-ын тоог хэлэх ба бзарим тоотой тэнцүү бол 6 гэсэн тоог хэлвэл тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.
Эндээс.
Бичлэг хийх өөр хэлбэр бий шугаман тэгшитгэлнэг үл мэдэгдэх нэгдүгээр зэрэг. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна. сүх−б= 0. Энэ нь ижил тэгшитгэл юм сүх = б
Хичээл таалагдсан уу?
Манайд нэгдээрэй шинэ бүлэг VKontakte болон шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй
Үл мэдэгдэх тоотой тэгшитгэлийг тэгшитгэл гэнэ.
Жишээ нь: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.
Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь үл мэдэгдэх тооны утгыг олох бөгөөд ингэснээр тэгш байдал үнэн болно.
Энэ тоог тэгшитгэлийн язгуур гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь:
x+ 23 = 45; x = 22, учир нь 22 + 23 = 45.
Тиймээс энэ тодорхойлолт нь тэгшитгэлийг шалгах аргыг мөн зааж өгсөн болно: үл мэдэгдэх тооны олсон утгыг илэрхийлэлд орлуулах, түүний утгыг тооцоолох, үр дүнг өгөгдсөн тоотой харьцуулах (хариулт).
Хэрэв үл мэдэгдэх тооны утгыг зөв олсон бол зөв тэгш байдлыг олж авна.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд.
Хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудыг судлах нь математикийн анхан шатны сургалтын системд бат бөх суурьшиж байна. Тэгшитгэл нь судалж буй бодит байдлын хэсгүүдийг загварчлах нэг хэрэгсэл бөгөөд тэдгээртэй танилцах нь математикийн боловсролын чухал хэсэг юм. Үүний зэрэгцээ бага сургуулийн сурагчдыг тэгшитгэлтэй танилцуулах нь тэднийг бага сургуульд математикийн хичээлд бэлтгэдэг.
Математикийн хувьд тэгшитгэлийг ихэвчлэн "өгөгдсөн хоёр функцийн утга тэнцүү байх аргументуудын утгыг олох асуудлын аналитик дүрслэл" гэж ойлгодог. Эдгээр функцуудаас хамаарах аргументуудыг дуудна үл мэдэгдэх,функцүүдийн утга тэнцүү байх үл мэдэгдэх утгууд нь байна шийдлүүд - тэгшитгэлийн үндэс."Энэ нь тэгшитгэлийн тухай ойлголт нь нэгдүгээрт, холбоотой гэсэн үг юм аналитик илэрхийлэл(манай тохиолдолд арифметикийн хувьд), хоёрдугаарт, - Хамттодорхой багцаас утгыг авах хувьсагчийн тухай ойлголт.
Бага сургуульд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр аргыг хэлэлцдэг.
Сонгох арга
Үл мэдэгдэх тооны тохирох утгыг аль нэгээс нь сонгоно утгыг тохируулах, эсвэл дурын тооны багцаас.
Сонгосон тоог илэрхийлэлд орлуулахдаа жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах ёстой. Жишээ нь:
7, 10, 5, 4, 1, 3 тоонуудаас тэгшитгэл бүрд зөв тэгш байдлыг өгөх x утгыг сонгоно уу: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b
Санал болгож буй тоо бүрийг илэрхийлэлд орлуулж, үр дүнгийн утгыг хариулттай харьцуулж шалгана.
Санал болгож буй олон тооны утгуудтай энэ арга нь маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт шаарддаг. Илэрхийллийн утгыг бие даан сонгохдоо хүүхэд үл мэдэгдэх утгыг бие даан олж чадахгүй байж болно.
Үйлдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын хамаарлыг ашиглах арга.
Үйлдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн харилцан холболтын дүрмийг ашигладаг.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийг шийд: 9 + x=14
Нэр томъёо нь тодорхойгүй байна. Үл мэдэгдэх гишүүнийг олохын тулд нийлбэрээс мэдэгдэж буй гишүүнийг хасах хэрэгтэй. Энэ нь x = 14 - 9 гэсэн үг; x = 5.
Тэгшитгэлийг шийд: 7 -x=2
Хасах нь тодорхойгүй. Үл мэдэгдэх хасалтыг олохын тулд та хасахаас зөрүүг хасах хэрэгтэй. Энэ нь x = 1 - 2 гэсэн үг; x = 5.
Тэгшитгэлийг шийд: x-1 = 9
Үл мэдэгдэх хоцрогдол. Үл мэдэгдэх хасах утгыг олохын тулд та зөрүү дээр хасахыг нэмэх хэрэгтэй. Тэгэхээр x = 9 + 1; x = 10.
Үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдтэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд үржүүлэх, хуваах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хамаарлын дүрмийг ашигладаг.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийг шийд: 96:x=24
Хуваагч тодорхойгүй. Үл мэдэгдэх хуваагчийг олохын тулд та ногдол ашгийг хуваах хэсэгт хуваах хэрэгтэй. Энэ нь x = 96: 24 гэсэн үг; x = 4. Шийдвэрийг шалгая: 24 4 = 96.
Тэгшитгэлийг шийд: x:23 = 4
Ногдол ашиг тодорхойгүй. Үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд хуваагчийг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй. Энэ нь x = 23 4 гэсэн үг; x = 92. Шийдвэрийг шалгая: 92: 23 = 4.
Тэгшитгэлийг шийд: o:- 14 = 84
Үржүүлэгч тодорхойгүй. Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй. Энэ нь x = 84:14 x = 6 гэсэн үг. Шийдлийг шалгая: x 14 = 84.
Эдгээр дүрмийг ашиглах нь тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Хэцүү зүйл бол олон хүүхэд үйл ажиллагааны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн харилцааны дүрмийг төөрөлдүүлж, бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэрийг (та 6 дүрэм, 10 бүрэлдэхүүн хэсгийн нэрийг сайн мэдэх хэрэгтэй).
Илүү хэцүү тэгшитгэлийн хувьд холбох аргыг ашигладаг, жишээлбэл:
35 + x + x + x = 35 - үл мэдэгдэх нь зөвхөн тэг утгыг авах нь ойлгомжтой;
78-x-x = 76 - тодорхой x = 1, учир нь 78 - 1 - 1 = 76.
(6 + x) - 5 = 38 хэлбэрийн хаалт бүхий тэгшитгэлийн хувьд үйлдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн харилцааны дүрмийг ашиглана. Хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь үл мэдэгдэх нэг бүрэлдэхүүн хэсэг гэж үзвэл тэгшитгэлийн зүүн талыг эхлээд ялгаа гэж үзнэ. Энэ үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсэг нь minuend юм. Үл мэдэгдэх утгыг олохын тулд та ялгаан дээр хасахыг нэмэх хэрэгтэй.
Тиймээс тэгшитгэл нь ердийн хэлбэрээ авдаг. Энэ тэгшитгэлд та үл мэдэгдэх нэр томъёог олох хэрэгтэй: x = 43-6 x = 37;
Шийдлийг шалгая (үл мэдэгдэхийн олсон утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулна): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Бага ангийн хэд хэдэн өөр математикийн сурах бичгүүдэд хүүхдүүдэд илүү олон зүйлийг танилцуулах дадлага хийдэг нарийн төвөгтэй тэгшитгэлүүд(И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон), үүнийг шийдвэрлэхийн тулд үйл ажиллагааны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн харилцааны дүрмийг давтан хэрэглэхийг зөвлөж байна.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийг шийд: (y-3)-5-875 = 210
Тэгшитгэлийн зүүн талыг хараад үйлдлийн дарааллыг тодорхойлъё.
(y-3)- 5 -875 = 210
Зүүн талд байгаа илэрхийллийн төрлийг сүүлчийн үйлдлээр тодорхойлно: сүүлчийн үйлдэл нь хасах үйлдэл бөгөөд энэ нь бид илэрхийллийг ялгаа гэж үзэж эхэлдэг гэсэн үг юм.
Minuend (y - 3) 5, хасах 875, зөрүүний утга 210.
Үл мэдэгдэх зүйл нь бууруулсанд агуулагддаг. Тасалтыг олцгооё (бид энэ бүх илэрхийлэлийг нэг хасах утга гэж үздэг): үл мэдэгдэх хасах утгыг олохын тулд зөрүүг хасах хэрэгтэй.
(y- 3)- 5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: у
Процедурыг дахин тодорхойлъё: (y - 3) 5 = 1085.
Сүүлийн үйлдэл дээр үндэслэн бид зүүн талын илэрхийлэлийг бүтээгдэхүүн гэж үздэг. Эхний хүчин зүйл нь (y - 3), хоёр дахь хүчин зүйл нь 5, бүтээгдэхүүний үнэ цэнэ 1085. Үл мэдэгдэх нь эхний хүчин зүйлд агуулагддаг. Үүнийг олцгооё (бид y - 3 үл мэдэгдэх илэрхийллийг бүхэлд нь авч үздэг). Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй.
y - 3 = 1085: 5;
Бид алдаа нь тодорхойгүй тэгшитгэлийг хүлээн авлаа. Үүнийг олцгооё:
Үл мэдэгдэхийн олсон утгыг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шийдлийг шалгацгаая.
(218-3)-5-875 = 210.
Зүүн талын утгыг тооцоолсны дараа бид зөв тэгш байдлыг олж авсан гэдэгт итгэлтэй байна. Энэ нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.
Дээрх шийдлийн аргын дүн шинжилгээ нь энэ нь хүүхэд бүх дүрмийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх, өндөр түвшний дүн шинжилгээ хийх, олж авсан хувьсагчийн цогц бүтцийг мэдрэх чадварыг шаарддаг урт, хөдөлмөр их шаарддаг үйл явц гэдгийг харуулж байна. нэг цогц байдлаар алхам алхмаар шийдэл (нийлэгжилт, хийсвэрлэлийн өндөр түвшин).
Ахлах сургуульд хэрэглэгддэг ижил төстэй тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх нийтийн аргыг мэддэг насанд хүрсэн хүн (хаалт нээх, тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг зүүнээс баруун тийш шилжүүлэх) энэ аргын төгс бус байдал, хэт их хөдөлмөрийг тодорхой хардаг. Үүнтэй холбогдуулан хэд хэдэн арга зүйчид ийм нарийн бүтэцтэй тэгшитгэлийг бага сургуулийн математикийн хичээлд идэвхтэй оруулах нь зүйтэй гэдэгт эргэлзэж байгаагаа зөв илэрхийлж байна. Энэхүү шийдлийн арга нь математикийн үүднээс үндэслэлгүй бөгөөд 5-7-р ангийн математикийн багш хүүхдэд энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга техникийг танилцуулангуут мартагдаж, хаягдах болно.
Ур чадварыг хөгжүүлэх урт зам тэгшитгэлийг шийдвэрлэххамгийн анхны бөгөөд харьцангуй шийдвэрээс эхэлдэг энгийн тэгшитгэлүүд. Ийм тэгшитгэл гэж бид зүүн тал нь нэг нь үл мэдэгдэх хоёр тооны нийлбэр, зөрүү, үржвэр эсвэл хэсэг, баруун тал нь тоо агуулсан тэгшитгэлийг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх нийлбэр, хасах, хасах, үржүүлэгч, ногдол ашиг эсвэл хуваагчийг агуулдаг. Ийм тэгшитгэлийн шийдлийг энэ нийтлэлд авч үзэх болно.
Энд бид үл мэдэгдэх нэр томъёо, хүчин зүйл гэх мэтийг олох боломжийг олгодог дүрмийг өгөх болно. Түүнээс гадна бид эдгээр дүрмийг практикт хэрэглэх, шинж чанарын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар нэн даруй авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Тиймээс бид анхны тэгшитгэлд х-ийн оронд 5-ын тоог орлуулснаар 3+5=8 болно - энэ тэгшитгэл зөв, тиймээс бид үл мэдэгдэх гишүүнийг зөв оллоо. Хэрэв бид шалгахдаа тоон тэгшитгэлийг буруу хүлээн авсан бол энэ нь тэгшитгэлийг буруу шийдсэнийг илтгэнэ. Үүний гол шалтгаан нь буруу дүрэм хэрэглэх эсвэл тооцооллын алдаа байж болно.
Үл мэдэгдэх хасах буюу хасахыг хэрхэн олох вэ?
Өмнөх догол мөрөнд дурдсан тоог нэмэх, хасах хоёрын холболт нь мэдэгдэж буй хасах ба зөрүүгээр үл мэдэгдэх хасах утгыг олох дүрмийг олж авах боломжийг олгодог. сул тал ба ялгаа. Бид тэдгээрийг нэг нэгээр нь томъёолж, тохирох тэгшитгэлийн шийдлийг нэн даруй танилцуулах болно.
Үл мэдэгдэх хасах утгыг олохын тулд та зөрүү дээр хасахыг нэмэх хэрэгтэй.
Жишээлбэл, x−2=5 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь үл мэдэгдэх нууцыг агуулдаг. Дээрх дүрэм нь үүнийг олохын тулд мэдэгдэж буй 5-ын зөрүү дээр мэдэгдэж буй 2-ыг нэмэх ёстой бөгөөд 5+2=7 байна. Тиймээс шаардлагатай minuend нь долоотой тэнцүү байна.
Хэрэв бид тайлбарыг орхигдуулсан бол шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
x−2=5,
x=5+2,
x=7.
Өөрийгөө хянахын тулд шалгалт хийцгээе. Бид анхны тэгшитгэлд олсон хасах утгыг орлуулж, 7−2=5 тоон тэгшитгэлийг олж авна. Энэ нь зөв, тиймээс бид үл мэдэгдэх minuend-ийн утгыг зөв тодорхойлсон гэдэгт итгэлтэй байж болно.
Та үл мэдэгдэх орлуулагчийг хайж олох боломжтой. Үүнийг нэмэх замаар олж болно дараагийн дүрэм: үл мэдэгдэх хасалтыг олохын тулд та хасагдсанаас зөрүүг хасах хэрэгтэй.
Бичсэн дүрмийг ашиглан 9−x=4 хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдье. Энэ тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нь хасах юм. Үүнийг олохын тулд мэдэгдэж буй 9-ийн зөрүүгээс мэдэгдэж буй 4-ийг хасах хэрэгтэй, бид 9−4=5 байна. Тиймээс шаардлагатай хасах нь тавтай тэнцүү байна.
өгье богино хувилбарЭнэ тэгшитгэлийн шийдлүүд:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5.
Үлдсэн зүйл бол олсон хасалтын зөв эсэхийг шалгах явдал юм. Анхны тэгшитгэлд х-ийн оронд 5-ын олсон утгыг орлуулж шалгахад 9−5=4 тоон тэгшитгэл гарна. Энэ нь зөв, тиймээс бидний олсон хасалтын утга зөв байна.
Дараагийн дүрэм рүү шилжихийн өмнө бид 6-р ангид тэгшитгэлийг шийдэх дүрмийг авч үздэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү ямар ч нэр томъёог шилжүүлэх боломжийг олгодог. эсрэг тэмдэг. Тиймээс үл мэдэгдэх нийлбэр, хасах, хасахыг олохын тулд дээр дурдсан бүх дүрмүүд үүнтэй бүрэн нийцэж байна.
Үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд танд...
x·3=12 ба 2·y=6 тэгшитгэлүүдийг авч үзье. Тэдний дотор үл мэдэгдэх дугаарзүүн талын хүчин зүйл бөгөөд бүтээгдэхүүн болон хоёр дахь хүчин зүйл нь мэдэгдэж байна. Үл мэдэгдэх үржүүлэгчийг олохын тулд та дараах дүрмийг ашиглаж болно. үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлд хуваах хэрэгтэй.
Энэ дүрмийн үндэс нь бид тоог хуваахад үржүүлэх утгын эсрэг утгатай болсон явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, үржүүлэх, хуваах хоёрын хооронд холболт бий: a≠0 ба b≠0 тэгшитгэлээс a·b=c, c:a=b ба c:b=c, эсрэгээр.
Жишээ нь x·3=12 тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олъё. Дүрмийн дагуу бид хуваах хэрэгтэй алдартай бүтээлМэдэгдэж буй 3 хүчин зүйлээр 12. Гүйцэтгэе: 12:3=4. Тиймээс үл мэдэгдэх хүчин зүйл нь 4 байна.
Товчхондоо тэгшитгэлийн шийдлийг тэгшитгэлийн дараалал хэлбэрээр бичнэ.
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4.
Мөн үр дүнг шалгахыг зөвлөж байна: бид үсгийн оронд анхны тэгшитгэлд олсон утгыг орлуулж, бид 4·3=12 - зөв тоон тэгшитгэлийг авдаг тул үл мэдэгдэх хүчин зүйлийн утгыг зөв олсон.
Бас нэг зүйл бол: сурсан дүрмийн дагуу бид тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваадаг. 6-р ангид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, хувааж болно гэж хэлэх болно, энэ нь тэгшитгэлийн язгуурт нөлөөлөхгүй.
Үл мэдэгдэх ногдол ашиг эсвэл хуваагчийг хэрхэн олох вэ?
Бидний сэдвийн хүрээнд үл мэдэгдэх ногдол ашгийг тодорхой хуваагч ба хуваагчтай хэрхэн олох, мөн тодорхой ногдол ашиг, хуваагчтай үл мэдэгдэх хуваагчийг хэрхэн олох талаар олж мэдэх л үлдлээ. Өмнөх догол мөрөнд дурдсан үржүүлэх, хуваах хоёрын хоорондох холбоо нь эдгээр асуултад хариулах боломжийг бидэнд олгодог.
Үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд та хуваагчийг хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй.
Жишээ ашиглан түүний хэрэглээг харцгаая. x:5=9 тэгшитгэлийг шийдье. Энэхүү тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх ногдол ашгийг олохын тулд дүрмийн дагуу та мэдэгдэж буй 9-р хэсгийг мэдэгдэж буй хуваагч 5-аар үржүүлэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл бид үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг. натурал тоонууд: 9·5=45. Тиймээс шаардлагатай ногдол ашиг нь 45 байна.
Бид танд үзүүлэх болно богино тэмдэглэлшийдэл:
x:5=9,
x=9·5 ,
x=45.
Шалгалт нь үл мэдэгдэх ногдол ашгийн үнэ цэнийг зөв олсон болохыг баталж байна. Үнэхээр ч x хувьсагчийн оронд 45-ын тоог анхны тэгшитгэлд орлуулахад 45:5=9 гэсэн зөв тооны тэгшитгэл болж хувирна.
Шинжилсэн дүрмийг тэгшитгэлийн хоёр талыг мэдэгдэж буй хуваагчаар үржүүлэх гэж тайлбарлаж болохыг анхаарна уу. Энэ хувиргалт нь тэгшитгэлийн үндэст нөлөөлөхгүй.
Үл мэдэгдэх хуваагчийг олох дүрэм рүү шилжье. үл мэдэгдэх хуваагчийг олохын тулд та ногдол ашгийг хуваах хэсэгт хуваах хэрэгтэй.
Нэг жишээ авч үзье. 18:x=3 тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хуваагчийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид мэдэгдэж буй ногдол ашиг 18-ыг мэдэгдэж буй 3-т хуваах хэрэгтэй, бид 18:3=6 байна. Тиймээс шаардлагатай хуваагч нь зургаа байна.
Шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6.
Энэ үр дүнгийн найдвартай байдлыг шалгая: 18:6=3 нь зөв тоон тэгшитгэл тул тэгшитгэлийн язгуурыг зөв оллоо.
Энэ нь ойлгомжтой энэ дүрэм 0-д хуваагдахгүйн тулд зөвхөн хуваалт нь тэг биш байх үед л ашиглагдана. Хэмжээ нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр тохиолдол боломжтой. Хэрэв ногдол ашиг нь тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь 0:x=0 хэлбэртэй байвал хуваагчийн тэгээс бусад утга нь энэ тэгшитгэлийг хангана. Өөрөөр хэлбэл, ийм тэгшитгэлийн үндэс нь тэгтэй тэнцүү биш аливаа тоо юм. Хэрэв цагт тэгтэй тэнцүүХэрэв ногдол ашиг нь тэгээс ялгаатай бол хуваагчийн утгагүй бол анхны тэгшитгэл нь зөв тоон тэгшитгэл болж хувирна, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Дүрслэхийн тулд бид 5:x=0 тэгшитгэлийг үзүүлэв, үүнд шийдэл байхгүй.
Хуваалцах дүрэм
Үл мэдэгдэх нийлбэр, хасах, хасах, үржүүлэгч, ногдол ашиг, хуваагчийг олох дүрмийг тууштай хэрэглэх нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. нарийн төвөгтэй төрөл. Үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё.
3 x+1=7 тэгшитгэлийг авч үзье. Эхлээд бид 3 x үл мэдэгдэх гишүүнийг олж болно, үүнийг хийхийн тулд 7 нийлбэрээс мэдэгдэж буй 1 гишүүнийг хасах хэрэгтэй, бид 3 x = 7−1, дараа нь 3 x = 6 болно. Одоо 6 үржвэрийг мэдэгдэж буй хүчин зүйл 3-т хуваах замаар үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг олоход үлдлээ, бид x=6:3, үүнээс x=2 байна. Анхны тэгшитгэлийн язгуурыг ингэж олно.
Материалыг нэгтгэхийн тулд бид танилцуулж байна богино шийдэлөөр тэгшитгэл (2 x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14.
Лавлагаа.
- Математик.. 4-р анги. Сурах бичиг ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд. 14 цагт 1-р хэсэг / [М. И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова гэх мэт] - 8-р хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2011. - 112 х.: өвчтэй. - (Оросын сургууль). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Математик: сурах бичиг 5-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / N. Ya. Vilenkin, V. I. Jokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2007. - 280 х.: өвчтэй. ISBN 5-346-00699-0.
