Арифметик прогресс. Арифметик прогресс

Эсвэл арифметик - энэ бол эрэмбэлэгдсэн төрөл юм тооны дараалал, шинж чанарыг нь сургуулийн алгебрийн хичээлд судалдаг. Энэ нийтлэлд арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ ямар дэвшил вэ?

Асуултанд шилжихээсээ өмнө (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) бидний юу ярьж байгааг ойлгох нь зүйтэй.

Аливаа дараалал бодит тоо, өмнөх тоо бүрээс зарим утгыг нэмэх (хасах) замаар олж авахыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Энэхүү тодорхойлолтыг математик хэл рүү орчуулбал дараах хэлбэртэй байна.

Энд би - серийн дугаарцувралын элемент a i . Тиймээс зөвхөн нэг эхлэлийн дугаарыг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Харгалзан үзэж буй тоонуудын хувьд дараахь тэгш байдал хангагдсаныг хялбархан харуулж болно.

a n = a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, n-р элементийн утгыг дарааллаар нь олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 удаа нэмэх хэрэгтэй.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн зүйлийг авч үзэх нь зүйтэй онцгой тохиолдол. Явцыг нь өгөв натурал тоонууд 1-ээс 10 хүртэл та тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресс (10)-д нэр томьёо цөөхөн байгаа тул асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Нэг зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй сонирхолтой зүйл: гишүүн бүр дараагийнхаас ижил утгаараа d = 1 ялгаатай тул эхнийх нь арав, хоёр дахь нь ес, гэх мэтийг хосоор нь нийлбэрлэвэл ижил үр дүн гарна. Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрэх болно.

Хэрэв бид эдгээр аргументуудыг нэгтгэвэл дараах илэрхийлэлийг бичиж болно.

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэх шаардлагагүй гэдгийг харуулж байна, энэ нь эхний a 1 ба сүүлчийн a n утгыг мэдэхэд хангалттай юм нийт тоо n нэр томъёо.

Гаусс өгөгдсөн асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын талаар хамгийн түрүүнд бодсон гэж үздэг. сургуулийн багшдаалгавар: эхний 100 бүхэл тоог нийлбэр.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүд) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулдаг боловч ихэнхдээ асуудалд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тооны нийлбэр хийх шаардлагатай байдаг. Үүнийг яаж хийх вэ?

Энэ асуултанд хариулах хамгийн хялбар арга бол эргэцүүлэн бодох явдал юм дараагийн жишээ: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай байг. Асуудлыг шийдэхийн тулд өгөгдсөн сегментийг m-ээс n хүртэлх прогрессийн шинэ тооны цуваа хэлбэрээр харуулах хэрэгтэй. Үүнд m-р төлөөлөл a m нэр томъёо нь эхнийх байх ба a n нь n-(m-1) гэж дугаарлагдана. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар дараах илэрхийлэл гарна.

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дээрх томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доорх тоон дараалал байна, та 5-аас эхлээд 12-р хүртэл нөхцлүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн зөрүү 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийлэлийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүний утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Харж байгаа алгебрийн прогрессийн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэх, мөн цувралд ямар тоонууд байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан нийлбэрийн томъёог ашиглаж болно. Энэ нь гарах болно:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Энэ утгыг өөр аргаар олж авах боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд эхний 12 элементийн нийлбэрийг дараах байдлаар ол. стандарт томъёо, дараа нь ижил томъёог ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь эхний нийлбэрээс хоёр дахь хэсгийг хасна.

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэж байна.

Гэсэн хэдий ч \(d\) нь сөрөг тоо байж болно. Жишээ нь, арифметик прогрессоор \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Явцыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг дуудна гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд, дээр дурдсан мэдээлэл нь бараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад) шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Жишээ (OGE). Арифметик прогресснөхцөлөөр өгөгдсөн \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэгдсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогресс өгөгдсөн дараах нөхцөлүүд: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тооны гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог нэмснээр олж авдаг. явцын ялгаа).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "толгой" гэж шийдэх нь маш эвгүй байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\) олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид дөрөв \(385\) дахин нэмэх шаардлагатай юу? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Та тоолохоос залхах болно ...

Тиймээс, ийм тохиолдолд тэд асуудлыг "толгойгоор нь" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба \(n\) эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) – \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний болон явцын зөрүүг мэдэхийн тулд гурван зуу, сая дахь элементийг ч хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) - сүүлчийн нийлбэр гишүүн;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томъёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) – эхний элементүүдийн шаардлагатай \(n\) нийлбэр;
\(a_1\) – эхний нийлбэр гишүүн;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) – нийт элементийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо чамд бүх зүйл байна шаардлагатай мэдээлэлбараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн бодлогуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элемент хүртэлх нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул бид энэ нийтлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.

Чухал тэмдэглэл!
1. Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хөтөч дээрээ хэрхэн хийх талаар энд бичсэн болно:
2. Өгүүллийг уншиж эхлэхээсээ өмнө манай хөтөчийг хамгийн их анхаарч үзээрэй ашигтай нөөцУчир нь

Тооны дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээ нь:
Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн аль болох олон тоо байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь байдаг). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр сүүлчийнх хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (дахь дугаар шиг) үргэлж ижил байдаг.
Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэж нэрлэдэг.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Манай тохиолдолд:

Бидэнд зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал байна гэж бодъё.
Жишээ нь:

гэх мэт.
Энэ тооны дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Дэвшил" гэсэн нэр томъёог 6-р зуунд Ромын зохиолч Боэтиус нэвтрүүлсэн бөгөөд үүнийг илүү олон хэлээр ойлгож байжээ. өргөн утгаараа, төгсгөлгүй тооны дараалал шиг. "Арифметик" гэдэг нэр нь эртний Грекчүүдийн судалж байсан тасралтгүй харьцааны онолоос шилжсэн.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөх тоон дээр нэмсэнтэй тэнцүү тооны дараалал юм. Энэ тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэж нэрлэдэг бөгөөд тодорхойлогддог.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Ойлгосон уу? Хариултаа харьцуулж үзье:
байнаарифметик прогресс - b, c.
Тийм бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс () руу буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Байдаг хоёролох арга.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тоог өмнөх утгад нэмж болно. Бидэнд нэгтгэн дүгнэх зүйл байхгүй байгаа нь сайн хэрэг - ердөө гурван утга:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

2. Арга

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах бөгөөд бид тоо нэмэхэд алдаа гаргахгүй байх нь үнэн биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утгад нэмэх шаардлагагүй гэсэн аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар ажиглаарай... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн 3-р гишүүний утга юунаас бүрдэхийг харцгаая.


Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн арифметик прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ингэж олохыг хичээгээрэй.

Та тооцоолсон уу? Тэмдэглэлээ хариулттай харьцуул.

Өмнөх утга дээр арифметик прогрессийн нөхцөлүүдийг дараалан нэмэх үед та өмнөх аргатай яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
"Хувь хүнгүй болгохыг" хичээцгээе. энэ томъёо- Үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад:

Арифметик прогрессууд нэмэгдэж эсвэл буурч болно.

Өсөж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө их байх прогрессууд.
Жишээ нь:

Бууж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байх прогрессууд.
Жишээ нь:

Гарсан томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алиных нь нэр томъёог тооцоолоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тоонуудаас бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн: Хэрэв бид үүнийг тооцоолохдоо томъёогоо ашиглавал энэ арифметик прогрессийн 3-р тоо хэд болохыг шалгая:

Түүнээс хойш:

Тиймээс, томъёо нь арифметик прогрессийн бууралт, өсөлтийн аль алинд нь ажилладаг гэдэгт бид итгэлтэй байна.
Энэ арифметик прогрессийн 3 ба дах гишүүнийг өөрөө олохыг хичээ.

Үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Асуудлыг хүндрүүлье - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авах болно.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Хялбар, та аль хэдийн мэддэг томъёоныхоо дагуу тоолж эхэлнэ.

За тэгвэл:

Үнэхээр үнэн. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ нөхцөл байдалд тоо өгвөл яах вэ? Зөвшөөрч байна, тооцоололд алдаа гаргах магадлалтай.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар нэгэн томъёогоор нэг алхамаар шийдэх боломжтой юу? Мэдээж тийм, бид үүнийг одоо гаргаж ирэхийг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн шаардлагатай нэр томъёог олох томъёо нь бидэнд мэдэгдэж байгаа гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргасан томъёо юм.
, Дараа нь:

• Прогрессийн өмнөх хугацаа нь:
• явцын дараагийн хугацаа нь:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн нөхцлүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзье:

Прогрессийн өмнөх ба дараагийн нөхцлүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний давхар утга болох нь харагдаж байна. Өөрөөр хэлбэл, мэдэгдэж буй өмнөх ба өгөгдсөн прогрессийн гишүүний утгыг олох дараалсан утгууд, та тэдгээрийг нэмж, хуваах хэрэгтэй.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалыг хамгаалцгаая. Хөгжил дэвшлийн үнэ цэнийг өөрөө тооцоол, энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн байна! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" Карл Гаусс амархан гаргаж ирсэн нэг томьёог олж мэдэх л үлдлээ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах завгүй байсан багш ангидаа дараах даалгаврыг асуув: "Бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг (бусад эх сурвалжийн дагуу) хамааруулан тооцоол." Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) нэг минутын дараа даалгаварт зөв хариулт өгөхөд багшийн гайхшралыг төсөөлөөд үз дээ, ангийн ихэнх хүүхдүүд удаан тооцоолсны эцэст буруу үр дүн авсан ...

Залуу Карл Гаусс та амархан анзаарч болох тодорхой хэв маягийг анзаарсан.
Бидэнд --р гишүүнчлэлээс бүрдэх арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн эдгээр гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ хэрэв даалгавар нь Гауссын хайж байсан шиг түүний нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бидэнд өгөгдсөн дэвшлийг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг сайтар ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.


Та туршиж үзсэн үү? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо надад хэлээч, бидэнд өгсөн прогрессод нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны яг тэн хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү, ижил төстэй хосууд нь тэнцүү гэдгийг үндэслэн бид үүнийг олж авна. нийт дүнтэнцүү байна:
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёо нь:

Зарим асуудлын хувьд бид 3-р нэр томъёог мэдэхгүй ч дэвшлийн ялгааг мэддэг. Нийлбэрийн томъёонд 3-р гишүүний томьёог орлуулахыг хичээ.
Та юу авсан бэ?

Сайн байна! Одоо Карл Гауссаас асуусан бодлого руугаа буцъя: --р тооноос эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү, --ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэдтэй тэнцүү болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс нэр томъёоны нийлбэр нь тэнцүү, гишүүний нийлбэр нь тэнцүү болохыг олж мэдсэн. Чи ингэж шийдсэн юм уу?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томьёог эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант 3-р зуунд нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанарыг бүрэн ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, төсөөлөөд үз дээ Эртний Египетба хамгийн их томоохон бүтээн байгуулалттэр үе - пирамид барих нь... Зурагт нэг тал нь харагдаж байна.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлж байна уу? Анхааралтай ажиглаж, пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.


Яагаад арифметик прогресс байж болохгүй гэж? Суурь дээр блок тоосго тавьсан бол нэг ханыг барихад хичнээн блок шаардлагатайг тооцоол. Та хуруугаа монитор дээр хөдөлгөж байхдаа тоолохгүй байх гэж найдаж байна, та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

IN энэ тохиолдолдЯвц нь дараах байдалтай байна: .
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүний тоо.
Өгөгдлөө сүүлийн томъёонд орлъё (блокуудын тоог 2 аргаар тооцоол).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Ойлгосон уу? Сайн байна, та арифметик прогрессийн n-р гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж чадахгүй, гэхдээ юу? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт нь блокууд юм:

Сургалт

Даалгаварууд:

1. Маша зуны улиралд бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний бэлтгэл дээр суулт хийсэн бол долоо хоногт хэдэн удаа суулт хийх вэ?
2. Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
3. Бүртгэлийг хадгалахдаа мод бэлтгэгчид тэдгээрийг нэг бүрээр нь овоолно дээд давхаргаөмнөх нэгээс нэг бага лог агуулсан. Хэрэв өрлөгийн суурь нь гуалин байвал нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг вэ?

Хариултууд:

1. Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
   (долоо хоног = хоног).

   Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дотор Маша өдөрт нэг удаа squat хийх ёстой.

2. Эхлээд сондгой тоо, сүүлийн дугаар.
   Арифметик прогрессийн ялгаа.
   Сондгой тооны тоо нь тал хувь боловч арифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг олох томъёогоор энэ баримтыг шалгая:

   Тоонууд нь сондгой тоог агуулдаг.
   Боломжтой өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр тэнцүү байна.

3. Пирамидын тухай асуудлыг санацгаая. Манай тохиолдолд, a , дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул нийтдээ олон тооны давхаргууд байдаг, өөрөөр хэлбэл.
   Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

   Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

1. - зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тооны дараалал. Энэ нь нэмэгдэж эсвэл буурч болно.
2. Томъёо олохАрифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
3. Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - явц дахь тоонуудын тоо хаана байна.
4. Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрхоёр аргаар олж болно:
   
   , утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНД ТҮВШИН

Тооны дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээ нь:

Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн тоо хүссэн хэмжээгээрээ байж болно. Гэхдээ бид аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байна гэх мэтээр үргэлж хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж чадна. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүрийг тодорхой натурал тоо, өвөрмөц тоотой холбож болно. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын 3-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Хэрэв дарааллын 3-р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор зааж өгөх нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү, ялгаа нь). Эсвэл (, ялгаа).

n-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд 2-р гишүүнийг олохын тулд өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, энэ томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй болно. Жишээлбэл, үүнийг зөвшөөр. Дараа нь:

За, одоо ямар томъёолол байгаа нь тодорхой болов уу?

Мөр бүрт бид нэмж, зарим тоогоор үржүүлнэ. Аль нь вэ? Маш энгийн: энэ нь одоогийн гишүүний тоо хасах:

Одоо хамаагүй илүү тохиромжтой, тийм үү? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Эхний гишүүн нь тэнцүү байна. Ялгаа нь юу вэ? Энд юу вэ:

(Ийм учраас энэ нь прогрессийн дараалсан нөхцлүүдийн зөрүүтэй тэнцүү учраас ялгаа гэж нэрлэгддэг).

Тэгэхээр, томъёо:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь дараахтай тэнцүү байна.

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр, агуу математикчКарл Гаусс 9 настай хүү байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний ба нийлбэр болохыг анзаарсан сүүлийн огноотэнцүү байна, хоёр дахь болон эцсийн өмнөх нийлбэр ижил байна, гурав дахь болон төгсгөлөөс гурав дахь нийлбэр ижил байна гэх мэт. Нийт хэдэн ийм хос байдаг вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийн ерөнхий томъёо нь:

Жишээ:
Бүгдийн нийлбэрийг ол хоёр оронтой тоо, үржвэр.

Шийдэл:

Эхний ийм тоо бол энэ юм. Дараагийн дугаар бүрийг өмнөх тоон дээр нэмэх замаар олж авна. Ийнхүү бидний сонирхож буй тоонууд эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогресс үүсгэдэг.

Энэ прогрессийн 3-р гишүүний томъёо:

Хэрэв бүгд хоёр оронтой байх ёстой бол дэвшилд хэдэн гишүүн байх вэ?

Маш амархан:.

Прогрессийн сүүлчийн хугацаа тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

1. Тамирчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү метр гүйдэг. Тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт нийт хэдэн км гүйх вэ?
2. Дугуйчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө илүү олон км замыг туулдаг. Эхний өдөр тэр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах ёстой вэ? Тэрээр аяллынхаа сүүлчийн өдөр хэдэн км замыг туулах вэ?
3. Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр буурдаг. Зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч байсныг тодорхойл.

Хариултууд:

1. Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
   .
   Хариулт:
2. Энд өгөгдсөн: , заавал олдох ёстой.
   Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй:
   .
   Утгыг орлуулах:

   Үндэс нь тохирохгүй нь ойлгомжтой тул хариулт нь ийм байна.
   Сүүлийн өдрийн туулсан замыг 2-р гишүүний томъёогоор тооцоолъё.
   (км).
   Хариулт:

3. Өгөгдсөн: . олох: .
   Энэ нь илүү энгийн байж болохгүй:
   (үрэх).
   Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил бөгөөд тэнцүү байх тооны дараалал юм.

Арифметик прогресс нь нэмэгдэж () ба буурах () байж болно.

Жишээ нь:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томъёо

томьёогоор бичигдэнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх нөхцлүүд нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн гишүүнийг хялбархан олох боломжийг олгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэр

Хэмжээг олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

Утгын тоо хаана байна.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Амжилтанд хүрэхийн тулд Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэн, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Арифметик прогресс гэдэг нь тоо тус бүр өмнөхөөсөө ижил хэмжээгээр их (эсвэл бага) тоонуудын цуваа юм.

Энэ сэдэв нь ихэвчлэн төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг. Үсгийн индексүүд n-р улиралпрогресс, прогрессийн зөрүү - энэ бүхэн ямар нэгэн байдлаар будлиантай, тийм ээ... Арифметик прогрессийн утгыг олж мэдье, тэгвэл бүх зүйл тэр дороо сайжирна.)

Арифметик прогрессийн тухай ойлголт.

Арифметик прогресс бол маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой ойлголт юм. Танд эргэлзээ байна уу? дэмий л.) Өөрөө хараарай.

Би дуусаагүй цуврал тоо бичнэ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Та энэ цувралыг сунгаж чадах уу? Тавын дараа ямар тоо гарах вэ? Хүн бүр... өө..., товчхондоо 6, 7, 8, 9 гэх мэт тоонууд дараа нь ирнэ гэдгийг бүгд ойлгох болно.

Даалгаврыг хүндрүүлье. Би танд дуусаагүй цуврал тоонуудыг өгч байна:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Та загварыг барьж, цувралыг сунгаж, нэрлэх боломжтой болно долдугаартэгнээний дугаар?

Хэрэв та энэ тоо 20 гэдгийг ойлгосон бол баяр хүргэе! Та зөвхөн мэдэрсэнгүй гол цэгүүдарифметик прогресс,гэхдээ тэдгээрийг бизнест амжилттай ашигласан! Хэрэв та үүнийг ойлгоогүй бол үргэлжлүүлэн уншина уу.

Одоо мэдрэмжээс үндсэн санааг математикт хөрвүүлцгээе.)

Эхний гол цэг.

Арифметик прогресс нь тоонуудын цувааг хэлнэ.Энэ нь эхэндээ төөрөгдөлд ордог. Бид тэгшитгэлийг шийдэж, график зурж, энэ бүхэнд дассан ... Гэхдээ энд бид цувралыг сунгаж, цувралын дугаарыг олоорой ...

Зүгээр дээ. Прогресс нь математикийн шинэ салбартай анхны танилцах явдал юм. Хэсгийг "Цуврал" гэж нэрлэдэг бөгөөд тусгайлан тоо, илэрхийллийн цувралаар ажилладаг. Үүнд дас.)

Хоёр дахь гол цэг.

Арифметик прогрессийн хувьд дурын тоо өмнөхөөсөө өөр байна ижил хэмжээгээр.

Эхний жишээнд энэ ялгаа нь нэг юм. Ямар ч тоог авсан өмнөхөөсөө нэгээр илүү байна. Хоёр дахь нь - гурав. Аливаа тоо өмнөх тооноос гурав илүү байна. Чухамдаа яг энэ мөч нь бидэнд загварыг ойлгож, дараагийн тоог тооцоолох боломжийг олгодог.

Гурав дахь гол цэг.

Энэ мөч гайхалтай биш, тиймээ ... Гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Энд байна: тус бүр дэвшлийн тообайрандаа зогсож байна.Эхний тоо байдаг, долоо дахь нь байдаг, дөчин тав дахь нь байдаг гэх мэт. Хэрэв та тэдгээрийг санамсаргүй байдлаар холивол загвар алга болно. Арифметик прогресс мөн алга болно. Үлдсэн зүйл бол зүгээр л цуваа тоо юм.

Энэ бол бүх зүйл.

Мэдээжийн хэрэг, in шинэ сэдэвшинэ нэр томъёо, нэр томъёо гарч ирэв. Та тэднийг мэдэх хэрэгтэй. Үгүй бол та даалгаврыг ойлгохгүй. Жишээлбэл, та дараахь зүйлийг шийдэх хэрэгтэй болно.

Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Урам зориг өгч байна уу?) Захидал, зарим индекс ... Мөн даалгавар нь илүү хялбар байж чадахгүй. Та зүгээр л нэр томъёо, тэмдэглэгээний утгыг ойлгох хэрэгтэй. Одоо бид энэ асуудлыг эзэмшиж, даалгавар руугаа буцах болно.

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Арифметик прогрессЭнэ нь тоо бүр өмнөхөөсөө ялгаатай тоонуудын цуваа юм ижил хэмжээгээр.

Энэ хэмжээг гэж нэрлэдэг . Энэ ойлголтыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийн ялгаань ямар нэгэн прогрессийн тоо байх хэмжээ юм илүүөмнөх нэг.

Нэг чухал цэг. Үгэнд анхаарлаа хандуулна уу "илүү".Математикийн хувьд энэ нь прогрессийн тоо бүр байна гэсэн үг юм нэмэх замаарөмнөх тооноос арифметик прогрессийн зөрүү.

Тооцоолохын тулд хэлье хоёрдугаартцувралын дугаар, та хэрэгтэй эхлээдтоо нэмэхэнэ нь арифметик прогрессийн ялгаа юм. Тооцооллын хувьд тав дахь- ялгаа зайлшгүй шаардлагатай нэмэхруу дөрөв дэх,сайн гэх мэт.

Арифметик прогрессийн ялгааБайж магадгүй эерэг,дараа нь цувралын тоо бүр бодит болж хувирна өмнөхөөсөө илүү.Энэ дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэж байна.Жишээ нь:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Энд тоо бүрийг олж авна нэмэх замаарэерэг тоо, өмнөх нэг рүү +5.

Ялгаа нь байж болно сөрөг,Дараа нь цувралын тоо бүр байх болно өмнөхөөсөө бага.Энэ дэвшил гэж нэрлэгддэг (та үүнд итгэхгүй байх болно!) буурч байна.

Жишээ нь:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Эндээс тоо бүрийг бас авдаг нэмэх замаарөмнөх, гэхдээ аль хэдийн сөрөг тоо, -5.

Дашрамд хэлэхэд, дэвшилттэй ажиллахдаа түүний мөн чанарыг нэн даруй тодорхойлох нь маш ашигтай байдаг - энэ нь нэмэгдэж байгаа эсвэл буурч байгаа эсэх. Энэ нь шийдвэр гаргах, алдаагаа олж илрүүлэх, хэтэрхий оройтохоос өмнө засахад маш их тусалдаг.

Арифметик прогрессийн ялгааихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг г.

Хэрхэн олох вэ г? Маш энгийн. Цувралын аль ч тооноос хасах шаардлагатай өмнөхтоо. Хасах. Дашрамд хэлэхэд, хасах үр дүнг "ялгаа" гэж нэрлэдэг.)

Жишээлбэл, тодорхойлъё. гАрифметик прогрессийг нэмэгдүүлэхийн тулд:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Бид цувралаас хүссэн тоогоо авдаг, жишээ нь 11. Түүнээс хасдаг өмнөх дугаартэдгээр. 8:

Энэ бол зөв хариулт юм. Энэхүү арифметик прогрессийн хувьд ялгаа нь гурав байна.

Та авч болно аливаа дэвшлийн тоо,учир нь тодорхой дэвшлийн хувьд d-үргэлж ижил.Ядаж хаа нэгтээ эгнээний эхэнд, ядаж дунд нь, ядаж хаа нэгтээ. Та зөвхөн эхний тоог авч болохгүй. Зүгээр л эхний тоо учраас өмнөх байхгүй.)

Дашрамд хэлэхэд үүнийг мэдэж байгаа d=3, энэ прогрессийн долоо дахь тоог олох нь маш энгийн. Тав дахь тоо дээр 3-ыг нэмье - бид зургаа дахь тоог авна, энэ нь 17 болно. Зургаа дахь тоо дээр гурвыг нэмье, бид долоо дахь тоо - хориныг авна.

Тодорхойлъё гбуурах арифметик прогрессийн хувьд:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Шинж тэмдгүүдээс үл хамааран тодорхойлохыг танд сануулж байна гямар ч дугаараас хэрэгтэй өмнөхийг нь ав.Дурын прогрессийн тоог сонгоно уу, жишээ нь -7. Түүний өмнөх тоо -2. Дараа нь:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Арифметик прогрессийн ялгаа нь ямар ч тоо байж болно: бүхэл тоо, бутархай, иррационал, дурын тоо.

Бусад нэр томъёо, тэмдэглэгээ.

Цуврал дахь дугаар бүрийг дууддаг арифметик прогрессийн гишүүн.

Прогрессийн гишүүн бүр өөрийн гэсэн дугаартай.Тоонууд нь ямар ч заль мэхгүйгээр хатуу дарааллаар байна. Эхний, хоёр, гурав, дөрөв гэх мэт. Жишээлбэл, 2, 5, 8, 11, 14, ... хоёр нь эхний гишүүн, тав нь хоёрдугаарт, арван нэг нь дөрөв дэх, за, та ойлгож байна ...) Тодорхой ойлгоно уу - тоонууд өөрсдөөтуйлын юу ч байж болно, бүхэл, бутархай, сөрөг, юу ч байж болно, гэхдээ тоонуудын дугаарлалт- хатуу дарааллаар!

Прогрессийг хэрхэн бичих вэ ерөнхий үзэл? Асуулт байхгүй! Цувралын тоо бүр үсэг хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. Арифметик прогрессийг илэрхийлэхийн тулд үсгийг ихэвчлэн ашигладаг а. Гишүүний дугаарыг баруун доод талд байгаа индексээр заана. Бид нэр томъёог таслалаар (эсвэл цэг таслалаар) дараах байдлаар бичдэг.

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- энэ бол эхний тоо, a 3- гурав дахь гэх мэт. Гоёмсог зүйл байхгүй. Энэ цувралыг дараах байдлаар товчхон бичиж болно. (а н).

Хөгжил дэвшил гардаг хязгаарлагдмал ба хязгааргүй.

Эцсийндэвшилттэй байна хязгаарлагдмал тоо хэмжээгишүүд. Тав, гучин найм, юу ч байсан. Гэхдээ энэ бол хязгаартай тоо.

Хязгааргүйдэвшил - байна хязгааргүй тоогишүүд, таны таамаглаж байгаачлан.)

Бичнэ үү хязгаарлагдмал прогрессТа ийм цувралыг, бүх нэр томъёо, төгсгөлд нь цэгээр дамжуулж болно:

1, 2, 3, 4, 5.

Эсвэл ийм олон гишүүн байвал:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

IN богино тэмдэглэлта гишүүдийн тоог нэмж оруулах шаардлагатай болно. Жишээлбэл (хорин гишүүний хувьд) дараах байдалтай байна.

(a n), n = 20

Хязгааргүй прогрессийг энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил эгнээний төгсгөлд байгаа эллипсээр таньж болно.

Одоо та даалгавруудыг шийдэж чадна. Даалгаврууд нь энгийн бөгөөд зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход зориулагдсан.

Арифметик прогрессийн даалгаврын жишээ.

Дээр өгөгдсөн даалгаврыг нарийвчлан авч үзье.

1. Арифметик прогрессийн (a n) эхний зургаан гишүүнийг бичнэ үү, хэрэв a 2 = 5, d = -2.5.

Бид даалгаврыг шилжүүлдэг ойлгомжтой хэл. Хязгааргүй арифметик прогресс өгөгдсөн. Энэ дэвшлийн хоёр дахь тоо мэдэгдэж байна: a 2 = 5.Явцын ялгаа нь мэдэгдэж байна: d = -2.5.Бид энэ дэвшлийн эхний, гурав, дөрөв, тав, зургаа дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй.

Тодорхой болгохын тулд би асуудлын нөхцлийн дагуу цуврал бичих болно. Эхний зургаан нэр томъёо, хоёр дахь хугацаа нь тав байна:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + г

Илэрхийлэлд орлуулах a 2 = 5Тэгээд d = -2.5. Хасах талаар бүү мартаарай!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Гурав дахь нэр томъёо нь хоёр дахь хугацаанаас бага болсон. Бүх зүйл логиктой. Хэрэв энэ тоо өмнөхөөсөө их байвал сөрөгутга, энэ нь тоо нь өмнөхөөсөө бага байх болно гэсэн үг юм. Ахиц дэвшил буурч байна. За, үүнийг анхаарч үзье.) Бид цувралынхаа дөрөв дэх гишүүнийг тоолно:

a 4 = a 3 + г

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5 = a 4 + г

а 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = а 5 + г

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ингээд гурав, зургаа хүртэлх хугацааг тооцсон. Үр дүн нь дараах цуврал юм.

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Эхний нэр томъёог олоход л үлдлээ a 1 By алдартай хоёрдугаарт. Энэ нь нөгөө чиглэлд, зүүн тийшээ алхам юм.) Тэгэхээр арифметик прогрессийн зөрүү г-д нэмж болохгүй a 2, А авч явах:

a 1 = a 2 - г

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ингээд л болоо. Даалгаврын хариулт:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Энэ даалгаврыг бид шийдэж чадсан гэдгийг энд тэмдэглэхийг хүсч байна давтагдахарга зам. Энэ аймшигт үгзүгээр л явцын гишүүнийг хайж байна гэсэн үг өмнөх (зэргэлдээх) дугаарын дагуу.Доор бид ахиц дэвшилтэй ажиллах бусад аргуудыг авч үзэх болно.

Энэхүү энгийн даалгавраас нэг чухал дүгнэлт хийж болно.

Санаж байна уу:

Хэрэв бид ядаж нэг гишүүн ба арифметик прогрессийн зөрүүг мэддэг бол энэ прогрессийн аль ч гишүүнийг олж чадна.

Чи санаж байна уу? Энэхүү энгийн дүгнэлт нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно сургуулийн курсэнэ сэдвээр. Бүх даалгавар эргэн тойронд эргэлддэг гурван үндсэнпараметрүүд: арифметик прогрессийн гишүүн, прогрессийн ялгавар, прогрессийн гишүүний тоо.Бүгд.

Мэдээжийн хэрэг, өмнөх бүх алгебрыг хүчингүй болгохгүй.) Тэгш бус байдал, тэгшитгэл болон бусад зүйлсийг прогрессид хавсаргасан. Гэхдээ явцынх нь дагуу- бүх зүйл гурван параметрийн эргэн тойронд эргэлддэг.

Жишээлбэл, энэ сэдвээр алдартай зарим даалгавруудыг авч үзье.

2. n=5, d = 0.4, a 1 = 3.6 бол төгсгөлтэй арифметик прогрессийг цуваа хэлбэрээр бич.

Энд бүх зүйл энгийн. Бүх зүйлийг аль хэдийн өгсөн. Та арифметик прогрессийн гишүүдийг хэрхэн тоолж, тоолж, бичихийг санаж байх хэрэгтэй. Даалгаврын нөхцөлд "эцсийн" ба "" гэсэн үгсийг алдахгүй байхыг зөвлөж байна. n=5". Нүүрээ бүрэн хөхрөх хүртэл тоолохгүйн тулд.) Энэ дэвшилд ердөө 5 (таван) гишүүн байна:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

а 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Хариултыг бичихэд л үлдлээ.

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Өөр нэг даалгавар:

3. 7 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн байх эсэхийг тодорхойл. a 1 = 4.1; d = 1.2.

Хмм... Хэн мэдэх вэ? Ямар нэг зүйлийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Хэрхэн-хэрхэн... Прогрессийг цуврал хэлбэрээр бичээд тэнд долоо байх уу үгүй ​​юу гэдгийг хараарай! Бид тоолно:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Одоо бид долоотой байгаа нь тодорхой харагдаж байна хальтирсан 6.5-аас 7.7 хооронд! Долоо нь бидний цуврал тоонд ороогүй тул долоо нь өгөгдсөн прогрессийн гишүүн болохгүй.

Хариулт: үгүй.

Энд үндэслэсэн асуудал байна бодит сонголтТЕГ:

4. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15; X; 9; 6; ...

Энд төгсгөлгүй, эхлэлгүй бичсэн цуврал байна. Гишүүдийн дугаар ч ялгаагүй г. Зүгээр дээ. Асуудлыг шийдэхийн тулд арифметик прогрессийн утгыг ойлгоход хангалттай. Юу боломжтойг харцгаая мэдэхэнэ цувралаас? Гурван үндсэн үзүүлэлт юу вэ?

Гишүүдийн дугаар? Энд нэг ч тоо байхгүй.

Гэхдээ гурван тоо байдаг ба - анхаарлаа хандуулаарай! - үг "тогтвортой"нөхцөлд. Энэ нь тоонууд нь цоорхойгүй, хатуу дарааллаар байна гэсэн үг юм. Энэ эгнээнд хоёр байна уу? хөрш мэдэгдэж байгаа тоонууд? Тийм ээ, надад байна! Эдгээр нь 9 ба 6. Тиймээс бид арифметик прогрессийн зөрүүг тооцоолж болно! Зургаагаас хас өмнөхтоо, өөрөөр хэлбэл. ес:

Өчүүхэн төдий зүйл үлдлээ. X-ийн өмнөх тоо хэд байх вэ? Арван тав. Энэ нь X-г хялбархан олох боломжтой гэсэн үг юм энгийн нэмэлт. Арифметик прогрессийн зөрүүг 15 дээр нэмнэ.

Ингээд л болоо. Хариулт: x=12

Дараах асуудлуудыг бид өөрсдөө шийддэг. Анхаар: Эдгээр асуудлууд нь томьёо дээр үндэслээгүй болно. Зөвхөн арифметик прогрессийн утгыг ойлгохын тулд.) Бид зүгээр л тоо, үсгийн цуваа бичээд, харж, тооцоолдог.

5. a 5 = -3 бол арифметик прогрессийн эхний эерэг гишүүнийг ол; d = 1.1.

6. 5.5 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн гэдгийг мэддэг бөгөөд a 1 = 1.6; d = 1.3. Энэ гишүүний n тоог тодорхойл.

7. Арифметик прогрессод a 2 = 4 гэдгийг мэддэг; a 5 = 15.1. 3-ыг ол.

8. Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

...; 15.6; X; 3.4; ...

Х үсгээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

9. Галт тэрэг буудлаас хөдөлж, хурдыг минутанд 30 метрээр жигд нэмэгдүүлэв. Таван минутын дараа галт тэрэгний хурд ямар байх вэ? Хариултаа км/цагаар хэлнэ үү.

10. Арифметик прогрессод a 2 = 5 гэдгийг мэддэг; a 6 = -5. 1-ийг олоорой.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Бүх зүйл бүтсэн үү? Гайхалтай! Та арифметик прогрессийг илүү сайн эзэмшиж чадна өндөр түвшин, дараах хичээлүүдэд.

Бүх зүйл болсонгүй гэж үү? Асуудалгүй. Тусгай 555-р хэсэгт эдгээр бүх асуудлыг хэсэг хэсгээр нь ангилсан болно.) Мэдээжийн хэрэг, ийм даалгаврын шийдлийг нэн даруй тод, ойлгомжтой байдлаар онцолсон энгийн практик техникийг тайлбарласан болно!

Дашрамд хэлэхэд, галт тэрэгний тааварт хүмүүс ихэвчлэн бүдэрдэг хоёр асуудал байдаг. Нэг нь зөвхөн дэвшлийн хувьд, хоёр дахь нь математик, физикийн аливаа асуудлын хувьд ерөнхий юм. Энэ бол хэмжээсүүдийг нэгээс нөгөө рүү орчуулах явдал юм. Эдгээр асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх ёстойг харуулж байна.

Энэ хичээлээр бид арифметик прогрессийн үндсэн утга ба түүний үндсэн параметрүүдийг авч үзсэн. Энэ нь энэ сэдвээр бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Нэмэх гтоонууд руу, цуврал бичвэл бүх зүйл шийдэгдэх болно.

Хурууны шийдэл нь энэ хичээлийн жишээнүүдийн адил маш богино эгнээний хэсгүүдэд сайн ажилладаг. Хэрэв цуврал нь илүү урт байвал тооцоолол илүү төвөгтэй болно. Жишээлбэл, асуултын 9-р асуудалд бид солино "таван минут"дээр "гучин таван минут"асуудал улам дордох болно.)

Мөн мөн чанартаа энгийн боловч тооцооллын хувьд утгагүй ажлууд байдаг, жишээлбэл:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Тэгээд яахав, бид 1/6-г олон, олон удаа нэмэх гэж байна уу?! Та өөрийгөө алж чадна!?

Та чадна.) Хэрэв та мэдэхгүй бол энгийн томъёо, энэ нь танд ийм ажлуудыг нэг минутын дотор шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Энэ томъёо нь дараагийн хичээл дээр байх болно. Тэгээд энэ асуудал тэнд шийдэгдэнэ. Нэг минутын дотор.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Тоон дарааллын тухай ойлголт нь натурал тоо бүр заримтай тохирч байгааг илэрхийлдэг бодит үнэ цэнэ. Ийм цуврал тоо нь дурын эсвэл байж болно тодорхой шинж чанарууд- дэвшил. IN сүүлчийн тохиолдолдарааллын дараагийн элемент (гишүүн) бүрийг өмнөхийг ашиглан тооцоолж болно.

Арифметик прогресс - дараалал тоон утгууд, хөрш зэргэлдээх гишүүд нь бие биенээсээ ялгаатай байдаг ижил тоо (ижил төстэй өмч 2-оос эхлэн цувралын бүх элементүүд). Энэ тоо– өмнөх болон дараагийн гишүүний хоорондын зөрүү тогтмол байх ба үүнийг прогрессийн зөрүү гэнэ.

Прогрессийн ялгаа: тодорхойлолт

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j нь N натурал тооны олонлогт хамаарах j утгуудаас бүрдэх дарааллыг авч үзье. Арифметик Прогресс нь түүний тодорхойлолтын дагуу a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – гэсэн дараалал юм. a(j-1) = d. d утга нь энэ прогрессийн хүссэн зөрүү юм.

d = a(j) – a(j-1).

Онцлох:

• Өсөн нэмэгдэж буй прогресс, энэ тохиолдолд d > 0. Жишээ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Прогресс буурах, дараа нь d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Ялгааны прогресс ба түүний дурын элементүүд

Хэрэв прогрессийн 2 дурын гишүүн (i-р, k-р) мэдэгдэж байвал өгөгдсөн дарааллын зөрүүг хамаарал дээр үндэслэн тодорхойлж болно.

a(i) = a(k) + (i – k)*d, энэ нь d = (a(i) – a(k))/(i-k) гэсэн утгатай.

Прогрессийн ялгаа ба түүний эхний нэр томъёо

Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн дарааллын элементийн тоо мэдэгдэж байгаа тохиолдолд үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлоход тусална.

Прогрессийн зөрүү ба түүний нийлбэр

Прогрессийн нийлбэр нь түүний нөхцлийн нийлбэр юм. Эхний j элементийн нийт утгыг тооцоолохын тулд тохирох томъёог ашиглана уу.

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, гэхдээ хойш a(j) = a(1) + d(j – 1), дараа нь S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.