Шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлох. Энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

• Хувьсагчтай тэгш байдлыг тэгшитгэл гэнэ.
• Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь түүний олон үндсийг олно гэсэн үг. Тэгшитгэл нь нэг, хоёр, хэд хэдэн, олон үндэстэй эсвэл огт байхгүй байж болно.
• Өгөгдсөн тэгшитгэл жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирах хувьсагчийн утга бүрийг тэгшитгэлийн үндэс гэнэ.
• Ижил үндэстэй тэгшитгэлийг эквивалент тэгшитгэл гэнэ.
• Тэгшитгэлийн аль ч гишүүнийг тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж, харин нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольж болно.
• Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөн тэгшитгэлтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд.

1. 1.5x+4 = 0.3x-2.

1.5x-0.3x = -2-4. Бид тэгш байдлын зүүн талд хувьсагчийг агуулсан нэр томъёог цуглуулсан, мөн чөлөөт гишүүд– тэгш байдлын баруун талд. Энэ тохиолдолд дараахь өмчийг ашигласан болно.

1.2x = -6. авчирсан ижил төстэй нэр томъёодүрмийн дагуу:

x = -6 : 1.2. Тэгш байдлын хоёр талыг хувьсагчийн коэффициентээр хуваасан тул

x = -5. Аравтын бутархайг хуваах дүрмийн дагуу хуваагдана аравтын:

Тоог аравтын бутархайд хуваахын тулд та ногдол ашиг болон хуваагч дахь таслалыг хуваагч дахь аравтын бутархайн дараа байгаа тооны оронтой адил баруун тийш шилжүүлж, натурал тоонд хуваах хэрэгтэй.

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Хариулт: 5.

2. 3∙ (2х-9) = 4 ∙ (x-4).

6х-27 = 4х-16. Бид хасах үйлдэлтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хуулийг ашиглан хаалтуудыг нээв. (а-б) ∙ c = a ∙ в-б ∙ в.

6х-4х = -16+27. Бид тэгш байдлын зүүн талд байгаа хувьсагчийг агуулсан нэр томъёо, тэгш байдлын баруун талд чөлөөт нэр томъёог цуглуулсан. Энэ тохиолдолд дараахь өмчийг ашигласан болно. Тэгшитгэлийн аль ч гишүүнийг тэгш байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж, улмаар тухайн нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольж болно.

2х = 11. Ижил нэр томъёог дараах дүрмийн дагуу өгсөн. ижил төстэй нэр томъёог авчрахын тулд та тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үр дүнгийн нийтлэг үсгийн хэсгийг үржүүлэх хэрэгтэй (жишээ нь, олж авсан үр дүнд тэдгээрийн нийтлэг үсгийн хэсгийг нэмэх).

x = 11 : 2. Тэгш байдлын хоёр тал хувьсагчийн коэффициентээр хуваагдсан, оноос хойш Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөн тэгшитгэлтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.

Хариулт: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7x-3-2x = x-9. Бид "-" тэмдгийн өмнө хаалт нээх дүрмийн дагуу хаалтуудыг нээв. хэрэв хаалтны өмнө "-" тэмдэг байгаа бол хаалт, "-" тэмдгийг авч, эсрэг тэмдэг бүхий хаалтанд нэр томъёог бичнэ үү.

7x-2x-x = -9+3. Бид тэгш байдлын зүүн талд байгаа хувьсагч, тэгш эрхийн баруун талд байгаа чөлөөт нэр томъёог агуулсан нэр томъёог цуглуулсан. Энэ тохиолдолд дараахь өмчийг ашигласан болно. Тэгшитгэлийн аль ч гишүүнийг тэгш байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж, улмаар тухайн нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольж болно.

4х = -6. Үүнтэй төстэй нэр томъёог дүрмийн дагуу өгсөн: ижил төстэй нэр томъёог авчрахын тулд та тэдгээрийн коэффициентийг нэмж, үр дүнгийн нийтлэг үсгийн хэсгийг үржүүлэх хэрэгтэй (жишээ нь, олж авсан үр дүнд тэдгээрийн нийтлэг үсгийн хэсгийг нэмэх).

x = -6 : 4. Тэгш байдлын хоёр тал хувьсагчийн коэффициентээр хуваагдсан, оноос хойш Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөн тэгшитгэлтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна.

Хариулт: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Тэгшитгэлийн хоёр талыг хамгийн бага нь 12-оор үржүүл Ерөнхий хуваарьэдгээр бутархайн хуваагчийн хувьд.

3х-15 = 84-8х+44. Бид хасах үйлдэлтэй харьцуулахад үржүүлэхийн тархалтын хуулийг ашиглан хаалтуудыг нээв. Хоёр тооны зөрүүг гурав дахь тоогоор үржүүлэхийн тулд та хасах болон хасах тоог гурав дахь тоогоор тусад нь үржүүлж, дараа нь эхний үр дүнгээс хоёр дахь үр дүнг хасаж болно, өөрөөр хэлбэл.(а-б) ∙ c = a ∙ в-б ∙ в.

3x+8x = 84+44+15. Бид тэгш байдлын зүүн талд байгаа хувьсагч, тэгш эрхийн баруун талд байгаа чөлөөт нэр томъёог агуулсан нэр томъёог цуглуулсан. Энэ тохиолдолд дараахь өмчийг ашигласан болно. Тэгшитгэлийн аль ч гишүүнийг тэгш байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж, улмаар тухайн нэр томьёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольж болно.

Шугаман тэгшитгэл. Шийдэл, жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Шугаман тэгшитгэл.

Шугаман тэгшитгэл нь хамгийн их биш юм нарийн төвөгтэй сэдэв сургуулийн математик. Гэхдээ тэнд бэлтгэгдсэн оюутныг ч төөрөлдүүлж болох зарим заль мэх байдаг. Үүнийг олж мэдье?)

Ихэвчлэн шугаман тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл гэж тодорхойлдог.

сүх + б = 0 Хаана а ба б- дурын тоо.

2х + 7 = 0. Энд a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Энд байна a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Энд a=12, b=1/2

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Ялангуяа та дараах үгсийг анзаараагүй бол: "А ба b нь дурын тоо"... Хэрэв та анзаарч, хайхрамжгүй бодож байгаа бол?) Эцсийн эцэст, хэрэв a=0, b=0(ямар ч тоо байж болох уу?), Дараа нь бид инээдтэй илэрхийлэл авах болно:

Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Хэрэв хэлэхэд, a=0,А b=5,Энэ нь ер бусын зүйл болж хувирав:

Энэ нь ядаргаатай, математикт итгэх итгэлийг бууруулдаг, тиймээ ...) Ялангуяа шалгалтын үеэр. Гэхдээ эдгээр хачирхалтай илэрхийллүүдээс та бас X-ийг олох хэрэгтэй! Энэ нь огт байдаггүй. Гайхалтай нь энэ X-г олоход маш хялбар байдаг. Бид үүнийг хийж сурах болно. Энэ хичээл дээр.

Шугаман тэгшитгэлийг гадаад төрхөөр нь хэрхэн таних вэ? Юунаас шалтгаална Гадаад төрх.) Заль нь зөвхөн хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэггүй явдал юм сүх + б = 0 , гэхдээ бас хувиргах, хялбарчлах замаар энэ хэлбэрт оруулж болох аливаа тэгшитгэл. Энэ нь буух эсэхийг хэн мэдэх вэ?)

Шугаман тэгшитгэлийг зарим тохиолдолд тодорхой хүлээн зөвшөөрч болно. Хэрэв бид зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлд үл мэдэгдэх тоонууд байдаг тэгшитгэлтэй бол гэж үзье. Мөн тэгшитгэлд байхгүй байна хуваагдсан бутархай үл мэдэгдэх , Энэ нь чухал! Мөн хуваах тоо,эсвэл тоон бутархай - үүнийг тавтай морилно уу! Жишээлбэл:

Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм. Энд бутархай хэсгүүд байдаг, гэхдээ квадрат, шоо гэх мэт х үсэг байхгүй, хуваагчдад х байхгүй, өөрөөр хэлбэл. Үгүй х-д хуваах. Энд тэгшитгэл байна

шугаман гэж нэрлэж болохгүй. Энд X нь бүгд нэгдүгээр зэрэгтэй, гэхдээ тэнд байдаг х-ээр илэрхийллээр хуваах. Хялбаршуулсан болон хувиргасны дараа та шугаман тэгшитгэл, квадрат тэгшитгэл эсвэл дуртай зүйлээ авах боломжтой.

Шугаман тэгшитгэлийг бараг л шийдэхээс нааш зарим төвөгтэй жишээн дээр таних боломжгүй юм. Энэ бухимдаж байна. Гэхдээ даалгавар өгөхдөө дүрмээр бол тэд тэгшитгэлийн хэлбэрийг асуудаггүй, тийм үү? Даалгаврууд нь тэгшитгэлийг асууна шийдэх.Энэ нь намайг аз жаргалтай болгодог.)

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Бүх шийдэл шугаман тэгшитгэлтэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудаас бүрдэнэ. Дашрамд хэлэхэд, эдгээр өөрчлөлтүүд (тэдгээрийн хоёр нь!) шийдлүүдийн үндэс суурь юм Математикийн бүх тэгшитгэлүүд.Өөрөөр хэлбэл шийдэл ямар чтэгшитгэл нь эдгээр өөрчлөлтүүдээс эхэлдэг. Шугаман тэгшитгэлийн хувьд энэ нь (шийдвэр) эдгээр хувиргалт дээр үндэслэсэн бөгөөд бүрэн хариултаар төгсдөг. Холбоосыг дагах нь утга учиртай, тийм үү?) Түүгээр ч барахгүй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүд бас байдаг.

Эхлээд хамгийн энгийн жишээг авч үзье. Ямар ч бэрхшээлгүйгээр. Бид энэ тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.

x - 3 = 2 - 4x

Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм. X нь бүгд нэгдүгээр зэрэглэлд байдаг, X-д хуваагддаггүй. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ нь ямар төрлийн тэгшитгэл байх нь бидэнд хамаагүй. Бид үүнийг шийдэх хэрэгтэй. Энд байгаа схем нь энгийн. Тэгшитгэлийн зүүн талд X-тэй бүх зүйлийг, баруун талд X-гүй (тоо) бүгдийг цуглуул.

Үүнийг хийхийн тулд та шилжүүлэх хэрэгтэй - 4x инч зүүн тал, тэмдгийн өөрчлөлттэй, мэдээжийн хэрэг, мөн - 3 - баруун талд. Дашрамд хэлэхэд энэ бол тэгшитгэлийн анхны ижил хувиргалт.Гайхсан уу? Энэ нь та холбоосыг дагаагүй гэсэн үг, гэхдээ дэмий ...) Бид дараахь зүйлийг авна.

x + 4x = 2 + 3

Үүнтэй төстэй зүйлсийг бид авч үзье:

Бүрэн аз жаргалын төлөө бидэнд юу хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, ингэснээр зүүн талд цэвэр X байна! Тав нь замдаа байна. Тусламжаар таваас салах нь тэгшитгэлийн хоёр дахь ижил хувиргалт.Тухайлбал, бид тэгшитгэлийн хоёр талыг 5-д хуваана. Бид бэлэн хариултыг авна:

Мэдээжийн хэрэг, энгийн жишээ. Энэ бол халаалтад зориулагдсан юм.) Би яагаад энд адилхан өөрчлөлтүүдийг санасан нь тодорхойгүй байна уу? БОЛЖ БАЙНА УУ. Бухыг эврээс нь барьцгаая.) Илүү хатуу зүйлийг шийдье.

Жишээлбэл, тэгшитгэл энд байна:

Бид хаанаас эхлэх вэ? X-тэй - зүүн тийш, X-гүй - баруун тийш үү? Тийм байж болно. Жижиг алхамаар урт зам. Эсвэл та үүнийг шууд, бүх нийтийн, хүчирхэг аргаар хийж болно. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв таны зэвсэглэлд тэгшитгэлийн ижил өөрчлөлтүүд байгаа бол.

Би чамаас асууя гол асуулт: Та энэ тэгшитгэлийн юунд хамгийн дургүй вэ?

100 хүний ​​95 нь хариулах болно. бутархай ! Хариулт нь зөв. Тиймээс тэднээс салцгаая. Тиймээс бид нэн даруй эхэлнэ хоёр дахь таних өөрчлөлт. Зүүн талд байгаа бутархайг үржүүлэхийн тулд хуваагч бүрэн буурахад юу хэрэгтэй вэ? Энэ нь зөв, 3-т. Тэгээд баруун талд? 4-ээр. Гэхдээ математик бидэнд хоёр талыг үржүүлэх боломжийг олгодог ижил тоо. Бид яаж гарах вэ? Хоёр талыг 12-оор үржүүлье! Тэдгээр. нийтлэг хуваагч руу. Дараа нь гурав, дөрөв хоёулаа багасна. Хэсэг бүрийг үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг бүү мартаарай бүхэлдээ. Эхний алхам нь дараах байдалтай байна.

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

Анхаар! Тоологч (x+2)Би үүнийг хаалтанд хийсэн! Учир нь бутархайг үржүүлэхэд бүхэл тоологч нь үрждэг! Одоо та бутархайг багасгаж болно:

Үлдсэн хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү:

Жишээ биш, гэхдээ туйлын таашаал!) Одоо шившлэгийг санацгаая бага ангиуд: X-тэй - зүүн тийш, Xгүйгээр - баруун тийш!Мөн энэ хувиргалтыг хэрэгжүүл:

Энд зарим ижил төстэй зүйлс байна:

Мөн хоёр хэсгийг 25-аар хуваана, өөрөөр хэлбэл. хоёр дахь хувиргалтыг дахин хэрэглэнэ:

Тэгээд л болоо. Хариулт: X=0,16

Анхаарна уу: Анхны будлиантай тэгшитгэлийг сайхан хэлбэрт оруулахын тулд бид хоёр (хоёрхон!) ашигласан. таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд– тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлэх-хуваах тэмдгийн өөрчлөлттэй зүүнээс баруун тийш орчуулна. Энэ бүх нийтийн арга! Бид ийм байдлаар ажиллах болно ямар ч тэгшитгэлүүд! Үнэхээр хэн ч. Тийм ч учраас би эдгээр ижил өөрчлөлтүүдийн талаар уйтгартай давтаж байна.)

Таны харж байгаагаар шугаман тэгшитгэлийг шийдэх зарчим нь энгийн. Бид тэгшитгэлийг авч, хялбаршуулна таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдхариу хүлээн авахаас өмнө. Энд байгаа гол асуудал бол шийдлийн зарчимд биш харин тооцоололд байгаа юм.

Гэхдээ... Хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ийм гэнэтийн зүйлүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь таныг хүчтэй тэнэг байдалд оруулдаг ...) Аз болоход ийм гэнэтийн хоёрхон зүйл байж болно. Тэднийг онцгой тохиолдол гэж нэрлэе.

Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онцгой тохиолдлууд.

Эхний сюрприз.

Та үүнийг авсан гэж бодъё хамгийн энгийн тэгшитгэл, иймэрхүү зүйл:

2х+3=5х+5 - 3х - 2

Бага зэрэг уйтгартай, бид үүнийг X-ээр зүүн тийш, Xгүйгээр - баруун тийш шилжүүлнэ ... Тэмдгийг өөрчилснөөр бүх зүйл төгс болно ... Бид дараахыг авна.

2х-5х+3х=5-2-3

Бид тоолдог, бас... өө!!! Бид авах:

Энэ тэгш байдал нь өөрөө татгалзах зүйл биш юм. Үнэхээр тэг тэгтэй тэнцүү. Гэхдээ X байхгүй байна! Мөн бид хариултанд бичих ёстой. x нь хэдтэй тэнцүү вэ?Тэгэхгүй бол шийдэл нь тоогүй биз дээ...) мухардалд орсон уу?

Тайвшир! Ийм эргэлзээтэй тохиолдолд хамгийн ерөнхий дүрмүүд таныг аврах болно. Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Тэгшитгэлийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь, орлуулах үед x-ийн бүх утгыг ол анхны тэгшитгэл, бидэнд жинхэнэ тэгш байдлыг өгөх болно.

Гэхдээ бид жинхэнэ тэгш эрхтэй аль хэдийнболсон! 0=0, хэр илүү нарийвчлалтай вэ?! Энэ нь x-ийн үед юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ. X-ийн ямар утгыг орлуулж болох вэ эхтэгшитгэл хэрэв эдгээр x бол Тэд тэг хүртэл буурсаар байх уу?Аливээ?)

Тиймээ!!! X-г орлуулж болно ямар ч!Та алийг нь хүсч байна вэ? Хамгийн багадаа 5, доод тал нь 0,05, хамгийн багадаа -220. Тэд багассан хэвээр байх болно. Хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол шалгаж болно.) X-ийн дурын утгыг орлуулна уу эхтэгшитгэл ба тооцоо. Энэ нь үргэлж үр дүнтэй байх болно цэвэр үнэн: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 гэх мэт.

Энд таны хариулт байна: x - дурын тоо.

Хариултыг өөр өөр математикийн тэмдэгтээр бичиж болно, мөн чанар нь өөрчлөгддөггүй. Энэ бол бүрэн зөв бөгөөд бүрэн хариулт юм.

Хоёр дахь гэнэтийн бэлэг.

Ижил энгийн шугаман тэгшитгэлийг авч, зөвхөн нэг тоог өөрчилье. Энэ бол бид шийдэх болно:

2х+1=5х+5 - 3х - 2

Үүнтэй ижил өөрчлөлтүүдийн дараа бид сонирхолтой зүйлийг олж авна:

Үүн шиг. Бид шугаман тэгшитгэлийг шийдэж, хачирхалтай тэгшитгэлтэй болсон. Ярьж байна математик хэл, Бид авсан хуурамч тэгш байдал.Тэгээд ярьж байна энгийн хэлээр, энэ үнэн биш. Рав. Гэсэн хэдий ч энэ утгагүй зүйл бол маш сайн шалтгаан юм зөв шийдвэртэгшитгэл.)

Дахин бид ерөнхий дүрмүүд дээр үндэслэн бодож байна. Анхны тэгшитгэлд х-г орлуулбал бидэнд юу өгөх вэ үнэнтэгш байдал? Тийм ээ, үгүй! Ийм X байхгүй. Та юу ч хийсэн хамаагүй бүх зүйл багасна, зөвхөн дэмий хоосон зүйл үлдэх болно.)

Энд таны хариулт байна: шийдэл байхгүй.

Энэ нь бас бүрэн дүүрэн хариулт юм. Математикийн хувьд ийм хариултууд ихэвчлэн олддог.

Үүн шиг. Одоо аливаа (зөвхөн шугаман биш) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад X-ууд алга болох нь таныг огт төөрөгдүүлэхгүй байх гэж найдаж байна. Энэ бол аль хэдийн танил асуудал юм.)

Одоо бид шугаман тэгшитгэлийн бүх алдааг шийдсэн тул тэдгээрийг шийдвэрлэх нь утга учиртай юм.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Тэгшитгэлийг шийдэж сурах нь алгебрийн оюутнуудад тавьдаг гол ажлуудын нэг юм. Нэг үл мэдэгдэх зүйлээс бүрдэх үед хамгийн энгийнээс эхэлж, улам бүр нарийн төвөгтэй зүйл рүү шилжих болно. Хэрэв та эхний бүлгийн тэгшитгэлээр гүйцэтгэх шаардлагатай үйлдлүүдийг эзэмшээгүй бол бусдыг ойлгоход хэцүү байх болно.

Ярилцлагыг үргэлжлүүлэхийн тулд та тэмдэглэгээний талаар тохиролцох хэрэгтэй.

Нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр ба түүнийг шийдвэрлэх зарчим

Ийм байдлаар бичиж болох аливаа тэгшитгэлийг:

a * x = b,

дуудсан шугаман. Энэ ерөнхий томъёо. Гэхдээ ихэнхдээ даалгаврын хувьд шугаман тэгшитгэлийг далд хэлбэрээр бичдэг. Дараа нь нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг авахын тулд ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Эдгээр арга хэмжээнд:

• хаалт нээх;
• бүхий бүх нөхцөлийг шилжүүлэх хувьсагчтэгшитгэлийн зүүн талд, үлдсэн хэсэг нь баруун талд;
• ижил төстэй нэр томъёог багасгах.

Үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн нь бутархайн хуваарьт байгаа тохиолдолд илэрхийлэл нь утгагүй байх утгыг тодорхойлох шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн тодорхойлолтын домэйныг мэдэх хэрэгтэй.

Бүх шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарчим нь тэгшитгэлийн баруун талд байгаа утгыг хувьсагчийн урд талын коэффициентэд хуваах явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, "x" нь b/a-тай тэнцүү байх болно.

Шугаман тэгшитгэлийн тусгай тохиолдлууд ба тэдгээрийн шийдлүүд

Бодлогын явцад шугаман тэгшитгэлүүд аль нэгийг нь авах үед мөчүүд үүсч болно тусгай төрөл. Тэд тус бүр нь тодорхой шийдэлтэй байдаг.

Эхний нөхцөлд:

a * x = 0, мөн a ≠ 0.

Ийм тэгшитгэлийн шийдэл нь үргэлж x = 0 байх болно.

Хоёр дахь тохиолдолд "a" нь тэгтэй тэнцүү утгыг авна.

0 * x = 0.

Ийм тэгшитгэлийн хариулт нь дурын тоо байх болно. Энэ нь түүнд байгаа гэсэн үг хязгааргүй тооүндэс.

Гурав дахь нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

0 * x = инч, хаана ≠ 0 байна.

Энэ тэгшитгэл нь утгагүй юм. Учир нь түүнийг хангах үндэс байхгүй.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий дүр төрх

Нэрнээс нь харахад дотор нь үл мэдэгдэх хоёр хэмжигдэхүүн байгаа нь тодорхой болно. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлиймэрхүү харагдах:

a * x + b * y = c.

Тэмдэглэлд хоёр үл мэдэгдэх зүйл байгаа тул хариулт нь хос тоо шиг харагдах болно. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн нэг утгыг зааж өгөх нь хангалтгүй юм. Энэ нь бүрэн бус хариулт байх болно. Тэгшитгэл нь ижил утгатай болох хос хэмжигдэхүүн нь тэгшитгэлийн шийдэл юм. Түүгээр ч зогсохгүй хариултанд цагаан толгойн үсгийн эхний байранд орсон хувьсагчийг эхлээд бичдэг. Заримдаа тэд эдгээр тоонууд түүнд сэтгэл хангалуун байдаг гэж хэлдэг. Түүнээс гадна ийм хосууд хязгааргүй олон байж болно.

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л зөв болсон хос тоог сонгох хэрэгтэй. Хялбар болгохын тулд та зарим нэг анхны тоотой тэнцүү үл мэдэгдэх нэгийг аваад дараа нь хоёр дахь тоог олох боломжтой.

Шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийг хялбарчлах алхмуудыг хийх шаардлагатай болдог. Тэдгээрийг таних өөрчлөлтүүд гэж нэрлэдэг. Түүнчлэн тэгшитгэлийн хувьд дараахь шинж чанарууд үргэлж үнэн байдаг.

• хугацаа бүрийг шилжүүлж болно эсрэг хэсэгтэгш байдал, түүний тэмдгийг эсрэгээр нь солих;
• Аливаа тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тэгтэй тэнцүү биш л бол ижил тоонд хуваахыг зөвшөөрдөг.

Шугаман тэгшитгэл бүхий даалгаврын жишээ

Эхний даалгавар.Шугаман тэгшитгэлийг шийд: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

Жагсаалтын эхний байранд орсон тэгшитгэлд 20-ийг 4-т хуваахад л хангалттай. Үр дүн нь 5 болно. Энэ бол хариулт: x = 5.

Гурав дахь тэгшитгэл нь таних тэмдэг хувиргахыг шаарддаг. Энэ нь хаалт нээх, ижил төстэй нэр томъёог авчрахаас бүрдэнэ. Эхний алхамын дараа тэгшитгэл нь 8х - 8 + 2х = 8 - 4х хэлбэртэй болно. Дараа нь та бүх үл мэдэгдэх зүйлийг тэгшитгэлийн зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй. Тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдах болно: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Ижил төстэй нөхцлүүдийг нэмсний дараа: 14x = 16. Одоо эхнийхтэй адилхан харагдаж байгаа бөгөөд түүний шийдийг олоход хялбар байна. Хариулт нь x=8/7 байх болно. Гэхдээ математикийн хувьд та буруу бутархайгаас бүхэл бүтэн хэсгийг тусгаарлах ёстой. Дараа нь үр дүн өөрчлөгдөж, "x" нь бүхэл ба долооны нэгтэй тэнцүү болно.

Үлдсэн жишээнүүдэд хувьсагч нь хуваарьт байна. Энэ нь та эхлээд тэгшитгэлийг ямар утгаар тодорхойлсон болохыг олж мэдэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд хуваагч нь тэг болж байгаа тоог хасах хэрэгтэй. Эхний жишээнд "-4", хоёрдугаарт "-3" байна. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр утгыг хариултаас хасах шаардлагатай. Үүний дараа та тэгш байдлын хоёр талыг хуваагч дахь илэрхийллээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрахад эдгээр тэгшитгэлийн эхнийх нь: 5x + 15 = 4x + 16, хоёр дахь нь 5x + 15 = 4x + 12. Хувиргасны дараа эхний тэгшитгэлийн шийдэл нь x = болно. -1. Хоёр дахь нь "-3" гэсэн утгатай тэнцүү байна хамгийн сүүлийн үеийн шийдлүүдбайхгүй байна.

Хоёр дахь даалгавар.Тэгшитгэлийг шийд: -7x + 2y = 5.

Эхний үл мэдэгдэх х = 1, тэгвэл тэгшитгэл нь -7 * 1 + 2y = 5 хэлбэртэй болно гэж бодъё. баруун талтэгш байдал, хүчин зүйл нь “-7” бөгөөд тэмдгийг нэмэх болгон өөрчлөхөд 2y = 12. Энэ нь у = 6 гэсэн үг юм. Хариулт: x = 1, y = 6 тэгшитгэлийн шийдүүдийн нэг.

Нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлын ерөнхий хэлбэр

Бүгд болзошгүй нөхцөл байдалтэгш бус байдлын хувьд энд үзүүлэв:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Ерөнхийдөө энэ нь энгийн шугаман тэгшитгэл шиг харагддаг, зөвхөн тэнцүү тэмдгийг тэгш бусаар сольсон.

Тэгш бус байдлыг таних хувиргах дүрэм

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн адил тэгш бус байдлыг тодорхой хуулийн дагуу өөрчилж болно. Тэд дараахь байдлаар буурдаг.

1. тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талд та ямар ч үсэг нэмж болно тоон илэрхийлэл, мөн тэгш бус байдлын тэмдэг хэвээр байх болно;
2. Та мөн ижил зүйлээр үржүүлж эсвэл хувааж болно эерэг тоо, энэ нь дахин тэмдгийг өөрчлөхгүй;
3. Ижил сөрөг тоогоор үржүүлэх буюу хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу байгаа тохиолдолд тэгш байдал үнэн хэвээр үлдэнэ.

Давхар тэгш бус байдлын ерөнхий үзэл бодол

Асуудалд дараахь тэгш бус байдлыг илэрхийлж болно.

• В< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• В< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Хоёр талдаа тэгш бус шинж тэмдгээр хязгаарлагддаг тул давхар гэж нэрлэдэг. Энгийн тэгш бус байдлын адил дүрмийг ашиглан шийддэг. Хариултыг олох нь хэд хэдэн ижил төстэй өөрчлөлтүүд юм. Хамгийн энгийнийг олж авах хүртэл.

Давхар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх онцлог

Эдгээрийн эхнийх нь түүний зураг координатын тэнхлэг. Энэ аргыг ашиглана уу энгийн тэгш бус байдалхэрэгцээгүй. Гэхдээ дотор хүнд хэцүү тохиолдлуудЭнэ нь зүгээр л шаардлагатай байж магадгүй юм.

Тэгш бус байдлыг дүрслэхийн тулд та үндэслэлийн явцад олж авсан бүх цэгүүдийг тэнхлэг дээр тэмдэглэх хэрэгтэй. Энэ болон хүчингүй утгууд, эдгээр нь цоорсон цэгүүд болон хувиргалтын дараа олж авсан тэгш бус байдлын утгуудаар тэмдэглэгдсэн байдаг. Энд ч гэсэн цэгүүдийг зөв зурах нь чухал. Хэрэв тэгш бус байдал хатуу байвал тэр нь< или >, дараа нь эдгээр утгууд нь цоологдох болно. Хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд цэгүүдийг сүүдэрлэх ёстой.

Дараа нь тэгш бус байдлын утгыг зааж өгөх шаардлагатай. Үүнийг сүүдэрлэх эсвэл нум ашиглан хийж болно. Тэдний огтлолцол хариултыг зааж өгнө.

Хоёрдахь онцлог нь түүний бичлэгтэй холбоотой юм. Энд санал болгож буй хоёр сонголт байна. Эхнийх нь туйлын тэгш бус байдал юм. Хоёр дахь нь интервал хэлбэрээр байна. Түүнтэй хамт бэрхшээл тулгардаг. Хоосон зай дахь хариулт нь гишүүнчлэлийн тэмдэг, тоо бүхий хаалт бүхий хувьсагч мэт харагдана. Заримдаа хэд хэдэн хоосон зай байдаг тул хаалтны хооронд "ба" тэмдгийг бичих хэрэгтэй. Эдгээр тэмдгүүд нь дараах байдалтай байна: ∈ ба ∩. Зайны хаалт нь бас үүрэг гүйцэтгэдэг. Хариултаас оноо хасагдсан үед дугуй нь тавигддаг бөгөөд тэгш өнцөгт нь энэ утгыг агуулдаг. Хязгааргүй байдлын тэмдэг нь үргэлж хаалтанд байдаг.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ

1. 7 - 5x ≥ 37 тэгш бус байдлыг шийд.

Энгийн хувиргалтуудын дараа бид: -5x ≥ 30. “-5”-д хуваахад дараах илэрхийлэл гарч ирнэ: x ≤ -6. Энэ бол аль хэдийн хариулт, гэхдээ үүнийг өөр аргаар бичиж болно: x ∈ (-∞; -6].

2. Давхар тэгш бус байдлыг шийд -4< 2x + 6 ≤ 8.

Эхлээд та хаа сайгүй 6-г хасах хэрэгтэй: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на тооны тэнхлэг, үр дүн нь -5-аас 1 хүртэл байх болно гэдгийг та шууд ойлгож чадна. Түүнээс гадна эхний цэгийг хасч, хоёр дахь нь багтсан болно. Өөрөөр хэлбэл, тэгш бус байдлын хариулт нь: x ∈ (-5; 1].

Эхлээд та юу болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Энгийн тодорхойлолт байдаг шугаман тэгшитгэлаль нь өгөгдсөн ердийн сургууль: "хувьсагч нь зөвхөн эхний зэрэглэлд харагдах тэгшитгэл." Гэхдээ энэ нь бүрэн зөв биш юм: тэгшитгэл нь шугаман биш, тэр ч байтугай буурдаггүй, квадрат болж буурдаг.

Илүү нарийн тодорхойлолтэнэ нь: шугаман тэгшитгэлашиглаж байгаа тэгшитгэл юм эквивалент хувиргалт , bbR-д title="a,b, ~a0) хэлбэр рүү багасгаж болно.">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэл нь шугаман эсвэл биш гэдгийг ойлгохын тулд эхлээд хялбаршуулсан байх ёстой, өөрөөр хэлбэл ангилал нь хоёрдмол утгагүй байх хэлбэрт аваачих ёстой. Тэгшитгэл үндсээ өөрчлөхгүй л бол та хүссэн бүхнээ хийж болно гэдгийг санаарай. эквивалент хөрвүүлэлт. Хамгийн энгийн эквивалент хувиргалтууд нь:

1. хаалт нээх
2. ижил төстэй авчрах
3. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх ба/эсвэл хуваах
4. ижил тоо эсвэл илэрхийллийн хоёр талаас нэмэх ба/эсвэл хасах*

Жишээ 1:
(хаалтуудыг нээцгээе)
(хоёр хэсэгт нэмж, тооны тэмдгийг зүүн талд, хувьсагчийг баруун талд нь сольж хасах/шилжүүлэх)
(ижил төстэйг нь өгье)
(тэгшитгэлийн хоёр талыг 3-т хуваа)

Тиймээс бид анхныхтай ижил үндэстэй тэгшитгэлийг олж авна. Уншигч танд сануулъя "тэгшитгэлийг шийдэх"- бүх үндсийг нь олж, өөр байхгүй гэдгийг нотлох гэсэн үг, мөн "тэгшитгэлийн үндэс"- энэ нь үл мэдэгдэхийг орлуулах үед тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах тоо юм. За, сүүлчийн тэгшитгэлд тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах тоог олох нь маш энгийн - энэ бол тоо юм. Өөр таних дугаар байхгүй өгөгдсөн тэгшитгэлхийхгүй. Хариулт:

Жишээ 2:
(тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ , бид : title="x3/2)-аар үржихгүй байгаа эсэхийг шалгасны дараа"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(хаалтуудыг нээцгээе)
(нөхцөлүүдийг шилжүүлье)
(ижил төстэйг нь өгье)
(бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь хуваадаг)

Бүх шугаман тэгшитгэлийг ойролцоогоор ингэж шийддэг. Залуу уншигчдын хувьд магадгүй тайлбар өгсөнтөвөгтэй мэт санагдсан тул бид хувилбарыг санал болгож байна "5-р ангийн шугаман тэгшитгэл"

Шугаман тэгшитгэлийн систем нь тус бүр нь k хувьсагч агуулсан n шугаман тэгшитгэлийн нэгдэл юм. Үүнийг ингэж бичсэн байна.

Олон хүмүүс дээд алгебртай анх удаа таарч байхдаа тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тоотой заавал давхцах ёстой гэж андуурдаг. Сургуулийн алгебрт энэ нь ихэвчлэн тохиолддог, гэхдээ дээд алгебрийн хувьд энэ нь ерөнхийдөө үнэн биш юм.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь тоонуудын дараалал (k 1, k 2, ..., k n) бөгөөд энэ нь системийн тэгшитгэл бүрийн шийдэл, өөрөөр хэлбэл. Энэ тэгшитгэлд x 1, x 2, ..., x n хувьсагчдын оронд орлуулахад зөв тоон тэгшитгэлийг өгнө.

Үүний дагуу тэгшитгэлийн системийг шийдэх нь түүний бүх шийдлийн олонлогийг олох эсвэл энэ олонлог хоосон гэдгийг батлах гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн тоо болон үл мэдэгдэх тоо давхцахгүй байж болох тул гурван тохиолдол байж болно.

1. Систем нь тогтворгүй, өөрөөр хэлбэл. бүх шийдлийн багц хоосон байна. Системийг шийдэхийн тулд ямар аргыг ашигласан ч амархан илрүүлдэг нэлээн ховор тохиолдол.
2. Систем нь тууштай, шийдэмгий, өөрөөр хэлбэл. яг нэг шийдэлтэй. Сонгодог хувилбар, сургуулийн үеэс сайн мэддэг.
3. Систем нь тууштай, тодорхойгүй, i.e. хязгааргүй олон шийдэлтэй. Энэ бол хамгийн хэцүү сонголт юм. “Системд байна” гэж хэлэх нь хангалтгүй хязгааргүй олонлогшийдэл” - энэ багц хэрхэн бүтэцлэгдсэнийг тайлбарлах шаардлагатай.

x i хувьсагч нь системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд багтсан, 1-ийн коэффициенттэй бол зөвшөөрөгдөх гэж нэрлэгддэг. Өөрөөр хэлбэл, бусад тэгшитгэлд x i хувьсагчийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байх ёстой.

Хэрэв бид тэгшитгэл бүрт зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийг сонговол бүхэл тэгшитгэлийн системийн зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн багцыг олж авна. Энэ хэлбэрээр бичигдсэн систем өөрөө шийдэгдсэн гэж нэрлэгдэх болно. Ерөнхийдөө нэг анхны системийг өөр өөр зөвшөөрөгдсөн систем болгон бууруулж болох боловч одоогоор бид үүнд санаа зовохгүй байна. Зөвшөөрөгдсөн системийн жишээ энд байна:

Хоёр систем хоёулаа x 1 , x 3 болон x 4 хувьсагчдаас хамаарч шийдэгддэг. Гэсэн хэдий ч, ижил амжилттай хоёр дахь системийг x 1, x 3, x 5-ийн хувьд шийддэг гэж маргаж болно. Хамгийн сүүлчийн тэгшитгэлийг x 5 = x 4 хэлбэрээр дахин бичихэд хангалттай.

Одоо илүү ихийг харцгаая ерөнхий тохиолдол. Нийт k хувьсагчтай байцгаая, үүнээс r нь зөвшөөрөгдөнө. Дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:

1. Зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн тоо r нь нийт k хувьсагчийн тоотой тэнцүү байна: r = k. Бид r = k зөвшөөрөгдсөн хувьсагчтай k тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Ийм систем нь хамтарсан бөгөөд тодорхой, учир нь x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн тоо r бага байна нийт тоохувьсагч k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Тиймээс дээрх системүүдэд x 2, x 5, x 6 (эхний системийн хувьд) ба x 2, x 5 (хоёр дахь системийн хувьд) хувьсагчууд үнэ төлбөргүй байдаг. Чөлөөт хувьсагч байгаа тохиолдолд теорем хэлбэрээр илүү сайн томъёолсон болно.

Анхаарна уу: энэ маш их чухал цэг! Үүссэн системийг хэрхэн бичихээс хамааран ижил хувьсагч нь зөвшөөрөгдсөн эсвэл үнэгүй байж болно. Ихэнх багш нар дээд математикХувьсагчдыг толь бичгийн дарааллаар бичихийг зөвлөж байна, жишээлбэл. өсөх индекс. Гэсэн хэдий ч та энэ зөвлөмжийг дагаж мөрдөх үүрэг хүлээхгүй.

Теорем. Хэрэв n тэгшитгэлийн системд x 1, x 2, ..., x r хувьсагчдыг зөвшөөрч, x r + 1, x r + 2, ..., x k хувьсагчдыг чөлөөтэй гэж үзвэл:

1. Хэрэв бид чөлөөт хувьсагчдын утгуудыг (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) тогтоож, x 1, x 2 утгуудыг олбол, ..., x r, бид шийдвэрүүдийн аль нэгийг авдаг.
2. Хэрэв хоёр шийдэлд чөлөөт хувьсагчдын утгууд давхцаж байвал зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдын утгууд давхцдаг, өөрөөр хэлбэл. шийдэл нь тэнцүү байна.

Энэ теоремын утга учир юу вэ? Шийдвэрлэсэн тэгшитгэлийн системийн бүх шийдлийг олж авахын тулд чөлөөт хувьсагчдыг тусгаарлахад хангалттай. Дараа нь чөлөөт хувьсагчдад оноож байна өөр өөр утгатай, бид хүлээн авах болно бэлэн шийдлүүд. Энэ бол бүх зүйл - ийм байдлаар та системийн бүх шийдлүүдийг авах боломжтой. Өөр шийдэл байхгүй.

Дүгнэлт: Шийдвэрлэсэн тэгшитгэлийн систем нь үргэлж нийцтэй байдаг. Шийдвэрлэсэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү бол систем тодорхой байх болно, хэрэв бага бол энэ нь тодорхойгүй болно.

Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ асуулт гарч ирнэ: анхны тэгшитгэлийн системээс шийдэгдсэнийг хэрхэн олж авах вэ? Үүний тулд бий