Элсэлтийн түвшин

Квадрат тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)

"Квадрат тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны түлхүүр үг нь "квадрат" юм. Энэ нь тэгшитгэл нь заавал хувьсагч (ижил x) квадратыг агуулсан байх ёстой бөгөөд гурав дахь (эсвэл түүнээс дээш) зэрэглэлийн x байх ёсгүй гэсэн үг юм.

Олон тэгшитгэлийн шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Энэ бол өөр тэгшитгэл биш харин квадрат тэгшитгэл гэдгийг тодорхойлж сурцгаая.

Жишээ 1.

Хуваагчаас салж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг үржүүлье

Бүгдийг нь шилжүүлье зүүн талба нөхцөлүүдийг х-ийн зэрэглэлийн буурах дарааллаар байрлуул

Одоо бид үүнийг итгэлтэйгээр хэлж чадна өгөгдсөн тэгшитгэлдөрвөлжин байна!

Жишээ 2.

Зүүн ба үржүүлье баруун талруу:

Энэ тэгшитгэл нь анхнаасаа байсан ч квадрат биш юм!

Жишээ 3.

Бүгдийг үржүүлье:

Аймшигтай юу? Дөрөв, хоёрдугаар зэрэг... Гэсэн хэдий ч бид орлуулалт хийвэл бид энгийн квадрат тэгшитгэлтэй болохыг харах болно:

Жишээ 4.

Тэнд байгаа юм шиг байна, гэхдээ сайтар харцгаая. Бүгдийг зүүн тал руу шилжүүлье:

Хараач, энэ нь багассан - одоо энэ нь энгийн шугаман тэгшитгэл юм!

Одоо аль нь болохыг өөрөө тодорхойлохыг хичээ дараагийн тэгшитгэлүүддөрвөлжин ба аль нь биш:

Жишээ нь:

Хариултууд:

1. дөрвөлжин;
2. дөрвөлжин;
3. дөрвөлжин биш;
4. дөрвөлжин биш;
5. дөрвөлжин биш;
6. дөрвөлжин;
7. дөрвөлжин биш;
8. дөрвөлжин.

Математикчид болзолтойгоор бүгдийг хуваадаг квадрат тэгшитгэлгадаад төрхөөрөө:

• Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициент бүхий тэгшитгэл ба, түүнчлэн чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү биш (жишээнд байгаа шиг). Үүнээс гадна бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг өгсөн- эдгээр нь коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд юм (жишээ нь нэг дэх тэгшитгэл нь зөвхөн бүрэн биш, бас буурсан байна!)

• Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэлүүд:

  Зарим элемент дутуу байгаа тул тэдгээр нь бүрэн бус байна. Гэхдээ тэгшитгэлд үргэлж X квадрат байх ёстой!!! Үгүй бол энэ нь квадрат тэгшитгэл байхаа больсон, гэхдээ өөр тэгшитгэл байх болно.

Тэд яагаад ийм хуваагдал гаргав? X квадрат байгаа юм шиг санагдаж байна, зүгээр. Энэ хуваагдлыг шийдлийн аргуудаар тодорхойлно. Тэд тус бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая - тэдгээр нь хамаагүй хялбар юм!

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд байдаг:

1. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.
2. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.
3. , энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.

1. i. Яагаад гэвэл бид яаж олборлохыг мэддэг квадрат язгуур, тэгвэл энэ тэгшитгэлээс илэрхийлье

Илэрхийлэл нь сөрөг эсвэл эерэг байж болно. Хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж байх тул квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй эерэг тоо, тэгэхээр: хэрэв, тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

Хэрэв тийм бол бид хоёр үндэстэй болно. Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь та үүнээс бага байж болохгүй гэдгийг мэдэж, үргэлж санаж байх ёстой.

Зарим жишээг шийдэхийг хичээцгээе.

Жишээ 5:

Тэгшитгэлийг шийд

Одоо зүүн, баруун талаас үндсийг нь гаргаж авах л үлдлээ. Эцсийн эцэст та үндсийг хэрхэн яаж задлахаа санаж байна уу?

Хариулт:

Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!!!

Жишээ 6:

Тэгшитгэлийг шийд

Хариулт:

Жишээ 7:

Тэгшитгэлийг шийд

Өө! Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг

үндэс байхгүй!

Үндэсгүй ийм тэгшитгэлийн хувьд математикчид тусгай дүрсийг гаргаж ирэв - (хоосон багц). Мөн хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Бид үндсийг нь задлаагүй тул энд ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Жишээ 8:

Тэгшитгэлийг шийд

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авъя:

Тиймээс,

Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Хариулт:

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл (хэдийгээр тэд бүгд энгийн, тийм үү?). Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:

Бид энд жишээнүүдээс татгалзах болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн тэгшитгэл гэдгийг бид танд сануулж байна

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь эдгээрээс арай илүү хэцүү (бага зэрэг) юм.

Санаж байна уу Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдэж болно! Бүр бүрэн бус.

Бусад аргууд нь үүнийг хурдан хийхэд тусална, гэхдээ квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой асуудал байвал эхлээд ялгаварлагч ашиглан шийдлийг эзэмш.

1. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх.

Энэ аргыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм.

Хэрэв, тэгшитгэл нь үндэстэй байна. онцгой анхааралалхам хий. Дискриминант () нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.

• Хэрэв, дараа нь алхам дахь томъёо багасна. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн үндэстэй байх болно.
• Хэрэв тийм бол бид алхам дээр ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж чадахгүй. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Дараа нь тэгшитгэлдээ буцаж очоод зарим жишээг харцгаая.

Жишээ 9:

Тэгшитгэлийг шийд

Алхам 1бид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.

Алхам 3.

Хариулт:

Жишээ 10:

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс Алхам 1бид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм.

Хариулт:

Жишээ 11:

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс Алхам 1бид алгасах.

Алхам 2.

Бид ялгагчийг олдог:

Энэ нь бид ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн үндэс байхгүй.

Одоо бид ийм хариултыг хэрхэн зөв бичихээ мэддэг болсон.

Хариулт:үндэс байхгүй

2. Квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдвэрлэх.

Хэрэв та санаж байгаа бол бууруулсан гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрөл байдаг (a коэффициент нь тэнцүү байх үед):

Ийм тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг.

Үндэс нийлбэр өгсөнквадрат тэгшитгэл тэнцүү, язгуурын үржвэр тэнцүү байна.

Жишээ 12:

Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь .

Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Бид эхний тэгшитгэлийг авна:

Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:

Системийг зохиож, шийдье:

• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.

системийн шийдэл нь:

Хариулт: ; .

Жишээ 13:

Тэгшитгэлийг шийд

Хариулт:

Жишээ 14:

Тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэл. ДУНД ТҮВШИН

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - зарим тоо, ба.

Тоо нь хамгийн өндөр буюу эхний коэффициентквадрат тэгшитгэл, - хоёр дахь коэффициент, A - чөлөөт гишүүн.

Яагаад? Учир нь хэрэв тэгшитгэл шууд шугаман болж хувирвал, учир нь алга болно.

Энэ тохиолдолд, мөн тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ сандал дээрх тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг. Хэрэв бүх нөхцөл байгаа бол тэгшитгэл бүрэн байна.

Төрөл бүрийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:

Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье - тэдгээр нь илүү хялбар байдаг.

Дараах төрлийн тэгшитгэлийг ялгаж салгаж болно.

I., энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.

II. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.

III. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.

Одоо эдгээр дэд төрөл бүрийн шийдлийг авч үзье.

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:

Квадрат тоо сөрөг байж болохгүй, учир нь та хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх болно. Тийм учраас:

хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

хэрэв бид хоёр үндэстэй бол

Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Санаж байх ёстой гол зүйл бол үүнээс бага байж болохгүй.

Жишээ нь:

Шийдэл:

Хариулт:

Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!

Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг

үндэс байхгүй.

Асуудлыг шийдэх арга байхгүй гэдгийг товч бичихийн тулд бид хоосон багц дүрсийг ашигладаг.

Хариулт:

Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.

Хариулт:

Бид үүнийг гаргана нийтлэг үржүүлэгчхаалтны гадна талд:

Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна тэгтэй тэнцүү. Энэ нь тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд шийдэлтэй байна гэсэн үг юм.

Тэгэхээр энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.

Жишээ:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож үндсийг нь олцгооё.

Хариулт:

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:

1. Ялгаварлан гадуурхагч

Квадрат тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх нь амархан, гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм. Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар шийдэж болно гэдгийг санаарай! Бүр бүрэн бус.

Үндэсийн томъёонд ялгах үндэс байгааг анзаарсан уу? Гэхдээ ялгаварлагч нь сөрөг байж болно. Юу хийх вэ? Бид 2-р алхамд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Ялгаварлагч нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.

• Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол:
• Хэрэв тэгшитгэл байгаа бол ижил үндэс, гэхдээ үндсэндээ нэг үндэс:

  Ийм үндэсийг давхар үндэс гэж нэрлэдэг.

• Хэрэв, дараа нь ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж аваагүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.

Яагаад боломжтой гэж өөр өөр тоо хэмжээүндэс? -руу хандъя геометрийн мэдрэмжквадрат тэгшитгэл. Функцийн график нь парабол юм:

Квадрат тэгшитгэл болох онцгой тохиолдолд . Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь абсцисса тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэгүүд гэсэн үг юм. Парабол нь тэнхлэгтэй огт огтлолцохгүй, эсвэл нэг (параболын орой тэнхлэг дээр байрлах үед) эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болно.

Үүнээс гадна коэффициент нь параболын салбаруудын чиглэлийг хариуцдаг. Хэрэв параболын мөчрүүд дээш, харин доошоо чиглэнэ.

Жишээ нь:

Шийдэл:

Хариулт:

Хариулт: .

Хариулт:

Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.

Хариулт: .

2. Вьетагийн теорем

Виетийн теоремыг ашиглахад маш хялбар: та зөвхөн үржвэр нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү хос тоог сонгох хэрэгтэй бөгөөд нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна.

Виетийн теоремыг зөвхөн ашиглах боломжтой гэдгийг санах нь чухал юм багасгасан квадрат тэгшитгэл ().

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ №1:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь . Бусад коэффициентүүд: ; .

Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь:

Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:

Үржвэр нь тэнцүү хос тоонуудыг сонгоод нийлбэр нь тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
• Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.

системийн шийдэл нь:

Тиймээс, мөн бидний тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: ; .

Жишээ №2:

Шийдэл:

Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн хос тоог сонгоод, тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.

ба: тэд нийтдээ өгдөг.

ба: тэд нийтдээ өгдөг. Хүлээн авахын тулд зүгээр л бодож буй үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай: мөн эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн.

Хариулт:

Жишээ №3:

Шийдэл:

Тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн нь сөрөг тул язгуурын үржвэр нь сөрөг тоо юм. Энэ нь зөвхөн нэг үндэс нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байвал л боломжтой. Тиймээс үндэсийн нийлбэр нь тэнцүү байна тэдгээрийн модулиудын ялгаа.

Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн, ялгаа нь дараахтай тэнцүү хос тоог сонгоцгооё.

ба: тэдгээрийн ялгаа тэнцүү - тохирохгүй байна;

ба: - тохиромжгүй;

ба: - тохиромжгүй;

ба: - тохиромжтой. Үлдсэн зүйл бол нэг үндэс нь сөрөг гэдгийг санах явдал юм. Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой тул бага модультай үндэс нь сөрөг байх ёстой: . Бид шалгаж байна:

Хариулт:

Жишээ №4:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс үндэсийн бүтээгдэхүүн нь сөрөг байна. Энэ нь тэгшитгэлийн нэг үндэс сөрөг, нөгөө нь эерэг байх үед л боломжтой юм.

Үржвэр нь тэнцүү тооны хосуудыг сонгоод аль үндэс нь сөрөг тэмдэгтэй байх ёстойг тодорхойлъё.

Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн үндэс нь эхний нөхцөлд тохиромжтой:

Хариулт:

Жишээ №5:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:

Үндэсний нийлбэр нь сөрөг, энэ нь ядаж нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Гэхдээ тэдний бүтээгдэхүүн эерэг учраас энэ нь хоёр үндэс нь хасах тэмдэгтэй гэсэн үг юм.

Үржвэр нь дараахтай тэнцүү хос тоонуудыг сонгоцгооё.

Мэдээжийн хэрэг, үндэс нь тоонууд ба.

Хариулт:

Зөвшөөрч байна, энэ муухай ялгаварлан гадуурхагчийг тоолохын оронд амаар үндсийг гаргах нь маш тохиромжтой. Виетийн теоремыг аль болох олон удаа ашиглахыг хичээ.

Гэхдээ үндсийг нь олоход хялбар, хурдасгахын тулд Виетийн теорем хэрэгтэй. Үүнийг ашиглахын тулд та үйлдлүүдийг автоматжуулах хэрэгтэй. Үүний тулд дахиад таван жишээг шийд. Гэхдээ хууран мэхлэх хэрэггүй: та ялгаварлагчийг ашиглаж болохгүй! Зөвхөн Виетийн теорем:

Бие даасан ажлын даалгаврын шийдэл:

Даалгавар 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Виетийн теоремын дагуу:

Ердийнх шигээ бид сонголтоо дараах хэсгээс эхлүүлнэ.

Хэмжээ нь тохиромжгүй;

: хэмжээ нь танд хэрэгтэй зүйл юм.

Хариулт: ; .

Даалгавар 2.

Мөн бидний дуртай Виетийн теорем: нийлбэр нь тэнцүү байх ёстой бөгөөд үржвэр нь тэнцүү байх ёстой.

Гэхдээ энэ нь тийм биш байх ёстой тул, гэхдээ бид үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчилдөг: ба (нийт).

Хариулт: ; .

Даалгавар 3.

Хмм... Тэр хаана байна?

Та бүх нэр томъёог нэг хэсэгт шилжүүлэх хэрэгтэй:

Үндэсний нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

За, зогсоо! Тэгшитгэлийг өгөөгүй байна. Гэхдээ Виетийн теорем нь зөвхөн өгөгдсөн тэгшитгэлд хамаарна. Тиймээс эхлээд тэгшитгэл өгөх хэрэгтэй. Хэрэв та удирдаж чадахгүй бол энэ санаагаа орхиж, өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдээрэй. Квадрат тэгшитгэл өгөх нь тэргүүлэх коэффициентийг тэнцүү болгоно гэдгийг сануулъя.

Гайхалтай. Дараа нь үндэсийн нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Энд лийрийг хяруулснаар сонгоход хялбар байдаг: эцсийн эцэст энэ бол анхны тоо юм (тавтологийг уучлаарай).

Хариулт: ; .

Даалгавар 4.

Чөлөөт гишүүн сөрөг байна. Энэ юугаараа онцлог вэ? Үнэн хэрэгтээ үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх болно. Одоо сонгохдоо бид үндэсийн нийлбэрийг биш, харин тэдгээрийн модулиудын ялгааг шалгадаг: энэ ялгаа нь тэнцүү, гэхдээ бүтээгдэхүүн юм.

Тэгэхээр, үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Виетийн теорем нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь жижиг үндэс нь хасах: ба, оноос хойш гэсэн үг юм.

Хариулт: ; .

Даалгавар 5.

Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Зөв, тэгшитгэлийг өг:

Дахин хэлэхэд: бид тооны хүчин зүйлсийг сонгох бөгөөд тэдгээрийн ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ёстой.

Үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Аль нь? Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хасах нь илүү том үндэстэй болно гэсэн үг юм.

Хариулт: ; .

Товчхондоо:

1. Виетийн теоремыг зөвхөн өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлд ашигладаг.
2. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгон, амаар олж болно.
3. Хэрэв тэгшитгэл өгөгдөөгүй эсвэл чөлөөт нэр томъёоны тохирох хос хүчин зүйл олдоогүй бол бүхэл үндэс байхгүй тул та үүнийг өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар) шийдэх хэрэгтэй.

3. Бүрэн квадратыг сонгох арга

Хэрэв үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан бүх нэр томьёо нь үржүүлэх товчилсон томъёоны нэр томъёо хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн бол - нийлбэрийн квадрат эсвэл зөрүү - хувьсагчдыг орлуулсны дараа тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл хэлбэрээр гаргаж болно.

Жишээ нь:

Жишээ 1:

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Хариулт:

Жишээ 2:

Тэгшитгэлийг шийд: .

Шийдэл:

Хариулт:

Ерөнхийдөө өөрчлөлт нь дараах байдлаар харагдах болно.

Үүнд: .

Танд юу ч сануулахгүй байна уу? Энэ бол ялгаварлан гадуурхах зүйл! Яг ийм байдлаар бид ялгах томъёог олж авсан.

Квадрат тэгшитгэл. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Квадрат тэгшитгэл- энэ нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүн.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл.

Багасгасан квадрат тэгшитгэл- коэффициент байх тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл: .

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл:

• коэффициент бол тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдана.
• Хэрэв чөлөөт нэр томъёо байгаа бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
• хэрэв ба бол тэгшитгэл нь: .

1. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

1.1. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :

1) Үл мэдэгдэхийг илэрхийлье: ,

2) Илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу:

• Хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол,
• Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

1.2. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :

1) Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: ,

2) Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй:

1.3. Маягтын бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, үүнд:

Энэ тэгшитгэл нь үргэлж нэг үндэстэй байдаг: .

2. Хэлбэрийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

2.1. Дискриминант ашиглан шийдэл

1) Тэгшитгэлийг багасгая стандарт харагдах байдал: ,

2) Дискриминантыг томъёогоор тооцоолъё: , энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог заана.

3) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

• Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
• Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
• Хэрэв тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.

2.2. Виетийн теоремыг ашиглан шийдэл

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр (хэлбэрийн тэгшитгэл) тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. , А.

2.3. Бүрэн квадратыг сонгох аргын шийдэл

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээ нь. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт (моном гишүүн) болгон бичих ёстой. хамгийн өндөр үзүүлэлтградус, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүүтэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлд x-ийн коэффициент байгааг та анзаарч болно тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 зургийн диаграммд өгөгдсөн томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээ нь. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Таны харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг янз бүрийн томъёогоор шийдвэрлэхэд бид ижил хариултыг хүлээн авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Шийдвэрлэх явцад квадрат тэгшитгэл ихэвчлэн гарч ирдэг янз бүрийн даалгаварфизик, математик. Энэ нийтлэлд бид эдгээр тэгш байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно бүх нийтийн арга замаар"Ялгаварлан гадуурхагчаар". Олж авсан мэдлэгээ ашиглах жишээг мөн нийтлэлд өгсөн болно.

Бид ямар тэгшитгэлийн тухай ярих вэ?

Доорх зурагт x нь үл мэдэгдэх хувьсагч болох томьёог харуулж байна латин тэмдэгтүүд a, b, c нь мэдэгдэж буй зарим тоог илэрхийлнэ.

Эдгээр тэмдэг бүрийг коэффициент гэж нэрлэдэг. Таны харж байгаагаар х квадрат хувьсагчийн өмнө "a" тоо гарч ирнэ. Энэ дээд зэрэгтанилцуулсан илэрхийлэл, ийм учраас үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Түүний өөр нэрийг ихэвчлэн ашигладаг: хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэл. Өөрийнхөө үнэ цэнэ квадрат коэффициент(квадрат хувьсагчтай зогсож байгаа), b нь шугаман коэффициент(энэ нь эхний зэрэглэлд хүрсэн хувьсагчийн хажууд байрладаг), эцэст нь c тоо нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Дээрх зурагт үзүүлсэн тэгшитгэлийн хэлбэр нь ерөнхий сонгодог гэдгийг анхаарна уу квадрат илэрхийлэл. Үүнээс гадна b ба c коэффициентүүд тэг байж болох хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлүүд байдаг.

Асуудалтай тэгш байдлыг шийдвэрлэх даалгавар тавигдсан үед энэ нь x хувьсагчийн ийм утгыг хангахуйц байх шаардлагатай гэсэн үг юм. Энд та хамгийн түрүүнд дараах зүйлийг санах хэрэгтэй: X-ийн хамгийн дээд зэрэг нь 2 тул энэ төрөлилэрхийлэл нь 2-оос илүү шийдэлтэй байж болохгүй. Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед түүнийг хангах x-ийн 2 утга олдвол x-ийн оронд 3-р тоо байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно гэсэн үг юм. Математик дахь тэгшитгэлийн шийдлүүдийг түүний үндэс гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд тэдгээрийн талаархи зарим онолын мэдлэгийг шаарддаг. IN сургуулийн курсалгебр 4-ийг авч үзнэ янз бүрийн аргашийдлүүд. Тэднийг жагсаацгаая:

• хүчин зүйлчлэлийг ашиглах;
• төгс квадратын томъёог ашиглах;
• харгалзах квадрат функцийн графикийг хэрэглэх замаар;
• дискриминантын тэгшитгэлийг ашиглан.

Эхний аргын давуу тал нь түүний энгийн байдал юм, гэхдээ үүнийг бүх тэгшитгэлд ашиглах боломжгүй; Хоёр дахь арга нь бүх нийтийнх боловч зарим талаараа төвөгтэй байдаг. Гурав дахь арга нь тодорхой байдлаараа ялгагдана, гэхдээ энэ нь үргэлж тохиромжтой, хэрэглэхэд хялбар байдаггүй. Эцэст нь, дискриминант тэгшитгэлийг ашиглах нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн үндсийг олох бүх нийтийн бөгөөд нэлээд энгийн арга юм. Тиймээс, энэ нийтлэлд бид зөвхөн үүнийг авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах томъёо

-руу хандъя ерөнхий дүр төрхквадрат тэгшитгэл. Үүнийг бичье: a*x²+ b*x + c =0. "Ялгаварлан гадуурхагчаар" шийдвэрлэх аргыг ашиглахаасаа өмнө тэгш байдлыг үргэлж бичмэл хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Энэ нь гурван гишүүнээс бүрдэх ёстой (эсвэл b эсвэл c нь 0 бол түүнээс бага).

Жишээ нь: x²-9*x+8 = -5*x+7*x² гэсэн илэрхийлэл байвал эхлээд түүний бүх гишүүнийг тэгш байдлын нэг тал руу шилжүүлж, х хувьсагчийг агуулсан нөхцөлүүдийг нэмэх хэрэгтэй. ижил эрх мэдэл.

IN энэ тохиолдолдЭнэ үйлдэл нь дараах илэрхийлэлд хүргэнэ: -6*x²-4*x+8=0, энэ нь 6*x²+4*x-8=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү (энд бид зүүн ба баруун талыг үржүүлсэн. тэгш байдал -1).

Дээрх жишээнд a = 6, b=4, c=-8 байна. Харгалзан үзэж буй тэгш байдлын бүх нөхцөлийг үргэлж нэгтгэн нэгтгэдэг тул "-" тэмдэг гарч ирвэл энэ тохиолдолд c тоо шиг харгалзах коэффициент сөрөг байна гэсэн үг юм.

Энэ цэгийг судалж үзээд квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олж авах боломжтой томьёо руу шилжье. Доорх зурган дээр үзүүлсэн шиг харагдаж байна.

Энэ илэрхийллээс харахад энэ нь хоёр үндэс авах боломжийг олгодог ("±" тэмдэгт анхаарлаа хандуулаарай). Үүнийг хийхийн тулд b, c, a коэффициентүүдийг орлуулахад хангалттай.

Ялгаварлагчийн тухай ойлголт

Өмнөх догол мөрөнд хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх боломжийг олгодог томьёог өгсөн. Үүнд радикал илэрхийлэлийг дискриминант гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл D = b²-4*a*c.

Томъёоны энэ хэсгийг яагаад онцолсон, тэр ч байтугай онцолсон юм зохих нэр? Дискриминант нь тэгшитгэлийн бүх гурван коэффициентийг нэг илэрхийлэл болгон холбосон явдал юм. Сүүлийн баримтЭнэ нь үндэсийн талаархи мэдээллийг бүрэн агуулдаг гэсэн үг бөгөөд үүнийг дараах жагсаалтад илэрхийлж болно.

1. D>0: тэгш байдал 2 байна янз бүрийн шийдэл, аль аль нь бодит тоо.
2. D=0: Тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай бөгөөд энэ нь бодит тоо юм.

Дискриминант тодорхойлох даалгавар

Ялгаварлагчийг хэрхэн олох талаар энгийн жишээ хэлье. Дараах тэгш байдлыг өгье: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Үүнийг стандарт хэлбэрт оруулъя, бид дараахь зүйлийг авна: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, үүнээс бид тэгш байдал руу хүрнэ. : -2*x² +2*x-11 = 0. Энд a=-2, b=2, c=-11.

Одоо та ялгаварлагчийн хувьд дээрх томъёог ашиглаж болно: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Үүссэн тоо нь даалгаврын хариулт юм. Учир нь жишээн дээр ялгаварлагч тэгээс бага, тэгвэл энэ квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж хэлж болно. Үүний шийдэл нь зөвхөн нарийн төвөгтэй төрлийн тоонууд байх болно.

Ялгаварлагчаар дамжуулан тэгш бус байдлын жишээ

-3*x²-6*x+c = 0 тэгшитгэлийг өгвөл арай өөр төрлийн асуудлыг шийдье. D>0 байх c-ийн утгыг олох шаардлагатай.

Энэ тохиолдолд 3 коэффициентийн 2 нь л мэдэгдэж байгаа тул ялгаварлагчийн тодорхой утгыг тооцоолох боломжгүй, гэхдээ эерэг байна. Тэгш бус байдлыг бүрдүүлэхдээ бид сүүлчийн баримтыг ашигладаг: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Үүссэн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь үр дүнд хүргэнэ: c>-3.

Үр дүнгийн тоог шалгацгаая. Үүний тулд бид 2 тохиолдолд D-г тооцоолно: c=-2 ба c=-4. -2 тоо нь олж авсан үр дүнг хангаж байна (-2>-3), харгалзах ялгах утга нь: D = 12>0 байна. Хариуд нь -4 тоо нь тэгш бус байдлыг хангахгүй (-4. Тиймээс -3-аас их c тоо нь нөхцөлийг хангана.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Зөвхөн дискриминантыг олох төдийгүй тэгшитгэлийг шийдэх асуудлыг танилцуулъя. -2*x²+7-9*x = 0 тэгш байдлын язгуурыг олох шаардлагатай.

Энэ жишээнд ялгаварлагч нь байна дараагийн утга: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тэгвэл тэгшитгэлийн язгуурыг дараах байдлаар тодорхойлно: x = (9±√137)/(-4). Энэ тодорхой утгуудүндэс, хэрэв та үндсийг ойролцоогоор тооцоолвол x = -5.176 ба x = 0.676 гэсэн тоо гарч ирнэ.

Геометрийн асуудал

Бид зөвхөн ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолох чадвараас гадна ур чадвар ашиглах шаардлагатай асуудлыг шийдэх болно хийсвэр сэтгэлгээмөн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн бичих талаархи мэдлэг.

Боб 5х4 метрийн хөнжилтэй байсан. Хүү бүхэл бүтэн периметрийн эргэн тойронд үзэсгэлэнтэй даавуугаар тасралтгүй тууз оёхыг хүссэн. Хэрэв бид Бобыг 10 м² даавуутай гэдгийг мэдвэл энэ тууз хэр зузаан байх вэ?

Туузыг x м зузаантай болго, тэгвэл хөнжилний урт талын дагуух даавууны талбай (5+2*x)*x байх ба 2 урт тал байгаа тул бидэнд: 2*x байна. *(5+2*x). Богино тал дээр оёсон даавууны талбай нь 4 * x байх болно, учир нь эдгээр хоёр тал байгаа тул бид 8 * x утгыг авна. Хөнжлийн урт энэ тоогоор нэмэгдсэн тул урт талдаа 2*x нэмэгдсэнийг анхаарна уу. Хөнжилд оёсон даавууны нийт талбай нь 10 м² байна. Тиймээс бид тэгшитгэлийг авна: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Энэ жишээний хувьд дискриминант нь тэнцүү байна: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Түүний үндэс нь 22. Томьёог ашиглан шаардлагатай язгууруудыг олно: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Мэдээжийн хэрэг, хоёр язгуураас зөвхөн 0.5 тоо нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжтой.

Тиймээс Бобын хөнжилдөө оёж буй даавууны тууз нь 50 см өргөн болно.

Бүхэл бүтэн хичээлийн дунд сургуулийн сургалтын хөтөлбөрАлгебрийн хувьд хамгийн өргөн хүрээтэй сэдвүүдийн нэг бол квадрат тэгшитгэлийн сэдэв юм. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэж ойлгодог бөгөөд энд a ≠ 0 (унших: a x квадрат дээр нэмэх нь x нэмэх ce нь тэгтэй тэнцүү, энд a биш юм. тэгтэй тэнцүү). Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг олох томьёо гол байр эзэлдэг. заасан төрөл, энэ нь квадрат тэгшитгэлд үндэс байгаа эсэх, түүнчлэн тэдгээрийн тоог (хэрэв байгаа бол) тодорхойлох боломжийг олгодог илэрхийлэл гэж ойлгогддог.

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантын томъёо (тэгшитгэл).

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн томьёо нь дараах байдалтай байна: D = b 2 – 4ac. Тодорхойлсон томъёог ашиглан ялгаварлагчийг тооцоолсноор та квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, тоог тодорхойлохоос гадна квадрат тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран хэд хэдэн язгуурыг олох аргыг сонгох боломжтой.

Ялгаварлагч нь тэг байвал юу гэсэн үг вэ \ Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо.

Томъёоны дагуу ялгаварлагчийг тэмдэглэв Латин үсэг D. Дискриминант нь 0-тэй тэнцүү тохиолдолд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэртэй квадрат тэгшитгэл нь a ≠ 0 нь зөвхөн нэг язгууртай бөгөөд үүнийг хялбаршуулсан томъёогоор тооцоолно гэж дүгнэх хэрэгтэй. . Энэ томъёонь зөвхөн дискриминант нь тэг байх ба дараах байдлаар харагдана: x = –b/2a, энд x нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур, b ба a нь квадрат тэгшитгэлийн харгалзах хувьсагч юм. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд танд хэрэгтэй сөрөг утга b хувьсагчийг a хувьсагчийн утгаас хоёр дахин хуваана. Үүссэн илэрхийлэл нь квадрат тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх

Дээрх томъёог ашиглан ялгаварлагчийг тооцоолохдоо энэ нь гарч ирнэ эерэг утга(Д тэгээс их), тэгвэл квадрат тэгшитгэл нь хоёр язгууртай бөгөөд эдгээрийг дараах томъёогоор тооцоолно: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Ихэнх тохиолдолд ялгаварлагчийг тусад нь тооцдоггүй, харин ялгах томьёо хэлбэрийн радикал илэрхийлэл нь үндсийг гаргаж авсан D утгад зүгээр л орлуулдаг. Хэрэв b хувьсагч байгаа бол бүр үнэ цэнэ, дараа нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд a ≠ 0 бол та мөн ашиглаж болно. дараах томъёонууд: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, энд k = b/2.

Зарим тохиолдолд практик шийдэлКвадрат тэгшитгэлийн хувьд x 2 + px + q = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэрийн хувьд x 1 + x 2 = –p утга хүчинтэй байх болно гэж заасан Виетийн теоремыг ашиглаж болно. заасан тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийн хувьд x 1 x x 2 = q илэрхийлэл.

Дискриминант нь тэгээс бага байж болох уу?

Ялгаварлан гадуурхалтын утгыг тооцоолохдоо та тодорхойлсон тохиолдлуудын аль нэгэнд хамаарахгүй нөхцөл байдалтай тулгарч магадгүй - ялгаварлан гадуурхагч сөрөг утгатай (өөрөөр хэлбэл тэгээс бага). Энэ тохиолдолд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл нь a ≠ 0 нь бодит язгуургүй тул түүний шийдэл нь дискриминант болон дээрх томъёог тооцоолоход хязгаарлагдах болно гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Учир нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд энэ тохиолдолд хамаарахгүй болно. Үүний зэрэгцээ квадрат тэгшитгэлийн хариултанд "тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй" гэж бичсэн байдаг.

Тайлбар видео: