Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын тооцооны жишээ. Онлайн тооцоолуур

Мөн дериватив теорем нарийн төвөгтэй функц, үг хэллэг нь:

1) $u=\varphi (x)$ функц нь хэзээ нэгэн цагт $x_0$ дериватив $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) $y=f(u)$ функцтэй байг. харгалзах цэг дээр $u_0=\varphi (x_0)$ дериватив $y_(u)"=f"(u)$ байна. Дараа нь дурдсан цэг дэх $y=f\left(\varphi (x) \right)$ нийлмэл функц нь мөн деривативтай болно. бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна$f(u)$ ба $\varphi (x)$ функцүүдийн деривативууд:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \баруун)\cdot \varphi"(x_0) $$

эсвэл богино тэмдэглэгээгээр: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Энэ хэсгийн жишээнүүдэд бүх функцууд нь $y=f(x)$ хэлбэртэй байна (өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн нэг хувьсагчийн $x$ функцийг авч үздэг). Үүний дагуу бүх жишээн дээр $y"$ деривативыг $x$ хувьсагчтай холбоотойгоор авдаг. Дериватив нь $x$ хувьсагчтай холбоотой гэдгийг онцлон тэмдэглэхийн тулд $y"_x$ гэж ихэвчлэн $y-ийн оронд бичдэг. "$.

1, 2, 3 дугаар жишээнүүд нь нийлмэл функцүүдийн деривативыг олох нарийвчилсан үйл явцыг тоймлон харуулав. Жишээ №4 нь дериватив хүснэгтийг илүү бүрэн дүүрэн ойлгоход зориулагдсан бөгөөд үүнтэй танилцах нь зүйтэй юм.

1-3-р жишээн дэх материалыг судалсны дараа цааш шилжихийг зөвлөж байна бие даасан шийдвэржишээ No5, No6, No7. Жишээ No5, No6, No7-д агуулагдаж байна богино шийдэлИнгэснээр уншигч түүний үр дүнгийн үнэн зөвийг шалгах боломжтой болно.

Жишээ №1

$y=e^(\cos x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"$ нийлмэл функцийн деривативыг олох хэрэгтэй. $y=e^(\cos x)$ тул $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ деривативыг ол. Бид деривативын хүснэгтээс 6-р томьёог ашиглана. 6-р томьёог ашиглахын тулд бидний тохиолдолд $u=\cos x$ гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Цаашдын шийдэл нь 6-р томьёонд $u$-ийн оронд $\cos x$ илэрхийллийг орлуулахад л оршино.

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Одоо бид $(\cos x)"$ илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Бид үүнээс 10-р томьёог сонгон деривативын хүснэгт рүү дахин шилжинэ. $u=x$-г 10-р томьёонд орлуулбал бид дараах байдалтай байна. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Одоо бид тэгш байдлыг (1.1) үргэлжлүүлж, олсон үр дүнгээр нэмж оруулав.

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ тул бид тэгш байдлыг үргэлжлүүлнэ (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Тэгэхлээр (1.3) тэгшитгэлээс бидэнд: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ байна. Мэдээжийн хэрэг, тайлбар болон завсрын тэгшитгэлийг ихэвчлэн алгасаж, деривативын олдворыг нэг мөрөнд бичнэ. (1.3) тэгшитгэлийн адилаар нийлмэл функцийн дериватив олдсон тул хариултыг бичихэд л үлдлээ.

Хариулах: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Жишээ №2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ деривативыг тооцоолох хэрэгтэй. Эхлэхийн тулд тогтмолыг (жишээ нь 9-ийн тоог) дериватив тэмдгээс хасаж болно гэдгийг анхаарна уу.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Одоо $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ илэрхийлэл рүү шилжье. Сонгохын тулд шаардлагатай томъёоДеривативын хүснэгтээс энэ нь илүү хялбар байсан тул би асуултын илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр өгөх болно: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Одоо №2 томьёог ашиглах шаардлагатай нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ Бид $ орлуулна u=\arctg(4) гэсэн томъёогоор \cdot \ln x)$ болон $\alpha=12$:

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (2.1) нэмбэл бид:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Ийм нөхцөлд шийдвэр гаргагч эхний алхамд томьёоны оронд $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ томьёог сонгоход алдаа гардаг. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Гол нь гадаад функцийн дериватив хамгийн түрүүнд байх ёстой. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ илэрхийллийн гадна функцийг ойлгохын тулд $\arctg^(12)(4\cdot 5^) илэрхийллийн утгыг тооцоолж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. x)$ тодорхой хэмжээгээр $x$. Эхлээд та $5^x$-ийн утгыг тооцоолж, үр дүнг 4-өөр үржүүлж, $4\cdot 5^x$ авна. Одоо бид энэ үр дүнгээс арктангенсыг авч, $\arctg(4\cdot 5^x)$-г олж авна. Дараа нь бид гарсан тоог арван хоёр дахь зэрэглэлд хүргэж, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ авна. Сүүлийн үйлдэл, өөрөөр хэлбэл. 12-ын хүчийг нэмэгдүүлэх нь гадаад функц болно. Эндээс бид тэгш байдлын дагуу хийгдсэн деривативыг олж эхлэх ёстой (2.2).

Одоо бид $(\arctg(4\cdot \ln x))"$-г олох хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийн 19-р томьёог ашиглаж, $u=4\cdot \ln x$-г орлуулна:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$-г харгалзан үр дүнгийн илэрхийлэлийг бага зэрэг хялбарчилж үзье.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Тэгш байдал (2.2) одоо болно:

$(4\cdot \ln x)"$-г олоход л үлдлээ. Дериватив тэмдгээс тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл 4) гаргая: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $(\ln x)"$-г олохын тулд бид №8 томьёог ашиглан $u=x$ гэж орлуулна: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. $x"=1$ тул $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Хүлээн авсан үр дүнг (2.3) томъёогоор орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Сүүлчийн тэгшитгэлд бичсэн шиг нийлмэл функцийн дериватив нэг мөрөнд ихэвчлэн олддог гэдгийг сануулъя. Тиймээс стандарт тооцоог бэлтгэхдээ эсвэл туршилтуудИйм шийдлийг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй.

Хариулах: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Жишээ №3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ функцийн $y"$-г ол.

Эхлээд $y$ функцийг бага зэрэг хувиргаж, радикал (үндэс)-ийг хүч болгон илэрхийлье: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Одоо деривативыг хайж эхэлцгээе. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ тул:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\баруун)" \tag (3.1) $$

$u=\sin(5\cdot 9^x)$ болон $\alpha=\frac(3)(7)$-г орлуулж, деривативын хүснэгтээс 2-р томьёог ашиглая:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Хүлээн авсан үр дүнг ашиглан тэгш байдлыг (3.1) үргэлжлүүлье.

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Одоо бид $(\sin(5\cdot 9^x))"$-г олох хэрэгтэй. Үүний тулд бид деривативын хүснэгтээс 9-р томьёог ашиглан $u=5\cdot 9^x$-г орлуулна.

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (3.2) нэмснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

$(5\cdot 9^x)"$-г олоход л үлдлээ. Эхлээд дериватив тэмдгийн гаднах тогтмолыг ($5$ тоо) авч үзье, өөрөөр хэлбэл $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9). ^x) "$. $(9^x)"$ деривативыг олохын тулд деривативын хүснэгтийн 5-р томьёог ашиглан $a=9$, $u=x$-ийг орлуулан: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ тул $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Одоо бид тэгш байдлыг (3.3) үргэлжлүүлж болно:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Бид $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-г $\ хэлбэрээр бичиж, хүчнээс радикалууд (жишээ нь, үндэс) рүү дахин буцаж болно. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Дараа нь деривативыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Хариулах: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Жишээ № 4

Деривативын хүснэгтийн 3 ба 4-р томьёо нь болохыг харуул онцгой тохиолдолЭнэ хүснэгтийн 2-р томьёо.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёо нь $u^\alpha$ функцийн деривативыг агуулна. №2 томьёонд $\alpha=-1$-г орлуулснаар бид дараахыг авна.

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ба $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ тул тэгш байдлыг (4.1) дараах байдлаар дахин бичиж болно. $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Энэ нь деривативын хүснэгтийн 3-р томьёо юм.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёог дахин авч үзье. Үүнд $\alpha=\frac(1)(2)$ орлъё:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\баруун)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Учир нь $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ба $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тэгш байдлыг (4.2) дараах байдлаар дахин бичиж болно.

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Үүссэн $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ нь деривативын хүснэгтийн 4-р томьёо юм. Таны харж байгаагаар дериватив хүснэгтийн 3, 4-р томьёог 2-р томъёоноос харгалзах $\alpha$ утгыг орлуулах замаар олж авсан.

Функцүүд нарийн төвөгтэй төрөлнийлмэл функцийн тодорхойлолтод үргэлж тохирохгүй. Хэрэв y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 хэлбэрийн функц байгаа бол y = sin 2 x-ээс ялгаатай нь нийлмэл гэж үзэж болохгүй.

Энэ нийтлэлд нарийн төвөгтэй функцийн тухай ойлголт, түүний тодорхойлолтыг харуулах болно. Дүгнэлт дэх шийдлийн жишээнүүдийн хамт деривативыг олох томьёотой ажиллацгаая. Деривативын хүснэгт ба ялгах дүрмийг ашиглах нь деривативыг олох хугацааг эрс багасгадаг.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Үндсэн тодорхойлолтууд

Тодорхойлолт 1

Аргумент нь мөн функц болох функцийг цогц функц гэнэ.

Үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: f (g (x)). Бид g (x) функцийг f (g (x)) аргумент гэж үздэг.

Тодорхойлолт 2

Хэрэв f функц байгаа бөгөөд котангенс функц байвал g(x) = ln x функц болно байгалийн логарифм. f (g (x)) нийлмэл функц arctg(lnx) хэлбэрээр бичигдэхийг бид олж мэдсэн. Эсвэл g (x) = x 2 + 2 x - 3 нь бүхэл тоо гэж тооцогддог 4-р зэрэглэлд өргөгдсөн функц болох f функц. оновчтой функц, бид f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 болохыг олж мэдэв.

g(x) нь нарийн төвөгтэй байж болох нь ойлгомжтой. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 жишээнээс g-ийн утга нь тодорхой байна. шоо үндэсбутархайтай. Энэ илэрхийлэл y = f (f 1 (f 2 (x))) гэж тэмдэглэхийг зөвшөөрнө. Эндээс харахад f нь синусын функц, f 1 нь доор байрлах функц юм квадрат язгуур, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - бутархай рационал функц.

Тодорхойлолт 3

Үүрлэх зэрэг нь аль нэгээр тодорхойлогддог натурал тооба y = f (f 1 (f 2 (f 3) (... (f n (x)))))) гэж бичнэ.

Тодорхойлолт 4

Функцийн бүрэлдэхүүн гэдэг ойлголт нь асуудлын нөхцөлийн дагуу үүрлэсэн функцүүдийн тоог илэрхийлдэг. Шийдвэрлэхийн тулд хэлбэрийн нийлмэл функцийн деривативыг олох томъёог ашиглана уу

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Жишээ

Жишээ 1

y = (2 x + 1) 2 хэлбэрийн нийлмэл функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөс харахад f нь квадрат функц, g(x) = 2 x + 1 нь шугаман функц гэж тооцогддог.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив томъёог хэрэглэж, бичье.

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Функцийн хялбаршуулсан анхны хэлбэр бүхий деривативыг олох шаардлагатай. Бид авах:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Эндээс бидэнд ийм байна

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Үр дүн нь адилхан байсан.

Энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ f ба g (x) хэлбэрийн функц хаана байрлаж байгааг ойлгох нь чухал юм.

Жишээ 2

Та y = sin 2 x ба y = sin x 2 хэлбэрийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативуудыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

Эхний функцийн тэмдэглэгээ нь f нь квадратын функц, g(x) нь синусын функц юм. Дараа нь бид үүнийг авдаг

y " = (нүгэл 2 х) " = 2 нүгэл 2 - 1 x (нүгэл x) " = 2 нүгэл x cos x

Хоёр дахь оруулга нь f нь синус функц, g(x) = x 2 нь чадлын функцийг илэрхийлдэг. Эндээс бид нийлмэл функцийн үржвэрийг бичнэ

y " = (нүгэл x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Дериватив y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) томъёог y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.)) гэж бичнэ. . ))) )) · . . . fn "(x)

Жишээ 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) функцийн уламжлалыг ол.

Шийдэл

Энэ жишээ нь функцүүдийн байршлыг бичих, тодорхойлоход хүндрэлтэй байгааг харуулж байна. Дараа нь y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) нь синусын функц, өсгөх функц гэдгийг тэмдэглэнэ. 3 градус, логарифм ба суурьтай функц e, арктангенс ба шугаман функц.

Нарийн төвөгтэй функцийг тодорхойлох томъёоноос бид үүнийг олж авна

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Бид олох ёстой зүйлээ авдаг

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) деривативын хүснэгтийн дагуу синусын дериватив, дараа нь f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) дериватив хэлбэрээр эрчим хүчний функц, дараа нь f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = 3 · ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) логарифмын дериватив байдлаар, дараа нь f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) арктангентын дериватив, дараа нь f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
f 4 (x) = 2 x деривативыг олохдоо 1-тэй тэнцүү илтгэгчтэй чадлын функцийн деривативын томъёог ашиглан деривативын тэмдгээс 2-ыг хасаад f 4 "(x) = (2 x) болно. " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

Бид нэгдэл хийдэг завсрын үр дүнмөн бид үүнийг олж авдаг

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Ийм функцүүдийн шинжилгээ нь үүрлэсэн хүүхэлдэйг санагдуулдаг. Дериватив хүснэгтийг ашиглан ялгах дүрмийг үргэлж тодорхой хэрэглэж болохгүй. Ихэнхдээ нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг олох томъёог ашиглах шаардлагатай байдаг.

Нарийн төвөгтэй харагдах байдал, нарийн төвөгтэй функцүүдийн хооронд зарим ялгаа байдаг. Үүнийг ялгах тодорхой чадвартай бол дериватив олох нь ялангуяа хялбар байх болно.

Жишээ 4

Кастинг хийхдээ анхаарч үзэх хэрэгтэй ижил төстэй жишээ. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 хэлбэрийн функц байгаа бол g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 хэлбэрийн нийлмэл функц гэж үзэж болно. . Нарийн төвөгтэй деривативын томъёог ашиглах шаардлагатай нь ойлгомжтой.

f " (г (х)) = (г 2 (х) + 3 г (х) + 1) " = (г 2 (х)) " + (3 г (х)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 хэлбэрийн функц нь t g x 2, 3 t g x ба 1-ийн нийлбэртэй тул нарийн төвөгтэй гэж үзэхгүй. Гэсэн хэдий ч t g x 2 нь нарийн төвөгтэй функц гэж тооцогддог бол бид g (x) = x 2 ба f хэлбэрийн чадлын функцийг олж авдаг бөгөөд энэ нь шүргэгч функц юм. Үүнийг хийхийн тулд дүнгээр нь ялгана. Бид үүнийг ойлгодог

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 учир 2 x

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг (t g x 2) олох руу шилжье ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Бид y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x гэсэн утгыг олж авна.

Нарийн төвөгтэй төрлийн функцууд нь нарийн төвөгтэй функцүүдэд багтаж болох ба нарийн төвөгтэй функцууд нь өөрөө нарийн төвөгтэй төрлийн функцүүдийн бүрэлдэхүүн хэсэг байж болно.

Жишээ 5

Жишээлбэл, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) хэлбэрийн цогц функцийг авч үзье.

Энэ функцийг y = f (g (x)) хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд f-ийн утга нь 3 суурь логарифмын функц, g (x) нь h (x) = хэлбэрийн хоёр функцийн нийлбэр гэж тооцогддог. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ба k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Мэдээжийн хэрэг, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) функцийг авч үзье. Энэ нь l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ба m (x) = e x 2 + 3 3 харьцаа юм.

Бидэнд l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) нь n (x) = x 2 + 7 ба p ( гэсэн хоёр функцийн нийлбэр юм. x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , энд p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) нь нийлмэл функц юм. тоон коэффициент 3 ба p 1 - куб функцээр, p 2 косинусын функцээр, p 3 (x) = 2 x + 1 - шугаман функцээр.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) нь q (x) = e x 2 ба r (x) = 3 3 гэсэн хоёр функцийн нийлбэр болохыг олж мэдсэн бөгөөд энд q (x) = q 1 (q 2 (x)) нь нийлмэл функц, q 1 нь экспоненциалтай функц, q 2 (x) = x 2 нь чадлын функц юм.

Энэ нь h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) гэдгийг харуулж байна. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) хэлбэрийн илэрхийлэл рүү шилжих үед функц нь s (x) цогцолбор хэлбэрээр илэрхийлэгдэх нь тодорхой байна. = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) рационал бүхэл тоо t (x) = x 2 + 1, энд s 1 нь квадрат функц, s 2 (x) = ln x нь e суурьтай логарифм байна. .

Эндээс илэрхийлэл нь k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) хэлбэртэй болно.

Дараа нь бид үүнийг авдаг

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Функцийн бүтцэд үндэслэн илэрхийллийг ялгахдаа хэрхэн, ямар томьёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхой болсон. Мэдээлэлд ижил төстэй даалгаваруудмөн тэдгээрийг шийдвэрлэх үзэл баримтлалын хувьд функцийг ялгах, өөрөөр хэлбэл түүний деривативыг олох цэг рүү шилжих шаардлагатай.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны баталгааг өгөв. Нарийн төвөгтэй функц нь нэг эсвэл хоёр хувьсагчаас хамаарах тохиолдлуудыг нарийвчлан авч үздэг. Хэрэгт ерөнхий дүгнэлт хийсэн ямар ч тоохувьсагч.

Энд бид дүгнэлтийг танилцуулж байна дараах томъёонууднийлмэл функцийн деривативын хувьд.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.

Нэг хувьсагчаас нийлмэл функцийн дериватив

x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
зарим функц байгаа газар. Энэ функц нь x хувьсагчийн зарим утгын хувьд дифференциал болно.
Функц нь хувьсагчийн утгаар дифференциалагдана.
(1) .

Дараа нь нийлмэл (нийлмэл) функц нь x цэг дээр ялгагдах бөгөөд түүний уламжлалыг томъёогоор тодорхойлно.
;
.

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Баталгаа
;
.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Энд хувьсагчдын функц ба , хувьсагчийн функц ба .
;
.

Гэхдээ бид тооцоололд саад учруулахгүйн тулд эдгээр функцүүдийн аргументуудыг орхих болно.
.
Функцууд нь x ба цэгүүдэд ялгагдах боломжтой тул эдгээр цэгүүдэд эдгээр функцүүдийн деривативууд байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
.
Дараах функцийг авч үзье.
.

u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь .
.
Дараах функцийг авч үзье.
.

Энэ нь ойлгомжтой

.

Дараа нь

Функц нь цэг дээр дифференциалагдах функц тул тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас

Одоо бид деривативыг олно.
,
Томъёо нь батлагдсан.
.
Үр дагавар

Хэрэв x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцийн нийлмэл функцээр илэрхийлж болно
дараа нь түүний деривативыг томъёогоор тодорхойлно
.
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.
.
Энэ томьёог батлахын тулд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг дараалан тооцдог.
.
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.
.

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье

Түүний дериватив Анхны функцийг авч үзье.

Хоёр хувьсагчаас авсан нийлмэл функцийн дериватив
,
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол
x хувьсагчаас хамаарах функцийг дараах хэлбэрээр хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцээр илэрхийлье.
(2) .

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Функцууд нь цэг дээр ялгагдах боломжтой байдаг тул тэдгээр нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогддог, цэг дээр тасралтгүй байх ба тэдгээрийн деривативууд нь цэг дээр байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
;
.
Энд
;
.
Нэг цэгт эдгээр функцүүдийн тасралтгүй байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна:
;
.

Функц нь тухайн цэг дээр дифференциал болох тул энэ цэгийн тодорхой орчимд тодорхойлогддог, энэ цэг дээр тасралтгүй байх ба түүний өсөлтийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
(3) .
Энд

- функцийн аргументууд нь утгууд болон -ээр нэмэгдэх үед түүний өсөлт;
;

- хувьсагчдад хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба .
Тогтмол утгуудын хувьд, ба нь хувьсагчийн функцууд болон.
;
.
Тэд тэглэх хандлагатай байдаг ба:
;
.

Түүнээс хойш, дараа нь

. :
.
Функцийн өсөлт:

.

Дараа нь

Орлуулах (3):

Хэд хэдэн хувьсагчаас авсан цогц функцийн дериватив

Дээрх дүгнэлтийг нийлмэл функцийн хувьсагчийн тоо хоёроос дээш байх тохиолдолд хялбархан ерөнхийлж болно. Жишээлбэл, хэрэв f болгурван хувьсагчийн функц
,
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
, Тэр
, мөн x хувьсагчийн зарим утгын ялгах функцүүд байдаг;
- , , цэг дээрх гурван хувьсагчийн дифференциал функц.
(4)
.
Дараа нь функцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг олж авна.
; ; ,
Учир нь тасралтгүй байдлын улмаас
;
;
.

Тэр
.

(4)-ийг хувааж, хязгаарт хүрэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна. Тэгээд эцэст нь авч үзье ихэнх нь .
ерөнхий тохиолдол
,
Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая
x хувьсагчийн функцийг n хувьсагчийн нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
х хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;
, , ... , .
Дараах функцийг авч үзье.
.

- цэг дээрх n хувьсагчийн ялгах функц "Хуучин" сурах бичигт үүнийг "гинжин" дүрэм гэж бас нэрлэдэг. Тэгэхээр хэрэв y = f (u) ба u = φ (x

), тэр бол

y = f (φ (x))

цогцолбор - нийлмэл функц (функцын бүрдэл) дараа нь Хаана , тооцооны дараа авч үзнэ

u = φ (x).

Энд бид ижил функцээс "өөр өөр" найрлагыг авсан бөгөөд ялгах үр дүн нь "холих" дарааллаас шууд хамааралтай болохыг анхаарна уу.

. Энд "y"-ийн утгыг олж авахын тулд "x"-ийн тусламжтайгаар таван үйлдлийг гүйцэтгэдэг, өөрөөр хэлбэл таван функцийн найрлагатай: "гадаад" (тэдгээрийн сүүлчийнх нь) - экспоненциал - e  ;цааш нь урвуу дараалалтайвшруулах. (♦) 2 ;

тригонометрийн нүгэл

(); тайвшруулах. () 3 ба эцэст нь логарифм ln.().Тийм ч учраас

Дараах жишээнүүдийн дагуу бид "нэг чулуугаар хэд хэдэн шувуу алах" болно: нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дасгал хийж, үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтэд нэмнэ. Тэгэхээр: 4. Хүч чадлын функцийн хувьд - y = x α - үүнийг сайн мэддэг "үндсэн" ашиглан дахин бичих.логарифмын ижилсэл

" - b=e ln b - x α = x α ln x хэлбэрээр бид олж авна 5. Үнэгүйэкспоненциал функц

бидэнтэй ижил техникийг ашиглана

6. Үнэгүй

логарифм функц

Шинэ суурь руу шилжих алдартай томъёог ашиглан бид байнга авдаг

7. Шүргэгч (котангенс)-ийг ялгахын тулд бид хуваалтыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
,

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн деривативыг олж авахын тулд бид харилцан урвуу хоёр функцийн деривативуудаар хангагдсан хамаарлыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл харилцаанд хамаарах φ (x) ба f (x) функцуудыг ашигладаг.

Энэ бол харьцаа юм

Энэ нь харилцан урвуу функцүүдийн хувьд энэ томъёоноос юм Тэгээд:
; ; ; ; .

Эцэст нь дараах хүснэгтээс хялбархан олж авч болох эдгээр болон бусад деривативуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье.
,
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашиглан деривативыг тооцоолох жишээг үзүүлэв.
.
Энд бид деривативыг тооцоолох жишээг үзүүлэв
.
дараах функцууд
Хэрэв функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр дүрсэлж чадвал:

Дараа нь түүний деривативыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Доорх жишээнүүдэд бид энэ томъёог дараах байдлаар бичнэ.

Хаана.

Энд үүсмэл тэмдгийн доор байрлах дэд тэмдэгтүүд буюу , ялгах хийгдэх хувьсагчдыг илэрхийлнэ.
.

Ихэвчлэн деривативын хүснэгтэд x хувьсагчаас функцүүдийн деривативуудыг өгдөг.

Гэсэн хэдий ч x нь албан ёсны параметр юм. x хувьсагчийг өөр ямар ч хувьсагчаар сольж болно. Тиймээс функцийг хувьсагчаас ялгахдаа бид деривативын хүснэгт дэх х хувьсагчийг u хувьсагч болгон өөрчилдөг. Энгийн жишээнүүдЖишээ 1
.
Комплекс функцийн деривативыг ол
;
.

Шийдэл
.
Үүнийг бичээд үзье

өгөгдсөн функц

тэнцүү хэлбэрээр:

Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.

Ихэвчлэн деривативын хүснэгтэд x хувьсагчаас функцүүдийн деривативуудыг өгдөг.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.
.

.
Үүнийг бичээд үзье

өгөгдсөн функц

Энд.

Хариулах
.

Ихэвчлэн деривативын хүснэгтэд x хувьсагчаас функцүүдийн деривативуудыг өгдөг.

Жишээ 2 -1 Деривативын тэмдгийн хувьд болон деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.

Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.
Үүнийг бичээд үзье

өгөгдсөн функц

Илүү төвөгтэй жишээнүүд

Илүү их нарийн төвөгтэй жишээнүүдБид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэд хэдэн удаа ашигладаг. Энэ тохиолдолд бид деривативыг төгсгөлөөс нь тооцдог. Өөрөөр хэлбэл, бид функцийг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж, ашиглан хамгийн энгийн хэсгүүдийн деривативуудыг олдог деривативын хүснэгт. Бид ч бас ашигладаг нийлбэрийг ялгах дүрэм, бүтээгдэхүүн ба бутархай. Дараа нь бид орлуулалт хийж, нийлмэл функцийн деривативын томъёог хэрэглэнэ.