Буцах Урагшаа
Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.
Зорилго:
- оюутнуудын мэдлэг, чадварыг нэгтгэх, системчлэх;
- дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.
Тоног төхөөрөмж:
- мультимедиа проектор;
- компьютер;
- асуудлын текст бүхий хуудас
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ
I. Зохион байгуулалтын мөч
II. Мэдлэгийг шинэчлэх үе шат(слайд 2)
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг хэрхэн тодорхойлохыг бид давтана
III. Лекц(слайд 3-15)
Хичээл дээр бид үзэх болно янз бүрийн арга замуудцэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох.
Эхний арга: алхам алхмаар тооцоолох
М цэгээс α хавтгай хүртэлх зай:
– M цэгийг дайран өнгөрөх, α хавтгайтай параллель орших a шулуун дээр байрлах дурын P цэгээс α хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү;
– β хавтгай дээр байрлах дурын P цэгээс α хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү бөгөөд энэ нь М цэгийг дайран өнгөрч, α хавтгайтай параллель байна.
Бид дараах асуудлуудыг шийдвэрлэх болно.
№1. A...D 1 шоо д C 1 цэгээс AB 1 C хавтгай хүртэлх зайг ол.
O 1 N сегментийн уртын утгыг тооцоолоход хэвээр байна.
№2. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн зургаан өнцөгт A...F 1 призмд А цэгээс DEA 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.
Дараагийн арга: эзлэхүүний арга.
Хэрэв ABCM пирамидын эзэлхүүн V-тэй тэнцүү бол М цэгээс ∆ABC агуулсан α хавтгай хүртэлх зайг ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = томъёогоор тооцоолно.
Асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид хоёр өөр аргаар илэрхийлсэн нэг дүрсийн эзлэхүүний тэгш байдлыг ашигладаг.
Дараах асуудлыг шийдье.
№3. DABC пирамидын AD ирмэг нь ABC суурийн хавтгайд перпендикуляр байна. Хэрэв AB, AC, AD ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх А цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.
Асуудлыг шийдвэрлэх үед координатын аргаМ цэгээс α хавтгай хүртэлх зайг ρ(M; α) = томъёогоор тооцоолж болно 
, энд M(x 0; y 0; z 0), хавтгай нь ax + by + cz + d = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн.
Дараах асуудлыг шийдье.
№4. Нэгж шоо A...D 1-д А 1 цэгээс BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.
А цэг дээрх эх үүсвэртэй координатын системийг нэвтрүүлье, у тэнхлэг нь AB ирмэгийн дагуу, x тэнхлэг нь AD ирмэгийн дагуу, z тэнхлэг нь АА 1 ирмэгийн дагуу явагдана. Дараа нь B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) цэгүүдийн координатууд.
B, D, C 1 цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл байгуулъя.
Дараа нь – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Иймд ρ = 
Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд дараах аргыг ашиглаж болно энэ төрлийн – дэмжих асуудлын арга.
Өргөдөл энэ аргань теорем хэлбэрээр томьёологдсон мэдэгдэж буй лавлагаа бодлогуудыг хэрэглэхээс бүрддэг.
Дараах асуудлыг шийдье.
№5. A...D 1 нэгж шоо д D 1 цэгээс AB 1 C хавтгай хүртэлх зайг ол.
Өргөдлийг авч үзье вектор арга.
№6. Нэгж шоо A...D 1-д А 1 цэгээс BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.
Тиймээс бид энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох янз бүрийн аргуудыг авч үзсэн. Нэг эсвэл өөр аргыг сонгох нь тодорхой даалгавар, таны сонголтоос хамаарна.
IV. Бүлгийн ажил
Асуудлыг янз бүрийн аргаар шийдэж үзээрэй.
№1. A...D 1 кубын ирмэг нь тэнцүү байна. С оройноос BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.
№2. IN ердийн тетраэдрИрмэгтэй ABCD, А цэгээс BDC хавтгай хүртэлх зайг ол
№3. Энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмд бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү бол А-аас BCA 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.
№4. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн SABCD дөрвөн өнцөгт пирамид дээр А-аас SCD хавтгай хүртэлх зайг ол.
V. Хичээлийн хураангуй, гэрийн даалгавар, тусгал
Энэ нийтлэлд цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлох тухай өгүүлнэ. Гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн цэгээс зайг олох боломжийг олгох координатын аргыг ашиглан дүн шинжилгээ хийцгээе. Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн даалгаврын жишээг харцгаая.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олно мэдэгдэж байгаа зайцэгээс цэг хүртэл, тэдгээрийн аль нэг нь өгөгдсөн, нөгөө нь өгөгдсөн хавтгай дээрх проекц юм.
χ хавтгайтай M 1 цэгийг огторгуйд зааж өгвөл уг цэгээр хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамыг зурж болно. H 1 байна нийтлэг цэгтэдгээрийн уулзварууд. Эндээс бид M 1 H 1 хэрчмийг М 1 цэгээс χ хавтгайд татсан перпендикуляр гэдгийг олж мэдсэн бөгөөд H 1 цэг нь перпендикулярын суурь юм.
Тодорхойлолт 1
Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн перпендикулярын суурь хүртэлх зайг нэрлэнэ өгсөн онгоц.
Тодорхойлолтыг янз бүрийн томъёогоор бичиж болно.
Тодорхойлолт 2
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайөгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан перпендикулярын урт.
M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно: M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зай нь тухайн цэгээс хавтгайн аль ч цэг хүртэлх хамгийн бага нь байх болно. Хэрэв H 2 цэг нь χ хавтгайд байрладаг бөгөөд H 2 цэгтэй тэнцүү биш бол бид олж авна зөв гурвалжин M 2 H 1 H 2 төрөл , тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэнд M 2 H 1, M 2 H 2 хөл байна - гипотенуз. Энэ нь M 1 H 1 гэсэн үг юм< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 М 1 цэгээс χ хавтгай руу татсан налуу гэж үзнэ. Өгөгдсөн цэгээс хавтгайд татсан перпендикуляр нь тухайн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан налуугаас бага байна. Энэ тохиолдлыг доорх зураг дээр харцгаая.
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай - онол, жишээ, шийдэл
Тоо байна геометрийн асуудлууд, шийдлүүд нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг агуулсан байх ёстой. Үүнийг тодорхойлох янз бүрийн арга байж болно. Шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын теорем буюу гурвалжны ижил төстэй байдлыг ашиглана уу. Нөхцөл байдлын дагуу цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох шаардлагатай үед тэгш өнцөгт системгурван хэмжээст орон зайн координатыг координатын аргаар шийддэг. Энэ догол мөрөнд энэ аргыг авч үзэх болно.
Асуудлын нөхцлийн дагуу бид χ хавтгайтай M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай гурван хэмжээст орон зайд M 1 хүртэлх зайг тодорхойлох шаардлагатай байна онгоц χ. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд хэд хэдэн шийдлийн аргыг ашигладаг.
Эхний арга
Энэ арга нь M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх перпендикулярын суурь болох H 1 цэгийн координатыг ашиглан цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олоход суурилдаг. Дараа нь та M 1 ба H 1 хоорондох зайг тооцоолох хэрэгтэй.
Асуудлыг хоёр дахь аргаар шийдэхийн тулд ашиглана уу хэвийн тэгшитгэлөгсөн онгоц.
Хоёр дахь арга зам
Нөхцөлөөр бид H 1 нь M 1 цэгээс χ хавтгайд буулгасан перпендикулярын суурь юм. Дараа нь бид H 1 цэгийн координатыг (x 2, y 2, z 2) тодорхойлно. M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 томъёогоор олно, энд M 1 байна. (x 1, y 1, z 1) ба H 1 (x 2, y 2, z 2). Шийдвэрлэхийн тулд та H 1 цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.
Бид H 1 нь χ хавтгайд перпендикуляр байрлах M 1 цэгийг дайран өнгөрөх χ хавтгайн a шулуунтай огтлолцох цэг юм. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай байна. Үүний дараа бид H 1 цэгийн координатыг тодорхойлох боломжтой болно. Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.
M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг олох алгоритм:
Тодорхойлолт 3
- M 1 цэгийг нэгэн зэрэг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зур
- χ хавтгайд перпендикуляр;
- цэг болох H 1 цэгийн координатыг (x 2 , y 2 , z 2) олж тооцоол.
- a шугамын χ хавтгайтай огтлолцох;
- M 1-ээс χ хүртэлх зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 томъёогоор тооцоол.
Гурав дахь зам
Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд O x y z хавтгай χ байгаа бол cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг олж авна. Эндээс M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos томъёогоор тооцоолсон χ хавтгайд татсан M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгтэй M 1 H 1 зайг олж авна. γ z - p . Энэ томьёо нь теоремын ачаар тогтоогдсон тул хүчинтэй.
Теорем
Хэрэв M 1 (x 1 , y 1 , z 1) цэг өгөгдсөн бол гурван хэмжээст орон зай, cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн χ хавтгайн хэвийн тэгшитгэлтэй бол цэгээс M 1 H 1 хавтгай хүртэлх зайг M томъёогоор тооцоолно. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, учир нь x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Баталгаа
Теоремын баталгаа нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олоход ирдэг. Эндээс бид M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх зай нь эхээс χ хавтгай хүртэлх зайтай M 1 радиус векторын тоон проекцын хоорондох зөрүүний модуль гэдгийг олж мэднэ. Дараа нь бид M 1 H 1 = n p n → O M → - p илэрхийллийг авна. χ хавтгайн хэвийн вектор нь n → = cos α, cos β, cos γ хэлбэртэй бөгөөд урт нь нэгтэй тэнцүү, n p n → O M → нь O M → = (x 1, y 1) векторын тоон проекц юм. , z 1) n → вектороор тодорхойлогдох чиглэлд.
Тооцооллын томъёог хэрэглэцгээе скаляр векторууд. Дараа нь n → = cos α , cos β , cos γ байх тул n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → хэлбэртэй векторыг олох илэрхийллийг олж авна. · z ба O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатын хэлбэроруулга нь n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, дараа нь M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β гэсэн хэлбэртэй байна. · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теорем нь батлагдсан.
Эндээс бид M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг дараах байдлаар орлуулах замаар тооцоолно. зүүн талхавтгайн хэвийн тэгшитгэл cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 оронд x, y, z координатууд x 1, y 1 ба z 1, М 1 цэгтэй холбоотой, авах үнэмлэхүй үнэ цэнэолж авсан утга.
Координаттай цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг олох жишээг авч үзье.
Жишээ 1
М 1 (5, - 3, 10) координаттай цэгээс 2 x - y + 5 z - 3 = 0 хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.
Шийдэл
Асуудлыг хоёр аргаар шийдье.
Эхний арга нь a шугамын чиглэлийн векторыг тооцоолохоос эхэлнэ. Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн тэгшитгэл 2 x - y + 5 z - 3 = 0 нь хавтгайн тэгшитгэл юм. ерөнхий үзэл, ба n → = (2, - 1, 5) нь өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор юм. Үүнийг өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр a шулуун шугамын чиглэлийн вектор болгон ашигладаг. Бичсэн байх ёстой каноник тэгшитгэл 2, - 1, 5 координаттай чиглэлийн вектор бүхий M 1 (5, - 3, 10) -аар дамжин өнгөрөх огторгуйн шулуун шугам.
Тэгшитгэл нь x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 болно.
Уулзалтын цэгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлүүдийг систем болгон зөөлөн нэгтгэж, каноникаас огтлолцсон хоёр шугамын тэгшитгэл рүү шилжинэ. Энэ цэг H 1-ийг авч үзье. Бид үүнийг ойлгодог
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( у + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Үүний дараа та системийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Гауссын системийн шийдлийн дүрэмд хандъя.
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
Бид H 1 (1, - 1, 0) -ийг авдаг.
Өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг бид тооцоолно. Бид M 1 (5, - 3, 10) ба H 1 (1, - 1, 0) оноог авч, авна.
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Хоёрдахь шийдэл нь эхлээд өгөгдсөн 2 x - y + 5 z - 3 = 0 тэгшитгэлийг багасгах явдал юм. хэвийн харагдах. Бид хэвийн болгох хүчин зүйлийг тодорхойлж, 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 авна. Эндээс 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 хавтгайн тэгшитгэлийг гаргана. Тэгшитгэлийн зүүн талыг x = 5, y = - 3, z = 10 гэж орлуулах замаар тооцоолох ба M 1 (5, - 3, 10) -аас 2 x - y + 5 z - хүртэлх зайг авах шаардлагатай. 3 = 0 модуль. Бид илэрхийлэлийг авдаг:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Хариулт: 230.
χ хавтгайг хавтгайг тодорхойлох аргуудын хэсэгт байгаа аргуудын аль нэгээр зааж өгсөн бол эхлээд та χ хавтгайн тэгшитгэлийг олж, шаардлагатай зайг дурын аргыг ашиглан тооцоолох хэрэгтэй.
Жишээ 2
Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) координаттай цэгүүдийг зааж өгсөн болно. M 1-ээс A B C хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.
Шийдэл
Эхлээд та M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () координат бүхий гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Үүнээс үзэхэд асуудал өмнөхтэй төстэй шийдэлтэй байна. Энэ нь M 1 цэгээс A B C хавтгай хүртэлх зай нь 2 30 утгатай байна гэсэн үг юм.
Хариулт: 230.
Хавтгай дээрх өгөгдсөн цэгээс эсвэл тэдгээрийн зэрэгцээ байгаа хавтгай хүртэлх зайг олоход M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p томъёог ашиглан илүү тохиромжтой. . Эндээс бид хавтгайнуудын хэвийн тэгшитгэлийг хэд хэдэн алхамаар олж авдаг.
Жишээ 3
М 1 (- 3 , 2 , - 7) координаттай өгөгдсөн цэгээс хүртэлх зайг ол. координатын хавтгай O x y z ба хавтгай, тэгшитгэлээр өгөгдсөн 2 y - 5 = 0.
Шийдэл
O y z координатын хавтгай нь x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тохирч байна. O y z онгоцны хувьд энэ нь хэвийн. Тиймээс илэрхийллийн зүүн талд x = - 3 утгыг орлуулж, M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс хавтгай хүртэлх зайны үнэмлэхүй утгыг авах шаардлагатай. Бид - 3 = 3-тай тэнцүү утгыг авна.
Хувиргасны дараа 2 y - 5 = 0 хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь y - 5 2 = 0 хэлбэртэй болно. Дараа нь та M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс 2 у - 5 = 0 хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг олж болно. Орлуулж, тооцоолсноор бид 2 - 5 2 = 5 2 - 2 болно.
Хариулт: M 1 (- 3, 2, - 7) -аас O y z хүртэлх шаардлагатай зай нь 3 утгатай, 2 y - 5 = 0 хүртэл 5 2 - 2 утгатай байна.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Хоорондын зайг тодорхойлох: 1 - цэг ба хавтгай; 2 - шулуун ба хавтгай; 3 - онгоц; 4 - эдгээр бүх асуудлын шийдлийн алгоритм нь үндсэндээ ижил бөгөөд дараахь зүйлээс бүрддэг тул огтлолцох шулуун шугамыг хамтад нь авч үздэг. геометрийн байгууламжуудөгөгдсөн А цэг ба α хавтгай хоорондын зайг тодорхойлохын тулд үүнийг хийх ёстой. Хэрэв ямар нэгэн ялгаа байгаа бол энэ нь зөвхөн 2 ба 3-р тохиолдолд асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө шулуун шугам дээр m (2-р тохиолдол) эсвэл β хавтгай дээр (3-р тохиолдол) тэмдэглэгээ хийх ёстой. дурын цэг A. Огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг тодорхойлохдоо эхлээд тэдгээрийг α ба β зэрэгцсэн хавтгайд оруулаад дараа нь эдгээр хавтгай хоорондын зайг тодорхойлно.
Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд тэмдэглэсэн тохиолдол бүрийг авч үзье.
1. Цэг ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох.
Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тухайн цэгээс хавтгайд татсан перпендикуляр хэрчмийн уртаар тодорхойлно.
Тиймээс энэ асуудлыг шийдэх арга нь дараах график үйлдлүүдийг дараалан гүйцэтгэхээс бүрдэнэ.
1) А цэгээс бид α хавтгайд перпендикулярыг буулгана (Зураг 269);
2) энэ перпендикулярын M = a ∩ α хавтгайтай огтлолцох M цэгийг ол;
3) сегментийн уртыг тодорхойлно.
Хэрэв хавтгай α ерөнхий байр суурь, дараа нь энэ хавтгайд перпендикуляр буулгахын тулд эхлээд энэ хавтгайн хэвтээ ба урд проекцын чиглэлийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ перпендикулярын хавтгайтай уулзах цэгийг олоход нэмэлт геометрийн байгууламжууд шаардлагатай.
Хэрэв α хавтгай нь проекцын хавтгайтай харьцуулахад тодорхой байр суурь эзэлдэг бол асуудлыг шийдэх аргыг хялбаршуулна. Энэ тохиолдолд перпендикулярын проекц ба түүний хавтгайтай уулзах цэгийг олох нь нэмэлт туслах байгууламжгүйгээр хийгддэг.
ЖИШЭЭ 1. А цэгээс урд талын проекц α хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 270).
ШИЙДЭЛ. А"-аар дамжуулан бид перпендикуляр l" ⊥ h 0α-ийн хэвтээ проекцийг зурж, А"-аар дамжуулан - түүний урд талын проекц l" ⊥ f 0α. M" = l" ∩ f 0α цэгийг тэмдэглэ. AM || π 2 тул [A" M"] == |AM| = d.
Үзсэн жишээнээс харахад онгоц проекцын байрлалыг эзлэх үед асуудлыг хэрхэн энгийнээр шийдэж байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Тиймээс, хэрэв эх сурвалжийн өгөгдөлд ерөнхий байрлалын хавтгайг зааж өгсөн бол шийдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө онгоцыг аливаа проекцын хавтгайд перпендикуляр байрлалд шилжүүлэх шаардлагатай.
ЖИШЭЭ 2. К цэгээс ΔАВС-аар тодорхойлсон хавтгай хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 271).
1. Бид ΔАВС онгоцыг проекцын байрлалд * шилжүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд бид xπ 2 /π 1 системээс x 1 π 3 /π 1 руу шилжинэ: шинэ x 1 тэнхлэгийн чиглэлийг гурвалжны хэвтээ хавтгайн хэвтээ проекцтой перпендикуляраар сонгоно.
2. ΔABC-ийг шинэ π 3 хавтгайд (ΔABC хавтгайг [ C " 1 B " 1 ]-д π 3 дээр төсөөлж байна).
3. K цэгийг нэг хавтгайд (K" → K" 1) төсөллөнө.
4. K" 1 цэгээр бид (K" 1 M" 1)⊥ сегментийг [C" 1 B" 1] зурна. Шаардлагатай зай d = |K" 1 M" 1 |
Түвшингийн шугамын төсөөллийг зурах шаардлагагүй тул онгоцыг ул мөрөөр тодорхойлсон тохиолдолд асуудлыг шийдэх аргыг хялбаршуулна.
ЖИШЭЭ 3. Замуудаар заасан K цэгээс α хавтгай хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 272).
* Ихэнх оновчтой аргагурвалжингийн хавтгайг проекцын байрлал руу шилжүүлэх нь проекцын хавтгайг солих арга юм, учир нь энэ тохиолдолд зөвхөн нэг туслах проекцийг бүтээхэд хангалттай.
ШИЙДЭЛ. Бид π 1 хавтгайг π 3 хавтгайгаар сольж, үүний тулд бид x 1 ⊥ f 0α шинэ тэнхлэгийг зурна. h 0α дээр бид дурын 1" цэгийг тэмдэглэж, π 3 (1" 1) хавтгай дээрх түүний шинэ хэвтээ проекцийг тодорхойлно. X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) ба 1" 1 цэгүүдээр бид h 0α 1-ийг зурна. Бид K → K" 1 цэгийн шинэ хэвтээ проекцийг тодорхойлно. K" 1 цэгээс бид h 0α 1-ийн перпендикулярыг буулгаж, h 0α 1 - M" 1-тэй огтлолцох цэгийг тэмдэглэнэ. K" 1 M" 1 сегментийн урт нь шаардлагатай зайг заана.
2. Шулуун ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох.
Шугаман ба хавтгай хоорондын зай нь шулууны дурын цэгээс хавтгайд унасан перпендикуляр сегментийн уртаар тодорхойлогддог (248-р зургийг үз).
Тиймээс шулуун шугам m ба хавтгай α хоорондын зайг тодорхойлох асуудлын шийдэл нь цэг ба хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох 1-р зүйлд дурдсан жишээнүүдээс ялгаатай биш юм (270 ... 272-р зургийг үз). Нэг цэгийн хувьд та m шулуунд хамаарах дурын цэгийг авч болно.
3. Онгоц хоорондын зайг тодорхойлох.
Онгоцны хоорондох зайг нэг хавтгайд авсан цэгээс нөгөө хавтгайд унасан перпендикуляр сегментийн хэмжээгээр тодорхойлно.
Энэ тодорхойлолтоос үзэхэд α ба β хавтгайн хоорондын зайг олох асуудлыг шийдэх алгоритм нь m шулуун ба α хавтгай хоорондын зайг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх ижил төстэй алгоритмаас зөвхөн m шулуун α хавтгайд хамаарах ёстой гэсэн утгаараа ялгаатай байна. , өөрөөр хэлбэл α ба β хавтгай хоорондын зайг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийнэ.
1) α хавтгайд m шулуун шугам авах;
2) m шулуун дээрх дурын А цэгийг сонгох;
3) А цэгээс перпендикуляр l-ийг β хавтгайд буулгана;
4) M цэгийг тодорхойлох - β хавтгайтай перпендикуляр l-ийн уулзах цэг;
5) сегментийн хэмжээг тодорхойлох.
Практикт өгөгдсөн алгоритмаас ялгаатай шийдлийн өөр алгоритмыг ашиглах нь зүйтэй бөгөөд эхний алхамыг үргэлжлүүлэхийн өмнө онгоцыг проекцын байрлалд шилжүүлэх шаардлагатай.
Энэхүү нэмэлт үйлдлийг алгоритмд оруулах нь бусад бүх цэгүүдийн гүйцэтгэлийг хялбаршуулж, эцэст нь илүү хялбар шийдэлд хүргэдэг.
ЖИШЭЭ 1. α ба β хавтгайн хоорондын зайг тодорхойл (Зураг 273).
ШИЙДЭЛ. Бид xπ 2 /π 1 системээс x 1 π 1 /π 3 руу шилждэг. -тай холбоотой шинэ онгоцπ 3 хавтгай α ба β нь проекцийн байрлалыг эзэлдэг тул шинэ урд талын f 0α 1 ба f 0β 1 хоорондын зай нь хүссэн нэг юм.
IN инженерийн практикөгөгдсөн онгоцтой параллель ба түүнээс хол байгаа онгоц барих асуудлыг шийдэх нь олонтаа заасан зай. Доорх жишээ 2 нь ийм асуудлын шийдлийг харуулж байна.
ЖИШЭЭ 2. Өгөгдсөн α (m || n) хавтгайтай параллель β хавтгайн проекцуудыг тэдгээрийн хоорондын зай d гэдгийг мэдэж байвал зохино (Зураг 274).
1. α хавтгайд дурын хэвтээ шугам h (1, 3) ба урд шугам f (1,2) зур.
2. 1-р цэгээс бид α (l" ⊥ h, l" ⊥ f") хавтгайд перпендикуляр l-ийг сэргээнэ.
3. Перпендикуляр l дээр бид дурын А цэгийг тэмдэглэв.
4. Хэсгийн уртыг тодорхойлно - (байрлал нь диаграмм дээр l шулуун шугамын хэмжигдэхүүнээр гажилтгүй чиглэлийг заана).
5. 1-р цэгээс шулуун шугам (1"A 0) дээр = d сегментийг байрлуул.
6. В 0 цэгт харгалзах l" ба l" B" ба B" цэгүүдийн төсөөлөл дээр тэмдэглэнэ.
7. В цэгээр бид β (h 1 ∩ f 1) хавтгайг зурна. β || руу α, h 1 || нөхцөлийг дагаж мөрдөх шаардлагатай h ба f 1 || е.
4. огтлолцох шугам хоорондын зайг тодорхойлох.
Огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг огтлолцох шугамууд хамаарах параллель хавтгайнуудын хооронд хаагдсан перпендикулярын уртаар тодорхойлно.
m ба f огтлолцсон шулуун шугамаар α ба β-г харилцан параллель хавтгайг зурахын тулд A цэгээр (A ∈ m) f шулуунтай параллель p шулуун, В цэгээр (B ∈ f) шулуун шугам татахад хангалттай. шулуун м-тэй параллель k шулуун шугам. m ба p, f ба k огтлолцох шугамууд нь харилцан параллель α ба β хавтгайг тодорхойлно (Зураг 248, e-г үз). α ба β хавтгайн хоорондох зай нь m ба f огтлолцох шугамын хоорондох шаардлагатай зайтай тэнцүү байна.
Огтлолцсон шугамын хоорондох зайг тодорхойлох өөр нэг аргыг санал болгож болох бөгөөд энэ нь ямар нэгэн хувиргах аргыг ашиглах явдал юм. ортогональ проекцуудогтлолцох шугамын аль нэгийг проекцын байрлалд шилжүүлнэ. Энэ тохиолдолд шугамын нэг проекц нь цэг болон хувирдаг. Хөндлөнгийн шугамын шинэ төсөөллийн хоорондох зай (A" 2 цэг ба сегмент C" 2 D" 2) шаардлагатай зай юм.
Зураг дээр. 275-т [AB] ба [CD] сегментүүдийг өгөгдсөн a ба b шугамын хоорондох зайг тодорхойлох асуудлыг шийдэх шийдлийг харуулав. Уусмалыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.
1. Хөндлөнгийн шугамуудын аль нэгийг (a) байрлал руу шилжүүлнэ хавтгайтай зэрэгцээπ 3; Үүний тулд тэдгээр нь xπ 2 /π 1 проекцын хавтгайн системээс шинэ x 1 π 1 /π 3 руу шилжин, x 1 тэнхлэг нь шулуун а-ын хэвтээ проекцтой параллель байна. a" 1 [A" 1 B" 1 ] ба b" 1-ийг тодорхойлно.
2. π 1 хавтгайг π 4 хавтгайгаар сольсноор бид шулуун шугамыг хөрвүүлнэ.
мөн a" 2-ыг байрлуулах, хавтгайд перпендикулярπ 4 (шинэ x 2 тэнхлэгийг "1"-т перпендикуляр зурсан).
3. b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] шулуун шугамын хэвтээ проекцийг шинээр байгуул.
4. А" 2 цэгээс шулуун шугам C" 2 D" 2 (сегмент (А" 2 М" 2 ]) хүртэлх зай (шаардлагатай.
Хөндлөнгийн шугамын аль нэгийг проекцын байрлал руу шилжүүлэх нь a ба b шугамыг хавсаргаж болох параллелизмын хавтгайг мөн проекцын байрлал руу шилжүүлэхээс өөр зүйл биш гэдгийг санах нь зүйтэй.
Үнэн хэрэгтээ, a шугамыг π 4 хавтгайд перпендикуляр байрлалд шилжүүлснээр бид a шулууныг агуулсан аливаа хавтгай π 4 хавтгайд перпендикуляр байхыг баталгаажуулж, үүнд a ба m шугамаар тодорхойлогдсон α хавтгай (a ∩ m, m | |. b). Хэрэв бид одоо n шулууныг а-тай параллель, b шулуунтай огтлолцвол a ба b огтлолцох шулуунуудыг агуулсан параллелизмын хоёр дахь хавтгай болох β хавтгайг олж авна. β || оноос хойш α, дараа нь β ⊥ π 4 .
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
- Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
