Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд (цаашид SP гэх). Эрхэм найзууд аа! Математикийн шалгалт нь векторыг шийдвэрлэх хэд хэдэн асуудлыг багтаасан болно. Бид аль хэдийн зарим асуудлыг авч үзсэн. Та тэдгээрийг "Векторууд" ангилалаас харж болно. Ерөнхийдөө векторын онол бол төвөгтэй зүйл биш, гол зүйл бол үүнийг тууштай судлах явдал юм. Вектортой хийх тооцоо, үйлдлүүд сургуулийн курсМатематик нь энгийн, томъёо нь төвөгтэй биш юм. Хараад үзээрэй. Энэ нийтлэлд бид векторуудын SP-ийн асуудлуудыг шинжлэх болно (Улсын нэгдсэн шалгалтанд орсон). Одоо онолд "бүртэх":

Х Векторын координатыг олохын тулд түүний төгсгөлийн координатаас хасах хэрэгтэйтүүний гарал үүслийн харгалзах координатууд

Бас нэг зүйл:

*Векторын уртыг (модуль) дараах байдлаар тодорхойлно.

Эдгээр томъёог санаж байх ёстой !!!

Векторуудын хоорондох өнцгийг харуулъя.

Энэ нь 0-ээс 180 0 хооронд хэлбэлзэж болох нь тодорхой байна(эсвэл 0-ээс Пи хүртэл радианаар).

Бид скаляр бүтээгдэхүүний тэмдгийн талаар зарим дүгнэлт хийж болно. Векторын урт нь эерэг утга, энэ нь ойлгомжтой. Энэ нь скаляр үржвэрийн тэмдэг нь векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын утгаас хамаарна гэсэн үг юм.

Боломжит тохиолдлууд:

1. Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг хурц байвал (0 0-ээс 90 0 хүртэл) өнцгийн косинус эерэг утгатай байна.

2. Хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо (90 0-ээс 180 0 хүртэл) байвал өнцгийн косинус сөрөг утгатай байна.

*Тэг градуст, өөрөөр хэлбэл векторууд ижил чиглэлтэй үед косинус нэгтэй тэнцүүҮүний дагуу үр дүн нь эерэг байх болно.

180 o үед, өөрөөр хэлбэл векторууд байх үед эсрэг чиглэлүүд, косинус нь хасах нэгтэй тэнцүү,Үүний дагуу үр дүн нь сөрөг байх болно.

Одоо ЧУХАЛ ЦЭГ!

90 o үед өөрөөр хэлбэл векторууд хоорондоо перпендикуляр байх үед косинус тэгтэй тэнцүү, тиймээс SP нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ баримт (үр дагавар, дүгнэлт) нь бидний ярьж буй олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг харьцангуй байрлалвекторууд, үүнд багтсан асуудалд орно нээлттэй банкматематикийн даалгавар.

Эдгээр векторууд перпендикуляр шулуун дээр байгаа тохиолдолд л скаляр үржвэр тэгтэй тэнцүү байна гэсэн мэдэгдлийг томъёолъё.

Тиймээс, SP векторуудын томъёо:

Хэрэв векторуудын координатууд эсвэл тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатууд мэдэгдэж байвал векторуудын хоорондох өнцгийг бид үргэлж олж чадна.

Даалгавруудыг авч үзье:

27724 a ба b векторуудын скаляр үржвэрийг ол.

Векторуудын скаляр үржвэрийг бид хоёр томъёоны аль нэгийг ашиглан олж болно.

Векторуудын хоорондох өнцөг тодорхойгүй боловч бид векторуудын координатыг хялбархан олж, дараа нь эхний томъёог ашиглана. Хоёр векторын гарал үүсэл нь координатын гарал үүсэлтэй давхцдаг тул эдгээр векторуудын координатууд нь тэдгээрийн төгсгөлийн координатуудтай тэнцүү байна.

Векторын координатыг хэрхэн олох талаар тайлбарласан болно.

Бид тооцоолно:

Хариулт: 40

Векторуудын координатыг олоод дараах томъёог ашиглана.

Векторын координатыг олохын тулд векторын төгсгөлийн координатаас түүний эхлэлийн харгалзах координатыг хасах шаардлагатай.

Бид скаляр үржвэрийг тооцоолно:

Хариулт: 40

a ба b векторуудын хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

Векторуудын координатууд дараах хэлбэртэй байна.

Векторуудын хоорондох өнцгийг олохын тулд векторуудын скаляр үржвэрийн томъёог ашиглана.

Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус:

Тиймээс:

Эдгээр векторуудын координатууд тэнцүү байна:

Тэдгээрийг томъёонд орлъё:

Векторуудын хоорондох өнцөг нь 45 градус байна.

Хариулт: 45

Холбооны боловсролын агентлаг

Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага Санкт-Петербург улсын уул уурхайн хүрээлэнгийн нэрэмжит. Г.В.Плеханова

(техникийн их сургууль)

А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян

Фурье цуврал. Фурье интеграл.

Үйл ажиллагааны тооцоо

Сургалт, арга зүйн гарын авлага

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

UDC 512 + 517.2 (075.80)

Сургалт, арга зүйн гарын авлага нь Фурье цувралын өргөтгөл эсвэл Фурье интегралаар дүрслэх функцийг шинжлэх практик ур чадвар эзэмшүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд өдрийн болон цагийн оюутнуудын бие даан ажиллахад зориулагдсан болно.

Энэхүү гарын авлагад үйл ажиллагааны тооцооллын үндсэн асуудлууд болон үйл ажиллагааны тооцооллын үндсийг ашиглан өргөн хүрээний техникийн асуудлуудыг авч үздэг.

Шинжлэх ухааны редактор проф. . А.П. Господариков

Шүүгчид: хэлтэс дээд математик№1 Санкт-Петербург улсын цахилгаан техникийн их сургууль; Физик, математикийн ухааны доктор шинжлэх ухаан В.М. Чистяков(Санкт-Петербург Улсын Политехникийн Их Сургууль).

Господариков А.П.

G723. Фурье цуврал. Фурье интеграл. Үйл ажиллагааны тооцоо: Сургалт, арга зүйн гарын авлага / А.П. Господариков,Г.А. Колтон,С.А. Хачатрян; Санкт-Петербург улсын уул уурхайн дээд сургууль (Техникийн их сургууль). Санкт-Петербург, 2005. 102 х.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

Танилцуулга

Фурьегийн онолоос харахад физик, техникийн болон бусад системд тодорхой нөлөө үзүүлснээр түүний үр дүн нь зөвхөн масштабын хүчин зүйлээр ялгаатай анхны оролтын дохионы хэлбэрийг давтдаг болохыг мэддэг. Систем нь ийм дохионд (тэдгээрийг өөрийн гэж нэрлэдэг) хамгийн энгийн байдлаар хариу үйлдэл үзүүлэх нь тодорхой байна. Хэрэв дурын оролтын дохио нь өөрийн дохионы шугаман хослол бөгөөд систем нь шугаман байвал системийн энэхүү дурын дохионд үзүүлэх хариу үйлдэл нь өөрийн дохионы хариу урвалын нийлбэр юм. Гэх мэт бүрэн мэдээлэлСистемийн талаарх мэдээллийг түүний "барилгын блок"-оос авах боломжтой - системийн өөрийн оролтын дохионы хариу үйлдэл. Энэ нь жишээлбэл, системийн давтамжийн хариу урвалыг (дамжуулах функц) нэвтрүүлэх үед цахилгаан инженерчлэлд хийгддэг. Хамгийн энгийн шугаман, цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөггүй системүүдийн хувьд (жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий энгийн дифференциал тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн) зарим тохиолдолд хувийн функцууд нь хэлбэрийн гармоникууд байдаг. Ийнхүү гармоникуудын шугаман хослол хэлбэрээр (ерөнхий тохиолдолд Фурье цуврал эсвэл Фурье интеграл хэлбэрээр) системд дур зоргоороо нөлөөлөх үр дүнг олж авах боломжтой. . Энэ нь онол, хэрэглээнд тригонометрийн цуваа (Фурьегийн цуврал) эсвэл Фурьегийн интеграл гэсэн ойлголтыг ашиглах шаардлагатай болсон шалтгаануудын нэг юм.

Бүлэг 1. Фурье цуврал

§ 1. Вектор орон зай

Энд байна товч мэдээлэлФурье цувралын онолын үндсэн зарчмуудыг илүү сайн ойлгоход шаардлагатай вектор алгебраас.

Векторуудын тэгш байдлын тухай ойлголтыг ердийн аргаар нэвтрүүлсэн геометрийн векторуудын  багцыг (векторын орон зай) авч үзье. шугаман үйлдлүүд(вектор нэмэх, хасах, векторыг тоогоор үржүүлэх) болон векторыг скаляр үржүүлэх үйлдлүүд.

Гурван хос ортогональ вектороос бүрдэх  орон зайд ортогональ суурийг нэвтрүүлье. ,Тэгээд . Чөлөөт вектор
суурь векторуудын шугаман хослол юм:

. (1.1)

Коэффициент  би (би= 1, 2, 3), вектор координат гэж нэрлэдэг суурьтай харьцуулахад
, дараах байдлаар тодорхойлж болно. Векторын цэгэн үржвэр ба суурь векторуудын нэг

.

Суурийн ортогональ байдлаас шалтгаалан скаляр бүтээгдэхүүнүүд
цагт
, тиймээс, сүүлийн тэгш байдлын баруун талд зөвхөн нэг гишүүн тэгээс өөр, харгалзах болно
, Тийм учраас
, хаана

, (1.2)

Хаана
.

Хэрэв векторууд Тэгээд тэдгээрийн координатаар өгөгдсөн
Тэгээд
, дараа нь тэдгээрийн скаляр үржвэр

.

Хэзээнээс
цэгийн бүтээгдэхүүн
, тэгвэл давхар нийлбэрт зөвхөн ижил индекстэй нөхцөлүүд тэгээс өөр байна

Ялангуяа хэзээ
(1.3)-аас дараах байдалтай байна

. (1.4)

§ 2. Функцийн дотоод бүтээгдэхүүн ба норм

Тэмдгээр тэмдэглэе
интервал дээр хэсэгчлэн үргэлжилдэг функцүүдийн багц [ а, б], i.e. интервал дээр байх функцууд [ а, б] эхний төрлийн хязгаарлагдмал тооны хязгаарлагдмал цэгүүд ба энэ интервалын бусад бүх цэгүүдэд үргэлжилдэг.

Функцийн цэгийн үржвэр
дуудсан дугаар

.

Функцийн скаляр үржвэрийн шинж чанарууд векторуудын скаляр үржвэрийн шинж чанаруудтай бүрэн давхцдаг.

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Тиймээс цэгийн бүтээгдэхүүн нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс шугаман хамааралтай байдаг. Энэ шинж чанарыг скаляр бүтээгдэхүүний хоёр шугаман чанар гэж нэрлэдэг.

Функцүүд
ортогональ гэж нэрлэдэг
дээр [ а, б], Хэрэв
.

Үйл ажиллагааны норм
хооронд [а, б]-г сөрөг бус тоо гэнэ , түүний квадрат нь функцийн скаляр үржвэртэй тэнцүү байна өөртөө:

.

Функцийн нормын шинж чанарууд вектор модулийн шинж чанаруудтай ихэвчлэн давхцдаг:

1.
.

2. Хэрэв функц
үргэлжилсээр байна [ а, б] Мөн
, Тэр
. Учир нь
, тэгээд хэзээ

,

хаана
. Сүүлчийн харьцааг ялгах Барроугийн теоремыг хэрэглэснээр бид олж авна
улмаар,
.

3. Ткосинусын теорем .


.

Үр дагавар. Хэрэв
, Тэр
(Пифагорын теорем).

4. Пифагорын ерөнхий теорем.Хэрэв функцууд (к = = 1, 2, …, n) интервал дээр хос ортогональ байна
, Тэр

.

Скаляр бүтээгдэхүүний хоёр шугаман байдлын шинж чанарыг ашиглан бид олж авна

Функцуудын ортогональ байдлаас шалтгаалан цэгэн бүтээгдэхүүн
цагт
, Тийм учраас

.

5. nКоши-Буняковскийн тэгш байдал
, эсвэл, ижил зүйл юу вэ,

.

Ямар ч бодитой

Тиймээс, квадрат гурвалжинсүүлчийн тэгш бус байдлын зүүн талд тэмдэг нь бүхэл бүтэн бодит тэнхлэгт хадгалагдана, тиймээс түүний ялгагч
.

Дасгал 1. 1-3-р функцийн скаляр үржвэрийн шинж чанарыг батал.

Дасгал 2. Дараах мэдэгдлийн үнэн зөвийг харуул.

а) функц
функцүүдэд ортогональ
Тэгээд
хооронд
дурын бүхэл тоонуудын хувьд кТэгээд м;

б) дурын бүхэл тоонуудын хувьд кТэгээд мфункцууд
Тэгээд
интервал дээр ортогональ
;

в) функцууд
Тэгээд
, мөн түүнчлэн
Тэгээд
цагт
интервал дээр ортогональ
Тэгээд
;

г) функцууд
Тэгээд
интервал дээр ортогональ биш
.

Дасгал 3. Норм шинж чанар 5-ыг ашиглан гурвалжны тэгш бус байдлыг батал

.

Одоо скаляр бүтээгдэхүүн ба нормын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе. Тэгш бус байдлыг ашиглаад бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Одоо гурвалжны дүрэм гэж нэрлэгддэг дүрмийг баталцгаая

Бидэнд:

эсвэл (128)-ыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

үүнээс үүдэлтэй (129).

Энэ асуудлын төгсгөлд бид координатын системийг сонгох нь орон зайн хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл векторын уртын квадратыг илэрхийлэхэд ямар нөлөө үзүүлэхийг авч үзэх болно. Үндсэн декартын оронд бид авсан гэж үзье шинэ системкоординат ба бид зарим бие даасан векторуудыг үндсэн вектор болгон авдаг

Аливаа векторын хувьд бид дараах байдалтай байна:

шинэ координатын системд түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд хаана байна.

Энэ векторын квадрат уртыг вектор ба өөрөө скаляр үржвэрээр илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл.

Дээрх томъёоны дагуу үүнийг өргөжүүлбэл векторын уртын квадратыг дараах илэрхийлэлтэй болгоно.

Энд коэффициентүүд нь томъёогоор тодорхойлогддог

Дүрсүүдийг дахин цэгцлэх үед тэдгээр нь коньюгат болох нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл.

Нөхцөл (131)-ийг хангасан коэффициент бүхий (130) хэлбэрийн нийлбэрийг ихэвчлэн Гермит хэлбэр гэж нэрлэдэг. Нөхцөл (131)-ийн дагуу (130) хэлбэрийн аливаа илэрхийлэл нь бүх боломжит цогцолбор цогцолборуудын хувьд зөвхөн бодит утгатай байх нь нэн даруй тодорхой байна, учир нь нийлбэрийн хоёр гишүүнд (130) хосолсон байх болно. хэлбэр, нөхцөл (131)-ын дагуу коэффициентүүд бодит байх болно. Нэмж дурдахад, Гермит хэлбэрийг барьж байгуулснаар энэ тохиолдолдБид нийлбэр (130) нь сөрөг биш байх ба хүн бүр тэг байхад л алга болно гэж хэлж болно. Формула (130) нь шинэ координатын систем дэх орон зайн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлдог.

Метрик (130) нь харгалзах хэмжигдэхүүнтэй (110) давхцах болно Декарт систем, хэрэв at эсвэл at бол өөрөөр хэлбэл, хэрэв бидний нэгж вектор болгон авсан векторууд нь харилцан ортогональ нэгжийн багш нар (нэг урттай) байх болно.

Дараах зүйлд харилцан ортогональ ба аливаа систем нэгж векторуудБид үүнийг ортонормаль систем гэж нэрлэх болно.

Хэрэв (113) томъёо нь векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэгдмэл хувирлыг тодорхойлсон бол өмнөх нэгж векторуудаас шинэ вектор руу шилжихэд тохирох хувиргалтыг хүснэгтээр өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.

зөрчилтэй U. Энэ тохиолдолд (123)-ын улмаас энэ хүснэгт нь U хүснэгттэй давхцах бөгөөд бодит байдал дээр ортогональ хувиргалтЭнэ нь зүгээр л U-тай давхцах болно.

Өргөдөл. 1. Функцийн цэгийн үржвэр.

1. Функцийн цэгийн үржвэр.

Сегмент дээр тавь [ а, б] дээр квадрат интегралдах функцүүдийн систем өгөгдсөн. а, б]:

у 0 (x), у 1 (x), у 2 (x), …, у н(x), …, (1)

Элементүүдийн хооронд хэрхэн адилхан вектор орон зайтанилцуулсан цэгийн бүтээгдэхүүний үйл ажиллагаа хос вектортой таарч байгаа векторууд зай өгсөнзарим тоо - скаляр , мөн энэ функцын системийн элементүүдийн хооронд чи би(x), у ж(x) функцүүдийн скаляр үржвэрийн үйлдлийг тодорхойлж болно, үүнийг доор тэмдэглэв (( чи би(x), у ж(x)).

Тодорхойлолтоор элементүүдийн хоорондох скаляр бүтээгдэхүүний үйл ажиллагаа x , y Тэгээд zзарим зай (үүнд функцүүдийн системийн элементүүдийн хооронд) байх ёстой дараах шинж чанарууд:

Функцийн орон зайн элементүүдийн хоорондох цэгийн үржвэр чи би(x), у ж(x) би, j= 0, 1, 2,..., [ дээр интегралдах боломжтой а, б] квадраттай, нэгтгэх үйлдлийг ашиглан оруулна:

Тодорхойлолт 1. Систем (1) байна функцүүдийн ортогональ систем сегмент дээр [ а, б], хэрэв хоёр функц байвал чи би(x), у ж(x), би, j= 0, 1, 2, ... өгөгдсөн системийн
ортогональ (бие биедээ) дээр [ а, б].

Тодорхойлолт 2. Хоёр функцийг дуудъя чи би(x), у ж(x), би, j= 0, 1, 2, ... систем (1)
ортогональ сегмент дээр [ а, б], хэрэв тэдгээрийн скаляр үржвэрийн хувьд дараах нөхцөл хангагдсан бол:

(4)

Тоо - дуудсан функциональ норм чи би(x).

Хэрэв бүх функц ажилладаг бол чи би(x) байна нэг хувь , өөрөөр хэлбэл

л би = 1, би = 0, 1, 2, ... (5)

функцын систем (1) нь [-д ортогональ байна. а, б], тэгвэл ийм системийг дуудна
ортонормаль эсвэл хэвийн сегмент дэх ортогональ систем [ а, б].

Хэрэв функцүүдийн хэвийн байдлын нөхцөлүүд эхэндээ хангагдаагүй бол (1) системээс шаардлагатай бол (6) систем рүү шилжиж болно, энэ нь мэдээж хэвийн байх болно.

, би = 0, 1, 2, ... (6)

Үл хөдлөх хөрөнгөөс гэдгийг анхаарна уу ортогональ байдал зарим системийн элементүүд, тэдгээр нь байх ёстой шугаман бие даасан байдал , өөрөөр хэлбэл дараах мэдэгдэл үнэн байна: Ямар ч ортогональ системтэг биш векторууд(элементүүд)шугаман бие даасан байна.

2 .Суурийн функцүүдийн тухай ойлголт.

Хичээлээс шугаман алгебрТа вектор орон зайд орж болно гэдгийг мэднэ вектор суурь- өгөгдсөн вектор орон зайн аль ч вектор байж болох векторуудын багц цорын ганц арга замсуурь векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлэгдэнэ. Үүний зэрэгцээ суурь векторуудын аль нь ч үлдсэн суурь векторуудын хязгаарлагдмал шугаман хослолоор дүрслэгдэх боломжгүй (суурь векторуудын шугаман бие даасан байдал).

Жишээлбэл, дурын вектор гурван хэмжээст орон зайг үндсэн векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно :

= .

Хаана а, б, Мөн в- зарим тоо. Мөн улмаас шугаман бие даасан байдалсуурь векторуудын (orthogonality). векторуудын аль нь ч тус тусдаа үлдсэн суурь векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдэх боломжгүй.

Дээрхтэй төстэй, сансарт олон гишүүнт функцууд, өөрөөр хэлбэл -аас ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт орон зайд n:

Pn(x) = а 0 + а 1 x + а 2 x 2 + … + a n x n. (7)

-аас үндэслэлийг танилцуулж болно энгийн олон гишүүнт (заалт) функцууд :

x 0 , x, x 2 , x 3 , …, x n(8)

Түүнээс гадна үндсэн функцууд (8) нь шугаман хамааралгүй, өөрөөр хэлбэл. (8) үндсэн функцүүдийн аль нь ч үлдсэн үндсэн функцүүдийн шугаман хослолоор дүрслэгдэх боломжгүй. Түүгээр ч зогсохгүй аливаа зэрэглэлийн олон гишүүнт түүнээс ихгүй байх нь ойлгомжтой n(7) хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно, i.e. үндсэн функцүүдийн шугаман хослол хэлбэрээр (8).

j i(x) = г би(х-а) би + (х-а)i+ 1 , би= 1, 2, …, n(9)

Үүний тайлбарыг зарим талаараа олны танил хүмүүс өгдөг математик шинжилгээВейерштрассын теорем, үүний дагуу [ интервал дээрх аливаа тасралтгүй шугам а, б] функц е(x) байж магадгүй" Сайн байна» нь энэ сегмент дээр зарим олон гишүүнтээр ойролцоолсон Pn(x) градус n, өөрөөр хэлбэл зэргийг нэмэгдүүлэх nолон гишүүнт Pn(x), энэ нь үргэлж таны хүссэнээр ойр байж болно тохирох тасралтгүй функце(x).

Аливаа олон гишүүнийг (8) эсвэл (9) төрлийн суурь олон гишүүнт функцүүдийн шугаман хослол хэлбэрээр төлөөлж болох тул Вейерштрассын теоремоор тасралтгүй (өөрөөр хэлбэл хоёр дахин дифференциалагдах функц нь шийдэл) болно. дифференциал тэгшитгэлХоёрдахь дараалал) -ийг хоёр дахин ялгах, хос шугаман хамааралгүй суурь функцүүдийн шугаман хослолоор (9) төлөөлж болно.

Сэдвийн талаархи асуултууд

"Энгийн хувьд хилийн утгын асуудлыг ойролцоогоор шийдвэрлэх арга
дифференциал тэгшитгэл".

(Лекц 25 - 26)

1. Үндсэн тодорхойлолтууд: Шугаман тохиргоо хил хязгаарын асуудалхоёр дахь дарааллын ODE-ийн хувьд; хилийн бодлогын төрөл, ангилал.

2. Хилийн утгын асуудлыг багасгах арга анхны даалгавар : асуудлын мэдэгдэл; харах арга; бууруулах арга; дифференциал шүүрдэх арга.

3. Төгсгөлийн ялгаа арга: асуудлын мэдэгдэл; хилийн утгын асуудлыг шийдвэрлэх хязгаарлагдмал ялгаа аргын түгээмэл байдал; Гурвалсан бүтэцтэй матрицтай SALU-ийн хилийн утгын бодлогыг багасгахын тулд деривативын ойролцоо тооцооллын төрлийг сонгох.

4. Интерполяцийн арга буюу collocation арга: үндсэн функцүүдийн шугаман хослол хэлбэрээр ойролцоо шийдлийг хайх, хилийн нөхцлийг хангах үндсэн функцүүдэд тавигдах шаардлага; зангилааны зангилааны нарийн ба ойролцоо шийдлүүдийн давхцлын нөхцөл дээр үндэслэн шугаман хослолын коэффициентийг хайх; үндсэн функцүүдийн сонголт.

5. Галеркины арга- Галеркины аргын онолын үндсэн ойлголтууд. Шугаман хослол хэлбэрээр ойролцоо шийдлийг олох суурь функцууд , үндсэн функцүүдэд тавигдах шаардлага. Багасгах нөхцлөөс ойролцоогоор шийдлийн төрлийг тодорхойлдог шугаман хослолын коэффициентийг сонгох үлдэгдэл , яг шийдлийг сольсонтой холбоотой дифференциал асуудалхүссэн ойролцоо шийдэл.