Геометрийн прогресс математикийн хувьд арифметиктай харьцуулахад чухал ач холбогдолтой биш юм. Геометр прогресс гэдэг нь b1, b2,..., b[n] тоонуудын дараалал бөгөөд дараагийн гишүүн бүр нь өмнөхийг нь үржүүлээд гарна. тогтмол тоо. Өсөлт, бууралтын хурдыг тодорхойлдог энэ тоог мөн нэрлэдэг геометр прогрессийн хуваагчболон тэмдэглэнэ
Учир нь бүрэн даалгаваргеометр прогрессийн хувьд хуваагчаас гадна түүний эхний гишүүнийг мэдэх эсвэл тодорхойлох шаардлагатай. Учир нь эерэг утгахуваагч прогресс байна нэг хэвийн дараалал, хэрэв энэ тоон дараалал нь нэг хэвийн буурч байгаа бол нэг хэвийн нэмэгдэж байгаа бол. Тохиолдол нь хуваагч нэгтэй тэнцүүпрактикт авч үзэхгүй, учир нь бидэнд дараалал байдаг ижил тоо, мөн тэдгээрийн нийлбэр нь практик сонирхолгүй юм
Геометр прогрессийн ерөнхий нэр томъёотомъёогоор тооцоолно
Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртомъёогоор тодорхойлно
Шийдвэрүүдийг авч үзье сонгодог асуудлуудгеометр прогресс руу. Ойлгомжтой хамгийн энгийн зүйлээс эхэлье.
Жишээ 1. Геометр прогрессийн эхний гишүүн 27, хуваагч нь 1/3. Геометр прогрессийн эхний зургаан гишүүнийг ол.
Шийдэл: Асуудлын нөхцөлийг маягтанд бичье
Тооцооллын хувьд бид геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашигладаг
Үүний үндсэн дээр бид прогрессийн үл мэдэгдэх нөхцөлүүдийг олдог
Таны харж байгаагаар геометрийн прогрессийн нөхцөлийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. Прогресс нь өөрөө иймэрхүү харагдах болно
Жишээ 2. Геометр прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: 6; -12; 24. Хуваагч ба түүний долоо дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл: Бид геометрийн прогрессийн хуваагчийг түүний тодорхойлолт дээр үндэслэн тооцоолно
Бид хуваагч нь -2-той тэнцүү хувьсах геометрийн прогрессийг олж авлаа. Долоо дахь гишүүнийг томъёогоор тооцоолно
Энэ нь асуудлыг шийддэг.
Жишээ 3. Геометр прогрессийг хоёр гишүүнээр нь өгөв 
. Прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
Шийдэл:
Үүнийг бичээд үзье утгыг тохируулахтомъёогоор дамжуулан
Дүрэм журмаар бол хуваагчийг олж, дараа нь хайх хэрэгтэй хүссэн үнэ цэнэ, гэхдээ арав дахь удаагаа бидэнд байна
Оролтын өгөгдөлтэй энгийн заль мэх дээр үндэслэн ижил томъёог олж авч болно. Цувралын зургаа дахь гишүүнийг нөгөөд хуваавал үр дүнд нь бид олж авна
Хэрэв үр дүнгийн утгыг зургаа дахь гишүүнээр үржүүлбэл бид арав дахь хэсгийг авна
Тиймээс, төлөө ижил төстэй даалгаваруудэнгийн хувиргалтыг ашиглан хурдан аргата зөв шийдлийг олох боломжтой.
Жишээ 4. Геометрийн прогрессийг давтагдах томьёогоор тодорхойлно
Геометр прогрессийн хуваагч ба эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:
Өгөгдсөн өгөгдлийг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичье
Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваах замаар хуваагчийг илэрхийл
Эхний тэгшитгэлээс прогрессийн эхний гишүүнийг олъё
Геометр прогрессийн нийлбэрийг олохын тулд дараах таван гишүүнийг тооцоолъё
Математик бол юу юмхүмүүс байгальд болон өөрсдийгөө захирдаг.
Зөвлөлтийн математикч, академич A.N. Колмогоров
Геометрийн прогресс.
Математикийн элсэлтийн шалгалтад арифметик прогрессийн бодлоготой зэрэгцэн геометр прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой асуудлууд нийтлэг гардаг. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та геометрийн прогрессийн шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг ашиглах чадвар сайтай байх хэрэгтэй.
Энэ нийтлэл нь геометрийн прогрессийн үндсэн шинж чанаруудын танилцуулгад зориулагдсан болно. Ердийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээг энд бас оруулсан болно., Математикийн элсэлтийн шалгалтын даалгавраас зээлсэн.
Эхлээд геометрийн прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг тэмдэглэж, хамгийн ихийг эргэн санацгаая чухал томъёонуудболон мэдэгдэл, энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.
Тодорхойлолт.Хоёр дахь тооноос эхлэн тоо бүр өмнөхтэй нь тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлбэл тооны дарааллыг геометр прогресс гэнэ. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.
Геометрийн прогрессийн хувьдтомъёонууд хүчинтэй байна
, (1)
Хаана. Формула (1)-ийг томъёо гэж нэрлэдэг ерөнхий гишүүнгеометр прогресс, томьёо (2) нь геометр прогрессийн үндсэн шинж чанарыг илэрхийлдэг: прогрессийн гишүүн бүр түүний хөрш гишүүдийн геометрийн дундажтай давхцдаг ба .
Анхаар, Чухамхүү энэ шинж чанараасаа болоод прогрессийг "геометрийн" гэж нэрлэдэг.
Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар ерөнхийлсөн болно.
, (3)
Хэмжээг тооцоолохын тулдэхлээд геометр прогрессийн гишүүдтомъёог хэрэглэнэ
Хэрэв бид тэмдэглэвэл, тэгвэл
Хаана. Учир нь томъёо (6) нь (5) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.
Хэзээ болон тохиолдолд геометрийн прогрессхязгааргүй буурч байна. Хэмжээг тооцоолохын тулдХязгааргүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүний томъёог ашиглана
. (7)
Жишээлбэл , (7) томъёог ашиглан бид харуулж чадна, Юу
Хаана. Эдгээр тэгшитгэлийг (7) томъёоноос , (эхний тэгш байдал) ба , (хоёр дахь тэгш байдал) гэсэн нөхцлөөр олж авна.
Теорем.Хэрэв бол
Баталгаа. Хэрэв бол
Теорем нь батлагдсан.
"Геометр прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг авч үзье.
Жишээ 1.Өгөгдсөн: , ба . олох.
Шийдэл.Хэрэв бид (5) томъёог хэрэглэвэл
Хариулт: .
Жишээ 2.Байг. олох.
Шийдэл.ба учраас бид (5), (6) томъёог ашиглаж, тэгшитгэлийн системийг олж авна
(9) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваавал, дараа нь эсвэл . Үүнээс үүдэн гарч байна . Хоёр тохиолдлыг авч үзье.
1. Хэрэв, дараа нь (9) системийн эхний тэгшитгэлээс бид байна.
2. Хэрэв , тэгвэл .
Жишээ 3. Let , and . олох.
Шийдэл.Томъёо (2)-аас энэ нь эсвэл . Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл .
Нөхцөлөөр. Гэсэн хэдий ч, тиймээс. Түүнээс хойш ба тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна
Хэрэв системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваавал эсвэл .
Учир нь тэгшитгэл нь өвөрмөц тохиромжтой язгууртай. Энэ тохиолдолд энэ нь системийн эхний тэгшитгэлээс хамаарна.
(7) томъёог харгалзан бид олж авна.
Хариулт: .
Жишээ 4.Өгөгдсөн: ба . олох.
Шийдэл.Түүнээс хойш.
Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл
(2) томъёоны дагуу бид . Үүнтэй холбогдуулан (10) тэгш байдлаас бид эсвэл .
Гэсэн хэдий ч нөхцөлөөр, тиймээс.
Жишээ 5.Энэ нь мэдэгдэж байна. олох.
Шийдэл. Теоремын дагуу бид хоёр тэнцүү байна
Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл . Учир нь .
Хариулт: .
Жишээ 6.Өгөгдсөн: ба . олох.
Шийдэл.Томьёог (5) харгалзан бид олж авна
Түүнээс хойш. Түүнээс хойш , ба , дараа нь .
Жишээ 7.Байг. олох.
Шийдэл.(1) томъёоны дагуу бид бичиж болно
Иймээс бидэнд эсвэл . Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд , тиймээс ба .
Хариулт: .
Жишээ 8.Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн хуваагчийг ол
Мөн .
Шийдэл. Томъёо (7)-аас энэ нь дараах байдалтай байнаТэгээд . Эндээс болон асуудлын нөхцлөөс бид тэгшитгэлийн системийг олж авна
Хэрэв системийн эхний тэгшитгэл квадрат бол, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд хуваана, тэгвэл бид авна
Эсвэл .
Хариулт: .
Жишээ 9., , дараалал нь геометрийн прогресс болох бүх утгыг ол.
Шийдэл. Let , and . Геометр прогрессийн үндсэн шинж чанарыг тодорхойлсон (2) томъёоны дагуу бид эсвэл гэж бичиж болно.
Эндээс бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна, хэний үндэсМөн .
Шалгаж үзье: хэрэв, дараа нь , ба ; хэрэв , дараа нь , ба .
Эхний тохиолдолд бидэнд байнаболон , хоёр дахь нь – ба .
Хариулт: , .
Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд
, (11)
хаана болон.
Шийдэл. Зүүн талтэгшитгэл (11) нь хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд үүнд ба нь: ба .
Томъёо (7)-аас энэ нь дараах байдалтай байна, Юу . Үүнтэй холбогдуулан тэгшитгэл (11) хэлбэрийг авнаэсвэл . Тохиромжтой үндэс квадрат тэгшитгэлбайна
Хариулт: .
Жишээ 11.П тууштай байдал эерэг тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг, А - геометрийн прогресс, энэ нь ямар холбоотой вэ . олох.
Шийдэл.Учир нь арифметик дараалал, Тэр (арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар). Учир нь, дараа нь эсвэл . Энэ нь гэсэн үг, геометр прогресс нь хэлбэртэй байна. Томъёоны дагуу (2), дараа нь бид үүнийг бичнэ.
Түүнээс хойш, дараа нь . Энэ тохиолдолд илэрхийлэлэсвэл хэлбэрийг авдаг. Нөхцөлөөр, тэгшитгэлээс.бид авдаг цорын ганц шийдвэравч үзэж буй асуудал, өөрөөр хэлбэл .
Хариулт: .
Жишээ 12.Нийлбэрийг тооцоолох
. (12)
Шийдэл. Тэгш байдлын (12) хоёр талыг 5-аар үржүүлээд гаргая
Хэрэв бид үүссэн илэрхийллээс (12) хасвал, Тэр
эсвэл .
Тооцоолохын тулд бид (7) томъёоны утгыг орлуулж, авна. Түүнээс хойш.
Хариулт: .
Энд өгөгдсөн асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүд нь өргөдөл гаргагчдад бэлтгэхэд тустай байх болно элсэлтийн шалгалтууд. Асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд, геометрийн прогресстой холбоотой, ашиглаж болно сургалтын хэрэглэгдэхүүнсанал болгож буй уран зохиолын жагсаалтаас.
1. Коллежид элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Энх тайван ба боловсрол, 2013. – 608 х.
2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: нэмэлт хэсгүүд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. – М .: Ленанд / URSS, 2014. – 216 х.
3. Медынский М.М. Бүрэн курс анхан шатны математикдаалгавар, дасгалууд дээр. 2-р дэвтэр: Тооны дараалал ба дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. – 208 х.
Асуулт хэвээр байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
Арифметик ба геометрийн прогресс
Онолын мэдээлэл
Онолын мэдээлэл
Арифметик прогресс |
Геометрийн прогресс |
|
Тодорхойлолт |
Арифметик прогресс a nгэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөх гишүүнтэй ижил тоонд нэмэгдсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм г (г- явцын зөрүү) |
Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (q- прогрессийн хуваагч) |
Дахин давтагдах томъёо |
Аливаа байгалийн хувьд n |
Аливаа байгалийн хувьд n |
Томъёоны n-р гишүүн |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Онцлог шинж чанар |  |
|
| Эхний n гишүүний нийлбэр |  |
 |
Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ
Дасгал 1
Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2
n-р гишүүний томъёоны дагуу:
а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д
Нөхцөлөөр:
a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21 d .
Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Хариулт: а 22 = -48.
Даалгавар 2
Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6;.....
1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёоны дагуу:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Учир нь б 1 = -3,
2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)
Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Хариулт: б 5 = -48.
Даалгавар 3
Арифметик прогрессоор ( a n ) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.
Арифметик прогрессийн хувьд онцлог шинж чанаршиг харагдаж байна 
.
Тиймээс:
.
Өгөгдлийг томъёонд орлъё:
Хариулт: 95.
Даалгавар 4
Арифметик прогрессоор ( a n ) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.
.
Аль нь байна энэ тохиолдолдхэрэглэхэд илүү тохиромжтой юу?
Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёог мэддэг ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олох боломжтой ба a 1, Мөн а 16ололгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглана.
Хариулт: 368.
Даалгавар 5
Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.
n-р гишүүний томъёоны дагуу:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.
Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:
d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Хариулт: а 22 = -48.
Даалгавар 6
Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.
x гэж тэмдэглэгдсэн прогрессийн гишүүнийг ол.
Шийдвэрлэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашиглана b n = b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн эхний үе. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд өгөгдсөн прогрессийн аль нэг гишүүнийг авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр бид авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Өгөгдсөн геометр прогрессийн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай тул томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна.
Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
.
Хариулт:.
Даалгавар 7
Арифметик прогрессоос, томъёогоор өгөгдсөн n-р улирал, нөхцөл хангагдсаныг сонгоно а 27 > 9:
Учир нь өгөгдсөн нөхцөлПрогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой, бид дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.
.
Хариулт: 4.
Даалгавар 8
Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тодорхойл хамгийн өндөр үнэ цэнэТэгш бус байдал биелэх n a n > -6.
>>Математик: Геометрийн прогресс
Уншигчдад тав тухтай байлгах үүднээс энэ догол мөрийг өмнөх догол мөрөнд мөрдөж байсан төлөвлөгөөний дагуу яг барьсан болно.
1. Үндсэн ойлголтууд.
Тодорхойлолт.Бүх гишүүн нь 0-ээс ялгаатай, гишүүн бүрийг хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөх гишүүнээс ижил тоогоор үржүүлээд гаргаж авсан тоон дарааллыг геометр прогресс гэнэ. Энэ тохиолдолд 5-ын тоог геометрийн прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.
Иймээс геометр прогресс гэдэг нь харьцаагаар тодорхойлогддог тоон дараалал (b n) юм.
Боломжтой юу, харж байна уу тооны дараалал, геометр прогресс мөн эсэхийг тодорхойлох уу? Чадах. Хэрэв та дарааллын аль нэг гишүүний өмнөх гишүүнтэй харьцуулсан харьцаа тогтмол гэдэгт итгэлтэй байвал геометрийн прогресс байна.
Жишээ 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Жишээ 2.
Энэ бол геометрийн прогресс юм
Жишээ 3.
Энэ бол геометрийн прогресс юм
Жишээ 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Энэ нь b 1 - 8, q = 1 байх геометрийн прогресс юм.
Энэ дараалал нь мөн арифметик прогресс гэдгийг анхаарна уу (§ 15-аас 3-р жишээг үзнэ үү).
Жишээ 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Энэ нь b 1 = 2, q = -1 байх геометр прогресс юм.
Мэдээжийн хэрэг, геометр прогресс нь b 1 > 0, q > 1 (жишээ 1-ийг харна уу) бол нэмэгдэж буй дараалал, b 1 > 0, 0 бол буурах дараалал байх нь ойлгомжтой.< q < 1 (см. пример 2).
Дараалал (b n) нь геометрийн прогресс гэдгийг харуулахын тулд дараах тэмдэглэгээ заримдаа тохиромжтой байдаг.
Дүрс нь "геометрийн прогресс" гэсэн хэллэгийг орлоно.
Геометр прогрессийн нэгэн сонирхолтой бөгөөд нэгэн зэрэг илэрхий шинж чанарыг тэмдэглэе.
Хэрэв дараалал бол 
нь геометрийн прогресс, дараа нь квадратуудын дараалал, өөрөөр хэлбэл. 
нь геометрийн прогресс юм.
Хоёр дахь геометр прогрессийн хувьд эхний гишүүн нь q 2-той тэнцүү ба тэнцүү байна.
Хэрэв геометр прогрессод b n-ийн дараах бүх гишүүнийг хасвал бид төгсгөлтэй геометр прогрессийг авна. 
Энэ догол мөрийн дараагийн догол мөрөнд бид хамгийн ихийг авч үзэх болно чухал шинж чанаруудгеометрийн прогресс.
2. Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо.
Геометрийн прогрессийг авч үзье 
хуваагч q. Бидэнд байгаа:
Аливаа n тооны хувьд тэгш байдал үнэн гэдгийг таахад хэцүү биш юм
Энэ бол геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо юм.
Сэтгэгдэл.
Хэрэв та уншвал чухал тэмдэглэлөмнөх догол мөрөөс эхлээд үүнийг ойлгож, дараа нь (1) томъёог аргыг ашиглан нотлохыг хичээ математикийн индукцарифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд хийсэнтэй ижил аргаар.
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог дахин бичье
болон тэмдэглэгээг танилцуул: Бид y = mq 2 авна, эсвэл илүү дэлгэрэнгүй, 
Аргумент x нь экспонентт агуулагддаг тул энэ функцийг экспоненциал функц гэж нэрлэдэг. Энэ нь геометр прогрессийг натурал тооны N олонлог дээр тодорхойлсон экспоненциал функц гэж үзэж болно гэсэн үг юм. Зураг дээр. 96a-д функцийн графикийг үзүүлэв. 966 - функциональ график 
Аль ч тохиолдолд бидэнд байна тусгаарлагдсан цэгүүд(abscissas x = 1, x = 2, x = 3 гэх мэт) тодорхой муруй дээр хэвтэж байна (хоёр зураг нь ижил муруйг харуулж, зөвхөн өөр өөр байршилтай, өөр өөр масштабаар дүрсэлсэн). Энэ муруйг экспоненциал муруй гэж нэрлэдэг. талаар дэлгэрэнгүй уншина уу экспоненциал функцтүүний графикийг 11-р ангийн алгебрийн хичээл дээр авч үзнэ.
Өмнөх догол мөрийн 1-5-р жишээнүүд рүү буцъя.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Энэ бол b 1 = 1, q = 3 байх геометр прогресс юм. n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе. 
2) 
Энэ бол n-р гишүүний томьёо үүсгэе геометр прогресс юм 
Энэ бол геометрийн прогресс юм 
n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Энэ бол b 1 = 8, q = 1 байх геометр прогресс юм. n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе. 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Энэ нь b 1 = 2, q = -1 байх геометр прогресс юм. n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе 
Жишээ 6.
Геометрийн прогресс өгөгдсөн
Бүх тохиолдолд шийдэл нь геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёо дээр суурилдаг
a) Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёонд n = 6-г оруулбал бид олж авна
б) Бидэнд байна
512 = 2 9 тул бид n - 1 = 9, n = 10 болно.
г) Бидэнд байна
Жишээ 7.
Геометр прогрессийн долоо ба тав дахь гишүүний зөрүү 48, прогрессийн тав, зургаа дахь гишүүний нийлбэр мөн 48. Энэ прогрессийн арван хоёрдугаар гишүүнийг ол.
Эхний шат.Математик загвар гаргах.
Асуудлын нөхцөлийг дараах байдлаар товч бичиж болно.
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тэгвэл бодлогын хоёр дахь нөхцөлийг (b 7 - b 5 = 48) гэж бичиж болно
Бодлогын гурав дахь нөхцөлийг (b 5 + b 6 = 48) гэж бичиж болно
Үүний үр дүнд бид b 1 ба q хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Энэ нь дээр бичсэн нөхцөл 1)-тэй хослуулан байна математик загвардаалгавар.
Хоёр дахь үе шат.
Эмхэтгэсэн загвартай ажиллах. Системийн хоёр тэгшитгэлийн зүүн талыг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
(бид тэгшитгэлийн хоёр талыг тэг биш b 1 q 4 илэрхийллээр хуваасан).
q 2 - q - 2 = 0 тэгшитгэлээс бид q 1 = 2, q 2 = -1-ийг олно. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд q = 2 утгыг орлуулснаар бид олж авна 
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд q = -1 утгыг орлуулснаар бид b 1 1 0 = 48; Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.
Тэгэхээр b 1 =1, q = 2 - энэ хос нь эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм.
Одоо бид аль геометр прогрессийг бичиж болно бид ярьж байнабодлогод: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Гурав дахь шат.
Асуудлын асуултанд хариулна уу. Та b 12-ыг тооцоолох хэрэгтэй. Бидэнд байгаа
Хариулт: b 12 = 2048.
3. Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёо.
Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс өгөгдсөн байг
Түүний нөхцлийн нийлбэрийг S n-ээр тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл.
Энэ хэмжээг олох томьёог гаргацгаая.
Эхнээс нь эхэлцгээе энгийн тохиолдол, үед q = 1. Дараа нь геометр прогресс b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn нь b 1-тэй тэнцүү n тооноос бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. Прогресс нь b 1, b 2, b 3, ..., b 4 шиг харагдаж байна. Эдгээр тоонуудын нийлбэр нь nb 1 байна.
Одоо q = 1 гэж үзье S n-ийг олохын тулд бид хиймэл арга хэрэглэдэг: S n q илэрхийллийн зарим хувиргалтыг хийдэг. Бидэнд байгаа:
Өөрчлөлтийг хийхдээ бид нэгдүгээрт, геометрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашигласан бөгөөд үүний дагуу (гурав дахь үндэслэлийг үзнэ үү); хоёрдугаарт, тэд нэмж, хассан тул илэрхийллийн утга нь мэдээжийн хэрэг өөрчлөгдөөгүй (үзэл баримтлалын дөрөв дэх мөрийг үзнэ үү); Гуравдугаарт, бид геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашигласан:
Томъёо (1)-ээс бид дараахь зүйлийг олно.
Энэ бол геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэрийн томъёо юм (q = 1 тохиолдолд).
Жишээ 8.
Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс өгөгдсөн
а) прогрессийн нөхцлийн нийлбэр; б) түүний нөхцлийн квадратуудын нийлбэр.
b) Дээр (х. 132-ыг үзнэ үү) хэрэв геометр прогрессийн бүх гишүүн квадрат байвал эхний гишүүн b 2 ба хуваагч q 2 геометр прогрессийг авна гэдгийг бид аль хэдийн тэмдэглэсэн. Дараа нь шинэ прогрессийн зургаан гишүүний нийлбэрийг тооцоолно
Жишээ 9.
Геометр прогрессийн 8-р гишүүнийг ол
Үнэндээ бид дараах теоремыг баталсан.
Тоон дараалал нь эхний теоремоос бусад гишүүн гишүүн бүрийн квадрат нь өмнөх ба дараагийн гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байвал геометрийн прогресс хэлнэ. геометр прогрессийн шинж чанар).
Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэрийн асуудлыг одоо авч үзье. Өгөгдсөн хязгааргүй прогрессийн хэсэгчилсэн нийлбэрийг эхний гишүүний нийлбэр гэж нэрлэе. Хэсэгчилсэн нийлбэрийг тэмдгээр тэмдэглэе
Хязгааргүй дэвшил бүрийн хувьд
түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн (мөн хязгааргүй) дарааллыг үүсгэж болно
Хязгааргүй өсөлттэй дараалал нь хязгаартай байг
Энэ тохиолдолд S тоо, өөрөөр хэлбэл прогрессийн хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаарыг хязгааргүй прогрессийн нийлбэр гэж нэрлэдэг. Хязгааргүй бууралттай геометр прогресс үргэлж нийлбэртэй байдгийг бид баталж, энэ нийлбэрийн томъёог гаргана (хэзээ гэдгийг бид бас харуулж болно. төгсгөлгүй дэвшилнийлбэр байхгүй, байхгүй).
Илэрхийлэлийг бичье хэсэгчилсэн дүн(91.1) томъёоны дагуу прогрессийн нөхцлийн нийлбэр гэж бид хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаарыг авч үзэх болно.
89-р теоремоос харахад буурах прогрессийн хувьд; Тиймээс ялгааны хязгаарын теоремыг ашигласнаар бид олдог
(Дүрмийг энд бас ашигладаг: тогтмол хүчин зүйлХязгаарын тэмдгээс давсан байна). Оршихуй нь нотлогдож, үүнтэй зэрэгцэн хязгааргүй буурч буй геометрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог олж авна.
Тэгш байдлыг (92.1) мөн хэлбэрээр бичиж болно
Энэ хэмжээ нь энд парадокс юм шиг санагдаж магадгүй юм хязгааргүй тоонэр томъёонд маш тодорхой эцсийн утгыг өгсөн.
Энэ байдлыг тайлбарлахын тулд тодорхой жишээг өгч болно. Хажуу талтай квадратыг авч үзье нэгтэй тэнцүү(Зураг 72). Энэ квадратыг хувацгаая хэвтээ шугамхоёр тэнцүү хэсэгт болон дээд хэсэгДоод талд нь түрхээд 2 ба хоёр талтай тэгш өнцөгт үүснэ. Үүний дараа баруун талБид энэ тэгш өнцөгтийг хэвтээ шугамаар дахин хувааж, дээд хэсгийг доод хэсэгт нь холбоно (72-р зурагт үзүүлэв). Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид 1-тэй тэнцүү талбайтай анхны квадратыг байнга хувиргадаг ижил хэмжээтэй тоонууд(шингэрүүлэх алхмууд бүхий шат хэлбэртэй).
Энэ үйл явцын төгсгөлгүй үргэлжлэлээр дөрвөлжин талбайн бүх талбай нь хязгааргүй тооны гишүүнчлэлд задардаг - тэгш өнцөгтүүдийн талбайнууд нь 1-тэй тэнцүү ба өндөртэй тэгш өнцөгтүүдийн талбайнууд нь түүний нийлбэр нь хязгааргүй буурах прогрессийг бүрдүүлдэг
өөрөөр хэлбэл, хэн нэгний таамаглаж байсанчлан талбайн талбайтай тэнцүү байна.
Жишээ. Дараах хязгааргүй прогрессуудын нийлбэрийг ол.
Шийдэл, a) Бид энэ прогрессийг анзаарч байна. Тиймээс (92.2) томъёог ашиглан бид олдог
b) Энд бид ижил томъёог (92.2) ашиглана гэсэн үг юм
в) Тиймээс энэ дэвшилд нийлбэр байхгүй гэдгийг бид олж мэдэв.
5-р зүйлд бид үе үеийг урвуу болгоход хязгааргүй буурдаг прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёоны хэрэглээг харуулсан. аравтынэнгийн бутархай болгох.
Дасгал
1. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр нь 3/5, эхний дөрвөн гишүүний нийлбэр нь 13/27. Прогрессийн эхний гишүүн ба хуваагчийг ол.
2. Хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээсээ 35-аар бага, гурав дахь гишүүн нь дөрөв дэхээсээ 560-аар их байх геометрийн ээлжлэн прогресс үүсгэх дөрвөн тоог ол.
3. Хэрэв дараалал бол гэдгийг харуул
нь хязгааргүй буурдаг геометр прогресс, дараа нь дараалал үүсгэдэг
аль ч тохиолдолд энэ нь хязгааргүй буурдаг геометрийн прогрессийг үүсгэдэг. Энэ мэдэгдэл хэзээ биелэх болов уу
Геометр прогрессийн гишүүдийн үржвэрийн томъёог гарга.
