Kateri logični veznik je označen kot. Zapletene sodbe

Kompleksne sodbe so sodbe, sestavljene iz enostavnih z uporabo logičnih veznikov.

Povezava med elementi kompleksne sodbe se izvaja z uporabo logičnih unij (logičnih konektivov).

Logične povezave:

Njihova glavna značilnost je, da so logični vezniki nedvoumni, medtem ko imajo slovnični vezniki veliko pomenov in odtenkov.

1. VEZNIK(iz latinskega conjunctio – zveza, povezava).

znak: ˄ oz &

in», « A», « Ampak», « ja», « čeprav», « ki», « ampak», « vendar», « pri čemer" in tako naprej.

Obsodba " Rada ima jabolčni sok in zeleni čaj"je konjunkcija (povezava) dveh preprostih izjav: " rada ima jabolčni sok"in" rada ima zeleni čaj».

Ab oz A& b

2. DISJUNKCIJA(iz latinščine disjunctio – razdružitev).

znak: ˅

V ruščini vezniki ustrezajo veznikom: " oz», « oz», « ali to, ali pa».

Obsodba " Šla bova v kino ali v park" je disjunkcija dveh preprostih predlogov: " šla bova v kino« ali »šla bova v park«. Ta povezava ni stroga, torej ne pomeni le ene izbire, saj gremo lahko v kino ali na sprehod po parku.

Zapis te sodbe z uporabo logičnih veznikov bo videti takole: Ab

3. Stroga disjunkcija

znak: .

Veznik "ali" se lahko uporablja v strogem pomenu - ko se člani disjunkcije med seboj izključujejo.

Zapis te sodbe z uporabo logičnih veznikov bo videti takole:

4. POSLEDICE( iz latinščine implico – tesno povezati)

znak: → .

V jeziku so analogi tega veznika vezniki: " če, potem»; « ko ..., takrat»; « takoj ko ... takrat" in tako naprej.

Običajno s pomočjo implikacij, vzročno-posledičnih odnosov, kot so: " Če posije sonce, bo postalo toplo». a → b. Prvi element implikacije se imenuje osnova(predhodnik), drugič – posledica(posledično).

5. ENAKOVREDNOST( iz poznolat. equivalens – ekvivalent; enakovredno)

znak: ↔ oz ≡ .

V jeziku so analogi tega veznika vezniki: " če in samo če»; « takrat in samo takrat ko...»; « le pod pogojem, da... potem».

Obsodba: " Šele takrat bo otrok prejel sladkarije, ko bo popil vso juho" je enakovredno.

Zapis te sodbe z uporabo logičnega veznika bo videti takole: a↔ b oz a≡ b

6 .NEGACIJA

znak: ~ oz ¬ . so postavljeni pred sodbo~a oz¬a ; ali črta, ki je postavljena nad sodbo

V jeziku se zanikanje izraža z vezniki in besedami: » ne», « narobe" in tako naprej.

Obsodba: " Avto noče zagnati« je zapisano kot ~a

Obsodba: " Všeč ali ne"vsebuje strogo disjunkcijo in zanikanje.

vaje: Svoje sodbe zapišite v obrazec logična oblika z uporabo logičnih povezovalnikov.

Samotestiranje: Zapiši sodbe v logični obliki z uporabo logičnih veznikov

Če se želite preizkusiti, označite stolpec »formula« in spremenite barvo pisave

Predlog se imenuje kompleksen, če vsebuje logični vezniki in je sestavljen iz več preprostih predlogov.

V nadaljevanju bomo preproste sodbe obravnavali kot zanesljive nedeljivi atomi, kot elementi, iz kombinacije katerih nastanejo kompleksne strukture. Preproste predloge bomo označili z ločeno z latinskimi črkami: a, b, c, d, ... Vsaka taka črka predstavlja nek preprost predlog. Kje lahko to vidite? Oddih od kompleksa notranja struktura preprosta sodba, iz njene kvantitete in kvalitete, pri čemer pozabimo, da ima subjekt in predikat, ohranimo samo eno lastnost sodbe - da je lahko resnična ali neresnična. Vse ostalo nas tukaj ne zanima. In ko rečemo, da črka "a" predstavlja propozicijo, in ne koncept, ne številko, ne funkcijo, mislimo samo eno stvar: da "a" predstavlja resnico ali laž. Če z "a" mislimo na predlog "Kenguruji živijo v Avstraliji," mislimo na resnico; če z "a" mislimo na predlog "Kenguruji živijo v Sibiriji", mislimo na laž. Tako naše črke "a", "b", "c" itd. – to so spremenljivke, ki jih je mogoče zamenjati z true ali false.

Logični vezniki so formalni analogi veznikov v našem maternem naravnem jeziku. kako zapleteni stavki so zgrajene iz preprostih s pomočjo veznikov »vendar«, »saj«, »ali« ipd., zapletene sodbe pa iz preprostih s pomočjo logičnih veznikov. Tu čutimo veliko večjo povezavo med mišljenjem in jezikom, zato bomo v nadaljevanju namesto besede »sodba«, ki označuje čisto misel, pogosto uporabljali besedo »izjava«, ki označuje misel v njenem jezikovno izražanje. Pa se seznanimo z najpogosteje uporabljenimi logičnimi vezniki.

Negacija. IN naravni jezik ustreza izrazu »Ni res, da ...«. Zanikanje je običajno označeno z znakom "" pred črko, ki predstavlja nek predlog: "a" se glasi "Ni res, da a." Primer: "Ni res, da je Zemlja krogla."

Pozorni morate biti na eno subtilno okoliščino. Zgoraj smo govorili o preprostih negativnih sodbah. Kako jih ločiti od zapletenih sodb z zanikanjem? Logika razlikuje dve vrsti negacije - notranjo in zunanjo. Ko se zanikanje pojavi znotraj enostavnega predloga pred veznikom »je«, potem imamo v tem primeru opravka s preprostim negativnim predlogom, na primer: »Zemlja ni krogla«. Če zanikanje navzven je vezan na sodbo, npr.: »Ni res, da je Zemlja žoga,« potem takšno zanikanje obravnavamo kot logični veznik, ki preprosto sodbo spremeni v kompleksno.

Konjunkcija. V naravnem jeziku ta veznik ustreza veznikom »in«, »a«, »vendar«, »vendar« itd. Najpogosteje je veznik označen s simbolom "&". Zdaj se ta ikona pogosto nahaja v imenih različnih družb in podjetij. Predlog s takim veznikom se imenuje veznik ali preprosto veznik in izgleda takole:

a&b. Primer: "Dedkova košara je vsebovala jurčke in jurčke." Ta zapletena sodba je povezava dveh preprostih trditev: »V košari mojega dedka so bili jurčki« in »V košari mojega dedka so bili jurčki«.

Disjunkcija. V naravnem jeziku ta veznik ustreza vezniku »ali«. Običajno je označena z "v". Sodba s takšnim veznikom se imenuje disjunktivna ali preprosto disjunkcija in izgleda takole: a v b.

Veznik »ali« se v naravnem jeziku uporablja v dveh različne pomene: ohlapni “ali” – kadar se členi disjunkcije med seboj ne izključujejo, tj. je lahko hkrati resničen in strogi "ali" (pogosto nadomeščen s parom veznikov "ali ... ali ...") - ko se člani disjunkcije med seboj izključujejo. V skladu s tem ločimo dve vrsti disjunkcije - strogo in nestrogo.

Implikacija. V naravnem jeziku ustreza vezniku »če ... potem«. Označena je z znakom “->”. Predlog s takšnim veznikom se imenuje implikativ ali preprosto implikacija in je videti takole: a -> b. Primer: »Če gre sprevodnik mimo elektrika, potem se prevodnik segreje.« Prvi člen implikacije se imenuje antecedent ali osnova; drugi je posledica ali posledica. V vsakdanjem jeziku veznik »če... potem« običajno povezuje povedi, ki izražajo vzročno-posledično zvezo pojavov, pri čemer prvi stavek določa vzrok, drugi pa posledico. Od tod tudi imena članov implikacije.

Predstavljanje stavkov naravnega jezika v simbolni obliki z uporabo zgornjih zapisov pomeni njihovo formalizacijo, kar se v mnogih primerih izkaže za koristno.

4) V toplem oceanu je ležal čudovit otok. In vse bi bilo v redu, toda tujci so se navadili naseliti na tem otoku. Prihajajo in prihajajo z vsega sveta, staroselce pa so začeli stiskati. Da bi preprečil vdor tujcev, je vladar otoka izdal odlok: »Vsak obiskovalec, ki se želi naseliti na našem blagoslovljenem otoku, je dolžan narediti nekaj sodbe. Če se sodba izkaže za resnično, je treba tujca ustreliti; če se izkaže, da je sodba napačna, ga je treba obesiti.« Če te je strah, potem utihni in se obrni!

Vprašanje je: kakšno sodbo je treba sprejeti, da bi ostal živ in se še vedno naselil na otoku?

Resnične mize

Zdaj smo prišli do nečesa zelo pomembnega in težko vprašanje. Zapletena propozicija je tudi misel, ki nekaj potrjuje ali zanika in se zato izkaže za resnično ali napačno. Vprašanje resničnosti preprostih sodb je zunaj področja logike - nanj odgovarjajo posebne znanosti, vsakdanja praksa ali opazovanje. Ali je izjava "Vsi kiti so sesalci" resnična ali napačna? Vprašati moramo biologa in povedal nam bo, da ta trditev drži. Ali je izjava "Železo potone v vodi" resnična ali napačna? Moramo se obrniti k praksi: vrzimo kos železa v vodo in se prepričajmo, da je ta sodba resnična.

Skratka, vprašanje resničnosti ali lažnosti preprostih trditev se vedno končno odloči glede na resničnost, na katero se nanašajo.

Toda kako ugotoviti resničnost ali laž zapletene trditve? Imejmo nekaj veznikov "a & b" in vemo, da je predlog "a" resničen in predlog "b" je napačen. Kaj lahko rečemo o tej kompleksni izjavi kot celoti? Če bi v resnici obstajal predmet, na katerega se nanaša veznik »&«, potem težav ne bi bilo: ko bi ta predmet odkrili, bi lahko rekli: »Obstaja! Konjunkcija je prava!"; če bi iskali naokoli in ne bi našli ustreznega predmeta, bi rekli: "Konjunkcija je napačna." A dejstvo je, da v resnici logičnim veznikom – kot tudi veznikom naravnega jezika – ne ustreza nič! To so sredstva za povezovanje misli ali stavkov, ki smo si jih izmislili; to so orodja mišljenja, ki v resnici nimajo analogij. Zato vprašanje o resničnosti ali napačnosti izjav z logičnimi vezniki ni vprašanje posebnih znanosti ali materialne prakse, temveč čisto logično vprašanje. In logika rešuje.

Dogovarjamo se oziroma sprejemamo dogovore o tem, kdaj trditve s tem ali drugačnim logičnim veznikom veljajo za resnične in kdaj za napačne. Seveda ti dogovori temeljijo na nekaterih racionalni premisleki, vendar je pomembno upoštevati, da so to naši samovoljni dogovori, sprejeti zaradi udobja, enostavnosti, plodnosti, ne pa nam jih vsiljuje realnost. Zato lahko te pogodbe spremenimo, kadar koli se nam zdi primerno.

Dogovori o tem, kateri govorimo o, so izražene s tabelami resničnosti za logične povezovalce, ki kažejo, v katerih primerih se izjava z enim ali drugim povezovalnikom šteje za resnično in v katerih - za napačno. Pri tem se zanašamo na resničnost ali lažnost enostavnih sodb, ki so sestavine kompleksne sodbe. »True« (»i«) in »false« (»l«) se imenujeta »vrednosti resnice« propozicije: če spremenljivka predstavlja resnično propozicijo, prevzame vrednost »true«; če je false, ima vrednost »false«. Vsaka spremenljivka lahko predstavlja resnično ali napačno.

Negacija velja za en predlog. Ta predlog je lahko resničen ali napačen, zato je tabela za zanikanje naslednja:

Če je prvotna propozicija resnična, se strinjamo, da je njena negacija napačna; če je prvotna sodba napačna, potem smatramo njeno negacijo za resnično. Zdi se, da se ta sporazum ujema z našo intuicijo. Dejansko je bil predlog »Byron angleški pesnik” drži, zato njegovo zanikanje: „Ni res, da je bil Byron angleški pesnik” seveda velja za napačno. Trditev »Atene so v Italiji« je napačna, zato se njena negacija »Ni res, da so Atene v Italiji« seveda šteje za resnično.

Za udobje predstavljamo tabele resnic za druge logične povezave skupaj:

Vsi tukaj podani vezniki povezujejo dva predloga. Za dva predloga obstajajo štiri možnosti: obe sta lahko resnični; eden je resničen, drugi je lažen; ena je lažna, druga je resnična; oboje je lažno. Vse te možnosti so upoštevane kot primeri 1-4.

Veznik je resničen samo v enem primeru – ko sta resnična oba njegova člena. V vseh drugih primerih menimo, da je napačno. Na splošno se zdi precej naravno. Recimo, da svojemu izbrancu rečete: "Poročil se bom s tabo in ti bom zvest." Res ste se poročili s to osebo in ste mu zvesti. Zadovoljen je: niste ga prevarali, konjunkcija v celoti drži. Drugi primer: poročili ste se, a svojemu možu niste zvesti. Je ogorčen, verjame, da ste ga prevarali - konjunkcija je lažna. Tretji primer: niste se poročili s tistim, ki ste mu obljubili, čeprav ste mu ostali zvesti, negujete spomine na prvo in, žal, samo ljubezen. Spet je razburjen: prevarali ste ga - veznik je lažen. Nazadnje, četrta možnost: nisi se poročila z njim in mu seveda ne ostaneš zvesta. Vaš oboževalec je besen: očitno ste ga prevarali - konjunkcija je napačna.

Podobni premisleki upravičujejo tabelo resnic za disjunkcijo. Situacija z implikacijo je nekoliko bolj zapletena. Razmislite o predlogu "Če je sonce vzšlo, se je zunaj razsvetlilo." Tu implikacija povezuje dva preprosta predloga: "Sonce je vzšlo" in "Zunaj se je razsvetlilo." Če sta obe resnični, potem velja, da je implikacija kot celota resnična. Zdaj drugi primer: sonce je vzšlo, a zunaj ni svetlobe. Če se to nenadoma zgodi, bomo našo implikacijo šteli za napačno: očitno nekaj nismo upoštevali, ko smo oblikovali takšno povezavo med obema sodbama. Tretji primer: sonce ni vzšlo, zunaj pa je postalo svetlo. Bo to ovrglo naše implikacije? Sploh ne, to je povsem mogoče: na ulici so se prižgale luči, postalo je svetlo, vendar to ni v nasprotju s povezavo med sončnim vzhodom in začetkom dnevne svetlobe. Implikacijo lahko štejemo za resnično. Nazadnje, četrti primer: sonce ni vzšlo in ni bilo svetlobe. To je povsem naravno; naša implikacija ostaja resnična.

Z razlago tabel resnic za logične povezovalnike smo poskušali pokazati, da te tabele do neke mere ustrezajo našim jezikovna intuicija, naše razumevanje pomena veznikov naravnega jezika. Vendar pa stopnje takšne korespondence ne bi smeli precenjevati. Vezniki naravnega jezika so po pomenski vsebini veliko bogatejši in subtilnejši od logičnih veznikov. Slednji zajamejo le tisti del te vsebine, ki se nanaša na razmerja resnice ali laži preproste izjave. Logični vezniki ne upoštevajo subtilnejših pomenskih povezav. Zato je včasih možno precej veliko odstopanje med logičnimi vezniki in vezniki naravnega jezika. S pomočjo teh povezav ustvarjajo programe za računalnike in zdaj lahko razumete, kateri del našega razmišljanja lahko računalnik absorbira in uporabi.

5) Kako enakomerno razdeliti 7 jabolk med 12 fantov, ne da bi katero koli jabolko razrezali na 12 kosov? (Postavljeni pogoj je namenjen izključitvi najpreprostejše rešitve: vsako jabolko razrežite na 12 delov in vsakemu fantu dajte eno rezino od vsakega jabolka ali pa 6 jabolk prerežite na pol in 7. jabolko narežite na 12 delov.)

6) Na enem otoku živita dve plemeni - dobri ljudje, ki vedno govorijo resnico, in lažnivci, ki vedno lažejo. Na otok pride popotnik, ki ve za to, in ko je spoznal lokalni prebivalec, ga vpraša: "Kdo si, iz katerega plemena?" "Končal sem!" - ponosno odgovori staroselec. "To je dobro," se je veselil popotnik, "ti boš moj vodnik!" Hodita po otoku in nenadoma v daljavi zagledata še enega aborigina. »Pojdi ga vprašaj,« reče popotnik svojemu vodniku, »iz katerega plemena je?« Sprevodnik je stekel nazaj in poročal. "Rekel je, da je odličen!" "Aha," je pomislil popotnik, "zdaj točno vem, iz katerega plemena si!"

Kako je popotnik uganil, kdo je njegov vodnik?

Logično množenje oz veznik je operacija, izražena z veznikom "in" in označena s piko " " (ali znaki & ali  ). Izjava A  B je resničen, če in samo če sta obe izjavi A in B resnični.

Tabela resničnosti funkcije logičnega množenja

Logično dodatek oz disjunkcija je operacija, izražena z veznikom »ali« (v neločevalnem pomenu besede) in označena z »+« (ali znakom  ). Izjava A  B je napačen, če in samo če sta obe izjavi A in B napačni.

Tabela resničnosti funkcije logičnega seštevanja

Implicitno je operacija, izražena z vezniki »če ..., potem«, »iz ... sledi«. Izjava A  B je napačen, če in samo če je A resničen in B je napačen.

Tabela resnice logična funkcija"implikacija"

V običajnem govoru veznik »če ..., potem« opisuje vzročno-posledično razmerje med izjavami. Toda v logičnih operacijah se pomen stavkov ne upošteva. Izjavi A in B tvorita sestavljeno izjavo A  B, so lahko vsebinsko povsem nepovezane. Upošteva se le njihova resničnost ali laž.

Logično enakost oz enakovreden (oz dvojno implikacija ) je delovanje, izraženo z vezniki »če in samo takrat«, »potrebno in zadostno«, »... enakovredno ...«, označeno pa je z znakom  oz. ~ . Trditev AB je resnična, če in samo če vrednosti A in B sovpadata.

Tabela resničnosti logične funkcije "enakovrednost"

Implikacijo lahko izrazimo z disjunkcijo in negacijo:

A  B = Ā  IN.

Ekvivalentnost se lahko izrazi z zanikanjem, disjunkcijo in konjunkcijo:

A  B = (Ā  IN)  ( A).

Tako so operacije negacije, disjunkcije in konjunkcije zadostne za opis in obdelavo logičnih izjav.

Za vsakogar sestavljena izjava lahko sestavite tabelo resnic, ki bo določila njeno resničnost ali laž za različne kombinacije začetnih vrednosti preprostih izjav. Na primer, razmislite o tabeli resničnosti logičnega izraza (A IN) (Ā  )

Tabela resnice

Primer . Določite rezultat logične operacije F = (A  B)  (C  D) pri dane vrednosti logične spremenljivke A, B, C – true, D – false.

rešitev .

Iz sestavljene tabele resnic sledi, da je F=1

Obstaja pet široko uporabljenih logičnih veznikov. To so negacija (predstavljena z znakom ¬), konjunkcija (znak), disjunkcija (znak v), implikacija (znak) in enakovrednost (znak).

Izjava ¬ A(se glasi "ne A«) pomeni, da izjava A lažno. Z drugimi besedami, ¬ A res ko A napačno in napačno, ko A prav.

Izjava A B(bere " A in B") pomeni trditev, ki je resnična in A, In B. Res je le, če sta obe trditvi resnični A in B.

Izjava A v B (« A oz B") velja, če je vsaj ena od trditev resnična A in B.

Izjava A B bere " A vključuje B« ali »če A, To B" Nepravilno je, če A prav, B napačno in resnično v vseh drugih primerih.

Za konec še izjava AB drži, če trditve A in B ali sta obe resnični ali pa sta obe napačni.

Za označevanje strukture povezav se uporabljajo oklepaji, tako kot se v algebri označuje vrstni red izvajanja. aritmetične operacije. Tako je na primer izjava ¬ A B pomeni " A narobe, ampak B res«, in izjava ¬( A B) - »to ni res A in B oboje je res." In tako kot v algebri se za zmanjšanje števila oklepajev prednostni vrstni red veznikov določi glede na moč povezave. Zgoraj smo našteli ligamente po vrstnem redu oslabitve povezave. Na primer, veznik povezuje močneje kot implikacija, zato izjava A B C razumeti kot A (B C), vendar ne kot ( A B) C. To ustreza temu, kar je v algebri a + b ? c pomeni a + (b ? c), vendar ne ( a + b) ? c.

Tukaj je nekaj primerov sestavljenih stavkov.

Znana besedna zvijača pravi: »čaplja je zbledela, čaplja je bila posušena, čaplja je bila mrtva.« To izjavo lahko zapišemo v obliki: "čaplja je zakrnela" "čaplja je suha" "čaplja je mrtva."

Razmerje 0< Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» « Z < 1», a соотношение |Z| > 1 - disjunkcija " Z> 1"v" Z < -1». Определение логической связки данное выше, можно записать так:

[(A B) (A B) v (¬ A ¬ B)] [(A B) v (¬ A ¬ B) (A B)]

Prepuščamo bralcu, da prevede navaden jezik naslednjo izjavo:

“Lučka sveti” “Žarnica ne sveti” “Ni elektrike” v “Vtiči so pregoreli” v “Žarnica je pregorela.”

Če predpostavimo, da so izjave lahko le resnične ali napačne in razen tega o trditvi ni mogoče reči ničesar, potem našteti vezniki zadostujejo za izražanje vseh možnih konstrukcij iz izjav. Zadostujeta že dva veznika, na primer zanikanje in veznik ali zanikanje in disjunkcija. To se dogaja zlasti pri matematičnih izjavah. Zato se drugi vezniki v matematični logiki ne uporabljajo.

Vendar pa naravni jezik odraža več raznolikosti pri vrednotenju izjav kot le njihova delitev na resnične in napačne. Na primer, izjava se lahko obravnava kot nesmiselna ali nezanesljiva, čeprav je možna (»v tem gozdu morajo biti volkovi«). Tem vprašanjem so posvečeni posebni sklopi logike, v katerih najdemo druge vezive. Dobra vrednost Za moderna znanost teh odsekov (za razliko od klasičnih matematična logika) nimajo in se jih ne bomo dotaknili.

LOGIČNE POVEZAVE– simboli logični jeziki, ki se uporablja za izobraževanje kompleksne izjave(formule) od elementarnih. Logični vezniki se imenujejo tudi vezniki naravnega jezika, ki ustrezajo tem simbolom. Tipično uporabljeni logični veznik, kot je veznik (veznik »in«, simbolni zapisi: &, ∧ in pika v obliki znaka za množenje, ki jih pri pisanju veznika pogosto izpustimo. A in IN kako AB), disjunkcija (ohlapna zveza »ali«, označena kot »∨«), implikacija (»če..., potem«, označena z znakom »⊃« in različnimi vrstami puščic), negacija (»ni res to ... ", označeno z: , ~ ali črto nad zanikanim izrazom). Od naštetega je zanikanje unarni veznik. Drugi so dvojni (binarni). Načeloma so lahko logični vezniki poljubno krajevni, v praksi pa se več kot binarni vezniki uporabljajo zelo redko. V klasični logiki ( Logike , Propozicijska logika ) morebitni večmestni logični veznik je izrazljiv z naštetimi. Nekaj ​​praktičnega pomena ima uporaba trojnega logičnega povezovalca, imenovanega pogojna disjunkcija, ki povezuje tri izjave A, B in Z in to pomeni " A kdaj IN, In Z v primeru ne- B"ali formalno: ( B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Propozicijski račun s pogojno disjunkcijo. – V knjigi: Metode logična analiza. M., 1977).

Klasična logika obravnava logične povezovalce ekstenzijsko (brez upoštevanja vsebinskega pomena izjav, ki jih povezujejo) kot funkcije resnice, določene z resničnostnimi vrednostmi izjav, ki jih povezujejo. Glede na dve vrednosti resnice 1 (true) in 0 (false) v tej logiki, izjave A in IN ima lahko štiri možne nize urejenih resničnostnih vrednosti:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Propozicijska resničnostna funkcija vsakemu navedenemu nizu dodeli eno od resničnostnih vrednosti - 1 ali 0. Skupaj je 16 takšnih funkcij, ki izrazu dodelijo A&IN vrednost 1 samo, če A, torej IN res, tj. oba imata vrednost 1, v drugih primerih vrednost A&IN je enako 0. Disjunkcija Α ∨ IN, nasprotno, napačno je le v enem primeru, ko sta napačna oba A, torej IN. Implikacija A⊃ IN je napačen le, če je predhodnik resničen A in napačno (posledično) IN. V drugih primerih A⊃ IN ima vrednost 1. Od štirih enomestnih funkcij je zanimiva samo negacija, ki spremeni pomen izjave v nasprotno: ko A– drži, A – ne drži in obratno. Vse ostale unarne in binarne klasične funkcije lahko izrazimo s predstavljenimi. Ko nam sistem logičnih veznikov, sprejet v ustrezni semantiki, omogoča opredelitev vseh ostalih, se imenuje funkcionalno popoln. Popolni sistemi v klasični logiki vključujejo zlasti konjunkcijo in negacijo; disjunkcija in negacija; implikacija in negacija. Konjunkcija in disjunkcija sta določljivi ena preko druge zaradi ekvivalence ( A&IN)≡(A∨IN) in (A∨B)≡( A&B), imenovani de Morganovi zakoni, in tudi: (Α⊃Β)≡( Α ∨IN), (A&IN)≡(A⊃B), ( Α ∨IN)≡((A⊃IN)⊃A). Vsaka enakovrednost oblike A≡ IN velja samo, če je veznik ( A⊃IN)&(IN⊃A).

Funkciji antidisjunkcija in antikonjunkcija, definirani kot ( A∨IN) In ( A&IN), vsak posebej predstavlja tudi funkcionalno zaključen sistem veznikov. Ta zadnja okoliščina je bila že znana Ch. Pierce (delo ni bilo objavljeno za časa njegovega življenja, 1880) in ga je ponovno odkril H.M. Z uporabo antidisjunkcije kot edinega logičnega veznika je Schaeffer leta 1913 konstruiral popoln izračun izjave. Antidisjunkcija je označena z A∣IN in se imenuje Schaefferjeva kap, branje ta izraz kot "ne- A in ne- B" J. G. P. Nicod je uporabil isti zapis za antikonjunkcijo (»Ni res, da hkrati A in B«) in le s pomočjo tega veznika leta 1917 oblikoval popolni propozicijski račun z enim (totalnim!) aksiom in eno pravilo sklepanja. Tako je Schaefferjeva poteza v bistvu sama navpična črta, ki po mnenju različnih avtorjev lahko pomeni tako antidisjunkcijo kot antikonjunkcijo.

Razteznost logičnih konektivov jim daje edinstvenost, poenostavlja problem konstruiranja logičnih računov in omogoča reševanje metateoretičnih problemov doslednosti, odločljivosti in popolnosti slednjih (glej. Metalogic ). Vendar pa v nekaterih primerih resnicno-funkcionalna razlaga veznikov vodi do znatnega neskladja z njihovim razumevanjem v naravnem jeziku. Tako nas nakazana resnicna interpretacija implikacije sili k prepoznavanju pravilne stavke kot "Če A, to B"tudi med stavki A in IN(in s tem tudi dogodke, ki so v njih obravnavani) ni prava povezava. Dovolj, da A je bila lažna oz IN- prav. Zato iz dveh stavkov: »Če A, to IN» in če IN, to A«, vsaj eno stvar je treba prepoznati kot resnično, kar se ne ujema dobro z običajno rabo pogojne kopule. Implikacija v v tem primeru posebej imenovano »material«, s čimer se razlikuje od pogojne zveze, ki predpostavlja, da obstaja resnična povezava med predhodnikom in konsekventom prave pogojne izjave. Hkrati pa je materialno implikacijo mogoče odlično uporabiti v mnogih kontekstih, na primer matematičnih, če nanjo ne pozabimo. posebne lastnosti. V nekaterih primerih pa je kontekst tisti, ki ne dopušča, da bi pogojno zvezo razlagali kot materialno implikacijo, kar kaže na medsebojno povezanost izjav. Za analizo takih kontekstov je treba zgraditi posebne neklasične logike , npr. relevantno (glej Relevantna logika ), v jezik katerega so namesto materialne implikacije (ali ob njej) uvedene druge implikacije, ki jih razumemo intenzionalno (vsebinsko) in katerih resničnosti resnicnofunkcionalno ni mogoče utemeljiti. Intenzivno se lahko razlagajo tudi drugi logični vezniki.

Literatura:

1. Cerkev A. Uvod v matematično logiko, letnik 1. M., 1960;

2. Curry H. Osnove matematične logike. M., 1969.

E.A.Sidorenko