LOGIČNE POVEZAVE - simboli logični jeziki, ki se uporablja za izobraževanje kompleksne izjave(formule) od elementarnih. Veznike, ki ustrezajo tem simbolom, imenujemo tudi logični vezniki naravni jezik. Običajno se uporabljajo logični vezniki, kot so konjunkcija (veznik »in«, simbolni zapisi: &, ∧ in pika v obliki znaka za množenje, ki jih pogosto izpustimo, zapis konjunkcije A in B kot AB), disjunkcija (ohlapna zveza »ali«, označena kot »∨«), implikacija (»če ..., potem«, označena z znakom »⊃« in različnimi vrstami puščic), zanikanje (»ni res, da.. .«, označeno z: , ~ ali črto nad zanikanim izrazom) . Od naštetega je zanikanje unarni veznik. Drugi so dvojni (binarni). Načeloma so lahko logični vezniki poljubno krajevni, v praksi pa se več kot binarni vezniki uporabljajo zelo redko. V klasični logiki (Logika, Propozicionalna logika) so morebitni večmestni logični vezniki izrazljivi preko naštetih. Nekaj ​​praktičnega pomena je podana z uporabo trojnega logičnega povezovalca, imenovanega pogojna disjunkcija, ki povezuje tri izjave A, B in C in pomeni, da »A v primeru B in C v primeru primer ne-B"ali formalno: (B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Propozicijski račun s pogojno disjunkcijo. - V knjigi: Metode logična analiza. M., 1977).

Klasična logika obravnava logične povezovalce ekstenzijsko (brez upoštevanja vsebinskega pomena izjav, ki jih povezujejo) kot funkcije resnice, določene z resničnostnimi vrednostmi izjav, ki jih povezujejo. Glede na dve vrednosti resnice v tej logiki, 1 (true) in 0 (false), imata izjavi A in B lahko štiri možne nize urejenih resnicnih vrednosti:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Propozicijska resničnostna funkcija vsakemu naštetemu nizu dodeli eno od resničnostnih vrednosti - 1 ali 0. Skupaj je takšnih funkcij 16. Konjunkcija izrazu A&B dodeli vrednost 1 samo v primeru, ko sta A in B resnična. , tj. oba imata vrednost 1, sicer je vrednost A&B 0. Nasprotno, disjunkcija Α ∨ B je napačna le v enem primeru, ko sta oba A in B napačna A je resničen in predhodnik je napačen (posledično) B. V drugih primerih ima A ⊃ B vrednost 1. Od štirih unarnih funkcij je zanimiva samo negacija, ki spremeni pomen izjave v nasprotno: ko je A res, A je napačen in obratno. Vse ostale unarne in binarne klasične funkcije lahko izrazimo s predstavljenimi. Ko nam sistem logičnih veznikov, sprejet v ustrezni semantiki, omogoča opredelitev vseh ostalih, se imenuje funkcionalno popoln. Popolni sistemi v klasični logiki vključujejo zlasti konjunkcijo in negacijo; disjunkcija in negacija; implikacija in negacija. Konjunkcija in disjunkcija sta medsebojno definirani zaradi enakovrednosti (A&B)≡(A∨B) in (A∨B)≡(A&B), imenovanih de Morganovi zakoni, kot tudi: (Α⊃Β)≡(Α∨ B), (A&B)≡(A⊃B), (Α∨B)≡((A⊃B)⊃A). Vsaka enakovrednost oblike A ≡ B je veljavna le, če je konjunkcija (A⊃B)&(B⊃A) splošno veljavna (vedno resnična).

Funkciji antidisjunkcija in antikonjunkcija, definirani kot (A∨B) oziroma (A&B), prav tako predstavljata vsaka posebej funkcionalno zaključen sistem veznikov. To zadnjo okoliščino je poznal že C. Pierce (neobjavljeno delo leta 1880 za časa njegovega življenja) in jo je ponovno odkril H.M. Z uporabo antidisjunkcije kot edinega logičnega veznika je Schaeffer leta 1913 konstruiral popoln izračun izjave. Antidisjunkcija je označena z A∣B in se imenuje Schaefferjeva praštevila, ki se glasi ta izraz, kot "ne-A in ne-B". J. G. P. Nicod je uporabil isti zapis za antikonjunkcijo (»Ni res, da sta tako A kot B oboje«) in z uporabo samo tega veznika leta 1917 oblikoval popolni propozicijski račun z enim (edinim!) aksiomom in enim pravilom sklepanja. . Tako je Schaefferjeva poteza v bistvu sama navpična črta, ki po mnenju različnih avtorjev lahko pomeni tako antidisjunkcijo kot antikonjunkcijo.

Razteznost logičnih konektivov jim daje edinstvenost, poenostavlja problem konstruiranja logičnih računov in omogoča reševanje metateoretičnih problemov doslednosti, odločljivosti in popolnosti slednjih (glej Metalogics). Vendar pa v nekaterih primerih resnicno-funkcionalna razlaga veznikov vodi do znatnega neskladja z njihovim razumevanjem v naravnem jeziku. Tako nas navedena resničnostna razlaga implikacije sili, da prepoznamo kot resnične stavke oblike "Če A, potem B" tudi v primeru, ko sta med izjavama A in B (in s tem dogodki, o katerih sta govorimo o) ni prava povezava. Dovolj je, da je A napačno ali da je B resnično. Zato je treba od dveh stavkov: »Če A, potem B« in »Če B, potem A« vsaj enega prepoznati kot pravega, kar se ne ujema dobro z običajno rabo pogojnega veznika. Implikacija v v tem primeru posebej imenovano »material«, s čimer se razlikuje od pogojne zveze, ki predpostavlja, da obstaja resnična povezava med predhodnikom in konsekventom prave pogojne izjave. Hkrati pa je materialno implikacijo mogoče odlično uporabiti v mnogih kontekstih, na primer matematičnih, če nanjo ne pozabimo. posebne lastnosti. V nekaterih primerih pa je kontekst tisti, ki ne dopušča, da bi pogojno zvezo razlagali kot materialno implikacijo, kar kaže na medsebojno povezanost izjav. Za analizo takih kontekstov je treba zgraditi posebne neklasične logike, na primer relevantne (glej Relevantna logika), v jeziku katerih namesto materialne posledice(ali skupaj z njo) se uvajajo druge implikacije, ki jih razumemo intenzivno (vsebinsko) in katerih resničnosti resnicnofunkcionalno ni mogoče utemeljiti. Intenzivno se lahko razlagajo tudi drugi logični vezniki.

E.A. Sidorenko

Novo filozofska enciklopedija. V štirih zvezkih. / Inštitut za filozofijo RAS. Znanstvena ur. nasvet: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, letn.II, E – M, str. 439-440.

Literatura:

Church A. Uvod v matematično logiko, zv. 1. M., 1960;

Curry H. Temelji matematične logike. M., 1969.

Opredelitev. Spodaj izjava je običajno razumeti jezikovni stavek, za katerega je smiselno reči, da je resničen ali neresničen v ta trenutekčas.

Izjave so največkrat označene kot majhne z latinskimi črkami a, b, c, x1, x2, …

V propozicionalni logiki nas ne zanima vsebina, temveč resničnost ali lažnost izjav. Resnične vrednosti - true in false - bodo označene z I oziroma L. Kup (jaz, l) imenujemo množica resnicnih vrednosti.

Opredelitev. Izjava se imenuje preprosto(elementaren), če ga obravnavamo kot nekakšno nedeljivo celoto (podobno kot element množice). Težko(sestavljeno) je izjava, sestavljena iz enostavnih z uporabo logičnih veznikov.

V naravnem jeziku ima vlogo veznikov pri sestavljanju zapletenih stavkov iz preprostih: slovnična sredstva: vezniki “in”, “ali”, “ne”; besede »če ... potem«, »ali ... ali«, »če in samo če« itd. V propozicionalni logiki morajo biti logični vezniki, ki se uporabljajo za sestavljanje kompleksnih izjav, natančno definirani. Razmislimo o logičnih veznikih (operacijah) na izjavah, za katere velja resnica sestavljene izjave so določene samo z resničnostnimi vrednostmi sestavnih izjav in ne z njihovim pomenom.

V nadaljevanju bomo pomen »resnice« povezovali s 1 in "laž" - 0 . Vsaka logična operacija je povezana z tabela resnice. Tabela resnic izraža resničnostne vrednosti izjav glede na vrednosti osnovnih izjav. V prihodnosti bom uporabil tabelo resnic za ugotavljanje resničnostnih vrednosti kompleksnih izjav glede na vrednosti elementarnih izjav, ki so vanjo vključene.

Nato - "Ni res, da Stepan rad pleše."

Opredelitev. Konjunkcija dve trditvi je nova izjava, ki je resnična le, če sta resnični obe izvirni trditvi (tabela 4).

GRAFI. OPERACIJE NAD GRAFI.

MATRIKE IN DEJANJA NA NJIH.

Matrike (in v skladu s tem matematična sekcija- matrična algebra) imajo pomembno v uporabni matematiki, saj omogočajo zapisovanje pomembnega dela matematičnih modelov predmetov in procesov. Izraz "matrica" ​​se je pojavil leta 1850. Matrice so bile prvič omenjene l starodavna Kitajska, kasneje arabski matematiki.

Matrix A=A mn red m*n se imenuje pravokotna mizaštevila, ki vsebujejo m - vrstic in n - stolpcev.

Matrični elementi aij, za katere i=j imenujemo diagonala in oblika glavna diagonala.

Za kvadratna matrika(m=n) glavno diagonalo tvorijo elementi a 11, a 22,..., a nn.

Matrična enakost.

A=B, če matrika naroča A in B so enaki in a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Dejanja na matricah.

1. Seštevanje matrike - elementno delovanje

2. Odštevanje matrik - elementno delovanje

3. Zmnožek matrike in števila je elementna operacija

4. Množenje A*B matrike po pravilu vrstica v stolpec(število stolpcev matrike A mora biti enako številu vrstic matrike B)

§ 4. Izražanje logičnih veznikov (logičnih konstant) v naravnem jeziku

Pri razmišljanju ne operiramo le s preprostimi, temveč tudi s kompleksnimi sodbami, ki nastanejo iz preprostih preko logičnih veznikov (ali operacij) – konjunkcije, disjunkcije, implikacije, ekvivalence, negacije, ki jih imenujemo tudi logične konstante ali logične konstante. Analizirajmo, kako so našteti logični vezniki izraženi v naravnem (ruskem) jeziku.

Veznik (znak »l«) je izražen z vezniki »in«, »a«, »vendar«, »da«, »čeprav«, »ki«, »vendar«, »vendar«, »ne le. .., ampak tudi " itd. V propozicionalni logiki znak "l" povezuje preproste izjave in iz njih tvori zapletene. V naravnem jeziku lahko veznik »in« in druge vezne besede združujejo samostalnike, glagole, prislove, pridevnike in druge dele govora. Na primer: »Dedek je imel v košari jurčke in jurčke« (ab), »Na mizi leži zanimiva in lepo oblikovana knjiga.« Zadnje izjave ni mogoče razdeliti na dve preprosti, povezani z veznikom: " Zanimiva knjiga leži na mizi" in "Lepo okrašena knjiga leži na mizi" - saj se zdi, da sta na mizi dve knjigi in ne ena.

V propozicijski logiki velja zakon komutativnosti konjunkcije (ab)(ba). V naravnem ruskem jeziku takega zakona ni, saj deluje časovni dejavnik. Kjer se upošteva zaporedje v času, je uporaba veznika »in« nekomutativna. Zato na primer naslednji dve trditvi ne bosta enakovredni: 1) "Priklopili so parno lokomotivo in vlak se je začel premikati" in 2) "Vlak se je začel premikati in priklopili so parno lokomotivo."

V naravnem jeziku lahko veznik izrazimo ne samo z besedami, temveč tudi z ločili: vejica, podpičje, pomišljaj. Na primer: "Strele so bliskale, grom je zagrmel in začelo je deževati."

S. Kleene piše o izražanju konjunkcije z uporabo naravnega jezika v svoji knjigi "Matematična logika". V razdelku "Analiza sklepanja" ponuja (neizčrpen) seznam izrazov naravnega jezika, ki jih je mogoče nadomestiti s simboloma "L" ali "&". Formula A^B v naravnem jeziku se lahko izrazi takole:

"Ne samo A, ampak tudi IN. kako A, tako in IN.

IN,čeprav L. A skupaj z IN.

IN, Kljub A.A, medtem IN" 7 .

Bralcu prepuščamo, da si sam izmisli primere vseh teh struktur.

V naravnem (ruskem) jeziku je disjunkcija (označena z ab in ab) izražena z vezniki: »ali«, »ali«, »ali ... ali« itd. Na primer: »Zvečer sem bo šel v kino ali knjižnico«; "Ta žival spada med vretenčarje ali nevretenčarje"; "Poročilo bo o delih L. N. Tolstoja ali o delih F. M. Dostojevskega."

Za obe vrsti disjunkcije velja zakon komutativnosti: (ab(ba) in (ab)(ba). V naravnem jeziku je ta enakovrednost ohranjena. Na primer, sodba “ Kupil bom maslo ali kruh« je enakovreden sodbi »Kupil bom kruh ali maslo.« S. Kleene pokaže, kako je mogoče implikacijo (AB) in enakovrednost ( () izraziti v naravnem jeziku. A~B).

(V črkah A in IN so navedeni stavki spremenljivk.)

Predstavljamo logične diagrame in ustrezne primere, ki ponazarjajo različne načine izražanja posledice A -> B(Kje A- predhodnik, IN- posledično).

1. Če A, potem B.

če dobavitelji bodo dostavili dele pravočasno, to tovarna bo izpolnila proizvodni načrt.

2. Če A, potem B.

Če kmalu uporabljene sile se odstranijo, to stisnjena vzmet se vrne v prvotno obliko.

3. Ko nastopi A, B.

Kdaj prihaja slabo vreme pojavi povečanje pojavnosti srčno-žilnih bolezni pri ljudeh.

4. Za B je dovolj A.

Za da se plini širijo dovolj jih segrejte.

5. A zahteva B.

Za ohranjanje miru na Zemlji potrebno združiti prizadevanja vseh držav v boju za mir.

6. A, samo če B.

Dijaki tega predmeta niso prišli na čistilni dan, če bi le bili so bolni.

7. B. če A.

jaz Pustil te bom na sprehod, če opravili boste vse domače naloge.

Predstavljamo logične diagrame in ustrezne primere različnih načinov izražanja enakovrednost.

1. A, če in samo če B.

Ivanov svojih poskusov ne bo končal do roka, če in samo če osebje mu ne bo pomagalo.

2. Če A, potem B in obratno.

češtudent je vse izpite in prakso opravil z odlično oceno, to prejme diplomo z odliko, in obratno.

3. A, če B, in B, če A.

V krog je vpisan mnogokotnik, če njegova oglišča ležijo na krogu, in oglišča mnogokotnika ležijo na krožnici, če ta mnogokotnik je vpisan v krog.

4. Za A je B potreben in zadosten.

Za da je število deljivo s 3 brez ostanka, potrebno in zadostno, tako da je vsota števk tega števila deljiva s 3 brez ostanka.

5. A je enakovreden B(Včasih).

Dejstvo, da je ploščina pravilnega mnogokotnika enaka zmnožku poloboda in apoteme, enakovreden da je ploščina pravilnega mnogokotnika enaka zmnožku obsega in polovice apoteme.

6. In takrat in samo če V.

Podjetje se strinja, da sprejme ponudbo za nakup blaga takrat in samo takrat Cena tega izdelka bo znižana za 15%.

Iz zgornjih diagramov in ustreznih izjav s specifično, raznoliko vsebino postane jasno, kako večplastna so sredstva izražanja implikacij, enakovrednosti in drugih logičnih povezav (logičnih izrazov) v naravnem jeziku (zlasti v ruščini). To lahko rečemo za druge naravne jezike 9.

Implikacija (ab) po pomenu ne ustreza popolnoma povezavi "če ... potem" naravnega jezika, saj morda nima smiselne povezave med sodbami. A in b. V propozicionalni logiki je zakon formula: (ab)(ab).

Toda v naravnem jeziku so stvari drugačne. Včasih veznik »če, potem« ne izraža implikacije, ampak veznik. Na primer: "Če je bilo včeraj oblačno, danes sonce močno sije." Ta zapletena presoja je izražena s formulo ab. Za izražanje splošnih in partikularnih sodb se v logiki poleg logičnih veznikov uporabljata še splošni kvantifikator in kvantifikator eksistence. Zapis s splošnim kvantifikatorjem VP() se običajno glasi takole: »Vsi X(iz neke domene predmetov) imajo lastnost R«, in zapis s kvantifikatorjem obstoja Z xP(X) se glasi takole: »Obstajajo takšni X(na tem območju), ki imajo posest R". Na primer, 3x(x>100) se glasi "Obstajajo takšni X, ki so več kot 100", kjer pod Xštevilke so implicirane. Kvantifikator splošnosti je izražen z besedami: »vsi«, »vsakdo«, »vsak«, »nihče« itd. Kvantifikator obstoja je izražen z besedami: »nekateri«, »obstajajo«, »večina«, »manjšina«, »le nekateri«, »včasih«, »tisti«, »ne vsi«, »veliko«, »veliko«, »malo«, »mnogo«, »skoraj vsi« itd.

S. Kleene piše, da s prevajanjem izrazov običajnega jezika s tabularnimi propozicijskimi vezniki izgubimo nekaj odtenkov pomena, pridobimo pa jih natanko 10.

V praksi matematičnega in drugega razmišljanja obstajata pojma "nujen pogoj" in " zadosten pogoj" Pogoj se imenuje potrebno,če izhaja iz zaključka (posledica). Pogoj se imenuje zadosten, če iz njega sledi sklep (posledica). V implikaciji a ->b spremenljivka A je osnova. Imenuje se predhodnik. Spremenljivka b- posledica (zaključek). Imenuje se posledica.

Učencem pri pouku matematike so na voljo problemi tipa 1-4, ki zahtevajo, da v vsakem od naslednjih stavkov elipse zamenjajo z besedami: "potrebno" ali "zadostno" ali "potrebno in zadostno":

1. Da bi bila vsota dveh celih števil sodo število... tako da je vsak člen sod.

2. Da bi bilo število deljivo s 15 ... tako da je deljivo s 5.

3. Red za delo (X- 3) (X+2) (X- 5) je bilo enako 0, ... tako da X= 3.

4. Da bi bil štirikotnik pravokotnik ... tako da so vsi njegovi koti enaki 11.

Oblikujmo osnovna pravila za tvorjenje novih stavkov iz prvotnih z uporabo osnovnih veznikov in veznikov običajnega govorjeni jezik. Samo pravila ruskega jezika niso dovolj, saj včasih v isti stavek, oblikovan v ruščini, vložimo različne pomene. Na primer, razmislite o obratu fraze "Če, potem", s katero oblikujemo dva stavka:

• 1) "Če Miša opravi izpit z odliko, bo šel v disko."
• 2) "Če Miša ne opravi izpita z odliko, potem ne bo šel v disko."

Vprašanje: Ali ti stavki govorijo isto ali obstaja situacija, ko je eden od stavkov resničen, drugi pa napačen? Z drugimi besedami, vprašanje je, ali so ti stavki enakovredni.

Dokler jasno ne opredelimo pravil za sestavo tovrstnih fraz, je na vprašanje nemogoče nedvoumno odgovoriti. Po eni strani pri oblikovanju prvega stavka pogosto mislimo na drugi stavek. Vendar poglejmo te predloge z drugega zornega kota.

Najprej zapišimo stavčne diagrame. Da bi to naredili, s črko označimo stavek "Miša bo opravil izpit z odliko". A, in stavek "Miša bo šel v disko" - s pismom IN. Nato lahko te predloge shematično zapišemo na naslednji način:

I) "Če A, To IN", 2) »Če ne A, potem ne IN".

Zdaj pa zamenjajmo A in IN druge napovedi. Namesto A vzemimo: "Miza je iz hrasta", namesto IN"Miza je lesena." Nato dobimo še en par stavkov:

• 1) "Če je miza hrastova, potem je lesena,"
• 2) "Če miza ni hrastova, potem ni lesena."

Ker so ti stavki zgrajeni po enakih shemah kot prva dva, pomeni, da mora enakovrednost prvega para stavkov pomeniti enakovrednost drugega para. Vendar je prvi stavek v navadnem govoru očitno resnična izjava, ker je hrast drevo, drugi stavek pa je na splošno napačen, saj je miza lahko narejena iz drugega drevesa, na primer bora.

Tako v splošni primer stavki, zgrajeni v skladu z »Če A, To IN" in "Če ne A, potem ne IN" ni mogoče šteti za logično enaka.

Torej, da bi odpravili dvoumnost pri konstrukciji stavkov, potrebujemo jasna pravila, ki nam omogočajo, da ugotovimo resničnost ali lažnost nastalega stavka glede na resničnost ali lažnost izvirnih stavkov. A in IN.

Dajmo veznikom »in«, »ali«, pa tudi shemam »če, potem«, »takrat in samo takrat«, »ni res, da« nedvoumen logični pomen.

Naj črke A in B stojijo za poljubne stavke. Začnimo s preprostimi situacijami.

1. Negacijski znak~| (-i) oz. Izraz ~li(-L, A) se glasi: "ni A" oz "ni res, da A."

Pomeni stavkov ~A opredeliti s tabelo, iz katere je razvidno, da predlog ~l res, ko izvirni stavek A napačno:

Pri oblikovanju stavkov, ki so po strukturi enostavni, lahko delček »ne« včasih »prenesemo v« stavek. Na primer stavek

"Ni res, da je število V6 celo število" lahko formuliramo takole: "Število l/6 ni celo število." Tudi stavek »Ni res tako naravnost A in b sekajo" formulirajo: "Neposredno A in b Ne bomo vprašali.”

Pogosto se predmet, ki nima neke lastnosti, imenuje izraz z delcem "ne". Na primer, celo število, ki ni sodo, se imenuje liho. Zato je enako pravilno reči "Celo število je liho" in "Celo število ni sodo." Toda brez določila, da je število celo število, imamo stavke z različnimi pomeni. Na primer, "Število 0,2 ni sodo" je resnično, stavek "Število 0,2 je liho" pa je napačen.

Razmislite o besedni zvezi " nenavadna funkcija" Tukaj imamo samostojni izraz in besede "liho" ni mogoče napisati in izgovoriti ločeno, to pomeni, da stavek "Funkcija je liho" ni zanikanje stavka "Funkcija je sodo." Dejansko obstaja primer funkcije, v kateri sta oba stavka napačna. Na primer funkcija )t=x+ ni niti sodo niti liho (poskusite to razložiti).

2. Znak veznika l. Izraz LlW se glasi: "A in B". Včasih je veznik označen z &.

Pomeni stavkov AlV odvisno od stavkov, ki jo sestavljajo A in B določeno s tabelo:

Torej predlog AlV velja samo v enem primeru, ko oba stavka A in IN so resnične. V drugih primerih je ta stavek napačen. Pri oblikovanju predloga AlV Namesto veznika "in" lahko uporabite druge veznike, ki imajo enak logični pomen hkratnega izpolnjevanja vsakega od stavkov: "a", "ampak".

Primer 1.3.1. Stavek "Številka" 111 ni deljivo z 2, ampak je deljivo s 3" - simbolično lahko napišete 1 AlV, Kje A= "111 je deljivo z 2", B = " 111 je deljivo s 3."

3. Disjunkcijski znak v. Izrazi AvB se glasi: "A ali B."

Pomeni stavkov AvB določeno s tabelo:

Iz tabele je razvidno, da ponudba "A oz IN" velja v tistih primerih, ko je vsaj eden od stavkov A oz IN res, in v primeru, ko oba stavka A in IN false, stavek AvB sprejme lažno vrednost.

Včasih iz vsebine stavkov A in IN iz tega sledi, da stavki ne morejo biti hkrati resnični. V tem primeru je stavek oblikovan z veznikom "ali". Na primer, stavek "Število je pozitivno ali negativno" ima tudi obliko "A oz IN«, a ima hkrati tako implikacijo, da je hkrati pozitivna in negativno število ne more biti.

Zgoraj oblikovana pravila očitno ne vzbujajo nobenih vprašanj. Pojdimo na diagram, obravnavan na začetku odstavka »Če A, to IN".

4. Znak implikacije-Izraz A->B se glasi: "Če A, potem B." Včasih se za označevanje tega veznika uporablja drug simbol puščice =>, pa tudi znak z>. Skupaj s stavkom »Če A, To IN" drugi podobni uporabljajo: "B, ko A», "A samo ko B."

Motiviramo opredelitev stavčnih pomenov A->B. Glavna težava, ki se tu pojavi, je pripisati pomen stavku L-»# za tiste primere, ko A lažno. Če želite pametno določiti vrednosti, se spomnite zgornjega pravilen stavek: "Če je miza hrastova, potem je lesena." Tukaj A= “Hrastova miza”, B ="Lesena miza." Naj bo miza iz bora. Potem A lažno, IN prav. Naj bo miza železna. Potem A lažno in IN lažno. V obeh primerih ponudba A je napačen in nastali stavek »Če A, To IN" prav. Poleg tega sta oba primera resnično možna. Seveda je možno, da imamo hrastova miza, Potem Aja B hkrati res. Tukaj je primer pravega stavka A->B, Kdaj A=u>B=l, ne obstaja.

Tako primeri, ko A=u, B=i, oz A=l y B=i, oz A=l, V=l, mora določiti pravi stavek In samo en primer, ko

ki A=u, V-l, pomeni, da ponudba A->B lažno.

Torej so v matematični logiki vrednosti T-stavka podane v spodnji tabeli:

V nadaljevanju skozi stavek »Če A, To IN" bo razumel tako. Tukaj je predlog A klical s paketom, oz stanje, A V zaključku.

Primer 13.2. Starši so sinu Petji obljubili: če bo uspešno diplomiral na univerzi, mu bodo kupili avto. Znano je, da sin ni diplomiral na univerzi, a so mu starši vseeno kupili avto. Ali je mogoče reči, da je bilo to, kar so povedali starši, laž?

Če želite odgovoriti na vprašanje, upoštevajte predloge: A= "Moj sin končuje univerzo", B ="Kupijo mu avto." pri čemer A=l, B=i. Obljuba staršev je videti takole A^>B. Po definiciji je to predlog dane vrednosti A in IN res (tretja vrstica tabele). Zato so z logičnega vidika besede staršev pravilne. A če bi sin končal fakulteto, pa mu ne bi kupili avta, v tem primeru (in v nobenem drugem) obljuba ne bi bila izpolnjena.

Zdaj pa poglejmo še en logični veznik, ki je pogosto mišljen, ko izgovorimo besede »če, potem«. Če bi na primer v pogojih primera 1.3.2 starši domnevali, da mu ne bi kupili avtomobila, če njihov sin Petya ne bi končal fakultete, bi bilo pravilno reči: »Avto bo kupljen, če in samo če Petya diplomira na inštitutu."

5. Znak enakovrednosti oz. Izraz In se glasi: "In če in samo če B." Možne so tudi druge formulacije: "In če in samo če B», "A točno takrat, ko B" in tako naprej.

Pomeni stavkov AB podaja tabela:

V primerih, ko A in IN sprejeti iste vrednosti, ponudba AB res, sicer je stavek napačen.

Preprosto je videti, da fraza "A takrat in samo takrat IN" je sestavljen iz dveh stavkov: "A kdaj potem IN" in "Ašele ko IN". Prvi stavek je napisan B->A, in drugo A^>B. Ta dva stavka sta istočasno resnična v dveh primerih: A=u, B=u, in A=l, B=l.

Torej, definirali smo pet znakov: l (konjunkcija), v (disjunkcija), -> (implikacija), (ekvivalentnost), 1 (negacija), ki se imenujejo

logični sejalniki. Ti znaki omogočajo iz teh stavkov A in IN prejemati nove ponudbe. V tem primeru je pomen (resničen ali napačen) novega stavka enolično določen s pomeni stavkov A in IN. Pravilo za pridobitev novega stavka iz prvotnih stavkov se imenuje logično delovanje. Vsak od logičnih veznikov torej določa logično delovanje, ki ima isto ime kot ustrezni sveženj.

Upoštevane operacije je mogoče uporabiti tako za izjave kot za predikate. Na primer s kombiniranjem dveh unarnih predikatov " Število, t več 3" in "Številka X nikalno« z disjunkcijskim znakom dobimo enomestni predikat: »Število X več kot 3 ali negativno." Edino, da je za povezavo dveh predikatov z logičnim veznikom potrebno nekaj splošno območje D veljavne objekte, ki jih je mogoče nadomestiti v te predikate namesto spremenljivk.

Določimo še dva logična veznika, imenovana kwaitora.mi, ki nam omogočajo pridobivanje stavkov iz unarnih predikatov. Izraz "kvantifikator" je preveden iz latinski jezik pomeni "koliko". Zato se ti znaki uporabljajo za odgovor na vprašanje, koliko predmetov izpolnjuje predlog in- vsi ali vsaj eden.

Vzemimo poljuben predikat in izberimo spremenljivko, od katere je odvisna njegova vrednost. Označimo ga Oh).

6. Splošni kvantifikator V. Ta znak izpeljano iz angleška beseda AN in je okrajšava naslednjih besed: "teža", "vsak", "kateri koli", "kateri koli".

Izraz Vj&4(y) pomeni, da predikat Oh) izvede za vse veljavne objekte X. Piše: "Za vse X in od X."

7. Eksistencialni kvantifikator 3. Ta znak prihaja iz angleške besede obstajati in je okrajšava naslednjih besed: "obstaja", "bo", "vsaj eden", "nekaj".

Izraz 3x4(*) pomeni, da predikat Oh) se izvede za vsaj enega od veljavnih objektov.v. Piše: "Obstaja x in iz x."

Primer 1.3.3. Naj spremenljivka X označuje študenta. Razmislimo o predlogu Oh)= "Študent l: ima avto." Potem VxA(x) pomeni, da imajo vsi študenti avto. To je napačna izjava. Ponudba EhA(x) pomeni, da imajo nekateri študenti avto, kar je resnična trditev.

Tako smo na začetku imeli predikat, katerega vrednost je bila odvisna od vrednosti spremenljivke dg. Po izvedbi operacij so bili pridobljeni stavki, katerih vrednosti niso več odvisne od spremenljivke X.

Naj bo formula L(x), ki vsebuje prosto spremenljivko X. Nato izjava, da formula Oh) je enako resničen, ga lahko na kratko zapišemo kot Vj&4(jc).

Imenuje se operacija pridobivanja stavka z uporabo kvantifikatorjev kvantifikacija. Pri uporabi izrazov UhA(x) in 3 xA(x) povej tudi: "Spremenljivki x je bil dodan kvantifikator" oz "Spremenljivka x je povezana s kvantifikatorjem."

Upoštevajte, da operacije kvantifikatorjev niso uporabne le za enomestne predikate. Če je podan dvomestni predikat A(hu), potem lahko povežete spremenljivko l - kvantifikator in tvorite stavek /xA(xy), katerih resnica bo odvisna samo od ene spremenljivke y, in imeli bomo enomestni predikat. V tem vnosu spremenljivka X klical povezana s kvantifikatorjem, in spremenljivko y - brezplačno. V splošnem primeru z uporabo operacije kvantifikatorja za katero koli od spremenljivk predikata /7 na koncu dobimo predikat na (n-1) mestu.

Kvantifikatorje je mogoče uporabiti za povezovanje poljubnega števila spremenljivk. Če imamo dvomestni predikat A(hu), potem formalno lahko dobite 8 izjav.

povezovanje vsake spremenljivke z nekim kvantifikatorjem: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Nekateri stavki imajo enak pomen, na primer prvi in ​​drugi (predikat A mora biti resnično za vse vrednosti * in y), kot tudi za sedmo in osmo. Preostali izrazi na splošno dajejo izjave drugačne resnice.

Primer 1.3.4. Naj bosta v razredu samo dva fanta - Petya in Kolya. Za neodvisna odločitev podane so bile tri težave, označimo jih s številkami 1, 2, 3. Petya je rešil nalogi 1 in 2, Kolya pa je rešil eno težavo s številko 3. Predstavimo predikat A(hu), kar pomeni, da je fant * rešil problem u. Tukaj je spremenljivka X označuje fantkovo ime in spremenljivko pri- številka naloge. Razmislite o naslednjih izjavah.

Vx3yA(xy)= "Vsak fant je rešil vsaj eno nalogo" - resnična izjava, saj je Petya rešil dve nalogi, Kolya pa vsaj eno težavo.

• 3_yVx4(.*,y) = »Obstaja problem, ki so ga rešili vsi fantje v razredu« - napačno, ker takega problema ni (samo Petya je rešil 1. in 2. problem, samo Kolya pa 3.).
• 3xVyA(x,y) = "Vsaj en fant je rešil vse težave" je napačna izjava.

V_yEx,4(;c,y) = »Vsako težavo je rešil vsaj en učenec« - res, torej je nalogo št. 1 rešil Petya, nalogo številka 2 je prav tako rešil Petya, nalogo 3 pa je rešil Kolya.

Iz obravnavanega primera lahko sklepamo: vrstni red zapisa kvantifikatorjev vpliva na logični pomen stavka. Zato mora jasna formulacija stavka nedvoumno predpostaviti vrstni red, v katerem se pojavljajo kvantifikatorji splošnosti in obstoja.

telovadba. Sami analizirajte pomene izjav iz primera 1.3.4 ob predpostavki, da je Petya rešil nalogi s številko 2 in 3.

Na splošno iz predikata Oh) lahko dobite dve izjavi - /xA(x) in 3x4(x). Vendar zelo pogosto zapisana formula Oh) se razume natančno kot izjava Vx4(.x), čeprav je splošni kvantifikator izpuščen, ko je napisan ali oblikovan. Če na primer zapišemo d- 2 >0, pomenijo, da je kvadrat katerega koli realno število nenegativno. Poln vstop Stavek je: Ulg(dg?0). Zapis (4x + 6y): 2, Kje*, y- cela števila, predpostavlja, da je navedena vsota vedno deljiva z 2, torej soda. Da bi to poudarili, bi morali napisati V*Vy((4.x + 6jy):2).

Opredeljeno v zadnjih dveh odstavkih matematični znaki in znaki logičnih veznikov sestavljajo abecedo matematičnega jezika.

Kompleksna propozicija je tista, ki vsebuje logične vezi in je sestavljena iz več preprostih propozicij.

V nadaljevanju bomo preproste sodbe obravnavali kot zanesljive nedeljivi atomi, kot elementi, iz kombinacije katerih nastanejo kompleksne strukture. Preproste trditve bomo označevali z ločenimi latiničnimi črkami: a, b, c, d, ... Vsaka taka črka predstavlja določeno preprosto propozicijo. Kje lahko to vidite? Oddih od kompleksa notranja struktura preprosta sodba, iz njene kvantitete in kvalitete, pri čemer pozabimo, da ima subjekt in predikat, ohranimo samo eno lastnost sodbe - da je lahko resnična ali napačna. Vse ostalo nas tukaj ne zanima. In ko rečemo, da črka "a" predstavlja propozicijo, in ne koncept, ne številko, ne funkcijo, mislimo samo eno stvar: da "a" predstavlja resnico ali laž. Če z "a" mislimo na predlog "Kenguruji živijo v Avstraliji," mislimo na resnico; če z "a" mislimo na predlog "Kenguruji živijo v Sibiriji", mislimo na laž. Tako naše črke "a", "b", "c" itd. – to so spremenljivke, ki jih je mogoče zamenjati z true ali false.

Logični vezniki so formalni analogi veznikov v našem maternem naravnem jeziku. kako zapleteni stavki so zgrajene iz preprostih s pomočjo veznikov »vendar«, »saj«, »ali« ipd., zapletene sodbe pa iz preprostih s pomočjo logičnih veznikov. Tu začutimo veliko večjo povezavo med mišljenjem in jezikom, zato bomo v nadaljevanju namesto besede »sodba«, ki označuje čisto misel, pogosto uporabljali besedo »izjava«, ki označuje misel v njenem jezikovno izražanje. Pa se seznanimo z najpogosteje uporabljenimi logičnimi vezniki.

Negacija. V naravnem jeziku ustreza izrazu »Ni res, da ...«. Zanikanje običajno označuje znak »¬« pred črko, ki predstavlja nek predlog: »¬a« se glasi »Ni res, da a«. Primer: "Ni res, da je Zemlja krogla."

Pozorni morate biti na eno subtilno okoliščino. Zgoraj smo govorili o preprostih negativnih sodbah. Kako jih ločiti od zapletenih sodb z zanikanjem? Logika razlikuje dve vrsti negacije - notranjo in zunanjo. Ko se zanikanje pojavi znotraj enostavnega predloga pred veznikom »je«, potem imamo v tem primeru opravka s preprostim negativnim predlogom, na primer: »Zemlja ni krogla«. Če zanikanje navzven je vezan na sodbo, npr.: »Ni res, da je Zemlja žoga,« potem takšno zanikanje obravnavamo kot logični veznik, ki preprosto sodbo spremeni v kompleksno.

Konjunkcija. V naravnem jeziku ta veznik ustreza veznikom »in«, »a«, »vendar«, »vendar« itd. Najpogosteje je veznik označen s simbolom "&". Zdaj se ta ikona pogosto nahaja v imenih različnih družb in podjetij. Predlog s takim veznikom se imenuje veznik ali preprosto veznik in izgleda takole:

a&b. Primer: "Dedkova košara je vsebovala jurčke in jurčke." Ta zapletena sodba je povezava dveh preprostih trditev: »V dedkovi košari so bili jurčki« in »V dedkovi košari so bili jurčki«.

Disjunkcija. V naravnem jeziku ta veznik ustreza vezniku »ali«. Običajno je označena z "v". Sodba s takšnim veznikom se imenuje disjunktivna ali preprosto disjunkcija in izgleda takole: a v b.

Veznik »ali« se v naravnem jeziku uporablja v dveh različne pomene: ohlapni “ali” – kadar se členi disjunkcije ne izključujejo, tj. je lahko hkrati resnično in strogi "ali" (pogosto nadomeščen s parom veznikov "ali ... ali ...") - ko se člani disjunkcije med seboj izključujejo. V skladu s tem ločimo dve vrsti disjunkcije - strogo in nestrogo.

Implikacija. V naravnem jeziku ustreza vezniku »če ... potem«. Označena je z znakom “->”. Predlog s takšnim veznikom se imenuje implikativ ali preprosto implikacija in je videti takole: a -> b. Primer: »Če gre sprevodnik mimo elektrika, potem se prevodnik segreje.« Prvi člen implikacije se imenuje antecedent ali osnova; drugi je posledica ali posledica. V vsakdanjem jeziku veznik »če... potem« običajno povezuje povedi, ki izražajo vzročno-posledično zvezo pojavov, pri čemer prvi stavek določa vzrok, drugi pa posledico. Od tod tudi imena članov implikacije.

Predstavljanje stavkov naravnega jezika v simbolni obliki z uporabo zgornjih zapisov pomeni njihovo formalizacijo, kar se v mnogih primerih izkaže za koristno.

4) V toplem oceanu je ležal čudovit otok. In vse bi bilo v redu, toda tujci so se navadili naseliti na tem otoku. Prihajajo in prihajajo z vsega sveta, staroselce pa so začeli stiskati. Da bi preprečil vdor tujcev, je vladar otoka izdal odlok: »Vsak obiskovalec, ki se želi naseliti na našem blagoslovljenem otoku, je dolžan narediti nekaj sodbe. Če se sodba izkaže za resnično, je treba tujca ustreliti; če se izkaže, da je sodba napačna, ga je treba obesiti.« Če te je strah, potem utihni in se obrni!

Vprašanje je: kakšno sodbo je treba sprejeti, da bi ostal živ in se še vedno naselil na otoku?