Obiščite youtube kanal našega spletnega mesta, da boste na tekočem z vsemi novimi video lekcijami.

Najprej se spomnimo osnovne formule stopnje in njihove lastnosti.

Produkt števila a pojavi sam na sebi n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Moč oz eksponentne enačbe – to so enačbe, v katerih so spremenljivke na potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.

Primeri eksponentnih enačb:

V tem primeru je številka 6 osnova, vedno je na dnu in spremenljivka x stopnja ali indikator.

Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?

Vzemimo preprosto enačbo:

2 x = 2 3

Ta primer je mogoče rešiti celo v glavi. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, da bi bili leva in desna stran enaki, morate namesto x postaviti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako formalizirati to odločitev:

2 x = 2 3
x = 3

Da bi rešili tako enačbo, smo odstranili enake podlage(torej dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.

Zdaj pa povzamemo našo odločitev.

Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enako ali ima enačba bazi na desni in levi. Če razlogi niso enaki, iščemo rešitve ta primer.
2. Ko osnove postanejo enake, enačiti stopinj in rešite nastalo novo enačbo.

Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov:

Začnimo z nečim preprostim.

Osnovi na levi in ​​desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da osnovo lahko zavržemo in njuni moči izenačimo.

x+2=4 Dobimo najenostavnejšo enačbo.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2

IN naslednji primer Vidi se, da sta osnovi različni: 3 in 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Najprej premaknite devet na desno stran, dobimo:

Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=32. Uporabimo formulo za moč (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dobimo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 zdaj lahko vidite to na levi in desna stran osnovi sta enaki in enaki trem, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.

3x=2x+16 dobimo najenostavnejšo enačbo
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Poglejmo si naslednji primer:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Najprej pogledamo baze, baze dve in štiri. In potrebujemo, da so enaki. Štiri transformiramo z uporabo formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj v enačbo:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Iz istih razlogov smo dali primer. Toda druge številke 10 in 24 nas motijo. Kaj storiti z njimi? Če natančno pogledate, lahko vidite, da se na levi strani ponavlja 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko postavimo iz oklepaja:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz v oklepajih:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celotno enačbo delimo s 6:

Predstavljajmo si 4=2 2:

2 2x = 2 2 osnovi enaki, ju zavržemo in stopnji izenačimo.
2x = 2 je najenostavnejša enačba. Delimo z 2 in dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo enačbo:

9 x – 12*3 x +27= 0

Preobrazimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše osnove so enake, enake tri. V tem primeru lahko vidite, da imajo prve tri stopnjo dvakrat (2x) kot druge (samo x). V tem primeru lahko rešite nadomestni način. Število nadomestimo z najmanjšo stopnjo:

Potem je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vse potence x v enačbi zamenjamo s t:

t 2 - 12t+27 = 0
Dobimo kvadratna enačba. Če rešimo diskriminanto, dobimo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vrnitev k spremenljivki x.

Vzemite t 1:
t 1 = 9 = 3 x

to je

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na spletni strani lahko zastavite morebitna vprašanja v rubriki POMAGAJTE SE ODLOČITI, zagotovo vam bomo odgovorili.

Pridružite se skupini

Reševanje eksponentnih enačb. Primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj se je zgodilo eksponentna enačba? To je enačba, v kateri so neznanke (x) in izrazi z njimi indikatorji nekaj stopinj. In samo tam! Je pomembno.

Tukaj si primeri eksponentnih enačb:

3 x 2 x = 8 x+3

Opomba! V osnovah stopinj (spodaj) - samo številke. IN indikatorji stopnje (zgoraj) - široka paleta izrazov z X. Če se nenadoma pojavi X v enačbi nekje drugje kot indikator, na primer:

to bo enačba mešani tip. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zaenkrat jih ne bomo upoštevali. Tukaj se bomo ukvarjali s reševanje eksponentnih enačb v najčistejši obliki.

Pravzaprav tudi čiste eksponentne enačbe niso vedno jasno rešene. Vendar obstajajo določene vrste eksponentnih enačb, ki jih je mogoče in jih je treba rešiti. To so vrste, ki jih bomo upoštevali.

Reševanje preprostih eksponentnih enačb.

Najprej rešimo nekaj zelo osnovnega. Na primer:

Tudi brez kakršnih koli teorij je s preprostim izborom jasno, da je x = 2. Nič več, kajne!? Nobena druga vrednost X ne deluje. Zdaj pa poglejmo rešitev te zapletene eksponentne enačbe:

Kaj smo storili? Pravzaprav smo iste baze (trojčke) preprosto vrgli ven. Popolnoma vržen ven. In dobra novica je, da smo zadeli žebljico na glavico!

Dejansko, če v eksponentni enačbi obstajata leva in desna enakoštevila na poljubnih potencah, lahko ta števila odstranimo in eksponente izenačimo. Matematika dopušča. Ostaja rešiti veliko preprostejšo enačbo. Odlično, kajne?)

Vendar si trdno zapomnimo: Osnove lahko odstranite le, če sta številki baze na levi in ​​desni strani čudovita izolacija! Brez sosedov in koeficientov. Recimo v enačbah:

2 x +2 x+1 = 2 3 ali

dvojk ni mogoče odstraniti!

Pa smo obvladali najpomembnejše. Kako se premakniti od zla demonstrativni izrazi na preprostejše enačbe.

"Takšni so časi!" - Ti rečeš. "Kdo bi dal tako primitivno lekcijo na testih in izpitih!?"

Moram se strinjati. Nihče ne bo. Zdaj pa veste, kam ciljati pri reševanju zapletenih primerov. Pripeljati ga je treba do obrazca, kjer je na levi in ​​desni enaka osnovna številka. Potem bo vse lažje. Pravzaprav je to klasika matematike. Vzamemo izvirni primer in ga spremenimo v želenega nas um. Po pravilih matematike, seveda.

Oglejmo si primere, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih zmanjšamo na najpreprostejše. Pokličimo jih preproste eksponentne enačbe.

Reševanje eksponentnih enačb. Primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj se je zgodilo eksponentna enačba? To je enačba, v kateri so neznanke (x) in izrazi z njimi indikatorji nekaj stopinj. In samo tam! Je pomembno.

Tukaj si primeri eksponentnih enačb:

3 x 2 x = 8 x+3

Opomba! V osnovah stopinj (spodaj) - samo številke. IN indikatorji stopnje (zgoraj) - široka paleta izrazov z X. Če se nenadoma pojavi X v enačbi nekje drugje kot indikator, na primer:

to bo že enačba mešanega tipa. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za reševanje. Zaenkrat jih ne bomo upoštevali. Tukaj se bomo ukvarjali s reševanje eksponentnih enačb v najčistejši obliki.

Pravzaprav tudi čiste eksponentne enačbe niso vedno jasno rešene. Vendar obstajajo določene vrste eksponentnih enačb, ki jih je mogoče in jih je treba rešiti. To so vrste, ki jih bomo upoštevali.

Reševanje preprostih eksponentnih enačb.

Najprej rešimo nekaj zelo osnovnega. Na primer:

Tudi brez kakršnih koli teorij je s preprostim izborom jasno, da je x = 2. Nič več, kajne!? Nobena druga vrednost X ne deluje. Zdaj pa poglejmo rešitev te zapletene eksponentne enačbe:

Kaj smo storili? Pravzaprav smo iste baze (trojčke) preprosto vrgli ven. Popolnoma vržen ven. In dobra novica je, da smo zadeli žebljico na glavico!

Dejansko, če v eksponentni enačbi obstajata leva in desna enakoštevila na poljubnih potencah, lahko ta števila odstranimo in eksponente izenačimo. Matematika dopušča. Ostaja rešiti veliko preprostejšo enačbo. Odlično, kajne?)

Vendar si trdno zapomnimo: Baze lahko odstranite le, če sta bazni številki na levi in ​​desni v čudoviti izolaciji! Brez sosedov in koeficientov. Recimo v enačbah:

2 x +2 x+1 = 2 3 ali

dvojk ni mogoče odstraniti!

Pa smo obvladali najpomembnejše. Kako preiti od zlih eksponentnih izrazov k preprostejšim enačbam.

"Takšni so časi!" - Ti rečeš. "Kdo bi dal tako primitivno lekcijo na testih in izpitih!?"

Moram se strinjati. Nihče ne bo. Zdaj pa veste, kam ciljati pri reševanju zapletenih primerov. Pripeljati ga je treba do obrazca, kjer je na levi in ​​desni enaka osnovna številka. Potem bo vse lažje. Pravzaprav je to klasika matematike. Vzamemo izvirni primer in ga spremenimo v želenega nas um. Po pravilih matematike, seveda.

Oglejmo si primere, ki zahtevajo nekaj dodatnega truda, da jih zmanjšamo na najpreprostejše. Pokličimo jih preproste eksponentne enačbe.

Reševanje preprostih eksponentnih enačb. Primeri.

Pri reševanju eksponentnih enačb so glavna pravila dejanja s stopnjami. Brez poznavanja teh dejanj nič ne bo delovalo.

Dejanjem z diplomami je treba dodati osebno opazovanje in iznajdljivost. Ali potrebujemo enaka osnovna števila? Zato jih v primeru iščemo v eksplicitni ali šifrirani obliki.

Poglejmo, kako se to izvaja v praksi?

Naj nam navedejo primer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi oster pogled je na razlogov. Oni... So drugačni! Dva in osem. Vendar je še prezgodaj, da bi postali malodušni. Čas je, da se tega spomnimo

Dva in osem sta sorodnika po stopnji.) Povsem mogoče je napisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Če se spomnimo formule iz operacij s stopinjami:

(a n) m = a nm,

tole deluje odlično:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Izvirni primer začel izgledati takole:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Prenašamo 2 3 (x+1) na desno (nihče ni preklical osnovnih matematičnih operacij!), dobimo:

2 2x = 2 3(x+1)

To je praktično vse. Odstranjevanje podstavkov:

Rešimo to pošast in dobimo

To je pravilen odgovor.

V tem primeru nam je pomagalo poznavanje moči dvojke. mi ugotovljeno v osmici je šifrirana dvojka. Ta tehnika (šifriranje skupnih podlag pod različne številke) je zelo priljubljena tehnika v eksponentnih enačbah! Da, in tudi v logaritmih. Moraš biti sposoben prepoznati moči drugih števil v številih. To je izjemno pomembno za reševanje eksponentnih enačb.

Dejstvo je, da dvig poljubnega števila na poljubno potenco ni problem. Pomnožite, tudi na papirju, in to je to. Vsakdo lahko na primer dvigne 3 na peto potenco. 243 se bo izkazalo, če poznate tabelo množenja.) Toda v eksponentnih enačbah veliko pogosteje ni treba dvigniti na potenco, ampak obratno ... Ugotovite kakšno število do katere stopnje se skriva za številko 243, ali pa recimo 343... Tukaj ti ne bo pomagal noben kalkulator.

Morate poznati moči nekaterih števil na pogled, kajne ... Vadimo?

Ugotovite, katere potence in katera števila so števila:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (v zmešnjavi, seveda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Če pogledate natančno, lahko vidite čudno dejstvo. Odgovorov je bistveno več kot nalog! No, se zgodi ... Na primer, 2 6, 4 3, 8 2 - to je vse 64.

Predpostavimo, da ste upoštevali informacije o poznavanju števil.) Naj vas spomnim tudi, da za reševanje eksponentnih enačb uporabljamo vse zaloga matematično znanje. Vključno s tistimi iz nižjih in srednjih razredov. Niste šli naravnost v srednjo šolo, kajne?)

Na primer, pri reševanju eksponentnih enačb pogosto pomaga dajanje skupnega faktorja iz oklepaja (pozdravljeni v 7. razredu!). Poglejmo primer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

In spet je prvi pogled na temelje! Osnove stopinj so različne ... Tri in devet. A želimo, da so enaki. No, v tem primeru je želja popolnoma izpolnjena!) Ker:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Uporaba istih pravil za ravnanje z diplomami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To je super, lahko zapišete:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Iz istih razlogov smo dali primer. Torej, kaj je naslednje!? Ne moreš vreči trojk ... Slepa ulica?

Sploh ne. Zapomnite si najbolj univerzalno in močno pravilo odločanja vsi naloge iz matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!

Poglej, vse se bo izšlo).

Kaj je v tej eksponentni enačbi Lahko narediti? Ja, na levi strani kar kliče iz oklepaja! Skupni množitelj 3 2x jasno namiguje na to. Poskusimo, potem pa bomo videli:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Zgled je vedno boljši!

Ne pozabimo, da za odpravo razlogov potrebujemo čisto stopnjo, brez koeficientov. Številka 70 nas moti. Torej delimo obe strani enačbe s 70, dobimo:

Ups! Vse je šlo na bolje!

To je končni odgovor.

Zgodi pa se, da je taksiranje na isti podlagi doseženo, vendar njihova odprava ni možna. To se zgodi v drugih vrstah eksponentnih enačb. Obvladajmo to vrsto.

Zamenjava spremenljivke pri reševanju eksponentnih enačb. Primeri.

Rešimo enačbo:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprej - kot običajno. Pojdimo na eno bazo. Na dvojko.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobimo enačbo:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

In tukaj se družimo. Prejšnje tehnike ne bodo delovale, ne glede na to, kako gledate. Dobiti bomo morali drugo močno in univerzalna metoda. To se imenuje variabilna zamenjava.

Bistvo metode je presenetljivo preprosto. Namesto ene kompleksne ikone (v našem primeru - 2 x) napišemo drugo, preprostejšo (na primer - t). Takšna na videz nesmiselna zamenjava vodi do neverjetnih rezultatov!) Vse postane jasno in razumljivo!

Torej naj

Potem je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

V naši enačbi zamenjamo vse potence z x-ji s t:

No, ali se vam posveti?) Ste že pozabili kvadratne enačbe? Če rešimo diskriminanto, dobimo:

Glavna stvar tukaj je, da se ne ustavite, kot se zgodi ... To še ni odgovor, potrebujemo x, ne t. Vrnimo se k X-om, tj. naredimo obratno zamenjavo. Najprej za t 1:

to je

Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:

Hm... 2 x na levi, 1 na desni... Problem? Sploh ne! Dovolj je, da se spomnimo (iz operacij s potencami, ja ...), da enota je kajštevilo na ničelno potenco. Kaj. Kar bo potrebno, bomo vgradili. Potrebujemo dva. Pomeni:

To je zdaj to. Imamo 2 korena:

To je odgovor.

pri reševanje eksponentnih enačb na koncu včasih končaš s kakšnim nerodnim izrazom. Tip:

Od sedmih do dveh preprosta stopnja ne deluje. Saj nista sorodnika... Kako naj bova? Nekdo je morda zmeden ... Toda oseba, ki je na tej strani prebrala temo "Kaj je logaritem?" , se le skopo nasmehne in s trdno roko zapiše povsem pravilen odgovor:

Takšnega odgovora v nalogah "B" na Enotnem državnem izpitu ne more biti. Tam je potrebna posebna številka. Toda pri nalogah "C" je enostavno.

Ta lekcija nudi primere reševanja najpogostejših eksponentnih enačb. Poudarimo glavne točke.

Praktični nasveti:

1. Najprej pogledamo razlogov stopnje. Zanima nas, ali jih je možno narediti enaka. Poskusimo to storiti z aktivno uporabo dejanja s stopnjami. Ne pozabite, da je mogoče števila brez x-jev pretvoriti tudi v potence!

2. Eksponentno enačbo poskušamo spraviti v obliko, ko sta na levi in ​​na desni enakoštevila v poljubnih potencah. Uporabljamo dejanja s stopnjami in faktorizacija. Kar se da prešteti v številkah, štejemo.

3. Če drugi nasvet ne deluje, poskusite uporabiti zamenjavo spremenljivke. Rezultat je lahko enačba, ki jo je mogoče zlahka rešiti. Najpogosteje - kvadrat. Ali ulomek, ki se prav tako zmanjša na kvadrat.

4. Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati potence nekaterih števil na pogled.

Kot ponavadi ste na koncu lekcije vabljeni, da se malo odločite.) Sami. Od enostavnega do kompleksnega.

Reši eksponentne enačbe:

Težje:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Poiščite produkt korenin:

2 3 + 2 x = 9

Se je zgodilo?

No torej najbolj zapleten primer(odločen, vendar v mislih ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kaj je bolj zanimivo? Potem je tukaj slab primer za vas. Precej privlači povečana težavnost. Naj namignem, da vas v tem primeru reši iznajdljivost in najbolj univerzalno pravilo za reševanje vseh matematičnih problemov.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Enostavnejši primer, za sprostitev):

9 2 x - 4 3 x = 0

In za sladico. Poiščite vsoto korenin enačbe:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! To je enačba mešanega tipa! Česar v tej lekciji nismo upoštevali. Zakaj bi jih upoštevali, treba jih je rešiti!) Ta lekcija je povsem dovolj za rešitev enačbe. Pa iznajdljivost rabiš... In naj ti pomaga sedmi razred (to je namig!).

Odgovori (razporejeni, ločeni s podpičji):

1; 2; 3; 4; ni rešitev; 2; -2; -5; 4; 0.

Je vse uspešno? Super.

Tukaj je problem? Brez problema! V posebnem oddelku 555 so vse te eksponentne enačbe rešene z podrobna pojasnila. Kaj, zakaj in zakaj. In seveda obstajajo dodatne dragocene informacije o delu z vsemi vrstami eksponentnih enačb. Ne samo te.)

Še zadnje zabavno vprašanje za razmislek. V tej lekciji smo delali z eksponentnimi enačbami. Zakaj tukaj nisem rekel niti besede o ODZ? Mimogrede, v enačbah je to zelo pomembna stvar ...

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Prva stopnja

Eksponentne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

Zdravo! Danes se bomo z vami pogovarjali o tem, kako rešiti enačbe, ki so lahko bodisi osnovne (in upam, da bodo po branju tega članka skoraj vse tako za vas), in tiste, ki so običajno dane "za polnjenje". Očitno zato, da končno zaspi. Vendar bom poskušal narediti vse, kar je v moji moči, da zdaj ne boste zašli v težave, ko se soočite s to vrsto enačb. Ne bom več premleval, bom pa takoj odprl mala skrivnost: danes se bomo učili eksponentne enačbe.

Preden preidem na analizo načinov za njihovo rešitev, vam bom takoj orisal vrsto vprašanj (precej majhnih), ki bi jih morali ponoviti, preden hitite napadati to temo. Torej, dobiti najboljši rezultat, prosim, ponovi:

1. Lastnosti in
2. Rešitev in enačbe

Ponavljajo? Neverjetno! Potem vam ne bo težko opaziti, da je koren enačbe število. Ali natančno razumete, kako sem to naredil? Ali je res? Potem nadaljujemo. Zdaj odgovorite na moje vprašanje, kaj je enako tretji potenci? Popolnoma prav imaš: . Kakšna potenca dvojke je osem? Tako je – tretji! Ker. No, zdaj pa poskusimo rešiti naslednji problem: Naj enkrat pomnožim število samo s seboj in dobim rezultat. Vprašanje je, kolikokrat sem sam pomnožil? To seveda lahko preverite neposredno:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Potem lahko sklepate, da sem pomnožil s samim seboj. Kako drugače lahko to preverite? Takole: neposredno z definicijo stopnje: . Ampak, priznajte, če bi vprašal, kolikokrat je treba dva pomnožiti s samim seboj, da dobimo, recimo, bi mi rekli: ne bom se zavajal in množil s samim seboj, dokler ne bom moder v obraz. In imel bi popolnoma prav. Ker kako lahko na kratko zapišite vse korake(in kratkost je sestra talenta)

kje - to so isti "krat", ko pomnožiš sama s seboj.

Mislim, da veste (in če ne veste, nujno, zelo nujno ponovite stopnje!), da bo potem moja težava zapisana v obliki:

Kako lahko razumno sklepate, da:

Tako sem neopazno zapisal najpreprostejše eksponentna enačba:

In celo našel sem ga korenina. Se vam ne zdi, da je vse popolnoma nepomembno? Mislim popolnoma enako. Tukaj je še en primer za vas:

Toda kaj narediti? Navsezadnje ga ni mogoče zapisati kot potenco (razumnega) števila. Ne obupajmo in upoštevajmo, da sta obe števili popolnoma izraženi s potenco istega števila. Kateri? Prav: . Nato se prvotna enačba pretvori v obliko:

Kje, kot ste že razumeli,. Ne odlašajmo več in zapišimo definicija:

V našem primeru:.

Te enačbe rešimo tako, da jih reduciramo na obliko:

sledi reševanje enačbe

Pravzaprav smo v prejšnjem primeru naredili prav to: dobili smo naslednje: In rešili smo najenostavnejšo enačbo.

Zdi se, da ni nič zapletenega, kajne? Vadimo najprej na najpreprostejših primeri:

Ponovno vidimo, da je treba desno in levo stran enačbe predstaviti kot potenco enega števila. Res je, na levi je to že narejeno, na desni pa je številka. Vendar je v redu, ker je moja enačba čudežno se bo spremenil v tole:

Kaj sem moral uporabiti tukaj? Kakšno pravilo? Pravilo "stopinj v stopinjah" ki se glasi:

Kaj če:

Preden odgovorimo na to vprašanje, izpolnimo naslednjo tabelo:

Zlahka opazimo, da čim manj, tem manjša vrednost, a kljub temu vse te vrednote Nad ničlo. IN VEDNO BO TAKO!!! Ista lastnost velja ZA VSAKO BAZO Z KAKRŠNIM KOLI INDIKATORJEM!! (za katero koli in). Kaj lahko potem sklepamo o enačbi? Evo, kaj je: to nima korenin! Tako kot vsaka enačba nima korenin. Zdaj pa vadimo in Rešimo preproste primere:

Preverimo:

1. Tukaj se od vas ne bo zahtevalo nič, razen znanja o lastnostih stopinj (kar sem vas mimogrede prosil, da ponovite!) Praviloma vse vodi do najmanjše baze: , . Potem bo prvotna enačba enakovredna naslednjemu: Vse kar potrebujem je, da uporabim lastnosti potenc: Pri množenju števil z enakimi osnovami se potence seštevajo, pri deljenju pa odštevajo. Potem bom dobil: No, zdaj pa z čista vest Z eksponentne enačbe bom prešel na linearno: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\konec(poravnaj)

2. Pri drugem primeru moramo biti previdnejši: težava je v tem, da na levi strani nikakor ne moremo prikazati istega števila kot potenco. V tem primeru je včasih koristno predstavljajo števila kot produkt potenc z iz različnih razlogov, Ampak enaki indikatorji:

Leva stran enačbe bo videti takole: Kaj nam je to dalo? Evo kaj: Števila z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti, je mogoče pomnožiti.V tem primeru se baze pomnožijo, vendar se indikator ne spremeni:

V moji situaciji bo to dalo:

\začetek(poravnaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\konec(poravnaj)

Ni slabo, kajne?

3. Ni mi všeč, ko imam po nepotrebnem na eni strani enačbe dva izraza, na drugi pa nobenega (včasih je to seveda upravičeno, zdaj pa ni tako). Izraz minus bom premaknil na desno:

Zdaj bom, kot prej, vse zapisal v smislu moči treh:

Dodam stopinje na levi in ​​dobim enakovredno enačbo

Njegov koren lahko zlahka najdete:

4. Tako kot v primeru tri je minus člen na desni strani!

Na moji levi je skoraj vse v redu, razen česa? Ja, moti me "napačna diploma" obeh. Ampak to lahko enostavno popravim tako, da napišem: . Eureka - na levi so vse baze različne, vendar so vse stopnje enake! Takoj pomnožimo!

Tukaj je spet vse jasno: (če ne razumete, kako čarobno Dobil sem zadnjo enakost, oddahni si za minuto, zadihaj in še enkrat zelo natančno preberi lastnosti stopnje. Kdo je rekel, da lahko preskočite diplomo z negativni indikator? No, to pravim, nihče). Zdaj bom dobil:

\začetek(poravnaj)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\konec(poravnaj)

Tukaj je nekaj nalog za vajo, na katere bom podal le odgovore (vendar v »mešani« obliki). Rešite jih, preverite in midva bova nadaljevala z raziskovanjem!

pripravljena odgovori kot so te:

1. poljubno število

V redu, v redu, hecal sem se! Tukaj je nekaj skic rešitev (nekatere zelo kratke!)

Se vam ne zdi naključje, da je en ulomek na levi drugi "obrnjen"? Greh bi bil ne izkoristiti tega:

To pravilo se zelo pogosto uporablja pri reševanju eksponentnih enačb, dobro si ga zapomnite!

Potem bo izvirna enačba postala taka:

Z rešitvijo te kvadratne enačbe boste dobili naslednje korene:

2. Druga rešitev: obe strani enačbe delimo z izrazom na levi (ali desni). Če delim s tem, kar je na desni, potem dobim:

Kje (zakaj?!)

3. Sploh se ne želim ponavljati, vse je bilo že toliko "prežvečeno".

4. enakovredna kvadratni enačbi, korenine

5. Morate uporabiti formulo, podano v prvi težavi, potem boste dobili to:

Enačba se je spremenila v trivialno identiteto, ki velja za vse. Potem je odgovor poljubno realno število.

No, zdaj ste vadili reševanje preproste eksponentne enačbe. Zdaj vam jih želim dati nekaj življenjskih primerov, ki vam bo pomagal razumeti, zakaj so načeloma potrebni. Tukaj bom navedel dva primera. Eden od njih je povsem vsakdanji, drugi pa je bolj znanstvenega kot praktičnega pomena.

Primer 1 (merkantilno) Naj imate rublje, vendar jih želite spremeniti v rublje. Banka vam ponuja, da vam ta denar vzame po letni obrestni meri z mesečno kapitalizacijo obresti (mesečno obračunavanje). Vprašanje je, koliko mesecev morate odpreti depozit, da dosežete zahtevani končni znesek? Precej vsakdanje opravilo, kajne? Kljub temu je njena rešitev povezana s konstrukcijo ustrezne eksponentne enačbe: Naj bo začetna vsota, - končni znesek, - obrestna mera za obdobje, - število obdobij. Nato:

V našem primeru (če je stopnja letna, potem se izračuna na mesec). Zakaj je razdeljen na? Če ne poznate odgovora na to vprašanje, se spomnite teme ""! Potem dobimo to enačbo:

To eksponentno enačbo je mogoče rešiti samo s kalkulatorjem (njegov videz namiguje na to, to pa zahteva znanje logaritmov, s katerimi se bomo seznanili malo kasneje), kar bom naredil: ... Torej, da bi prejeli milijon, bomo morali položiti depozit za en mesec ( ne zelo hitro, kajne?).

Primer 2 (precej znanstven). Kljub njegovi določeni "izolaciji" priporočam, da ste pozorni nanj: redno "zdrsne na enotni državni izpit!! (problem vzet iz “prave” verzije) Med razpadom radioaktivni izotop njegova masa se zmanjšuje po zakonu, kjer je (mg) začetna masa izotopa, (min.) je čas, ki je pretekel od začetnega trenutka, (min.) je razpolovna doba. IN začetni trenutekčas masa izotopa mg. Njegova razpolovna doba je min. Po koliko minutah bo masa izotopa enaka mg? V redu je: samo vzamemo in nadomestimo vse podatke v formulo, ki nam je predlagana:

Oba dela razdelimo na, "v upanju", da bomo na levi dobili nekaj prebavljivega:

Pa imamo veliko srečo! Na levi je, potem pa pojdimo na enakovredno enačbo:

Kje je min.

Kot lahko vidite, imajo eksponentne enačbe zelo realne aplikacije v praksi. Zdaj vam želim pokazati drug (preprost) način za reševanje eksponentnih enačb, ki temelji na vzetju skupnega faktorja iz oklepajev in nato združevanju členov. Naj vas ne prestrašijo moje besede, s to metodo ste se srečali že v 7. razredu, ko ste se učili polinome. Na primer, če bi morali izraz faktorizirati:

Združimo: prvi in ​​tretji člen ter drugi in četrti. Jasno je, da sta prvi in ​​tretji razlika kvadratov:

drugi in četrti pa imata skupni množitelj tri:

Potem je prvotni izraz enakovreden temu:

Kje izpeljati skupni faktor ni več težko:

torej

Približno tako bomo naredili pri reševanju eksponentnih enačb: poiskali »skupnost« med izrazi in jo vzeli iz oklepajev, potem pa - naj bo karkoli, verjamem, da bomo imeli srečo =)) Na primer:

Na desni še zdaleč ni potenca sedmih (sem preveril!) In na levi - je malo bolje, faktor a lahko seveda "odsekate" od drugega od prvega člena in nato obravnavate s tem, kar imaš, ampak bodimo bolj preudarni s teboj. Nočem se ukvarjati z ulomki, ki neizogibno nastanejo pri "izbiranju", ali ne bi tega raje odstranil? Potem ne bom imel nobenih frakcij: kot pravijo, volkovi so siti in ovce varne:

Izračunaj izraz v oklepaju. Čarobno, čarobno se izkaže, da (presenetljivo, čeprav kaj drugega naj pričakujemo?).

Nato obe strani enačbe zmanjšamo za ta faktor. Dobimo: , od.

Tukaj je bolj zapleten primer (precej malo, res):

Kakšen problem! Tukaj ga nimamo skupna točka! Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj. Naredimo, kar je v naši moči: najprej premaknite "štirice" na eno stran in "petice" na drugo:

Zdaj pa izločimo "generala" na levi in ​​desni:

In kaj sedaj? Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:

No, zdaj se bomo prepričali, da imamo na levi samo izraz c, na desni pa vse ostalo. Kako naj to naredimo? Takole: obe strani enačbe najprej delite s (tako se znebimo eksponenta na desni), nato pa obe strani delimo s (tako se znebimo številskega faktorja na levi). Končno dobimo:

Neverjetno! Na levi strani imamo izraz, na desni pa preprost izraz. Potem takoj sklepamo, da

Tu je še en primer za potrditev:

Pripeljal ga bom kratka rešitev(ne da bi se zares obremenjevali z razlagami), poskusite sami razumeti vse "tankosti" rešitve.

Sedaj pa še končna utrditev prejetega gradiva. Poskusite sami rešiti naslednje težave. Samo dal bom kratka priporočila in nasveti za njihovo reševanje:

1. Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: Kje:
2. Predstavimo prvi izraz v obliki: , delimo obe strani z in dobimo to
3. , potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poiščite, kje sva s tabo že rešila to enačbo!
4. Predstavljajte si, kako, kako, ah, no, nato delite obe strani s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
5. Izvlecite iz oklepaja.
6. Izvlecite iz oklepaja.

EKSPONENTNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Predvidevam, da po branju prvega članka, ki je govoril o kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, obvladali ste potrebni minimum znanje, potrebno za reševanje preprostih primerov.

Zdaj si bom ogledal drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to je

»metoda uvajanja nove spremenljivke« (ali zamenjave). Rešuje večino »težjih« nalog na temo eksponentnih enačb (pa ne samo enačb). Ta metoda je ena najpogosteje uporabljenih v praksi. Najprej priporočam, da se seznanite s temo.

Kot ste razumeli že iz imena, je bistvo te metode vpeljati takšno spremembo spremenljivke, da se bo vaša eksponentna enačba čudežno spremenila v tisto, ki jo boste zlahka rešili. Vse, kar vam preostane po rešitvi te zelo »poenostavljene enačbe«, je, da naredite »obratno zamenjavo«: torej vrnitev od zamenjanega k zamenjanemu. Ponazorimo, kar smo pravkar povedali, z zelo preprostim primerom:

Primer 1:

Ta enačba je rešena s pomočjo »preproste zamenjave«, kot jo matematiki omalovažujoče imenujejo. Pravzaprav je zamenjava tukaj najbolj očitna. To je treba samo videti

Potem se bo prvotna enačba spremenila v tole:

Če si dodatno predstavljamo, kako, potem je popolnoma jasno, kaj je treba zamenjati: seveda, . Kaj potem postane prvotna enačba? Evo kaj:

Njegove korenine zlahka najdete sami: . Kaj naj storimo zdaj? Čas je, da se vrnemo k prvotni spremenljivki. Kaj sem pozabil omeniti? Namreč: pri zamenjavi določene stopnje z novo spremenljivko (torej pri zamenjavi vrste) me bo zanimalo samo pozitivne korenine! Zakaj, si zlahka odgovorite sami. Tako vas in mene ne zanima, vendar je drugi koren povsem primeren za nas:

Od kod potem.

odgovor:

Kot lahko vidite, je v prejšnjem primeru zamenjava samo prosila za naše roke. Na žalost ni vedno tako. Vendar ne preidimo naravnost na žalostno, ampak vadimo še en primer z dokaj preprosto zamenjavo

Primer 2.

Jasno je, da bomo najverjetneje morali opraviti zamenjavo (to je najmanjša izmed potenc, ki jih vsebuje naša enačba), vendar je treba pred uvedbo zamenjave našo enačbo nanjo »pripraviti«, in sicer: , . Potem lahko zamenjate, kot rezultat dobim naslednji izraz:

o bog: kubična enačba z naravnost grozljivimi formulami za njegovo rešitev (no, če govorimo v splošni pogled). A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj bi morali narediti. Predlagal bom goljufanje: vemo, da moramo dobiti »lep« odgovor, da ga dobimo v obliki neke moči tri (zakaj bi bilo to, kajne?). Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (ugibati bom začel s potencami tri).

Prva ugibanja. Ni koren. Žal in ah ...

.
Leva stran je enaka.
Desni del: !
Jejte! Uganil prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!

Ali poznate shemo delitve "kota"? Seveda ga imaš, uporabiš ga, ko eno število deliš z drugim. Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi. Obstaja en čudovit izrek:

Če uporabim mojo situacijo, mi to pove, da je deljivo brez ostanka z. Kako poteka delitev? Tako:

Pogledam, s katerim monomom bi moral pomnožiti, da dobim Clearly, nato pa:

Od dobljenega izraza odštejem, dobim:

Zdaj, s čim moram pomnožiti, da dobim? Jasno je, da bom dobil:

in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:

No, zadnji korak je množenje in odštevanje od preostalega izraza:

Hura, delitve je konec! Kaj smo si nabrali zasebno? Samo po sebi: .

Nato smo dobili naslednjo razširitev prvotnega polinoma:

Rešimo drugo enačbo:

Ima korenine:

Nato izvirna enačba:

ima tri korenine:

Zadnjo korenino bomo seveda zavrgli, saj je manj kot nič. In prva dva po obratni zamenjavi nam bosta dala dva korena:

Odgovor: ..

S tem primerom vas sploh nisem hotel prestrašiti, temveč sem želel to pokazati, čeprav smo imeli precej enostavna zamenjava, je kljub temu pripeljala do precej kompleksna enačba, katerega rešitev je od nas zahtevala nekaj posebnega znanja. No, nihče ni imun pred tem. Toda zamenjava v v tem primeru je bilo precej očitno.

Tukaj je primer z nekoliko manj očitno zamenjavo:

Sploh ni jasno, kaj naj storimo: težava je v tem, da sta v naši enačbi dve različni bazi in ene baze ni mogoče dobiti iz druge tako, da jo dvignemo na katero koli (razumno, naravno) potenco. Vendar, kaj vidimo? Obe bazi se razlikujeta le v predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov enaka ena:

definicija:

Tako so števila, ki so osnove v našem primeru, konjugirana.

V tem primeru bi bil pameten korak pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.

Na primer, on, potem bo leva stran enačbe enaka in desna. Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:

njegove korenine torej in če se tega spomnimo, to razumemo.

Odgovor: , .

Nadomestna metoda praviloma zadostuje za rešitev večine »šolskih« eksponentnih enačb. Naslednje naloge so vzete iz enotnega državnega izpita C1 ( povečana raven težave). Ti si že dovolj pismen, da te primere rešiš sam. Dam samo zahtevano zamenjavo.

1. Reši enačbo:
2. Poiščite korenine enačbe:
3. Reši enačbo: . Poiščite vse korenine te enačbe, ki pripadajo segmentu:

Zdaj pa še nekaj kratkih pojasnil in odgovorov:

1. Tukaj je dovolj, da ugotovimo, da ... Potem bo izvirna enačba enakovredna tej: Ta enačba rešiti z zamenjavo Nadaljnje izračune opravite sami. Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje preprostih trigonometričnih problemov (odvisno od sinusa ali kosinusa). rešitev podobni primeri pogledali ga bomo v drugih razdelkih.
2. Tukaj lahko celo storite brez zamenjave: samo premaknite subtrahend v desno in predstavite obe bazi s potencami dvojke: , nato pa pojdite naravnost na kvadratno enačbo.
3. Tudi tretja enačba je rešena precej standardno: predstavljajmo si, kako. Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo: potem,

   Saj že veste, kaj je logaritem, kajne? ne? Potem pa nujno preberi temo!

   Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nejasen! A izvedeli bomo zelo kmalu! Ker torej (to je lastnost logaritma!) Primerjajmo:

   Odštejemo z obeh strani, potem dobimo:

   Leva stran lahko predstavimo kot:

   pomnoži obe strani z:

   potem lahko pomnožimo s

   Nato primerjajte:

   od takrat:

   Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu

   odgovor:

Kot vidiš, izbira korenin eksponentnih enačb zahteva dokaj globoko poznavanje lastnosti logaritmov, zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni. Kot razumete, je v matematiki vse med seboj povezano! Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematike, tako kot zgodovine, ni mogoče brati čez noč."

Praviloma vse Težava pri reševanju nalog C1 je ravno izbira korenin enačbe. Vadimo še z enim primerom:

Jasno je, da se sama enačba reši povsem preprosto. Z zamenjavo zmanjšamo prvotno enačbo na naslednje:

Najprej si oglejmo prvi koren. Primerjajmo in: od takrat. (lastnina logaritemska funkcija, pri). Potem je jasno, da prvi koren ne pripada našemu intervalu. Zdaj drugi koren: . Jasno je, da (ker funkcija pri narašča). Ostaja še primerjava in...

saj torej hkrati. Tako lahko »zabijem klin« med in. Ta klin je številka. Prvi izraz je manjši, drugi pa večji. Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.

Odgovor: .

Nazadnje si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nestandardna:

Začnimo takoj s tem, kaj je mogoče storiti in kaj - načeloma je mogoče storiti, vendar je bolje, da tega ne storite. Vse si lahko predstavljate skozi moči tri, dve in šest. Kam vodi? To ne bo vodilo do ničesar: zmešnjava stopinj, od katerih se bo nekaterih precej težko znebiti. Kaj je potem potrebno? Upoštevajmo, da a In kaj nam bo to dalo? In dejstvo, da lahko rešitev tega primera reduciramo na rešitev dokaj preproste eksponentne enačbe! Najprej zapišimo našo enačbo kot:

Zdaj delimo obe strani dobljene enačbe z:

Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:

No, zdaj ste vi na vrsti za reševanje demonstracijskih nalog, jaz pa jih bom le na kratko komentiral, da ne boste zmedeni prava pot! Vso srečo!

1. Najtežji! Tukaj je tako težko videti zamenjavo! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo praznjenje polni kvadrat . Za rešitev je dovolj upoštevati, da:

Potem je tukaj vaša zamenjava:

(Upoštevajte, da tukaj v naši zamenjavi ne moremo zavreči negativni koren!!! Zakaj tako misliš?)

Če želite zdaj rešiti primer, morate rešiti samo dve enačbi:

Oboje je mogoče rešiti s "standardno zamenjavo" (toda drugo v enem primeru!)

2. Upoštevajte to in zamenjajte.

3. Število razgradi na soproste faktorje in dobljeni izraz poenostavi.

4. Števec in imenovalec ulomka delite z (ali, če želite) in opravite zamenjavo oz.

5. Upoštevajte, da sta števili in konjugirani.

EKSPONENTNE ENAČBE. NAPREDNI NIVO

Poleg tega poglejmo še en način - reševanje eksponentnih enačb z logaritemsko metodo. Ne morem reči, da je reševanje eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljeno, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do prava odločitev naša enačba. Še posebej pogosto se uporablja za reševanje t.i. mešane enačbe ": torej tiste, kjer se pojavljajo funkcije različnih vrst.

Na primer, enačba oblike:

V splošni primer je mogoče rešiti le tako, da vzamemo logaritem obeh strani (na primer na osnovo), kar bo prvotno enačbo pretvorilo v naslednje:

Poglejmo si naslednji primer:

Jasno je, da ODZ logaritemski funkcije, ki nas zanimajo samo. Vendar to ne izhaja samo iz ODZ logaritma, ampak še iz enega razloga. Mislim, da vam ne bo težko uganiti, kateri je.

Vzemimo logaritem obeh strani naše enačbe k osnovi:

Kot lahko vidite, vzamemo logaritem našega izvirna enačba kar hitro nas je pripeljal do pravilnega (in lepega!) odgovora. Vadimo še z enim primerom:

Tudi tukaj ni nič narobe: vzemimo logaritem obeh strani enačbe k osnovi, potem dobimo:

Naredimo zamenjavo:

Vendar smo nekaj zamudili! Ste opazili, kje sem naredil napako? Konec koncev, potem:

ki ne izpolnjuje zahteve (pomislite, od kod prihaja!)

odgovor:

Poskusite zapisati rešitev spodnjih eksponentnih enačb:

Zdaj primerjajte svojo odločitev s tem:

1. Logaritmirajmo obe strani na osnovo, pri čemer upoštevamo, da:

(drugi koren za nas ni primeren zaradi zamenjave)

2. Logaritem na osnovo:

Pretvorimo dobljeni izraz v naslednjo obliko:

EKSPONENTNE ENAČBE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE

Eksponentna enačba

Enačba oblike:

klical najenostavnejša eksponentna enačba.

Lastnosti stopinj

Pristopi k rešitvi

• Vodi k enaka osnova
• Redukcija na isti eksponent
• Spremenljiva zamenjava
• Poenostavitev izraza in uporaba enega od zgornjih.

Primeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako rešiti eksponentne enačbe

Ko rešujemo katero koli eksponentno enačbo, si jo prizadevamo pripeljati v obliko \(a^(f(x))=a^(g(x))\, nato pa naredimo prehod na enakost eksponentov, to je:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Pomembno! Iz iste logike sledita dve zahtevi za tak prehod:
- številka v levo in desno morata biti enaka;
- stopinji na levi in ​​desni morata biti "čisti", torej ne sme biti množenja, deljenja itd.

Na primer:

Za zmanjševanje enačbe na obliko \(a^(f(x))=a^(g(x))\) se uporabljata in .

Primer . Rešite eksponentno enačbo \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
rešitev: