Izhod iz slepe ulice je leta 1913 našel danski znanstvenik Niels Bohr, ki je prejel Nobelova nagrada leta 1922.
Bohr je podal predpostavke, ki so bile imenovane Bohrovi postulati.
· Prvi postulat (postulat stacionarna stanja ):elektroni se gibljejo le po določenih(stacionarni)orbite. pri čemer, tudi pri hitrem premikanju,ne oddajajo energije.
· Drugi postulat (pravilo frekvence):emisija in absorpcija energije v obliki kvanta svetlobe (hn) se pojavi le, ko elektron prehaja iz enega stacionarnega stanja v drugo. Magnituda svetlobni kvant enaka razliki v energijah teh stacionarnih stanj,med katerimi skače elektron: .
Iz tega sledi, da je sprememba atomske energije, povezana s sevanjem, ko je foton absorbiran, sorazmerna s frekvenco ν:
Pravilo kvantizacije orbite : Od vseh elektronskih orbit so možne le te,za katerega je kotna količina enaka celemu večkratniku Planckove konstante:
| , | (6.3.2) |
Kje n= 1, 2, 3,... – glavno kvantno število.
Dobimo izraz za energijo elektrona v atomu.
Razmislite o elektronu (slika 6.6a), ki se giblje s hitrostjo v polju atomsko jedro z obremenitvijo Ze(pri Z= 1 – atom vodika).
 | |||
| A | b |
Enačba gibanja elektronov ima obliko:
 .
|
(6.3.3) |
Iz formule (6.3.3) je jasno, da centrifugalna sila enako Coulombova sila, Kje .
Nadomestimo vrednost υ iz (6.3.2) v (6.3.3) in dobimo izraz za polmere stacionarne orbite(Sl. 6.6, b):
| . | (6.3.4) |
Polmer prve orbite vodikovega atoma se imenuje Bohrov radij . pri n =1, Z= 1 za vodik imamo:
Å = 0,529·10 –10 m.
Notranja energija atoma je sestavljena iz kinetične energije elektrona (jedro je negibno) in potencialna energija interakcija elektrona z jedrom:
.
Iz enačbe gibanja elektronov sledi, da je t.j. kinetična energija enaka potencialu. Potem lahko zapišemo:
.
Tu nadomestimo izraz za polmer prve orbite in dobimo:
 .
|
(6.3.5) |
Pri tem se upošteva, da je Planckova konstanta, tj. .
Za atom vodika pri Z= 1 imamo:
 .
|
(6.3.6) |
Iz formule (6.3.6) je jasno, da sprejema le diskretne vrednosti energije, saj n = 1, 2, 3….
Shema ravni energije, definiran z enačbo (6.3.6), je prikazan na sl. 6.1 in 6.7.
Ko elektron v atomu vodika preide iz stanja n v stanju k se odda foton z energijo:
.
Frekvenca emisij:
.
Dobljena je posplošena Balmerjeva formula, ki se dobro ujema z eksperimentom. Izraz pred oklepaji, kot je bilo že omenjeno, se imenuje Rydbergova konstanta :
.
Velik uspeh Bohrove teorije je bil izračun Rydbergove konstante za vodiku podobne sisteme in razlaga njihove strukture. linijski spektri. Bohr je lahko razložil črte spektra ionizirano helij. Teoretično je izračunal razmerje med maso protona in maso elektrona, kar je bilo v skladu z eksperimentom pomembna potrditev glavnih idej, ki jih je vsebovala njegova teorija. Bohrova teorija je igrala veliko vlogo pri ustvarjanju atomska fizika. V obdobju svojega razvoja (1913–1925) pomembna odkritja, za vedno vključena v zakladnico svetovne znanosti.
Toda poleg uspehov so bile v Bohrovi teoriji že od samega začetka odkrite pomembne pomanjkljivosti. Najpomembnejši med njimi je bil notranja nedoslednost teorije: mehanska povezava klasična fizika s kvantnimi postulati. Teorija ni mogla razložiti vprašanja intenzivnosti spektralne črte. Resna napaka je bila absolutna nezmožnost uporabe teorije za razlago spektra atoma helija, ki vsebuje dva elektrona v orbiti, še manj za večelektronski atomi(slika 6.8).
Postalo je jasno, da je Bohrova teorija le prehodna stopnja na poti k ustvarjanju bolj splošne in pravilne teorije. Kvantna mehanika je bila taka teorija.
Za ogled predstavitev kliknite ustrezno hiperpovezavo:
| M |
| Q |
| R |
| O |
| Slika 15 |
| z |
| O |
| l |
| x |
Pika O imenovan izvor. Prva os se imenuje os Oh, ali os x, drugi – os OU, oziroma ordinatna os, tretja – os Oz, ali velja za os. Ravnina, ki gre skozi dve od treh osi Oh, OU, Oz, se imenuje koordinatna ravnina; Obstajajo 3 koordinatne ravnine, ki so označene na naslednji način. yOz, zOx in xOy.
Pustiti M – poljubna točka prostora. Označimo z R projekcija točke M na os Oh vzporedno z ravnino yOz, in skozi X– koordinata točke R na osi Oh. Skozi Q označimo projekcijo točke M na os OU vzporedno z ravnino zOx, in skozi pri– koordinata točke Q na osi OU. Skozi R označimo projekcijo točke M na os Oz vzporedno z ravnino xOy, in skozi z– koordinata točke R na osi Oz(Glejte sliko 15).
Tri številke x, l, z vzete v tem vrstnem redu imenujemo splošne kartezične (ali afine) koordinate točke M. Prva koordinata se imenuje abscisa točke M, drugič pri– ordinata točke M, in tretjič z– točka nanašanja M. Pika M s koordinatami x, l, z označen z M(x, l, z).
Abscisne pike M je enaka nič, če in samo če je točka M leži na letalu yOz. Podobno glede ordinate in aplikacije.
Iz tega sledi, da je točka M(x, l, z) leži na osi Oh takrat in samo takrat pri=z=0, podobno za osi OU, Oz. Za izvor X=pri=z=0.
Točke , imenujemo enotske točke koordinatnih osi. Točka se imenuje ena točka koordinatni sistemi.
Paralelepiped z ogliščem v izhodišču O in z robovi se imenuje pomanjšan paralelopiped. Segmenti so odseki lestvice osi Ox, Oy, Oz. Vektorji
se imenujejo vektorji merila osi Ox, OU, Oz.
Z uporabo splošnega kartezičnega koordinatnega sistema se vzpostavi korespondenca ena proti ena med množico vseh točk v prostoru in množico vseh urejenih trojk realna števila. Tukaj, da narišem bistvo M, ki ima koordinate podane številke X, pri, z, naredi tole: če gradijo na osi Oh, OU, Oz točke p, Q, R, ki imajo koordinate na teh oseh ustrezno enake X, pri, z in gredo skozi točke p, Q, R ravninah, vzporednih s koordinatnimi ravninami yOz, zOx, xOy; pika M– je točka presečišča teh ravnin.
Kartezični pravokotni koordinatni sistem v prostoru je urejena trojka po parih pravokotnih koordinatnih osi z skupni začetek koordinate O na vsaki od njih in z istim segmentom merila za vsako os (glej sliko).
Kartezične pravokotne koordinate točke M so opredeljeni podobno. To so pravokotne projekcije točke M na osi Oh, OU, Oz.
Upoštevajte, da pogosto merilni vektorji osi Oh, OU, Oz v kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu so označeni.
), s pomočjo katerega se določi položaj svetilk in pomožnih točk na nebesna krogla. V astronomiji uporabljajo različne sisteme nebesne koordinate. Vsak od njih je v bistvu sferični koordinatni sistem (brez radialne koordinate) z ustrezno izbrano osnovno ravnino in izhodiščem. Glede na izbiro temeljne ravnine imenujemo nebesni koordinatni sistem horizontalni (horizontna ravnina), ekvatorialni (ekvatorialna ravnina), ekliptični (ekliptična ravnina) ali galaktični (galaktična ravnina).
Vnesemo lahko koordinate na ravnini in v prostoru neskončno število različne poti. Reševanje te ali one matematične oz fizični problem s koordinatno metodo lahko uporabite različne koordinatni sistemi, pri čemer izberete tistega, v katerem je težava rešena lažje ali bolj priročno v tem konkretnem primeru. Znana posplošitev koordinatnih sistemov so referenčni sistemi in referenčni sistemi.
Enciklopedični YouTube
1 / 5
Model kartezičnega koordinatnega sistema.
Geometrija 11. razred - Pravokotni koordinatni sistem v prostoru
Koordinatna ravnina ➽ Algebra 7. razred ➽ Video lekcija
Video vadnica " Polarni sistem koordinate"
Pravokotni koordinatni sistem v prostoru. Vektorske koordinate. Video lekcija o geometriji za 11. razred
Podnapisi
Osnovni sistemi
V tem razdelku so razlage najpogosteje uporabljenih koordinatnih sistemov v osnovni matematiki.
Kartezične koordinate
Lokacija točke p na ravnini je odločen Kartezične koordinate z uporabo nekaj številk (x, y) : (\displaystyle (x,y):)
V vesolju že potrebuješ 3 koordinate (x, y, z) : (\displaystyle (x,y,z):)
Polarne koordinate
IN polarni koordinatni sistem, naneseno na ravnino, položaj točke p je določena z oddaljenostjo od izhodišča r= |OP| in kot φ njenega polmernega vektorja na os Ox .
Posplošitve veljajo v prostoru polarne koordinate - cilindrični in sferične koordinatni sistemi.
Cilindrične koordinate
Cilindrične koordinate- tridimenzionalni analog polarnih, v katerem je točka p zdi se, da je urejena trojka (r , φ , z) . (\displaystyle (r,\varphi,z).)
Opomba: v literaturi se za prvo (radialno) koordinato včasih uporablja oznaka ρ, za drugo (kotno ali azimutno) koordinato oznaka θ, za tretjo koordinato pa oznaka θ. h .Polarne koordinate imajo eno pomanjkljivost: vrednost φ ni definirana r = 0 .
Cilindrične koordinate so uporabne za preučevanje sistemov, ki so simetrični glede na neko os. Na primer, dolg valj s polmerom R v kartezičnih koordinatah (z osjo z, ki sovpada z osjo valja) ima enačbo x 2 + y 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),) medtem ko je v cilindričnih koordinatah videti veliko bolj preprosto, npr r = R .
Sferične koordinate
Sferične koordinate- tridimenzionalni analog polarnih.
V sferičnem koordinatnem sistemu je lokacija točke p določajo tri komponente: (ρ, φ, θ) . (\displaystyle (\rho,\varphi,\theta).) Glede na kartezični koordinatni sistem,
Opomba: V literaturi je azimut včasih označen z θ, polarni kot pa s φ. Včasih se uporablja za radialno koordinato r namesto ρ. Poleg tega se lahko razpon kotov za azimut izbere kot (−180°, +180°] namesto razpon , namesto razpon . Včasih je vrstni red koordinat v trojniku izbran drugačen od opisanega; za Na primer, polarni in azimutni kot je mogoče zamenjati.Sferični koordinatni sistem ima tudi slabost: φ in θ nista definirana, če je ρ = 0; Kot φ prav tako ni definiran za mejne vrednosti θ = 0 in θ = 180° (ali za θ = ±90°, če je sprejeto ustrezno območje za ta kot).
Za izris točke p glede na njegove sferične koordinate je potrebno od pola vzdolž pozitivne pol-osi z odložite segment, ki je enak ρ, ga zavrtite za kot θ okoli osi l x, nato pa zavrtite za kot θ okoli osi z v smeri pozitivne pol-osi l .
Sferične koordinate so uporabne pri preučevanju sistemov, ki so simetrični glede na točko. Tako je enačba krogle s polmerom R v kartezičnih koordinatah z izhodiščem v središču krogle izgleda x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2),) medtem ko v sferične koordinate postane veliko bolj preprosto: ρ = R. (\displaystyle \rho =R.)
Drugi pogosti koordinatni sistemi
- Afini (poševni) koordinatni sistem- premočrtni koordinatni sistem v afinem prostoru. Na ravnini je določena z izhodiščem koordinat O in dva urejena nekolinearna vektorja, ki predstavljata afino bazo. Koordinatne osi v v tem primeru se imenujejo ravne črte, ki potekajo skozi izhodiščno točko vzporedno z osnovnimi vektorji, ki nato določajo pozitivno smer osi. V tridimenzionalnem prostoru oz. afini sistem koordinate so podane linearno s trojko neodvisni vektorji in izvorna točka. Za določitev koordinat določene točke M izračunani so vektorski ekspanzijski koeficienti OM z baznimi vektorji.
- Baricentrične koordinate jih je leta 1827 prvič predstavil A. Moebius, ki je rešil problem težišča mas, ki se nahajajo na ogliščih trikotnika. So afino invariantni in predstavljajo poseben primer splošne homogene koordinate. Točka z baricentričnimi koordinatami se nahaja na n-dimenzionalni vektorski prostor E n, same koordinate pa se nanašajo na fiksni sistem točk, ki ne ležijo v ( n−1)-razsežni podprostor. Baricentrične koordinate se uporabljajo tudi v algebrski topologiji glede na simpleksne točke.
- Dvokotne koordinate- poseben primer bicentričnih koordinat, koordinatni sistem na ravnini, določen z dvema fiksnima točkama Z 1 in Z 2, skozi katero je narisana premica, ki deluje kot abscisna os. Položaj neke točke p, ki ne leži na tej premici, določajo koti PC 1 C 2 in PC 2 C 1 .
- Bipolarne koordinate so značilne po tem, da v tem primeru dve družini krogov s poli delujeta kot koordinatne črte na ravnini A in B, kot tudi družino krogov, pravokotnih nanje. Pretvorba bipolarnih koordinat v kartezične pravokotne koordinate se izvede s posebnimi formulami. Bipolarne koordinate v prostoru imenujemo bisferične; v tem primeru so koordinatne površine krogle, površine, ki nastanejo z vrtenjem krožnih lokov, pa tudi polravnine, ki potekajo skozi os Oz .
- Bicentrične koordinate- vsak koordinatni sistem, ki temelji na dveh stalnih točkah in znotraj katerega je položaj neke druge točke praviloma določen s stopnjo njene odmaknjenosti ali na splošno z njenim položajem glede na ti dve glavni točki. Tovrstni sistemi so lahko zelo uporabni pri določena področja znanstvena raziskava.
- Bicilindrične koordinate- koordinatni sistem, ki ga tvori dvopolni koordinatni sistem na ravnini Oxy vzporedno z osjo Oz. V tem primeru so koordinatne površine družina parov krožnih valjev, katerih osi so vzporedne, družina pravokotna nanje krožni cilindri, kot tudi letalo. Če želite biciklindrične koordinate pretvoriti v kartezične pravokotne za tridimenzionalni prostor uporabljajo se tudi posebne formule.
- Stožčaste koordinate- tridimenzionalni pravokotni sistem koordinate, sestavljene iz koncentričnih krogel, ki jih opisuje njihov polmer, in dveh družin pravokotnih stožcev, ki se nahajajo vzdolž osi x in z .
- Rindlerjeve koordinate se uporabljajo predvsem v okviru relativnostne teorije in opisujejo tisti del ravnega prostora-časa, ki ga običajno imenujemo prostor Minkowskega. V posebni teoriji relativnosti je enakomerno pospešeni delec v hiperboličnem gibanju in za vsak tak delec v Rindlerjevih koordinatah je mogoče izbrati referenčno točko, glede na katero miruje.
- Parabolične koordinate je dvodimenzionalni pravokotni koordinatni sistem, v katerem so koordinatne črte niz konfokalnih parabol. Tridimenzionalna modifikacija paraboličnih koordinat je konstruirana z vrtenjem dvodimenzionalnega sistema okoli simetrične osi teh parabol. Tudi parabolične koordinate imajo določen spekter potenciala praktične aplikacije: zlasti jih je mogoče uporabiti v povezavi s Starkovim učinkom. Parabolične koordinate so na določen način povezane s pravokotnimi kartezičnimi koordinatami.
- Projektivne koordinate obstajajo, glede na ime, v projektivnem prostoru P n (TO) in predstavljajo ujemanje ena proti ena med njegovimi elementi in razredi končnih podmnožic elementov telesa TO, za katerega so značilne lastnosti enakovrednosti in urejenosti. Za določitev projektivnih koordinat projektivnih podprostorov zadošča določitev pripadajočih koordinat točk projektivni prostor. IN splošni primer glede na neko bazo so projektivne koordinate uvedene s čisto projektivnimi sredstvi.
- Toroidni koordinatni sistem- tridimenzionalni pravokotni koordinatni sistem, dobljen z vrtenjem dvodimenzionalnega bipolarnega koordinatnega sistema okoli osi, ki ločuje njegovi dve žarišči. V skladu s tem se žarišča bipolarnega sistema spremenijo v obroč s polmerom A, ležanje na letalu xy toroidni koordinatni sistem, medtem ko os z postane vrtilna os sistema. Žariščni obroč včasih imenujemo tudi osnovni krog.
- Trilinearne koordinate so eden od vzorcev homogene koordinate in temeljijo na danem trikotniku, tako da je položaj določene točke določen glede na stranice tega trikotnika - predvsem s stopnjo oddaljenosti od njih, čeprav so možne tudi druge različice. Trilinearne koordinate je mogoče relativno enostavno pretvoriti v baricentrične koordinate; poleg tega jih je mogoče pretvoriti tudi v dvodimenzionalne pravokotne koordinate, za katere se uporabljajo ustrezne formule.
- Cilindrične parabolične koordinate- tridimenzionalni pravokotni koordinatni sistem, dobljen kot rezultat prostorske transformacije dvodimenzionalnega paraboličnega koordinatnega sistema. Koordinatne površine so torej konfokalne parabolični cilindri. Cilindrične parabolične koordinate so v določenem razmerju s pravokotnimi koordinatami in se lahko uporabljajo na številnih področjih znanstvenih raziskav.
- Elipsoidne koordinate- eliptične koordinate v prostoru. Koordinatne površine so v tem primeru elipsoidi, enolistni hiperboloidi, pa tudi dvolistni hiperboloidi, katerih središča se nahajajo na izvoru. Sistem je pravokoten. Vsaka trojka števil, ki so elipsoidne koordinate, ustreza osmim točkam, ki so relativne glede na ravnine sistema Oxyz simetrična drug drugemu.
Prehod iz enega koordinatnega sistema v drugega
Kartezijsko in polarno
Kje u 0 - funkcija Heaviside z u 0 (0) = 0 , (\displaystyle u_(0)(0)=0,) in sgn je funkcija signum. Tukaj so funkcije u 0 in sgn se uporabljata kot "logična" stikala, po pomenu podobna stavkom "if...else" v programskih jezikih. Nekateri programski jeziki imajo posebno funkcijo atan2 ( l , x), ki vrne pravilen φ v zahtevanem kvadrantu, definiranem s koordinatami x in l .
Kartezijsko in cilindrično
x = r cos φ , (\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,) y = r sin φ , (\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,) r = x 2 + y 2 , (\displaystyle r=(\sqrt (x^(2)+y^(2))),) φ = arctg y x + π u 0 (− x) sgn y , (\displaystyle \varphi =\ime operaterja (arctg) (\frac (y)(x))+\pi u_(0)(-x)\ ,\ime operaterja (sgn) y,) z = z. (\displaystyle z=z.\quad ) (d x d y d z) = (r cos θ − r sin φ 0 r sin θ r cos φ 0 0 0 1) ⋅ (d r d φ d z) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dx\\dy\\ dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end(pmatrix))\ cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix)),) (d r d φ d z) = (x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1) ⋅ (d x d y d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^( 2))))&(\frac (y)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\(\frac (-y)(\sqrt (x^(2)+ y^(2))))&(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\0&0&1\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix )dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)Kartezijsko in sferično
x = ρ sin θ cos φ , (\displaystyle (x)=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad ) y = ρ sin θ sin φ , (\displaystyle (y)=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad ) z = ρ cos θ ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;\quad ) ρ = x 2 + y 2 + z 2 , (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (x^(2)+y^(2)+z^(2))),) θ = arccos z ρ = arctg x 2 + y 2 z , (\displaystyle (\theta )=\arccos (\frac (z)(\rho ))=\ime operaterja (arctg) (\frac (\sqrt ( x^(2)+y^(2)))(z)),) φ = arctan y x + π u 0 (− x) sgn y . (\displaystyle (\varphi )=\ime operaterja (arctg) (\frac (y)(x))+\pi \,u_(0)(-x)\,\ime operaterja (sgn) y.) (d x d y d z) = (sin θ cos φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sin \theta \ cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix)),) (d ρ d θ d φ) = (x / ρ y / ρ z / ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − (x 2 + y 2) ρ 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0) ⋅ (d x d y d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)x/\rho &y/\rho &z/\rho \\( \frac (xz)(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2)+y^(2)))))&(\frac (yz)(\rho ^(2)(\sqrt (x) ^(2)+y^(2)))))&(\frac (-(x^(2)+y^(2)))(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2) +y^(2)))))\\(\frac (-y)(x^(2)+y^(2)))&(\frac (x)(x^(2)+y^( 2)))&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)Cilindrični in sferični
r = ρ sin θ , (\displaystyle (r)=\rho \,\sin \theta ,) φ = φ , (\displaystyle (\varphi )=\varphi ,\quad ) z = ρ cos θ ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;) ρ = r 2 + z 2 , (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (r^(2)+z^(2))),) θ = arctg z r + π u 0 (− r) sgn z , (\displaystyle (\theta )=\ime operaterja (arctg) (\frac (z)(r))+\pi \,u_(0)( -r)\,\ime operaterja (sgn) z,) φ = φ. (\displaystyle (\varphi )=\varphi .\quad ) (d r d φ d h) = (sin θ ρ cos θ 0 0 0 1 cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaystyle (\begin(pmatrix)dr\\ d\varphi \\dh\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\ end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix)),) (d ρ d θ d φ) = (r r 2 + z 2 0 z r 2 + z 2 − z r 2 + z 2 0 r r 2 + z 2 0 1 0) ⋅ (d r d φ d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (r)(\sqrt (r^(2) +z^(2))))&0&(\frac (z)(\sqrt (r^(2)+z^(2))))\\(\frac (-z)(r^(2)+ z^(2)))&0&(\frac (r)(r^(2)+z^(2)))\\0&1&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\ varphi \\dz\end(pmatrix)).)Konstrukcija kartezičnega pravokotnega koordinatnega sistema
na površini
Kartezični pravokotni koordinatni sistem v ravnini tvorita dve med seboj pravokotni koordinatni osi OX 1 in OX 2 , ki se sekata v točki O, ki se imenuje izhodišče koordinat (slika 1). Na vsaki osi je izbrana pozitivna smer, označena s puščicami, in merska enota za segmente na oseh. Enote so običajno enake za vse osi (kar ni obvezno). IN desnostranski koordinatnem sistemu je pozitivna smer osi izbrana tako, da ko je os usmerjena OX 2 gor, os OX 1 pogledal na desno. OX 1 -- abscisna os, OX 2 -- ordinatna os. Štirje vogali (I, II, III, IV), ki jih tvorijo koordinatne osi OX 1 in OX 2 , imenujemo koordinatni koti oz kvadrantih.
Pika B A na koordinatno os OX 1 ;
Pika C - ortografska projekcija točke A na koordinatno os OX 2 ;
Konstrukcija kartezičnega pravokotnega koordinatnega sistema v vesolju
Kartezični pravokotni koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne koordinatne osi OX, ojoj in OZ. Koordinatni osi se sekata v točki O, ki se imenuje izhodišče koordinat, je na vsaki osi izbrana pozitivna smer, označena s puščicami, in merska enota za segmente na oseh. Enote so običajno enake za vse osi (kar ni obvezno). OX-- abscisna os, ojoj-- ordinatna os, OZ-- os aplikatorja.
če palec desna roka vzeti za smer X, kazalo - za smer Y srednji pa je za smer Z, potem se oblikuje prav koordinatni sistem. Podobni prsti leve roke tvorijo levi koordinatni sistem. Z drugimi besedami, pozitivna smer osi je izbrana tako, da ko se os vrti OX v nasprotni smeri urnega kazalca za 90° njena pozitivna smer sovpada s pozitivno smerjo osi ojoj, če to vrtenje opazujemo iz pozitivne smeri osi OZ. Nemogoče je združiti desni in levi koordinatni sistem tako, da ustrezni osi sovpadata (slika 2). Pika F- pravokotna projekcija točke A na koordinatna ravnina OXY; Pika E- pravokotna projekcija točke A na koordinatno ravnino OYZ; Pika G- pravokotna projekcija točke A na koordinatno ravnino OX Z ;
Tlorisni prikaz kartezičnega pravokotnega koordinatnega sistema v vesolju prikazano na slikah 3, 4 in 5.
Določanje koordinat točke v kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu
Glavno vprašanje katerega koli koordinatnega sistema je vprašanje določanja koordinat točke, ki se nahaja v njegovi ravnini ali prostoru.
Določanje koordinat točke na ravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu
Položaj točke A na ravnini je določen z dvema koordinatama - x in l (slika 5). Koordinate x enaka dolžini segmenta O.B., koordiniraj l -- dolžina segmenta O.C. v izbranih merskih enotah. Segmenti O.B. in O.C. določajo črte, ki potekajo iz točke A vzporedno z osemi ojoj in OX oz. Koordinata x imenovana abscisa (lat. abscisa- segment), koordinata l -- ordinata (lat. ordinate- po vrstnem redu) točk A. Napišite takole:
Če je točka A leži v koordinatni kot I, potem ima pozitivno absciso in ordinato. Če je točka A leži v koordinatnem kotu II, potem je negativna abscisa in pozitivna ordinata. Če je točka A leži v koordinatnem kotu III, potem ima negativno absciso in ordinato. Če je točka A leži v koordinatnem kotu IV, potem je pozitivna abscisa in negativna ordinata.
Tako so določene koordinate v kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini.
Urejen sistem dveh ali treh sekajočih se osi, pravokotnih druga na drugo, s skupnim izhodiščem (izhodiščem koordinat) in skupno enoto za dolžino imenujemo pravokotni kartezični koordinatni sistem .
Splošni kartezični koordinatni sistem (afini koordinatni sistem) lahko vključuje ne nujno pravokotne osi. V čast francoski matematik René Descartes (1596-1662) je poimenoval prav takšen koordinatni sistem, v katerem se na vseh oseh meri skupna enota za dolžino in so osi ravne.
Pravokotni kartezični koordinatni sistem na ravnini ima dve osi in pravokotni kartezični koordinatni sistem v prostoru - tri osi. Vsaka točka na ravnini ali v prostoru je določena z urejenim nizom koordinat – števil, ki ustrezajo dolžinski enoti koordinatnega sistema.
Upoštevajte, da kot izhaja iz definicije, obstaja kartezični koordinatni sistem na ravni črti, to je v eni dimenziji. Uvedba kartezičnih koordinat na premico je eden od načinov, kako katero koli točko na premici povežemo z natančno določenim realnim številom, to je koordinato.
Metoda koordinat, ki se je pojavila v delih Reneja Descartesa, je zaznamovala revolucionarno prestrukturiranje celotne matematike. Postalo je mogoče razlagati algebraične enačbe(ali neenakosti) v obliki geometrijskih slik (grafov) in, nasprotno, iskati rešitev geometrijske težave z uporabo analitičnih formul in sistemov enačb. Da, neenakost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy in se nahaja nad to ravnino za 3 enote.
Z uporabo kartezičnega koordinatnega sistema pripadnost točke na dani krivulji ustreza dejstvu, da so števila x in l zadovoljiti neko enačbo. Torej, koordinate točke na krogu s središčem v dano točko (a; b) zadoščajo enačbi (x - a)² + ( l - b)² = R² .
Pravokotni kartezični koordinatni sistem na ravnini
Tvorita dve pravokotni osi na ravnini s skupnim izhodiščem in enako merilno enoto kartezijanski pravokotni sistem koordinate na ravnini . Ena od teh osi se imenuje os Ox, oz x-os , drugi - os Oj, oz y-os . Te osi imenujemo tudi koordinatne osi. Označimo z Mx in Ml oziroma projekcijo poljubne točke M na osi Ox in Oj. Kako do projekcij? Pojdimo skozi točko M Ox. Ta ravna črta seka os Ox na točki Mx. Gremo skozi točko M ravna črta, pravokotna na os Oj. Ta ravna črta seka os Oj na točki Ml. To je prikazano na spodnji sliki.
x in l točke M ustrezno bomo imenovali vrednosti usmerjenih segmentov OMx in OMl. Vrednosti teh usmerjenih segmentov se ustrezno izračunajo kot x = x0 - 0 in l = l0 - 0 . Kartezične koordinate x in l točke M abscisa in ordinata . Dejstvo, da je točka M ima koordinate x in l, je označen kot sledi: M(x, l) .
Koordinatne osi delijo ravnino na štiri kvadrant , katerih oštevilčenje je prikazano na spodnji sliki. Prikazuje tudi razporeditev oznak za koordinate točk glede na njihovo lokacijo v posameznem kvadrantu.
Poleg kartezičnih pravokotnih koordinat na ravnini se pogosto upošteva tudi polarni koordinatni sistem. O načinu prehoda iz enega koordinatnega sistema v drugega - v lekciji polarni koordinatni sistem .
Pravokotni kartezični koordinatni sistem v prostoru
Kartezične koordinate v prostoru so uvedene v popolni analogiji s kartezičnimi koordinatami v ravnini.
Tri medsebojno pravokotne osi v prostoru ( koordinatne osi) s skupnim začetkom O in z isto merilno enoto, ki jo tvorijo Kartezični pravokotni koordinatni sistem v prostoru .
Ena od teh osi se imenuje os Ox, oz x-os , drugi - os Oj, oz y-os , tretja os Oz, oz aplicirati os . Pustiti Mx, Ml Mz- projekcije poljubne točke M prostor na osi Ox , Oj in Oz oz.
Gremo skozi točko M OxOx na točki Mx. Gremo skozi točko M ravnina, pravokotna na os Oj. Ta ravnina seka os Oj na točki Ml. Gremo skozi točko M ravnina, pravokotna na os Oz. Ta ravnina seka os Oz na točki Mz.
Kartezične pravokotne koordinate x , l in z točke M ustrezno bomo imenovali vrednosti usmerjenih segmentov OMx, OMl in OMz. Vrednosti teh usmerjenih segmentov se ustrezno izračunajo kot x = x0 - 0 , l = l0 - 0 in z = z0 - 0 .
Kartezične koordinate x , l in z točke M se ustrezno imenujejo abscisa , ordinata in uporabiti .
Koordinatne osi, vzete v parih, se nahajajo v koordinatnih ravninah xOy , yOz in zOx .
Problemi o točkah v kartezičnem koordinatnem sistemu
Primer 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Poiščite koordinate projekcij teh točk na abscisno os.
rešitev. Kot izhaja iz teoretičnega dela te lekcije, se projekcija točke na abscisno os nahaja na sami abscisni osi, to je osi Ox, zato ima absciso, ki je enaka abscisi same točke, in ordinato (koordinata na osi Oj, ki ga os x seka v točki 0), enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate teh točk na osi x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Primer 2. V kartezičnem koordinatnem sistemu so točke podane na ravnini
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Poiščite koordinate projekcij teh točk na ordinatno os.
rešitev. Kot izhaja iz teoretičnega dela te lekcije, se projekcija točke na ordinatno os nahaja na sami ordinatni osi, to je osi Oj, zato ima ordinato, ki je enaka ordinati same točke, in absciso (koordinato na osi Ox, ki jo ordinatna os seka v točki 0), ki je enaka nič. Tako dobimo naslednje koordinate teh točk na ordinatni osi:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Primer 3. V kartezičnem koordinatnem sistemu so točke podane na ravnini
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox, bo imel enako absciso kot dano točko, ordinata pa je enaka absolutna vrednost ordinata dane točke in njen nasprotni predznak. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na os Ox :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Sami rešite naloge s kartezičnim koordinatnim sistemom in si nato oglejte rešitve
Primer 4. Ugotovite, v katerih kvadrantih (četrtine, risanje s kvadranti - na koncu odstavka "Pravokotni kartezični koordinatni sistem na ravnini") se lahko nahaja točka M(x; l) , Če
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − l = 0 ;
4) x + l = 0 ;
5) x + l > 0 ;
6) x + l < 0 ;
7) x − l > 0 ;
8) x − l < 0 .
Primer 5. V kartezičnem koordinatnem sistemu so točke podane na ravnini
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Poiščite koordinate točk, simetričnih tem točkam glede na os Oj .
Nadaljujmo z reševanjem težav skupaj
Primer 6. V kartezičnem koordinatnem sistemu so točke podane na ravnini
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Poiščite koordinate točk, simetričnih tem točkam glede na os Oj .
rešitev. Zavrtite za 180 stopinj okoli osi Oj smerni segment od osi Oj do te točke. Na sliki, kjer so označeni kvadranti ravnine, vidimo, da je točka, ki je simetrična dani glede na os Oj, bo imela isto ordinato kot dana točka in absciso, ki je v absolutni vrednosti enaka abscisi dane točke in nasprotnega predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na os Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Primer 7. V kartezičnem koordinatnem sistemu so točke podane na ravnini
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Poiščite koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na izhodišče.
rešitev. Usmerjeni odsek, ki gre iz izhodišča v dano točko, zavrtimo za 180 stopinj okoli izhodišča. Na sliki, kjer so označeni kvadranti ravnine, vidimo, da bo imela točka, ki je simetrična na dano točko glede na izhodišče koordinat, absciso in ordinato, ki sta v absolutni vrednosti enaki abscisi in ordinati dane točke, vendar v znamenju jim nasproti. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na izhodišče:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Primer 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Poiščite koordinate projekcij teh točk:
1) na letalu Oxy ;
2) na letalu Oxz ;
3) na letalo Oyz ;
4) na abscisni osi;
5) na ordinatni osi;
6) na osi aplikacije.
1) Projekcija točke na ravnino Oxy se nahaja na sami ravnini, zato ima absciso in ordinato, ki sta enaki abscisi in ordinati dane točke, in aplikato, ki je enaka nič. Tako dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Projekcija točke na ravnino Oxz se nahaja na sami ravnini in ima zato absciso in aplikat enak abscisi in aplikat dane točke ter ordinato enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Projekcija točke na ravnino Oyz se nahaja na sami ravnini in ima zato ordinato in aplikat enak ordinati in aplikat dane točke, absciso pa enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Kot izhaja iz teoretičnega dela te lekcije, se projekcija točke na abscisno os nahaja na sami abscisni osi, to je osi Ox, in ima torej absciso, ki je enaka abscisi same točke, ordinata in aplikata projekcije pa sta enaki nič (ker ordinatna in aplikatna os sekata absciso v točki 0). Dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na os abscise:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Projekcija točke na ordinatno os se nahaja na sami ordinatni osi, to je osi Oj, in ima zato ordinato enako ordinati same točke, abscisa in aplikata projekcije pa sta enaki nič (ker abscisna in aplicirana os sekata ordinatno os v točki 0). Dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na ordinatno os:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Projekcija točke na aplikativno os se nahaja na sami aplikativni osi, tj. Oz, in ima torej aplikat, ki je enak aplikati same točke, abscisa in ordinata projekcije pa sta enaki nič (ker abscisna in ordinatna os sekata aplicirano os v točki 0). Dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na aplikativno os:
Az (0; 0; 5);
Bz(0; 0; 1);
Cz (0; 0; 0).
Primer 9. V kartezičnem koordinatnem sistemu so točke podane v prostoru
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Poiščite koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na:
1) letalo Oxy ;
2) letala Oxz ;
3) letala Oyz ;
4) abscisne osi;
5) ordinatne osi;
6) nanesite osi;
7) izhodišče koordinat.
1) "Premaknite" točko na drugo stran osi Oxy Oxy, bo imela absciso in ordinato, ki sta enaki abscisi in ordinati dane točke, in aplikat, ki je po velikosti enak aplikati dane točke, vendar nasprotnega predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke glede na ravnino Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Premaknite" točko na drugo stran osi Oxz na isto razdaljo. Iz slike, ki prikazuje koordinatni prostor, vidimo, da je točka, ki je simetrična dani glede na os Oxz, bo imel absciso in aplikat enak abscisi in aplikat dane točke in ordinato, ki je po velikosti enaka ordinati dane točke, vendar nasprotnega predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke glede na ravnino Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Premaknite" točko na drugo stran osi Oyz na isto razdaljo. Iz slike, ki prikazuje koordinatni prostor, vidimo, da je točka, ki je simetrična dani glede na os Oyz, bo imela ordinato in aplikato, ki sta enaki ordinati in aplikati dane točke, in absciso, ki je po vrednosti enaka abscisi dane točke, vendar nasprotnega predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke glede na ravnino Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Po analogiji z simetrične točke na ravnini in točkah v prostoru, ki so simetrične glede na podatke glede na ravnine, upoštevamo, da bo v primeru simetrije glede na neko os kartezičnega koordinatnega sistema v prostoru koordinata na osi, glede na katero je podana simetrija ohrani svoj predznak, koordinate na drugih dveh oseh pa bodo absolutno enake enake vrednosti kot koordinate dane točke, vendar nasprotnega predznaka.
4) Abscisa bo ohranila svoj predznak, ordinata in aplikata pa bosta spremenili predznak. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke glede na os abscise:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata bo ohranila svoj predznak, abscisa in aplikata pa bosta spremenili predznak. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke glede na ordinatno os:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacija bo obdržala svoj predznak, abscisa in ordinata pa bosta spremenili predznak. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke glede na uporabljeno os:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Po analogiji s simetrijo v primeru točk na ravnini bodo v primeru simetrije glede na izhodišče koordinat vse koordinate točke, ki je simetrična na dano, po absolutni vrednosti enake koordinatam dane točke, vendar nasprotno od njih v znamenju. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične podatkom glede na izvor.
