Dijaki se v prvem letniku najpogosteje srečujejo s površinami 2. reda. Sprva se težave na to temo morda zdijo preproste, a med študijem višja matematika in se poglobite v znanstveno plat, lahko končno izgubite orientacijo nad tem, kar se dogaja. Da se to ne bi zgodilo, si morate ne le zapomniti, ampak razumeti, kako se pridobi ta ali ona površina, kako spremembe koeficientov vplivajo nanjo in njeno lokacijo glede na prvotni koordinatni sistem ter kako najti nov sistem (en kjer njegovo središče sovpada z izhodiščnimi koordinatami, a vzporedno z eno od koordinatne osi). Začnimo od samega začetka.
Opredelitev
Površina 2. reda se imenuje GMT, katere koordinate zadoščajo splošni enačbi naslednje oblike:
Jasno je, da mora imeti vsaka točka, ki pripada površini, tri koordinate v neki določeni bazi. Čeprav v nekaterih primerih lokus točke se lahko degenerirajo na primer v ravnino. To pomeni le, da je ena od koordinat konstantna in enaka nič v celotnem območju dopustnih vrednosti.
Celotna pisna oblika zgornje enakosti izgleda takole:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - nekaj konstant, x, y, z - ustrezne spremenljivke afine koordinate katera koli točka. V tem primeru vsaj eden od stalnih dejavnikov ne sme biti enako nič, kar pomeni, da nobena točka ne bo ustrezala enačbi.
V veliki večini primerov je veliko numeričnih faktorjev še vedno identično enakih nič, enačba pa je bistveno poenostavljena. V praksi določitev, ali točka pripada površini, ni težavna (dovolj je, da v enačbo nadomestimo njene koordinate in preverimo, ali identiteta drži). Ključna točka pri takem delu je slednje pripeljati do kanonična oblika.
Zgoraj zapisana enačba definira vse (vse spodaj navedene) površine 2. reda. Oglejmo si spodnje primere.
Vrste površin 2. reda
Enačbe površin 2. reda se razlikujejo le v vrednostih koeficientov A nm. Od splošni pogled pri določenih vrednostih konstant je mogoče dobiti različne površine, razvrščene na naslednji način:
- Cilindri.
- Eliptični tip.
- Hiperbolični tip.
- Stožčasti tip.
- Parabolični tip.
- Letala.
Vsaka od naštetih vrst ima naravno in imaginarno obliko: v imaginarni obliki se geometrijsko mesto realnih točk bodisi degenerira v bolj preprosta figura, ali pa ga sploh ni.
Cilindri
To je najpreprostejši tip, saj razmeroma zapletena krivulja leži le na dnu in deluje kot vodilo. Generatorji so ravne črte, pravokotne ravnine, v kateri leži osnova.
Graf prikazuje krožni valj - poseben primer eliptični valj. V ravnini XY bo njegova projekcija elipsa (v našem primeru krog) - vodilo, v XZ pa pravokotnik - saj so generatorji vzporedni z osjo Z. Da bi jo dobili iz splošne enačbe, je koeficientom je treba dati naslednje vrednosti:
Namesto običajnih zapisov x, y, z, x z serijska številka- ni pomembno.
Pravzaprav so 1/a 2 in druge tukaj navedene konstante enaki koeficienti, navedeni v splošni enačbi, vendar jih je običajno zapisati točno v tej obliki - to je kanonična upodobitev. V nadaljevanju bo uporabljen izključno ta vnos.
To definira hiperbolični valj. Shema je enaka - hiperbola bo vodilo.
Parabolični valj je definiran nekoliko drugače: njegova kanonična oblika vključuje koeficient p, imenovan parameter. Dejansko je koeficient enak q=2p, vendar ga je običajno razdeliti na dva predstavljena faktorja.
Obstaja še ena vrsta cilindra: imaginarni. Takšnemu valju ne pripada nobena realna točka. Opisuje ga enačba eliptičnega valja, vendar je namesto ene -1.
Eliptični tip
Elipsoid se lahko raztegne vzdolž ene od osi (vzdolž katere je odvisno od zgoraj navedenih vrednosti konstant a, b, c; očitno bo večja os ustrezala večjemu koeficientu).
Obstaja tudi namišljeni elipsoid - pod pogojem, da je vsota koordinat, pomnožena s koeficienti, enaka -1:
Hiperboloidi
Ko se v eni od konstant pojavi minus, se enačba elipsoida spremeni v enačbo enolistnega hiperboloida. Razumeti morate, da ni nujno, da se ta minus nahaja pred koordinato x3! Določa le, katera od osi bo os vrtenja hiperboloida (ali vzporedna z njo, saj ko se v kvadratu pojavijo dodatni členi (npr. (x-2) 2), se središče slike premakne, kot posledično se površina premika vzporedno s koordinatnimi osemi). To velja za vse površine 2. reda.
Poleg tega morate razumeti, da so enačbe predstavljene v kanonični obliki in jih je mogoče spremeniti s spreminjanjem konstant (ob ohranjanju predznaka!); hkrati pa bo njihov videz (hiperboloid, stožec itd.) ostal enak.
Takšno enačbo podaja dvolistni hiperboloid.
Stožčasta površina
V enačbi stožca ni enotnosti - enaka je nič.
Stožec je le omejen stožčasta površina. Na spodnji sliki je razvidno, da bosta na grafikonu dejansko dva tako imenovana stožca.
Pomembna opomba: v vseh obravnavanih kanoničnih enačbah so konstante privzeto pozitivne. V nasprotnem primeru lahko znak vpliva na končni graf.
Koordinatne ravnine postanejo simetrijske ravnine stožca, središče simetrije se nahaja v izhodišču.
V enačbi namišljenega stožca so samo plusi; ima v lasti eno samo pravo točko.
Paraboloidi
Površine 2. reda v prostoru lahko zavzamejo različne oblike tudi s podobnimi enačbami. Na primer, paraboloidi so v dveh vrstah.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Eliptični paraboloid, ko je os Z pravokotna na risbo, bo projiciran v elipso.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Hiperbolični paraboloid: v odsekih z ravninami, vzporednimi z ZY, dobimo parabole, v odsekih z ravninami, vzporednimi z XY, pa hiperbole.
Sekajoče ravnine
Obstajajo primeri, ko površine 2. reda degenerirajo v ravnini. Te ravnine je mogoče urediti na različne načine.
Najprej si poglejmo sekajoče se ravnine:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
S to modifikacijo kanonične enačbe preprosto dobimo dve sekajoči se ravnini (namišljeni!); vse realne točke se nahajajo na osi koordinate, ki je odsotna v enačbi (v kanoničnem - os Z).
Vzporedne ravnine
Če obstaja samo ena koordinata, se površine 2. reda degenerirajo v par vzporedne ravnine. Ne pozabite, katera koli druga spremenljivka lahko prevzame mesto igralca; potem bodo pridobljene ravnine, vzporedne z drugimi osemi.
V tem primeru postanejo namišljeni.
Sovpadajoče ravnine
S tem preprosta enačba par ravnin se degenerira v eno - sovpadata.
Ne pozabite, da v primeru tridimenzionalne osnove zgornja enačba ne podaja premice y=0! Manjkata drugi dve spremenljivki, vendar to samo pomeni, da je njuna vrednost konstantna in enaka nič.
Gradnja
Ena najtežjih nalog za študenta je prav gradnja ploskev 2. reda. Še težje je preiti iz enega koordinatnega sistema v drugega ob upoštevanju kotov naklona krivulje glede na osi in odmika središča. Oglejmo si, kako dosledno določiti pogled v prihodnost risanje na analitičen način.
Če želite zgraditi površino 2. reda, morate:
- spravi enačbo v kanonično obliko;
- določite vrsto preučevane površine;
- graditi na podlagi vrednosti koeficientov.
Spodaj so navedene vse obravnavane vrste:
Da bi to okrepili, bomo podrobno opisali en primer te vrste naloge.
Primeri
Recimo, da imamo enačbo:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Spravimo ga v kanonično obliko. Izberimo cele kvadrate, to pomeni, da bomo razpoložljive člene razporedili tako, da bodo razpad kvadrata vsote ali razlike. Na primer: če je (a+1) 2 =a 2 +2a+1, potem je a 2 +2a+1=(a+1) 2. Izvedli bomo drugo operacijo. Oklepaji v v tem primeru ni treba razkriti, saj bo to samo zapletlo izračune, ampak razkriti skupni množitelj 6 (v oklepaju s popoln kvadrat igra) potrebujete:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Spremenljivka zet se v tem primeru pojavi samo enkrat - za zdaj jo lahko pustite pri miru.
Analizirajmo enačbo na tej stopnji: vse neznanke imajo pred seboj znak plus; Če delimo s šest, ostane ena. Posledično imamo pred seboj enačbo, ki določa elipsoid.
Upoštevajte, da je bilo 144 faktorizirano v 150-6, nato pa je bilo -6 premaknjeno v desno. Zakaj je bilo treba narediti tako? Očitno najbolj veliki delilec V v tem primeru-6, torej, da bi enota ostala na desni po deljenju z njo, je treba "odložiti" natanko 6 od 144 (dejstvo, da mora biti enota na desni, je označeno s prisotnostjo prosti člen - konstanta, ki ni pomnožena z neznanko).
Vse delimo s šest in dobimo kanonično enačbo elipsoida:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
V prej uporabljeni klasifikaciji površin 2. reda je upoštevan poseben primer, ko je središče figure v izhodišču koordinat. V tem primeru je zamik.
Predvidevamo, da je vsak oklepaj z neznankami nova spremenljivka. To je: a=x-1, b=y+5, c=z. V novih koordinatah središče elipsoida sovpada s točko (0,0,0), torej a=b=c=0, od koder je: x=1, y=-5, z=0. V začetnih koordinatah leži središče figure v točki (1,-5,0).
Elipsoid dobimo iz dveh elips: prve v ravnini XY in druge v ravnini XZ (ali YZ - ni pomembno). Koeficienti, s katerimi so deljene spremenljivke, so v kanonični enačbi postavljeni na kvadrat. Zato bi bilo v zgornjem primeru pravilneje deliti s korenom iz dva, ena in koren iz tri.
Mala os prve elipse, vzporedna z osjo Y, je enaka dve. Velika os je vzporedna z osjo X - dva korena iz dva. Mala os druge elipse, vzporedna z osjo Y, ostane enaka - enaka je dve. A glavna os, vzporedno z osjo Z, je enako dvema korenoma iz tri.
S pomočjo podatkov, pridobljenih iz prvotne enačbe s pretvorbo v kanonično obliko, lahko narišemo elipsoid.
Če povzamem
Tema, obravnavana v tem članku, je precej obsežna, vendar v resnici, kot lahko vidite, ni zelo zapletena. Njegov razvoj se namreč konča v trenutku, ko si zapomnite imena in enačbe površin (in seveda, kako izgledajo). V zgornjem primeru smo podrobno preučili vsak korak, vendar spravljanje enačbe v kanonično obliko zahteva minimalno znanje višje matematike in študentu ne bi smelo povzročati težav.
Analiza prihodnjega urnika podlagi obstoječega enakopravnosti je že več kot težka naloga. Toda za uspešno rešitev je dovolj razumeti, kako so zgrajene ustrezne krivulje drugega reda - elipse, parabole in druge.
Primeri degeneracije so še preprostejši razdelek. Zaradi odsotnosti nekaterih spremenljivk niso poenostavljeni le izračuni, kot smo že omenili, ampak tudi sama konstrukcija.
Takoj, ko lahko samozavestno poimenujete vse vrste površin, spreminjate konstante, spreminjate graf v eno ali drugo obliko, bo tema obvladana.
Vso srečo pri študiju!
Eliptična enačba:
Poseben primer eliptični valj je krožni valj, je njegova enačba x 2 + y 2 = R 2 . Enačba x 2 =2pz določa v prostoru parabolični cilinder.
Enačba: določa v prostoru hiperbolični valj.
Vse te površine imenujemo valji drugega reda, saj so njihove enačbe enačbe druge stopnje glede na trenutne koordinate x, y, z.
18. Realna števila, kompleksna števila Dejanja na kompleksna števila. Kompleksna števila. Moivrejeve formule.
Kompleksno število ime izraz oblike z=x+iy, kjer sta x in y realni števili, i pa je t.i. imaginarna enota, . Če je x=0, se kliče število 0+iy=iy. namišljeno število; če je y=0, potem se število x+i0=x identificira z realnim številom x, kar pomeni, da je množica Rall realna. števila pojavov podmnožica množice C vseh kompleksnih števil, tj. .Številka x ime realni del z, .Dve kompleksni števili in se imenujeta enaki (z1=z2), če in samo če sta njuna realna dela enaka in imaginarni deli enaki: x1=x2, y1=y2. Zlasti je kompleksno število Z=x+iy enako nič, če in samo če je x=y=0. Pojma »več« in »manj« nista uvedena za kompleksna števila. Dve kompleksni števili z = x + iy и , ki se razlikujeta samo v predznaku imaginarnega dela, imenujemo konjugirani.
Geometrijska slika kompleksna števila.
Vsako kompleksno število z=x+iy je mogoče predstaviti s točko M(x,y) ravnine Oxy, tako da je x=Rez, y=Imz. In obratno, vsako točko M(x;y) koordinatne ravnine lahko obravnavamo kot sliko kompleksno število z=x+iy. Imenuje se ravnina, na kateri so upodobljena kompleksna števila kompleksna ravnina, Ker vsebuje realna števila z=x+0i=x. Ordinatno os imenujemo imaginarna os, ker na njej ležijo čisto imaginarna kompleksna števila z=0+iy. Kompleksno število Z=x+iy je mogoče določiti z uporabo radijskega vektorja r=OM=(x,y). Dolžino vektorja r, ki predstavlja kompleksno število z, imenujemo modul tega števila in ga označimo z |z| ali r. Velikost kota med Smer prava os in vektor r, ki predstavlja kompleksno število, se imenuje argument tega kompleksnega števila, označen z Argz ali . Argument kompleksnega števila Z=0 ni definiran. Argument kompleksnega števila je večvrednostna količina in je določen do izraza, kjer je argz glavna vrednost argumenta, vsebovanega v intervalu (), tj. - 
(včasih je glavna vrednost argumenta vrednost ki pripadajo intervalu (0; )).
Zapis števila z v obliki z=x+iy se imenuje algebrska oblika kompleksno število.
S to razliko, da bomo namesto »ploskih« grafov obravnavali najpogostejše prostorske ploskve in se jih tudi naučili ročno kompetentno graditi. Dolgo sem izbiral programska orodja za ustvarjanje tridimenzionalnih risb in našel nekaj dobrih aplikacij, vendar kljub vsej enostavnosti uporabe ti programi ne rešujejo pomembnega praktično vprašanje. Dejstvo je, da bodo učenci v dogledni zgodovinski prihodnosti še vedno oboroženi z ravnilom in svinčnikom, in tudi če imajo visokokakovostno "strojno" risbo, je mnogi ne bodo mogli pravilno prenesti v karirast papir. Zato v priročniku Posebna pozornost je posvečena tehniki ročne gradnje, pomemben del ilustracij na strani pa je ročno delo.
Kaj je tu drugače referenčno gradivo od analogov?
Imeti dostojno praktične izkušnje, dobro vem, s katerimi površinami imam najpogosteje opravka resnične težave višjo matematiko in upam, da vam bo ta članek pri tem pomagal kakor hitro se da dopolnite svojo prtljago z ustreznim znanjem in uporabnimi veščinami, kar bi moralo biti dovolj v 90-95% primerov.
Kaj morate narediti v tem trenutku?
Najbolj osnovno:
Prvič, morate biti sposobni graditi pravilno prostorski kartezični koordinatni sistem (glej začetek članka Grafi in lastnosti funkcij) .
Kaj boste pridobili po branju tega članka?
Steklenica Po osvojitvi gradiva za lekcijo se boste naučili hitro določiti vrsto površine po njeni funkciji in/ali enačbi, si predstavljati, kako se nahaja v prostoru, in seveda izdelati risbe. Nič hudega, če vam po prvem branju ne pride vse v glavo - po potrebi se lahko kadar koli pozneje vrnete na kateri koli odstavek.
Informacije so v moči vsakogar - za njihovo obvladovanje ne potrebujete nobenega super znanja, posebnega umetniškega talenta ali prostorske vizije.
Začeti!
V praksi je prostorska površina običajno podana funkcija dveh spremenljivk ali enačba oblike (konstanta na desni strani je največkrat enaka nič ali ena). Prva oznaka je bolj značilna za matematična analiza, drugi – za analitično geometrijo. Enačba je v bistvu implicitno dano funkcija 2 spremenljivk, ki jo je v tipičnih primerih enostavno reducirati na obliko . spomnim te najpreprostejši primer c:
–enačba ravnine prijazen
– ravninska funkcija v izrecno .
Začnimo z njim:
Pogoste enačbe ravnin
Tipične možnosti ureditev letal v pravokotni sistem koordinate so podrobno obravnavane na samem začetku članka Enačba ravnine. Vendar se še enkrat posvetimo enačbam, ki imajo dobra vrednost za prakso.
Najprej morate popolnoma samodejno prepoznati enačbe ravnin, ki so vzporedne s koordinatnimi ravninami. Fragmenti ravnin so običajno prikazani kot pravokotniki, ki v zadnjih dveh primerih izgledajo kot paralelogrami. Privzeto lahko izberete poljubne dimenzije (seveda v razumnih mejah), vendar je zaželeno, da je točka, v kateri koordinatna os "prebije" ravnino, središče simetrije: 
Strogo gledano bi morale biti koordinatne osi ponekod prikazane s pikčastimi črtami, a da bi se izognili zmedi, bomo ta odtenek zanemarili.
– (leva risba) neenakost podaja od nas najbolj oddaljeni polprostor, razen same ravnine;
– (srednja risba) neenakost določa desni polprostor, vključno z ravnino;
– (desna risba) dvojna neenakost določa "plast", ki se nahaja med ravninama, vključno z obema ravninama.
Za samoogrevanje:
Primer 1
Nariši telo, omejeno z ravninami
Ustvarite sistem neenakosti, ki definirajo dano telo.
Izpod svinčnika naj se pojavi stari znanec. kvader . Ne pozabite, da morajo biti nevidni robovi in ploskve narisani s pikčasto črto. Končano risanje na koncu lekcije.
Prosim, NE ZANEMARIJTE Učni cilji, četudi se zdijo preveč preprosti. V nasprotnem primeru se vam lahko zgodi, da ste zamudili eno, zamudili dve in potem preživeli dobro uro, ko ste preizkušali tridimenzionalno risbo v kakšnem pravi primer. Poleg tega mehansko delo vam bo pomagal veliko učinkoviteje učiti snov in razvijati vašo inteligenco! Ni naključje, da vrtec in osnovna šola otroci so obremenjeni z risanjem, modeliranjem, sestavljanjem in drugimi nalogami za fine motorične sposobnosti prsti. Oprostite za digresijo, vendar ne pustite, da gresta moja dva zvezka v nič razvojna psihologija =)
Naslednjo skupino ravnin bomo pogojno imenovali "neposredna sorazmernost" - to so ravnine, ki potekajo skozi koordinatne osi:
2) enačba oblike podaja ravnino, ki poteka skozi os;
3) enačba oblike podaja ravnino, ki poteka skozi os.
Čeprav je formalni znak očiten (katera spremenljivka manjka v enačbi – ravnina poteka skozi to os), je vedno koristno razumeti bistvo dogajanja:
Primer 2
Konstruiraj letalo
Kateri je najboljši način gradnje? predlagam naslednji algoritem:
Najprej prepišimo enačbo v obliki , iz katere je jasno razvidno, da lahko "y" traja kaj pomeni. Popravimo vrednost, to je, upoštevali bomo koordinatno ravnino. Nabor enačb prostorska linija, ki leži v dani koordinatni ravnini. Upodabljajmo to črto na risbi. Premica poteka skozi izhodišče koordinat, zato je za njeno konstrukcijo dovolj najti eno točko. Pustiti . Odložite točko in narišite ravno črto.
Zdaj se vrnemo k enačbi ravnine. Ker "Y" sprejema kaj vrednosti, potem se ravna črta, zgrajena v ravnini, nenehno "replicira" v levo in desno. Točno tako je oblikovana naša ravnina, ki poteka skozi os. Za dokončanje risbe levo in desno od ravne črte postavimo dva vzporedne črte in "zaprite" simbolni paralelogram s prečnimi vodoravnimi segmenti: 
Ker pogoj ni nalagal dodatnih omejitev, je delček letala lahko upodobil v nekoliko manjših ali nekoliko večjih dimenzijah.
Naj še enkrat ponovimo pomen prostora linearna neenakost Na primer. Kako določiti polprostor, ki ga določa? Vzemimo nekaj točke ne pripada ravnino, na primer, točko iz nam najbližjega polprostora in njene koordinate nadomestimo v neenakost:
Prejeto prava neenakost, kar pomeni, da neenačba podaja spodnji (glede na ravnino) polprostor, sama ravnina pa ni vključena v rešitev.
Primer 3
Konstruirajte letala
A) ;
b) .
To so naloge za samogradnja, v primeru težav uporabite podobno sklepanje. Kratka navodila in risbe na koncu lekcije.
V praksi so zlasti pogoste ravnine, ki so vzporedne z osjo. Poseben primer, ko ravnina prehaja skozi os, smo pravkar obravnavali v točki "be", zdaj pa bomo analizirali več skupno opravilo:
Primer 4
Konstruiraj letalo
rešitev: spremenljivka “z” ni eksplicitno vključena v enačbo, kar pomeni, da je ravnina vzporedna z osjo aplikacije. Uporabimo isto tehniko kot v prejšnjih primerih.
Prepišimo enačbo ravnine v obliki 
iz katerega je razvidno, da »zet« lahko vzame kaj pomeni. Popravimo in narišimo navadno "ravno" ravno črto v "domači" ravnini. Za njegovo konstrukcijo je priročno vzeti referenčne točke.
Ker "Z" sprejme Vse vrednosti, potem se konstruirana ravna črta nenehno "množi" navzgor in navzdol in tako tvori želeno ravnino 
. Previdno sestavimo paralelogram primerne velikosti: 
pripravljena
Enačba ravnine v segmentih
Najpomembnejša uporabljena sorta. če Vse kvote splošna enačba ravnine različen od nič, potem ga je mogoče predstaviti v obliki 
ki se imenuje enačba ravnine v segmentih. Očitno je, da ravnina seka koordinatne osi v točkah , velika prednost takšne enačbe pa je enostavnost sestavljanja risbe:
Primer 5
Konstruiraj letalo
rešitev: Najprej sestavimo enačbo ravnine v segmentih. Prestavimo brezplačen član na desno in delite obe strani z 12: 
Ne, tukaj ni nobene tipkarske napake in vse se dogaja v vesolju! Predlagano površino pregledamo z isto metodo, ki je bila nedavno uporabljena za letala. Prepišimo enačbo v obliki 
, iz česar izhaja, da »zet« vzame kaj pomeni. Popravimo in zgradimo elipso v ravnini. Ker "zet" sprejme Vse vrednosti, potem se konstruirana elipsa nenehno "replicira" gor in dol. Zlahka je razumeti, da površina neskončno:
Ta površina se imenuje eliptični valj
. Elipsa (na kateri koli višini) se imenuje vodnik valj, vzporedne premice, ki potekajo skozi vsako točko elipse, pa imenujemo oblikovanje cilinder (ki so dobesedno tvorijo ga besede). Os je simetrična os površino (vendar ne njen del!).
Koordinate katere koli točke, ki pripada dani površini, nujno izpolnjujejo enačbo 
.
Prostorsko neenakost določa "notranjost" neskončne "cevi", vključno s samo cilindrično površino, in v skladu s tem nasprotna neenakost definira množico točk zunaj valja.
IN praktični problemi najbolj priljubljen poseben primer je, ko vodnik cilinder je krog:
Primer 8
Zgradite površino, ki jo daje enačba
Nemogoče je upodobiti neskončno "cev", zato je umetnost običajno omejena na "obrezovanje".
Najprej je priročno zgraditi krog s polmerom v ravnini, nato pa še nekaj krogov zgoraj in spodaj. Nastali krogi ( vodniki valj) previdno povežite s štirimi vzporednimi ravnimi črtami ( oblikovanje cilinder): 
Ne pozabite uporabiti črtkanih črt za črte, ki so nam nevidne.
Koordinate katere koli točke, ki pripada danemu valju, zadovoljujejo enačbo 
. Koordinate katere koli točke, ki leži strogo znotraj "cevi", izpolnjujejo neenakost 
, in neenakost 
določa množico točk zunanjega dela. Za boljše razumevanje priporočam, da razmislite o več posebne točke prostora in se prepričajte sami.
Primer 9
Konstruiraj površino in poišči njeno projekcijo na ravnino
Prepišimo enačbo v obliki 
iz česar sledi, da "x" vzame kaj pomeni. Popravimo in upodabljamo v ravnini krog– s središčem v izhodišču, enotski polmer. Ker "x" nenehno sprejema Vse vrednosti, potem konstruirani krog ustvari krožni valj s simetrijsko osjo. Narišite še en krog ( vodnik valj) in jih previdno povežite z ravnimi črtami ( oblikovanje valj). Ponekod je prišlo do prekrivanj, a kaj moreš, tam je tak naklon: 
Tokrat sem se omejil na kos valja v špranjo in to ni naključje. V praksi je pogosto potrebno upodobiti le majhen delček površine.
Mimogrede, tukaj je 6 generatric - dve dodatni ravni črti "pokrivata" površino iz zgornjega levega in spodnjega desnega kota.
Zdaj pa poglejmo projekcijo valja na ravnino. Mnogi bralci razumejo, kaj je projekcija, vendar kljub temu opravimo še pet minutno telesno vajo. Prosimo, vstanite in sklonite glavo nad risbo, tako da bo točka osi usmerjena pravokotno na vaše čelo. Iz tega kota je valj videti kot njegova projekcija na ravnino. Vendar se zdi, da je neskončen trak, zaprt med ravnimi črtami, vključno s samimi ravnimi črtami. Ta projekcija- točno tako domena funkcije (zgornji “žleb” cilindra), (spodnji “žleb”).
Mimogrede, razjasnimo situacijo s projekcijami na druge koordinatne ravnine. Sončni žarki naj sijejo na valj od konice in vzdolž osi. Senca (projekcija) valja na ravnino je podoben neskončni trak - del ravnine, omejen z ravnimi črtami (- poljubnimi), vključno s samimi ravnimi črtami.
Toda projekcija na ravnino je nekoliko drugačna. Če na valj gledate s konice osi, bo projiciran v krog z enotskim polmerom 
, s katerim smo začeli gradnjo.
Primer 10
Konstruiraj površino in poišči njene projekcije na koordinatne ravnine
To je naloga za neodvisna odločitev. Če pogoj ni zelo jasen, kvadrirajte obe strani in analizirajte rezultat; ugotovite, kateri del valja je določen s funkcijo. Uporabite zgoraj večkrat uporabljeno gradbeno tehniko. Hitra rešitev, risba in komentarji na koncu lekcije.
Eliptični in drugi cilindrične površine se lahko premakne glede na koordinatne osi, na primer:
(po znanih motivih članka o Vrstice 2. reda)
– valj z enotskim polmerom s simetrično črto, ki poteka skozi točko, vzporedno z osjo. Vendar se v praksi takšni valji srečujejo precej redko in popolnoma neverjetno je naleteti na valjasto površino, ki je "poševna" glede na koordinatne osi.
Parabolični cilindri
Kot že ime pove, vodnik tak valj je parabola.
Primer 11
Konstruiraj površino in poišči njene projekcije na koordinatne ravnine.
Temu primeru se nisem mogel upreti =)
rešitev: Gremo po uhojeni poti. Prepišimo enačbo v obliki, iz katere sledi, da lahko »zet« zavzame poljubno vrednost. Popravimo in zgradimo navadno parabolo na ravnini, pri čemer smo predhodno označili trivialne oporne točke. Ker "Z" sprejme Vse vrednosti, potem se konstruirana parabola nenehno "replicira" gor in dol do neskončnosti. Enako parabolo položimo, recimo, na višino (v ravnino) in ju previdno povežemo z vzporednimi ravnimi črtami ( oblikovanje cilindra): 
spomnim te uporabna tehnika: če sprva niste prepričani o kakovosti risbe, potem je bolje, da črte najprej zelo tanko narišete s svinčnikom. Nato ocenimo kakovost skice, poiščemo področja, kjer je površina skrita našim očem, in šele nato pritisnemo na pisalo.
Projekcije.
1) Projekcija valja na ravnino je parabola. Opozoriti je treba, da v tem primeru ni mogoče govoriti o domena definicije funkcije dveh spremenljivk– iz razloga, ker enačbe valja ni mogoče reducirati na funkcionalna oblika.
2) Projekcija valja na ravnino je polravnina, vključno z osjo
3) In končno, projekcija valja na ravnino je celotna ravnina.
Primer 12
Zgradite parabolični cilindri:
a) omejite se na delček površine v bližnjem polprostoru;
b) v intervalu
V primeru težav ne hitimo in sklepamo po analogiji s prejšnjimi primeri; na srečo je tehnologija temeljito razvita. Ni kritično, če se površine izkažejo za nekoliko okorne - pomembno je pravilno prikazati osnovno sliko. Sam se ne obremenjujem z lepoto črt; če dobim sprejemljivo risbo z oceno C, je običajno ne obnavljam. Mimogrede, vzorčna rešitev uporablja drugo tehniko za izboljšanje kakovosti risbe ;-)
Hiperbolični cilindri
Vodniki takšni valji so hiperbole. Ta vrsta površine je po mojih opažanjih veliko manj pogosta kot prejšnje vrste, zato se bom omejil na eno shematično risbo hiperbolični valj :
Načelo sklepanja je tukaj popolnoma enako - običajno šolska hiperbola iz ravnine se nenehno "množi" gor in dol do neskončnosti.
Obravnavani cilindri spadajo med t.i Površine 2. reda, zdaj pa se bomo še naprej seznanjali z drugimi predstavniki te skupine:
Elipsoid. Krogla in žoga
Kanonična enačba elipsoid v pravokotnem koordinatnem sistemu ima obliko 
, Kje - pozitivna števila (osi elipsoid), ki v splošni primer drugačen. Elipsoid se imenuje površino, torej telo, omejeno z dano površino. Telo, kot mnogi ugibajo, določa neenakost 
in koordinate katerega koli notranja točka(kot tudi katera koli točka na površju) nujno izpolnjujejo to neenakost. Zasnova je simetrična glede na koordinatne osi in koordinatne ravnine: 
Izvor izraza "elipsoid" je tudi očiten: če je površina "rezana" koordinatne ravnine, potem bodo razdelki imeli tri različne (v splošnem primeru)
Opredelitev 1. Cilindrična površina je ploskev, ki jo tvorijo ravne črte, ki so med seboj vzporedne, imenujemo jo oblikovanje .
Če katera koli ravnina, ki seka vse tvorne cilindrične ploskve, to seka po premici R, potem se ta vrstica imenuje vodnik to cilindrično površino.
Izrek . Če v prostor uvedemo kartezični koordinatni sistem in enačbo v ravnini xOy je enačba neke premice R, potem je ta enačba v prostoru enačba valjaste površine L z vodilno črto R, generatorji pa so vzporedni z osjo Oz(Sl. 3.19, a).
Dokaz. Pika 
leži na cilindrični površini Lče in samo če projekcija 
točke M do letala xOy vzporedno z osjo Oz leži na črti R, tj. če in samo če enačba velja 
.
Podobni sklepi veljajo za enačbe oblike 
(Sl. 3.19, b) in 
(Sl. 3.19, c).
Opredelitev 2 . Cilindrične površine, katerih vodila so črte drugega reda, se imenujejo cilindrične površine drugega reda .
Obstajajo tri vrste cilindrov drugega reda: eliptične (slika 3.20)
, (5.42)
hiperbolično (Slika 3.21)
, (5.43)
parabolični (slika 3.22)
. (5.44)
riž. 3.20 Sl. 3.21 Sl. 3.22
Za cilindre, podane z enačbami(5.42), (5.43) in (5.44) so vodilne črte elipse oz.
,
hiperbola
,
parabola
,
in generatorji so vzporedni z osjo Oz.
Komentiraj. Kot smo videli, imajo stožčaste in cilindrične ploskve drugega reda pravokotne generatorje in vsako od teh ploskev je mogoče oblikovati z gibanjem ravne črte v prostoru.
Izkazalo se je, da imata med vsemi ploskvami drugega reda poleg valja in stožca tudi enolistni hiperboloid in hiperbolični paraboloid premočrtne generatorje in tako kot v primeru valja in stožca oba površine lahko nastanejo z gibanjem premice v prostoru (gl. specialno literaturo).
§4. Redukcija splošne površinske enačbe drugega reda na kanonično obliko
V splošni enačbi površine drugega reda
a) kvadratna oblika
Kje 
;
b) linearna oblika
Kje 
;
c) prost član 
.
Da bi enačbo (5.45) spravili v kanonično obliko, je treba najprej izvesti takšno koordinatno transformacijo 
, in posledično pripadajoča ortonormirana osnova 
, ki transformira kvadratno obliko (5.46) v kanonično obliko (glej knjigo 2, poglavje 8, §3, odstavek 3.1).
Matrika te kvadratne oblike je
,
kje, tj. matrika A– simetrično. Označimo z 
lastne vrednosti in skozi 
ortonormirana baza, sestavljena iz lastnih vektorjev matrike A. Pustiti
–
prehodna matrika iz baze 
do baze 
, A 
– nov koordinatni sistem, povezan s to osnovo.
Nato pri preoblikovanju koordinat
(5.48)
kvadratna oblika (5.46) prevzame kanonično obliko
Kje 
.
Zdaj z uporabo koordinatne transformacije (5.48) na linearno obliko (5.47) dobimo
Kje 
,
– novi koeficienti oblike (5,47).
Tako ima enačba (5.45) obliko
+.
To enačbo lahko zmanjšamo na kanonična oblika z uporabo vzporednega prenosa koordinatnega sistema po formulah
oz 
(5.49)
Po izvedbi transformacije koordinatnega sistema z vzporedni prenos
(5.49), splošna enačba površine drugega reda (5.45) glede na kartezični koordinatni sistem 
bo izražal eno od naslednjih sedemnajstih površin:
1) elipsoid 
2) namišljeni elipsoid 
3) enolistni hiperboloid 
4) dvolistni hiperboloid 
5) stožec 
6) namišljeni stožec 
7) eliptični paraboloid
8) hiperbolični paraboloid
9) eliptični valj
10) namišljeni eliptični valj
11) dve namišljeni sekajoči se ravnini
12) hiperbolični valj
13) dve sekajoči se ravnini
14) parabolični valj
15) dve vzporedni ravnini
16) dve namišljeni vzporedni ravnini
17) dve sovpadajoči ravnini
Primer. Določite vrsto in lokacijo površine, definirane glede na kartezični pravokotni koordinatni sistem 
in pripadajočo ortonormirano osnovo 
enačba
Dajmo kvadratno obliko
(5.51)
do kanonične oblike. Matrika te oblike ima obliko
.
Določimo lastne vrednosti te matrike iz karakteristične enačbe
Od tod 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Zdaj najdemo lastni vektorji matrice A: 1) naj 
, nato iz enačbe 
ali v koordinatni obliki
najdi kje 
– katero koli število, in zato 
, A 
. Iz celotne množice kolinearnih vektorjev 
izberite vektor 
, katerega modul 
, tj. normalizirati vektor 
.
2) za 
imamo
.
Od tod 
, Kje 
– poljubno število. Potem 
, A 
. Normalizacija vektorja 
, poiščite enotski vektor 
:
,
Kje 
.
3)
, nato za komponente 
vektor 
imamo sistem
Od kod, kje 
– katero koli število, in zato 
, A 
. Normalizacija vektorja 
, poiščite enotski vektor 
za smer, ki jo daje vektor 
:
Kje 
.
Pojdimo zdaj z ortonormirane baze 
na ortonormirano osnovo 
, sestavljen iz lastnih vektorjev matrike A in z zadnjo osnovo povežemo nov kartezični pravokotni koordinatni sistem 
. Prehodna matrika za takšno transformacijo ima obliko
,
in koordinate se pretvorijo v skladu s formulami
(5.52)
Z uporabo te koordinatne transformacije na kvadratno obliko (5.51) jo reduciramo na kanonično obliko
, Kje 
.
Ugotovimo zdaj, kakšno obliko ima linearna formula
, Kje 
,
če koordinate transformiramo po formulah (5.52). Imamo
Tako, če koordinatni sistem 
transformiramo z uporabo formul (5.52), nato relativno nov sistem koordinate 
obravnavana površina drugega reda je podana z enačbo
Enačbo (5.53) reduciramo na kanonično obliko z uporabo vzporednega prenosa koordinatnega sistema po formulah
nato enačba površine glede na koordinatni sistem 
prevzame obliko
oz 
Ta enačba izraža eliptični valj, katerega usmerjevalna elipsa se nahaja v koordinatni ravnini 
, in nastajajoče premice so vzporedne z osjo 
Komentiraj. Shemo za redukcijo splošne enačbe površine drugega reda na kanonično obliko, opisano v tem razdelku, je mogoče uporabiti tudi za redukcijo splošne enačbe krivulje drugega reda na kanonično obliko.
