Cili është një numër i thjeshtë. Numrat e thjeshtë

Numërimi i pjesëtuesve. Sipas përkufizimit, numri nështë i thjeshtë vetëm nëse nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2 dhe me numra të tjerë të plotë përveç 1 dhe vetvetes. Formula e mësipërme heq hapat e panevojshëm dhe kursen kohë: për shembull, pasi të keni kontrolluar nëse një numër pjesëtohet me 3, nuk ka nevojë të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 9.

• Funksioni dysheme(x) rrumbullakos x në numrin e plotë më të afërt që është më i vogël ose i barabartë me x.

Mësoni rreth aritmetikës modulare. Operacioni është "x mod y" (mod është shkurtim i fjalë latine"modulo" do të thotë "pjestoni x me y dhe gjeni pjesën e mbetur". Me fjalë të tjera, në aritmetikën modulare, me arritjen e një vlere të caktuar, e cila quhet modul, numrat “kthehen” sërish në zero. Për shembull, një orë e mban kohën me një modul 12: tregon orën 10, 11 dhe 12 dhe më pas kthehet në 1.

• Shumë kalkulatorë kanë një çelës mod. Në fund këtë seksion tregon se si të llogaritet manualisht ky funksion për numra të mëdhenj.

Numri kryesorështë një numër natyror (i plotë pozitiv) që pjesëtohet pa mbetje vetëm me dy numra natyrorë: nga vetvetja dhe nga vetvetja. Me fjalë të tjera, një numër i thjeshtë ka saktësisht dy pjesëtues natyror: dhe vetë numri.

Sipas përkufizimit, bashkësia e të gjithë pjesëtuesve të një numri të thjeshtë është dy elementësh, d.m.th. përfaqëson një grup.

Bashkësia e të gjithë numrave të thjeshtë shënohet me simbolin. Kështu, për shkak të përcaktimit të bashkësisë së numrave të thjeshtë, mund të shkruajmë: .

Sekuenca e numrave të thjeshtë duket si kjo:

Teorema Themelore e Aritmetikës

Teorema Themelore e Aritmetikës thotë se çdo numër natyror më i madh se një mund të paraqitet si prodhim i numrave të thjeshtë dhe mënyra e vetme deri në renditjen e faktorëve. Kështu, numrat e thjeshtë janë "blloqet ndërtuese" elementare të grupit të numrave natyrorë.

Zbërthimi numri natyror title="(! LANG: Renditur nga QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonike:

ku është një numër i thjeshtë dhe . Për shembull, zbërthimi kanonik numri natyror duket kështu: .

Paraqitja e një numri natyror si prodhim i numrave të thjeshtë quhet gjithashtu faktorizimi i një numri.

Vetitë e numrave të thjeshtë

Sita e Eratosthenes

Një nga më algoritme të njohura kërkimi dhe njohja e numrave të thjeshtë është sita e Eratosthenes. Pra, ky algoritëm mori emrin e matematikanit grek Eratosthenes nga Kirena, i cili konsiderohet autori i algoritmit.

Për të gjetur të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se numri i dhënë Duke ndjekur metodën Eratosthenes, duhet të ndiqni këto hapa:

Hapi 1. Shkruani të gjithë numrat natyrorë nga dy në , d.m.th. .
Hapi 2. Cakto vlerë e ndryshueshme, domethënë vlera e barabartë me numrin më të vogël të thjeshtë.
Hapi 3. Kryqëzojini në listë të gjithë numrat nga deri tek ata janë shumëfish të , pra numrat: .
Hapi 4. Gjeni numrin e parë të pakryqëzuar në listë më të madh se , dhe caktoni vlerën e këtij numri në një ndryshore.
Hapi 5. Përsëritni hapat 3 dhe 4 derisa të arrihet numri.

Procesi i aplikimit të algoritmit do të duket si ky:

Të gjithë numrat e mbetur të pakryqëzuar në listë në fund të procesit të aplikimit të algoritmit do të jenë grupi i numrave të thjeshtë nga deri në .

hamendësimi i Goldbach

Kopertina e librit “Xha Petros dhe hipoteza e Goldbach”

Përkundër faktit se numrat e thjeshtë janë studiuar nga matematikanët për një kohë mjaft të gjatë, shumë probleme të lidhura mbeten të pazgjidhura sot. Një nga problemet më të famshme të pazgjidhura është Hipoteza e Goldbach, e cila është formuluar si më poshtë:

• A është e vërtetë që çdo numër çift më i madh se dy mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë (hipoteza binar e Goldbach-ut)?
• A është e vërtetë që çdo numër tek më i madh se 5 mund të paraqitet si shumë? tre të thjeshta numrat (hipoteza treshe e Goldbach)?

Duhet thënë se hipoteza trenare e Goldbach është një rast i veçantë i hipotezës binare të Goldbach, ose siç thonë matematikanët, hipoteza treshe e Goldbach është më e dobët se hipoteza binare e Goldbach.

Hamendësimi i Goldbach u bë i njohur gjerësisht jashtë komunitetit matematikor në vitin 2000 falë një fushate reklamuese. mashtrim marketingu kompanitë botuese Bloomsbury USA (SHBA) dhe Faber dhe Faber (MB). Këto shtëpi botuese, pasi kishin nxjerrë librin "Hupozimet e Xha Petros dhe Goldbach", premtuan se do t'i paguanin një çmim prej 1 milion dollarësh për këdo që vërteton hipotezën e Goldbach brenda 2 vjetësh nga data e botimit të librit. Ndonjëherë çmimi i përmendur nga botuesit ngatërrohet me çmimet për zgjidhjen e problemeve të Çmimit të Mijëvjeçarit. Mos bëni gabim, hipoteza e Goldbach nuk klasifikohet nga Instituti Clay si një "sfidë e mijëvjeçarit", megjithëse është e lidhur ngushtë me Hipoteza e Riemann- një nga “sfidat e mijëvjeçarit”.

Libri “Numrat e thjeshtë. Rruga e gjatë drejt pafundësisë"

Kopertina e librit “Bota e matematikës. Numrat e thjeshtë. Rruga e gjatë drejt pafundësisë"

Për më tepër, unë rekomandoj leximin e një libri magjepsës të shkencës popullore, shënimi i të cilit thotë: "Kërkimi i numrave të thjeshtë është një nga problemet më paradoksale në matematikë. Shkencëtarët janë përpjekur ta zgjidhin atë për disa mijëvjeçarë, por, duke u rritur me versione dhe hipoteza të reja, ky mister mbetet ende i pazgjidhur. Shfaqja e numrave të thjeshtë nuk i nënshtrohet asnjë sistemi: ata shfaqen spontanisht në serinë e numrave natyrorë, duke injoruar të gjitha përpjekjet e matematikanëve për të identifikuar modelet në sekuencën e tyre. Ky libër do t'i lejojë lexuesit të gjurmojë evolucionin idetë shkencore nga kohët e lashta deri në ditët e sotme dhe do t'ju prezantojë me teoritë më interesante të kërkimit të numrave të thjeshtë."

Për më tepër, do të citoj fillimin e kapitullit të dytë të këtij libri: “Numrat e thjeshtë janë një nga tema të rëndësishme, të cilat na kthejnë në fillimet e matematikës dhe më pas, përgjatë një rruge me kompleksitet në rritje, na çojnë në ballë shkenca moderne. Kështu, do të ishte shumë e dobishme për të ndjekur magjepsëse dhe histori komplekse Teoria e numrave të thjeshtë: saktësisht se si u zhvillua, si u mblodhën saktësisht faktet dhe të vërtetat që aktualisht konsiderohen të pranuara përgjithësisht. Në këtë kapitull do të shohim se si brezat e matematikanëve studiuan me kujdes numrat natyrorë në kërkim të një rregulli që parashikonte shfaqjen e numrave të thjeshtë - një rregull që bëhej gjithnjë e më i pakapshëm ndërsa kërkimi përparonte. Ne gjithashtu do të hedhim një vështrim më të afërt konteksti historik: në çfarë kushtesh punonin matematikanët dhe në çfarë mase u përdorën praktikat mistike dhe gjysmëfetare në punën e tyre, të cilat nuk janë aspak të ngjashme me metodat shkencore, përdoret në ditët e sotme. Megjithatë, ngadalë dhe me vështirësi, terreni u përgatit për pamje të reja që frymëzuan Fermatin dhe Eulerin në shekujt 17 dhe 18.

• Përkthimi

Vetitë e numrave të thjeshtë u studiuan fillimisht nga matematikanët Greqia e lashtë. Matematikanët e shkollës së Pitagorës (500 - 300 pes) ishin të interesuar kryesisht për vetitë mistike dhe numerologjike të numrave të thjeshtë. Ata ishin të parët që dolën me ide për numra të përsosur dhe miqësorë.

Një numër i përsosur ka një shumë të pjesëtuesve të tij të barabartë me vetveten. Për shembull, pjesëtuesit e duhur të numrit 6 janë 1, 2 dhe 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pjesëtuesit e numrit 28 janë 1, 2, 4, 7 dhe 14. Për më tepër, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Numrat quhen miqësorë nëse shuma e pjesëtuesve të duhur të një numri është e barabartë me një tjetër, dhe anasjelltas - për shembull, 220 dhe 284. Mund të themi se një numër i përsosur është miqësor me vetveten.

Në kohën e Elementeve të Euklidit në vitin 300 p.e.s. disa tashmë janë vërtetuar fakte të rëndësishme në lidhje me numrat e thjeshtë. Në Librin IX të Elementeve, Euklidi vërtetoi se numrat e thjeshtë numër i pafund. Ky, meqë ra fjala, është një nga shembujt e parë të përdorimit të provës me kontradiktë. Ai vërteton gjithashtu Teoremën Themelore të Aritmetikës - çdo numër i plotë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i numrave të thjeshtë.

Ai gjithashtu tregoi se nëse numri 2n-1 është i thjeshtë, atëherë numri 2n-1 * (2n-1) do të jetë i përsosur. Një tjetër matematikan, Euler, ishte në gjendje të tregonte në 1747 se të gjithë numrat madje të përsosur mund të shkruhen në këtë formë. Deri më sot nuk dihet nëse ekzistojnë numra të përsosur tek.

Në vitin 200 p.e.s. Eratosthenes grek doli me një algoritëm për gjetjen e numrave të thjeshtë të quajtur "Sosha e Eratosthenes".

Dhe pastaj pati një ndërprerje të madhe në historinë e studimit të numrave të thjeshtë, të lidhur me Mesjetën.

Zbulimet e mëposhtme u bënë tashmë në fillim të shekullit të 17-të nga matematikani Fermat. Ai vërtetoi hamendjen e Albert Girard se çdo numër i thjeshtë i formës 4n+1 mund të shkruhet në mënyrë unike si shuma e dy katrorëve, dhe gjithashtu formuloi teoremën se çdo numër mund të shkruhet si shuma e katër katrorëve.

Ai u zhvillua metodë e re faktorizimin e numrave të mëdhenj dhe e demonstroi atë në numrin 2027651281 = 44021 × 46061. Ai gjithashtu vërtetoi Teoremën e Vogël të Fermatit: nëse p është një numër i thjeshtë, atëherë për çdo numër të plotë a do të jetë e vërtetë që a p = një modul p.

Ky pohim vërteton gjysmën e asaj që njihej si "hamendja kineze" dhe daton 2000 vjet më parë: numri i plotë n është i thjeshtë nëse dhe vetëm nëse 2 n -2 pjesëtohet me n. Pjesa e dytë e hipotezës doli të jetë e rreme - për shembull, 2,341 - 2 është i ndashëm me 341, megjithëse numri 341 është i përbërë: 341 = 31 × 11.

Teorema e vogël e Fermatit shërbeu si bazë për shumë rezultate të tjera në teorinë e numrave dhe metodat për të testuar nëse numrat janë të thjeshtë - shumë prej të cilave përdoren ende sot.

Fermat korrespondonte shumë me bashkëkohësit e tij, veçanërisht me një murg të quajtur Maren Mersenne. Në një nga letrat e tij, ai hipotezoi se numrat e formës 2 n +1 do të jenë gjithmonë të thjeshtë nëse n është një fuqi e dy. Ai e testoi këtë për n = 1, 2, 4, 8 dhe 16 dhe ishte i bindur se në rastin kur n nuk ishte një fuqi e dy, numri nuk ishte domosdoshmërisht i thjeshtë. Këta numra quhen numrat e Fermatit, dhe vetëm 100 vjet më vonë Euler tregoi se numri tjetër, 2 32 + 1 = 4294967297, është i pjesëtueshëm me 641, dhe për këtë arsye nuk është i thjeshtë.

Numrat e formës 2 n - 1 kanë qenë gjithashtu objekt studimi, pasi është e lehtë të tregohet se nëse n është i përbërë, atëherë edhe vetë numri është i përbërë. Këta numra quhen numra Mersenne sepse ai i studioi ato gjerësisht.

Por jo të gjithë numrat e formës 2 n - 1, ku n është i thjeshtë, janë të thjeshtë. Për shembull, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Kjo u zbulua për herë të parë në 1536.

Për shumë vite, numrat e këtij lloji u dhanë matematikanëve numrat kryesorë më të mëdhenj të njohur. Se M 19 u vërtetua nga Cataldi në 1588, dhe për 200 vjet ishte numri më i madh i njohur, derisa Euler vërtetoi se M 31 ishte gjithashtu i thjeshtë. Ky rekord qëndroi për njëqind vjet të tjera, dhe më pas Lucas tregoi se M 127 është kryeministër (dhe ky është tashmë një numër prej 39 shifrash), dhe pas kësaj kërkimi vazhdoi me ardhjen e kompjuterëve.

Në vitin 1952, u vërtetua parësia e numrave M 521, M 607, M 1279, M 2203 dhe M 2281.

Deri në vitin 2005, ishin gjetur 42 primare Mersenne. Më i madhi prej tyre, M 25964951, përbëhet nga 7816230 shifra.

Puna e Euler pati një ndikim të madh në teorinë e numrave, duke përfshirë numrat e thjeshtë. Ai zgjeroi Teoremën e Vogël të Fermatit dhe prezantoi funksionin φ. Faktorizoi numrin e 5-të të Fermatit 2 32 +1, gjeti 60 çifte numrash miqësorë dhe formuloi (por nuk mundi të provonte) ligji kuadratik reciprociteti.

Ai ishte i pari që prezantoi metoda analiza matematikore dhe të zhvilluara teori analitike numrat. Ai vërtetoi se jo vetëm seria harmonike ∑ (1/n), por edhe një seri e formës

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Rezultati i përftuar nga shuma e reciprokeve të numrave të thjeshtë gjithashtu ndryshon. Shuma e n termave seri harmonike rritet përafërsisht si log(n), dhe rreshti i dytë ndryshon më ngadalë si log[ log(n) ]. Kjo do të thotë se, për shembull, shuma reciproke për të gjithë numrat kryesorë të gjetur deri më sot do të japë vetëm 4, megjithëse seria ende ndryshon.

Në pamje të parë, duket se numrat e thjeshtë shpërndahen në mënyrë krejt rastësore midis numrave të plotë. Për shembull, në mesin e 100 numrave menjëherë para 10000000 ka 9 numra të thjeshtë, dhe midis 100 numrave menjëherë pas kësaj vlere ka vetëm 2. Por në segmente të mëdha numrat e thjeshtë shpërndahen mjaft të barabartë. Lezhandri dhe Gausi u morën me çështjet e shpërndarjes së tyre. Gauss i tha një herë një shoku se në çdo 15 minuta të lirë ai numëron gjithmonë numrin e numrave të thjeshtë në 1000 numrat e ardhshëm. Deri në fund të jetës së tij, ai kishte numëruar të gjithë numrat e thjeshtë deri në 3 milionë. Lezhandri dhe Gauss llogaritën në mënyrë të barabartë se për n të mëdha densiteti kryesor është 1/log(n). Lezhandri vlerësoi numrin e numrave të thjeshtë në rangun nga 1 në n si

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dhe Gausi është si një integral logaritmik

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Me një interval integrimi nga 2 në n.

Deklarata për densitetin e thjeshtë 1/log(n) njihet si Teorema e Shpërndarjes së Parë. Ata u përpoqën ta vërtetonin atë gjatë shekullit të 19-të dhe përparimi u arrit nga Chebyshev dhe Riemann. Ata e lidhën atë me hipotezën e Riemann-it, një hipotezë ende e paprovuar rreth shpërndarjes së zerave të funksionit zeta të Riemann-it. Dendësia e numrave të thjeshtë u vërtetua njëkohësisht nga Hadamard dhe Vallée-Poussin në 1896.

Ka ende shumë pyetje të pazgjidhura në teorinë e numrave të thjeshtë, disa prej të cilave janë qindra vjet të vjetra:

• Hipoteza e thjeshtë binjake ka të bëjë me një numër të pafund të çifteve të numrave të thjeshtë që ndryshojnë nga njëri-tjetri me 2
• Hamendja e Goldbach: çdo numër çift, duke filluar me 4, mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n 2 + 1?
• A është gjithmonë e mundur të gjesh një numër të thjeshtë midis n 2 dhe (n + 1) 2? (fakti që ka gjithmonë një numër të thjeshtë midis n dhe 2n u vërtetua nga Chebyshev)
• A është i pafund numri i numrave të thjeshtë të Fermatit? A ka numra të thjeshtë të Fermat pas 4?
• a ekziston progresion aritmetik të numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm për çdo gjatësi të caktuar? për shembull, për gjatësinë 4: 251, 257, 263, 269. Gjatësia maksimale e gjetur është 26.
• A ka një numër të pafund grupesh me tre numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm në një progresion aritmetik?
• n 2 - n + 41 është një numër i thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 40. A ka një numër të pafund të numrave të tillë të thjeshtë? E njëjta pyetje për formulën n 2 - 79 n + 1601. Këta numra janë të thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 79.
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# + 1? (n# është rezultat i shumëzimit të të gjithë numrave të thjeshtë më të vegjël se n)
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# -1?
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? + 1?
• A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? – 1?
• nëse p është i thjeshtë, a nuk përmban gjithmonë 2 p -1 katrorë të thjeshtë midis faktorëve të tij?
• a përmban sekuenca Fibonacci një numër të pafund numrash të thjeshtë?

Numrat kryesorë binjakë më të mëdhenj janë 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ata përbëhen nga 58711 shifra dhe u zbuluan në vitin 2007.

Numri më i madh faktorial (i tipit n! ± 1) është 147855! - 1. Përbëhet nga 142891 shifra dhe është gjetur në vitin 2002.

Numri më i madh primorial (një numër i formës n# ± 1) është 1098133# + 1.

Numrat janë të ndryshëm: natyral, racional, racional, numër i plotë dhe thyesor, pozitiv dhe negativ, kompleks dhe i thjeshtë, tek dhe çift, real etj. Nga ky artikull mund të mësoni se çfarë janë numrat e thjeshtë.

Cilët numra quhen "të thjeshtë" në anglisht?

Shumë shpesh, nxënësit e shkollës nuk dinë t'i përgjigjen një prej pyetjeve më të thjeshta në matematikë në shikim të parë, se çfarë është numri i thjeshtë. Ata shpesh ngatërrojnë numrat e thjeshtë me numrat natyrorë (d.m.th., numrat që njerëzit përdorin kur numërojnë objektet, ndërsa në disa burime ata fillojnë me zero, dhe në të tjera me një). Por janë krejtësisht dy koncepte të ndryshme. Numrat e thjeshtë janë numra natyrorë, pra numra të plotë dhe pozitivë që janë më të mëdhenj se një dhe që kanë vetëm 2 pjesëtues natyrorë. Për më tepër, një nga këta pjesëtues është numri i dhënë, dhe e dyta është një. Për shembull, tre është një numër i thjeshtë sepse nuk mund të pjesëtohet pa mbetje me ndonjë numër tjetër përveç vetes dhe një.

Numrat e përbërë

E kundërta e numrave të thjeshtë është numrat e përbërë. Ato janë gjithashtu natyrale, gjithashtu më të mëdha se një, por nuk kanë dy, por më shumë ndarëse. Kështu p.sh., numrat 4, 6, 8, 9 etj janë numra natyrorë, të përbërë, por jo të thjeshtë. Siç mund ta shihni, këto janë kryesisht numra çift, por jo të gjithë. Por "dy" është një numër çift dhe "numri i parë" në një seri numrash të thjeshtë.

Pasoja

Për të ndërtuar një seri numrash të thjeshtë, është e nevojshme të zgjidhni nga të gjithë numrat natyrorë, duke marrë parasysh përkufizimin e tyre, domethënë, duhet të veproni me kontradiktë. Është e nevojshme të merret parasysh secila prej natyrore numra pozitiv për të parë nëse ka më shumë se dy pjesëtues. Le të përpiqemi të ndërtojmë një seri (rend) që përbëhet nga numra të thjeshtë. Lista fillon me dy, e ndjekur nga tre, pasi ndahet vetëm nga vetja dhe një. Konsideroni numrin katër. A ka pjesëtues të tjerë përveç katër dhe një? Po, ai numër është 2. Pra, katër nuk është numër i thjeshtë. Pesë është gjithashtu i thjeshtë (nuk është i pjesëtueshëm me asnjë numër tjetër, përveç 1 dhe 5), por gjashtë është i pjesëtueshëm. Dhe në përgjithësi, nëse ndiqni të gjithë numrat çift, do të vini re se përveç "dy", asnjëri prej tyre nuk është i thjeshtë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se numrat çift, përveç dy, nuk janë të thjeshtë. Një zbulim tjetër: të gjithë numrat e pjesëtueshëm me tre, përveç tre vetë, çift apo tek, nuk janë gjithashtu të thjeshtë (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, etj.). E njëjta gjë vlen edhe për numrat që pjesëtohen me pesë dhe shtatë. E gjithë turma e tyre nuk është gjithashtu e thjeshtë. Le të përmbledhim. Pra, tek ato të thjeshtat numra njëshifror Të gjithë numrat tek janë përfshirë përveç njërit dhe nëntës, dhe çift "dy" janë numra çift. Vetë dhjetëshet (10, 20,... 40 etj.) nuk janë të thjeshta. Numrat e thjeshtë dyshifrorë, treshifrorë etj., mund të përcaktohen në bazë të parimeve të mësipërme: nëse nuk kanë pjesëtues përveç vetes dhe një.

Teoritë rreth vetive të numrave të thjeshtë

Ekziston një shkencë që studion vetitë e numrave të plotë, duke përfshirë numrat e thjeshtë. Kjo është një degë e matematikës e quajtur më e lartë. Përveç vetive të numrave të plotë, ajo merret edhe me algjebrikë, numrat transcendental, si dhe funksionet me origjinë të ndryshme lidhur me aritmetikën e këtyre numrave. Në këto studime, përveç elementare dhe metodat algjebrike, përdoren edhe analitike dhe gjeometrike. Konkretisht, "Teoria e numrave" merret me studimin e numrave të thjeshtë.

Numrat e thjeshtë janë "blloqet e ndërtimit" të numrave natyrorë

Në aritmetikë ekziston një teoremë e quajtur teorema themelore. Sipas tij, çdo numër natyror, përveç njërit, mund të paraqitet si prodhim, faktorët e të cilit janë numra të thjeshtë, kurse rendi i faktorëve është unik, që do të thotë se mënyra e paraqitjes është unike. Quhet zbërthimi i një numri natyror në faktorët kryesorë. Ekziston një emër tjetër për këtë proces - faktorizimi i numrave. Bazuar në këtë, numrat e thjeshtë mund të quhen "material ndërtimi", "blloqe" për ndërtimin e numrave natyrorë.

Kërkoni për numra të thjeshtë. Testet e thjeshtësisë

Shumë shkencëtarë nga kohë të ndryshme u përpoqën të gjenin disa parime (sisteme) për gjetjen e një liste të numrave të thjeshtë. Shkenca njeh sisteme të quajtura sita Atkin, sita Sundartham dhe sita Eratosthenes. Megjithatë, ato nuk japin ndonjë rezultat domethënës dhe për të gjetur numrat e thjeshtë përdorim kontroll i thjeshtë. Matematikanë krijuan gjithashtu algoritme. Zakonisht quhen teste të parësisë. Për shembull, ekziston një test i zhvilluar nga Rabin dhe Miller. Përdoret nga kriptografët. Ekziston edhe testi Kayal-Agrawal-Sasquena. Megjithatë, pavarësisht saktësisë së mjaftueshme, është shumë e vështirë të llogaritet, gjë që zvogëlon rëndësinë e saj praktike.

A ka një kufi grupi i numrave të thjeshtë?

Greku i lashtë shkroi në librin e tij "Parimet" se grupi i numrave të thjeshtë është pafundësia. shkencëtari Euklidi. Ai tha këtë: “Le të imagjinojmë për një moment se numrat e thjeshtë kanë një kufi. Pastaj le t'i shumëzojmë ato me njëra-tjetrën dhe t'i shtojmë një produkt. Numri që rezulton nga këto veprime të thjeshta, nuk mund të pjesëtohet me asnjë nga seritë e numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur do të jetë gjithmonë një. Kjo do të thotë se ka ndonjë numër tjetër që nuk është përfshirë ende në listën e numrave të thjeshtë. Prandaj, supozimi ynë nuk është i vërtetë dhe ky grup nuk mund të ketë një kufi. Përveç provave të Euklidit, ka edhe më shumë formula moderne, dhënë nga matematikani zviceran i shekullit të tetëmbëdhjetë Leonhard Euler. Sipas tij, shuma reciproke e shumës së n numrave të parë rritet në mënyrë të pakufizuar me rritjen e numrit n. Dhe këtu është formula e teoremës në lidhje me shpërndarjen e numrave të thjeshtë: (n) rritet si n/ln (n).

Cili është numri kryesor më i madh?

I njëjti Leonard Euler ishte në gjendje të gjente numrin kryesor më të madh të kohës së tij. Kjo është 2 31 - 1 = 2147483647. Megjithatë, deri në vitin 2013, u llogarit një tjetër më i madhi më i saktë në listën e numrave të thjeshtë - 2 57885161 - 1. Quhet numri Mersenne. Ai përmban rreth 17 milionë shifra dhjetore. Siç mund ta shihni, numri i gjetur nga një shkencëtar i shekullit të tetëmbëdhjetë është disa herë më i vogël se ky. Duhet të ishte kështu, sepse Euler e kreu këtë llogaritje me dorë, por bashkëkohësi ynë ndoshta u ndihmua nga kompjuter. Për më tepër, ky numër është marrë në Fakultetin e Matematikës në një nga departamentet amerikane. Numrat e emëruar pas këtij shkencëtari kalojnë testin e parësisë Luc-Lemaire. Megjithatë, shkenca nuk dëshiron të ndalet me kaq. Electronic Frontier Foundation, i cili u themelua në vitin 1990 në Shtetet e Bashkuara të Amerikës (EFF), ka ofruar një shpërblim monetar për gjetjen e numrave të mëdhenj të thjeshtë. Dhe nëse deri në vitin 2013 çmimi do t'u jepej atyre shkencëtarëve që do t'i gjenin nga 1 dhe 10 milion. numra dhjetorë, atëherë sot kjo shifër ka arritur nga 100 milionë në 1 miliard. Çmimet variojnë nga 150 deri në 250 mijë dollarë amerikanë.

Emrat e numrave të thjeshtë të veçantë

Ata numra që u gjetën falë algoritmeve të krijuara nga shkencëtarë të caktuar dhe kaluan testin e thjeshtësisë quhen të veçantë. Ja disa prej tyre:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Thjeshtësia e këtyre numrave, të emërtuar sipas shkencëtarëve të mësipërm, përcaktohet duke përdorur testet e mëposhtme:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge dhe të tjerët.

Shkenca moderne nuk ndalet me kaq dhe ndoshta në të ardhmen e afërt bota do të mësojë emrat e atyre që mundën të marrin çmimin prej 250 mijë dollarësh duke gjetur numrin më të madh të thjeshtë.