LIDHJE LOGJIKE - simbole gjuhët logjike, përdoret për edukim deklarata komplekse(formula) nga ato elementare. Lidhëzat që u korrespondojnë këtyre simboleve quhen gjithashtu lidhje logjike gjuha natyrore. Në mënyrë tipike, lidhëzat logjike përdoren si lidhëza (lidhëza "dhe", shënime simbolike: &, ∧ dhe një pikë në formën e një shenje shumëzimi, të cilat shpesh hiqen, duke shkruar lidhëzën e A dhe B si AB), disjunksioni (një lidhje e lirë "ose", e shënuar si "∨"), nënkuptim ("nëse..., atëherë", e treguar me shenjën "⊃" dhe lloje të ndryshme shigjetash), mohim ("nuk është e vërtetë që.. .”, tregohet me: , ~ ose një shirit mbi shprehjen e mohuar) . Nga sa më sipër, mohimi është një lidhje unare. Të tjerat janë të dyfishta (binare). Në parim, lidhjet logjike mund të jenë aq lokale sa të dëshirohet, por në praktikë, më shumë se lidhjet binare përdoren shumë rrallë. Në logjikën klasike (Logic, Propositional Logic), çdo lidhje logjike shumëvendëshe shprehet përmes atyre të listuara. Njëfarë kuptimi praktik jepet nga përdorimi i një lidhjeje logjike treshe, e quajtur disjunksion i kushtëzuar, që lidh tre pohime A, B dhe C dhe që do të thotë se "A në rastin e B, dhe C në rast rasti jo-B"ose formalisht: (B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. Njehsimi pohues me disjunksion kushtor. - Në librin: Metodat analiza logjike. M., 1977).

Logjika klasike i konsideron lidhëzat logjike në mënyrë shtrirëse (duke shpërfillur kuptimin përmbajtësor të pohimeve që lidhin) si funksione të së vërtetës të përcaktuara nga vlerat e së vërtetës së pohimeve që lidhin. Duke pasur parasysh dy vlerat e së vërtetës në këtë logjikë, 1 (e vërtetë) dhe 0 (e gabuar), pohimet A dhe B mund të kenë katër grupe të mundshme të vlerave të renditura të së vërtetës:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Funksioni propozues i së vërtetës i cakton çdo grupi të listuar një nga vlerat e së vërtetës - 1 ose 0. Janë gjithsej 16 funksione të tilla Lidhja i cakton vlerën 1 shprehjes A&B vetëm në rastin kur të dyja A dhe B janë të vërteta. , d.m.th. të dyja kanë vlerën 1, përndryshe vlera e A&B është 0. Disjunksioni Α ∨ B, përkundrazi, është i gabuar vetëm në një rast, kur edhe A dhe B janë të rreme. Nënkuptimi A ⊃ B është i rremë vetëm nëse paraardhësi A është e vërtetë dhe paraardhësi është i gabuar (pasues) B. Në raste të tjera, A ⊃ B merr vlerën 1. Nga katër funksionet unare, intereson vetëm mohimi, duke e ndryshuar kuptimin e pohimit në të kundërtën: kur A është e vërtetë, A është e rreme dhe anasjelltas. Të gjitha funksionet e tjera klasike unare dhe binare mund të shprehen në terma të atyre të paraqitur. Kur sistemi i lidhjeve logjike të adoptuar në semantikën përkatëse na lejon të përcaktojmë të gjitha të tjerat, ai quhet funksionalisht i plotë. Sistemet e plota në logjikën klasike përfshijnë, në veçanti, lidhjen dhe mohimin; ndarje dhe mohim; nënkuptim dhe mohim. Lidhja dhe disjunksioni janë të përcaktueshme përmes njëra-tjetrës për shkak të ekuivalencave (A&B)≡(A∨B) dhe (A∨B)≡(A&B), të quajtura ligjet e de Morganit, si dhe: (Α⊃Β)≡(Α∨ B), (A&B)≡(A⊃B), (Α∨B)≡((A⊃B)⊃A). Çdo ekuivalencë e formës A ≡ B është e vlefshme vetëm nëse lidhja (A⊃B)&(B⊃A) është përgjithësisht e vlefshme (gjithmonë e vërtetë).

Funksionet antidisjunction dhe anticonjunction, të përcaktuara përkatësisht si (A∨B) dhe (A&B), gjithashtu secili veç e veç përfaqësojnë një sistem funksionalisht të plotë të lidhësve. Kjo rrethanë e fundit ishte e njohur tashmë për C. Pierce (vepër e pabotuar në 1880 gjatë jetës së tij) dhe u rizbulua nga H.M. Duke përdorur antidisjunction si lidhjen e vetme logjike, Schaeffer në 1913 ndërtoi llogaritje e plotë deklaratat. Antidisjunksioni shënohet me A∣B dhe quhet kryetar i Schaeffer, duke lexuar kjo shprehje, si "jo-A dhe jo-B". J. G. P. Nicod përdori të njëjtin shënim për antikonjuksionin (“Nuk është e vërtetë që edhe A edhe B janë të dyja”) dhe, duke përdorur vetëm këtë lidhës, në vitin 1917 ai formuloi një llogaritje të plotë propozicionale me një (vetëm!) aksiomë dhe një rregull përfundimi. . Kështu, goditja e Schaeffer-it është në thelb vetë linja vertikale, e cila, sipas autorëve të ndryshëm, mund të nënkuptojë edhe anti-disjunksion dhe anti-lidhje.

Zgjerimi i lidhjeve logjike u jep atyre unike, thjeshton problemin e ndërtimit të kalkulave logjike dhe bën të mundur zgjidhjen e problemeve metateorike të konsistencës, vendosshmërisë dhe plotësimit për këto të fundit (shih Metalogjika). Sidoqoftë, në disa raste, interpretimi funksional i së vërtetës i lidhjeve çon në një mospërputhje të konsiderueshme me mënyrën se si ato kuptohen në gjuhën natyrore. Kështu, interpretimi i treguar i së vërtetës i nënkuptimit detyron njeriun të njohë si fjali të vërteta të formës "Nëse A, atëherë B" edhe në rastin kur midis pohimeve A dhe B (dhe, në përputhje me rrethanat, ngjarjet për të cilat ato po flasim për) nuk ka lidhje reale. Mjafton që A të jetë false ose B të jetë e vërtetë. Prandaj, nga dy fjalitë: "Nëse A, atëherë B" dhe "Nëse B, atëherë A", të paktën njëra duhet të njihet si e vërtetë, gjë që nuk përshtatet mirë me përdorimin e zakonshëm të lidhësit të kushtëzuar. Implikimi në në këtë rast i quajtur posaçërisht "material", duke e dalluar atë nga një lidhje kushtore, e cila supozon se ekziston një lidhje reale midis paraardhësit dhe pasojës së një deklarate të vërtetë kushtore. Në të njëjtën kohë, implikimi material mund të përdoret në mënyrë të përsosur në shumë kontekste, për shembull, ato matematikore, kur nuk harrohet. veçori specifike. Megjithatë, në disa raste, është konteksti ai që nuk lejon që lidhja e kushtëzuar të interpretohet si një nënkuptim material, duke sugjeruar ndërlidhjen e pohimeve. Për të analizuar kontekste të tilla, është e nevojshme të ndërtohen logjika të veçanta jo-klasike, për shembull, ato përkatëse (shih logjikën përkatëse), në gjuhën e së cilës në vend të kësaj implikim material(ose bashkë me të) futen edhe implikime të tjera që kuptohen qëllimisht (përmbajtësisht) dhe e vërteta e të cilave nuk mund të justifikohet e vërteta-funksionalisht. Lidhjet e tjera logjike gjithashtu mund të interpretohen intensivisht.

E.A. Sidorenko

I ri enciklopedi filozofike. Në katër vëllime. / Instituti i Filozofisë RAS. Edit shkencor. këshilla: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, vëll.II, E – M, f. 439-440.

Literatura:

Kisha A. Hyrje në logjikën matematikore, vëll. 1. M., 1960;

Curry H. Bazat e logjikës matematikore. M., 1969.

Përkufizimi. Nën deklaratëështë zakon të kuptohet një fjali gjuhësore për të cilën ka kuptim të thuhet se është e vërtetë ose e rreme ky moment koha.

Deklaratat më së shpeshti përcaktohen si të vogla me shkronja latine a, b, c, x1, x2,…

Në logjikën propozicionale, njeriu nuk interesohet për përmbajtjen, por për vërtetësinë ose falsitetin e pohimeve. Vlerat e së vërtetës - e vërtetë dhe e rreme - do të shënohen përkatësisht me I dhe L. Një tufë me (I, L) quhet bashkësia e vlerave të së vërtetës.

Përkufizimi. Deklarata quhet thjeshtë(elementare), nëse konsiderohet si një lloj tërësie e pandashme (e ngjashme me një element të një grupi). E veshtire(i përbërë) është një pohim i përbërë nga të thjeshta që përdorin lidhje logjike.

Në gjuhën natyrore, roli i lidhjeve në përbërjen e fjalive komplekse nga ato të thjeshta luhet nga sa vijon: mjete gramatikore: lidhëzat “dhe”, “ose”, “jo”; fjalët "nëse ... atëherë", "ose ... ose", "nëse dhe vetëm nëse", etj. Në logjikën propozicionale, lidhëzat logjike të përdorura për të hartuar pohime komplekse duhet të përcaktohen saktësisht. Le të shqyrtojmë lidhjet (operacionet) logjike në pohime për të cilat e vërteta vlerësohet deklarata të përbëra përcaktohen vetëm nga vlerat e vërteta të pohimeve përbërëse, dhe jo nga kuptimi i tyre.

Në atë që vijon, do ta lidhim kuptimin e "të vërtetës". 1 , dhe "gënjeshtër" - 0 . Çdo operacion logjik është i lidhur me tabela e së vërtetës. Një tabelë e vërtetësisë shpreh vlerat e vërtetësisë së pohimeve në varësi të vlerave të pohimeve elementare. Në të ardhmen, unë do të përdor tabelën e së vërtetës për të vendosur vlerat e vërtetësisë së pohimeve komplekse duke pasur parasysh vlerat e pohimeve elementare të përfshira në të.

Pastaj - "Nuk është e vërtetë që Stepan pëlqen të kërcejë."

Përkufizimi. Lidhëza dy pohime është një pohim i ri, i cili është i vërtetë vetëm nëse të dy pohimet origjinale janë të vërteta (Tabela 4).

GRAFIKE. OPERACIONET NË GRAFIKE.

MATRICAT DHE VEPRIMET MBI TA.

Matricat (dhe në përputhje me rrethanat seksioni i matematikës- algjebër matricë) kanë e rëndësishme në matematikën e aplikuar, pasi ato lejojnë të shënohet një pjesë e konsiderueshme e modele matematikore objektet dhe proceset. Termi "matricë" u shfaq në 1850. Matricat u përmendën për herë të parë në Kinën e lashtë, më vonë nga matematikanët arabë.

Matricë A=Një min thirret rendi m*n tavolinë drejtkëndëshe numrat që përmbajnë m - rreshta dhe n - kolona.

Elementet e matricës aij, për të cilat i=j quhen diagonale dhe formë diagonale kryesore.

Për matricë katrore(m=n) diagonalja kryesore formohet nga elementet a 11, a 22,..., a nn.

Barazia e matricës.

A=B, nëse matrica urdhëron A Dhe B janë të njëjta dhe a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Veprimet në matrica.

1. Shtimi i matricës - operacion sipas elementeve

2. Zbritja e matricave - veprim sipas elementeve

3. Prodhimi i një matrice dhe një numri është një veprim i elementeve

4. Shumëzimi A*B matricat sipas rregullit rresht në kolonë(numri i kolonave të matricës A duhet të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B)

§ 4. Shprehje e lidhjeve logjike (konstantave logjike) në gjuhën natyrore

Në të menduar, ne operojmë jo vetëm me gjykime të thjeshta, por edhe me komplekse, të formuara nga ato të thjeshta përmes lidhjeve (ose operacioneve) logjike - lidhëz, ndarje, nënkuptim, ekuivalencë, mohim, të cilat quhen edhe konstante logjike ose konstante logjike. Le të analizojmë se si shprehen lidhjet logjike të listuara në gjuhën natyrore (rusisht).

Lidhëza (shenja "l") shprehet me lidhëzat "dhe", "a", "por", "po", "ndonëse", "cila", "por", "megjithatë", "jo vetëm". .., por edhe ", etj. Në logjikën propozicionale, shenja "l" lidh pohime të thjeshta, duke formuar prej tyre të ndërlikuara. Në gjuhën natyrore, lidhja "dhe" dhe fjalët e tjera lidhore mund të bashkojnë emra, folje, ndajfolje, mbiemra dhe pjesë të tjera të të folurit. Për shembull, "Gjyshi kishte boletus dhe buletus në shportën e tij" (ab), "Një libër interesant dhe i dizajnuar bukur shtrihet në tryezë." Deklarata e fundit nuk mund të ndahet në dy të thjeshta të lidhura me një lidhje: " Libër interesant shtrihet në tryezë" dhe "Një libër i dekoruar bukur shtrihet në tryezë" - pasi duket se ka dy libra në tryezë, dhe jo një.

Në logjikën propozicionale, zbatohet ligji i komutativitetit të lidhëzës (ab)(ba). Në gjuhën natyrore ruse nuk ekziston një ligj i tillë, pasi funksionon faktori kohë. Aty ku merret parasysh sekuenca në kohë, përdorimi i lidhëzës "dhe" është jokomutativ. Prandaj, për shembull, dy thëniet e mëposhtme nuk do të jenë ekuivalente: 1) "Ata lidhën një lokomotivë me avull dhe treni filloi të lëvizë" dhe 2) "Treni filloi të lëvizë dhe ata lidhën një lokomotivë me avull".

Në gjuhën natyrore, lidhja mund të shprehet jo vetëm me fjalë, por edhe me shenja pikësimi: presje, pikëpresje, vizë. Për shembull, "Rrufeja shkëlqeu, bubullima gjëmonte dhe filloi të bjerë shi".

S. Kleene shkruan për shprehjen e lidhjeve duke përdorur gjuhën natyrore në librin e tij "Logjika matematikore". Në seksionin "Analiza e arsyetimit", ai ofron një listë (jo shteruese) të shprehjeve të gjuhës natyrore që mund të zëvendësohen me simbolet "L" ose "&". Formula A^B në gjuhën natyrore mund të shprehet kështu:

"Jo vetem A, por gjithashtu NË. Si A, kështu dhe NË.

NË, edhe pse L. A së bashku me NË.

NË, pavarësisht A.A, derisa NË" 7 .

Ia lëmë lexuesit të nxjerrë shembuj të të gjitha këtyre strukturave.

Në gjuhën natyrore (rusisht), veçimi (i treguar nga ab dhe ab) shprehet me lidhëza: "ose", "ose", "ose ... ose", etj. Për shembull, "Në mbrëmje unë do të shkojë në kinema ose bibliotekë"; “Kjo kafshë i përket ose kurrizorit ose jovertebrorit”; "Raporti do të jetë ose mbi veprat e L. N. Tolstoy, ose mbi veprat e F. M. Dostoevsky."

Për të dy llojet e disjuksionit, zbatohet ligji i ndërrimit: (ab(ba) dhe (ab)(ba). Në gjuhën natyrore, kjo ekuivalencë ruhet. Për shembull, gjykimi " Unë do të blej gjalpë ose bukë" është ekuivalente me gjykimin "Unë do të blej bukë ose gjalpë." A~B).

(Me letra A Dhe NË tregohen deklaratat e ndryshueshme.)

Ne paraqesim diagrame logjike dhe shembuj përkatës që ilustrojnë mënyra të ndryshme të të shprehurit implikimet A -> B(ku A- paraardhës, NË- rrjedhimisht).

1. Nëse A, atëherë B.

Nëse furnitorët do të dorëzojnë pjesët në kohë, Se uzina do të përmbushë planin e saj të prodhimit.

2. Nëse A, atëherë B.

Nëse së shpejti hiqen forcat e aplikuara, Se susta e ngjeshur kthehet në formën e saj origjinale.

3. Kur ndodh A, B.

Kur moti i keq po vjen ndodh rritja e incidencës së sëmundjeve kardiovaskulare te njerëzit.

4. Për B, A është e mjaftueshme.

Për që gazrat të zgjerohen mjaft ngrohini ato.

5. A kërkon B.

Për ruajtjen e paqes në Tokë e nevojshme bashkojnë përpjekjet e të gjitha shteteve në luftën për paqe.

6. A, vetëm nëse B.

Studentët e këtij kursi nuk erdhën në ditën e pastrimit, nëse vetëm ata ishin të sëmurë.

7. B. nëse A.

I Do të të lë të shkosh për një shëtitje, Nëse do të kryeni të gjitha detyrat e shtëpisë tuaj.

Ne paraqesim diagrame logjike dhe shembuj përkatës të mënyrave të ndryshme të të shprehurit ekuivalencë.

1. A, nëse dhe vetëm nëse B.

Ivanov nuk do të përfundojë eksperimentet e tij deri në afatin e fundit, nese dhe vetem nese Stafi nuk do ta ndihmojë atë.

2. Nëse A, atëherë B, dhe anasjelltas.

Nëse studenti i kaloi të gjitha provimet dhe praktikën me nota të shkëlqyera, Se ai merr një diplomë me nderime, dhe anasjelltas.

3. A nëse B, dhe B nëse A.

Një shumëkëndësh është i gdhendur në një rreth, Nëse kulmet e tij shtrihen në rreth, Dhe kulmet e shumëkëndëshit shtrihen në rreth, Nëse ky shumëkëndësh është i brendashkruar në një rreth.

4. Për A, B është e nevojshme dhe e mjaftueshme.

Për që një numër të plotpjesëtohet me 3 pa mbetje, të nevojshme dhe të mjaftueshme, në mënyrë që shuma e shifrave të këtij numri të pjesëtohet me 3 pa mbetje.

5. A është e barabartë me B(Ndonjehere).

Fakti që sipërfaqja e një shumëkëndëshi të rregullt është e barabartë me prodhimin e gjysmëperimetrit dhe apotemës, ekuivalente se sipërfaqja e një shumëkëndëshi të rregullt është e barabartë me prodhimin e perimetrit dhe gjysmës së apotemës.

6. Dhe atëherë dhe vetëm nëse V.

Kompania do të pranojë të pranojë ofertën për të blerë mallrat atëherë dhe vetëm kurÇmimi i këtij produkti do të ulet me 15%.

Nga diagramet e mësipërme dhe thëniet përkatëse me përmbajtje specifike, të larmishme, bëhet e qartë se sa shumëplanëshe janë mjetet e shprehjes së nënkuptimit, ekuivalencës dhe lidhjeve të tjera logjike (termet logjike) në gjuhën natyrore (në veçanti, në rusisht). Kjo mund të thuhet për gjuhë të tjera natyrore 9.

Implikimi (ab) nuk korrespondon plotësisht në kuptim me lidhjen "nëse... atëherë" të gjuhës natyrore, pasi mund t'i mungojë një lidhje kuptimplotë midis gjykimeve A Dhe b. Në logjikën propozicionale, ligji është formula: (ab)(ab).

Por në gjuhën natyrore gjërat janë ndryshe. Ndonjëherë lidhja "nëse, atëherë" nuk shpreh një nënkuptim, por një lidhje. Për shembull, "Nëse dje ishte me re, sot dielli po shkëlqen me shkëlqim." Ky gjykim kompleks shprehet me formulën ab. Përveç lidhjeve logjike, sasia e përgjithshme dhe sasia e ekzistencës përdoren në logjikë për të shprehur gjykime të përgjithshme dhe të veçanta. Shënimi me kuantifikuesin e përgjithshëm VP() zakonisht lexohet kështu: “Të gjitha X(nga disa fusha të objekteve) kanë vetinë R", dhe rekordi me kuantifikuesin e ekzistencës Z xP(X) lexohet kështu: “Ka të tilla X(në këtë zonë), të cilat kanë pronën R". Për shembull, 3x(x>100) lexon “Ka të tilla X, të cilat janë më shumë se 100", ku nën X numrat nënkuptohen. Kuantifikuesi i përgjithësisë shprehet me fjalët: "të gjithë", "të gjithë", "secili", "asnjë", etj. Kuantifikuesi i ekzistencës shprehet me fjalët: "disa", "ekzistojnë", "shumicë". "pakicë", "vetëm disa", "ndonjëherë", "ai", "jo të gjithë", "shumë", "shumë", "pak", "shumë", "pothuajse të gjithë" etj.

S. Kleene shkruan se duke përkthyer shprehje të gjuhës së zakonshme duke përdorur lidhëza propozicionale tabelare, ne humbasim disa nuanca kuptimi, por fitojmë saktësisht 10.

Në praktikën e arsyetimit matematikor dhe të arsyetimit të tjera ekzistojnë konceptet e "kushtit të domosdoshëm" dhe " gjendje e mjaftueshme" Gjendja quhet e nevojshme, nëse rrjedh nga përfundimi (pasoja). Një kusht quhet i mjaftueshëm nëse prej tij rrjedh një përfundim (pasojë). Në nënkuptim a ->b e ndryshueshme Aështë baza. Quhet një paraardhës. E ndryshueshme b- pasojë (përfundim). Ajo quhet pasojë.

Nxënësve në mësimet e matematikës u ofrohen detyra të tipit 1-4, duke kërkuar që në secilën nga fjalitë e mëposhtme të zëvendësohen elipset me fjalët: "e nevojshme" ose "mjaftueshme", ose "e nevojshme dhe e mjaftueshme":

1. Në mënyrë që shuma e dy numrave të plotë të jetë numër çift... që çdo term të jetë çift.

2. Në mënyrë që një numër të plotpjesëtohet me 15... që të plotpjesëtohet me 5.

3. Me qëllim të punës (X- 3) (X+2) (X- 5) ishte e barabartë me 0, ... kështu që X= 3.

4. Në mënyrë që katërkëndëshi të jetë drejtkëndësh... në mënyrë që të gjithë këndet e tij të jenë të barabartë me 11.

Le të formulojmë rregullat themelore për formimin e fjalive të reja nga ato origjinale duke përdorur lidhëzat dhe lidhëzat themelore të të zakonshmes gjuha e folur. Vetëm rregullat e gjuhës ruse nuk janë të mjaftueshme, pasi ndonjëherë ne vendosim kuptime të ndryshme në të njëjtën fjali të formuluar në Rusisht. Për shembull, merrni parasysh kthesën e frazës "Nëse, atëherë", me të cilën formulojmë dy fjali:

• 1) "Nëse Misha kalon provimin me ngjyra fluturuese, ai do të shkojë në disko."
• 2) "Nëse Misha nuk e kalon provimin me ngjyra fluturuese, atëherë ai nuk do të shkojë në disko."

Pyetje: A thonë këto fjali të njëjtën gjë apo ekziston një situatë ku njëra prej fjalive është e vërtetë dhe tjetra është e gabuar? Me fjalë të tjera, pyetja është nëse këto fjali janë ekuivalente.

Derisa të përcaktojmë qartë rregullat për ndërtimin e frazave të këtij lloji, është e pamundur t'i përgjigjemi pyetjes pa mëdyshje. Nga njëra anë, kur formulojmë fjalinë e parë, shpesh nënkuptojmë fjalinë e dytë. Megjithatë, le t'i shikojmë këto propozime nga një këndvështrim tjetër.

Së pari, le të shkruajmë diagramet e fjalive. Për ta bërë këtë, ne shënojmë fjalinë "Misha do ta kalojë provimin me ngjyra fluturuese" me shkronjë A, dhe fjalia "Misha do të shkojë në disko" - me letrën NË. Pastaj këto propozime mund të shkruhen skematikisht si më poshtë:

I) "Nëse A, Kjo NË", 2) “Nëse jo A, atëherë jo NË".

Tani le të zëvendësojmë në vend A Dhe NË parashikime të tjera. Në vend të A le të marrim: “Tryeza është prej lisi”, në vend të NË"Tavolina është prej druri." Pastaj marrim një çift tjetër fjalish:

• 1) "Nëse tavolina është lisi, atëherë është prej druri,"
• 2) "Nëse tavolina nuk është lisi, atëherë nuk është prej druri."

Duke qenë se këto fjali janë ndërtuar sipas të njëjtave skema si dy të parat, kjo do të thotë se ekuivalenca e çiftit të parë të fjalive duhet të nënkuptojë ekuivalencën e çiftit të dytë. Sidoqoftë, fjalia e parë në fjalimin e zakonshëm është padyshim deklaratë e vërtetë, meqenëse lisi është një pemë, dhe fjalia e dytë është përgjithësisht e rreme, pasi tavolina mund të bëhet nga një pemë tjetër, për shembull pisha.

Kështu, në rast i përgjithshëm fjalitë e ndërtuara sipas “Nëse A, Kjo NË" dhe “Nëse jo A, atëherë jo NË"Nuk mund të konsiderohet logjikisht identike.

Pra, për të eliminuar paqartësitë në ndërtimin e fjalive, na duhen rregulla të qarta që na lejojnë të përcaktojmë vërtetësinë ose falsitetin e fjalisë që rezulton në varësi të vërtetës ose falsitetit të fjalive origjinale. A Dhe NË.

Le të japim lidhëzat "dhe", "ose", si dhe skemat "nëse, atëherë", "atëherë dhe vetëm atëherë", "nuk është e vërtetë që" një kuptim logjik të paqartë.

Lëri letrat A dhe B qëndrojnë për fjali arbitrare. Le të fillojmë me situata të thjeshta.

1. Shenjë mohimi~| (-i) ose. Shprehje ~li(-L, A) lexon: "jo A" ose "Nuk është e vërtetë që A."

Kuptimi i fjalive ~A të përcaktojë me një tabelë nga e cila duket qartë se propozimi ~l e vërtetë pikërisht kur fjalia origjinale A i rremë:

Kur formuloni fjali që janë të thjeshta në strukturë, grimca "jo" ndonjëherë mund të "mbartet brenda" fjalisë. Për shembull, një fjali

"Nuk është e vërtetë që numri V6 është një numër i plotë" mund të formulohet si më poshtë: "Numri l/6 nuk është një numër i plotë". Gjithashtu fjalia “Nuk është e vërtetë kaq e drejtë A Dhe b kryqëzoj" formuloj: "Drejt A Dhe b Ne nuk do të pyesim.”

Shpesh një objekt që nuk ka ndonjë veti quhet term me grimcën "jo". Për shembull, një numër i plotë që nuk është çift quhet tek. Prandaj, është po aq e saktë të thuhet "Numri i plotë është tek" dhe "Numri i plotë nuk është çift". Por pa përcaktimin se numri është numër i plotë, kemi fjali me kuptime të ndryshme. Për shembull, "Numri 0.2 nuk është çift" është i vërtetë, por fjalia "Numri 0.2 është tek" është i gabuar.

Merrni parasysh shprehjen " funksion tek" Këtu kemi term i pavarur dhe fjala "tek" nuk mund të shkruhet dhe shqiptohet veçmas, domethënë fjalia "Funksioni është tek" nuk është mohim i fjalisë "Funksioni është çift". Në të vërtetë, ekziston një shembull i një funksioni në të cilin të dyja fjalitë janë të rreme. Për shembull, funksioni )t=x+ nuk është as çift dhe as tek (përpiquni ta shpjegoni këtë).

2. Shenja lidhore l. Shprehje LlW lexon: "A dhe B". Ndonjëherë lidhja shënohet me &.

Kuptimi i fjalive AlV në varësi të propozimeve që e përbëjnë atë A dhe B të përcaktuara nga tabela:

Pra propozimi AlV e vërtetë vetëm në një rast, kur të dyja fjalitë A Dhe NË janë të vërteta. Në raste të tjera kjo fjali është e rreme. Kur formuloni një propozim AlV Në vend të lidhëzës "dhe", mund të përdorni lidhëza të tjera që kanë të njëjtin kuptim logjik për të përmbushur njëkohësisht secilën prej fjalive: "a", "por".

Shembulli 1.3.1. Fjalia "Numri" 111 nuk pjesëtohet me 2, por pjesëtohet me 3" - simbolikisht mund të shkruani 1 AlV, Ku A= "111 pjesëtohet me 2", B = " 111 pjesëtohet me 3."

3. Shenja e ndarjes v. Shprehjet AvB lexon: "A ose B."

Kuptimi i fjalive AvB të përcaktuara nga tabela:

Nga tabela shihet se oferta "A ose NË" e vërtetë në ato raste kur të paktën një nga fjalitë A ose NË e vërtetë dhe në rastin kur të dyja fjalitë A Dhe NË e rreme, fjali AvB merr një vlerë të rreme.

Ndonjëherë nga përmbajtja e fjalive A Dhe NË rrjedh se fjalitë nuk mund të jenë njëkohësisht të vërteta. Në këtë rast, fjalia formulohet duke përdorur lidhëzën "ose". Për shembull, fjalia "Një numër është pozitiv ose negativ" gjithashtu ka formën "A ose NË“, por në të njëjtën kohë ka një implikim të tillë që është edhe pozitiv edhe numër negativ nuk mund te jete.

Rregullat e formuluara më sipër, me sa duket, nuk ngrenë asnjë pyetje. Le të kalojmë te diagrami i diskutuar në fillim të paragrafit “Nëse A, Se NË".

4. Shenjë e nënkuptimit- Shprehje A->B lexon: "Nëse A, atëherë B." Ndonjëherë një simbol tjetër shigjete => përdoret për të treguar këtë lidhës, si dhe një shenjë z>. Së bashku me shprehjen “Nëse A, Kjo NË" të tjerët të ngjashëm me të përdorin: "B kur A», "A vetëm kur B."

Ne motivojmë përkufizimin e kuptimeve të fjalive A->B. Vështirësia kryesore që lind këtu është t'i jepet një kuptim fjalisë L-»# për ato raste kur A i rremë. Për të përcaktuar në mënyrë inteligjente vlerat, kujtoni sa më sipër fjali e saktë: "Nëse tavolina është lisi, atëherë është prej druri." Këtu A= "Tryezë lisi", B ="Tavolinë prej druri". Tavolina le të jetë prej pishe. Pastaj A i rremë, NË e vërtetë. Tavolina le të jetë e hekurt. Pastaj A false dhe NË i rremë. Në të dyja rastet oferta Aështë e rreme dhe fjalia që rezulton “Nëse A, Kjo NË" e vërtetë. Për më tepër, të dyja këto raste janë vërtet të mundshme. Sigurisht, është e mundur që ne të kemi tavolinë lisi, Pastaj Aw B njëkohësisht e vërtetë. Këtu është një shembull i një fjalie të vërtetë A->B, Kur A=u>B=l, nuk ekziston.

Kështu, rastet kur A=u, B=i, ose A=l y B=i, ose A=l, V=l, duhet të përcaktojë një fjali të vërtetë Dhe vetëm një rast, kur

e cila A=u, V-l, do të thotë se oferta A->B i rremë.

Pra, në logjikën matematikore, vlerat e fjalisë T jepen nga tabela e mëposhtme:

Në vijim, gjatë gjithë frazës “Nëse A, Kjo NË" do të kuptohet kështu. Këtu është një sugjerim A thirrur me parcelë, ose gjendje, A Në përfundim.

Shembulli 13.2. Prindërit i premtuan djalit të tyre Petya: nëse ai mbaron me sukses universitetin, ata do t'i blejnë një makinë. Dihet se djali nuk ka mbaruar universitetin, por prindërit i kanë blerë ende një makinë. A mund të thuhet se ajo që thanë prindërit ishte gënjeshtër?

Për t'iu përgjigjur pyetjes, merrni parasysh propozimet: A= "Djali im po mbaron universitetin", B ="Ata po i blejnë një makinë." Ku A=l, B=i. Premtimi i prindërve duket si A^>B. Sipas definicionit, ky është një propozim vlerat e dhëna A Dhe NË e vërtetë (rreshti i tretë i tabelës). Prandaj, nga pikëpamja logjike, fjalët e prindërve janë të sakta. Por nëse djali i tyre do të mbaronte kolegjin, por ata nuk do t'i blinin një makinë, në këtë rast (dhe në asnjë tjetër) premtimi nuk do të përmbushej.

Tani le të shohim një lidhje tjetër logjike që shpesh nënkuptohet kur thuhen fjalët "nëse, atëherë". Për shembull, nëse në kushtet e shembullit 1.3.2 prindërit supozonin se nëse djali i tyre Petya nuk do të mbaronte kolegjin, ata nuk do t'i blinin një makinë, do të ishte e saktë të thuhej: "Makina do të blihet nëse dhe vetëm nëse Petya diplomohet."

5. Shenja e ekuivalencës ose. Shprehje Dhe lexon: "Dhe nëse dhe vetëm nëse B." Formulime të tjera janë të mundshme: “Dhe nëse dhe vetëm nëse B», "A saktësisht kur B" e kështu me radhë.

Kuptimi i fjalive AB jepen nga tabela:

Në rastet kur A Dhe NË pranoj të njëjtat vlera, ofertë AB e vërtetë, përndryshe fjalia është e rreme.

Është e lehtë të shihet se fraza "A atëherë dhe vetëm kur NË" përbëhet nga dy fraza: "A atehere kur NË" Dhe "A vetem kur NË". Shkruhet fjalia e parë B->A, dhe e dyta A^>B. Këto dy fjali janë njëkohësisht të vërteta në dy raste: A=u, B=u, dhe A=l, B=l.

Pra, ne kemi përcaktuar pesë shenja: l (lidhëz), v (ndarje), -> (nënkuptim), (ekuivalencë), 1 (negacion), të cilat quhen

mbjellës logjik. Këto shenja lejojnë nga këto fjali A Dhe NË merrni oferta të reja. Në këtë rast, kuptimi (i vërtetë ose i rremë) i fjalisë së re përcaktohet në mënyrë unike nga kuptimet e fjalive. A Dhe NË. Rregulli për marrjen e një fjalie të re nga fjalitë origjinale quhet operacion logjik. Kështu, secila prej lidhjeve logjike përcakton operacion logjik, e cila ka të njëjtin emër me paketën përkatëse.

Operacionet e konsideruara mund të përdoren si për pohime ashtu edhe për kallëzues. Për shembull, duke kombinuar dy kallëzues unarë " Numri, jo më shumë 3" dhe "Numri X negative" me një shenjë disjuksioni, marrim një kallëzues njëvendësh: "Numër X më shumë se 3 ose negative.” E vetmja gjë është se për të lidhur dy kallëzues me një lidhore logjike është e nevojshme që disa zona e përgjithshme D objekte të vlefshme që mund të zëvendësohen në këto kallëzues në vend të variablave.

Le të përcaktojmë dy lidhje të tjera logjike, të quajtura kwaitora.mi, të cilat na lejojnë të marrim pohime nga kallëzues unar. Termi "kuantifikues" i përkthyer nga gjuha latine do të thotë "sa". Prandaj, këto shenja përdoren për t'iu përgjigjur pyetjes se sa objekte e kënaqin propozimin Dhe- të gjitha ose të paktën një.

Le të marrim një kallëzues arbitrar dhe të zgjedhim një ndryshore nga e cila varet vlera e saj. Le ta shënojmë Oh).

6. Kuantifikues i përgjithshëm V. Kjo shenjë rrjedh nga fjalë angleze AN dhe është një shkurtim i fjalëve të mëposhtme: "peshë", "çdo", "çdo", "çdo".

Shprehja Vj&4(y) do të thotë se kallëzuesi Oh) ekzekutuar për të gjitha objektet e vlefshme X. Ai lexon: "Për të gjithë X dhe nga X".

7. Kuantifikuesi ekzistencial 3. Kjo shenjë vjen nga fjala angleze ekzistojnë dhe është një shkurtim i fjalëve të mëposhtme: "ekziston", "do të ketë", "të paktën një", "disa".

Shprehja 3x4(*) do të thotë se kallëzuesi Oh) ekzekutohet për të paktën një nga objektet e vlefshme.v. Ai lexon: "Ka x dhe nga x."

Shembulli 1.3.3. Lëreni ndryshoren X tregon një student universiteti. Le të shqyrtojmë propozimin Oh)= "Studenti l: ka një makinë." Pastaj VxA(x) do të thotë që të gjithë studentët e universitetit kanë një makinë. Kjo është një deklaratë e rreme. Oferta EhA(x) do të thotë se disa studentë kanë një makinë, që është një deklaratë e vërtetë.

Kështu, fillimisht kishim një kallëzues, vlera e të cilit varej nga vlera e ndryshores dg. Pas kryerjes së operacioneve, u morën deklarata, vlerat e të cilave nuk varen më nga ndryshorja X.

Le të ketë një formulë L(x), që përmban një variabël të lirë X. Pastaj deklarata se formula Oh)është identikisht e vërtetë, mund ta shkruajmë shkurtimisht si Vj&4(jc).

Operacioni i marrjes së një fjalie duke përdorur kuantifikues quhet kuantifikimi. Gjatë përdorimit të shprehjeve UhA(x) dhe 3 xA(x) thuaj gjithashtu: "Një kuantifikues i është shtuar ndryshores x" ose "Ndryshorja x është e lidhur me një sasior."

Vini re se operacionet sasiore janë të zbatueshme jo vetëm për kallëzuesit e një vendi. Nëse është dhënë një kallëzues dyvendësh A (hu), atëherë mund të lidhni variablin l - një sasior dhe të formoni një fjali /xA(xy), e vërteta e së cilës do të varet vetëm nga një ndryshore y, dhe do të kemi një kallëzues njëvendësh. Në këtë hyrje ndryshorja X thirrur lidhur me një sasior, dhe ndryshoren y - falas. Në rastin e përgjithshëm, duke aplikuar një veprim sasior për cilindo prej ndryshoreve të një kallëzuesi /7-vend, ne përfundojmë me një kallëzues me vend (n-1).

Kuantifikuesit mund të përdoren për të lidhur çdo numër variablash. Nëse kemi një kallëzues dyvendësh A (hu), atëherë zyrtarisht mund të merrni 8 deklarata.

duke lidhur çdo variabël me disa kuantifikues: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху). Disa fjali kanë të njëjtin kuptim, për shembull e para dhe e dyta (kallëzuesi A duhet të jetë e vërtetë për çdo vlerë të * dhe y), si dhe të shtatën dhe të tetën. Shprehjet e mbetura përgjithësisht japin deklarata të vërteta të ndryshme.

Shembulli 1.3.4. Le të ketë vetëm dy djem në klasë - Petya dhe Kolya. Për vendim i pavarur u dhanë tre problema, le t'i shënojmë me numrat 1, 2, 3. Petya zgjidhi problemet 1 dhe 2, dhe Kolya zgjidhi një problem me numrin 3. Le të prezantojmë kallëzuesin A (hu), që do të thotë djali * e zgjidhi problemin u. Këtu ndryshorja X tregon emrin e djalit dhe variablin në- numri i detyrës. Merrni parasysh pohimet e mëposhtme.

Vx3yA (xy)= "Çdo djalë zgjidhi të paktën një problem" - deklaratë e vërtetë, pasi Petya zgjidhi dy probleme, dhe Kolya zgjidhi të paktën një problem.

• 3_yVx4(.*,y) = "Ka një problem që të gjithë djemtë në klasë e kanë zgjidhur" - e rreme, pasi nuk ka një problem të tillë (vetëm Petya zgjidhi problemet e 1-rë dhe të 2-të, dhe vetëm Kolya zgjidhi të tretën).
• 3xVyA(x,y) = "Të paktën një djalë i zgjidhi të gjitha problemet" është një deklaratë e rreme.

V_yEx,4(;c,y) = "Çdo problem u zgjidh nga të paktën një student" - e vërtetë, kështu që problemi numër 1 u zgjidh nga Petya, problemi numër 2 u zgjidh gjithashtu nga Petya dhe problemi 3 u zgjidh nga Kolya.

Nga shembulli i shqyrtuar, mund të konkludojmë: rendi në të cilin shkruhen kuantifikuesit ndikon në kuptimin logjik të fjalisë. Prandaj, formulimi i qartë i fjalisë duhet të presupozojë pa mëdyshje rendin në të cilin ndodhin kuantifikuesit e përgjithësisë dhe ekzistencës.

Ushtrimi. Analizoni vetë kuptimet e thënieve nga Shembulli 1.3.4, duke supozuar se Petya zgjidhi problemet me numër 2 dhe 3.

Në përgjithësi, nga kallëzuesi Oh) ju mund të merrni dy deklarata - /xA(x) dhe 3x4 (x). Megjithatë, formula e shkruar shumë shpesh Oh) kuptohet pikërisht si pohimi Vx4(.x), megjithëse sasia e përgjithshme hiqet kur shkruhet ose formulohet. Për shembull, duke shkruar d- 2 >0, nënkuptojnë se katrori i çdo numër real jo negative. Hyrja e plotë Deklarata është: Ulg(dg?0). Regjistro (4x + 6v): 2, Ku*, y - numra të plotë, supozon se shuma e specifikuar është gjithmonë e pjesëtueshme me 2, domethënë çift. Për ta theksuar këtë, duhet të shkruajmë V*Vy((4.x + 6jy):2).

Përcaktuar në dy paragrafët e fundit shenja matematikore dhe shenjat e lidhjeve logjike përbëjnë alfabetin e gjuhës matematikore.

Një propozim kompleks është ai që përmban lidhje logjike dhe përbëhet nga disa propozime të thjeshta.

Në vijim do t'i konsiderojmë si të sigurta gjykimet e thjeshta atome të pandashme, si elemente nga kombinimi i të cilave lindin struktura komplekse. Pohimet e thjeshta do t'i shënojmë me shkronja të veçanta latine: a, b, c, d, ... Çdo shkronjë e tillë paraqet një propozim të caktuar të thjeshtë. Ku mund ta shihni këtë? Duke marrë një pushim nga kompleksi strukturën e brendshme një gjykim i thjeshtë, nga sasia dhe cilësia e tij, duke harruar se ka një temë dhe një kallëzues, ne ruajmë vetëm një veti të një gjykimi - që ai të jetë i vërtetë ose i rremë. Gjithçka tjetër nuk na intereson këtu. Dhe kur themi se shkronja "a" përfaqëson një propozim, dhe jo një koncept, jo një numër, jo një funksion, nënkuptojmë vetëm një gjë: se "a" përfaqëson të vërtetën ose të pavërtetën. Nëse me "a" nënkuptojmë propozimin "Kangurët jetojnë në Australi", nënkuptojmë të vërtetën; nëse me "a" nënkuptojmë propozimin "Kangurët jetojnë në Siberi", nënkuptojmë një gënjeshtër. Kështu, shkronjat tona "a", "b", "c", etj. – këto janë variabla që mund të zëvendësohen me true ose false.

Lidhjet logjike janë analoge formale të lidhëzave në gjuhën tonë natyrore amtare. Si fjali të ndërlikuara ndërtohen nga ato të thjeshta me ndihmën e lidhëzave "megjithatë", "pasi", "ose" etj., dhe nga ato të thjeshtat formohen gjykime komplekse me ndihmën e lidhëzave logjike. Këtu ndiejmë një lidhje shumë më të madhe mes mendimit dhe gjuhës, kështu që në vijim, në vend të fjalës "gjykim", që tregon mendimin e pastër, shpesh do të përdorim fjalën "deklaratë", e cila tregon mendimin në të. shprehjes gjuhësore. Pra, le të njihemi me lidhjet logjike më të përdorura.

Negacion. Në gjuhën natyrore i përgjigjet shprehjes “Nuk është e vërtetë që...”. Negacioni zakonisht tregohet nga shenja "¬" e vendosur përpara shkronjës që përfaqëson disa propozime: "¬a" lexon "Nuk është e vërtetë që a". Shembull: "Nuk është e vërtetë që Toka është një sferë."

Duhet t'i kushtoni vëmendje një rrethane delikate. Më sipër folëm për gjykime të thjeshta negative. Si t'i dallojmë ato nga gjykimet komplekse me mohim? Logjika dallon dy lloje të mohimit - të brendshëm dhe të jashtëm. Kur mohimi është brenda një propozimi të thjeshtë përpara lidhjes “është”, atëherë në këtë rast kemi të bëjmë me një propozim të thjeshtë negativ, për shembull: “Toka nuk është sferë”. Nëse mohimi nga jashtë i bashkëngjitet një gjykimi, për shembull: "Nuk është e vërtetë që Toka është një top", atëherë një mohim i tillë konsiderohet si një lidhje logjike që e shndërron një gjykim të thjeshtë në një të ndërlikuar.

Lidhëza. Në gjuhën natyrore, kjo lidhore korrespondon me lidhëzat "dhe", "a", "por", "megjithatë", etj. Më shpesh, një lidhje tregohet me simbolin "&". Tani kjo ikonë gjendet shpesh në emrat e kompanive dhe ndërmarrjeve të ndryshme. Një propozim me një lidhje të tillë quhet lidhëz, ose thjesht lidhëz, dhe duket kështu:

a&b. Shembull: "Shporta e gjyshit përmbante boletus dhe buletus". Ky gjykim kompleks është një ndërthurje e dy propozimeve të thjeshta: "Kishte kërpudha boletus në shportën e gjyshit tim" dhe "Kishte boletus në shportën e gjyshit tim".

Disjunksion. Në gjuhën natyrore, kjo lidhore korrespondon me lidhëzën "ose". Zakonisht shënohet me një "v". Një gjykim me një lidhje të tillë quhet disjunktive, ose thjesht disjunktive, dhe duket kështu: a v b.

Lidhja "ose" në gjuhën natyrore përdoret në dy kuptime të ndryshme: “ose” e lirshme – kur anëtarët e disjuksionit nuk e përjashtojnë njëri-tjetrin, d.m.th. mund të jetë njëkohësisht e vërtetë, dhe një "ose" e rreptë (shpesh zëvendësohet nga një palë lidhëzash "ose... ose...") - kur anëtarët e ndarjes përjashtojnë njëri-tjetrin. Në përputhje me këtë, dallohen dy lloje të ndarjes - të rrepta dhe jo të rrepta.

Implikimi. Në gjuhën natyrore i përgjigjet lidhëza “nëse... atëherë”. Tregohet me shenjën "->". Një propozim me një lidhje të tillë quhet implikativ, ose thjesht nënkuptim, dhe duket kështu: a -> b. Shembull: “Nëse kalon një përcjellës elektricitet, atëherë përcjellësi nxehet.” Anëtari i parë i nënkuptimit quhet paraardhës, ose bazë; e dyta është një pasojë, ose pasojë. Në gjuhën e përditshme, lidhëza “nëse... atëherë” lidh zakonisht fjali që shprehin marrëdhënien shkak-pasojë të dukurive, ku fjalia e parë fikson shkakun dhe e dyta pasojën. Prandaj emrat e anëtarëve të nënkuptimit.

Përfaqësimi i thënieve të gjuhës natyrore në formë simbolike duke përdorur shënimet e mësipërme nënkupton zyrtarizimin e tyre, i cili në shumë raste rezulton i dobishëm.

4) Një ishull i bukur shtrihej në oqeanin e ngrohtë. Dhe çdo gjë do të ishte mirë, por të huajt e kishin zakon të vendoseshin në këtë ishull. Vijnë e vijnë nga e gjithë bota dhe indigjenët kanë filluar të shtrydhen. Për të parandaluar pushtimin e të huajve, sundimtari i ishullit nxori një dekret: “Çdo vizitor që dëshiron të vendoset në ishullin tonë të bekuar është i detyruar të bëjë një gjykim. Nëse gjykimi rezulton i vërtetë, i huaji duhet të pushkatohet; nëse gjykimi rezulton i rremë, ai duhet të varet”. Nëse keni frikë, atëherë heshtni dhe kthehuni prapa!

Pyetja është: çfarë gjykimi duhet bërë për të qëndruar gjallë dhe për t'u vendosur ende në ishull?