Përcaktimi i vlerës së vërtetë të pohimeve. Përcaktimi i së vërtetës së deklaratave komplekse

Logjika propozicionale , i quajtur edhe logjika propozicionale, është një degë e matematikës dhe logjikës që studion format logjike të pohimeve komplekse të ndërtuara nga pohime të thjeshta ose elementare duke përdorur veprime logjike.

Logjika propozicionale abstrakton nga përmbajtja e pohimeve dhe studion vlerën e tyre të vërtetë, domethënë nëse deklarata është e vërtetë apo e gabuar.

Fotografia e mësipërme është një ilustrim i një fenomeni të njohur si Paradoksi Gënjeshtar. Në të njëjtën kohë, sipas autorit të projektit, paradokse të tilla janë të mundshme vetëm në mjedise që nuk janë të lira nga problemet politike, ku dikush apriori mund të etiketohet si gënjeshtar. Në botën natyrore me shumë shtresa tema e “vërtetës” apo “e rreme” vlerësohen vetëm deklarata individuale . Dhe më vonë në këtë mësim do të njiheni me mundësia për të vlerësuar vetë shumë deklarata mbi këtë temë (dhe më pas shikoni përgjigjet e sakta). Përfshirë deklaratat komplekse në të cilat ato më të thjeshtat janë të ndërlidhura me shenja të operacioneve logjike. Por së pari, le t'i shqyrtojmë këto operacione në vetë deklaratat.

Logjika propozicionale përdoret në shkencat kompjuterike dhe programimin në formën e deklarimit të ndryshoreve logjike dhe caktimit të tyre të vlerave logjike "false" ose "e vërtetë", nga e cila varet rrjedha e ekzekutimit të mëtejshëm të programit. Në programet e vogla ku përfshihet vetëm një variabël boolean, variablit boolean shpesh i jepet një emër si "flamuri" dhe kuptimi është "flamuri është lart" kur vlera e ndryshores është "true" dhe "flamuri është poshtë, kur." vlera e kësaj variabli është "false". Në programet e mëdha, në të cilat ka disa ose edhe shumë variabla logjikë, profesionistëve u kërkohet të nxjerrin emra për variablat logjikë që kanë një formë deklarimi dhe një kuptim semantik që i dallon ato nga variablat e tjerë logjikë dhe është i kuptueshëm për profesionistët e tjerë të cilët do të lexojë tekstin e këtij programi.

Kështu, një variabël logjik me emrin "UserRegistered" (ose analogu i tij në gjuhën angleze) mund të deklarohet në formën e një deklarate, të cilës mund t'i caktohet vlera logjike "true" nëse plotësohen kushtet që të dhënat e regjistrimit janë dërguar. nga përdoruesi dhe këto të dhëna njihen si të vlefshme nga programi. Në llogaritjet e mëtejshme, vlerat e variablave mund të ndryshojnë në varësi të vlerës logjike (të vërtetë ose të gabuar) të ndryshores UserRegistered. Në raste të tjera, një ndryshoreje, për shembull, me emrin "Më shumë se tre ditë të mbetura para ditës", mund t'i caktohet vlera "E vërtetë" para një blloku të caktuar llogaritjesh, dhe gjatë ekzekutimit të mëtejshëm të programit kjo vlerë mund të jetë ruhen ose ndryshohen në "false" dhe ecuria e ekzekutimit të mëtejshëm varet nga vlera e programeve të kësaj variable.

Nëse një program përdor disa ndryshore logjike, emrat e të cilave kanë formën e deklaratave dhe prej tyre ndërtohen deklarata më komplekse, atëherë është shumë më e lehtë të zhvillohet programi nëse, para se ta zhvillojmë atë, i shkruajmë të gjitha veprimet nga deklaratat. në formën e formulave të përdorura në logjikën e deklaratave sesa bëjmë gjatë Ky mësim është ajo që do të bëjmë.

Veprimet logjike mbi deklaratat

Për pohimet matematikore, gjithmonë mund të bëhet një zgjedhje midis dy alternativave të ndryshme, "e vërtetë" dhe "e rreme", por për pohimet e bëra në gjuhën "verbale", konceptet "e vërteta" dhe "e rreme" janë disi më të paqarta. Megjithatë, për shembull, të tilla forma foljore, si "Shko në shtëpi" dhe "A po bie shi?" Prandaj është e qartë se deklaratat janë forma verbale në të cilat thuhet diçka . Fjalitë pyetëse apo thirrëse, apelimet, si dhe dëshirat apo kërkesat nuk janë deklarata. Ato nuk mund të vlerësohen me vlerat "e vërtetë" dhe "e rreme".

Deklaratat, përkundrazi, mund të konsiderohen si sasi që mund të marrin dy kuptime: "e vërtetë" dhe "e rreme".

Për shembull, jepen gjykimet e mëposhtme: "një qen është një kafshë", "Parisi është kryeqyteti i Italisë", "3

E para nga këto pohime mund të vlerësohet me simbolin "e vërtetë", e dyta me "e gabuar", e treta me "e vërtetë" dhe e katërta me "e gabuar". Ky interpretim i pohimeve është subjekt i algjebrës propozicionale. Ne do t'i tregojmë deklaratat me shkronja të mëdha me shkronja latine A, B, ..., dhe kuptimet e tyre, përkatësisht të vërteta dhe të rreme DHE Dhe L. Në fjalimin e zakonshëm, përdoren lidhjet midis thënieve "dhe", "ose" dhe të tjerëve.

Këto lidhje lejojnë, duke lidhur pohime të ndryshme me njëra-tjetrën, të formojnë pohime të reja - deklarata komplekse . Për shembull, lidhorja "dhe". Le të jepen deklaratat: " π më shumë se 3" dhe deklaratën " π më pak se 4". Ju mund të organizoni një deklaratë të re - komplekse " π më shumë se 3 dhe π më pak se 4". Deklarata "nëse π irracionale atëherë π ² është gjithashtu irracionale" fitohet duke lidhur dy pohime me lidhësin "nëse - atëherë". Së fundi, nga çdo pohim mund të marrim një të ri - një pohim kompleks - duke mohuar pohimin origjinal.

Duke i konsideruar pohimet si sasi që marrin kuptime DHE Dhe L, do të përcaktojmë më tej operacionet logjike mbi deklaratat , të cilat na lejojnë të marrim deklarata të reja komplekse nga këto deklarata.

Le të jepen dy deklarata arbitrare A Dhe B.

1 . Operacioni i parë logjik mbi këto pohime - lidhja - paraqet formimin e një deklarate të re, të cilën do ta shënojmë A ∧ B dhe cila është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse A Dhe B janë të vërteta. Në fjalimin e zakonshëm, ky operacion korrespondon me lidhjen e deklaratave me lidhësin "dhe".

Tabela e së vërtetës për lidhjen:

2 . Operacioni i dytë logjik mbi deklaratat A Dhe B- disjunksion i shprehur si A ∨ B, përkufizohet si më poshtë: është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse të paktën një nga pohimet origjinale është e vërtetë. Në fjalimin e zakonshëm, ky operacion korrespondon me thëniet lidhëse me lidhësin "ose". Megjithatë, këtu kemi një "ose" jopjestuese, e cila kuptohet në kuptimin "ose ose" kur A Dhe B të dyja nuk mund të jenë të vërteta. Në përcaktimin e logjikës propozicionale A ∨ B e vërtetë edhe nëse vetëm njëri prej pohimeve është i vërtetë, dhe nëse të dy pohimet janë të vërteta A Dhe B.

Tabela e së vërtetës për ndarjen:

3 . Operacioni i tretë logjik mbi deklaratat A Dhe B, shprehur si A → B; deklarata e marrë në këtë mënyrë është e rreme nëse dhe vetëm nëse A e vërtetë, por B i rremë. A thirrur me parcelë , B - pasojë , dhe deklaratën A → B - në vijim , i quajtur edhe nënkuptim. Në fjalimin e zakonshëm, ky operacion korrespondon me lidhësin "nëse-atëherë": "nëse A, Kjo B Por në përkufizimin e logjikës propozicionale, kjo deklaratë është gjithmonë e vërtetë pavarësisht nëse deklarata është e vërtetë apo e rreme. B. Kjo rrethanë mund të formulohet shkurt si më poshtë: "nga e rreme rrjedh gjithçka". Nga ana tjetër, nëse A e vërtetë, por Bështë e rreme, atëherë e gjithë deklarata A → B i rremë. Do të jetë e vërtetë nëse dhe vetëm nëse A, Dhe B janë të vërteta. Shkurtimisht, kjo mund të formulohet si më poshtë: "e rreme nuk mund të rrjedhë nga e vërteta".

Tabela e së vërtetës që duhet ndjekur (nënkuptimi):

4 . Operacioni i katërt logjik mbi pohime, më saktë në një pohim, quhet mohimi i një deklarate A dhe shënohet me ~ A(mund të gjeni gjithashtu përdorimin e jo simbolit ~, por simbolit ¬, si dhe një mbivlerësim më lart A). ~ A ka një deklaratë që është e rreme kur A e vërtetë, dhe e vërtetë kur A i rremë.

Tabela e së vërtetës për mohimin:

5 . Dhe së fundi, operacioni i pestë logjik mbi deklaratat quhet ekuivalencë dhe shënohet A ↔ B. Deklarata që rezulton A ↔ B një deklaratë është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse A Dhe B të dyja janë të vërteta ose të dyja janë të rreme.

Tabela e së vërtetës për ekuivalencën:

Shumica e gjuhëve programuese kanë simbole të veçanta për të treguar kuptimet logjike të pohimeve, ato janë shkruar pothuajse në të gjitha gjuhët si të vërteta dhe të rreme.

Le të përmbledhim sa më sipër. Logjika propozicionale studion lidhjet që përcaktohen plotësisht nga mënyra se si ndërtohen disa pohime nga të tjerat, të quajtura elementare. Në këtë rast, pohimet elementare konsiderohen si tërësi dhe nuk mund të zbërthehen në pjesë.

Le të sistemojmë në tabelën më poshtë emrat, shënimet dhe kuptimin e veprimeve logjike në deklarata (së shpejti do të na duhen përsëri për të zgjidhur shembuj).

E vërtetë për operacionet logjike ligjet e logjikës së algjebrës, e cila mund të përdoret për të thjeshtuar shprehjet logjike. Duhet të theksohet se në logjikën propozicionale njeriu abstraktohet nga përmbajtja semantike e një deklarate dhe kufizohet duke e konsideruar atë nga pozicioni se ai është ose i vërtetë ose i gabuar.

Shembulli 1.

1) (2 = 2) DHE (7 = 7) ;

2) Jo (15;

3) ("Pine" = "Lisi") OSE ("Qershi" = "Rje");

4) Jo ("Pine" = "Lisi") ;

5) (Jo (15 20) ;

6) ("Sytë janë dhënë për të parë") Dhe ("Nën katin e tretë është kati i dytë");

7) (6/2 = 3) OSE (7*5 = 20) .

1) Kuptimi i pohimit në kllapat e para është "i vërtetë", kuptimi i shprehjes në kllapat e dyta është gjithashtu i vërtetë. Të dy deklaratat janë të lidhura me operacionin logjik "AND" (shih rregullat për këtë operacion më lart), prandaj vlera logjike e gjithë kësaj deklarate është "e vërtetë".

2) Kuptimi i deklaratës në kllapa është "e rreme". Para kësaj deklarate ekziston një veprim logjik i mohimit, prandaj kuptimi logjik i gjithë kësaj deklarate është "i vërtetë".

3) Kuptimi i pohimit në kllapat e para është “i rremë”, kuptimi i pohimit në kllapat e dyta është gjithashtu “i rremë”. Deklaratat lidhen me operacionin logjik "OR" dhe asnjë nga pohimet nuk ka vlerën "e vërtetë". Prandaj, kuptimi logjik i gjithë kësaj deklarate është "i rremë".

4) Kuptimi i pohimit në kllapa është "i rremë". Kësaj deklarate i paraprin operacioni logjik i mohimit. Prandaj, kuptimi logjik i gjithë kësaj deklarate është "i vërtetë".

5) Deklarata në kllapat e brendshme është mohuar në kllapat e para. Kjo deklaratë në kllapa të brendshme ka kuptimin "e rreme", prandaj mohimi i saj do të ketë kuptimin logjik "e vërtetë". Deklarata në kllapat e dyta do të thotë "e rreme". Këto dy pohime lidhen me operacionin logjik "DHE", domethënë fitohet "e vërtetë DHE e rreme". Prandaj, kuptimi logjik i gjithë kësaj deklarate është "i rremë".

6) Kuptimi i pohimit në kllapat e para është "i vërtetë", kuptimi i pohimit në kllapat e dyta është gjithashtu "i vërtetë". Këto dy pohime lidhen me operacionin logjik "DHE", domethënë fitohet "e vërteta DHE e vërteta". Prandaj, kuptimi logjik i të gjithë deklaratës së dhënë është "i vërtetë".

7) Kuptimi i pohimit në kllapat e para është "i vërtetë". Kuptimi i pohimit në kllapat e dytë është "i rremë". Këto dy pohime lidhen me operacionin logjik "OR", domethënë "e vërtetë OSE e gabuar". Prandaj, kuptimi logjik i të gjithë deklaratës së dhënë është "i vërtetë".

Shembulli 2. Shkruani deklaratat komplekse të mëposhtme duke përdorur veprime logjike:

1) "Përdoruesi nuk është i regjistruar";

2) “Sot është e diel dhe disa punonjës janë në punë”;

3) “Përdoruesi regjistrohet nëse dhe vetëm nëse të dhënat e paraqitura nga përdoruesi konsiderohen të vlefshme.”

1) fq- deklaratë e vetme “Përdoruesi është i regjistruar”, operacion logjik: ;

2) fq- deklaratë e vetme "Sot është e diel", q- "Disa punonjës janë në punë", operacion logjik: ;

3) fq- deklaratë e vetme "Përdoruesi është i regjistruar", q- “Të dhënat e dërguara nga përdoruesi u gjetën të vlefshme”, operacion logjik: .

Zgjidhini vetë shembujt e logjikës propozicionale dhe më pas shikoni zgjidhjet

Shembulli 3. Llogaritni vlerat logjike të pohimeve të mëposhtme:

1) ("Ka 70 sekonda në një minutë") OSE ("Një orë që funksionon tregon kohën");

2) (28 > 7) DHE (300/5 = 60) ;

3) ("TV - pajisje elektrike") Dhe ("Xham - dru");

4) Jo ((300 > 100) OSE ("Mund ta shuash etjen me ujë"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Shembulli 4. Shkruani deklaratat komplekse të mëposhtme duke përdorur veprime logjike dhe llogaritni vlerat e tyre logjike:

1) "Nëse ora e tregon kohën gabimisht, atëherë mund të mbërrini në klasë në orën e gabuar";

2) “Në pasqyrë mund të shihni reflektimin tuaj dhe Parisin, kryeqytetin e SHBA-ve”;

Shembulli 5. Përcaktoni vlerën Boolean të një shprehjeje

(fq → q) ↔ (r → s) ,

fq = "278 > 5" ,

q= "Mollë = Portokalli",

fq = "0 = 9" ,

s= "Kapela mbulon kokën".

Formulat logjike propozicionale

Koncepti formë logjike deklarata komplekse sqarohet duke përdorur konceptin formula logjike propozicionale .

Në shembujt 1 dhe 2 mësuam të shkruajmë deklarata komplekse duke përdorur veprime logjike. Në fakt, ato quhen formula logjike propozicionale.

Për të treguar deklaratat, si në shembullin e përmendur, ne do të vazhdojmë të përdorim shkronjat

fq, q, r, ..., fq 1 , q 1 , r 1 , ...

Këto shkronja do të luajnë rolin e variablave që marrin si vlera vlerat e vërteta "të vërtetë" dhe "false". Këto variabla quhen edhe variabla propozicionale. Ne do t'i thërrasim më tej formulat elementare ose atomet .

Për të ndërtuar formula logjike propozicionale, përveç shkronjave të treguara më sipër, përdoren shenja të operacioneve logjike

~, ∧, ∨, →, ↔,

si dhe simbolet që ofrojnë mundësinë e leximit të paqartë të formulave - kllapa majtas dhe djathtas.

Koncepti formulat logjike propozicionale le ta përkufizojmë si më poshtë:

1) formulat elementare (atomet) janë formula të logjikës propozicionale;

2) nëse A Dhe B- formula logjike propozicionale, pastaj ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) janë edhe formula të logjikës propozicionale;

3) vetëm ato shprehje janë formula të logjikës propozicionale për të cilat kjo rrjedh nga 1) dhe 2).

Përkufizimi i një formule logjike propozicionale përmban një listë të rregullave për formimin e këtyre formulave. Sipas përkufizimit, çdo formulë logjike propozicionale është ose një atom ose është formuar nga atomet si rezultat i zbatimit të qëndrueshëm të rregullit 2).

Shembulli 6. Le fq- pohim i vetëm (atom) "Të gjithë numrat racionalë janë realë", q- "Disa numra realë janë numra racionalë" r- "disa numra racionalë janë realë." Përktheni formulat e mëposhtme të logjikës propozicionale në formën e deklaratave verbale:

6) .

1) "nr numra realë, të cilat janë racionale";

2) "Nëse jo të gjithë numrat racionalë janë realë, atëherë jo numrat racionalë, të cilat janë të vlefshme";

3) “Nëse të gjithë numrat racionalë janë real, atëherë disa numra realë janë numra racionalë dhe disa numra racionalë janë realë”;

4) “të gjithë numrat realë janë numra racionalë dhe disa numra realë janë numra racionalë dhe disa numra racionalë janë numra realë”;

5) “të gjithë numrat racionalë janë real nëse dhe vetëm nëse nuk është rasti që jo të gjithë numrat racionalë janë realë”;

6) "Nuk është rasti që jo të gjithë numrat racionalë janë realë dhe nuk ka numra realë që janë racionalë ose nuk ka numra racionalë që janë real."

Shembulli 7. Krijoni një tabelë të vërtetësisë për formulën logjike propozicionale , të cilat në tabelë mund të caktohen f .

Zgjidhje. Ne fillojmë të përpilojmë një tabelë të së vërtetës duke regjistruar vlerat ("e vërtetë" ose "e gabuar") për pohime të vetme (atome) fq , q Dhe r. Të gjitha vlerat e mundshme shkruhen në tetë rreshta të tabelës. Më tej, kur përcaktojmë vlerat e operacionit të nënkuptimit dhe lëvizim djathtas në tabelë, kujtojmë se vlera është e barabartë me "false" kur "false" vjen nga "e vërtetë".

Vini re se asnjë atom nuk ka formën ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Formulat komplekse kanë këtë lloj.

Numri i kllapave në formulat logjike propozicionale mund të reduktohet nëse e pranojmë këtë

1) në formulë komplekse do të heqim palën e jashtme të kllapave;

2) le t'i rregullojmë shenjat e veprimeve logjike "sipas përparësisë":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Në këtë listë, shenja ↔ ka shtrirjen më të madhe dhe shenja ~ ka shtrirjen më të vogël. Shtrirja e një shenje operacioni i referohet atyre pjesëve të formulës së logjikës propozicionale për të cilat zbatohet shfaqja e kësaj shenje në fjalë (në të cilën ajo vepron). Kështu, është e mundur që në çdo formulë të hiqen ato palë kllapa që mund të rikthehen, duke marrë parasysh "rendin e përparësisë". Dhe gjatë rivendosjes së kllapave, fillimisht vendosen të gjitha kllapat që lidhen me të gjitha shfaqjet e shenjës ~ (lëvizim nga e majta në të djathtë), pastaj në të gjitha paraqitjet e shenjës ∧, e kështu me radhë.

Shembulli 8. Rivendosni kllapat në formulën logjike propozicionale B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Zgjidhje. Kllapat rikthehen hap pas hapi si më poshtë:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Jo çdo formulë logjike propozicionale mund të shkruhet pa kllapa. Për shembull, në formula A → (B → C) dhe ~( A → B) përjashtimi i mëtejshëm i kllapave nuk është i mundur.

Tautologjitë dhe kontradiktat

Tautologjitë logjike (ose thjesht tautologjitë) janë formula të logjikës propozicionale të tilla që nëse shkronjat zëvendësohen në mënyrë arbitrare me pohime (të vërteta ose të rreme), rezultati do të jetë gjithmonë një pohim i vërtetë.

Meqenëse e vërteta ose falsiteti i pohimeve komplekse varet vetëm nga kuptimet, dhe jo nga përmbajtja e pohimeve, secila prej të cilave korrespondon me një shkronjë specifike, atëherë kontrolloni nëse këtë deklaratë tautologjia, mund të zëvendësohet në mënyrën e mëposhtme. Në shprehjen në studim, vlerat 1 dhe 0 (përkatësisht "e vërtetë" dhe "e gabuar") zëvendësohen me shkronjat në të gjitha mënyrat e mundshme, dhe vlerat logjike të shprehjeve llogariten duke përdorur veprime logjike. Nëse të gjitha këto vlera janë të barabarta me 1, atëherë shprehja në studim është një tautologji, dhe nëse të paktën një zëvendësim jep 0, atëherë nuk është një tautologji.

Kështu, një formulë logjike propozicionale që merr vlerën "e vërtetë" për çdo shpërndarje të vlerave të atomeve të përfshira në këtë formulë quhet identike me formulën e vërtetë ose tautologji .

Kuptimi i kundërt është një kontradiktë logjike. Nëse të gjitha vlerat e deklaratave janë të barabarta me 0, atëherë shprehja është një kontradiktë logjike.

Kështu, një formulë logjike propozicionale që merr vlerën "false" për çdo shpërndarje të vlerave të atomeve të përfshira në këtë formulë quhet formula identike e rreme ose kontradiktë .

Përveç tautologjive dhe kontradiktave logjike, ekzistojnë formula të logjikës propozicionale që nuk janë as tautologji dhe as kontradikta.

Shembulli 9. Ndërtoni një tabelë të së vërtetës për një formulë logjike propozicionale dhe përcaktoni nëse ajo është një tautologji, një kontradiktë apo asnjëra.

Zgjidhje. Le të krijojmë një tabelë të së vërtetës:

Në kuptimet e nënkuptimit nuk gjejmë një rresht në të cilin "e vërtetë" nënkupton "e rreme". Të gjitha vlerat e deklaratës origjinale janë të barabarta me "të vërtetë". Prandaj, këtë formulë logjika propozicionale është një tautologji.

Shembulli 1. Përcaktoni vërtetësinë e një deklarate · C
Zgjidhje. Një deklaratë komplekse përfshin 3 deklarata të thjeshta: A, B, C. Kolonat në tabelë janë të mbushura me vlera (0, 1). Të gjitha janë të treguara situatat e mundshme. Deklaratat e thjeshta ndahen nga ato komplekse me një vijë vertikale të dyfishtë.
Gjatë përpilimit të tabelës duhet pasur kujdes që të mos ngatërrohet radha e veprimeve; Kur plotësoni kolonat, duhet të lëvizni "nga brenda jashtë", d.m.th. nga formulat elementare tek ato gjithnjë e më komplekse; kolona e fundit e plotësuar përmban vlerat e formulës origjinale.

Tabela tregon se ky pohim është i vërtetë vetëm në rastin kur A = 0, B = 1, C = 1. Në të gjitha rastet e tjera është false.

Ekuivalenca e deklaratave.

Duke përdorur tabelat e së vërtetës, mund të vendosni ekuivalencën e dy ose më shumë pohimeve.

Deklaratat thuhet se janë ekuivalente nëse vlerat përkatëse të secilës prej tyre përkojnë në tabelën e së vërtetës.

Shembulli 2. Thuhet se pohimi A+B·C është ekuivalent me pohimin (A+B)· (A+C)
Zgjidhje. Verifikimi kryhet duke përpiluar një tabelë të vërtetësisë.

Duke krahasuar kolonat e 5-të dhe të 8-të, sigurohemi që të gjitha vlerat e marra nga formula A + B · C përkojnë me vlerat e marra nga formula (A + B) · (A + C) , d.m.th. pohimet janë ekuivalente (ekuivalente). Njëra mund të zëvendësojë tjetrën.
Deklaratat ekuivalente (ekuivalente) lidhen me shenjën º A + B · Cº (A + B) · (A + C).
Le të vërejmë ndryshimin midis ekuivalencës dhe ekuivalencës.
Ekuivalenca është një operacion logjik që lejon, duke pasur parasysh dy pohime të dhëna A dhe B, të ndërtojmë një A dhe B të re.
Ekuivalenca është marrëdhënia midis dy pohimeve përbërëse, që konsiston në faktin se vlerat e tyre të së vërtetës janë gjithmonë të njëjta.

Tautologjia.

Le të jepet një pohim A· dhe është e nevojshme të ndërtohet një tabelë e së vërtetës.
Pohimi A është i rremë, e vërteta e tij nuk varet nga vërtetësia e pohimit A.

Merrni parasysh pohimin B+.
Në këtë rast, pohimi B+ është gjithmonë i vërtetë, pavarësisht nga e vërteta e B.

Pohimet, e vërteta e të cilave është konstante dhe nuk varet nga vërtetësia e pohimeve të thjeshta të përfshira në to, por përcaktohet vetëm nga struktura e tyre, quhen identike ose tautologji.
Ka deklarata identike të vërteta dhe identike të rreme.
Në formula, çdo pohim identikisht i vërtetë zëvendësohet me 1, dhe çdo pohim identikisht i gabuar zëvendësohet me 0. Ligji i mesit të përjashtuar.
A 0 º
B+ º 1

Shembulli 3. Vërtetoni tautologjinë (XÙ Y)® (XÚ Y)
Zgjidhje.

Sepse pohimi (XÙ Y)® (XÚ Y) është gjithmonë i vërtetë, atëherë është një tautologji.

Shembulli 4. Vërtetoni tautologjinë ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Zgjidhje.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

Tabela tregon se pohimi në studim është një tautologji, sepse është vërtet konstante.

Pyetje dhe detyra.

1. Cili nga pohimet e mëposhtme:

a) (A+C); b) +B; c) +C); d) A+;
deklaratë ekuivalente (B+C)

2. Përdorni tabelat e së vërtetës për të përcaktuar se cilat formulat e mëposhtme- tautologjitë:
A)"); b) ; V) ;

G) ; e) (X® Y) « (Y® X); f) (X® Y) «;

g) (X® Y)« .

3. Përcaktoni vërtetësinë e një deklarate

4. A janë pohimet ekuivalente:
Dhe ?

5. Përcaktoni nëse kjo deklaratë është një tautologji:
A) ; b)

6. Për secilën formulë, dilni me fjali që ato zyrtarizojnë:
A) ; b) ; V) .

7. Nga thëniet e thjeshta: "Victor është një notar i mirë" - A; "Victor zhytet mirë" - B; "Victor këndon mirë" - C, është krijuar një deklaratë komplekse, formula e së cilës duket si:
X=(A+C)· (A+B). Përcaktoni nëse thënia X është ekuivalente me pohimin: "Victor është një notar i mirë dhe Victor këndon mirë."

8.
A) ; b) ;
c) ((X1® X2)® X3)Ù (X3 « X1); d) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Përcaktoni vërtetësinë e pohimeve:
A) , , ;
b) , , ;
V) , , ;
G) , , .

Ligjet e logjikës

Ekuivalencat e formulave të logjikës propozicionale shpesh quhen ligje të logjikës.
Njohja e ligjeve të logjikës ju lejon të kontrolloni saktësinë e arsyetimit dhe provave.
Shkeljet e këtyre ligjeve çojnë në gabime logjike dhe kontradiktat që dalin prej tyre.
Ne rendisim më të rëndësishmet prej tyre:
1. Xº X Ligji i identitetit
2. Ligji i kontradiktës
3. Ligji i mesit të përjashtuar
4. Ligji i negativëve të dyfishtë
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Ligjet e idempotencës
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Ligjet e ndërrueshmërisë (ndryshueshmërisë)
7. (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Ligjet e asociativitetit (kombinimi)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z), C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Ligjet e shpërndarjes (shpërndarjes)
9. , Ligjet e De Morganit
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Ligjet e përthithjes
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Ligjet e ngjitjes

ligji 1 formuluar nga filozofi i lashtë grek Aristoteli. Ligji i identitetit thotë se mendimi i përfshirë në një deklaratë të caktuar mbetet i pandryshuar gjatë gjithë argumentit në të cilin shfaqet kjo deklaratë.

Ligji i kontradiktës thotë se asnjë fjali nuk mund të jetë e vërtetë në të njëjtën kohë me mohimin e saj.
"Kjo mollë është e pjekur" dhe "Kjo mollë nuk është e pjekur".

Ligji i mesit të përjashtuar thotë se për çdo pohim ka vetëm dy mundësi: ky pohim është ose i vërtetë ose i rremë. Nuk ka asnjë të tretë. "Sot do të marr 5 ose jo." Ose një propozim është i vërtetë ose mohim i tij.

Ligji i mohimit të dyfishtë. Të mohosh mohimin e një deklarate është njësoj si të pohosh këtë pohim.
“Nuk është e vërtetë që 2×2¹ 4”

Ligjet e idempotencës. Në algjebrën e logjikës nuk ka eksponentë dhe koeficientë. Një lidhje e "faktorëve" identikë është e barabartë me njërin prej tyre.

Ligjet e komutativitetit dhe asociativitetit. Lidhëza dhe disjuksioni janë të ngjashme me shenjat e shumëzimit dhe mbledhjes me të njëjtin emër.
Ndryshe nga mbledhja dhe shumëzimi i numrave, mbledhja dhe shumëzimi logjik janë të barabarta në lidhje me shpërndarjen: jo vetëm që lidhëza është shpërndarëse në lidhje me disjunksionin, por edhe disjunksioni është shpërndarës në lidhje me lidhëzën.

Kuptimi i ligjeve të De Morganit(Augustus de Morgan (1806-1871) - matematikan dhe logjik skocez) mund të shprehet me formulime të shkurtra verbale:
- mohimi i një produkti logjik është i barabartë me shumën logjike të mohimeve të faktorëve.
- mohimi i një shume logjike është i barabartë me produktin logjik të mohimeve të termave.

Ju mund të provoni ligjet e logjikës:
1) përdorimi i tabelave të së vërtetës;
2) duke përdorur ekuivalencat.
Le të vërtetojmë ligjet e ngjitjes dhe thithjes duke përdorur ekuivalencat:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Ligji i ngjitjes)

2) C Ù (C Ú U) º C × C + C × U º C + C × U º C (1 + U) º C (Ligji i përthithjes)

Ushtrimi. Provoni ligjet e logjikës duke përdorur tabelat e së vërtetës.

Transformimet e identitetit

Thjeshtimi i formulave.

Shembulli 1. Thjeshtoni formulën (AÚB) · (AÚC)
Zgjidhje.
a) Hapni kllapat (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
b) Sipas ligjit të ekuivalencës A · A º A, pra,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
c) Në pohimet A dhe A·C, nxjerrim A nga kllapa dhe duke përdorur veçorinë AÚ1º 1, marrim AÚA·СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B·C
d) Ngjashëm me pikën c), le të nxjerrim deklaratën A jashtë kllapave.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Kështu, ne kemi vërtetuar ligjin e shpërndarjes.

2. Transformimet "thithja" dhe "lidhja"

Shembulli 2. Thjeshtoni shprehjen AÚ A · B

Zgjidhje. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - përthithja

Shembulli 3. Thjeshtoni shprehjen A · B Ú A · - shenjat e mbledhjes logjike;
- shenjat e shumëzimit logjik.
Dhe do të përdoret:
- shenjat e mohimit dhe shumëzimit logjik;
- shenja mohimi dhe shtimi logjik.

Shembulli 5. Transformoni formulën në mënyrë që ajo të mos përdorë shenja logjike shtesë.
Zgjidhje. Le të përdorim ligjin e mohimit të dyfishtë dhe më pas formulën e De Morganit.

Shembulli 6. Transformoni formulën në mënyrë që ajo të mos përdorë shenja logjike shumëzimi.
Zgjidhje. Duke përdorur formulat e de Morganit dhe ligjin e mohimit të dyfishtë marrim:

Këtu: 1 - e vërtetë, 0 - e rreme.

• 1. X: trekëndëshi ABC- me kënd akute. X: Nuk është e vërtetë që trekëndëshi ABC është i mprehtë. Është njësoj si: X: trekëndëshi ABC - i drejtë ose i trashë
• 2. A: Ivanova M. ka marrë 4 në provimin e matematikës: Nuk është e vërtetë që Ivanova M. ka marrë 4 në matematikë.

Përkufizimi: Disjuksioni i pohimeve A dhe B është një pohim AB që është i vërtetë me kushtin që të paktën një nga pohimet A ose B të jetë i vërtetë.

Lexohet "A ose B".

Tabela e së vërtetës për AB

Shembull: 1. Kësaj radhe u paraqit i pandehuri dhe u zhvillua gjykimi. - e vertete

2. B trekëndësh kënddrejtë shuma e çdo dy këndi është më e madhe ose e barabartë me këndin e tretë dhe hipotenuza është më e vogël se këmbët. - gënjeshtër

Përkufizimi: Një nënkuptim i pohimeve A dhe B është një pohim AB që është i gabuar vetëm nëse A është e vërtetë dhe B është e gabuar.

Lexohet: "Nëse A, atëherë B."

Tabela e së vërtetës

Shembull: 1. Nëse e kaloj testin, do të shkoj në kinema.

2. Nëse trekëndëshi është dykëndësh, atëherë këndet në bazën e tij janë të barabartë. Përkufizimi: Ekuivalenti i pohimeve A dhe B është një pohim AB që është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse A dhe B kanë të njëjtën të vërtetë (d.m.th., ose të dyja janë të vërteta ose të dyja janë të gabuara).

Ata lexojnë: "Dhe nëse dhe vetëm nëse B" ose "A është e nevojshme dhe e mjaftueshme për B"

Tabela e së vërtetës

Detyra e dytë, e zgjidhur me anë të algjebrës propozicionale, është të përcaktojë vërtetësinë e një pohimi të caktuar bazuar në përpilimin e formulës së tij (procesi i formalizimit) dhe përpilimi i një tabele të së vërtetës.

Shembull: Nëse Saratov ndodhet në brigjet e Neva, atëherë arinjtë polarë jetojnë në Afrikë.

A: Saratov ndodhet në brigjet e lumit Neva;

Pyetje: Arinjtë polarë jetojnë në Afrikë

Përkufizim: Një formulë që është e vërtetë pavarësisht nga vlerat që marrin variablat propozicionalë të përfshirë në të quhet tautologji ose një formulë identike e vërtetë.

Përkufizimi: Formulat F 1 dhe F 2 quhen ekuivalente nëse ekuivalenti i tyre është një tautologji.

Përkufizim: Nëse formulat F 1 dhe F 2 janë ekuivalente, atëherë fjalitë P 1 dhe P 2 që nisin këto formula quhen ekuivalente në logjikën propozicionale.

Ekuivalencat themelore, më të shpeshta quhen ligjet e logjikës. Le të rendisim disa prej tyre:

• 1. X X - ligji i identitetit
• 2. XL - ligji i kontradiktës
• 3. XI - ligji i përjashtimit të të tretës
• 4. X - ligji i mohimit të dyfishtë

• 5. ligjet e komutativitetit
• 6. X (Y Z) (X Y) Z ligji i asociativitetit

X (Y Z) (X Y) Z ligji i shpërndarjes

7. Ligjet e De Morganit

8. ligjet e artikulimit të një ndryshoreje dhe të një konstante

Duke përdorur ligjet e logjikës, ju mund të transformoni formulat.

4. Nga shumë formula që janë ekuivalente me njëra-tjetrën, le të shqyrtojmë dy. Ky është një lidhës i përsosur formë normale(SCNF) dhe forma normale e përsosur ndarëse (SDNF). Ato janë ndërtuar për një formulë të dhënë bazuar në tabelën e saj të së vërtetës.

Ndërtimi i SDNF:

• - zgjidhen rreshtat që korrespondojnë me vlerat e së vërtetës (1) të kësaj formule;
• -- për çdo rresht të zgjedhur ne krijojmë një lidhje variablash ose mohime të tyre në mënyrë që grupet e vlerave të variablave të paraqitura në rresht të korrespondojnë vlerat e vërteta lidhëzat (për këtë ju duhet të merrni variablat që morën vlerën false (0) në këtë rresht me një shenjë mohimi, dhe variablat që morën vlerën e vërtetë (1) pa mohim);
• -- përpilohet një ndarje e lidhëzave që rezultojnë.

Nga algoritmi rezulton se për çdo formulë është e mundur të ndërtohet një SDNF, dhe, për më tepër, një unike, nëse formula nuk është identike false, d.m.th. duke pranuar vetëm vlera të rreme.

Përpilimi i SKNF kryhet sipas algoritmit të mëposhtëm:

• -- nënvizoni ato rreshta të tabelës në të cilat formula merr vlerën false (0);
• -- nga variablat në secilën rresht të tillë, krijoni një ndarje që duhet të marrë vlerat - false (0). Për ta bërë këtë, të gjitha variablat duhet ta fusin atë me vlerën false, prandaj ato që janë të vërteta (1) duhet të zëvendësohen me mohimin e tyre;
• -- të formojnë një lidhëz nga disjuksionet që rezultojnë.

Natyrisht, çdo formulë që nuk është tautologji ka një SCNF.

SDNF dhe SCNF përdoren për të marrë pasoja nga kjo formulë.

Shembull: Krijoni një tabelë të vërtetësisë së SDNF dhe SCNF për formulën: .

Tabela e së vërtetës së SDNF dhe SKNF

5. Konsideroni formën shprehëse "Lumi derdhet në Detin e Zi". Ai përmban një ndryshore dhe mund të përfaqësohet si "Lumi x derdhet në Detin e Zi".

Në varësi të vlerave të ndryshores X, fjalia është e vërtetë ose e gabuar, d.m.th. specifikohet një hartë e një grupi lumenjsh në një grup me dy elementë. Le të shënojmë këtë hartë, atëherë:

Kështu, ne kemi një funksion, të gjitha vlerat e të cilit i përkasin grupit.

Përkufizimi: Një funksion, të gjitha vlerat e të cilit i përkasin një grupi quhet kallëzues.

Shkronjat që tregojnë kallëzuesin quhen simbole të kallëzuesit.

Kallëzuesit mund të specifikohen:

a) një formulë shprehëse,

b) formula, d.m.th. duke specifikuar interpretimin e simbolit të kallëzuesit,

c) tabela.

1) P - "për të derdhur në Detin e Zi".

Kjo formulë do të thotë se "Lumi a derdhet në Detin e Zi".

• 2) Kallëzuesi P jepet me formulën pohuese: “të jesh numër kryesor në grupin e 15 numrave të parë natyrorë."
• 3) Në formë tabelare, kallëzuesi ka formën:

Fusha e përkufizimit të kallëzuesit mund të jetë çdo grup.

Nëse një kallëzues humbet kuptimin e tij për çdo grup variablash hyrëse, atëherë përgjithësisht pranohet që vlera L i korrespondon këtij grupi.

Nëse një kallëzues përmban një ndryshore, atëherë ai quhet një kallëzues unar, dy ndryshore - një kallëzues i dyfishtë, n ndryshore - një kallëzues n-ar.

Për të përkthyer tekstet në gjuhën e kallëzuesve dhe për të përcaktuar vërtetësinë e tyre, është e nevojshme të futen operacione logjike mbi kallëzuesit dhe kuantifikuesit.

Mbi kallëzuesin kryhen edhe veprimet e mëposhtme: mohim, lidhëz, shkëputje, nënkuptim, ekuivalencë.

Përkufizim: Një nëngrup i bashkësisë M në të cilën është dhënë kallëzuesi P, i përbërë nga ato dhe vetëm ato elemente të M të cilave u korrespondon vlera I e kallëzuesit P, quhet bashkësia e vërtetë e kallëzuesit P.

Përcaktohet grupi i së vërtetës.

Përkufizim: Negimi i kallëzuesit P është një kallëzues që është i rremë për ato grupe vlerash të ndryshueshme që e kthejnë P-në në të vërtetë dhe e vërtetë për ato grupe vlerash të ndryshueshme që e kthejnë P-në në një kallëzues të rremë.

Tregohet mohimi.

Bëhuni student i ABiK.

Të mos jesh student i ABiK-së.

Nëse, atëherë bashkësia, ku M është bashkësia në të cilën janë dhënë kallëzuesit P dhe Q.

Përkufizim: lidhja e kallëzuesve është një kallëzues që është i vërtetë për ato dhe vetëm ato vlera të ndryshoreve të përfshira në të që i bëjnë të vërtetë të dy kallëzuesit.

Bëhu futbollist

Të jesh student

: të jesh futbollist dhe të jesh student.

Përkufizim: një ndarje e kallëzuesit është një kallëzues që është i rremë për ato grupe ndryshoresh të përfshira në të që i bëjnë të dy kallëzuesit false

Jini të barabartë numri natyror

Të jetë një numër natyror tek

: të jetë një numër natyror.

Përkufizimi: Implikimi i kallëzuesit është një kallëzues që është i rremë për ato dhe vetëm ato grupe ndryshoresh të përfshira në të që kthehen në një kallëzues të vërtetë dhe në një të rremë.

Tregohet nga:

Bëhu një numër i thjeshtë në bashkësinë N

Të jetë një numër tek

E gabuar për dhe e vërtetë për numrat e tjerë natyrorë.

Përkufizimi: Ekuivalenca e kallëzuesit është një kallëzues që bëhet i vërtetë nëse të dy kallëzuesit janë të vërtetë ose të dy janë të rremë.

Tregohet nga:

- “të fitosh”, d.m.th. x rreh y

Është më mirë të njohësh historinë e shahut, x di më mirë se y

tregon se x mund y në shah nëse dhe vetëm nëse e njeh më mirë teorinë.

Përkufizimi: Një kallëzues rrjedh nga një kallëzues nëse implikimi është i vërtetë për çdo vlerë të ndryshoreve të përfshira në të.

Tregohen këto: .

Të jesh student

Shkoni në kolegj

Ka 2 mënyra për ta kthyer një kallëzues në një pohim:

1) duke dhënë një ndryshore kuptim specifik

; x - student

Ivanov është student.

2) Bashkëngjitja e sasive - çdo, çdo, çdo

Ka, ka.

Hyrja ku ka vetinë P do të thotë që çdo objekt x ka veçorinë P. Ose në një mënyrë tjetër, "të gjitha x kanë vetinë P".

Hyrja do të thotë se ekziston një objekt x që ka vetinë P.

Logjika, e krijuar si shkencë nga Aristoteli (384-322 p.e.s.), është përdorur gjatë shekujve për të zhvilluar shumë fusha të dijes, duke përfshirë teologjinë, filozofinë dhe matematikën.

Është themeli mbi të cilin është ndërtuar e gjithë godina e matematikës. Në thelb, logjika është shkenca e arsyetimit, e cila lejon dikë të përcaktojë vërtetësinë ose falsitetin e diçkaje. deklaratë matematikore, bazuar në një grup supozimesh parësore të quajtura aksioma. Logjika përdoret gjithashtu në shkencën kompjuterike për të ndërtuar programet kompjuterike dhe dëshmi për korrektësinë e tyre. Konceptet, metodat dhe mjetet e logjikës qëndrojnë në themel të modernes teknologjitë e informacionit. Një nga qëllimet kryesore të kësaj pune është të shtrojë bazat e logjikës matematikore, të tregojë se si përdoret në shkencën kompjuterike dhe të zhvillojë metoda për analizimin dhe vërtetimin e pohimeve matematikore.

Paraqitje logjike - përshkrimi i sistemit, procesit, dukurisë së studiuar në formën e një grupi deklarata komplekse e përbërë nga pohime të thjeshta (elementare). Dhe lidhjet logjike mes tyre. Paraqitjet logjike dhe përbërësit e tyre karakterizohen nga veti të caktuara dhe një sërë transformimesh të lejueshme mbi to (operacione, rregulla konkluzionesh, etj.), duke zbatuar ato të zhvilluara në formale (matematikore) logjikës metodat e sakta arsyetimi - ligjet e logjikës.

Koncepti i shqiptimit

deklaratë a është kjo një deklaratë apo fjali deklarative, që mund të thuhet se është e vërtetë ose e rreme. Me fjalë të tjera, një deklaratë për të vërtetën ose falsitetin e një deklarate duhet të ketë kuptim. E vërteta ose falsiteti që i atribuohet një deklarate quhet e saj vlera e së vërtetës, ose vlera e së vërtetës.

Për shembull, deklaratat Dy nga dy janë katër Dhe Qyteti i Chelyabinsk ndodhet në pjesën aziatike të Rusisë të vërteta dhe deklarata Tre është më shumë se pesë Dhe Lumi Don aktualisht derdhet në Detin Kaspik janë false sepse nuk janë të vërteta. Deklaratat e vërteta zakonisht shënohen T (e vërtetë) ose DHE (e vërtetë), dhe e rreme, respektivisht, F (i rremë) ose L (gënjeshtër). Në shkencën kompjuterike, e vërteta zakonisht shënohet me 1 (një binar), dhe false me 0 (zero binar).

Këtu janë shembuj të fjalive që nuk janë deklarata:

Kush je ti?(pyetje),

Lexoni këtë kapitull më parë mësimi i ardhshëm (urdhër ose pasthirrmë)

Kjo deklaratë është e rreme(deklaratë e brendshme kontradiktore),

Sipërfaqja e segmentit është më e vogël se gjatësia e kubit(është e pamundur të thuhet nëse kjo fjali është e vërtetë apo e rreme, sepse nuk ka kuptim).

Ne do t'i tregojmë deklaratat me shkronja Alfabeti latin R, q, r, Për shembull, R mund të nënkuptojë një deklaratë Do të bjerë shi nesër, A q- deklaratë Katrori i një numri të plotë është një numër pozitiv.

Lidhjet logjike

Në fjalimin e përditshëm për edukim fjali e ndërlikuar nga ato të thjeshtat përdoren lidhëza - pjesë të veçanta të të folurit që lidhin oferta individuale. Lidhëset më të përdorura Dhe, ose, Jo, Nëse ... Se, nëse vetëm, Dhe atëherë dhe vetëm atëherë. Ndryshe nga fjalimi i zakonshëm, në logjikë kuptimi i lidhjeve të tilla duhet të përcaktohet pa mëdyshje. E vërteta e një deklarate komplekse përcaktohet në mënyrë unike nga e vërteta ose falsiteti i pjesëve përbërëse të saj. Një deklaratë që nuk përmban lidhëza quhet thjeshtë. Një deklaratë që përmban lidhjet quhet komplekse. Lidhjet logjike quajtur edhe operacionet logjike mbi deklaratat.

Le R Dhe q qëndrojnë për deklarata

r: Jane drejton një makinë,

P: Bob ka flokë kafe.

Deklaratë komplekse

Jane drejton një makinë dhe Bob ka flokë kafe përbëhet nga dy pjesë të lidhura me një lidhje Dhe. Kjo deklaratë mund të shkruhet simbolikisht si

ku simboli përfaqëson fjalën Dhe në gjuhën e shprehjeve simbolike. Shprehja quhet lidhja e propozimeve R Dhe q.

Gjenden gjithashtu variantet e mëposhtme të shkrimit të lidhëzës:

Pikërisht e njëjta deklaratë

Jane drejton një makinë ose Bob ka flokë kafe.

shprehur simbolikisht si

ku eshte fjala ose të përkthyer në gjuhë simbolike. Shprehja quhet disjuksion propozicional R Dhe q.

Përgënjeshtrimi ose mohimi i një deklarate fq shënohet me

Kështu, nëse R ka një deklaratë Jane drejton një makinë, atëherë kjo është një deklaratë Jane nuk drejton një makinë.

Nëse r ka një deklaratë Joe pëlqen shkenca kompjuterike, Kjo Jane nuk vozit dhe Bob ka flokë kafe ose Joe i pëlqen shkenca kompjuterike simbolikisht do të shkruhet si

.

Anasjelltas, shprehja

kjo është një formë simbolike e regjistrimit të një deklarate Jane drejton një makinë, Bob nuk ka flokë kafe dhe Joe pëlqen shkenca kompjuterike..

Le të shqyrtojmë shprehjen. Nëse dikush thotë: " Jane drejton një makinë dhe Bob ka flokë kafe.", atëherë natyrshëm imagjinojmë Xhejnin duke drejtuar një makinë dhe Bobin me flokë të hapur. Në çdo situatë tjetër (për shembull, nëse Bob nuk është me flokë kafe ose Jane nuk drejton një makinë), ne do të themi se folësi e ka gabim.

Ka katër raste të mundshme që duhet t'i shqyrtojmë. deklaratë R mund te jete e vertete ( T) ose e rreme ( F) dhe pavarësisht nga vlera e së vërtetës që merr R, deklaratë q mund te jete edhe e vertete ( T) ose e rreme ( F). Tabela e së vërtetës liston gjithçka kombinime të mundshme e vërteta dhe falsiteti i pohimeve komplekse.

Pra, një lidhje është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse të dy pohimet janë të vërteta fq Dhe q, pra në rastin 1.

Në të njëjtën mënyrë, merrni parasysh deklaratën Jane drejton një makinë ose Bob ka flokë kafe, e cila simbolikisht shprehet si . Nëse dikush thotë: "Jane drejton një makinë ose Bob ka flokë kafe", atëherë ai do të gabojë vetëm nëse Jane nuk mund të drejtojë një makinë dhe Bob nuk është me flokë kafe. Që i gjithë pohimi të jetë i vërtetë, mjafton që një nga dy përbërësit e tij të jetë i vërtetë. Prandaj ajo ka një tabelë të së vërtetës

Ndarja është e rreme vetëm në rastin 4, kur të dyja R Dhe q i rremë.

Tabela e së vërtetës për mohimin duket si

Vlera e së vërtetës është gjithmonë e kundërta e vlerës së vërtetës p. Në tabelat e së vërtetës, mohimi vlerësohet gjithmonë i pari, përveç nëse shenja e mohimit pasohet nga një deklaratë e mbyllur në kllapa. Prandaj interpretohet si , kështu që mohimi vlen vetëm për R. Nëse duam të mohojmë të gjithë deklaratën, atëherë ajo shkruhet si .

Personazhet thirren binare lidhoret sepse lidhin dy pohime. Simboli ~ është unare lidhore sepse vlen vetëm për një thënie.

Një lidhje tjetër binare është ekskluzive ose, e cila shënohet me . Deklarata është e vërtetë kur është e vërtetë fq ose q, por jo të dyja në të njëjtën kohë. Kjo lidhje ka një tabelë të së vërtetës

Duke përdorur fjalën ose, mund të nënkuptojmë ekskluzive ose. Për shembull, kur themi këtë R- ose e vërtetë ose e rreme, atëherë, natyrisht, supozojmë se kjo nuk është e vërtetë në të njëjtën kohë. Në logjikë ekskluzive ose Përdoret mjaft rrallë, dhe në të ardhmen ne, si rregull, do të bëjmë pa të.

Merrni parasysh deklaratën

,

ku kllapat përdoren për të treguar se cilat pohime janë përbërës të çdo lidhësi.

Tabela e së vërtetës bën të mundur që të tregohen pa mëdyshje ato situata kur deklarata është e vërtetë; duke bërë këtë, ne duhet të jemi të sigurt që të gjitha rastet janë marrë parasysh. Meqenëse një deklaratë komplekse përmban tre pohime kryesore R, q Dhe r, atëherë janë të mundshme tetë raste

Po ndodh	fq	q	r
	T	T	T	F	F	T
	T	T	F	F	F	T
	T	F	T	T	T	T
	T	F	F	T	F	T
	F	T	T	F	F	F
	F	T	F	F	F	F
	F	F	T	T	T	T
	F	F	F	T	F	F

Kur gjejmë vlerat e së vërtetës për një kolonë, ne përdorim kolonat për dhe r, si dhe tabelën e së vërtetës për . Tabela e së vërtetës për tregon se një pohim është i vërtetë vetëm nëse të dy pohimet dhe r. Kjo ndodh vetëm në rastet 3 dhe 7.

Vini re se kur përcaktoni vlerat e së vërtetës për një kolonë vetëm e vërteta e deklaratave ka rëndësi fq Dhe . Tabela e së vërtetës për tregon se i vetmi rast kur një deklaratë formohet duke përdorur lidhësin ose, e gabuar, është rasti kur të dyja anët e pohimit janë të rreme. Kjo situatë ndodh vetëm në rastet 5, 6 dhe 8.

Një tjetër, mënyrë ekuivalente ndërtimi i një tabele të së vërtetës konsiston në shënimin e vlerave të së vërtetës së shprehjes nën lidhësin. Konsideroni përsëri shprehjen . Fillimisht shkruajmë vlerat e së vërtetës nën variabla R, q Dhe r. Ato nën kolonat e vlerës së së vërtetës tregojnë se atyre kolonave u caktohen së pari vlerat e së vërtetës. NË rast i përgjithshëm numri poshtë kolonës do të tregojë numrin e hapit në të cilin llogariten vlerat përkatëse të së vërtetës. Më pas shkruajmë vlerat e vërteta të deklaratës nën simbolin ~. Më pas, ne shkruajmë vlerat e së vërtetës nën simbol. Së fundi, ne shkruajmë kuptimin e deklaratës nën simbol.

1.1.3. Deklarata të kushtëzuara

Supozoni se dikush pretendon se nëse ndodh një ngjarje, atëherë do të ndodhë një tjetër. Supozoni se një baba i thotë djalit të tij: Nëse i kalon të gjitha provimet këtë semestër me nota të shkëlqyera, do të të blej një makinë. Vini re se deklarata duket si kjo: nëse p atëherë q, Ku R- deklaratë Këtë semestër do t'i kaloni të gjitha provimet me nota të shkëlqyera., A q- deklaratë Unë do t'ju blej një makinë. Ne shënojmë një deklaratë komplekse në mënyrë simbolike me . Pyetja është, në çfarë kushtesh babai thotë të vërtetën? Supozoni deklarata R Dhe q janë të vërteta. Në këtë rast, studenti i lumtur merr nota të shkëlqyera në të gjitha lëndët dhe babai i tij i befasuar këndshëm i blen një makinë. Natyrisht, askush nuk dyshon në faktin se deklarata e babait ishte e vërtetë. Megjithatë, ka edhe tre raste të tjera që duhet të merren parasysh. Le të themi se studenti arriti vërtet rezultate të shkëlqyera, por babai i tij nuk i bleu një makinë.

Gjëja më e mirë që mund të thuhet për babain në këtë rast është se ai gënjeu. Prandaj, nëse R e vërtetë, por q e rreme, pastaj e rreme. Le të supozojmë tani se studenti nuk mori nota pozitive, por babai i tij megjithatë i bleu një makinë. Në këtë rast, babai shfaqet shumë bujar, por nuk mund të quhet gënjeshtar. Prandaj, nëse R false dhe q e vërtetë, pastaj deklarata nëse p atëherë q(d.m.th.) është e vërtetë. Së fundi, supozoni se studenti nuk arriti rezultate të shkëlqyera dhe babai i tij nuk i bleu një makinë.

Duke qenë se studenti nuk ka përmbushur pjesën e tij të marrëveshjes, edhe babai është i lirë nga detyrimi. Kështu, nëse R Dhe q janë të rreme, pastaj konsiderohen të vërteta. Kështu, e vetmja herë që babai gënjeu ishte kur bëri një premtim dhe nuk e mbajti atë.

Kështu, tabela e së vërtetës për deklaratën ka formën

Simboli quhet nënkuptim, ose lidhore e kushtëzuar.

Kjo mund të duket të jetë shkakësore, por nuk është e nevojshme. Për të parë mungesën e shkakut dhe pasojës në nënkuptim, le të kthehemi te shembulli në të cilin R ka një deklaratë Jane drejton makinën, A q- deklaratë Bob ka flokë kafe. Pastaj deklarata Nëse Jane drejton një makinë, atëherë Bob ka flokë kafe do të shkruhet si

Nëse fq, Kjo q ose si.

Fakti që Jane drejton një makinë nuk ka asnjë lidhje shkakësore me faktin që Bob është me flokë kafe. Sidoqoftë, duhet mbajtur mend se e vërteta ose falsiteti i një deklarate komplekse binare varet vetëm nga vërtetësia e pjesëve përbërëse të saj dhe nuk varet nga prania ose mungesa e ndonjë lidhjeje ndërmjet tyre.

Le të shqyrtojmë shembulli tjetër. Ju duhet të gjeni tabelën e së vërtetës për shprehjen

.

Duke përdorur tabelën e së vërtetës për , të dhënë më sipër, le të ndërtojmë fillimisht tabela të së vërtetës për dhe , duke marrë parasysh se nënkuptimi është i rremë vetëm në rastin kur .

Tani ne përdorim tabelën për për të marrë për deklaratën

tabela e së vërtetës

Një deklaratë e formës shënohet me . Simboli quhet ekuivalente. Ekuivalenca shënohet ndonjëherë edhe si (të mos ngatërrohet me operatorin e mohimit unar).

Ndër vlerat e mundshme të së vërtetës së një ndryshoreje gjuhësore e vërteta dy kuptime tërheqin Vëmendje e veçantë, përkatësisht grupi i zbrazët dhe intervali i njësisë, të cilat i përgjigjen më të vogël dhe elementet më të mëdha(në lidhje me përfshirjen) të një rrjete nënbashkësish fuzzy të intervalit. Rëndësia e këtyre vlerave të veçanta të së vërtetës është për faktin se ato mund të interpretohen si vlera të së vërtetës të papërcaktuara Dhe i panjohur përkatësisht. Për lehtësi, ne do t'i shënojmë këto vlera të së vërtetës me simbolet dhe, duke kuptuar se dhe përcaktohen nga shprehjet

Vlerat i panjohur Dhe të papërcaktuara, të interpretuara si shkallë të anëtarësimit, përdoren gjithashtu në përfaqësim grupe të paqarta lloji 1. Në këtë rast, ekzistojnë tre mundësi për të shprehur shkallën e anëtarësimit të një pike në: 1) një numër nga intervali; 2) ( të papërcaktuara); 3) (i panjohur).

Le të shohim një shembull të thjeshtë. Le

Le të marrim një nëngrup fuzzy të një grupi të formës

Në këtë rast, shkalla e anëtarësimit të një elementi në grup është i panjohur, dhe shkalla e anëtarësimit është të papërcaktuara. Në një rast më të përgjithshëm mund të jetë

ku nënkuptohet se shkalla e anëtarësimit të një elementi në një grup është pjesërisht e panjohur dhe anëtari interpretohet si më poshtë:

. (6.56)

Është e rëndësishme të kuptohet qartë ndryshimi midis dhe. Kur themi se shkalla e anëtarësimit të një pike në një bashkësi është , nënkuptojmë se funksioni i anëtarësimit nuk është përcaktuar në pikën . Supozoni, për shembull, që është bashkësia e numrave realë, dhe është një funksion i përcaktuar në bashkësinë e numrave të plotë, dhe , nëse - çift, dhe , nëse - tek. Atëherë shkalla e anëtarësimit të një numri në bashkësi është , dhe jo 0. Nga ana tjetër, nëse do të ishte përcaktuar në bashkësinë e numrave realë dhe nëse dhe vetëm nëse - numër çift, atëherë shkalla e anëtarësimit të numrit në bashkësi do të ishte e barabartë me 0.

Meqenëse ne mund të llogarisim vlerat e vërteta të pohimeve Dhe, ose Dhe Jo duke pasur parasysh vlerat e së vërtetës gjuhësore të pohimeve dhe, është e lehtë të llogariten vlerat e , , , kur . Supozoni, për shembull, atë

, (6.57)

. (6.58)

Duke zbatuar parimin e përgjithësimit si në (6.25), marrim

, (6.59)

Pas thjeshtimit, (6.59) reduktohet në shprehje

. (6.61)

Me fjalë të tjera, vlera e së vërtetës së një deklarate Dhe, Ku , është një nënbashkësi fuzzy e intervalit, shkalla e anëtarësimit të së cilës pika është e barabartë me (funksionin e anëtarësimit) në interval.

Oriz. 6.4. Lidhja dhe shkëputja e vlerave të së vërtetës së një deklarate me vlerën e së vërtetës të panjohur ().

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë se vlera e së vërtetës së deklaratës ose shprehur si

. (6.62)

Duhet të theksohet se shprehjet (6.61) dhe (6.62) mund të merren lehtësisht duke përdorur procedurën grafike të përshkruar më sipër (shih (6.38) e në vazhdim). Një shembull që ilustron këtë është paraqitur në Fig. 6.4.

Duke iu kthyer rastit, gjejmë

(6.63)

dhe në mënyrë të ngjashme për.

Është udhëzuese të vëzhgojmë se çfarë ndodh me marrëdhëniet e mësipërme kur i zbatojmë ato në një rast të veçantë të logjikës me dy vlera, domethënë në rastin kur bashkësia universale ka formën

ose në një formë më të njohur

ku do të thotë e vërtetë, A - i rremë. Meqenëse ka , ne mund të identifikojmë vlerën e së vërtetës i panjohur me kuptim e vërtetë ose i rremë, d.m.th.

Logjika që rezulton ka katër vlera të së vërtetës, , , dhe , dhe është një përgjithësim i logjikës me dy vlera në kuptimin e vërejtjes 6.5.

Meqenëse grupi universal i vlerave të së vërtetës përbëhet nga vetëm dy elementë, këshillohet që të ndërtohen tabela të së vërtetës për operacionet, dhe në këtë logjikë me katër vlera drejtpërdrejt, d.m.th., pa përdorur formulat e përgjithshme(6.25), (6.29) dhe (6.31). Kështu, duke zbatuar parimin e përgjithësimit për operacionin, ne marrim menjëherë

prej nga rrjedh detyrimisht se

Në këtë rrugë vijmë përkufizimi i zakonshëm lidhjet ⟹ në logjikën me dy vlera në formën e tabelës së mëposhtme të së vërtetës:

Siç tregon shembulli i diskutuar më sipër, koncepti i vlerës së së vërtetës i panjohur në kombinim me parimin e përgjithësimit, ndihmon për të kuptuar disa nga konceptet dhe marrëdhëniet e logjikave të zakonshme me dy dhe tre vlera. Këto logjika, natyrisht, mund të konsiderohen si raste të degjeneruara të logjikës fuzzy, në të cilën vlera e së vërtetës i panjohurështë i gjithë intervali i njësisë, jo grupi 0 + 1.