Nga cili funksion karakterizohet një grup fuzzy? Shembuj të grupeve fuzzy

Le të jetë X një bashkësi universale (bazë), x një element i X dhe R të jetë një pronë. Një nëngrup i zakonshëm (i freskët) A i një bashkësie universale X, elementët e të cilit plotësojnë vetinë R, përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura
A = μ A x / x, ku μ A x është një funksion karakteristik që merr vlerën 1 nëse x plotëson vetinë R, dhe 0 përndryshe.

Nëngrupi Fuzzy është i ndryshëm nga tema të rregullta se për elementët x të X nuk ka një përgjigje të qartë po-jo në lidhje me vetinë R. Në këtë drejtim, një nëngrup fuzzy A i një grupi universal X përkufizohet si një grup çiftesh të renditura A = μ A x / x, ku μ A x - funksioni karakteristik i anëtarësimit(ose thjesht funksion anëtarësimi), duke marrë vlera në disa grupe të renditura plotësisht M = 0;

1. Funksioni i anëtarësimit tregon shkallën (ose nivelin) e anëtarësimit të një elementi x në një nëngrup A. Bashkësia M quhet bashkësia e anëtarësimit. Nëse M = 0 ; 1, atëherë nëngrupi fuzzy A mund të konsiderohet si një grup i zakonshëm ose i qartë. Shkalla e anëtarësimit μ A x është një masë subjektive e asaj se sa një element x ∈ X korrespondon me konceptin, kuptimi i të cilit është zyrtarizuar nga grupi fuzzy A. Transportuesi Bashkësia fuzzy A është një nënbashkësi e qartë S A e bashkësisë universale X me vetinë μ A x > 0, d.m.th.

Nëse bartësi i një grupi fuzzy A është një nëngrup diskrete S A, atëherë nëngrupi fuzzy A i një grupi universal X i përbërë nga n elementë mund të përfaqësohet si një bashkim numër i kufizuar grupe njëpikëshe μ A x / x duke përdorur simbolin ∑ : A = ∑ i = 1 n μ A x i / x i . Kjo nënkupton që elementët x i janë të renditur në rend rritës në përputhje me indekset e tyre, d.m.th.< x 2 < x 3 < … < x n .

x 1

Nëse bartësi i një grupi fuzzy A është një nëngrup i vazhdueshëm S A, atëherë nëngrupi fuzzy A i grupit universal X, duke e konsideruar simbolin ∫ si një analog të vazhdueshëm të simbolit të bashkimit të prezantuar më sipër për grupe diskrete fuzzy ∑, mund të përfaqësohet si një bashkimi i një numri të pafund grupesh me një pikë μ A x / x:

A = ∫ X μ A x / x. Shembull.

Lëreni grupin universal X të korrespondojë me grupin e vlerave të mundshme të trashësisë së produktit nga 10 mm në 40 mm me një hap të veçantë prej 1 mm. Grupi fuzzy A, që korrespondon me konceptin fuzzy të "trashësisë së vogël të produktit", mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme:

A = 1/10;

0,9/11; 0.8/12; 0,7/13;

0,5/14;

0,3 / 15 ; 0,1 / 16 ; 0/17;

... ; 0/40 A = 1 / 10 + 0,9 / 11 + 0,8 / 12 + 0,7 / 13 + 0,5 / 14 + 0,3 / 15 + 0,1 / 16 + 0 / 17 + … + 0 / 40,

ku shenja e përmbledhjes tregon një mosveprim

A = ∫ X μ A x / x. mbledhje aritmetike

, por duke kombinuar elementë në një grup. Bartësi i grupit fuzzy A do të jetë një nënbashkësi e fundme (bartës diskrete): Paraqitja grafike grup fuzzy i vogël

Bashkësia fuzzy A quhet final, nëse mbështetja e tij S A është një grup i kufizuar i qartë. Në këtë rast, për analogji me grupet e zakonshme, mund të themi se një grup i tillë fuzzy ka një kartë të fundme A = kartë S A. Bashkësia fuzzy A quhet pafund, nëse mbështetja e tij S A nuk është një grup i kufizuar i qartë. Në të njëjtën kohë të numërueshme një grup fuzzy do të quhet një grup fuzzy me një medium të numërueshëm që ka duke numëruar fuqinë në kuptimin e zakonshëm për sa i përket teorisë së grupeve të qarta, d.m.th. nëse S A përmban numër i pafund elemente, të cilat megjithatë mund të numërohen me numrat natyrorë 1,2,3. .. , dhe është thelbësisht e pamundur të arrihet elementi i fundit gjatë numërimit. I panumërueshëm

A = ∫ X μ A x / x. një grup fuzzy do të quhet një grup fuzzy me një bartës të panumërueshëm që ka fuqia e panumërueshme e vazhdimësisë , d.m.th. nëse S A përmban një numër të pafund elementësh që nuk mund të numërohen me numra natyrorë 1,2,3.. . Koncepti i paqartë

A = ∫ X μ A x / x."një numër shumë i vogël detajesh" mund të përfaqësohet si një grup fuzzy i fundëm A = 1 / 0 + 0,9 / 1 + 0,8 / 2 + 0,7 / 3 + 0,5 / 4 + 0,1 / 5 + 0 / 6 + ... me fuqia e kartës (A) = 6 dhe bartësi S A = 0 ;

1 ; 2 ; 3;

4 ; 5, i cili është një grup i kufizuar i freskët. Koncepti i paqartë i "shumë numër i madh detajet" mund të përfaqësohen si A = 0 / 0 + … + 0,1 / 1 0 + 0,4 / 11 + 0,7 / 12 + 0,9 / 13 + 1 / 14 + 1 / 15 + … + 1 / n + … , n ∈ N – grup fuzzy me mbështetje të pafundme të numërueshme S A ≡ N (bashkë numrat natyrorë< 1 ), i cili ka fuqi të numërueshme në kuptimin e zakonshëm.

Një grup fuzzy i panumërueshëm Një që korrespondon me konceptin fuzzy "shumë nxehtë" përcaktohet në grupin universal të vlerave të temperaturës (në Kelvin) nga temperatura x ∈ [ 0 ; ∞) dhe funksioni i anëtarësimit μ A = 1 − e − x , me mbështetje S A ≡ R + (bashkësia e numrave realë jonegativë), i cili ka fuqi vazhdimësie të panumërueshme. Sasia sup x ∈ X μ A x quhet

Një grup nënnormal jo bosh mund të normalizohet gjithmonë duke pjesëtuar të gjitha vlerat e funksionit të anëtarësimit me vlerën e tij maksimale μ A x sup x ∈ X μ A x.

Një grup fuzzy i panumërueshëm Një që korrespondon me konceptin fuzzy "shumë nxehtë" përcaktohet në grupin universal të vlerave të temperaturës (në Kelvin) nga temperatura x ∈ [ 0 ; njëmodale, nëse μ A x = 1 për vetëm një pikë x ( modës) e bashkësisë universale X.

Një grup fuzzy i panumërueshëm Një që korrespondon me konceptin fuzzy "shumë nxehtë" përcaktohet në grupin universal të vlerave të temperaturës (në Kelvin) nga temperatura x ∈ [ 0 ; pikë, nëse μ A x > 0 vetëm për një pikë x të bashkësisë universale X.

Shumë α - niveli Bashkësia fuzzy A e përcaktuar në një bashkësi universale X quhet një nëngrup i qartë A α i grupit universal X, i përcaktuar si:

A α = x ∈ X ∣ μ A x ≥ α, ku α ∈ 0;

A = ∫ X μ A x / x. 1.

A = 0,8 / 1 + 0,6 / 2 + 0,2 / 3 + 1 / 4 , A 0,5 = 1 ; 2 ; 4, ku A 0.5 është një grup i qartë, duke përfshirë ato elemente x të çifteve të renditura μ ​​A x / x që përbëjnë grupin fuzzy A, për të cilin vlera e funksionit të anëtarësimit plotëson kushtin μ A x ≥ α.

Për grupet e nivelit α vlen sa vijon: pronë e radhës: nëse α 1 ≥ α 2, atëherë fuqia e nëngrupit A α 1 nuk është më e madhe se fuqia e nëngrupit A α 2.

Elementet x ∈ X për të cilët thirren μ A x = 0,5 pikat e tranzicionit

grup i paqartë A. Bërthama< μ A x < 1 .

A = ∫ X μ A x / x. një grup fuzzy A i përcaktuar në një grup universal X quhet një bërthamë e qartë e vendosur A, elementët e së cilës plotësojnë kushtin bërthamë A = x ∈ X ∣ μ A x = 1.

Kufiri i një grupi të paqartë A i përcaktuar në një grup universal X quhet një grup ballor i mprehtë A, elementët e të cilit plotësojnë kushtin përpara A = x ∈ X ∣ 0 Le të X = 0;< x < b ; x , a , b ∈ X (рис.2.3).

1 ;

Sipas traditës, grupet e qarta zakonisht ilustrohen nga rrathë me kufij të theksuar qartë. Kompletet fuzzy janë rrathë të formuar nga pika individuale: në qendër të rrethit ka shumë pika, dhe më afër periferisë dendësia e tyre zvogëlohet në zero; rrethi duket se është i hijezuar në skajet. "Grupe të tilla të paqarta" mund të shihen... në një poligon qitjeje - në murin ku janë varur objektivat. Forma e shenjave të plumbave e rastit grupe matematika e të cilave është e njohur. Doli që aparati i zhvilluar prej kohësh i grupeve të rastit është i përshtatshëm për të operuar me grupe fuzzy ...

Koncepti i një grupi fuzzy - një përpjekje formalizimi matematik informacion fuzzy me qëllim përdorimin e tij në ndërtimin e modeleve matematikore sisteme komplekse. Ky koncept bazohet në idenë që elementet që përbëjnë një grup të caktuar dhe kanë pronë e përbashkët, mund ta kenë këtë veti në shkallë të ndryshme dhe, për rrjedhojë, i përkasin një grupi të caktuar me shkallë të ndryshme.

Një nga mënyrat më të thjeshta përshkrimi matematik grup fuzzy - karakterizimi i shkallës së anëtarësimit të një elementi në një grup nga një numër, për shembull, nga intervali. Le X– një grup i caktuar elementesh. Në vijim do të shqyrtojmë nëngrupet e këtij grupi.

Kompleti fuzzy A në X quhet një koleksion çiftesh të formës ( x, m A(x)), Ku xÎX, dhe m A– funksioni x®, i quajtur funksion anëtarësimi grup fuzzy A. m vlera A(x) këtë funksion për një specifik x quhet shkalla e anëtarësimit të këtij elementi në bashkësinë fuzzy A.

Siç mund të shihet nga ky përkufizim, një grup fuzzy përshkruhet plotësisht nga funksioni i tij i anëtarësimit, kështu që ne shpesh do ta përdorim këtë funksion si një emërtim për një grup fuzzy.

Grupet e zakonshme përbëjnë një nënklasë të klasës së grupeve fuzzy. Në të vërtetë, funksioni i anëtarësimit të një grupi të zakonshëm BÌ Xështë funksioni i tij karakteristik: m B(x)=1 nëse xÎ B dhe m B(x)=0 nëse xÏ B. Pastaj, në përputhje me përkufizimin e një grupi fuzzy, grupi i zakonshëm NË mund të përkufizohet gjithashtu si një grup çiftesh të formës ( x, m B(x)). Kështu, një grup fuzzy është më shumë koncept i gjerë se një grup i zakonshëm, në kuptimin që funksioni që i përkasin fuzzy një grup, në përgjithësi, mund të jetë një funksion arbitrar apo edhe një hartë arbitrare.

po flasim grup fuzzy. Dhe shumë cfare? Nëse jemi konsistent, duhet të themi se një element i një grupi fuzzy rezulton të jetë... një grup i ri fuzzy grupesh të reja fuzzy, etj. Le të kthehemi tek shembull klasik- Për të grumbull drithi. Një element i këtij grupi fuzzy do të jetë milion kokrra, Për shembull. Por një milion kokrra nuk është aspak e qartë element, dhe e re grup fuzzy. Në fund të fundit, kur numëroni kokrra (me dorë ose automatikisht), nuk është për t'u habitur të bëni një gabim - duke marrë 999,997 kokrra si një milion, për shembull. Këtu mund të themi se elementi 999,997 ka një vlerë të funksionit të anëtarësimit për grupin "milion" të barabartë me 0.999997. Për më tepër, vetë kokrra nuk është përsëri një element, por një grup i ri i paqartë: ka një kokërr të plotë, dhe ka dy kokrra të shkrira, një kokërr të pazhvilluar ose thjesht një lëvore. Gjatë numërimit të kokrrave, njeriu duhet të refuzojë disa, të marrë dy kokrra si një dhe në një rast tjetër një kokërr si dy. Një grup i paqartë nuk është aq i lehtë për t'u futur në një kompjuter dixhital me gjuhë klasike: elementët e një grupi (vektori) duhet të jenë vargje të reja vargjesh (vektorë të mbivendosur dhe matrica, nëse flasim për Mathcad). Matematika klasike e grupeve të qarta (teoria e numrave, aritmetika, etj.) është grepi me anë të së cilës njeri i arsyeshëm fiksohet (përcaktohet) në botën e rrëshqitshme e të paqartë që e rrethon. Dhe një grep, siç e dini, është një mjet mjaft i papërpunuar, shpesh duke prishur atë që ngjitet. Termat që përfaqësojnë grupe të paqarta - "shumë", "pak", "pak", etj. etj. - është e vështirë ta "mbushësh" atë në një kompjuter edhe sepse ata në varësi të kontekstit. Është një gjë t'i thuash "Më jep disa fara" një personi që ka një gotë fara, dhe një gjë tjetër t'i thuash një personi që ulet pas timonit të një kamioni me fara.

Nëngrupi fuzzy A grupe X karakterizohet nga funksioni i anëtarësimit m A:X→, i cili cakton çdo element xÎ X numri m A(x) nga intervali që karakterizon shkallën e anëtarësimit të elementit X nëngrup A. Për më tepër, 0 dhe 1 përfaqësojnë, përkatësisht, më të ulëtin dhe shkallën më të lartë përkatësia e një elementi në një nëngrup specifik.

Le të japim përkufizimet bazë.

· Vlera sup m A(x) thirrur 2 ; grup fuzzy A. Komplet fuzzy A 5, i cili është një grup i kufizuar i freskët. Koncepti i paqartë i "shumë , nëse lartësia e tij është 1 , d.m.th. kufiri i sipërm i funksionit të anëtarësimit të tij është 1. Kur hahet mA(x)<1 grup fuzzy quhet ), i cili ka fuqi të numërueshme në kuptimin e zakonshëm.

Një grup fuzzy quhet ∞) dhe funksioni i anëtarësimit μ A = 1 − e − x , me mbështetje S A ≡ R + (bashkësia e numrave realë jonegativë), i cili ka fuqi vazhdimësie të panumërueshme., nëse funksioni i tij i anëtarësimit është i barabartë me zero në të gjithë grupin X, d.m.th. m 0 (x)= 0 " xÎ X.

Komplet fuzzy bosh , Nëse " xÎ E m A ( x)=0 . Një grup nënnormal jo i zbrazët mund të normalizohet nga formula

(Fig. 1).

Fig.1. Normalizimi i një grupi fuzzy me një funksion anëtarësimi. .

1. Funksioni i anëtarësimit tregon shkallën (ose nivelin) e anëtarësimit të një elementi x në një nëngrup A. Bashkësia M quhet bashkësia e anëtarësimit. Nëse M = 0 ; grup fuzzy A(emërtimi supp A) me funksion anëtarësimi m A(x) quhet një grup i formës suppA={x|xÎ X, m A(x)> 0). Për aplikime praktike bartësit e grupeve fuzzy janë gjithmonë të kufizuar. Kështu, bartësi i një grupi fuzzy të mënyrave të pranueshme për një sistem mund të jetë një nëngrup i qartë (interval), për të cilin shkalla e pranueshmërisë nuk është e barabartë me zero (Fig. 2).

Oriz. 3. Bërthama, bartës dhe α- seksion i një grupi fuzzy

Kuptimi α thirrur α - niveli. Transportuesi (kerneli) mund të konsiderohet si një seksion i një grupi fuzzy në zero (njësi) α - niveli.

Oriz. 3 ilustron përkufizimet bartës, bërthamë,α - seksionet dheα - niveli grup fuzzy.

Shënim: Leksioni paraqet metodat e modelimit detyrat ekonomike duke përdorur grupe fuzzy në mjedisin Mathcad. Prezantohen konceptet bazë të teorisë së bashkësive fuzzy. Shembujt tregojnë operacionet mbi grupet dhe llogaritjen e vetive. Janë marrë në konsideratë problemet origjinale në të cilat përdoret një qasje e grupit fuzzy në procesin e vendimmarrjes. Teknika e modelimit zbatohet duke përdorur matrica nga programi Mathcad.

Qëllimi i ligjëratës. Prezantoni grupe fuzzy. Mësoni të parashtroni një problem për ndërtimin e një modeli të grupit fuzzy. Tregoni se si të ndërtoni grupe fuzzy dhe të kryeni veprime mbi to në Mathcad. Paraqisni metoda për zgjidhjen e një modeli të grupeve fuzzy në procesin e zgjidhjes së problemeve.

6.1 Modelimi me grup fuzzy

Kur modeloni një klasë të gjerë objektesh reale, bëhet e nevojshme të merren vendime në kushtet e informacionit jo të plotë të paqartë. Drejtim modern premtues i modelimit lloje të ndryshme pasiguria është teoria e bashkësive fuzzy. Brenda kuadrit të teorisë së grupeve fuzzy, janë zhvilluar metoda për formalizimin dhe modelimin e arsyetimit njerëzor, koncepte të tilla si "pak a shumë nivel të lartë inflacioni”, “pozicioni i qëndrueshëm në treg”, “më i vlefshëm” etj.

Koncepti i grupeve fuzzy u propozua për herë të parë nga shkencëtari amerikan L.A. Zade (1965). Idetë e tij kontribuan në zhvillimin e logjikës fuzzy. Ndryshe nga logjika standarde me dy gjendje binare (1/0, Po / Jo, E vërtetë / E gabuar), logjika fuzzy ju lejon të përcaktoni vlerat e ndërmjetme midis vlerësimeve standarde. Shembuj të vlerësimeve të tilla janë: "më shumë gjasa po se jo", "ndoshta po", "pak djathtas", "shpresë majtas", në ndryshim nga ato standarde: "në të djathtë" ose "në të djathtë". majtas”, “po”. Në teorinë e bashkësive fuzzy, numrat fuzzy prezantohen si nënbashkësi fuzzy lloj i specializuar, që korrespondon me pohime si "vlera e ndryshores është afërsisht e barabartë me a". Si shembull, merrni parasysh një numër fuzzy trekëndësh, ku dallohen tre pika: minimumi i mundshëm, më i prituri dhe maksimumi. kuptimi i mundshëm faktor. Numrat trekëndësh janë lloji më i përdorur i numrave fuzzy në praktikë, dhe më shpesh ato përdoren si vlera parashikuese të parametrave. Për shembull, vlera e pritur e inflacionit në vitin e ardhshëm. Le të jetë vlera më e mundshme 10%, vlera minimale e mundshme të jetë 5%, dhe vlera maksimale e mundshme të jetë 20%, atëherë të gjitha këto vlera mund të reduktohen në formën e një nëngrupi të paqartë ose numrit fuzzy A: A: ( 5, 10, 20)

Me futjen e numrave fuzzy, është bërë e mundur të parashikohen vlerat e ardhshme të parametrave që ndryshojnë brenda një diapazoni të caktuar të projektimit. Prezantohet një grup veprimesh mbi numrat fuzzy, të cilët reduktohen në operacione algjebrike me numrat e zakonshëm kur specifikohet një interval i caktuar besimi (niveli i anëtarësimit). Përdorimi i numrave të paqartë ju lejon të vendosni një korridor të llogaritur për vlerat e parametrave të parashikuar. Pastaj efekti i pritur vlerësohet gjithashtu nga eksperti si një numër fuzzy me përhapjen e vet të llogaritur (shkalla e paqartësisë).

Logjika e paqartë si një model i njeriut proceset e të menduarit, i integruar në sisteme inteligjencës artificiale dhe për mjetet e automatizuara të mbështetjes vendimmarrje(në veçanti, në sistemet e kontrollit proceset teknologjike).

6.2 Konceptet bazë të teorisë së grupeve fuzzy

Kompleti është një koncept i papërcaktuar në matematikë. Georg Cantor (1845 - 1918) - matematikan gjerman, puna e të cilit përbën bazën teori moderne vendos, jep konceptin e mëposhtëm: "... një grup është shumë, i konceptuar si një."

Kompleti që përfshin të gjitha objektet e konsideruara në problem quhet grup universal. Komplet universal zakonisht shënohet me shkronjën . Komplet universalështë grup maksimal në kuptimin që të gjitha objektet janë elementë të saj, d.m.th. deklarata brenda problemit është gjithmonë e vërtetë. Seti minimal është grup bosh– , e cila nuk përmban asnjë element. Të gjitha grupet e tjera në problemin në shqyrtim janë nënbashkësi të grupit. Kujtojmë se një bashkësi quhet një nënbashkësi e një bashkësie nëse të gjithë elementët janë gjithashtu elementë të . Përcaktimi i një grupi është një rregull që ju lejon të përcaktoni pa mëdyshje në lidhje me çdo element të një grupi universal nëse i përket grupit apo jo. Me fjalë të tjera, është një rregull për të përcaktuar se cili nga dy pohimet, ose , është i vërtetë dhe cili është i gabuar. Një mënyrë për të përcaktuar grupet është t'i specifikoni ato duke përdorur funksioni karakteristik.

Funksioni karakteristik i një grupi është një funksion i përcaktuar në një grup universal dhe merr vlerën një në ato elemente të grupit që i përkasin dhe vlerën zero për ato elemente që nuk i përkasin:

(6.1)

Si shembull, merrni parasysh set universal dhe dy nëngrupet e tij: - bashkësia e numrave më të vegjël se 7, dhe - bashkësia e numrave pak më e vogël se 7. Funksioni karakteristik i grupit ka formën

(6.2)

Vendosur në këtë shembullështë një grup i zakonshëm.

Është e pamundur të shkruhet funksioni karakteristik i grupit duke përdorur vetëm 0 dhe 1. Për shembull, a duhet që numrat të përfshijnë 1 dhe 2? Numri 3 "shumë" apo "jo shumë" është më i vogël se 7? Përgjigjet për këto dhe pyetje të ngjashme mund të merren në varësi të kushteve të problemit në të cilin vendosen dhe përdoren, si dhe nga këndvështrimi subjektiv i personit që zgjidh këtë problem. Kompleti quhet grup fuzzy. Gjatë përpilimit të funksionit karakteristik të një bashkësie fuzzy zgjidhës problemi(një ekspert) mund të shprehë mendimin e tij në lidhje me masën në të cilën secili nga numrat në grup i përket grupit. Ju mund të zgjidhni çdo numër nga segmenti si shkallë e anëtarësimit. Në të njëjtën kohë, kjo nënkupton besimin e plotë të ekspertit se - besim po aq të plotë, gjë që tregon se eksperti e ka të vështirë t'i përgjigjet pyetjes nëse i përket grupit apo nuk i përket. Nëse , atehere eksperti eshte i prirur ta klasifikoje si grup, por nese , atëherë nuk jam i prirur.

Funksioni i anëtarësimit të një grupi fuzzy është një funksion që

Ky funksion quhet funksion anëtarësimi grup fuzzy. - Vlera maksimale funksioni i anëtarësimit i pranishëm në grup - buza e sipërme- quhet supremum. Funksioni i anëtarësimit pasqyron pikëpamjen subjektive të një specialisti për problemin dhe sjell individualitet në zgjidhjen e tij.

Funksioni karakteristik i një grupi të zakonshëm mund të konsiderohet si një funksion anëtarësimi i këtij grupi, por ndryshe nga një grup fuzzy, ai merr vetëm dy vlera: 0 ose 1.

Një grup fuzzy është një palë , Ku - set universal, - funksion anëtarësimi grup fuzzy.

Kompleti bartës ose bartësi i një grupi fuzzy është një nëngrup i grupit, i përbërë nga elementë në të cilët .

Pika e kalimit të një grupi fuzzy quhet element i vendosur, mbi të cilën .

Në shembullin në shqyrtim, ku , është grupi i numrave më i vogël se 7, është grupi i numrave pak më i vogël se 7, ne zgjedhim subjektivisht vlerat për grupin që do të përbëjë funksionin e anëtarësimit. Tabela 6.1 paraqet funksionet e anëtarësimit për dhe dhe .

Shpesh përdoret një shënim më kompakt për grupe fuzzy të fundme ose të numërueshme. Pra, në vend të paraqitjes tabelare të mësipërme të nëngrupeve dhe , këto nënbashkësi mund të shkruhen si më poshtë.

Duke përdorur grupe fuzzy, është e mundur që zyrtarisht të përcaktohen koncepte të pasakta dhe të paqarta si "temperatura e lartë", "djali i ri", "lartësia mesatare" ose " qytet i madh" Para se të formulohet përkufizimi i një grupi fuzzy, është e nevojshme të përkufizohet i ashtuquajturi univers i ligjërimit. Në rastin e konceptit të paqartë të "shumë parash", një shumë do të konsiderohet e madhe nëse kufizohemi në diapazonin dhe një shumë krejtësisht të ndryshme - në interval. Zona e arsyetimit, e quajtur tani e tutje hapësirë ​​ose grup, më së shpeshti do të shënohet me simbolin. Duhet mbajtur mend se ky është një grup i qartë.

Përkufizimi 3.1

Një grup fuzzy në një hapësirë ​​(jo boshe), i cili shënohet si , është një grup çiftesh

, (3.1)

Funksioni i anëtarësimit me grup fuzzy. Ky funksion i cakton secilit element shkallën e anëtarësimit të tij në një grup fuzzy dhe mund të dallohen tre raste:

1) nënkupton anëtarësimin e plotë të një elementi në një grup fuzzy, d.m.th. ;

2) do të thotë që elementi nuk i përket një grupi fuzzy, d.m.th.;

3) do të thotë se elementi i përket pjesërisht një grupi fuzzy.

Në literaturë, përdoret një përshkrim simbolik i grupeve fuzzy. Nëse është një hapësirë ​​me një numër të kufizuar elementësh, d.m.th. , atëherë grupi fuzzy shkruhet në formë

Hyrja e mësipërme është simbolike. Shenja “–” nuk do të thotë ndarje, por nënkupton caktimin e shkallëve të anëtarësimit për elementë të caktuar . Me fjalë të tjera, rekordi

do të thotë një çift

Në mënyrë të ngjashme, shenja "+" në shprehjen (3.3) nuk nënkupton një veprim të mbledhjes, por interpretohet si një përmbledhje e shumëfishtë e elementeve (3.5). Duhet të theksohet se grupet e freskëta gjithashtu mund të shkruhen në një mënyrë të ngjashme. Për shembull, shumë notat e shkollës mund të përfaqësohet simbolikisht si

, (3.6)

që është e barabartë me shkrimin

Nëse është një hapësirë ​​me një numër të pafund elementësh, atëherë grupi fuzzy shkruhet simbolikisht në formë

. (3.8)

Shembulli 3.1

Le të supozojmë se është një grup numrash natyrorë. Le të përcaktojmë konceptin e grupit të numrave natyrorë "afër numrit 7". Kjo mund të bëhet duke përcaktuar grupin e mëposhtëm fuzzy:

Shembulli 3.2

Nëse , ku është grupi i numrave realë, atëherë grupi i numrave realë "afër numrit 7" mund të përcaktohet nga një funksion anëtarësimi i formës

. (3.10)

Prandaj, grupi fuzzy i numrave realë "afër numrit 7" përshkruhet nga shprehja

. (3.11)

Vërejtje 3.1

Grupet e paqarta të numrave natyrorë ose realë "afër numrit 7" mund të shkruhen në mënyra të ndryshme. Për shembull, funksioni i anëtarësimit (3.10) mund të zëvendësohet me shprehjen

(3.12)

Në Fig. Figura 3.1a dhe 3.1b paraqesin dy funksione të anëtarësimit për grupin fuzzy të numrave realë "afër numrit 7".

Oriz. 3.1. Ilustrimi për shembull 3.2: funksionet e anëtarësimit të një grupi të paqartë numrash realë "afër numrit 7".

Shembulli 3.3

Le të zyrtarizojmë përkufizimin e pasaktë të "temperaturës së përshtatshme për të notuar në Detin Baltik". Le të përcaktojmë fushën e arsyetimit në formën e një grupi . Pushuesi I, i cili ndihet më mirë në një temperaturë prej 21°, do të përcaktonte për vete një grup të paqartë

Pushuesi II, i cili preferon një temperaturë prej 20°, do të sugjeronte një përkufizim të ndryshëm të këtij grupi:

Duke përdorur grupe të paqarta, ne zyrtarizuam përkufizimin e pasaktë të konceptit të "temperaturës së përshtatshme për të notuar në Detin Baltik". Disa aplikacione përdorin forma standarde të funksioneve të anëtarësimit. Le t'i specifikojmë këto funksione dhe të shqyrtojmë interpretimet e tyre grafike.

1. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.2) përcaktohet si

(3.15)

Ku . Funksioni i anëtarësimit që i përket kësaj klase ka një paraqitje grafike (Fig. 3.2), që të kujton shkronjën "", dhe forma e tij varet nga zgjedhja e parametrave , dhe . Në pikën funksioni i anëtarësimit në klasë merr një vlerë prej 0.5.

2. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.3) përcaktohet përmes funksionit të anëtarësimit në klasë:

(3.16)

Oriz. 3.2. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Oriz. 3.3. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Funksioni i anëtarësimit në klasë merr vlera zero për dhe . Në pika vlera e tij është 0.5.

3. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.4) jepet me shprehjen

(3.17)

Lexuesi do të vërejë lehtësisht analogjinë midis formave të funksioneve të anëtarësimit në klasë dhe .

4. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.5) është përcaktuar si

(3.18)

Oriz. 3.4. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Oriz. 3.5. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Në disa aplikacione, funksioni i anëtarësimit në klasë mund të jetë një alternativë ndaj funksionit të klasës.

5. Funksioni i anëtarësimit në klasë (Fig. 3.6) përcaktohet nga shprehja

(3.19)

Shembulli 3.4

Le të shqyrtojmë tre formulime të pasakta:

1) “shpejtësi e ulët e automjetit”;

2)" shpejtësi mesatare makinë";

3) "shpejtësi e lartë e automjetit".

Si zonë e arsyetimit, ne do të marrim diapazonin, ku është shpejtësia maksimale. Në Fig. 3.7 paraqet grupet fuzzy , dhe , që korrespondojnë me formulimet e mësipërme. Vini re se funksioni i anëtarësimit të një grupi ka llojin, grupet kanë llojin dhe grupet kanë llojin. Në një pikë fikse km/h, funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "me shpejtësi të ulët të makinës" merr vlerën 0.5, d.m.th. . Funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "shpejtësia mesatare e makinës" merr të njëjtën vlerë, d.m.th. , ndërsa .

Shembulli 3.5

Në Fig. Figura 3.8 tregon funksionin e anëtarësimit të grupit fuzzy "para të mëdha". Ky është një funksion i klasës, dhe , , .

Oriz. 3.6. Funksioni i anëtarësimit në klasë.

Oriz. 3.7. Ilustrimi për shembull 3.4: funksionet e anëtarësimit të grupeve fuzzy shpejtësia e makinës "e vogël", "mesatare", "e lartë".

Oriz. 3.8. Ilustrimi për shembull 3.5: Funksioni i anëtarësimit të grupit fuzzy "para të mëdha".

Rrjedhimisht, shumat që kalojnë 10,000 rubla mund të konsiderohen definitivisht "të mëdha", pasi vlerat e funksionit të anëtarësimit bëhen të barabarta me 1. Shumat më pak se 1000 rubla nuk konsiderohen "të mëdha", pasi vlerat përkatëse të funksionit të anëtarësimit. janë të barabarta me 0. Sigurisht, një përkufizim i tillë i grupit fuzzy "para të mëdha" është subjektiv. Lexuesi mund të ketë kuptimin e tij për konceptin e paqartë të "parave të mëdha". Ky paraqitje do të pasqyrohet nga vlera të tjera të parametrave dhe funksioneve të klasës.

Përkufizimi 3.2

Bashkësia e elementeve hapësinore për të cilat , quhet mbështetje e një bashkësie fuzzy dhe shënohet me (mbështetje). Shënimi i tij zyrtar ka formën

. (3.20)

Përkufizimi 3.3

Lartësia e një grupi fuzzy shënohet dhe përcaktohet si

. (3.21)

Shembulli 3.6

Nëse Dhe

, (3.22)

Se .

, (3.23)

Përkufizimi 3.4

Një grup fuzzy quhet normal nëse dhe vetëm nëse . Nëse grupi fuzzy nuk është normal, atëherë ai mund të normalizohet duke përdorur transformimin

, (3.24)

ku është lartësia e këtij grupi.

Shembulli 3.7

Komplet fuzzy

(3.25)

pas normalizimit merr formën

. (3.26)

Përkufizimi 3.5

Një grup fuzzy quhet bosh dhe shënohet nëse dhe vetëm nëse për secilën .

Përkufizimi 3.6

Një grup fuzzy përfshihet në një grup fuzzy, i cili shkruhet si , nëse dhe vetëm nëse

(3.27)

për të gjithë.

Një shembull i përfshirjes (përmbajtjes) të një grupi fuzzy në një grup fuzzy është ilustruar në Fig. 3.9. Koncepti i shkallës së përfshirjes së grupeve fuzzy gjendet gjithashtu në literaturë. Shkalla e përfshirjes së një grupi fuzzy në një grup fuzzy në Fig. 3.9 është e barabartë me 1 (përfshirja e plotë). Kompletet fuzzy të paraqitura në Fig. 3.10 nuk e kënaqin varësinë (3.27), prandaj, përfshirja në kuptimin e përkufizimit (3.6) mungon. Megjithatë, një grup fuzzy përfshihet në një grup fuzzy në shkallë

, (3.28)

, gjendja eshte e kenaqur

Oriz. 3.12. Komplet konveks fuzzy.

Oriz. 3.13. Komplet konkav fuzzy.

Oriz. Figura 3.13 ilustron një grup konkave fuzzy. Është e lehtë të kontrollohet nëse një grup fuzzy është konveks (konkav) nëse dhe vetëm nëse të gjitha prerjet e tij janë konvekse (konkave).

Shkenca dhe teknologjia moderne nuk mund të imagjinohen pa përdorimin e gjerë të modelimit matematik, pasi eksperimentet në shkallë të plotë nuk mund të kryhen gjithmonë, ato shpesh janë shumë të shtrenjta dhe kërkojnë kohë të konsiderueshme, dhe në shumë raste ato shoqërohen me rrezik dhe të madh material ose moral. shpenzimet. Thelbi i modelimit matematik është zëvendësimi i një objekti real me "imazhin" e tij - një model matematik - dhe studimi i mëtejshëm i modelit duke përdorur algoritme llogaritëse dhe logjike të zbatuara në kompjuterë. Kërkesa më e rëndësishme për modeli matematik, është kushti i përshtatshmërisë së tij (korrespondencës së saktë) me objektin real që studiohet në raport me sistemin e zgjedhur të vetive të tij. Kjo, para së gjithash, nënkupton një përshkrim të saktë sasior të vetive të objektit në shqyrtim. Ndërtimi i modeleve të tilla sasiore është i mundur për sisteme të thjeshta.

Situata është e ndryshme me sistemet komplekse. Për të marrë përfundime domethënëse në lidhje me sjelljen e sistemeve komplekse, është e nevojshme të braktisni saktësinë dhe ashpërsinë e lartë kur ndërtoni një model dhe të përdorni qasje që janë të përafërta në natyrë gjatë ndërtimit të tij. Një nga këto qasje lidhet me futjen e variablave gjuhësorë që përshkruajnë pasqyrimin e paqartë të një personi për botën përreth. Në mënyrë që një variabël gjuhësor të bëhet një objekt matematikor i plotë, u prezantua koncepti i fuzzy turmave.

Në teorinë e grupeve të freskëta, u konsiderua funksioni karakteristik i një grupi të freskët në hapësirën universale
, e barabartë me 1 nëse elementi kënaq pronën dhe prandaj i përket grupit , dhe e barabartë me 0 ndryshe. Kështu, ne po flisnim për një botë të qartë (algjebër Boolean), në të cilën prania ose mungesa e një vetie të caktuar përcaktohet nga vlerat 0 ose 1 ("jo" ose "po").

Sidoqoftë, gjithçka në botë nuk mund të ndahet vetëm në të bardhë dhe të zezë, të vërtetë dhe gënjeshtër. Pra, edhe Buda pa një botë të mbushur me kontradikta, gjërat mund të ishin të vërteta në një farë mase dhe, në një farë mase, të rreme në të njëjtën kohë. Platoni hodhi themelet për atë që do të bëhej logjikë e paqartë duke vënë në dukje se ekzistonte një sferë e tretë (përtej së Vërtetës dhe Gënjeshtrës) ku këto kontradikta janë relative.

Profesori i Universitetit të Kalifornisë Zadeh botoi punimin "Fuzzy Sets" në 1965, në të cilin ai zgjeroi vlerësimin me dy vlera të 0 ose 1 në një vlerësim të pakufizuar me shumë vlera mbi 0 dhe nën 1 në një interval të mbyllur dhe për herë të parë prezantoi koncepti i një "bashkësi të paqartë". Në vend të termit "funksion karakteristik", Zadeh përdori termin "funksion i anëtarësimit". Komplet fuzzy (mbahet i njëjti shënim si për grupin e freskët) në hapësirën universale
përmes funksionit të anëtarësimit
(i njëjti shënim si për funksionin karakteristik) përcaktohet si më poshtë

(3.1)

Funksioni i anëtarësimit më së shpeshti interpretohet si vijon: vlera
do të thotë vlerësim subjektiv shkalla e anëtarësimit në element grup fuzzy , Për shembull,
do të thotë se 80% në pronësi . Prandaj, duhet të ketë "funksionin e anëtarësimit tim", "funksionin tuaj të anëtarësimit", "funksionin e anëtarësimit të specialistit", etj. Paraqitja grafike e një grupi fuzzy, një diagramë Venn, është paraqitur me rrathë koncentrikë në Fig. 1. Funksioni i anëtarësimit të një grupi fuzzy ka një grafik në formë zile, në kontrast me funksionin karakteristik drejtkëndor të një grupi të qartë, Fig. 1.

Duhet t'i kushtoni vëmendje lidhjes midis grupeve të freskëta dhe të paqarta. Dy vlera (0,1) të funksionit karakteristik i përkasin një intervali të mbyllur të vlerave të funksionit të anëtarësimit. Prandaj, një grup i qartë është një rast i veçantë i një grupi fuzzy, dhe koncepti i një grupi fuzzy është një koncept i zgjeruar që mbulon gjithashtu konceptin e një grupi të freskët. Me fjalë të tjera, një grup i freskët është gjithashtu një grup i paqartë.

Një grup fuzzy përcaktohet rreptësisht duke përdorur funksionin e anëtarësimit dhe nuk përmban asnjë paqartësi. Fakti është se një grup fuzzy përcaktohet rreptësisht duke përdorur vlerat e vlerësuara të një intervali të mbyllur, dhe ky është funksioni i anëtarësimit. Nëse grupi universal
përbëhet nga një grup i caktuar i caktuar elementësh, pastaj, bazuar në konsideratat praktike, tregoni vlerën e funksionit të anëtarësimit dhe elementin përkatës duke përdorur shenjat e ndarjes / dhe +. Për shembull, le të përbëhet grupi universal nga numra të plotë më pak se 10, pastaj grupi fuzzy "numrat e vegjël" mund të përfaqësohen si

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Këtu, për shembull, 0.8/2 do të thotë
. Shenja + tregon një bashkim. Kur shkruani një grup fuzzy në formën e mësipërme, elementët e grupit universal hiqen
me vlera të funksionit të anëtarësimit të barabarta me zero. Zakonisht të gjithë elementët e grupit universal shkruhen me vlerat përkatëse të funksionit të anëtarësimit. Përdoret një shënim i grupit fuzzy, si në teorinë e probabilitetit,

Përkufizimi. NË rast i përgjithshëm nënbashkësi fuzzy set universal
përkufizohet si bashkësia e çifteve të renditura

. (3.2)