Kompjuteri ka hyrë fort në jetën tonë, dhe praktikisht nuk ka asnjë zonë të tillë veprimtaria njerëzore, ku një kompjuter nuk do të përdorej. Kompjuterët tani përdoren gjerësisht në procesin e krijimit dhe kërkimit të makinave të reja, të reja proceset teknologjike dhe kërkimi i opsioneve të tyre optimale; kur vendos detyrat ekonomike, kur zgjidhni problemet e planifikimit dhe menaxhimit të prodhimit në nivele të ndryshme. Krijimi i objekteve të mëdha në raketa, prodhimin e avionëve, ndërtimin e anijeve, si dhe projektimin e digave, urave etj., përgjithësisht është i pamundur pa përdorimin e kompjuterëve.

Për të përdorur kompjuterët në zgjidhjen e problemeve të aplikuara, para së gjithash problemi i aplikuar duhet të "përkthehet" në formale gjuha matematikore, d.m.th. për një objekt, proces apo sistem real, duhet të ndërtohet modeli i tij matematikor.

Fjala "Model" vjen nga latinishtja modus (kopje, imazh, skicë). Modelimi është zëvendësimi i një objekti A me një objekt tjetër B. Objekti i zëvendësuar A quhet objekti origjinal ose modelues dhe zëvendësimi B quhet model. Me fjalë të tjera, një model është një objekt zëvendësues për objektin origjinal, i cili ofron studimin e disa vetive të origjinalit.

Qëllimi i modelimit është të marrë, përpunojë, paraqesë dhe përdorë informacione rreth objekteve që ndërveprojnë me njëri-tjetrin dhe mjedisi i jashtëm; dhe modeli këtu vepron si një mjet për të kuptuar veçoritë dhe modelet e sjelljes së një objekti.

Modelimi matematik është një mjet për të studiuar një objekt, proces ose sistem real duke i zëvendësuar ato me një model matematikor që është më i përshtatshëm për hulumtim eksperimental duke përdorur një kompjuter.

Modelimi matematik është procesi i ndërtimit dhe studimit të modeleve matematikore të proceseve dhe dukurive reale. Të gjitha shkencat natyrore dhe shoqërore që përdorin aparatet matematikore janë në thelb të angazhuara në modelimin matematik: ato zëvendësojnë objekt real modelin e tij dhe më pas studioni këtë të fundit. Ashtu si me çdo modelim, një model matematikor nuk e përshkruan plotësisht fenomenin që studiohet dhe pyetjet në lidhje me zbatueshmërinë e rezultateve të marra në këtë mënyrë janë shumë domethënëse. Një model matematikor është një përshkrim i thjeshtuar i realitetit duke përdorur konceptet matematikore.

Një model matematikor shpreh tiparet thelbësore të një objekti ose procesi në gjuhën e ekuacioneve dhe të tjera mjetet matematikore. Në fakt, vetë matematika i detyrohet ekzistencës së saj asaj që përpiqet të reflektojë, d.m.th. modeloni vetë gjuhë specifike modelet e botës përreth.

Në modelimi matematik studimi i një objekti kryhet nëpërmjet një modeli të formuluar në gjuhën e matematikës duke përdorur të caktuara metodat matematikore.

Rruga e modelimit matematik në kohën tonë është shumë më gjithëpërfshirëse sesa modelimi në shkallë të plotë. Një shtysë e madhe për zhvillimin e modelimit matematik i dha ardhja e kompjuterëve, megjithëse vetë metoda filloi njëkohësisht me matematikën mijëra vjet më parë.

Modelimi matematik si i tillë nuk kërkon gjithmonë mbështetje kompjuterike. Çdo specialist i përfshirë profesionalisht në modelimin matematikor bën gjithçka që është e mundur për të studiuar në mënyrë analitike modelin. Zgjidhjet analitike (d.m.th., të paraqitura me formula që shprehin rezultatet e studimit përmes të dhënave origjinale) janë zakonisht më të përshtatshme dhe më informuese sesa ato numerike. Sidoqoftë, aftësitë e metodave analitike për zgjidhjen e problemeve komplekse matematikore janë shumë të kufizuara dhe, si rregull, këto metoda janë shumë më komplekse se ato numerike.

Një model matematikor është një paraqitje e përafërt e objekteve, proceseve ose sistemeve reale, e shprehur në terma matematikore dhe duke ruajtur tiparet thelbësore të origjinalit. Modelet matematikore në formë sasiore, duke përdorur ndërtime logjike dhe matematikore, përshkruajnë vetitë themelore të një objekti, procesi ose sistemi, parametrat e tij, të brendshëm dhe Marrëdhëniet e jashtme

Të gjitha modelet mund të ndahen në dy klasa:

reale,
perfekte.

Nga ana tjetër, modelet reale mund të ndahen në:

në shkallë të plotë,
fizike,
matematikore.

Modele ideale mund të ndahet në:

vizuale,
ikonike,
matematikore.

Modelet reale në shkallë të plotë janë objekte, procese dhe sisteme reale mbi të cilat kryhen eksperimente shkencore, teknike dhe industriale.

Reale modelet fizike- këto janë modele, dummies, riprodhuese vetitë fizike origjinale (modele kinematike, dinamike, hidraulike, termike, elektrike, ndriçuese).

Ato reale matematikore janë modelet analoge, strukturore, gjeometrike, grafike, dixhitale dhe kibernetike.

Modelet ideale vizuale janë diagramet, hartat, vizatimet, grafikët, grafikët, analogët, modelet strukturore dhe gjeometrike.

Modelet ideale të shenjave janë simbolet, alfabeti, gjuhët e programimit, shënimi i renditur, shënimi topologjik, përfaqësimi i rrjetit.

Modelet ideale matematikore janë modelet analitike, funksionale, simuluese dhe të kombinuara.

Në klasifikimin e mësipërm, disa modele kanë një interpretim të dyfishtë (për shembull, analog). Të gjitha modelet, përveç atyre në shkallë të plotë, mund të kombinohen në një klasë të modeleve mendore, sepse ato janë një produkt të menduarit abstrakt person.

Elementet e teorisë së lojës

NË rast i përgjithshëm zgjidhja e lojës është një detyrë mjaft e vështirë, dhe kompleksiteti i problemit dhe sasia e llogaritjeve të nevojshme për ta zgjidhur atë rritet ndjeshëm me rritjen e . Megjithatë, këto vështirësi nuk janë të natyrës themelore dhe shoqërohen vetëm me një vëllim shumë të madh llogaritjesh, të cilat në disa raste mund të rezultojnë praktikisht të pamundura. Aspekti parimor i metodës së gjetjes së një zgjidhjeje mbetet për cilindo e njejta.

Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e një loje. Le t'ia japim asaj interpretimi gjeometrik- tashmë hapësinore. Tre strategjitë tona do të përfaqësohen nga tre pika në aeroplan ; e para qëndron në origjinë (Fig. 1). e dyta dhe e treta - në akset Oh Dhe OU në distancat 1 nga fillimi.

Boshtet I-I, II-II dhe III-III vizatohen përmes pikave, pingul me rrafshin . Në boshtin I-I janë përfitimet për strategjinë në akset II-II dhe III-III janë përfitimet për strategjitë. Çdo strategji armike do të përfaqësohet nga një aeroplan që ndërpritet në akset I-I, II-II dhe III-III, segmente të barabarta me fitimet

me strategji dhe strategji të përshtatshme . Duke ndërtuar kështu të gjitha strategjitë e armikut, marrim një familje avionësh mbi trekëndësh (Fig. 2).

Për këtë familje, ju gjithashtu mund të ndërtoni një kufi të poshtëm për fitimin, siç bëmë në rastin, dhe të gjeni në këtë kufi pikën N me lartësia maksimale avion me para në dorë . Kjo lartësi do të jetë çmimi i lojës.

Frekuencat e strategjive në strategjinë optimale do të përcaktohen nga koordinatat (x, y) pika N, përkatësisht:

Megjithatë, kjo ndërtimi gjeometrik edhe për rastin nuk është i lehtë për t'u zbatuar dhe kërkon kosto të larta koha dhe mundi i imagjinatës. Në rastin e përgjithshëm të lojës, ajo transferohet në - hapësirë dimensionale dhe humbet të gjithë qartësinë, megjithëse përdorimi i terminologjisë gjeometrike në një numër rastesh mund të jetë i dobishëm. Kur zgjidhni lojëra në praktikë, është më i përshtatshëm të përdorni jo analogji gjeometrike, por ato llogaritëse. metodat analitike, veçanërisht pasi për të zgjidhur problemin në kompjuterët këto metoda janë të vetmet të përshtatshme.

Të gjitha këto metoda në thelb zbresin në zgjidhjen e një problemi përmes provave të njëpasnjëshme, por renditja e sekuencës së provave ju lejon të ndërtoni një algoritëm që të çon në një zgjidhje në mënyrën më ekonomike.

Këtu do të ndalemi shkurtimisht në një metoda e llogaritjes zgjidhje lojërash - në të ashtuquajturën metodë " programimi linear».

Për ta bërë këtë, së pari le të japim vendosjen e përgjithshme problemet për gjetjen e një zgjidhjeje për një lojë. Le të jepet një lojë me T strategjitë e lojtarëve A Dhe n strategjitë e lojtarëve NË dhe jepet matrica e pagesës

Kërkohet të gjendet një zgjidhje për lojën, pra dy strategji të përziera optimale të lojtarëve A dhe B

ku (disa nga numrat dhe mund të jenë të barabartë me zero).

Strategjia jonë optimale S*A duhet të na sigurojë një përfitim jo më pak se , për çdo sjellje të armikut, dhe një përfitim të barabartë me , për sjelljen e tij optimale (strategjia S*B).Strategji e ngjashme S*B duhet t'i sigurojë armikut një humbje jo më të madhe se , për çdo sjellje tonë dhe të barabartë për sjelljen tonë optimale (strategjia S*A).

Çmimi i lojës në në këtë rast e panjohur për ne; do të supozojmë se është e barabartë me disa numër pozitiv. Duke besuar në këtë mënyrë, ne nuk e cenojmë përgjithësinë e arsyetimit; Në mënyrë që ajo të jetë > 0, mjafton që të gjithë elementët e matricës të jenë jonegativë. Kjo mund të arrihet gjithmonë duke shtuar një vlerë mjaft të madhe pozitive L në elementë në këtë rast, çmimi i lojës do të rritet me L, por zgjidhja nuk do të ndryshojë.

Le të zgjedhim strategjinë tonë optimale S*A. Atëherë fitimi ynë mesatar sipas strategjisë së kundërshtarit do të jetë i barabartë me:

Strategjia jonë optimale S*A ka pasurinë që, për çdo sjellje të armikut, siguron një fitim jo më pak se; prandaj, asnjë nga numrat nuk mund të jetë më i vogël se . Ne marrim një sërë kushtesh:

(1)

Le të ndajmë pabarazitë (1) me një vlerë pozitive dhe të shënojmë:

Atëherë kushti (1) do të shkruhet si

(2)

ku - numra jonegativë. Sepse sasitë plotësojnë kushtin

Ne duam t'i bëjmë sa më të larta fitimet tona të garantuara; padyshim, në të njëjtën kohë pjesa e djathtë barazia (3) merr vlerën minimale.

Kështu, problemi i gjetjes së një zgjidhjeje për lojën zbret në problemin e mëposhtëm matematikor: përcaktoni sasitë jo negative , duke plotësuar kushtet (2), në mënyrë që shuma e tyre

ishte minimale.

Zakonisht, kur zgjidhen probleme që lidhen me gjetjen e vlerave ekstreme (maksimum dhe minimum), funksioni diferencohet dhe derivatet vendosen të barabartë me zero. Por një teknikë e tillë është e padobishme në këtë rast, pasi funksioni Ф, i cili duhet të minimizuar, është linear dhe derivatet e tij në lidhje me të gjitha argumentet janë të barabarta me një, d.m.th., ato nuk zhduken askund. Rrjedhimisht, maksimumi i funksionit arrihet diku në kufirin e diapazonit të ndryshimeve në argumente, i cili përcaktohet nga kërkesa e jonegativitetit të argumenteve dhe kushteve (2). Teknika e gjetjes së vlerave ekstreme duke përdorur diferencimin është gjithashtu e papërshtatshme në rastet kur maksimumi i kufirit të poshtëm (ose minimumi i sipërm) i fitimeve përcaktohet për të zgjidhur lojën, siç bëmë ne. për shembull, ata e bënë këtë kur zgjidhnin lojëra, në të vërtetë, kufiri i poshtëm përbëhet nga seksione vijash të drejta, dhe maksimumi nuk arrihet në pikën ku derivati është i barabartë me zero (nuk ka fare pikë të tillë). por në kufirin e intervalit ose në pikën e kryqëzimit të seksioneve të drejta.

Për zgjidhje detyra të ngjashme, mjaft shpesh i hasur në praktikë, është zhvilluar një aparat i veçantë në matematikë programimi linear.

Problemi i programimit linear është formuluar si më poshtë.

Duke pasur parasysh sistemin ekuacionet lineare:

(4)

Kërkohet të gjenden vlera jo negative të sasive që plotësojnë kushtet (4) dhe në të njëjtën kohë të minimizojnë homogjenin e dhënë. funksion linear sasi ( formë lineare):

Është e lehtë të shihet se problemi i teorisë së lojës i paraqitur më sipër është një rast i veçantë i një problemi të programimit linear me

Në pamje të parë, mund të duket se kushtet (2) nuk janë ekuivalente me kushtet (4), pasi në vend të shenjave të barabarta ato përmbajnë shenja pabarazie. Sidoqoftë, është e lehtë të heqësh qafe shenjat e pabarazisë duke futur variabla të reja jo-negative dhe kushtet e shkrimit (2) në formën:

(5)

Forma Φ që duhet të minimizohet është e barabartë me

Aparati i programimit linear bën të mundur zgjedhjen e vlerave duke përdorur një numër relativisht të vogël mostrash të njëpasnjëshme , duke plotësuar kërkesat e deklaruara. Për qartësi më të madhe, ne do të demonstrojmë këtu përdorimin e këtij aparati drejtpërdrejt në materialin e zgjidhjes së lojërave specifike.

Sipas tekstit shkollor të Sovetov dhe Yakovlev: "një model (lat. modulus - masë) është një objekt zëvendësues për objektin origjinal, i cili siguron studimin e disa vetive të origjinalit". (fq. 6) "Zëvendësimi i një objekti me një tjetër për të marrë informacion për vetitë më të rëndësishme të objektit origjinal duke përdorur një objekt model quhet modelim." (f. 6) “Me modelimin matematik kuptojmë procesin e vendosjes së një korrespondence të një objekti real të dhënë me një objekt të caktuar matematikor, i quajtur model matematik, dhe studimin e këtij modeli, i cili na lejon të marrim karakteristikat e reales. objekti në shqyrtim. Lloji i modelit matematik varet si nga natyra e objektit real ashtu edhe nga detyrat e studimit të objektit dhe nga besueshmëria dhe saktësia e kërkuar për zgjidhjen e këtij problemi."

Së fundi, përkufizimi më konciz i një modeli matematikor: "Një ekuacion që shpreh një ide."

Klasifikimi i modelit

Klasifikimi formal i modeleve

Klasifikimi formal i modeleve bazohet në klasifikimin e mjeteve matematikore të përdorura. Shpesh ndërtohet në formën e dikotomive. Për shembull, një nga grupet e njohura të dikotomive:

e kështu me radhë. Çdo model i ndërtuar është linear ose jolinear, determinist ose stokastik,... Natyrisht, lloje të përziera: në një aspekt të përqendruar (përsa i përket parametrave), në një tjetër - modele të shpërndara, etj.

Klasifikimi sipas mënyrës së paraqitjes së objektit

Së bashku me klasifikimin formal, modelet ndryshojnë në mënyrën se si përfaqësojnë një objekt:

Modele strukturore ose funksionale

Modelet strukturore paraqesin një objekt si një sistem me strukturën dhe mekanizmin e tij të funksionimit. Modelet funksionale nuk përdorin paraqitje të tilla dhe pasqyrojnë vetëm sjelljen (funksionimin) e perceptuar nga jashtë të një objekti. Në shprehjen e tyre ekstreme, ato quhen gjithashtu modele të "kutisë së zezë" të mundshme, të cilat ndonjëherë quhen modele "kuti gri".

Përmbajtja dhe modelet formale

Pothuajse të gjithë autorët që përshkruajnë procesin e modelimit matematik tregojnë se së pari ndërtohet një strukturë ideale e veçantë, modeli i përmbajtjes. Këtu nuk ka një terminologji të vendosur dhe autorë të tjerë e quajnë këtë objekt ideal model konceptual , model spekulativ ose paramodel. Në këtë rast quhet ndërtimi përfundimtar matematik modeli formal ose thjesht një model matematik i përftuar si rezultat i formalizimit të një modeli të caktuar kuptimplotë (para-model). Ndërtimi i një modeli kuptimplotë mund të bëhet duke përdorur një grup idealizimesh të gatshme, si në mekanikë, ku burimet ideale të ngurta, lavjerrës ideale, media elastike etj ofrojnë të gatshme elementet strukturore për modelim kuptimplotë. Megjithatë, në fushat e njohurive ku nuk ka teori të formalizuara plotësisht të kompletuara (përparësia e fizikës, biologjisë, ekonomisë, sociologjisë, psikologjisë dhe shumë fushave të tjera), krijimi i modeleve kuptimplote bëhet në mënyrë dramatike më i vështirë.

Klasifikimi i përmbajtjes së modeleve

Asnjë hipotezë në shkencë nuk mund të vërtetohet njëherë e përgjithmonë. Richard Feynman e formuloi këtë shumë qartë:

“Ne gjithmonë kemi mundësinë të hedhim poshtë një teori, por vini re se nuk mund të vërtetojmë kurrë se ajo është e saktë. Le të supozojmë se ju keni paraqitur një hipotezë të suksesshme, keni llogaritur se ku të çon dhe keni gjetur se të gjitha pasojat e saj janë konfirmuar eksperimentalisht. A do të thotë kjo teoria juaj është e saktë? Jo, thjesht do të thotë që ju nuk arritët ta përgënjeshtroni atë.”

Nëse ndërtohet një model i tipit të parë, kjo do të thotë se ai njihet përkohësisht si e vërtetë dhe mund të përqendroheni në probleme të tjera. Megjithatë, kjo nuk mund të jetë një pikë në kërkim, por vetëm një pauzë e përkohshme: statusi i një modeli të llojit të parë mund të jetë vetëm i përkohshëm.

Lloji 2: Modeli fenomenologjik (ne sillemi sikur…)

Një model fenomenologjik përmban një mekanizëm për të përshkruar një fenomen. Megjithatë, ky mekanizëm nuk është mjaft bindës, nuk mund të konfirmohet mjaftueshëm nga të dhënat e disponueshme ose nuk përshtatet mirë me teoritë ekzistuese dhe njohuritë e akumuluara rreth objektit. Prandaj, modelet fenomenologjike kanë statusin e zgjidhjeve të përkohshme. Besohet se përgjigja është ende e panjohur dhe kërkimi për "mekanizmat e vërtetë" duhet të vazhdojë. Peierls përfshin, për shembull, modelin kalorik dhe modelin e kuarkut të grimcave elementare si llojin e dytë.

Roli i modelit në kërkime mund të ndryshojë me kalimin e kohës dhe mund të ndodhë që të dhënat dhe teoritë e reja të konfirmojnë modelet fenomenologjike dhe ato të promovohen në statusin e një hipoteze. Po kështu njohuritë e reja gradualisht mund të bien ndesh me modele-hipoteza të tipit të parë dhe ato mund të përkthehen në të dytin. Kështu, modeli i kuarkut po kalon gradualisht në kategorinë e hipotezave; atomizmi në fizikë u ngrit si një zgjidhje e përkohshme, por me rrjedhën e historisë u bë lloji i parë. Por modelet eterike kanë bërë rrugën e tyre nga tipi 1 në tipin 2, dhe tani janë jashtë shkencës.

Ideja e thjeshtimit është shumë e popullarizuar gjatë ndërtimit të modeleve. Por thjeshtimi vjen në forma të ndryshme. Peierls identifikon tre lloje të thjeshtimeve në modelim.

Lloji 3: Përafrim (ne konsiderojmë diçka shumë të madhe ose shumë të vogël)

Nëse është e mundur të ndërtohen ekuacione që përshkruajnë sistemin në studim, kjo nuk do të thotë se ato mund të zgjidhen edhe me ndihmën e një kompjuteri. Një teknikë e zakonshme në këtë rast është përdorimi i përafrimeve (modele të tipit 3). Midis tyre modelet e reagimit linear. Ekuacionet zëvendësohen me ato lineare. Shembull standard- Ligji i Ohmit.

Këtu vjen tipi 8, i cili është i përhapur në modelet matematikore të sistemeve biologjike.

Lloji 8: Demonstrimi i veçorive (gjëja kryesore është të tregohet qëndrueshmëria e brendshme e mundësisë)

Këto janë gjithashtu eksperimente të mendimit me entitete imagjinare, duke e demonstruar këtë fenomen i supozuar konsiston me parimet bazë dhe të qëndrueshme nga brenda. Ky është ndryshimi kryesor nga modelet e tipit 7, të cilat zbulojnë kontradikta të fshehura.

Një nga këto eksperimente më të famshme është gjeometria e Lobachevsky (Lobachevsky e quajti atë "gjeometri imagjinare"). Një shembull tjetër është prodhimi masiv i modeleve formalisht kinetike të kimikateve dhe luhatjet biologjike, autovalët, etj. Paradoksi Einstein-Podolsky-Rosen u konceptua si një model i tipit 7 për të demonstruar mospërputhjen Mekanika kuantike. Në një mënyrë krejtësisht të paplanifikuar, ai përfundimisht u shndërrua në një model të tipit 8 - një demonstrim i mundësisë së teleportimit kuantik të informacionit.

Shembull

Le të shqyrtojmë sistemi mekanik, i përbërë nga një sustë e fiksuar në njërin skaj dhe një masë masë m ngjitur në fundin e lirë të pranverës. Do të supozojmë se ngarkesa mund të lëvizë vetëm në drejtim të boshtit të sustës (për shembull, lëvizja ndodh përgjatë shufrës). Le të ndërtojmë një model matematikor të këtij sistemi. Ne do të përshkruajmë gjendjen e sistemit me distancë x nga qendra e ngarkesës në pozicionin e saj të ekuilibrit. Le të përshkruajmë ndërveprimin e sustës dhe ngarkesës duke përdorur Ligji i Hukut (F = − kx ) dhe më pas përdorni ligjin e dytë të Njutonit për ta shprehur atë në formën e një ekuacioni diferencial:

ku nënkupton derivatin e dytë të x sipas kohës: .

Ekuacioni që rezulton përshkruan modelin matematikor të konsideruar sistemi fizik. Ky model quhet "oshilator harmonik".

Sipas klasifikimit formal, ky model është linear, determinist, dinamik, i përqendruar, i vazhdueshëm. Në procesin e ndërtimit të tij kemi bërë shumë supozime (për mungesën e forcave të jashtme, mungesën e fërkimit, vogëlsinë e devijimeve etj.), të cilat në realitet mund të mos përmbushen.

Në lidhje me realitetin, ky është më shpesh një model i tipit 4 thjeshtimi("do të heqim disa detaje për qartësi"), pasi disa veçori thelbësore universale (për shembull, shpërndarja) janë hequr. Me një përafrim (të themi, ndërsa devijimi i ngarkesës nga ekuilibri është i vogël, me fërkim të ulët, për jo shumë kohë dhe i nënshtrohet disa kushteve të tjera), një model i tillë përshkruan mjaft mirë një sistem mekanik të vërtetë, pasi faktorët e hedhur një efekt të papërfillshëm në sjelljen e tij. Megjithatë, modeli mund të rafinohet duke marrë parasysh disa nga këta faktorë. Kjo do të çojë në një model të ri, me një shtrirje më të gjerë (megjithëse përsëri të kufizuar) të zbatueshmërisë.

Megjithatë, kur përsoset modeli, kompleksiteti i tij kërkime matematikore mund të rritet ndjeshëm dhe ta bëjë modelin praktikisht të padobishëm. Shpesh më shumë model i thjeshtë na lejon të studiojmë një sistem real më mirë dhe më thellë sesa një më kompleks (dhe, zyrtarisht, "më korrekt").

Nëse zbatojmë modelin oshilator harmonik për objektet larg fizikës, statusi i saj thelbësor mund të jetë i ndryshëm. Për shembull, kur aplikoni këtë model në popullatat biologjike, me shumë mundësi duhet të klasifikohet si tipi 6 analogji("le të marrim parasysh vetëm disa veçori").

Modele të forta dhe të buta

Oscilatori harmonik është një shembull i të ashtuquajturit modeli "i fortë". Përftohet si rezultat i një idealizimi të fortë të një sistemi fizik të vërtetë. Për të zgjidhur çështjen e zbatueshmërisë së tij, është e nevojshme të kuptohet se sa të rëndësishëm janë faktorët që ne kemi lënë pas dore. Me fjalë të tjera, është e nevojshme të studiohet modeli "i butë", i cili përftohet nga një shqetësim i vogël i atij "të fortë". Mund të vendoset, për shembull, ekuacioni i mëposhtëm:

Këtu është një funksion që mund të marrë parasysh forcën e fërkimit ose varësinë e koeficientit të ngurtësisë së sustës nga shkalla e shtrirjes së saj - një parametër i vogël. Forma e qartë e funksionit f ne në ky moment jo i interesuar. Nëse vërtetojmë se sjellja e modelit të butë nuk është thelbësisht e ndryshme nga sjellja e atij të fortë (pavarësisht nga lloji i qartë i faktorëve shqetësues, nëse janë mjaft të vegjël), problemi do të reduktohet në studimin e modelit të fortë. Përndryshe, zbatimi i rezultateve të marra nga studimi i modelit të ngurtë do të kërkojë kërkime shtesë. Për shembull, zgjidhja e ekuacionit të një oshilatori harmonik është funksionet e formës , domethënë lëkundjet me një amplitudë konstante. A rrjedh nga kjo që një oshilator real do të lëkundet pafundësisht me një amplitudë konstante? Jo, sepse duke marrë parasysh një sistem me fërkime arbitrare të vogla (gjithmonë i pranishëm në sistem real), marrim lëkundje të amortizuara. Sjellja e sistemit ka ndryshuar cilësisht.

Nëse një sistem ruan sjelljen e tij cilësore nën shqetësime të vogla, thuhet se është strukturor i qëndrueshëm. Një oshilator harmonik është një shembull i një sistemi strukturor të paqëndrueshëm (jo i përafërt). Megjithatë, ky model mund të përdoret për të studiuar proceset për periudha të kufizuara kohore.

Shkathtësia e modeleve

Modelet më të rëndësishme matematikore zakonisht kanë pronë e rëndësishme shkathtësi: Dukuritë reale thelbësisht të ndryshme mund të përshkruhen nga i njëjti model matematikor. Për shembull, një oshilator harmonik përshkruan jo vetëm sjelljen e një ngarkese në një susta, por edhe të tjera proceset osciluese, shpesh me një natyrë krejtësisht të ndryshme: lëkundje të vogla të lavjerrësit, luhatje në nivelin e lëngut në U-enë në formë ose një ndryshim në forcën e rrymës në një qark oscilues. Kështu, kur studiojmë një model matematikor, ne studiojmë menjëherë gjithë klasën dukuritë që përshkruan. Është ky izomorfizëm ligjesh i shprehur me modele matematikore në segmente të ndryshme njohuritë shkencore, frymëzimi për Ludwig von Bertalanffy për të krijuar "Teorinë e Sistemeve të Përgjithshme".

Probleme të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të modelimit matematik

Ka shumë probleme që lidhen me modelimin matematik. Së pari, ju duhet të dilni me një diagram bazë të objektit të modeluar, ta riprodhoni atë brenda kornizës së idealizimeve të kësaj shkence. Kështu, një vagon treni shndërrohet në një sistem pllakash dhe trupash më komplekse nga materiale të ndryshme, çdo material specifikohet si idealizimi i tij mekanik standard (dendësia, moduli elastik, karakteristikat standarde të forcës), pas së cilës përpilohen ekuacionet, gjatë rrugës disa detaje hidhen si të parëndësishme, bëhen llogaritjet, krahasohen me matjet, modeli rafinohet, e kështu me radhë. Sidoqoftë, për të zhvilluar teknologjitë e modelimit matematik, është e dobishme që ky proces të çmontohet në përbërësit e tij kryesorë.

Tradicionalisht, ekzistojnë dy klasa kryesore të problemeve që lidhen me modelet matematikore: të drejtpërdrejta dhe të anasjellta.

Detyrë e drejtpërdrejtë: struktura e modelit dhe të gjithë parametrat e tij konsiderohen të njohura, detyra kryesore- të kryejë një studim të modelit për të nxjerrë njohuri të dobishme rreth objektit. Çfarë ngarkese statike do të përballojë ura? Si do të reagojë ndaj një ngarkese dinamike (për shembull, në marshimin e një kompanie ushtarësh, ose në kalimin e një treni? shpejtësi të ndryshme), si aeroplani do ta kapërcejë pengesën e zërit, a do të shkëputet nga valëvitja - këtu shembuj tipikë detyrë e drejtpërdrejtë. Vendosja e problemit të drejtë direkt (bërja e pyetjes së duhur) kërkon aftësi të veçanta. Nëse nuk specifikohet pyetjet e duhura, atëherë ura mund të shembet edhe nëse është ndërtuar një model i mirë për sjelljen e saj. Kështu, në 1879, një urë metalike mbi lumin Tay u shemb në Angli, projektuesit e së cilës ndërtuan një model të urës, e llogaritën atë të kishte një faktor sigurie 20-fish për veprimin e ngarkesës, por harruan erërat vazhdimisht. duke fryrë në ato vende. Dhe pas një viti e gjysmë u shemb.

Në rastin më të thjeshtë (për shembull, një ekuacion oshilator), problemi i drejtpërdrejtë është shumë i thjeshtë dhe reduktohet në një zgjidhje të qartë të këtij ekuacioni.

Problem invers: janë të njohura shumë modele të mundshme, duhet zgjedhur një model specifik bazuar në të dhëna shtesë rreth objektit. Më shpesh, struktura e modelit është e njohur, dhe është e nevojshme të përcaktohen disa parametra të panjohur. informacion shtese mund të përbëhet nga të dhëna empirike shtesë, ose kërkesa për objektin ( problemi i projektimit). Mund të vijnë të dhëna shtesë pavarësisht nga procesi i vendimit problem i anasjelltë (vëzhgimi pasiv) ose të jetë rezultat i një eksperimenti të planifikuar posaçërisht gjatë zgjidhjes ( mbikëqyrje aktive).

Një nga shembujt e parë të një zgjidhjeje mjeshtërore të një problemi të anasjelltë me përdorimin më të plotë të të dhënave të disponueshme ishte metoda e ndërtuar nga I. Newton për rindërtimin e forcave të fërkimit nga lëkundjet e vrojtuara të amortizuara.

Shembuj shtesë

Ku x s- madhësia “ekuilibër” e popullsisë, në të cilën shkalla e lindjeve kompensohet saktësisht me shkallën e vdekshmërisë. Madhësia e popullsisë në një model të tillë priret në një vlerë ekuilibri x s, dhe kjo sjellje është strukturore e qëndrueshme.

Ky sistem ka një gjendje ekuilibri kur numri i lepujve dhe dhelprave është konstant. Devijimi nga kjo gjendje rezulton në luhatje në numrin e lepujve dhe dhelprave, të ngjashme me luhatjet e një oshilatori harmonik. Ashtu si me oshilatorin harmonik, kjo sjellje nuk është strukturore e qëndrueshme: një ndryshim i vogël në model (për shembull, duke marrë parasysh burimet e kufizuara të kërkuara nga lepujt) mund të çojë në një ndryshim cilësor në sjellje. Për shembull, gjendja e ekuilibrit mund të bëhet e qëndrueshme dhe luhatjet në numra do të shuhen. Është gjithashtu e mundur situatë e kundërt, kur çdo devijim i vogël nga pozicioni i ekuilibrit do të çojë në pasoja katastrofike, deri në zhdukjen e plotë të një prej specieve. Modeli Volterra-Lotka nuk i përgjigjet pyetjes se cili nga këta skenarë po realizohet: këtu kërkohet hulumtim shtesë.

Shënime

“Një paraqitje matematikore e realitetit” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., RRETH çështje filozofike modelimi kibernetik. M., Dituria, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelimi i sistemeve: Proc. për universitetet - botimi i 3-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 2001. - 343 f. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelimi i matematikës. Idetë. Metodat. Shembuj. . - Botimi i 2-të, i rishikuar - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A. D., Elemente të teorisë së modeleve matematikore. - Botimi i 3-të, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 me ISBN 978-5-484-00953-4
Wiktionary: modeli matematik
CliffsShënime
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Një teori konsiderohet lineare ose jolineare në varësi të llojit të aparatit matematik - linear apo jolinear - dhe çfarë modelesh matematikore lineare ose jolineare përdor. ...pa e mohuar këtë të fundit. Fizikan modern, nëse do të kishte mundësi të rikrijonte përkufizimin e një entiteti kaq të rëndësishëm si jolineariteti, me shumë mundësi do të kishte vepruar ndryshe dhe, duke i dhënë përparësi jolinearitetit si më i rëndësishmi dhe më i përhapuri nga të dy të kundërtat, ai do të kishte përcaktuar linearitetin. si "jo jolinearitet". Danilov Yu., Ligjërata mbi dinamikën jolineare. Hyrje elementare. Seria "Sinergjia: nga e kaluara në të ardhmen". Botimi 2. - M.: URSS, 2006. - 208 f. ISBN 5-484-00183-8
« Sistemet dinamike, simuluar numër i kufizuar ekuacionet diferenciale të zakonshme quhen të grumbulluara ose sistemet e pikave. Ato përshkruhen duke përdorur një dimension të fundëm hapësirë fazore dhe karakterizohen nga një numër i kufizuar i shkallëve të lirisë. I njëjti sistem në kushte të ndryshme mund të konsiderohet ose i koncentruar ose i shpërndarë. Modelet matematikore të sistemeve të shpërndara janë ekuacionet diferenciale derivatet e pjesshme, ekuacionet integrale ose ekuacionet e zakonshme me një argument të vonuar. Numri i shkallëve të lirisë së një sistemi të shpërndarë është i pafund dhe kërkohet numër i pafund të dhëna për të përcaktuar gjendjen e tij”. Anishchenko V. S., Sistemet dinamike, Soros revistë edukative, 1997, nr 11, f. 77-84.
“Në varësi të natyrës së proceseve që studiohen në sistemin S, të gjitha llojet e modelimit mund të ndahen në përcaktues dhe stokastikë, statikë dhe dinamikë, diskrete, të vazhdueshme dhe diskrete-vazhduese. Modelimi përcaktues pasqyron procese deterministe, domethënë procese në të cilat supozohet mungesa e ndonjë ndikimi të rastësishëm; modelimi stokastik përshkruan procese dhe ngjarje probabilistike. ... Modelimi statik shërben për të përshkruar sjelljen e një objekti në çdo moment në kohë, dhe modelimi dinamik pasqyron sjelljen e një objekti me kalimin e kohës. Modelimi diskret përdoret për të përshkruar proceset që supozohen të jenë diskrete, përkatësisht, modelimi i vazhdueshëm ju lejon të pasqyroni proceset e vazhdueshme në sisteme, dhe modelimi diskrete-vazhdues përdoret për rastet kur dëshironi të nënvizoni praninë e të dyve diskrete dhe të vazhdueshme. proceset e vazhdueshme.» Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelimi i sistemeve: Proc. për universitetet - botimi i 3-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 2001. - 343 f. ISBN 5-06-003860-2
Në mënyrë tipike, një model matematikor pasqyron strukturën (pajisjen) e objektit të modeluar, vetitë dhe marrëdhëniet e përbërësve të këtij objekti që janë thelbësore për qëllimet e kërkimit; një model i tillë quhet strukturor. Nëse modeli pasqyron vetëm mënyrën se si funksionon objekti - për shembull, si reagon ndaj ndikimeve të jashtme - atëherë ai quhet funksional ose, në mënyrë figurative, një kuti e zezë. Modelet janë gjithashtu të mundshme lloj i kombinuar. Myshkis A. D., Elemente të teorisë së modeleve matematikore. - Botimi i 3-të, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 me ISBN 978-5-484-00953-4
“E qartë, por më e rëndësishmja Faza e parë ndërtimi ose përzgjedhja e një modeli matematikor është të përftosh një pamje sa më të qartë të objektit që modelohet dhe të përsosësh modelin e tij kuptimplotë, bazuar në diskutime joformale. Ju nuk duhet të kurseni kohë dhe përpjekje në këtë fazë, suksesi i të gjithë studimit varet kryesisht nga kjo. Ka ndodhur më shumë se një herë që puna e konsiderueshme e shpenzuar për zgjidhjen e një problemi matematikor ka rezultuar e paefektshme apo edhe e humbur për shkak të vëmendjes së pamjaftueshme ndaj kësaj ane të çështjes.” Myshkis A. D., Elemente të teorisë së modeleve matematikore. - Botimi i 3-të, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 me ISBN 978-5-484-00953-4, f. 35.
« Përshkrimi i modelit konceptual të sistemit. Në këtë nënfazë të ndërtimit të një modeli sistemi: a) modeli konceptual M përshkruhet në terma dhe koncepte abstrakte; b) jepet një përshkrim i modelit duke përdorur skema standarde matematikore; c) hipotezat dhe supozimet pranohen përfundimisht; d) zgjedhja e procedurës për përafrimin e proceseve reale gjatë ndërtimit të një modeli është e justifikuar.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelimi i sistemeve: Proc. për universitetet - botimi i 3-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 2001. - 343 f. ISBN 5-06-003860-2, f. 93.

Për të ndërtuar një model matematikor ju nevojiten:

analizoni me kujdes një objekt ose proces real;
të nxjerrë në pah veçoritë dhe vetitë e tij më domethënëse;
përcaktojnë variablat, d.m.th. parametrat, vlerat e të cilave ndikojnë në tiparet dhe vetitë kryesore të objektit;
të përshkruajë varësinë e vetive themelore të një objekti, procesi ose sistemi nga vlerat e ndryshoreve duke përdorur marrëdhënie logjike-matematikore (ekuacione, barazi, pabarazi, ndërtime logjike-matematikore);
të nxjerrë në pah lidhjet e brendshme të një objekti, procesi ose sistemi duke përdorur kufizime, ekuacione, barazime, pabarazi, ndërtime logjike dhe matematikore;
identifikoni lidhjet e jashtme dhe përshkruani ato duke përdorur kufizime, ekuacione, barazime, pabarazi, ndërtime logjike dhe matematikore.

Modelimi matematik, përveç studimit të një objekti, procesi ose sistemi dhe hartimit të një përshkrimi matematikor të tij, përfshin gjithashtu:

ndërtimi i një algoritmi që modelon sjelljen e një objekti, procesi ose sistemi;
kontrollimi i përshtatshmërisë së modelit dhe objektit, procesit ose sistemit bazuar në eksperimente llogaritëse dhe në shkallë të plotë;
rregullimi i modelit;
duke përdorur modelin.

Përshkrimi matematik i proceseve dhe sistemeve në studim varet nga:

natyra e një procesi ose sistemi real dhe përpilohet në bazë të ligjeve të fizikës, kimisë, mekanikës, termodinamikës, hidrodinamikës, inxhinierisë elektrike, teorisë së plasticitetit, teorisë së elasticitetit etj.
besueshmërinë dhe saktësinë e kërkuar të studimit dhe kërkimit të proceseve dhe sistemeve reale.

Ndërtimi i një modeli matematikor zakonisht fillon me ndërtimin dhe analizën e modelit matematikor më të thjeshtë, më të papërpunuar të objektit, procesit ose sistemit në shqyrtim. Në të ardhmen, nëse është e nevojshme, modeli rafinohet dhe korrespondenca e tij me objektin bëhet më e plotë.

Le të marrim një shembull të thjeshtë. Është e nevojshme të përcaktohet sipërfaqja e tavolinës. Në mënyrë tipike, kjo bëhet duke matur gjatësinë dhe gjerësinë e saj, dhe më pas duke shumëzuar numrat që rezultojnë. Kjo procedurë elementare në fakt do të thotë si vijon: një objekt real (sipërfaqe tavoline) zëvendësohet nga një model matematik abstrakt - një drejtkëndësh. Dimensionet e marra duke matur gjatësinë dhe gjerësinë e sipërfaqes së tryezës i caktohen drejtkëndëshit, dhe sipërfaqja e një drejtkëndëshi të tillë merret afërsisht si zona e kërkuar e tabelës. Megjithatë, modeli drejtkëndësh për një tavolinë është modeli më i thjeshtë dhe më i papërpunuar. Nëse keni një qasje më serioze ndaj problemit, përpara se të përdorni një model drejtkëndësh për të përcaktuar zonën e tabelës, ky model duhet të kontrollohet. Kontrollet mund të kryhen si më poshtë: matni gjatësitë anët e kundërta tabelën, si dhe gjatësitë e diagonaleve të saj dhe t'i krahasoni ato me njëra-tjetrën. Nëse, me shkallën e kërkuar të saktësisë, gjatësitë e anëve të kundërta dhe gjatësitë e diagonaleve janë të barabarta në çifte, atëherë sipërfaqja e tabelës mund të konsiderohet vërtet si një drejtkëndësh. Përndryshe, modeli drejtkëndësh do të duhet të refuzohet dhe të zëvendësohet me një model katërkëndësh pamje e përgjithshme. Me më shumë kërkesa të larta Për të përmirësuar saktësinë, mund të jetë e nevojshme të rafinoni modelin edhe më tej, për shembull, të merrni parasysh rrumbullakimin e qosheve të tabelës.

Me ndihmën e kësaj shembull i thjeshtë u tregua se modeli matematik nuk përcaktohet në mënyrë unike nga objekti, procesi ose sistemi.

OSE (për t'u sqaruar nesër)

Mënyrat për të zgjidhur matematikën. Modelet:

1, Ndërtimi i një modeli të bazuar në ligjet e natyrës (metodë analitike)

2. Mënyra formale duke përdorur metoda statistikore. Rezultatet e përpunimit dhe matjes (qasja statistikore)

3. Ndërtimi i një modeli bazuar në një model elementësh (sisteme komplekse)

1, Analitike - përdorim me studim të mjaftueshëm. Modeli i përgjithshëm Izv. Modelet.

2. eksperiment. Në mungesë të informacionit.

3. Imitim m - hulumton vetitë e objektit. Në përgjithësi.

Një shembull i ndërtimit të një modeli matematikor.

Modeli matematik- Kjo paraqitje matematikore realitet.

Modelimi i matematikësështë procesi i ndërtimit dhe studimit të modeleve matematikore.

Të gjitha shkencat natyrore dhe shoqërore që përdorin matematikën janë të angazhuara në thelb me modelimin matematik: ata zëvendësojnë një objekt me modelin e tij matematikor dhe më pas studiojnë këtë të fundit. Lidhja midis një modeli matematik dhe realitetit kryhet duke përdorur një zinxhir hipotezash, idealizimesh dhe thjeshtimesh. Duke përdorur metoda matematikore, si rregull, përshkruhet një objekt ideal i ndërtuar në fazën e modelimit kuptimplotë.

Pse duhen modelet?

Shumë shpesh, kur studioni ndonjë objekt, lindin vështirësi. Vetë origjinali ndonjëherë është i padisponueshëm, ose përdorimi i tij nuk këshillohet, ose tërheqja e origjinalit është e shtrenjtë. Të gjitha këto probleme mund të zgjidhen duke përdorur simulimin. Në një farë kuptimi, një model mund të zëvendësojë objektin në studim.

Shembujt më të thjeshtë të modeleve

§ Një fotografi mund të quhet model i një personi. Për të njohur një person, mjafton të shihni fotografinë e tij.

§ Arkitekti krijoi një model të një zone të re banimi. Ai mund të lëvizë me dorën e tij ndërtesë e lartë nga një pjesë në tjetrën. Në realitet kjo nuk do të ishte e mundur.

Llojet e modeleve

Modelet mund të ndahen në material" Dhe perfekte. shembujt e mësipërm janë modele materiale. Modelet ideale shpesh kanë forma ikonike. Koncepte reale zëvendësohen me disa shenja, të cilat mund të regjistrohen lehtësisht në letër, në memorien e kompjuterit etj.

Modelimi i matematikës

Modelimi matematik i përket klasës së modelimit simbolik. Në këtë rast, modelet mund të krijohen nga çdo objekte matematikore: numrat, funksionet, ekuacionet etj.

Ndërtimi i një modeli matematikor

§ Mund të vërehen disa faza të ndërtimit të një modeli matematikor:

1. Kuptimi i problemit, identifikimi i cilësive, vetive, sasive dhe parametrave më të rëndësishëm për ne.

2. Futja e shënimit.

3. Hartimi i një sistemi kufizimesh që duhet të plotësojnë vlerat e futura.

4. Formulimi dhe regjistrimi i kushteve që duhet të plotësojë zgjidhja optimale e dëshiruar.

Procesi i modelimit nuk përfundon me krijimin e një modeli, por vetëm fillon me të. Pasi kanë përpiluar një model, ata zgjedhin një metodë për të gjetur përgjigjen dhe për të zgjidhur problemin. pasi gjendet përgjigja, krahasohet me realitetin. Dhe ka mundësi që përgjigja të mos jetë e kënaqshme, me ç'rast modeli modifikohet apo edhe zgjidhet një model krejtësisht tjetër.

Shembull i një modeli matematikor

Detyrë

Shoqata e prodhimit, e cila përfshin dy fabrika mobiljesh, duhet të përditësojë parkun e saj të makinerive. Për më tepër, fabrika e parë e mobiljeve duhet të zëvendësojë tre makina, dhe e dyta - shtatë. Porositë mund të bëhen në dy fabrika të veglave të makinerisë. Fabrika e parë mund të prodhojë jo më shumë se 6 makina, dhe fabrika e dytë do të pranojë një porosi nëse ka të paktën tre prej tyre. Ju duhet të përcaktoni se si të bëni porosi.

Leksioni 1.

BAZAT METODOLOGJIKE TË MODELIMIT

Gjendja aktuale e problemit të modelimit të sistemit

Konceptet e modelimit dhe simulimit

Modelimi mund të konsiderohet si zëvendësim i objektit në studim (origjinal) me imazhin e tij konvencional, përshkrimin ose objektin tjetër të quajtur model dhe sigurimi i sjelljes afër origjinalit brenda kuadrit të supozimeve të caktuara dhe gabimeve të pranueshme. Modelimi zakonisht kryhet me qëllimin e të kuptuarit të vetive të origjinalit duke studiuar modelin e tij, dhe jo vetë objektin. Sigurisht, modelimi është i justifikuar kur ai më e lehtë për t'u krijuar vetë origjinalin ose kur për ndonjë arsye është më mirë të mos krijoni fare këtë të fundit.

Nën model kuptohet si një objekt fizik ose abstrakt, vetitë e të cilit janë në një kuptim të caktuar të ngjashme me vetitë e objektit në studim. Në këtë rast, kërkesat për modelin përcaktohen nga problemi që zgjidhet dhe mjetet në dispozicion. Ekzistojnë një numër kërkesash të përgjithshme për modelet:

2) plotësia - sigurimi i marrësit me të gjithë informacionin e nevojshëm

rreth objektit;

3) fleksibilitet - aftësia për të riprodhuar situata të ndryshme në gjithçka

varg ndryshimesh në kushte dhe parametra;

4) kompleksiteti i zhvillimit duhet të jetë i pranueshëm për ekzistuesin

kohën dhe softuerin.

Modelimiështë procesi i ndërtimit të një modeli të një objekti dhe studimi i vetive të tij duke studiuar modelin.

Kështu, modelimi përfshin 2 faza kryesore:

1) zhvillimi i një modeli;

2) studimi i modelit dhe nxjerrja e përfundimeve.

Në të njëjtën kohë, në çdo fazë vendoset detyra të ndryshme dhe përdoren

metoda dhe mjete në thelb të ndryshme.

Në praktikë ata përdorin metoda të ndryshme modelimi. Në varësi të metodës së zbatimit, të gjitha modelet mund të ndahen në dy klasa të mëdha: fizike dhe matematikore.

Modelimi i matematikës Zakonisht konsiderohet si një mjet për të studiuar proceset ose fenomenet duke përdorur modelet e tyre matematikore.

Nën modelimi fizik i referohet studimit të objekteve dhe dukurive në modelet fizike, kur procesi që studiohet riprodhohet duke e ruajtur atë. natyra fizike ose të përdorin një fenomen tjetër fizik të ngjashëm me atë që studiohet. Ku modelet fizike Si rregull, ata supozojnë mishërimin e vërtetë të atyre vetive fizike të origjinalit që janë domethënëse në një situatë të veçantë, Për shembull, kur dizajnohet një avion i ri, krijohet një model që ka të njëjtat veti aerodinamike. Kur planifikojnë një zhvillim, arkitektët bëjnë një model që pasqyron rregullimin hapësinor të elementeve të tij. Në këtë drejtim quhet edhe modelimi fizik prototipizim.

Modelimi i gjysmës së jetësështë një studim i sistemeve të kontrollueshme në komplekset e modelimit me përfshirjen e pajisjeve reale në model. Së bashku me pajisjet reale, modeli i mbyllur përfshin simulatorë të ndikimeve dhe ndërhyrjeve, modele matematikore të mjedisit të jashtëm dhe proceseve për të cilat nuk dihet një përshkrim mjaft i saktë matematikor. Përfshirja e pajisjeve reale ose sistemeve reale në qarkun e modelimit të proceseve komplekse bën të mundur uljen e pasigurisë apriori dhe eksplorimin e proceseve për të cilat nuk ka përshkrim të saktë matematikor. Duke përdorur modelimin gjysmë natyral, hulumtimi kryhet duke marrë parasysh konstante të vogla kohore dhe linearitete të qenësishme në pajisjet reale. Kur studioni modele duke përdorur pajisje reale, përdoret koncepti simulimi dinamik, kur studioni sisteme dhe fenomene komplekse - evolucionare, imitim Dhe modelimi kibernetik.

Natyrisht, përfitimi i vërtetë i modelimit mund të merret vetëm nëse plotësohen dy kushte:

1) modeli ofron një shfaqje të saktë (adekuate) të vetive

origjinali, domethënës nga pikëpamja e operacionit në studim;

2) modeli ju lejon të eliminoni problemet e natyrshme të listuara më lart

kryerja e kërkimeve në objekte reale.

2. Konceptet bazë të modelimit matematik

Zgjidhja e problemeve praktike duke përdorur metoda matematikore kryhet vazhdimisht duke formuluar problemin (zhvillimin e një modeli matematikor), duke zgjedhur një metodë për studimin e modelit matematikor që rezulton dhe duke analizuar rezultatin e marrë matematikor. Formulimi matematikor i problemës zakonisht paraqitet në formën e imazheve gjeometrike, funksioneve, sistemeve të ekuacioneve etj. Përshkrimi i një objekti (dukurie) mund të paraqitet duke përdorur forma të vazhdueshme ose diskrete, përcaktuese ose stokastike dhe forma të tjera matematikore.

Teoria e modelimit matematik siguron identifikimin e modeleve të shfaqjes së fenomeneve të ndryshme në botën përreth ose funksionimin e sistemeve dhe pajisjeve me anë të përshkrimit dhe modelimit matematikor të tyre pa kryer teste në shkallë të plotë. Në këtë rast, përdoren dispozitat dhe ligjet e matematikës që përshkruajnë fenomenet, sistemet ose pajisjet e simuluara në një nivel të idealizimit të tyre.

Modeli matematik (MM)është një përshkrim i formalizuar i një sistemi (ose operacioni) në një gjuhë abstrakte, për shembull, në formën e një grupi marrëdhëniesh matematikore ose një diagrami algoritmi, d.m.th. d.m.th një përshkrim i tillë matematikor që ofron simulim të funksionimit të sistemeve ose pajisjeve në një nivel mjaft të afërt me sjelljen e tyre reale të marrë gjatë testimit në shkallë të plotë të sistemeve ose pajisjeve.

Çdo MM përshkruan një objekt, fenomen ose proces real me njëfarë përafrimi me realitetin. Lloji i MM varet si nga natyra e objektit real ashtu edhe nga objektivat e studimit.

Modelimi i matematikës dukuritë sociale, ekonomike, biologjike dhe fizike, objektet, sistemet dhe pajisjet e ndryshme është një nga mjetet më të rëndësishme për të kuptuar natyrën dhe për të projektuar një shumëllojshmëri të gjerë sistemesh dhe pajisjesh. Janë të njohur shembuj të përdorimit efektiv të modelimit në krijimin e teknologjive bërthamore, sistemeve të aviacionit dhe hapësirës ajrore, në parashikimin e fenomeneve atmosferike dhe oqeanike, motit etj.

Megjithatë, fusha të tilla serioze të modelimit shpesh kërkojnë superkompjuterë dhe vite punë nga ekipe të mëdha shkencëtarësh për të përgatitur të dhëna për modelimin dhe korrigjimin e tij. Sidoqoftë, në këtë rast, modelimi matematik i sistemeve dhe pajisjeve komplekse jo vetëm që kursen para në kërkime dhe testime, por gjithashtu mund të eliminojë fatkeqësitë mjedisore - për shembull, ju lejon të braktisni bërthamën dhe armët termonukleare në favor të modelimit të tij matematikor ose testimit të sistemeve të hapësirës ajrore përpara fluturimeve të tyre aktuale. Ndërkohë, modelimi matematik në nivelin e zgjidhjes së problemeve më të thjeshta, për shembull, nga fusha e mekanikës, inxhinierisë elektrike, elektronikës, radio-inxhinierisë dhe shumë fushave të tjera të shkencës. dhe teknologjia tani është bërë e disponueshme për të performuar në PC moderne. Dhe kur përdorni modele të përgjithësuara, bëhet e mundur të simuloni sisteme mjaft komplekse, për shembull, sistemet dhe rrjetet e telekomunikacionit, sistemet e navigimit të radarit ose radios.

Qëllimi i modelimit matematikështë analiza e proceseve reale (në natyrë ose teknologji) duke përdorur metoda matematikore. Nga ana tjetër, kjo kërkon që të studiohet formalizimi i procesit MM. Modeli mund të jetë një shprehje matematikore që përmban variabla, sjellja e të cilave është e ngjashme me sjelljen e një sistemi real veprimet e dy ose më shumë"lojtarët", si në teorinë e lojës; ose mund të përfaqësojë variabla reale të pjesëve të ndërlidhura të sistemit operativ.

Modelimi matematik për studimin e karakteristikave të sistemeve mund të ndahet në analitik, simulues dhe i kombinuar. Nga ana tjetër, MM-të ndahen në simuluese dhe analitike.

Modelimi analitik

Për modelimi analitikËshtë karakteristike se proceset e funksionimit të sistemit shkruhen në formën e marrëdhënieve të caktuara funksionale (ekuacione algjebrike, diferenciale, integrale). Modeli analitik mund të studiohet duke përdorur metodat e mëposhtme:

1) analitike, kur ata përpiqen të marrin, në një formë të përgjithshme, varësi të qarta për karakteristikat e sistemeve;

2) numerike, kur nuk është e mundur të gjendet një zgjidhje për ekuacionet në formë të përgjithshme dhe ato zgjidhen për të dhëna fillestare specifike;

3) cilësore, kur në mungesë të zgjidhjes gjenden disa nga vetitë e tij.

Modelet analitike mund të merren vetëm për sisteme relativisht të thjeshta. Për sistemet komplekse, shpesh lindin probleme të mëdha matematikore. Për të aplikuar metodën analitike, ato shkojnë në një thjeshtim të ndjeshëm të modelit origjinal. Megjithatë, kërkimi duke përdorur një model të thjeshtuar ndihmon për të marrë vetëm rezultate treguese. Modelet analitike pasqyrojnë saktë në mënyrë matematikore marrëdhënien midis variablave dhe parametrave hyrës dhe dalës. Por struktura e tyre nuk pasqyron strukturën e brendshme të objektit.

Gjatë modelimit analitik, rezultatet e tij paraqiten në formën e shprehjeve analitike. Për shembull, duke u lidhur R.C.- qark në burim Tensioni DC E(R, C Dhe E- komponentët e këtij modeli), ne mund të kompozojmë shprehje analitike për varësinë kohore të tensionit u(t) në kondensator C:

Ky ekuacion diferencial linear (DE) është modeli analitik i këtij qarku të thjeshtë linear. Zgjidhja e tij analitike, në gjendjen fillestare u(0) = 0, që do të thotë një kondensator i shkarkuar C në fillim të modelimit, ju lejon të gjeni varësinë e dëshiruar - në formën e një formule:

u(t) = E(1− pshfq(- t/RC)). (2)

Megjithatë, edhe në këtë shembull më të thjeshtë, kërkohen disa përpjekje për të zgjidhur DE (1) ose për të aplikuar sistemet e matematikës kompjuterike(SCM) me llogaritje simbolike – sisteme kompjuterike algjebër. Për këtë rast krejtësisht të parëndësishëm, zgjidhja e problemit të modelimit të një lineare R.C.- qarku jep shprehje analitike (2) të një forme mjaft të përgjithshme - është i përshtatshëm për të përshkruar funksionimin e qarkut për çdo vlerësim të komponentit R, C Dhe E, dhe përshkruan ngarkesën eksponenciale të kondensatorit C përmes një rezistence R nga një burim i tensionit konstant E.

Sigurisht, duke gjetur zgjidhje analitike në modelimin analitik rezulton të jetë jashtëzakonisht i vlefshëm për identifikimin e modeleve të përgjithshme teorike të qarqeve, sistemeve dhe pajisjeve të thjeshta lineare, megjithatë, kompleksiteti i tij rritet ndjeshëm pasi ndikimet në model bëhen më komplekse dhe rendi dhe numri i ekuacioneve të gjendjes që përshkruajnë. rritje e objektit të modeluar. Ju mund të merrni pak a shumë rezultate të dukshme kur modeloni objekte të rendit të dytë ose të tretë, por tashmë më shumë rend shprehjet analitike bëhen tepër të rënda, komplekse dhe të vështira për t'u kuptuar. Për shembull, edhe një përforcues i thjeshtë elektronik shpesh përmban dhjetëra komponentë. Sidoqoftë, shumë SCM moderne, për shembull, sisteme të matematikës simbolike Maple, Mathematica ose mjedisi MATLAB, janë në gjendje të automatizojnë kryesisht zgjidhjen detyra komplekse modelimi analitik.

Një lloj modelimi është modelimi numerik, e cila konsiston në marrjen e të dhënave sasiore të nevojshme për sjelljen e sistemeve ose pajisjeve me çdo metodë numerike të përshtatshme, siç janë metodat Euler ose Runge-Kutta. Në praktikë, modelimi i sistemeve dhe pajisjeve jolineare duke përdorur metoda numerike rezulton të jetë shumë më efektiv sesa modelimi analitik i qarqeve, sistemeve ose pajisjeve individuale lineare private. Për shembull, për zgjidhjen e sistemeve DE (1) ose DE në raste më komplekse, nuk mund të merret një zgjidhje në formë analitike, por duke përdorur të dhënat numerike të simulimit, mund të merrni të dhëna mjaft të plota për sjelljen e sistemeve dhe pajisjeve të simuluara, gjithashtu. si ndërtim grafikësh të varësive që përshkruajnë këtë sjellje.

Modelimi simulues

Në imitim 10 dhe modelimi, algoritmi që zbaton modelin riprodhon procesin e funksionimit të sistemit me kalimin e kohës. Dukuritë elementare që përbëjnë procesin simulohen, duke ruajtur strukturën e tyre logjike dhe sekuencën e ngjarjeve në kohë.

Avantazhi kryesor i modeleve të simulimit në krahasim me ato analitike është aftësia për të zgjidhur probleme më komplekse.

Modelet e simulimit e bëjnë të lehtë marrjen parasysh të pranisë së elementeve diskrete ose të vazhdueshme, karakteristikave jolineare, ndikimeve të rastësishme, etj. Prandaj, kjo metodë përdoret gjerësisht në fazën e projektimit të sistemeve komplekse. Mjeti kryesor për zbatimin e modelimit simulues është një kompjuter, i cili lejon modelimin dixhital të sistemeve dhe sinjaleve.

Në lidhje me këtë, le të përkufizojmë shprehjen " modelimi kompjuterik”, që përdoret gjithnjë e më shumë në literaturë. Le të supozojmë se modelimi kompjuterikështë modelimi matematik duke përdorur teknologjinë kompjuterike. Prandaj, teknologjia e modelimit kompjuterik përfshin kryerjen e veprimeve të mëposhtme:

1) përcaktimi i qëllimit të modelimit;

2) zhvillimi i një modeli konceptual;

3) formalizimi i modelit;

4) implementimi i softuerit të modelit;

5) planifikimi i eksperimenteve të modelit;

6) zbatimi i planit eksperimental;

7) analiza dhe interpretimi i rezultateve të simulimit.

Në modelimi simulues MM i përdorur riprodhon algoritmin ("logjikën") e funksionimit të sistemit në studim me kalimin e kohës për kombinime të ndryshme të vlerave të parametrave të sistemit dhe mjedisit të jashtëm.

Një shembull i modelit më të thjeshtë analitik është ekuacioni i lëvizjes uniforme drejtvizore. Gjatë studimit të një procesi të tillë duke përdorur një model simulimi, duhet të zbatohet vëzhgimi i ndryshimeve në rrugën e përshkuar me kalimin e kohës. Për të bërë një zgjedhje të suksesshme, duhet t'i përgjigjeni dy pyetjeve.

Cili është qëllimi i modelimit?

Në cilën klasë mund të klasifikohet fenomeni i modeluar?

Përgjigjet për të dyja këto pyetje mund të merren gjatë dy fazave të para të modelimit.

Modelet e simulimit jo vetëm në veti, por edhe në strukturë korrespondojnë me objektin e modeluar. Në këtë rast, ekziston një korrespondencë e qartë dhe e qartë midis proceseve të marra në model dhe proceseve që ndodhin në objekt. Disavantazhi i simulimit është se duhet një kohë e gjatë për të zgjidhur problemin për të marrë saktësi të mirë.

Rezultatet e modelimit simulues të funksionimit të një sistemi stokastik janë zbatime variablat e rastësishëm ose procese. Prandaj, për të gjetur karakteristikat e sistemit, kërkohen përsëritje të shumta dhe përpunim të mëvonshëm të të dhënave. Më shpesh në këtë rast, përdoret një lloj simulimi - statistikore

modelimi(ose metoda Monte Carlo), d.m.th. riprodhimi i faktorëve të rastit, ngjarjeve, sasive, proceseve, fushave në modele.

Bazuar në rezultatet e modelimit statistikor, përcaktohen vlerësimet e kritereve probabilistike të cilësisë, të përgjithshme dhe specifike, që karakterizojnë funksionimin dhe efikasitetin e sistemit të menaxhuar. Modelimi statistikor përdoret gjerësisht për zgjidhjen e problemeve shkencore dhe aplikative në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë. Metodat e modelimit statistikor përdoren gjerësisht në studimin e sistemeve dinamike komplekse, duke vlerësuar funksionimin dhe efikasitetin e tyre.

Faza përfundimtare e modelimit statistikor bazohet në përpunimin matematikor të rezultateve të marra. Këtu përdoren metodat e statistikave matematikore (vlerësimi parametrik dhe joparametrik, testimi i hipotezave). Një shembull i një vlerësuesi parametrik është mesatarja e mostrës së një matësi të performancës. Ndër metodat joparametrike, e përhapur metoda e histogramit.

Skema e shqyrtuar bazohet në teste të përsëritura statistikore të sistemit dhe metodave të statistikave të variablave të rastësishëm të pavarur. Reduktimi i kohës së testimit të sistemit mund të arrihet përmes përdorimit të metodave më të sakta të vlerësimit. Siç dihet nga statistikat matematikore, mostrat kanë saktësinë më të madhe për një madhësi të caktuar kampioni vlerësime efektive. Filtrimi optimal dhe metoda e gjasave maksimale japin metodë e përgjithshme marrja e vlerësimeve të tilla Në problemet e modelimit statistikor, përpunimi i zbatimeve të proceseve të rastësishme është i nevojshëm jo vetëm për analizimin e proceseve të prodhimit.

Kontrolli i karakteristikave të ndikimeve të rastit në hyrje është gjithashtu shumë i rëndësishëm. Kontrolli konsiston në kontrollimin e përputhshmërisë së shpërndarjeve të proceseve të gjeneruara me shpërndarjet e dhëna. Ky problem shpesh formulohet si problemi i testimit të hipotezave.

Tendenca e përgjithshme në modelimin kompjuterik të sistemeve komplekse të kontrolluara është dëshira për të zvogëluar kohën e modelimit, si dhe për të kryer kërkime në kohë reale. Është i përshtatshëm për të paraqitur algoritmet llogaritëse në një formë të përsëritur, duke lejuar zbatimin e tyre në shkallën e marrjes së informacionit aktual.

PARIMET E NJË QASJES SISTEMIKE NË MODELIM

Parimet themelore të teorisë së sistemeve

Parimet themelore të teorisë së sistemeve u ngritën gjatë studimit të sistemeve dinamike dhe elementeve të tyre funksionale. Një sistem kuptohet si një grup elementësh të ndërlidhur që veprojnë së bashku për të përmbushur një detyrë të paracaktuar. Analiza e sistemeve ju lejon të përcaktoni më shumë mënyra reale përmbushja e detyrës së caktuar, duke siguruar përmbushjen maksimale të kërkesave të deklaruara.

Elementet që përbëjnë bazën e teorisë së sistemeve nuk krijohen nëpërmjet hipotezave, por zbulohen në mënyrë eksperimentale. Për të filluar ndërtimin e një sistemi, është e nevojshme të keni karakteristika të përgjithshme të proceseve teknologjike. E njëjta gjë është e vërtetë në lidhje me parimet e krijimit të kritereve të formuluara matematikisht që duhet të plotësojë një proces ose përshkrimi i tij teorik. Modelimi është një nga metodat më të rëndësishme të kërkimit shkencor dhe eksperimentimit.

Gjatë ndërtimit të modeleve të objekteve, përdoret një qasje sistemore, e cila është një metodologji për zgjidhjen e problemeve komplekse, e cila bazohet në konsiderimin e objektit si një sistem që vepron në një mjedis të caktuar. Një qasje sistematike përfshin zbulimin e integritetit të një objekti, identifikimin dhe studimin e strukturës së tij të brendshme, si dhe lidhjet me mjedisin e jashtëm. Në këtë rast, objekti paraqitet si pjesë e botës reale, e cila izolohet dhe studiohet në lidhje me problemin e ndërtimit të një modeli. Për më tepër, qasja e sistemeve përfshin një tranzicion të qëndrueshëm nga e përgjithshme në atë specifike, kur qëllimi i projektimit është baza e shqyrtimit, dhe objekti konsiderohet në lidhje me mjedisin.

Një objekt kompleks mund të ndahet në nënsisteme, të cilat janë pjesë të objektit që plotësojnë kërkesat e mëposhtme:

1) një nënsistem është një pjesë funksionalisht e pavarur e një objekti. Është i lidhur me nënsisteme të tjera, shkëmben informacion dhe energji me to;

2) për secilin nënsistem mund të përcaktohen funksionet ose vetitë që nuk përkojnë me vetitë e të gjithë sistemit;

3) secili nga nënsistemet mund t'i nënshtrohet ndarjes së mëtejshme në nivelin e elementeve.

Në këtë rast, një element kuptohet si një nënsistem i nivelit më të ulët, ndarja e mëtejshme e të cilit është e papërshtatshme nga pikëpamja e problemit që zgjidhet.

Kështu, një sistem mund të përkufizohet si një paraqitje e një objekti në formën e një grupi nënsistemesh, elementesh dhe lidhjesh me qëllim të krijimit, kërkimit ose përmirësimit të tij. Në këtë rast, një paraqitje e zgjeruar e sistemit, duke përfshirë nënsistemet kryesore dhe lidhjet midis tyre, quhet makrostrukturë, dhe një zbulim i detajuar i strukturës së brendshme të sistemit deri në nivelin e elementeve quhet mikrostrukturë.

Së bashku me sistemin, zakonisht ekziston një supersistem - një sistem i një niveli më të lartë, i cili përfshin objektin në fjalë, dhe funksioni i çdo sistemi mund të përcaktohet vetëm përmes supersistemit.

Është e nevojshme të theksohet koncepti i mjedisit si një grup objektesh të botës së jashtme që ndikojnë ndjeshëm në efikasitetin e sistemit, por që nuk janë pjesë e sistemit dhe supersistemit të tij.

Në lidhje me qasjen sistemore ndaj modeleve të ndërtimit, përdoret koncepti i infrastrukturës, i cili përshkruan marrëdhënien e sistemit me mjedisin e tij (mjedisin), në këtë rast, identifikimin, përshkrimin dhe studimin e vetive të objektit që janë thelbësore brenda kornizës detyrë specifike quhet shtresim i një objekti, dhe çdo model i një objekti është përshkrimi i tij shtresor.

Për një qasje sistemore, është e rëndësishme të përcaktohet struktura e sistemit, d.m.th. një grup lidhjesh midis elementeve të sistemit, duke pasqyruar ndërveprimin e tyre. Për ta bërë këtë, së pari ne konsiderojmë qasjet strukturore dhe funksionale të modelimit.

Me një qasje strukturore, zbulohet përbërja e elementeve të zgjedhur të sistemit dhe lidhjet midis tyre. Grupi i elementeve dhe lidhjeve na lejon të gjykojmë strukturën e sistemit. Përshkrimi më i përgjithshëm i një strukture është një përshkrim topologjik. Kjo ju lejon të përcaktoni përbërësit e sistemit dhe lidhjet e tyre duke përdorur grafikët. Më pak i përgjithshëm është përshkrimi funksional, kur merren parasysh funksionet individuale, d.m.th., algoritmet për sjelljen e sistemit. Në këtë rast, zbatohet një qasje funksionale që përcakton funksionet që kryen sistemi.

Bazuar në qasjen sistemore, mund të propozohet një sekuencë e zhvillimit të modelit, kur dallohen dy faza kryesore të projektimit: makrodizajnimi dhe mikrodizajnimi.

Në fazën e makro-projektimit, ndërtohet një model i mjedisit të jashtëm, identifikohen burimet dhe kufizimet, zgjidhet një model sistemi dhe kriteret për vlerësimin e përshtatshmërisë.

Faza e mikro-projektimit varet kryesisht nga lloji specifik i modelit të zgjedhur. Në përgjithësi, ai përfshin krijimin e sistemeve të modelimit të informacionit, matematikor, teknik dhe softuer. Në këtë fazë, përcaktohen karakteristikat kryesore teknike të modelit të krijuar, vlerësohet koha e nevojshme për të punuar me të dhe kostoja e burimeve për të marrë cilësinë e specifikuar të modelit.

Pavarësisht nga lloji i modelit, gjatë ndërtimit të tij, është e nevojshme të udhëhiqet nga një sërë parimesh të një qasjeje sistematike:

1) progresion i qëndrueshëm nëpër fazat e krijimit të një modeli;

2) koordinimi i informacionit, burimeve, besueshmërisë dhe karakteristikave të tjera;

3) marrëdhëniet e sakta ndërmjet niveleve të ndryshme të ndërtimit të modelit;

4) integriteti i fazave individuale të projektimit të modelit.

Modeli matematik është një sistem i marrëdhënieve matematikore - formula, ekuacione, pabarazi, etj., që pasqyrojnë vetitë thelbësore të një objekti ose dukurie.

Çdo fenomen natyror është i pafund në kompleksitetin e tij. Le ta ilustrojmë këtë me një shembull të marrë nga libri i V.N. Trostnikov "Njeriu dhe informacioni" (Shtëpia Botuese "Nauka", 1970).

Një person mesatar formulon problemin matematikor si më poshtë: "Sa kohë do të duhet që një gur të bjerë nga një lartësi prej 200 metrash?" Matematikani do të fillojë të krijojë versionin e tij të problemit diçka si kjo: "Le të supozojmë se guri bie në zbrazëti dhe se nxitimi për shkak të gravitetit është 9.8 metra në sekondë në sekondë. Pastaj..."

- Më lejoni- "klienti" mund të thotë, - Nuk jam i kënaqur me këtë thjeshtësim. Dua të di saktësisht se sa kohë do të duhet të bjerë një gur në kushte reale, dhe jo në një zbrazëti inekzistente.

- Mirë,- do të pajtohet matematikani. - Le të supozojmë se guri ka formë dhe diametër sferik... Sa është afërsisht diametri i tij?

- Rreth pesë centimetra. Por nuk është aspak sferike, por e zgjatur.

- Atëherë do të supozojmë se aika formën e elipsoidit me boshte boshti katër, tre dhe tre centimetra dhe se ajobie në mënyrë që boshti gjysmë i madh të mbetet vertikal gjatë gjithë kohës . Le të marrim presionin e ajrit të barabartë me760 mmHg , nga këtu gjejmë dendësinë e ajrit...

Nëse ai që shtroi problemin në gjuhën "njerëzore" nuk ndërhyn më tej në trenin e mendimit të matematikanit, atëherë ky i fundit do të japë një përgjigje numerike pas njëfarë kohe. Por “konsumatori” ende mund të kundërshtojë: guri në fakt nuk është aspak elipsoidal, presioni i ajrit në atë vend dhe në atë moment nuk ishte i barabartë me 760 mm Hg, etj. Çfarë do t'i përgjigjet matematikani?

Ai do të përgjigjet për këtë zgjidhje e saktë problem real e pamundur fare. Jo vetëm ajo formë guri, e cila ndikon në rezistencën e ajrit, e pamundur të përshkruhet ekuacioni matematik; rrotullimi i tij në fluturim është gjithashtu jashtë kontrollit të matematikës për shkak të kompleksitetit të saj. Me tutje, ajri nuk është homogjen, meqënëse si rezultat i veprimit të faktorëve të rastësishëm, në të lindin luhatje të luhatjeve të dendësisë. Nëse shkojmë edhe më thellë, duhet ta kemi parasysh këtë Sipas ligjit të gravitetit universal, çdo trup vepron në çdo trup tjetër. Nga kjo rrjedh se edhe një lavjerrës orë muri ndryshon trajektoren e gurit me lëvizjen e tij.

Shkurtimisht, nëse duam seriozisht të studiojmë me saktësi sjelljen e ndonjë objekti, atëherë së pari do të duhet të dimë vendndodhjen dhe shpejtësinë e të gjitha objekteve të tjera në Univers. Dhe kjo, sigurisht. e pamundur.

Në mënyrë më efektive, një model matematikor mund të zbatohet në një kompjuter në formën e një modeli algoritmik - një i ashtuquajtur "eksperiment llogaritës" (shih [1], paragrafi 26).

Sigurisht, rezultatet e një eksperimenti llogaritës mund të mos korrespondojnë me realitetin nëse modeli nuk merr parasysh disa aspekte të rëndësishme të realitetit.

Pra, kur krijoni një model matematikor për të zgjidhur një problem, duhet të:

Gjatë ndërtimit të modeleve matematikore, nuk është gjithmonë e mundur të gjenden formula që shprehin qartë sasitë e dëshiruara përmes të dhënave. Në raste të tilla, përdoren metoda matematikore për të dhënë përgjigje me shkallë të ndryshme saktësie. Nuk ka vetëm modelim matematikor të çdo dukurie, por edhe modelim vizual-natyror, i cili sigurohet duke shfaqur këto fenomene duke përdorur mjete. grafika kompjuterike, d.m.th. Një lloj "karikaturë kompjuterike" shfaqet para studiuesit, e filmuar në kohë reale. Shikueshmëria këtu është shumë e lartë.

Regjistrime të tjera

06/10/2016. 8.3. Cilat janë fazat kryesore të procesit të zhvillimit të softuerit? 8.4. Si të kontrolloni tekstin e një programi përpara se të lëshohet në kompjuter?

8.3. Cilat janë fazat kryesore të procesit të zhvillimit të softuerit? Procesi i zhvillimit të programit mund të shprehet me formulën e mëposhtme: Prania e gabimeve në një program të ri të zhvilluar është mjaft normale...

06/10/2016. 8.5. Pse nevojiten korrigjimi dhe testimi? 8.6. Çfarë është korrigjimi? 8.7. Çfarë është testimi dhe testimi? 8.8. Cilat duhet të jenë të dhënat e testit? 8.9. Cilat janë fazat e procesit të testimit?

8.5. Pse nevojiten korrigjimi dhe testimi? Korrigjimi i një programi është procesi i gjetjes dhe eliminimit të gabimeve në një program, i kryer në bazë të rezultateve të ekzekutimit të tij në një kompjuter. Duke testuar…

06/10/2016. 8.10. Cilat janë gabimet e zakonshme të programimit? 8.11. A është mungesa e gabimeve sintaksore dëshmi se programi është i saktë? 8.12. Cilat gabime nuk zbulohen nga përkthyesi? 8.13. Cila është mbështetja e programit?

8.10. Cfare jane gabime tipike programimi? Gabimet mund të bëhen në të gjitha fazat e zgjidhjes së një problemi - nga formulimi i tij deri në ekzekutimin e tij. Janë dhënë llojet e gabimeve dhe shembujt përkatës...